Mécanique : Cinématique du point. Chapitre 1 : Position. Vitesse. Accélération

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1 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 1 Mécanique : Cinéatique du point La écanique est le doaine de tout ce qui produit ou transet un ouveent, une force, une déforation : achines, oteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transission, pistons, etc.). La cinéatique étudie les ouveents des corps. Au preier chapitre, nous définirons les grandeurs physiques nécessaires à la description des ouveents. Au deuxièe chapitre, nous étudierons les ouveents rectilignes. Chapitre 1 : Position. Vitesse. Accélération 1. Référentiel. Repère a) Cinéatique du point La cinéatique est l étude du ouveent des corps. Nous ne considérerons que des corps de faibles diensions de sorte qu ils seront toujours assiilables à un point appelé le obile. Les grandeurs physiques de la cinéatique sont le teps, la position, la vitesse et l accélération. "Etudier le ouveent" veut dire : 1) Trouver l équation de la trajectoire du obile. 2) Trouver la relation athéatique (= équation) entre vitesse et teps. (Connaissant cette relation on peut calculer la vitesse du obile à n'iporte quel instant, ou bien l'instant correspondant à n'iporte quelle vitesse.) 3) Trouver la relation entre position et teps. (Connaissant cette relation on peut calculer la position du obile à n'iporte quel instant, ou bien l'instant correspondant à n'iporte quelle position.) 4) Trouver la relation entre vitesse et position. (Connaissant cette relation on peut calculer la vitesse du obile à n'iporte quelle position, ou bien la position pour n'iporte quelle vitesse.)

2 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 2 b) La description du ouveent n est pas la êe dans tous les référentiels La description d un ouveent se fait par rapport à un corps (ou un systèe de plusieurs corps iobiles les uns par rapport aux autres), choisi coe référence, appelé référentiel. Voici quelques référentiels couraent utilisés : Terre (avec tous les corps en repos par rapport à la Terre : salle de classe,...) ; asse d air en ouveent par rapport à la Terre ; train, voiture, avion en ouveent par rapport à la Terre ; systèe foré par le centre de la Terre et trois étoiles fixes (= référentiel géocentrique). Exeple Deux voyageurs A et B sont assis dans un wagon en ouveent. Le voyageur A observe B et conclut : B est iobile. Le chef de gare C se trouvant sur le quai où passe le train, observe B et conclut : B est en ouveent. Ces deux observations sont-elles contradictoires? Non, car elles sont faites dans deux référentiels différents : A fait ses observations dans le référentiel du wagon, C fait ses observations dans le référentiel lié à la Terre. Exeple La Tour Eiffel est iobile dans le référentiel terrestre, ais décrit un ouveent circulaire unifore dans le référentiel géocentrique. (Quel est le rayon de la trajectoire?) Pour décrire athéatiqueent les caractéristiques d un ouveent, un observateur utilise un repère (repérage de la position) et une horloge (esure du teps) liés au référentiel d observation. Un repère est déteriné par une origine O et par une base. Le plus souvent la base est orthonorée : le repère est alors appelé repère cartésien (O, i, j, k)! Les axes Ox et Oy perpendiculaires entre-eux, forent un plan. L axe Oz est perpendiculaire à ce plan. Souvent le ouveent se déroule dans un plan et un repère (O, i, j ) à 2 diensions définissant ce plan suffit. Si le ouveent est rectiligne, un seul axe Ox parallèle au ouveent suffit. Ce sera le cas des ouveents rectilignes étudiés au chapitre suivant.

