Équations générales des milieux continus

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Équations générales des milieux continus"

Transcription

1 Équations générales des ilieux continus Jean Garrigues 1 ai 212

2 ii

3 Avant-propos L objectif de ce cours est d établir les équations générales régissant tous les ilieux continus, qu ils soient solides ou fluides. Les développeents qui suivent se placent dans le cadre de la physique classique (non relativiste et non quantique). Les équations générales des ilieux continus sont donc les conséquences des quatre principes fondaentaux de la physique classique 1 : 1. le principe de la conservation de la asse ; 2. le principe fondaental de la écanique ; 3. le preier principe de la therodynaique, encore appelé principe de la conservation de l énergie ; 4. le second principe de la therodynaique. En ce qui concerne le principe fondaental de la écanique, l auteur a choisi résoluent de conserver le principe fondaental de Newton, c est-à-dire celui qui est généraleent posé dans les cours de écanique générale éléentaires. Ce choix est un choix pédagogique : plutôt de coencer la écanique des ilieux continus par l énoncé d un nouveau principe fondaental (le principe des travaux virtuels ou des puissances virtuelles 2 ), il seble préférable à l auteur de se baser sur les connaissances classiques acquises en écanique générale. Les connaissances préalables de écanique générale nécessaires à la lecture de ce cours se résuent aux trois théorèes généraux pour des ensebles de points atériels (finis ou non) : 1. le théorèe de la résultante dynaique ; 2. le théorèe du oent dynaique ; 3. le théorèe de la puissance cinétique (dérivée teporelle de l énergie cinétique). La lecture de ce cours suppose aussi une aîtrise suffisante de l algèbre et de l analyse tensorielle 3 ainsi que de la cinéatique des ilieux continus 4. Dans la esure du possible, on respectera les conventions typographiques suivantes : les nobres réels sont en inuscules italiques (exeple : a,µ); les vecteurs sont en inuscules italiques grasses (exeple : v); les tenseurs sont en ajuscules italiques grasses (exeple : T ); les teres d une atrice sont rangés dans un tableau entre crochets, à deux indices, l indice de gauche est l indice de ligne, et l indice de droite est l indice de colonne : [ ] = [ i j ] la transposition des atrices est notée avec un T en exposant (exeple : M T ); les espaces d entités athéatiques sont en ajuscules doublées (exeples : l espace des réels : R, l espace des vecteurs de diension 3 : V 3 ). le produit vectoriel de deux vecteurs de V 3 est noté. 1. En fait, on peut déontrer que si le principe de la conservation de l énergie est universel et si les grandeurs calorifiques scalaires ou vectorielles sont objectives, les deux preiers principes (asse et écanique) en sont des conséquences (voir l article 2. Dans ce cours, ils apparaîtont donc coe des théorèes. 3. L auteur propose un autre cours intitulé Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus. 4. L auteur propose un autre cours intitulé Cinéatique des ilieux continus. iii

4 iv

5 Chapitre 1 Concepts fondaentaux Avant d aborder l écriture des principes fondaentaux et leurs conséquences pour les ilieux continus, il est nécessaire d introduire des concepts indispensables à la bonne copréhension des chapitres suivants. 1.1 Les doaines de ilieux continus Dans l étude des ilieux continus, on applique les principes fondaentaux à des doaines de ilieux continus. Coe on va le voir, on peut définir deux sortes de doaines. Dans la littérature spécialisée, les auteurs ne précisent pas toujours quelle est la définition de ce qu ils appellent doaine de ilieu continu, et cette iprécision est à l origine de nobreux alentendus. On consacre cette section à en donner des définitions rigoureuses Doaine atériel DÉFINITION : Un doaine atériel est défini par l enseble des particules (a priori en ouveent) qui le constituent. Si une particule appartient au doaine atériel à un instant t, elle lui appartient donc à tout instant. REMARQUE : Étant défini par les particules qui le constituent, un doaine atériel a la êe définition pour tous les observateurs 1. Un doaine atériel se déplace et se défore en raison du ouveent de ses particules 2. Quand on considère un doaine atériel, on dit souvent que «l on suit le doaine dans son ouveent». Il n y a donc pas de atière qui traverse la frontière obile. Le doaine atériel étant en ouveent, l enseble des positions actuelles de ses particules définit une région de l espace qui change à chaque instant. NOTATIONS : un doaine atériel sera notéd (c est un enseble de particules); le doaine de l espace qu il occupe à l instant t sera notéd t ; sa frontière à l instant t sera notée D t. VOCABULAIRE : En therodynaique, les doaines atériels sont appelés systèes ferés Iaginer que l on a peint en rouge toutes les particules du doaine atériel. 2. Ce ouveent est différent pour chaque observateur. 3. Avec parfois une petite nuance : les therodynaiciens supposent parfois ipliciteent que la frontière étanche à la atière est fixe. Nous ne ferons évideent pas cette restriction. 1

6 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX Doaine géoétrique DÉFINITION : Un doaine géoétrique est défini par l enseble des points géoétriques dee 3 qui le constituent. Coe pour tout doaine, la frontière d un doaine géoétrique est une surface ferée. Quand le ilieu continu est en ouveent, les particules qui sont dans le doaine géoétrique à un instant t ne sont pas les êes que celles qui s y trouvent à un instant t. On dit que le doaine géoétrique est «traversé par le ilieu continu». Il y a donc des particules qui traversent la frontière (ou une partie de frontière), en entrant ou en sortant du doaine géoétrique. Dans ce cours, les frontières des doaines géoétriques seront considérées a priori coe obiles pour l observateur choisi, ais le ouveent de ses frontières est sans rapport avec celui des particules qui s y trouvent. REMARQUE : Un doaine géoétrique étant défini par des points dee 3, chaque observateur attribue une position et un ouveent différent aux points de sa frontière. Toutefois, puisque tous les observateurs attribuent la êe distance à tout couple de points géoétriques(m 1,M 2 ), la fore du doaine géoétrique à un instant donné est la êe pour tous les observateurs. NOTATIONS : Un doaine géoétrique sera notéd g (c est une région de l espacee 3 déliité par une frontière); Le doaine de l espace qu il occupe à l instant t sera notéd g t ; Sa frontière (a priori obile) à l instant t sera notée D g t. VOCABULAIRE : En therodynaique, les doaines géoétriques sont appelés systèes ouverts. En écanique des fluides, ils sont souvent aussi appelés volues de contrôle Coparaison entre les deux types de doaines Les deux types de doaines on chacun leur intérêt : Les doaines atériels sont les préférés des écaniciens des solides déforables. En effet, leur sujet d étude est le coporteent d un objet déforable toujours constitué des êes particules : les particules de l objet déforable. Les doaines géoétriques sont les préférés des écaniciens des fluides. En effet, en écanique des fluides (liquides ou gaz), on ne se préoccupe que de l évolution des grandeurs physiques des particules qui sont à l intérieur du doaine géoétrique à un certain instant, plutôt que de se préoccuper de l histoire individuelle des particules, notaent lorsqu elles sont hors du doaine géoétrique. REMARQUE : Les écaniciens des fluides qui n envisagent que des doaines géoétriques supposent souvent ipliciteent (et parfois un peu trop vite) que ces doaines géoétriques ont des frontières fixes. Il n est pas toujours possible de trouver un observateur pour lequel le doaine géoétrique est fixe. Par exeple, si on considère le doaine géoétrique défini coe l espace à l intérieur d une turboachine, il y a des parties de frontières qui sont obiles (les aubages qui tournent) par rapport à d autres parties de frontières (les parois) et il n est pas possible de trouver un observateur pour lequel toutes les frontières du doaine géoétrique sont fixes. C est pourquoi dans la suite, pour ne pas restreindre la généralité des équations, les frontières d un doaine géoétriques seront a priori considérées coe obiles (ais le ouveent des frontières est sans rapport avec celui des particules du ilieu continu). 4. En therodynaique coe en écanique des fluides, il est parfois sous-entendu que les frontières d un doaine géoétrique sont fixes (pour un certain observateur). 2

