Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

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1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

2 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes qui les prooquent. Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B

3 NOTION DE REPÈRE Point matériel Un point matériel est un objet infiniment petit deant les distances caractéristiques du mouement pour être considéré comme ponctuel. D D Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 3

4 NOTION DE REPÈRE z y terre soleil x Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 4

5 NOTION DE REPÈRE Pour repérer la position d un point matériel dans l espace, on se donne un repère d espace, c est-à-dire: - un point O origine des coordonnées - trois axes de coordonnées orientés et munis d une unité de mesure (par exemple le mètre) Pour des raisons de commodité, on choisit un repère orthonormé O, i, j, k direct Un point M de l espace est repéré par ses coordonnées x, y et z tel que: OM xi yj zk Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 5

6 NOTION DE MOUVEMENT Un objet est mouement par rapport à un autre si sa position change au cours du temps Un point M est dit fixe par rapport au repère R(O, x, y, z) si ses coordonnées ne changent pas. Le point M est en mouement si au moins une de ses coordonnées change dans le temps. La notion de mouement est relatie. En effet un point peut être en mouement par rapport à un repère R Et au repos par rapport à un second repère R Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 6

7 NOTION DE MOUVEMENT On distingue essentiellement trois type de mouements : Translation Rotation Vibration Ou une combinaison de deux de ces mouements Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 7

8 NOTION DE TRAJECTOIRE Définition : C est le lieu géométrique des positions successies occupées par le point matériel au cours du temps Exemple : un mobile est repéré par les coordonnées suiantes : X (t) = A cos wt Y (t) = A sin wt En supprimant le temps, on obtient : x y A La trajectoire est donc un cercle de centre O et de rayon A L équation de la trajectoire est une relation qui lie les coordonnées du point entre elles Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 8

9 MOUVEMENT RECTILIGNE La trajectoire d un mouement rectiligne est une droite. Vecteur position OM x() t i C est le ecteur qui désigne la distance qui sépare le mobile M du point O pris comme origine. O i OM 1 M 1 OM M OM 3 M 3 x x(t) est appelée équation horaire du mouement Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 9

10 Notion de diagramme des espaces Si on reporte les positions successies du mobile en fonction du temps, on obtient une courbe appelée : Diagramme des espaces x(m) t(s) Remarque: Il ne faut pas confondre trajectoire et diagramme des espaces Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 10

11 Vecteur déplacement (m): O i OM 1 M 1 OM OM M x Le ecteur déplacement est la distance parcourue entre deux instants M M OM OM OM ( x x ) i Vecteur itesse (m/s): Vecteur itesse moyenne: t t t1 M1 M Si est le temps mis entre et, la itesse moyenne est : M M OM OM OM x x x m ou encore i i t t t t t t t m Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B

12 Vecteur itesse instantanée: Si on diminue l interalle de temps, on obtient la itesse instantanée : OM dom x dx i lim ou i lim i i t0 t t0 t dx Le terme possède deux significations : dx 1- Si on a l expression de x(t), alors désigne la dériée de x(t): Exemple: 3 x( t) 3x x 5 dx ( t) 9x 4x Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

13 dx - Si on a le graphe de x(t), alors désigne la pente de la tangente à la courbe x(t) Exemple: Problème!!! x(m) + A + dx tan AC BC B t C t(s) Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 13

14 On a donc calculer la itesse instantanée à partir de la itesse moyenne Il y a deux cas ou la itesse moyenne est confondue aec la itesse moyenne 1 er cas: Mouement rectiligne uniforme: x x(m) x1 t1 t t(s) m x x x t t t 1 1 dx x x tan t t 1 1 m Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 14

15 ème cas: mouement rectiligne quelconque: x(m) t t t 1 ( ) m1 t m t m1 m m3 m4 m m3 + m V(t) t(s) t1 t3 t5 t7 t t8 t6 t4 t Conclusion : La itesse instantanée à l instant t est assimilée à la itesse moyenne entre deux instants t1 et t tel que t est milieu de t1 et t aec t 15