3 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 3 c) Le teps (t) est une grandeur physique fondaentale Dans le doaine des sciences coe dans la vie courante, le teps intervient de deux anières : 1) La durée ou l intervalle de teps qui s écoule entre deux événeents. 2) La date ou l instant auquel un événeent a lieu. Pour exprier une date il est nécessaire de définir une origine des teps t 0 : il faut choisir un événeent et lui attribuer conventionnelleent la date zéro (t 0 = 0). Les événeents qui se sont produits avant l instant t 0 ont des dates t < 0. Les événeents qui se sont produits après l instant t 0 ont des dates t > 0. Toute durée est une différence de deux dates, et est donc indépendante de l origine des teps! Si deux événeents se produisent à des instants t 1 et t 2 > t 1, alors l intervalle de teps (ou la durée) entre ces événeents est t 2 t 1 > 0. Le teps est esuré à l aide d horloges. On utilise coe horloges, soit des phénoènes naturels, soit des événeents artificiels qui se reproduisent régulièreent, à des intervalles de teps successifs égaux. Tels sont l alternance du jour et de la nuit, le ouveent du balancier d une pendule ou d une ontre, l oscillation électrique dans un cristal de quartz (ontres électroniques). L horloge est d autant plus précise que le phénoène utilisé est plus régulier. L unité S.I. (Systèe International d unités) du teps est la seconde (s). A condition que la vitesse du référentiel soit largeent inférieur à la vitesse de la luière (v < 0,1c), l écouleent du teps se fait de la êe façon quel que soit le choix du référentiel et du repère. (Point de vue de la physique classique ) Exeple Deux cyclistes A et B roulent côte à côte à la vitesse de 30 k/h. Subiteent A accélère et B constate qu au bout de 3 s, A a pris une avance de 10. Un piéton C au bord de la route et ayant tout observé conclut de êe que B, qu il a fallu 3 s pour que A prenne une avance de 10 sur B. La durée entre les deux événeents A coence à accélérer et A a une avance de 10 vaut 3 s aussi bien dans le référentiel de B que dans celui de C.

4 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 4 d) La trajectoire du point dépend du référentiel La trajectoire est l'enseble des positions successives occupées par le obile M lors de son ouveent. Elle est représentée par une courbe dans l espace. Coe toute courbe, la trajectoire est déterinée, dans un repère donné, par son équation athéatique. La fore de la trajectoire dépend du référentiel choisi. 2. Position d un obile a) Vecteur position et coordonnées cartésiennes Soit M le obile et (O, i, j, k) le repère choisi. La position de M à chaque instant est repérée par les coordonnées (ou coposantes) x, y, z du vecteur position OM Mathéatiqueent : OM xi yj zk et OM x y z Si le repère est orthonoré x, y, z sont appelés coordonnées cartésiennes du point M. S il y a ouveent les coordonnées x, y, z varient dans le teps. Les fonctions x = f(t), y = g(t) et z = h(t) sont appelées équations horaires du ouveent. Le ouveent d un point M est parfaiteent connu si on connaît ces équations horaires! Exeple : Sachant que x = 2t, y = 4t 2 +3, z = 0, on peut calculer la position de M pour tout instant t.

5 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 5 b) Abscisse curviligne Si la trajectoire d un obile M est connue, on peut l orienter et choisir un point origine O. La valeur algébrique de l arc OM est l abscisse curviligne s du point M. * s > 0 si en allant de O à M on se déplace dans le sens de l orientation. * s < 0 si en allant de O à M on se déplace dans le sens inverse de l orientation. Le bon sens ipose qu on oriente la trajectoire dans le sens du ouveent. Le déplaceent (positif) d un obile se trouvant initialeent en M 1 (abscisse curviligne s 1 ) à l instant t 1 et arrivant en M 2 (abscisse curviligne s 2 ) à l instant t 2, est évideent : s est indépendant de l origine O! s s2 s1 Exeple Sur une carte routière, la «distance» entre deux villes ne représente en fait rien d autre que l abscisse curviligne d une ville avec l origine placée sur l autre ville. Attention : Ces «distances routières» ne correspondent pas du tout aux distances au sens athéatique (en ligne droite). Ainsi, si la cathédrale de Luxebourg sert d origine O, l église de Bertrange se situe à une abscisse curviligne s = 7 k suivant le chein routier le plus court. La distance au sens athéatique entre ces deux points par contre ne vaut que 5 k. Un piéton situé sur la trajectoire à s = 5,5 k doit se déplacer de s = 1,5 k pour gagner l église de Bertrange (en suivant la trajectoire préalableent fixée). S il y a ouveent s varie au cours du teps. La relation s = f(t) est appelée équation horaire du ouveent. Elle déterine coplèteent le ouveent de M. Exeple Connaissant la trajectoire, le sens + et l origine O, et sachant que s = t on détient toutes les inforations au sujet de ce ouveent! Rearque On note usuelleent par x la différence «valeur finale de la grandeur x» oins «valeur initiale de la grandeur x» : x = x final x initial Ainsi s < 0 si le ouveent se fait dans le sens négatif de la trajectoire! Si l on veut que le déplaceent soit positif, on n a qu à prendre la valeur absolue de s!