7 1.2. Grandeurs physiques extensives 1.2 Grandeurs physiques extensives DÉFINITION : On dit qu une grandeur physique globale A (scalaire, vectorielle ou tensorielle) évaluée pour un doained (atériel ou géoétrique) est extensive si sa valeur pour le doained est la soe des valeurs dea pour tous les sous-doaines d une partition quelconque ded : { } n A extensive et D = n i=1 D i et D i D j = / (i j) A(D)= A(D i ) Dans ces conditions, on peut affirer 5 qu il existe un chap défini dans le doained, appelé densité voluique dea et notéa v (M) tel que : A(D)= A v (M) dv D Toutes les grandeurs physiques ne sont pas extensives. Les grandeurs physiques non extensives sont dites intensives. i=1 EXEMPLES : Le volue (scalaire), la asse (scalaire), l énergie cinétique (scalaire), la quantité de ouveent (vecteur) sont des grandeurs extensives. La tepérature (scalaire), la pression (scalaire), la déforation (tenseur d ordre 2) sont des grandeurs intensives Application à un doaine atériel Puisque dans un doaine atériel, les particules qu il contient sont toujours les êes, on peut identifier ses particules indifféreent par la éthode de Lagrange (par leur position de référence) ou par la éthode d Euler (par leur position actuelle). La position de référence du doaine atériel sera notéed. SiA est une grandeur extensive, sa valeur actuelle pour le doaine atérield peut s écrire de deux anières : A(D,t)= A v E(x t,t) dv t = A v L(x,t)K vl (x,t) dv (1.1) D où K v est la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd 6. Le tere K vl (x,t) est sa description de Lagrange. PRÉCISIONS : Pour passer de l intégrale sur le doaine actuel à l intégrale sur le doaine de référenced, on effectue le changeent de variable x t = f(x,t), où f est la description de Lagrange du ouveent 7. On a donc : A v E (x t,t)=a v E ( f(x,t),t)=a v L (x (,t) =A v (P,t) ) et dv t = K v dv Application à un doaine géoétrique Contraireent aux doaines atériels, on ne peut identifier les particules qui sont actuelleent dans un doaine géoétrique que par la éthode d Euler, car ce sont les valeurs dea v pour les particules qui sont actuelleent dans le doaine qui sont l objet de l intégration (elles ne sont peut-être plus dans le doaine D g t à un autre instant). En conséquence, la valeur actuelle de la grandeur extensivea(d g,t) s écrira exclusiveent avec une description d Euler du chapa v : A(D g,t)= A v E(x t,t) dv t (1.2) g 5. Théorèe de Radon en théorie de la esure. 6. Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section Voir Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section 2.2 et 2.4 3

8 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX 1.3 Rappel : dérivées teporelles d intégrales à bord variables Que les doaines envisagés soient atériels ou géoétriques, on aura besoin, dans les chapitres qui suivent, d écrire la dérivée teporelle d intégrales sur ces doaines. Les frontières du doaine d intégration sont a priori variables avec le teps. La variation teporelle d une intégrale de volue dont le doaine d intégration varie avec le teps est due à la fois à la variation teporelle de l intégrande et à la variation teporelle du doaine d intégration. On rappelle le résultat athéatique suivant 8 : où : d A v (x,t) dv t = dt t A v (x,t) dv t + A v (x,t)(v f n t ) ds t (1.3) A v (x,t) est un chap défini dans une portion l espacee 3 contenant tous les doaines ( t appartenant à l intervalle d étude [t 1,t 2 ]) ; v f est la vitesse des points de la frontière du doaine d intégration ; n t est la norale unitaire extérieure actuelle à la frontière. 1.4 Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine atériel SoitA une grandeur extensive dont la densité voluique esta v (P,t). Si le chapa v est décrit par la éthode d Euler La valeur actuelle de la grandeur extensive pour le doaine atérield est : A(D,t)= A v E(x t,t) dv t (voir (1.1) page 3) D t Le doaine d intégration est variable avec le teps. Le doaine étant atériel, la vitesse d un point de la frontière du doaine d intégration est la vitesse de la particule qui s y trouve, on a donc : v f = v(p,t). En vertu du théorèe (1.3), la dérivée teporelle dea(d,t) s écrit donc : d dt A(D,t)= t A v E(x t,t) dv t + A v E(x t,t)(v E (x t,t) n t ) ds t (1.4) Le chap v E (x t,t) étant défini dans tout le doaine d intégration, on peut utiliser le théorèe de la divergence 9 pour transforer l intégrale de frontière ) en une intégrale de) volue. En rearquant que :A v E (x t,t) (v E (x t,t) n t =( A v E (x t,t) v E (x t,t) n t, il vient : D t A v E(x t,t)(v E (x t,t) n) ds t = ) div( A v E(x t,t) v E (x t,t) dv On obtient ainsi une seconde expression de la dérivée teporelle dea(d,t) : d dt A(D,t)= (sia est scalaire, est un produit siple) ( t A v E(x t,t)+div ( A v E(x t,t) v E (x t,t) )) dv t (1.5) 8. Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section 3.8 4

9 1.4. Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine atériel En développant la divergence 1, on obtient une troisièe expression de la dérivée teporelle dea(d,t) : d dt A(D,t)= d dt A(D,t)= D t D t ( t A ) v E(x t,t)+grad E A v (x t,t) v E (x t,t)+div E v(x t,t)a v (x t,t) dv t (ȦA v E(x t,t)+d ve (x t,t)a v (x t,t)) dv t (définition de la dérivée particulaire) (1.6) où : ȦA v E est la description d Euler de la dérivée particulaire 11 de la densité voluiquea v ; d ve = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Si le chapa v est décrit par la éthode de Lagrange La valeur actuelle de la grandeur extensive pour le doaine atérield est : A(D,t)= A v L(x,t)K vl (x,t)dv (voir (1.1) page 3) D où K vl est la description de Lagrange de la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd. Le doaine d intégrationd est, par définition, indépendant du teps. La vitesse des points de la frontière du doaine d intégration est donc nulle (v f = ). En vertu du théorèe (1.3) page 4, la dérivée teporelle dea(d,t) est donc : d dt A(D,t)= = = d dt A(D,t)= D D D D t ( A v L(x,t)K vl (x,t)) dv (d après (1.3) page 4) (1.7) d ( A v dt L(x,t)K vl (x,t)) dv (x ne dépend pas de t) (ȦA v L(x,t)+A v d dt L(x,t) K vl(x,t)) K vl (x,t)dv K vl (x,t) (ȦA v L(x,t)+A v L(x,t)d vl (x,t)) K vl (x,t)dv (1.8) où : ȦA v L est la description de Lagrange de la dérivée particulaire de la densité voluiquea v ; K vl est la description de Lagrange de la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd ; d vl = K v actuel. K v = K vl K vl = K ve K ve = TrD=div E v est la description de Lagrange du taux de dilatation voluique Les trois équations (1.4) page 4, (1.5) page 4 et (1.6) page 5 (avec des descriptions d Euler), ainsi que les deux équations (1.7) et (1.8) (avec des descriptions de Lagrange) sont toutes des expressions équivalentes de la dérivée teporelle dea(d,t) sur un doaine atériel quanda est une grandeur extensive. On peut les utiliser indifféreent, selon les teres que l on a envie de voir apparaître. 1. Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section 2.7 5

10 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX 1.5 Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine géoétrique SoitA une grandeur extensive dont la densité voluique esta v (P,t). Dans un doaine géoétrique (de frontière a priori variable avec le teps), la seule anière de décrire les grandeurs des particules qui s y trouvent est la éthode d Euler : A(D g,t)= A v E(x t,t) dv t (voir (1.2) page 3) g Le doaine d intégrationd g t est a priori variable avec le teps, ais contraireent au doaines atériels, la vitesse des points de la frontière est sans rapport avec la vitesse des particules du ilieu continu qui s y trouvent. En vertu du théorèe (1.3) page 4, la dérivée teporelle dea(d,t) s écrit donc : d dt A(D g,t) dv t = g t A v E(x t,t) dv t + A v E(x t,t)(v f n t ) ds t (voir (1.3) page 4) (1.9) g REMARQUE : S il existe un observateur pour lequel toute la frontière du doaine géoétrique est fixe, alors v f = et, pour cet observateur, l intégrale de bord disparaît. On obtient une seconde expression de la dérivée teporelle dea(d g,t) en notant que le théorèe de la divergence iplique : D g t ) div( A v E(x t,t) v E (x t,t) dv t = A v E(x t,t)(v E (x t,t) n t ) ds t g (sia est scalaire, est un produit siple) En ajoutant le tere de gauche et en retranchant le tere de droite de cette équation à l équation (1.9), il vient : où : d dt A(D g,t) dv t = g t A ( v E(x t,t)+div A v E(x t,t) v E (x t,t)) } {{ } τ dv t + A v E(x t,t)(v f v E ) n t ds t } g {{ } Φ (1.1) le tere τ est appelé taux 12 de production voluique dea (unité : [A ]. 3.s 1 ) ; le tere g τ dv t est appelé taux de production interne dea (unité : [A ].s 1 ) ; le tere Φ est appelé flux entrant 13 dea à travers la frontière (unité : [A ].s 1 ). La nouvelle expression (1.1) de la dérivée teporelle dea(d g,t) est souvent appelée équation de bilan de la grandeur extensivea pour le doaine géoétriqued g. On interprète cette équation en disant que la variation teporelle de la grandeur extensive A dans le doaine géoétriqued g est due à la production interne dea à l intérieur du doaine géoétrique et au flux entrant dea à travers la frontière. En développant la divergence dans l expression de τ, on obtient une troisièe expression de la dérivée 12. Attention, ici le ot «taux» signifie ici une dérivée teporelle siple et non une dérivée teporelle logarithique coe on l a vu dans d autres contextes. Ces dénoinations, consacrées par l usage, peuvent induire en erreur. 13. Certains auteurs appellent «flux» l intégrande de Φ. Son unité est alors : [A ]. 2.s 1. 6