16 Vecteur accélération (m/s): Vecteur accélération moyenne: O i OM 1 M 1 OM M 1 x a m am et t t t1 1 Sont dans le même sens et direction Vecteur accélération instantanée: 1 1 a ai lim t 0 t d Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 16

17 a d Comme pour la itesse le terme possède deux significations : d 1- Si a l expression de (t), alors désigne la dériée de (t): Exemple: 3 x( t) 3x x 5 dx d d x a( t) 18x 4 ( t) 9x 4x Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 17

18 d - Si a le graphe de (t), alors désigne la pente de la tangente à la courbe (t) (m/s) A B C t(s) t En procédant de la même façon que pour la itesse on en déduit que: Conclusion : L accélération instantanée à l instant t est assimilée à l accélération moyenne entre deux instants t1 et t tel que t est milieu de t1 et t aec t Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 18

19 Mouement rectiligne uniforme : cons tan te et a 0 Mouement rectiligne uniformément accéléré : a cons tan te et a. 0 Mouement rectiligne uniformément retardé ou décéléré : a cons tan te et a. 0 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 19

20 Exemple : Soit une oiture se déplaçant sur une route rectiligne repérée par les positions M1, M, M3 et M4 aux instants t1= 0s, t=s, t3 = 4s et t4= 5s OM1 1i OM 10i OM 3 i OM 4 i respectiement tel que :,, et M 1 M M 3 i M 4 x OM 1 OM OM 4 OM3 O 1- Calculer les ecteurs déplacements : MM, 1 MM et 3 M3M4 M M OM OM ( x x ) i ( 10 ( 1)) i i M M OM OM ( x x ) i ( ( 10)) i 1i M M OM OM ( x x ) i ( ()) i 4i Déterminer les ecteurs itesses moyennes entre M1 et M et entre M3 et M4 M M ( x x ) M M ( x x ) 4 ( / ) 1 1 m i i i m s t ( t t1) ( 0) m i i i m s t ( t4 t3) (5 4) 0 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 4 ( / )

21 3- Déterminer le ecteur accélération moyenne entre et 6 s, (s) = 4m/s et (6s) = m/s O i OM 1 M 1 OM 3 M 3 ( s ) (6 s) x (6 s) ( s) (6 s) ( ( s)) 1 1 a m (6 s) ( s) ( (6 s) ( s)) ( 4) 1 am i 0.5 i ( m / s ) t ( t t1) (6 ) Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

22 Calcul Intégral: Jusqu à présent on a u comment passer de la position x(t) à la itesse (t) puis à l accélération a(t) Nous maintenant étudier le problème inerse pour passer de l accélération à la itesse puis à la position Passage de la itesse à la position: 1 er Cas: Mouement uniforme (m/s) Dans ce cas: x x x m t t t 1 1 x x ( t t ) 1 1 t1 t t(s) Et donc: x ( t t ) x 1 1 x ( t t ) correspond à l aire sous la courbe (t) 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B

23 ème Cas général : (m/s) On partage l interalle entre t1 et t en plusieurs petits =cte dx dx = aire sous la courbe (t) sur l interalle t1 x t En faisant la somme des petits interalles entre t1 et t : t(s) x x dx x 1 t1 t alors: t 1 x x t1 x est donc l aire sous la courbe (t) entre t1 et t. Remarque : Il ne faut pas confondre entre position et distance parcourue -La position est l aire sous (t) en aleur algébrique -La distance parcourue est l aire sous (t) en aleur absolue Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 3

24 Exemple: (m/s) 0 40 t(s) 1-position du mobile à t = 40 s -distance parcourue entre 0 et 40 s t=0 s, x = 0 m 1- position du mobile: x 40 x dx 10(0 0) 10(40 0) 0 m x(40 s) 0m distance parcourue par le mobile: D x1 x 10(0 0) 10(40 0) 40m Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 4

25 Passage de l accélération à la itesse: a( m / s ) On partage en plusieurs interalle a=cte d a d a t1 t t(s) d a 1 t1 t est donc l aire sous la courbe a(t) entre t1 et t. Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 5