6 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 6 3. Vitesse d un obile La rapidité avec laquelle un obile change de position est indiquée par sa vitesse. On distingue vitesse oyenne et vitesse instantanée. a) Vitesse oyenne v Tout le onde sait que la vitesse oyenne est le déplaceent (positif) divisé par la durée. Si un obile passe par un point M 1 (abscisse curviligne s 1 ) à l instant t 1 et par un pointm 2 (abscisse curviligne s 2 ) à l instant t 2 > t 1, la vitesse oyenne au cours du déplaceent de M 1 vers M 2 s écrit : s2 s1 s v 0 (forule à retenir) t t t 2 1 b) Vecteur vitesse oyenne v Soient M 1 la position du obile à l instant t 1 et M 2 celle à l instant t 2 > t 1. Définitions Vecteur déplaceent : M1M2 M1M 2 Vecteur vitesse oyenne : v t 2 t1 Sur la figure on voit que : M1M 2 OM2 OM1 OM Coe t 2 t 1 = t, on a finaleent : OM v t Rearque Nous n utiliserons jaais le vecteur vitesse oyenne. Il ne nous sert qu à introduire le vecteur vitesse instantanée!

7 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 7 c) Vitesse instantanée v La vitesse instantanée est la vitesse du obile à un instant! Si au cours d un intervalle de teps t = t 2 t 1, la vitesse ne varie pas d un instant à l autre, c.àd., qu elle est constante, il est évident que pour cet intervalle de teps, la vitesse instantanée à chaque instant est égale à la vitesse oyenne si v constant alors v = v Si par contre, la vitesse varie d un instant à l autre (cas général), la vitesse instantanée s obtient en réduisant l intervalle de teps t autant, pour qu on puisse adettre que la vitesse ne varie plus au cours de cet intervalle de teps. Ceci veut dire que la vitesse instantanée est égale à la vitesse oyenne au cours d un intervalle de teps très petit. Le déplaceent ayant lieu au cours d'une durée très petite, est égaleent très petit. s petit v 0 t petit Pour indiquer que l intervalle de teps est extrêeent petit, il n est plus noté t ais dt. De êe, le déplaceent petit, et est noté ds. ds dt s ayant lieu au cours de la durée dt très petite, est égaleent très d) Vecteur vitesse instantanée v Le vecteur vitesse instantanée v s exprie par la relation : * Direction et sens de v OM v t petit petit dom dt Lorsque t devient très petit, t 2 tend vers t 1, et M 2 tend vers M 1. La nore du vecteur déplaceent tend vers zéro, et sa direction tend vers la tangente à la trajectoire au point M 1. Son sens reste orienté de M 1 vers M 2 = sens du ouveent. Le vecteur vitesse instantanée v est à chaque instant tangent à la trajectoire. Son sens est celui du ouveent.

8 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 8 * Intensité (nore, odule) de v Elle est notée v et indique la valeur de la vitesse instantanée. Dans le cas du ouveent unifore v = v. L unité S. I. de la vitesse est le /s. 1 /s = 3,6 k/h v ds dt En général lorsqu'il y a ouveent, v varie dans le teps. Cette variation s exprie athéatiqueent par la fonction v(t). Exeple : v(t) = 3t+5. Cela veut dire que v augente de 3 /s chaque seconde, et qu à l origine des teps la vitesse fut 5 /s. d) Coordonnées du vecteur vitesse instantanée Dans la base (O, i, j, k), v s exprie par : v v i v j v k. x y z L intensité v est donnée par la relation de Pythagore : v Mouveent plan : v v i v j et v x y 2 2 v x v y v 2 x v 2 y v 2 z Dans l exeple de la figure : v x > 0 et v y < 0 Exeple : v x = 4 /s et v y = -3 /s, alors v = 5 /s.

9 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 9 4. Accélération Lorsque la vitesse v d un obile varie, on aierait connaître la rapidité avec laquelle elle varie. C est justeent l accélération a du obile qui coporte cette inforation! L accélération a (= vecteur accélération) indique de cobien la vitesse v (= le vecteur vitesse) varie en 1 seconde. Attention : v peut varier en intensité et en direction! Une forte accélération a (forte intensité du vecteur accélération) signifie que la vitesse varie vite. Une faible accélération signifie qu elle varie lenteent. L accélération a indique donc la rapidité de variation de la vitesse v. Exeples * Mouveent rectiligne unifore v ne varie pas a = 0 * Mouveent unifore ais non rectiligne v varie en direction; par contre v (intensité de v ) reste constant a 0 * Mouveent rectiligne ais non unifore v varie; par contre la direction de On distingue l accélération oyenne a instantanée a à un instant donné. a) Accélération oyenne * Le obile M devient de plus en plus rapide v reste constante a 0 au cours d un intervalle de teps t, et l accélération A l instant t 1, le obile se trouve en M 1 avec la vitesse v 1.