11 1.6. Rappel : lee fondaental teporelle dea(d g,t) : d dt A(D g,t) dv t = g d dt A(D g,t) dv t = g t A ) v E(x t,t)+grad E A v (x t,t) v E (x t,t)+div E v(x t,t)a v E(x t,t) dv t + A v E(x t,t)(v f v E (x t,t)) n t ds t (ȦA ) v E(x t,t)+d ve (x t,t)a v E(x t,t) } {{ } τ D g t dv t + A v E(x t,t)(v f v E (x t,t)) n t ds t } g {{ } Φ (1.11) où d ve = K v K v = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Les équations (1.9), (1.1) et (1.11) sont toutes des expressions équivalentes de la dérivée teporelle de A(D g,t) sur un doaine géoétrique quanda est une grandeur extensive. On peut les utiliser indifféreent, selon les teres que l on a envie de voir apparaître. 1.6 Rappel : lee fondaental THÉORÈME : SoitA(M) un chap (scalaire, vectoriel ou tensoriel) défini danse 3 et soit un doaine D E 3. On a l équivalence suivante : D A(M) dv= MA(M)= (1.12) D Autreent dit : si l intégrale d un chap est nulle quel que soit son doaine d intégration, alors le chap est nul. Ce lee (la déonstration est donnée en annexe A.1 page 69) sera systéatiqueent utilisé dans les chapitres qui suivent pour déduire les expressions locales des principes fondaentaux. 1.7 Convention de notation Pour alléger les écritures, on convient de ne plus faire figurer dans la suite du cours les arguents des descriptions d Euler et de Lagrange. Il est sous entendu que la description de Lagrange d un chap pour un certain observateurr a pour arguents (x,t) et que sa description d Euler a pour arguents (x t,t). 1.8 En bref... Pour appliquer les principes fondaentaux de la physique classique, on raisonne sur deux sortes de doaines : les doaines atériels et les doaines géoétriques. Ces doaines ont en général des frontières (ou des parties de frontières) variables avec le teps. Les grandeurs physiques extensives perettent de définir des chaps de densités voluiques de ces grandeurs, qui peuvent être décrits par la éthode de Lagrange (seuleent pour les doaines atériels) ou par la éthode d Euler (pour les doaines atériels ou géoétriques). 7

12 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX Suivant le type de doaine (atériel ou géoétrique) et suivant le ode de description (Lagrange ou Euler) du chap de densité voluiquea v, les dérivées teporelles d une grandeur extensivea(d,t), définie sur un doaine s écrivent sous différentes fores : sur un doaine atérield (description d Euler ou de Lagrange): d dt A(D,t)= d dt A v E dv t = = D t D t = d dt A(D,t)= d A v dt D L K vl dv = D t A v E dv t + A v E(v E n t ) ds t (1.13) ( t A ) v E+ div(a v E v E ) dv t (1.14) } {{ } τ E (ȦA v E+ d ve A v E } {{ } τ E ) dv t (1.15) (ȦA v L+ d vl A v L } {{ } τ L )K vl dv (1.16) où sur un doaine géoétriqued g (description d Euler uniqueent): d dt A(D g,t)= d dt g A v E dv t = = D g t D g t = g t A v E dv t + A v E(v f n t ) ds t (1.17) g ( t A ) v E+ div(a v E v E ) dv t + A v E(v f v E ) n t ds t } {{ } } g {{ } τ E Φ (1.18) ) dv t + τ E (ȦA v E+ d ve A v E } {{ } A v E(v f v E ) n t ds t } g {{ } Φ (1.19) v f est la vitesse d un point de la frontière d un doaine géoétrique ; K v est la dilatation voluique actuelle (dans une déforation dont l état de référence estd ) ; d v est le taux de dilatation voluique actuel ; τ est le taux de production voluique dea à l intérieur du doaine (atériel ou géoétrique) ; Φ est le flux dea entrant dans le doaine géoétrique à travers les fontières (convection). Il est nul pour les doaines atériels. 8

13 Chapitre 2 Conservation de la asse 2.1 Concept de asse en écanique des ilieux continus La asse est une esure de la quantité de atière. Par principe, la asse d un doaine est une grandeur scalaire (un tenseur d ordre ), extensive (la asse d un doaine est la soe des asses d une de ses partitions) et objective (sa valeur est la êe pour tous les observateurs). Dans le cadre d un odèle continu de la atière se trouvant dans un doaine, l extensivité peret d affirer l existence dans ce doaine d un chap de densité voluique de asse appelé asse voluique actuelle, traditionnelleent notée ρ 1. La asse d un doaine atérield, de position de référenced et de position actuelled t peut s écrire avec une description de Lagrange ou une description d Euler des asses voluiques (voir (1.1) page 3, aveca = eta v = ρ scalaires) : (D,t)= = D t D ρ E (x t,t) dv t = ρ E dv t ρ L (x,t)k vl dv = ρ L K vl dv D où K v est la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd, et K vl est sa description de Lagrange. La asse d un doaine géoétriqued g s écrit uniqueent avec une description d Euler du chap des asses voluiques (voir (1.2) page 3, aveca = M eta v = ρ scalaires): (D g,t)= ρ E (x t,t) dv t = ρ E dv t g g 2.2 Principe de la conservation de la asse Une des anières d exprier le principe de la conservation de la asse est le suivant 2 : PRINCIPE : La asse de tout doaine atériel est invariante dans le teps. 1. On devrait la noter v t ou ρ t 2. On peut exprier le principe de la conservation de la asse de différentes anières. Celle choisie ici, expriée pour un doaine atériel, seble la plus intuitive à l auteur. D autres préfèrent l exprier avec un doaine géoétrique, en disant que la production de asse y est nulle (voir (1.1) page 6). Dans ce cours, l expression du principe sur un doaine géoétrique devient un théorèe. 9

14 2. CONSERVATION DE LA MASSE Si le chap des asses voluiques du doaine atériel est décrit par la éthode d Euler, le principe de la conservation de la asse pour un doaine atérield s écrit : où : = d dt (D,t)= d ρ E dv t (voir (1.1) page 3) dt ( ρe ) = + div E (ρv) dv t (voir (1.14) page 8) (2.1) t = ( ρ E + ρ E d ve ) dv t (voir (1.15) page 8) (2.2) D t ρ E est la description d Euler de la dérivée particulaire de la asse voluique actuelle ; d ve = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Si le chap des asses voluiques du doaine atériel est décrit par la éthode de Lagrange, le principe de la conservation de la asse pour un doaine atérield s écrit : où : = d dt (D,t)= d ρ L K vl dv (voir (1.1) page 3) dt D = ( ρ L + ρ L d vl )K vl dv (voir (1.16) page 8) (2.3) D ρ L est la description de Lagrange de la dérivée particulaire de la asse voluique actuelle ; K vl est la description de Lagrange de la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd ; d vl = div E v=trd est la description de Lagrange du taux de dilatation voluique actuel. 2.3 Fore locale du principe de la conservation de la asse Le principe de la conservation de la asse est vrai quel que soit le doaine atériel considéré. En vertu du lee fondaental rappelé en (1.12) page 7, on peut en déduire des expressions locales du principe de la conservation de la asse : On déduit de (2.1) et (2.2) page 1 que 3 : ρ t + div E(ρv)= ρ+ρ d v = ρ ρ = d v (2.4) où d v = K v K v = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Cette équation différentielle est l écriture locale de la conservation de la asse. Elle est souvent appelée équation de continuité 4. Le taux de dilatation voluique (concept cinéatique) est l opposé du taux de variation (dérivée teporelle logarithique) de la asse voluique. REMARQUES : 1. En rearquant que ρ E +ρ E d ve est le taux de production voluique de asse (voir (1.19) page 6, aveca = ), on interprète l équation de continuité (2.4) en disant que quand le principe de la conservation de la asse 3. On a enlevé les indices E inutiles car par définitiona E (x t,t)=a L (x,t)=a(p,t). 4. Cette dénoination est consacrée par l usage. La «continuité» évoquée ici n a rien à voir avec la continuité des applications qu on évoque en athéatiques. 1