26 Étude de quelques mouements particuliers Mouement rectiligne uniforme: a( m / s ) ts () aire sous a( t) 0 0 d a () t a ( m / s) 0 cons tan te 0 xm ( ) ts () a 0 ( t) a cons tante dx dx dx 0 x aire sous () t t x t x x( t) x t x( t) t x x 0 ts () x() t est une droite 6 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B

27 Mouement rectiligne uniformément arié: a=cte, t = 0s, 0 et x0 a 0 x 0 a( m / s ) ( m / s) xm ( ) A A1 t t ts () a cons tan te aire sous a() t at at ts () () t est une droite x aire sous () t A A 1 A1 0t A ( 0 ) t (( at 0) 0) t at 1 x x x0 at 0t ts () 0 d a d a 0 t t () t at a t at dx dx x() t at 0t x0 t t x x( t) x ( at ) Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 7

28 Relation entre a, et x: d a d a On multiplie chaque membre par d a d adx On intègre de chaque côté x x d adx a dx x x ( ) ( ) 0 0 a x x a( x x ) 0 0 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 8

29 Exemples d étude de mouement Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 9

30 Mouement dans l espace ou curiligne : Position d un point : On peut définir la position d un point dans l espace de deux manières - A : En repérant le point par rapport à un repère orthonormé x i z r 1 k r y j r 3 r 4 Le ecteur position s écrit : OM ( t) r ( t) Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 30

31 - B : En considérant un point sur la trajectoire pris comme origine MM 0 1 On parle d abscisse curiligne notée : s() t M M 0 1 La loi décriant s(t) en fonction du temps est appelée équation horaire Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 31

32 Vecteur déplacement : k z x i j y C est la distance pour aller du point M1 au point M. M1M OM ( t) r ( t) Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 3

33 Vecteur itesse d un point : Vecteur itesse moyenne : m x z k i y j MM 1 OM ( t) r ( t) t t t Le ecteur itesse moyenne est parallèle au ecteur déplacement Vecteur itesse instantanée : m Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B OM ( t) r ( t) dr lim lim t0 t t0 t 33

34 Construction géométrique de et m : On calcule la itesse instantanée à partir de la itesse moyenne m1 MM t 10 m MM t ' 3 9 m1 m3 MM t " 4 8 m m3 m4 m4 MM t ''' 5 7 Conclusion: la itesse instantanée à l instant t est assimilée à la itesse moyenne 34 entre deux instants t1 et t, tel que t est milieu de [t1, t] et t petit.

35 Vecteur accélération : Accélération moyenne : Elle caractérise la ariation du ecteur itesse am a m t t t 1 1 a le même sens et direction que Accélération instantanée : a ai lim t 0 t d On peut confondre l accélération instantanée et l accélération moyenne au milieu de l interalle de temps si est très petit. Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 35

36 Construction géométrique de aet a : On cherche l accélération à t7 =0.6 s (correspond au point 7) aec t= 0.1 s m m a 7 m t 8 6 t ( ) a m m 7 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 8 36

37 Étude de et a dans différents systèmes de coordonnées : Coordonnées cartésiennes : Vecteur position : OM xi yj zk x(t), y(t) et z(t) sont les équations paramétriques du mouement Vecteur itesse : Vitesse moyenne: OM r x y z m i j k mxi my j mzk t t t t t Vitesse instantanée: dom dr dx dy dz m i j k xi y j zk37

38 Vecteur accélération : Accélération moyenne : x y z am i j k amxi amy j amzk t t t t Accélération instantanée : d d d d x y z a i j k axi ay j azk Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 38

39 Coordonnées curilignes ou intrinsèques : u T Abscisse curiligne: u N OM s() t Vitesse : On définit deux ecteurs unitaires: u T: porté par la tangente à la trajectoire en M est orienté dans le sens positif: u : porté par la perpendiculaire à la trajectoire et dirigée ers l intérieur N ds u u Donc : T T u T Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B u N 39

40 Accélération : u T a u N N a T a d d( ut) d du a ut Or: d d a u u a u a u Donc: T N T T N N Aec: a T d et a N d dut d un T Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 40

41 r u N u T d ds Et donc: ds ds rd r d 1 ds r r d an r d Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 41