10 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 10 A l instant t 2, le obile se trouve en M 2 avec la vitesse v 2. Au cours de l'intervalle de teps t = t 2 t 1, la vitesse varie de v v2 v1, et l'accélération oyenne a vaut : v a (forule à retenir) t a est appliqué au point où le obile se trouve à l'instant t égal au ilieu de l intervalle t. t t1 t 2 On a : t t On voit que l'angle que fait a avec la vitesse au point M est un angle aigu. L intensité de a, notée a, est égale à l intensité de v divisée par t. Rearque En physique, l intensité d'un vecteur u est généraleent noté u. En athéatiques, l intensité d'un vecteur u (= nore de u ) est notée u. Dans notre cas, v = v 2 v 1 (différence des intensités!) est différent de l intensité de v (voir figures!). Par conséquent, l intensité de v doit être notée exceptionnelleent v. L intensité de a s écrit alors : a v t (forule à retenir) * Le obile M devient de plus en plus lent Les forules sont exacteent les êes. On voit que l'angle que fait a point M est un angle obtus. avec la vitesse au

11 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 11 b) Accélération instantanée L'accélération instantanée a du obile s'obtient en réduisant l'intervalle de teps t telleent que l'accélération ne puisse plus varier. L'accélération instantanée a est donc égale à l'accélération oyenne a au cours d'un intervalle de teps très petit, noté dt. La très faible variation de la vitesse v est notée d v. dv a dt Si l'accélération a est constante (approxiation très fréquente), alors v a et l'intensité de a v est : a t t a a. 5. Notations et vocabulaire Un vecteur est noté avec une petite flèche. Le vecteur vitesse par exeple est noté : v. L intensité du vecteur est notée sans flèche. L intensité du vecteur v est notée v. Les teres intensité, odule et nore d un vecteur sont équivalents. L intensité d un vecteur est un nobre stricteent positif. Les coposantes ou coordonnées d un vecteur sont notées avec les indices x, y, et z. Celles du vecteur v par exeple sont notées v x, v y, v z. Elles sont les projections du vecteur sur chaque axe. Ce sont des nobres algébriques (donc positifs ou négatifs)! Les très petites différences ne sont plus notées par ais par d.ainsi la variation très petite de la grandeur t est notée dt et non plus t.

12 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 12 Petites questions de copréhension 1 Trouver des corps dont le ouveent est étudié avantageuseent dans les différents exeples de référentiels énuérés à la page 1. 2 Donner les origines des teps couraent utilisées pour indiquer : les dates historiques les instants des buts en football les instants des interventions techniques lors du décollage d une fusée les instants auxquelles on réalise des esures lors d'une expérience scientifique. 3 Quelle est la fore de la trajectoire d un point de la roue d une bicyclette, dans chacun des référentiels suivants : observateur au repos au bord de la route; cycliste; roue? 4 Dans le repère (O, i, j, k) la position d un point M est définie à chaque instant par : x = 2t, y = 4t 2 +3, z = 0 Donner les positions respectives du point M aux instants 0 s, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s. En déduire l équation de la trajectoire y = f(x) suivie par M. 5 Convertir 60 k/h en /s! Convertir 20 /s en k/h 6 Calculer la nore du vecteur vitesse instantanée sachant que ses coordonnées sont : v x = 3,5 /s, v y = -6,2 /s, v z = 0 7 Pour les 2 exeples suivants, déteriner à l aide d une figure le vecteur variation de vitesse v, puis le vecteur accélération oyenne a. (Faire une figure précise : se donner une échelle pour les vecteurs vitesse, ainsi qu une échelle pour le vecteur accélération.) Calculer ensuite l intensité de a. a) Une voiture accélère sur une route rectiligne de 30 k/h à 90 k/h en 8 s. b) Une oto prend un virage de rayon 50 et de 30 à la vitesse constante de 80 k/h. (Les données perettent de calculer la durée du virage.) c) La direction de vol d'un oiseau change de 90 en 4 s. En êe teps sa vitesse a passé de 5 /s à 10 /s.