Équations générales des milieux continus

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1 Équations générales des ilieux continus Jean Garrigues 1 ai 212

2 ii

3 Avant-propos L objectif de ce cours est d établir les équations générales régissant tous les ilieux continus, qu ils soient solides ou fluides. Les développeents qui suivent se placent dans le cadre de la physique classique (non relativiste et non quantique). Les équations générales des ilieux continus sont donc les conséquences des quatre principes fondaentaux de la physique classique 1 : 1. le principe de la conservation de la asse ; 2. le principe fondaental de la écanique ; 3. le preier principe de la therodynaique, encore appelé principe de la conservation de l énergie ; 4. le second principe de la therodynaique. En ce qui concerne le principe fondaental de la écanique, l auteur a choisi résoluent de conserver le principe fondaental de Newton, c est-à-dire celui qui est généraleent posé dans les cours de écanique générale éléentaires. Ce choix est un choix pédagogique : plutôt de coencer la écanique des ilieux continus par l énoncé d un nouveau principe fondaental (le principe des travaux virtuels ou des puissances virtuelles 2 ), il seble préférable à l auteur de se baser sur les connaissances classiques acquises en écanique générale. Les connaissances préalables de écanique générale nécessaires à la lecture de ce cours se résuent aux trois théorèes généraux pour des ensebles de points atériels (finis ou non) : 1. le théorèe de la résultante dynaique ; 2. le théorèe du oent dynaique ; 3. le théorèe de la puissance cinétique (dérivée teporelle de l énergie cinétique). La lecture de ce cours suppose aussi une aîtrise suffisante de l algèbre et de l analyse tensorielle 3 ainsi que de la cinéatique des ilieux continus 4. Dans la esure du possible, on respectera les conventions typographiques suivantes : les nobres réels sont en inuscules italiques (exeple : a,µ); les vecteurs sont en inuscules italiques grasses (exeple : v); les tenseurs sont en ajuscules italiques grasses (exeple : T ); les teres d une atrice sont rangés dans un tableau entre crochets, à deux indices, l indice de gauche est l indice de ligne, et l indice de droite est l indice de colonne : [ ] = [ i j ] la transposition des atrices est notée avec un T en exposant (exeple : M T ); les espaces d entités athéatiques sont en ajuscules doublées (exeples : l espace des réels : R, l espace des vecteurs de diension 3 : V 3 ). le produit vectoriel de deux vecteurs de V 3 est noté. 1. En fait, on peut déontrer que si le principe de la conservation de l énergie est universel et si les grandeurs calorifiques scalaires ou vectorielles sont objectives, les deux preiers principes (asse et écanique) en sont des conséquences (voir l article 2. Dans ce cours, ils apparaîtont donc coe des théorèes. 3. L auteur propose un autre cours intitulé Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus. 4. L auteur propose un autre cours intitulé Cinéatique des ilieux continus. iii

4 iv

5 Chapitre 1 Concepts fondaentaux Avant d aborder l écriture des principes fondaentaux et leurs conséquences pour les ilieux continus, il est nécessaire d introduire des concepts indispensables à la bonne copréhension des chapitres suivants. 1.1 Les doaines de ilieux continus Dans l étude des ilieux continus, on applique les principes fondaentaux à des doaines de ilieux continus. Coe on va le voir, on peut définir deux sortes de doaines. Dans la littérature spécialisée, les auteurs ne précisent pas toujours quelle est la définition de ce qu ils appellent doaine de ilieu continu, et cette iprécision est à l origine de nobreux alentendus. On consacre cette section à en donner des définitions rigoureuses Doaine atériel DÉFINITION : Un doaine atériel est défini par l enseble des particules (a priori en ouveent) qui le constituent. Si une particule appartient au doaine atériel à un instant t, elle lui appartient donc à tout instant. REMARQUE : Étant défini par les particules qui le constituent, un doaine atériel a la êe définition pour tous les observateurs 1. Un doaine atériel se déplace et se défore en raison du ouveent de ses particules 2. Quand on considère un doaine atériel, on dit souvent que «l on suit le doaine dans son ouveent». Il n y a donc pas de atière qui traverse la frontière obile. Le doaine atériel étant en ouveent, l enseble des positions actuelles de ses particules définit une région de l espace qui change à chaque instant. NOTATIONS : un doaine atériel sera notéd (c est un enseble de particules); le doaine de l espace qu il occupe à l instant t sera notéd t ; sa frontière à l instant t sera notée D t. VOCABULAIRE : En therodynaique, les doaines atériels sont appelés systèes ferés Iaginer que l on a peint en rouge toutes les particules du doaine atériel. 2. Ce ouveent est différent pour chaque observateur. 3. Avec parfois une petite nuance : les therodynaiciens supposent parfois ipliciteent que la frontière étanche à la atière est fixe. Nous ne ferons évideent pas cette restriction. 1