15 2.4. Bilan de asse pour un doaine géoétrique est vrai, le taux de production voluique de asse dans le doaine est nul. Il est possible de prendre cette conclusion coe principe fondaental, l équation locale (2.4) est alors un principe dont on peut déduire les expressions globales sur un doaine atériel ou géoétrique. 2. On obtient le êe résultat en utilisant le lee (1.12) page 7 sur les expressions globales lagrangiennes de la conservation de la asse (2.3) page 1 (la dilatation voluique K v est toujours stricteent positive). L équation différentielle (2.4) peut s intégrer teporelleent entre les instants t et t : ρ ρ = d v = K v ρ= C C ρ L (x,t)= K v K v K vl (x,t) Pour t = t, on a : K vl (x,t )=1 et ρ L (x,t )=ρ (x ) où ρ (x ) est la asse voluique de la particule x à l instant de référence t (asse voluique «initiale»). On en déduit que C=ρ (x ). On a donc : K vl = ρ (x ) ρ L (x,t) = ρ (P) ρ(p,t) K v = ρ ρ (2.5) Le principe de la conservation de la asse iplique l égalité entre la dilatation voluique actuelle K v (concept cinéatique) et le rapport des asses voluiques initiale et actuelle. Dans une déforation entre les instants t et t, la asse voluique n est donc pas constante en général. Elle ne l est que dans une déforation isovolue 5 (K v = 1). 2.4 Bilan de asse pour un doaine géoétrique Dans un doaine géoétriqued g, la asse du ilieu continu contenu dans le doaine ne se conserve pas au cours du teps. En effet : où : d dt (D g,t)= g ρ E + d ve ρ E } {{ } τ = dv t + ρ E (v f v E ) n t ds t } g {{ } Φ (voir (1.19) page 8 aveca = ) d dt (D g,t)= ρ E (v f v E ) n t ds t = Φ (2.6) g v f est la vitesse des points de la frontière du doaine géoétrique; Φ est le débit assique entrant à travers la frontière du doaine géoétrique. La dérivée teporelle de la asse contenue dans un doaine géoétrique est égale au débit assique entrant à travers la frontière. REMARQUE : L énoncé ci-dessus peut aussi bien être pris coe principe de la conservation de la asse, et on peut en déduire la fore locale et la fore globale pour un doaine atériel coe étant des théorèes. 2.5 Densités assiques La distribution dans un doaine D (géoétrique ou atériel) d une grandeur physique extensive A peut aussi se décrire par des densités assiquesa (unité : [A ].kg 1 ) plutôt que par des densités voluiques A v (unité : [A ]. 3 ). On a évideent :A v = ρa. 5. En teres de tenseurs de déforation entre t et t, la condition K v = 1 se traduit par detu = detv = 1 ou encore dans le cas des petites perturbations par : Tr ε= (voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, sections 4.7 et ). 11

16 2. CONSERVATION DE LA MASSE Pour un doaine atériel : A(D,t)= = D t D A v E dv t = A v L K vl dv = ρ E A E dv t = D D t ρ L A L K vl dv = A E d (2.7) D A L ρ dv = A D L d (2.8) Pour un doaine géoétrique : A(D g,t)= D g t A v E dv t = ρ E A g E dv t = A g E d (2.9) On obtient de nouvelles expressions de la dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine qui seront utiles dans la suite quand on utilise des densités assiques. On a établi en (1.15) page 8 que pour un doaine atériel : d dt A(D,t)= (ȦA v E+ d ve A v E) dv t ( ) = (ρ E A E) + d ve ρ E A E dv t (A v E = ρ EA E ) = D t D t d dt A(D,t)= D (ρ E ȦA E + ρ E A E + d ve ρ E A E) dv t (conservation de la asse, voir (2.4) page 1) } {{ } ȦA E d (2.1) De êe, toujours pour un doaine atériel, à partir de (1.16) page 8, il vient : d dt A(D,t)= (ȦA v L+ d vl A v L)K vl dv D ( ) = (ρ L A L) + d vl ρ L A D L K vl dv (A v L = ρ LA L ) ( ) = ρ L ȦA L + ρ L A L + d vl ρ L A L K vl dv (conservation de la asse, voir (2.4) page 1) } {{ } d dt A(D,t)= ȦA D L ρ dv = ȦA D L d (K vl = ρ ρ L, voir (2.5) page 11) (2.11) Enfin, pour un doaine géoétrique, en utilisant (1.19) page 8: d dt A(D g,t)= (ȦA v E+ d ve A v E) dv t + A v E(v f v E ) n ds t g g ( ) = (ρ E A E) + d ve ρ E A E dv t + ρ E A E(v f v E ) n ds t (A v E = ρ EA E ) où : 12 d dt A(D g,t)= D g t D g t D g t ȦA E d+ ρ E A E(v f v E ) n ds t } g {{ } Φ (2.12) Φ (unité : [A ].s 1 ) est le flux dea entrant à travers la frontière du doaine géoétrique (il est nul pour un doaine atériel) ; ȦA = τρ 1 est la dérivée particulaire de la densité assiquea ; c est aussi le taux de production assique de la quantité extensivea à l intérieur du doaine.

17 2.6. En bref En bref... La asse d un doaine atériel est une grandeur scalaire, extensive, objective et invariante dans le teps, qui esure la quantité de atière contenue dans le doaine atériel. L expression locale du principe de la conservation de la asse pour un ilieu continu est une équation différentielle appelée équation de continuité. La asse d un doaine géoétrique est variable dans le teps car de la atière traverse les frontières. On peut calculer la dérivée teporelle d une grandeur extensive A sur un doaine atériel ou géoétrique avec des intégrales de volue de densités voluiquesa v ou bien avec des intégrales de asse de densités assiquesa. 13

18 2. CONSERVATION DE LA MASSE 14

19 Chapitre 3 Principe fondaental de la dynaique 3.1 Rappel de écanique générale Observateurs galiléens DÉFINITION : Un observateur galiléen est un observateur pour lequel le ouveent des points atériels obéit à la loi de Newton : f = γ. On ne peut savoir si un observateur est galiléen ou non qu en faisant des expériences pour vérifier si les prédictions de la loi de Newton sont correctes ou non pour cet observateur 1. EXEMPLES D EXPÉRIENCES : La loi de Newton prédit qu un point atériel sans vitesse initiale et souis à une force constante se déplace en ligne droite. Elle prédit aussi qu un pendule lâché sans vitesse initiale oscille dans un plan fixe. Si pour un observateur, les prédictions de la loi de Newton sont considérées coe suffisaent correctes, on peut déclarer coe galiléen cet observateur. Déclarer galiléen un observateur, c est donc accepter une certaine approxiation dans la confrontation avec des expériences. EXEMPLES : Si on assiile un objet pesant à un point atériel, et si on utilise un observateur lié à la terre pour analyser son ouveent, cet objet est souis à une force constante (en preière approxiation) : son poids 2. Lâché sans vitesse initiale, la loi de Newton prévoit que sa trajectoire est une droite colinéaire au poids. En preière approxiation, on peut constater que c est vrai, cependant des esures fines ettent en évidence une petite déviation vers l est. De êe, si on observe le ouveent d un pendule siple, on constate que, pour un observateur terrestre, son plan d oscillation est sensibleent fixe. Mais une observation plus fine (pendule de Foucault) ontre que ce plan tourne à une faible vitesse. Selon que l on considère que la déviation vers l est de la chûte des corps ou que la vitesse de rotation du plan d oscillation d un pendule sont négligeables ou non, on décide si un observateur terrestre est galiléen ou non. Tous les observateurs dont le ouveent par rapport à un observateur galiléen est une translation à vitesse constante sont aussi des observateurs galiléens car pour tous ces observateurs l accélération d un point atériel est la êe. On ne peut donc pas distinguer un observateur galiléen absolu. La loi de Newton f = γ n est donc pas une loi universelle 3. On peut la rendre artificielleent universelle en ajoutant aux forces extérieures agissant sur un point atériel des forces extérieures fictives appelées forces d inertie (d entraîneent et de Coriolis). La loi de Newton est alors vraie pour tous les observateurs, ais les forces extérieures agissant sur un point atériel sont la soe de forces réelles 4 et de forces fictives ; elles ne sont plus les êes pour tous les observateurs. 1. On rappelle que la valeur de l accélération d un point atériel dépend de l observateur utilisé pour observer le ouveent. 2. Il faut faire l expérience dans le vide pour éliiner l action de l air. 3. C est-à-dire valable pour tous les observateurs. La seule écanique dont les lois sont universelles est celle de la théorie appelée Relativité générale due à Einstein. 4. C est-à-dire dont la source est identifiée. 15