42 Coordonnées polaires : u y M j OM r () t O u r i Position: On repère le point M par la distance OM=r et l angle x OM rt () () t r(t) et (t) sont les équations paramétriques en coordonnées polaires On prend deux ecteurs noueaux unitaires ur et u OM r() t u r Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 4

43 Vitesse: Nous dérions le ecteur position dom d( r( t) ur) dr() t du ur r dur d u dr() t d ur r u Et comme : Alors : On décompose la itesse suiant les deux axes : u u r r r u y j OM r () t O u r i M r x Par identification on a : r dr et d r Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 43

44 Accélération: On dérie le ecteur itesse dr() t d d d( ur r u ) a a d r dr dur dr d d d du a u r u r u r Or on sait que : dur d u et du d u r a a u a u r r Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 44

45 d r dr d dr d d d d a u r u u r u r u r d r d dr d a r u d r r u On décompose l accélération suiant les deux axes: Par identification on a: a a u a u r r a r d r d r a dr d r d Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 45

46 Exemple: En coordonnées polaires le mouement d un mobile est décrit par les équations OM t rt () () t t 4 Dessiner les ecteurs position, itesse et accélération à t = 1s dr d t d r d Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 46

47 Vecteur position: À t = 1s OM (1 s) 1 r( t) 0.5 () t 4 m Echelle: 1 cm 0. m 1 cm 0.4 m/s 1 cm 0.7 m/s Vecteur itesse: dr r t r (1 s) 1 m / s d t (1) 0.39 m / s r 8 8 Vecteur accélération: d r d ar r dr d d a r t ar 1 3 ar 0.69 m / s t a 1.57 m / s a Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B y j OM r () t O a (1 s) i 4 a(1 s) (1 s) u M u r ar x (1 s) r (1 s) 47 (1 s)

48 Coordonnées cylindriques : P est la projection de P dans le plan xoy Vecteur position: Vecteur itesse: OM u zk y dom d( u zk ) x P' d d dz u u k u u k z Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 48

49 Vecteur accélération: d d d d dz a u u k d d d d d d z a u u k a a u a u a k z Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 49

50 Coordonnées sphériques : Vecteur position: x rsincos OM y r sinsin z rcos Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 50

51 Changement de repère ou mouement relatif: x x k j i x x ' k ' i x ' j ' ' x ' Vecteur position: OM OO ' O' M Dans R: OM xi yj zk Dans R : O ' M x ' i ' y ' j ' z ' k ' 51

52 Vecteur itesse: La itesse dans R est dite absolue et notée a = M/R La itesse dans R est dite relatie et notée r = M/R Vitesse absolue: Vitesse relatie : dom dx dy dz a i j k dx ' dy ' dz ' r i ' j ' k ' Calcul de la itesse : dom doo ' do ' M Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 5

53 doo ' do ' M doo ' d( x ' i ' y ' j ' z ' k ') d OO ' dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' i ' x ' j ' y ' k ' z ' dx ' dy ' dz ' d OO ' di ' dj ' dk ' i ' j ' k ' x' y ' z ' a r e M / R M / R' R / R' Vitesse d entrainement: doo ' di ' dj ' dk ' e x ' y ' z ' Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 53

54 Cas particuliers: * Si R décrit un mouement de translation donc les dériées des ecteurs unitaires sont nulles: di ' dj ' dk ' 0 doo ' e *Si R et R se déplacent à la même itesse : a r Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 54

55 Vecteur accélération: En dériant on obtient : a d d d a r e a a a a a a a a a r e c M / R M / R' R'/ R c Accélération absolue: Accélération relatie: Accélération entrainement: d OM d x d y d z aa i j k d x ' d y ' d z ' ar i ' j ' k ' d OO ' d i ' d j ' d k ' ae x ' y ' z ' Accélération Coriolis: a c dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 55

56 Cas particuliers: * Si R décrit un mouement de translation donc les dériées des ecteurs unitaires sont nulles: d OO ' ae et a 0 c Si en plus le mouement de R est uniforme alors : a 0 et a 0 a a e c a r Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 56