6 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX Doaine géoétrique DÉFINITION : Un doaine géoétrique est défini par l enseble des points géoétriques dee 3 qui le constituent. Coe pour tout doaine, la frontière d un doaine géoétrique est une surface ferée. Quand le ilieu continu est en ouveent, les particules qui sont dans le doaine géoétrique à un instant t ne sont pas les êes que celles qui s y trouvent à un instant t. On dit que le doaine géoétrique est «traversé par le ilieu continu». Il y a donc des particules qui traversent la frontière (ou une partie de frontière), en entrant ou en sortant du doaine géoétrique. Dans ce cours, les frontières des doaines géoétriques seront considérées a priori coe obiles pour l observateur choisi, ais le ouveent de ses frontières est sans rapport avec celui des particules qui s y trouvent. REMARQUE : Un doaine géoétrique étant défini par des points dee 3, chaque observateur attribue une position et un ouveent différent aux points de sa frontière. Toutefois, puisque tous les observateurs attribuent la êe distance à tout couple de points géoétriques(m 1,M 2 ), la fore du doaine géoétrique à un instant donné est la êe pour tous les observateurs. NOTATIONS : Un doaine géoétrique sera notéd g (c est une région de l espacee 3 déliité par une frontière); Le doaine de l espace qu il occupe à l instant t sera notéd g t ; Sa frontière (a priori obile) à l instant t sera notée D g t. VOCABULAIRE : En therodynaique, les doaines géoétriques sont appelés systèes ouverts. En écanique des fluides, ils sont souvent aussi appelés volues de contrôle Coparaison entre les deux types de doaines Les deux types de doaines on chacun leur intérêt : Les doaines atériels sont les préférés des écaniciens des solides déforables. En effet, leur sujet d étude est le coporteent d un objet déforable toujours constitué des êes particules : les particules de l objet déforable. Les doaines géoétriques sont les préférés des écaniciens des fluides. En effet, en écanique des fluides (liquides ou gaz), on ne se préoccupe que de l évolution des grandeurs physiques des particules qui sont à l intérieur du doaine géoétrique à un certain instant, plutôt que de se préoccuper de l histoire individuelle des particules, notaent lorsqu elles sont hors du doaine géoétrique. REMARQUE : Les écaniciens des fluides qui n envisagent que des doaines géoétriques supposent souvent ipliciteent (et parfois un peu trop vite) que ces doaines géoétriques ont des frontières fixes. Il n est pas toujours possible de trouver un observateur pour lequel le doaine géoétrique est fixe. Par exeple, si on considère le doaine géoétrique défini coe l espace à l intérieur d une turboachine, il y a des parties de frontières qui sont obiles (les aubages qui tournent) par rapport à d autres parties de frontières (les parois) et il n est pas possible de trouver un observateur pour lequel toutes les frontières du doaine géoétrique sont fixes. C est pourquoi dans la suite, pour ne pas restreindre la généralité des équations, les frontières d un doaine géoétriques seront a priori considérées coe obiles (ais le ouveent des frontières est sans rapport avec celui des particules du ilieu continu). 4. En therodynaique coe en écanique des fluides, il est parfois sous-entendu que les frontières d un doaine géoétrique sont fixes (pour un certain observateur). 2