20 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Rappel des théorèes généraux On ontre en écanique générale, que pour tout enseble de points atériels (fini ou infini), dont le ouveent est observé par un observateur galiléen, les trois théorèes qui suivent rasseblent toutes les conséquences des lois fondaentales énoncées par Newton 5 pour des points atériels : 1. Théorèe de la résultante dynaique : THÉORÈME : La résultante dynaique (soe des quantités d accélération) est égale à la résultante des actions écaniques extérieures. 2. Théorèe du oent dynaique : THÉORÈME : Le oent dynaique en un point (soe des oents en ce point des quantités d accélération) est égale au oent en ce point des actions écaniques extérieures. 3. Théorèe de la puissance cinétique : THÉORÈME : La puissance cinétique (dérivée teporelle de l énergie cinétique) est égale à la soe de la puissance des efforts extérieurs et de la puissance des efforts intérieurs. REMARQUE : Ces théorèes sont encore vrais pour un observateur non galiléen si on ajoute aux forces extérieures des forces d inertie fictives d entraîneent et de Coriolis. 3.2 Application aux doaines atériels On considère aintenant un doaine atériel de ilieu continu (c est-à-dire un enseble de particules, voir la définition en (1.1.1) page 1). On note la position actuelle de ce doaine atériel. Ce doaine contient une infinité de particules. Son extérieur est par définition le reste de l univers. DÉFINITION : On appelle actions écaniques extérieures à un doaine l action écanique de l extérieur du doaine sur ce doaine. L objet de la écanique (des ilieux continus ou non) est de trouver les relations entre le ouveent du doaine atériel 6 choisi et les sollicitations écaniques de son extérieur Efforts extérieurs sur un doaine atériel Les actions écaniques extérieures sur un doaine atériel de ilieu continu peuvent se classer en deux catégories : les actions écaniques à distance et les actions écaniques de contact. Modélisation des actions écaniques extérieures à distance Les actions écaniques extérieures à distance agissent sur toutes les particules du doaine. On les odélise par un chap de densité voluique de force 7, qu on notera f v (unité : N. 3 ) ou par un chap de densité assique de forces que l on notera f (unité : N.kg 1 =.s 2 ). Le vecteur f v représente la force totale par unité de volue (gravitationnelle, électrostatique... ) exercée par le reste de l univers sur la particule. A priori, la valeur de cette densité voluique de force dépend du 5. La loi f = γ, et l action d un point atériel sur un autre est une force colinéaire à la droite qui joint les deux points atériels (interactions de Newton). 6. On verra plus loin coent on peut envisager des doaines géoétriques 7. Noter que l on n envisage pas de densité voluique de oent. De ce fait, on éliine la possibilité d actions agnétiques. Le coporteent électroagnétique des ilieux continus n est pas envisagé dans ce cours. Il deanderait une refonte de toute la cinéatique des ilieux continus : la position à un instant t d un ilieu continu n est pas coplèteent décrite par la seule position actuelle de ses particules ais aussi par leur orientation actuelle (dipôles agnétiques par exeple). 16

Mécanique : Cinématique du point. Chapitre 1 : Position. Vitesse. Accélération

Mécanique : Cinématique du point. Chapitre 1 : Position. Vitesse. Accélération 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 1 Mécanique : Cinéatique du point La écanique est le doaine de tout ce qui produit ou transet un ouveent, une force, une déforation : achines, oteurs, véhicules,

Plus en détail

( ) ( ) U. c,e. Remarque : On s intéressera quasiment systématiquement à un système au repos dans le référentiel d étude. tot

( ) ( ) U. c,e. Remarque : On s intéressera quasiment systématiquement à un système au repos dans le référentiel d étude. tot herodnaique Le paragraphe I. est consacré à l introduction (d une partie) du vocabulaire de base de la therodnaique. Dans le paragraphe II., l étude d un sstèe particulier, le gaz parfait, peret une preière

Plus en détail

Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre. www.alternativesjournal.ca/people-and-profiles/web-exclusive-ela-alumni-make-splash

Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre. www.alternativesjournal.ca/people-and-profiles/web-exclusive-ela-alumni-make-splash Une personne de 60 kg est à gauche d un canoë de 5 de long et ayant une asse de 90 kg. Il se déplace ensuite pour aller à droite du canoë. Dans les deux cas, il est à 60 c de l extréité du canoë. De cobien

Plus en détail

Théorie cinétique des gaz

Théorie cinétique des gaz Théorie cinétique des gaz I Pression cinétique On considère un gaz parfait foré de N olécules onoatoiques, chacune de asse, en équilibre à la tepérature T dans une enceinte de volue V On cherche à déteriner

Plus en détail

Paradoxe de Galiléo Galiléï Chute dans l'air

Paradoxe de Galiléo Galiléï Chute dans l'air Paradoxe de Galiléo Galiléï Chute dans l'air Abstract L'intention de cet article est d'apporter un éclaircisseent sur la légendaire expérience de Pise en explicitant le calcul de la chute de graves dans

Plus en détail

La boite de vitesse a variation continue CVT

La boite de vitesse a variation continue CVT Epreuve de Sciences Industrielles pour l Inge nieur La boite de vitesse a variation continue CVT Durée : h. Calculatrices autorisées. Docuents interdits. Ce sujet coporte 9 pages. Présentation La boite

Plus en détail

TS Devoir surveillé N 3 mardi 08/01/2013

TS Devoir surveillé N 3 mardi 08/01/2013 TS Devoir surveillé N 3 ardi 8//3 No et Préno : Note : / Toute réponse doit être justifiée. Eercice : Le saut de la grenouille (7,5 points) Etienne Jules Marey (Beaune 83 Paris 94) physiologiste français,

Plus en détail

Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables

Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables Lois universelles de la physique des milieux continus conservation de la masse bilan de quantité de mouvement bilan de moment cinétique

Plus en détail

Problème I : Microscope à force atomique

Problème I : Microscope à force atomique Problèe I : Microscope à force atoique Ces dernières années, de nouvelles techniques dites de "icroscopies à chap proche" se sont développées pour étudier les surfaces. Pari ces techniques, le icroscope

Plus en détail

EXERCICE II : LE TELEPHONE "POT DE YAOURT" (5 points)

EXERCICE II : LE TELEPHONE POT DE YAOURT (5 points) USA 2005 EXERCICE II : LE TELEPHONE "POT DE YAOURT" (5 points) A l'ère du téléphone portable, il est encore possible de couniquer avec un systèe bien plus archaïque L'onde sonore produite par le preier

Plus en détail

Chapitre 5: Oscillations d un pendule élastique horizontal

Chapitre 5: Oscillations d un pendule élastique horizontal 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 40 Chapitre 5: Oscillations d un pendule élastique horizontal 1. Définitions a) Oscillateur écanique * Un systèe écanique qui effectue un ouveent

Plus en détail

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire Chapitre VII Forces électromagnétiques VII.a. Force de Lorentz La force à laquelle est soumis, à un instant t, un point matériel de charge q, situé en M et se déplaçant à une vitesse v(t) par rapport à

Plus en détail

Chapitre 3 : Dynamique du point matériel

Chapitre 3 : Dynamique du point matériel Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 3 : Dynamique SMPC1 Chapitre 3 : Dynamique du point matériel I Lois fondamentales de la dynamiques I.1)- Définitions Le Référentiel de Copernic: Le référentiel

Plus en détail

LES CHIFFRES SIGNIFICATIFS ET LES INCERTITUDES

LES CHIFFRES SIGNIFICATIFS ET LES INCERTITUDES Une prédiction de certains écoloistes : Les poissons devraient avoir disparu en 048! LES CHIFFRES SIGNIFICATIFS ET LES INCERTITUDES Les rèles suivantes s appliquent pour tous les calculs ipliquant des

Plus en détail

5 La résistance électrique

5 La résistance électrique 5 La résistance électrique 5.1 La nature de la résistance électrique Expérience : Appliquons une tension U à un fil de cuivre de longueur et de diaètre connus et esurons l intensité du courant I. Ensuite,

Plus en détail

Notes du Cours de Mécanique 1 er semestre, année 2011/2012

Notes du Cours de Mécanique 1 er semestre, année 2011/2012 Ecole Polytechnique de l Université de Nice - Sophia Antipolis CiP1 Notes du Cours de Mécanique 1 er semestre, année 2011/2012 Patrizia Vignolo Jean-Michel Chauveau Thibault Gayral Sommaire : Introduction

Plus en détail

ARISTOTE, GALILÉE ET NEWTON (6 points)

ARISTOTE, GALILÉE ET NEWTON (6 points) ARISTOTE, GALILÉE ET NEWTON (6 points) Pour cet exercice, l'utilisation de la calculatrice est autorisée Trois siècles avant notre ère, le célèbre savant grec Aristote affirmait qu "une masse d or, de

Plus en détail

- cas d une charge isolée en mouvement et par extension d un ensemble de

- cas d une charge isolée en mouvement et par extension d un ensemble de Notion de courant de particule ; conservation du courant = expression du courant de particules chargées ; charges; j = q k k - cas d une charge isolée en mouvement et par extension d un ensemble de v k

Plus en détail

L'énergie, le travail, la puissance et le rendement

L'énergie, le travail, la puissance et le rendement L'énergie, le travail, la puissance et le rendeent I. L énergie On ne sait pas définir préciséent le concept général d'énergie. Par contre on sait définir l'énergie : cinétique liée à la vitesse d'un corps

Plus en détail

Hydraulique des terrains

Hydraulique des terrains Hydraulique des terrains Séance 3 : Hypothèses de l écoulement en conduite Guilhem MOLLON GEO3 2012-2013 Plan de la séance A. Cinématique d écoulement -Lignes caractéristiques -Vitesses et débits B. Hypothèse

Plus en détail

MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 3: Solutions stationnaires de l équation de Schrödinger

MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 3: Solutions stationnaires de l équation de Schrödinger MCANIQU QUANTIQU Capitre : Solutions stationnaires de l équation de Scrödinger Pr. M. ABD-FDI Université Moaed V-V Agdal Faculté des Sciences Départeent de Pysique Année universitaire 7-8 8 Filières SM-SMI

Plus en détail

Concours CASTing 2011

Concours CASTing 2011 Concours CASTing 2011 Épreuve de mécanique Durée 1h30 Sans calculatrice Le candidat traitera deux exercices parmi les trois proposés dans le sujet. Dans le cas où les trois exercices seraient traités partiellement,

Plus en détail

Séminaire Francilien de Sûreté de Fonctionnement - 22 février 2013

Séminaire Francilien de Sûreté de Fonctionnement - 22 février 2013 Séinaire Francilien de Sûreté de Fonctionneent - 22 février 2013 Les défaillances de cause coune Doinique VASSEUR EDF R&D Claart Plan Introduction Quelques odèles possibles Les principes de l estiation

Plus en détail

Arrondissage des résultats de mesure. Nombre de chiffres significatifs

Arrondissage des résultats de mesure. Nombre de chiffres significatifs BUREAU NATIONAL DE MÉTROLOGIE COMMISSARIAT À L'ÉNERGIE ATOMIQUE LABORATOIRE NATIONAL HENRI BECQUEREL Note technique LNHB/04-13 Arrondissage des résultats de esure Nobre de chiffres significatifs M.M. Bé,

Plus en détail

Chapitre 6 (Courant et résistance)

Chapitre 6 (Courant et résistance) . Déinitions 1. ntensité oyenne e courant. ntensité instantanée Plan e la 3 èe partie (Électrocinétique) Chapitre 6 (Courant et résistance) Q t Q (en père) t 3. Densité e courant (en père/ ) J. Théorie

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

Travaux pratiques Informatique

Travaux pratiques Informatique Preière S Travaux pratiques Inforatique. Questions ouvertes - : Lieu de points - : Distance iniale - : Fonctions inconnues -4 : Médianes? -5 : Droites d un triangle -6 : S-TS banque exos /04-7 : Cercle

Plus en détail

Electrocinétique et magnétostatique

Electrocinétique et magnétostatique Chapitre 3 Electrocinétique et magnétostatique 3.1 Electrocinétique - Vecteur densité de courant Un courant électrique correspond à des charges électriques mobiles. On appelle vecteur densité de courant

Plus en détail

Cours préparatoires de physique

Cours préparatoires de physique Cours préparatoires de physique Août 2012 L. Dreesen LA DYNAMIQUE, LES LOIS DE NEWTON Août 2012 L. Dreesen 1 Table des matières Introduction Force La première loi de Newton La troisième loi de Newton La

Plus en détail

Six pattes pour gravir le podium

Six pattes pour gravir le podium OLYMPIADES DE SCIENCES DE L INGÉNIEUR 11 Si pattes pour gravir le podiu Christian Garreau [1] Pour la preière finale nationale des Olypiades, le ercredi 11 ai 11 sur le site de PSA à Poissy, le preier

Plus en détail

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2 Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page

Plus en détail

Principes de la Mécanique

Principes de la Mécanique Chapitre 1 Principes de la Mécanique L expérience a montré que tous les phénomènes observés dans la nature obéissent à des lois bien déterminées. Ces lois peuvent être, en plus, déterministes ou indéterministes.

Plus en détail

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 2 heures (10h-12h)

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 2 heures (10h-12h) DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ CONCOURS BLANC calculatrice: autorisée durée: 2 heures (10h-12h) Sujet Vaisseau spatial... 2 I.Vaisseau spatial dans un champ newtonien... 2 II.Vitesse de libération...3 A.Option

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif -

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - 70 Chapitre 8 : Champ de gravitation - Satellites I. Loi de gravitation universelle : (

Plus en détail

2.1 Comment fonctionne un site?

2.1 Comment fonctionne un site? Coent fonctionne un site? Dans ce chapitre, nous allons étudier la liste des logiciels nécessaires à la création d un site ainsi que les principes de base indispensables à son bon fonctionneent. 2.1 Coent

Plus en détail

GRAFCET. 1- Structure générale. CPGE / Sciences Industrielles pour l Ingénieur C60 Cours GRAFCET. Divergence en OU

GRAFCET. 1- Structure générale. CPGE / Sciences Industrielles pour l Ingénieur C60 Cours GRAFCET. Divergence en OU C60 GRAFCET 1- Structure générale Etape initiale : généraleent associée à une attente ou à une ise en réérence de la partie opérative Réceptivité : cobinaison d inorations reçues par la partie coande et

Plus en détail

CH12 : Solide en mouvement de translation

CH12 : Solide en mouvement de translation BTS électrotechnique 1 ère année - Sciences physiques appliquées CH12 : Solide en mouvement de translation Motorisation des systèmes Enjeu : Problématique : En tant que technicien supérieur, il vous revient

Plus en détail

Chapitre 1. Cinématique et Dynamique. 1.1 Grandeurs cinématiques. 1.1.1 Base cartésienne

Chapitre 1. Cinématique et Dynamique. 1.1 Grandeurs cinématiques. 1.1.1 Base cartésienne Chapitre 1 Cinématique et Dynamique 1.1 Grandeurs cinématiques En classe de 2 e nous avons introduit les grandeurs cinématiques utilisées pour décrire le mouvement d un point matériel : l abscisse curviligne,

Plus en détail

Chapitre 3: Dynamique

Chapitre 3: Dynamique Introduction Le mot dynamique désigne ou qualifie ce qui est relatif au mouvement. Il est l opposé du mot statique. Le mouvement d un point matériel est liée à son interaction avec le monde extérieur ce

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

PHS1101 Mécanique pour ingénieurs

PHS1101 Mécanique pour ingénieurs PHS1101 écanique pour inénieurs Contrôle périodique 1 Hier 01 «Spécial Déénaeent» Question 1: k Déénaeent PHS1101 nc. 51-1-159 C Question 1: Dans les annonces publicitaires de Ford F150, on annonce fièreent

Plus en détail

La détérioration des termes de l échange 1 Bernard Conte 2002

La détérioration des termes de l échange 1 Bernard Conte 2002 La détérioration des teres de l échange des pays du Sud Bernard Conte el : conte@u-bordeau4.fr site web : http://conte.u-bordeau4.fr Les pays du Sud seraient inéluctableent frappés par la détérioration