7 1.2. Grandeurs physiques extensives 1.2 Grandeurs physiques extensives DÉFINITION : On dit qu une grandeur physique globale A (scalaire, vectorielle ou tensorielle) évaluée pour un doained (atériel ou géoétrique) est extensive si sa valeur pour le doained est la soe des valeurs dea pour tous les sous-doaines d une partition quelconque ded : { } n A extensive et D = n i=1 D i et D i D j = / (i j) A(D)= A(D i ) Dans ces conditions, on peut affirer 5 qu il existe un chap défini dans le doained, appelé densité voluique dea et notéa v (M) tel que : A(D)= A v (M) dv D Toutes les grandeurs physiques ne sont pas extensives. Les grandeurs physiques non extensives sont dites intensives. i=1 EXEMPLES : Le volue (scalaire), la asse (scalaire), l énergie cinétique (scalaire), la quantité de ouveent (vecteur) sont des grandeurs extensives. La tepérature (scalaire), la pression (scalaire), la déforation (tenseur d ordre 2) sont des grandeurs intensives Application à un doaine atériel Puisque dans un doaine atériel, les particules qu il contient sont toujours les êes, on peut identifier ses particules indifféreent par la éthode de Lagrange (par leur position de référence) ou par la éthode d Euler (par leur position actuelle). La position de référence du doaine atériel sera notéed. SiA est une grandeur extensive, sa valeur actuelle pour le doaine atérield peut s écrire de deux anières : A(D,t)= A v E(x t,t) dv t = A v L(x,t)K vl (x,t) dv (1.1) D où K v est la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd 6. Le tere K vl (x,t) est sa description de Lagrange. PRÉCISIONS : Pour passer de l intégrale sur le doaine actuel à l intégrale sur le doaine de référenced, on effectue le changeent de variable x t = f(x,t), où f est la description de Lagrange du ouveent 7. On a donc : A v E (x t,t)=a v E ( f(x,t),t)=a v L (x (,t) =A v (P,t) ) et dv t = K v dv Application à un doaine géoétrique Contraireent aux doaines atériels, on ne peut identifier les particules qui sont actuelleent dans un doaine géoétrique que par la éthode d Euler, car ce sont les valeurs dea v pour les particules qui sont actuelleent dans le doaine qui sont l objet de l intégration (elles ne sont peut-être plus dans le doaine D g t à un autre instant). En conséquence, la valeur actuelle de la grandeur extensivea(d g,t) s écrira exclusiveent avec une description d Euler du chapa v : A(D g,t)= A v E(x t,t) dv t (1.2) g 5. Théorèe de Radon en théorie de la esure. 6. Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section Voir Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section 2.2 et 2.4 3

8 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX 1.3 Rappel : dérivées teporelles d intégrales à bord variables Que les doaines envisagés soient atériels ou géoétriques, on aura besoin, dans les chapitres qui suivent, d écrire la dérivée teporelle d intégrales sur ces doaines. Les frontières du doaine d intégration sont a priori variables avec le teps. La variation teporelle d une intégrale de volue dont le doaine d intégration varie avec le teps est due à la fois à la variation teporelle de l intégrande et à la variation teporelle du doaine d intégration. On rappelle le résultat athéatique suivant 8 : où : d A v (x,t) dv t = dt t A v (x,t) dv t + A v (x,t)(v f n t ) ds t (1.3) A v (x,t) est un chap défini dans une portion l espacee 3 contenant tous les doaines ( t appartenant à l intervalle d étude [t 1,t 2 ]) ; v f est la vitesse des points de la frontière du doaine d intégration ; n t est la norale unitaire extérieure actuelle à la frontière. 1.4 Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine atériel SoitA une grandeur extensive dont la densité voluique esta v (P,t). Si le chapa v est décrit par la éthode d Euler La valeur actuelle de la grandeur extensive pour le doaine atérield est : A(D,t)= A v E(x t,t) dv t (voir (1.1) page 3) D t Le doaine d intégration est variable avec le teps. Le doaine étant atériel, la vitesse d un point de la frontière du doaine d intégration est la vitesse de la particule qui s y trouve, on a donc : v f = v(p,t). En vertu du théorèe (1.3), la dérivée teporelle dea(d,t) s écrit donc : d dt A(D,t)= t A v E(x t,t) dv t + A v E(x t,t)(v E (x t,t) n t ) ds t (1.4) Le chap v E (x t,t) étant défini dans tout le doaine d intégration, on peut utiliser le théorèe de la divergence 9 pour transforer l intégrale de frontière ) en une intégrale de) volue. En rearquant que :A v E (x t,t) (v E (x t,t) n t =( A v E (x t,t) v E (x t,t) n t, il vient : D t A v E(x t,t)(v E (x t,t) n) ds t = ) div( A v E(x t,t) v E (x t,t) dv On obtient ainsi une seconde expression de la dérivée teporelle dea(d,t) : d dt A(D,t)= (sia est scalaire, est un produit siple) ( t A v E(x t,t)+div ( A v E(x t,t) v E (x t,t) )) dv t (1.5) 8. Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section 3.8 4

9 1.4. Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine atériel En développant la divergence 1, on obtient une troisièe expression de la dérivée teporelle dea(d,t) : d dt A(D,t)= d dt A(D,t)= D t D t ( t A ) v E(x t,t)+grad E A v (x t,t) v E (x t,t)+div E v(x t,t)a v (x t,t) dv t (ȦA v E(x t,t)+d ve (x t,t)a v (x t,t)) dv t (définition de la dérivée particulaire) (1.6) où : ȦA v E est la description d Euler de la dérivée particulaire 11 de la densité voluiquea v ; d ve = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Si le chapa v est décrit par la éthode de Lagrange La valeur actuelle de la grandeur extensive pour le doaine atérield est : A(D,t)= A v L(x,t)K vl (x,t)dv (voir (1.1) page 3) D où K vl est la description de Lagrange de la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd. Le doaine d intégrationd est, par définition, indépendant du teps. La vitesse des points de la frontière du doaine d intégration est donc nulle (v f = ). En vertu du théorèe (1.3) page 4, la dérivée teporelle dea(d,t) est donc : d dt A(D,t)= = = d dt A(D,t)= D D D D t ( A v L(x,t)K vl (x,t)) dv (d après (1.3) page 4) (1.7) d ( A v dt L(x,t)K vl (x,t)) dv (x ne dépend pas de t) (ȦA v L(x,t)+A v d dt L(x,t) K vl(x,t)) K vl (x,t)dv K vl (x,t) (ȦA v L(x,t)+A v L(x,t)d vl (x,t)) K vl (x,t)dv (1.8) où : ȦA v L est la description de Lagrange de la dérivée particulaire de la densité voluiquea v ; K vl est la description de Lagrange de la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd ; d vl = K v actuel. K v = K vl K vl = K ve K ve = TrD=div E v est la description de Lagrange du taux de dilatation voluique Les trois équations (1.4) page 4, (1.5) page 4 et (1.6) page 5 (avec des descriptions d Euler), ainsi que les deux équations (1.7) et (1.8) (avec des descriptions de Lagrange) sont toutes des expressions équivalentes de la dérivée teporelle dea(d,t) sur un doaine atériel quanda est une grandeur extensive. On peut les utiliser indifféreent, selon les teres que l on a envie de voir apparaître. 1. Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section 2.7 5

10 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX 1.5 Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine géoétrique SoitA une grandeur extensive dont la densité voluique esta v (P,t). Dans un doaine géoétrique (de frontière a priori variable avec le teps), la seule anière de décrire les grandeurs des particules qui s y trouvent est la éthode d Euler : A(D g,t)= A v E(x t,t) dv t (voir (1.2) page 3) g Le doaine d intégrationd g t est a priori variable avec le teps, ais contraireent au doaines atériels, la vitesse des points de la frontière est sans rapport avec la vitesse des particules du ilieu continu qui s y trouvent. En vertu du théorèe (1.3) page 4, la dérivée teporelle dea(d,t) s écrit donc : d dt A(D g,t) dv t = g t A v E(x t,t) dv t + A v E(x t,t)(v f n t ) ds t (voir (1.3) page 4) (1.9) g REMARQUE : S il existe un observateur pour lequel toute la frontière du doaine géoétrique est fixe, alors v f = et, pour cet observateur, l intégrale de bord disparaît. On obtient une seconde expression de la dérivée teporelle dea(d g,t) en notant que le théorèe de la divergence iplique : D g t ) div( A v E(x t,t) v E (x t,t) dv t = A v E(x t,t)(v E (x t,t) n t ) ds t g (sia est scalaire, est un produit siple) En ajoutant le tere de gauche et en retranchant le tere de droite de cette équation à l équation (1.9), il vient : où : d dt A(D g,t) dv t = g t A ( v E(x t,t)+div A v E(x t,t) v E (x t,t)) } {{ } τ dv t + A v E(x t,t)(v f v E ) n t ds t } g {{ } Φ (1.1) le tere τ est appelé taux 12 de production voluique dea (unité : [A ]. 3.s 1 ) ; le tere g τ dv t est appelé taux de production interne dea (unité : [A ].s 1 ) ; le tere Φ est appelé flux entrant 13 dea à travers la frontière (unité : [A ].s 1 ). La nouvelle expression (1.1) de la dérivée teporelle dea(d g,t) est souvent appelée équation de bilan de la grandeur extensivea pour le doaine géoétriqued g. On interprète cette équation en disant que la variation teporelle de la grandeur extensive A dans le doaine géoétriqued g est due à la production interne dea à l intérieur du doaine géoétrique et au flux entrant dea à travers la frontière. En développant la divergence dans l expression de τ, on obtient une troisièe expression de la dérivée 12. Attention, ici le ot «taux» signifie ici une dérivée teporelle siple et non une dérivée teporelle logarithique coe on l a vu dans d autres contextes. Ces dénoinations, consacrées par l usage, peuvent induire en erreur. 13. Certains auteurs appellent «flux» l intégrande de Φ. Son unité est alors : [A ]. 2.s 1. 6