Plus en détail

TP Bonus : Simulation de variables aléatoires

TP Bonus : Simulation de variables aléatoires IMIS : Master 1 Université Paris Est Marne la Vallée TP Bonus : Siulation de variables aléatoires 1. Siulation de lois Dans les applications, on a souvent besoin de générer de façon artificielle (à l aide

Plus en détail

TD 9 Problème à deux corps

TD 9 Problème à deux corps PH1ME2-C Université Paris 7 - Denis Diderot 2012-2013 TD 9 Problème à deux corps 1. Systèmes de deux particules : centre de masse et particule relative. Application à l étude des étoiles doubles Une étoile

Plus en détail

Chapitre 4 : Etude Energétique

Chapitre 4 : Etude Energétique Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 4 : Energétique SMPC1 Chapitre 4 : Etude Energétique I Travail et Puissance d une force I.1)- Puissance d une force Soit un point matériel M de vitesse!!/!,

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

CH.9 ÉNERGIES exercices - correction

CH.9 ÉNERGIES exercices - correction CH.9 ÉNERGIES exercices - correction SAVOIR SON COURS ❶ Choisir la bonne réponse : Enoncés Réponse A Réponse B Réponse C ❶ L énergie de position d un objet ❷ Lorsqu un objet tobe augente quand son altitude

Plus en détail

Courant électrique et distributions de courants

Courant électrique et distributions de courants Cours d électromagnétisme Courant électrique et distributions de courants 1 Courant électrique 1.1 Définition du courant électrique On appelle courant électrique tout mouvement d ensemble des particules

Plus en détail

Principes et mise en œuvre

Principes et mise en œuvre A Principes et ise en œuvre 1 DÉFINITIONS ET MÉTHODES A 1.1 Définitions D après l Afnor (FD X 60-000), «la aintenance est l enseble de toutes les actions techniques, adinistratives et de anageent durant

Plus en détail

DS n o 5 TS1 2012 Chutes des boulets (8 points, 1h45)

DS n o 5 TS1 2012 Chutes des boulets (8 points, 1h45) DS n o 5 TS1 2012 Chutes des boulets (8 points, 1h45) Exercice 1 Galilée à Pise (5,5 points) O i Selon la légende, Galilée (1564-1642) aurait étudié la chute des corps en lâchant divers objets du sommet

Plus en détail

Système formé de deux points

Système formé de deux points MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page /5 Système formé de deux points matériels Table des matières Éléments cinétiques. Éléments cinétiques dans R.......................2

Plus en détail

Induction électromagnétique

Induction électromagnétique Induction électromagnétique Sommaire I) Théorie de l induction électromagnétique..2 A. Introduction 2 B. Notion de force électromotrice 3 C. Loi de Faraday..5 D. Quelques applications.7 Spire circulaire

Plus en détail

D U G A Z P A R F A I T M O N O A T O M I Q U E A U X F L U I D E S R E E L S E T A U X P H A S E S C O N D E N S E E S

D U G A Z P A R F A I T M O N O A T O M I Q U E A U X F L U I D E S R E E L S E T A U X P H A S E S C O N D E N S E E S THERMODYNAMIQUE Lycée F.BUISSON PTSI D U G A Z P A R F A I T M O N O A T O M I Q U E A U X F L U I D E S R E E L S E T A U X P H A S E S C O N D E N S E E S Ce chapitre pourrait s appeler du monde moléculaire

Plus en détail

GRANDEURS PHYSIQUES et EQUATIONS AUX DIMENSIONS

GRANDEURS PHYSIQUES et EQUATIONS AUX DIMENSIONS GRANDEURS PHYSIQUES et EQUATIONS AUX DIMENSIONS Par Silicium 628 La physique décrit la matière et l espace, leurs propriétés et leurs comportements. Les propriétés mesurables sont nommées GRANDEURS PHYSIQUES.

Plus en détail

GarageBand Premiers contacts Comprend une présentation complète des fenêtres GarageBand, ainsi que des leçons pas à pas conçues pour vous aider à

GarageBand Premiers contacts Comprend une présentation complète des fenêtres GarageBand, ainsi que des leçons pas à pas conçues pour vous aider à GarageBand Preiers contacts Coprend une présentation coplète des fenêtres GarageBand, ainsi que des leçons pas à pas conçues pour vous aider à utiliser GarageBand 1 Table des atières Préface 7 Preiers

Plus en détail

Université de Thessalie Département d Aménagement, D Urbanisme et Développement Régional

Université de Thessalie Département d Aménagement, D Urbanisme et Développement Régional Université de Thessalie Départeent d Aénageent, D Urbanise et Développeent Régional Enseignant : As. Pr. Marie-Noelle Duquenne II. Les Méthodes de Classification Ces éthodes ont pour objectif de parvenir

Plus en détail

Modèle d une automobile.

Modèle d une automobile. Modèle d une automobile. On modélise une automobile par deux disques homogènes identiques de masse m de rayon a, de moment d inertie J = (1/) m a par rapport à leurs axes respectifs, de centre C, en contact

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Sections : L1 Santé - 1 Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr Chapitre 1 : Equations aux dimensions 1. Equation aux dimensions a) Dimension

Plus en détail

Arrêté du 17 avril 2015 relatif à l agrément des modalités de prise en compte des systèmes Cylia et Xiros dans la réglementation thermique 2012

Arrêté du 17 avril 2015 relatif à l agrément des modalités de prise en compte des systèmes Cylia et Xiros dans la réglementation thermique 2012 MINISTÈRE DE L ÉOLOGIE, DU DÉVELOPPEMENT DURALE ET DE L ÉNERGIE Aénageent nature, logeent MINISTÈRE DU LOGEMENT, DE L ÉGALITÉ DES TERRITOIRES ET DE LA RURALITÉ _ Direction de l habitat, de l urbanise et

Plus en détail

Autour des nombres et des polynômes de Bernoulli

Autour des nombres et des polynômes de Bernoulli Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli Gaëtan Bisson d après un cours de Don Zagier Résué En athéatiques, les nobres de Bernoulli ont d abord été étudiés en cherchant à calculer les soes du type

Plus en détail

Correction du «Brevet Blanc» de mathématiques Lundi 26 mars 2012

Correction du «Brevet Blanc» de mathématiques Lundi 26 mars 2012 orrection du «revet lanc» de athéatiques Lundi 26 ars 2012 TIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) Exercice 1 Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse pari les trois proposées.

Plus en détail

Examen de la maturita bilingue de physique. Corrigé officiel

Examen de la maturita bilingue de physique. Corrigé officiel Examen de la maturita bilingue de physique Session de mai 2013 Corrigé officiel Questions de cours Mécanique I. 1a) Référentiel le cadre par rapport auquel on étudie le mouvement. 1b) Réf. terrestre est

Plus en détail

COMPOSITION DE PHYSIQUE. Quelques aspects de la fusion contrôlée par confinement magnétique

COMPOSITION DE PHYSIQUE. Quelques aspects de la fusion contrôlée par confinement magnétique ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D ADMISSION 2007 COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. Quelques aspects de la fusion contrôlée

Plus en détail

Cours de Master 1ère année Filière : Ingénierie Mathématique à Toulouse Université Paul Sabatier

Cours de Master 1ère année Filière : Ingénierie Mathématique à Toulouse Université Paul Sabatier Cours de Master 1ère année Filière : Ingénierie Mathématique à Toulouse Université Paul Sabatier Modélisation, équations aux dérivées partielles, 16h de cours, 16h de TDs 1 er février 2013 Marie Hélène

Plus en détail

Les satellites de Jupiter : un scénario pour l option MPS en seconde

Les satellites de Jupiter : un scénario pour l option MPS en seconde Groupe MPS Michèle Gandit Les satellites de Jupiter : un scénario pour l option MPS en seconde On présente dans la suite un scenario en trois séances d une heure et demie, en faisant l hypothèse que les

Plus en détail

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ 2 Champ et potentiel électrostatique Les e ets électriques peuvent être décrits par deux grandeurs que nous allons étudier dans ce chapitre : le champ électrostatique (grandeur vectorielle) et le potentiel

Plus en détail

ETUDE DE L ATTENUATION DES ONDES ULTRASONORES. APPLICATION AU CONTROLE NON DESTRUCTIF DES

ETUDE DE L ATTENUATION DES ONDES ULTRASONORES. APPLICATION AU CONTROLE NON DESTRUCTIF DES N d ordre 006-ISA-009 Année 006 Thèse ETUDE DE ATTENUATION DES ONDES UTRASONORES. AIATION AU ONTROE NON DESTRUTIF DES SOUDURES EN AIER INOXYDABE AUSTENITIQUE présentée devant Institut National des Sciences

Plus en détail

M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE

M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE I Modèle de l oscillateur harmonique (O.H.) I. Exemples Cf Cours I. Définition Définition : Un oscillateur harmonique à un degré de liberté x (X, θ,... ) est un système physique

Plus en détail

Géocomposites TERRADRAIN

Géocomposites TERRADRAIN Géocoposites TERRADRAIN Soaire 2 Introduction 3 Certifications 4 Qu est-ce que TERRADRAIN? 5 Pourquoi utiliser TERRADRAIN? 5 Graphiques coparatifs 6 TERRADRAIN M 7 TERRADRAIN W 8 TWINDRAIN 9 Tableau des

Plus en détail

Corrigé des exercices «Principe fondamental de la dynamique»

Corrigé des exercices «Principe fondamental de la dynamique» «Principe fondamental de la dynamique» Exercice 1 a. Un véhicule parcourt 72 km en 50 minutes. Calculer sa vitesse moyenne et donner le résultat en km/h puis en m/s. La vitesse v est donnée en fonction

Plus en détail

Précession du périhélie de Mercure

Précession du périhélie de Mercure Préparation à l Agrégation de Sciences Physiques ENSP - Montrouge François Levrier Problème de mécanique Précession du périhélie de Mercure 1 er décembre 25 Ce problème, qui est basé en partie sur celui

Plus en détail

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA UE3-1 : Physique Chapitre 2 : Électrostatique Professeur Eva PEBAY-PEYROULA Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. II- Électrostatique Finalité du chapitre

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 5/6 Outils Mathématiques 4 Intégrales de surfaces résumé 1 Surfaces paramétrées éfinition 1.1 Une surface paramétrée dans l espace, est la donnée de trois fonctions de classes

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

NOTICE DOUBLE DIPLÔME

NOTICE DOUBLE DIPLÔME NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des

Plus en détail

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ)

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ) Chapitre 3 Le potentiel électrostatique Le champ électrostatique peut être caractérisé simplement à l aide d une fonction que nous appellerons potentiel électrostatique. Cette fonction scalaire est souvent

Plus en détail

CHAPITRE II : STATIQUE

CHAPITRE II : STATIQUE CHPITRE II : STTIQUE - Généralités : I. NTIN DE RCE : En mécanique, les forces sont utilisées pour modéliser des actions mécaniques diverses (actions de contact, poids, attraction magnétique, effort ).

Plus en détail

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3. 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3. 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4 SOAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Prouit ou comoment e eux torseurs 4 2.2 Torseurs élémentaires 4 2.2.1 Torseur couple 4 2.2.2 Torseur

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

La planification en cas d inaptitude. Vous avez le pouvoir d agir!

La planification en cas d inaptitude. Vous avez le pouvoir d agir! La planification en cas d inaptitude. Vous avez le pouvoir d agir! Août 2015 Jaie Golobek Directeur gestionnaire, Planification fiscale et successorale Services consultatifs de gestion de patrioine CIBC

Plus en détail

cel-00530377, version 1-28 Oct 2010

cel-00530377, version 1-28 Oct 2010 Mécanique des milieux continus F r a n ç o i s S i d o r o f f p Ce document est sous licence Creative Commons Paternité Pas d Utilisation Commerciale Partage des Conditions Initiales à l Identique 3.0

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP PHYSIQUE 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées.

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP PHYSIQUE 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. EION 003 EPREUVE PECIFIQUE FIIERE MP PHYIQUE 1 Durée : 4 heures es calculatrices sont autorisées NB : e candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la

Plus en détail

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition Chapitre 4 Travail et puissance 4.1 Travail d une force 4.1.1 Définition En physique, le travail est une notion liée aux forces et aux déplacements de leurs points d application. Considérons une force

Plus en détail

TS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu

TS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu P a g e 1 Phsique atellite à la recherche de sa planète Exercice résolu Enoncé Le centre spatial de Kourou a lancé le 1 décembre 005, avec une fusée Ariane 5, un satellite de météorologie de seconde génération

Plus en détail

Mécanique des solides déformables

Mécanique des solides déformables Mécanique des solides déformables Auteur Michel MAYA 1 Descriptions 2 Représentations graphiques Ce cours est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Paternité + Pas d utilisation

Plus en détail

5.1 Équilibre électrostatique d un conducteur

5.1 Équilibre électrostatique d un conducteur 5 CONDUCTEURS À L ÉQUILIBRE 5.1 Équilibre électrostatique d un conducteur Dans un isolant, les charges restent à l endroit où elles ont été apportées (ou enlevées). Dans un conducteur, les charges sont

Plus en détail

Plan du chapitre «Milieux magnétiques»

Plan du chapitre «Milieux magnétiques» Plan du chapitre «Milieux magnétiques» 1. Sources microscopiques de l aimantation en régime statique 2. Etude macroscopique de l aimantation en régime statique 3. Aimantation en régime variable 4. Les

Plus en détail

I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons

I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Sixième TD 14 avril 2015 Les étoiles dont la masse initiale est

Plus en détail

Centrale-TSI Physique 2012 page 1/7

Centrale-TSI Physique 2012 page 1/7 Centrale-TSI Physique 0 page /7 Centrale TSI physique 0 : "De la Terre à la Lune" I - De la Terre A - Décollage Choix du référentiel : a) Le référentiel géocentrique est le référentiel en translation par

Plus en détail

LA DEMI-VIE EN RADIOACTIVITE. UN OUTIL POUR RESOUDRE DES PROBLEMES

LA DEMI-VIE EN RADIOACTIVITE. UN OUTIL POUR RESOUDRE DES PROBLEMES LA DEMI-VIE EN RADIOACTIVITE. UN OUTIL POUR RESOUDRE DES PROBLEMES Groupe Mathéatiques et Sciences Physiques au Lycée IREM de Toulouse Michèle Fauré, Pierre López, Monique Mandleur, Monique Sosset Rédacteur

Plus en détail

C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position OM est constant et il est égal au

C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position OM est constant et il est égal au 1 2 C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position est constant et il est égal au rayon du cercle. = 3 A- ouvement circulaire non uniforme

Plus en détail

GUIDE PRATIQUE 2014 LA REUSSITE L APPRENTISSAGE. 01 55 17 80 10 www.cesfa-btp.com cesfa@cesi.fr SOMMAIRE : RENTREE 2014 :

GUIDE PRATIQUE 2014 LA REUSSITE L APPRENTISSAGE. 01 55 17 80 10 www.cesfa-btp.com cesfa@cesi.fr SOMMAIRE : RENTREE 2014 : LA REUSSITE L APPRENTISSAGE PAR GUIDE PRATIQUE 2014 SOMMAIRE : I Comment intégrer la formation? II Les épreuves écrites III Nous rencontrer RENTREE 2014 : 01 55 17 80 10 www.cesfa-btp.com cesfa@cesi.fr

Plus en détail

TS Physique D Aristote à aujourd hui Exercice résolu

TS Physique D Aristote à aujourd hui Exercice résolu P a g e 1 TS Physique Eercice résolu Enoncé -34 avant JC : Aristote déclare qu une masse d or, de plomb ou de tout autre corps pesant tombe d autant plus vite qu elle est plus grosse et, en particulier,

Plus en détail

1 ère S La petite voiture Physique Mécanique

1 ère S La petite voiture Physique Mécanique Page 1 sur 5 1 ère S Physique Mécanique - Enoncé - Remarques préliminaires : - n prendra g = 9,8 N.kg -1. - n traaille dans un référentiel terrestre supposé galiléen. Un jouet, une «petite oiture», est

Plus en détail

LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE

LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE 2. L EFFET GYROSCOPIQUE Les lois physiques qui régissent le mouvement des véhicules terrestres sont des lois universelles qui s appliquent

Plus en détail

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté,

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

MASSE, VOLUME ET QUANTITE DE MATIERE

MASSE, VOLUME ET QUANTITE DE MATIERE MASSE, OLUME ET QUANTITE DE MATIERE Exercices du Livre Microega Hatier (004 Correction L acide sulfurique 1. Calculons la asse olaire de l acide sulfurique : M(H SO 4 xm(h + M(S + 4xM(O M(H SO 4 x1,00

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Gravitation universelle

Gravitation universelle Chapitre 7 Gravitation universelle Révision et Résumé Où commencer? En plus de l apprentissage du cours, que vous devez recopier, réciter, rerecopier, jusqu à en savoir la moindre virgule, refaites les

Plus en détail