11 1.6. Rappel : lee fondaental teporelle dea(d g,t) : d dt A(D g,t) dv t = g d dt A(D g,t) dv t = g t A ) v E(x t,t)+grad E A v (x t,t) v E (x t,t)+div E v(x t,t)a v E(x t,t) dv t + A v E(x t,t)(v f v E (x t,t)) n t ds t (ȦA ) v E(x t,t)+d ve (x t,t)a v E(x t,t) } {{ } τ D g t dv t + A v E(x t,t)(v f v E (x t,t)) n t ds t } g {{ } Φ (1.11) où d ve = K v K v = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Les équations (1.9), (1.1) et (1.11) sont toutes des expressions équivalentes de la dérivée teporelle de A(D g,t) sur un doaine géoétrique quanda est une grandeur extensive. On peut les utiliser indifféreent, selon les teres que l on a envie de voir apparaître. 1.6 Rappel : lee fondaental THÉORÈME : SoitA(M) un chap (scalaire, vectoriel ou tensoriel) défini danse 3 et soit un doaine D E 3. On a l équivalence suivante : D A(M) dv= MA(M)= (1.12) D Autreent dit : si l intégrale d un chap est nulle quel que soit son doaine d intégration, alors le chap est nul. Ce lee (la déonstration est donnée en annexe A.1 page 69) sera systéatiqueent utilisé dans les chapitres qui suivent pour déduire les expressions locales des principes fondaentaux. 1.7 Convention de notation Pour alléger les écritures, on convient de ne plus faire figurer dans la suite du cours les arguents des descriptions d Euler et de Lagrange. Il est sous entendu que la description de Lagrange d un chap pour un certain observateurr a pour arguents (x,t) et que sa description d Euler a pour arguents (x t,t). 1.8 En bref... Pour appliquer les principes fondaentaux de la physique classique, on raisonne sur deux sortes de doaines : les doaines atériels et les doaines géoétriques. Ces doaines ont en général des frontières (ou des parties de frontières) variables avec le teps. Les grandeurs physiques extensives perettent de définir des chaps de densités voluiques de ces grandeurs, qui peuvent être décrits par la éthode de Lagrange (seuleent pour les doaines atériels) ou par la éthode d Euler (pour les doaines atériels ou géoétriques). 7

12 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX Suivant le type de doaine (atériel ou géoétrique) et suivant le ode de description (Lagrange ou Euler) du chap de densité voluiquea v, les dérivées teporelles d une grandeur extensivea(d,t), définie sur un doaine s écrivent sous différentes fores : sur un doaine atérield (description d Euler ou de Lagrange): d dt A(D,t)= d dt A v E dv t = = D t D t = d dt A(D,t)= d A v dt D L K vl dv = D t A v E dv t + A v E(v E n t ) ds t (1.13) ( t A ) v E+ div(a v E v E ) dv t (1.14) } {{ } τ E (ȦA v E+ d ve A v E } {{ } τ E ) dv t (1.15) (ȦA v L+ d vl A v L } {{ } τ L )K vl dv (1.16) où sur un doaine géoétriqued g (description d Euler uniqueent): d dt A(D g,t)= d dt g A v E dv t = = D g t D g t = g t A v E dv t + A v E(v f n t ) ds t (1.17) g ( t A ) v E+ div(a v E v E ) dv t + A v E(v f v E ) n t ds t } {{ } } g {{ } τ E Φ (1.18) ) dv t + τ E (ȦA v E+ d ve A v E } {{ } A v E(v f v E ) n t ds t } g {{ } Φ (1.19) v f est la vitesse d un point de la frontière d un doaine géoétrique ; K v est la dilatation voluique actuelle (dans une déforation dont l état de référence estd ) ; d v est le taux de dilatation voluique actuel ; τ est le taux de production voluique dea à l intérieur du doaine (atériel ou géoétrique) ; Φ est le flux dea entrant dans le doaine géoétrique à travers les fontières (convection). Il est nul pour les doaines atériels. 8

13 Chapitre 2 Conservation de la asse 2.1 Concept de asse en écanique des ilieux continus La asse est une esure de la quantité de atière. Par principe, la asse d un doaine est une grandeur scalaire (un tenseur d ordre ), extensive (la asse d un doaine est la soe des asses d une de ses partitions) et objective (sa valeur est la êe pour tous les observateurs). Dans le cadre d un odèle continu de la atière se trouvant dans un doaine, l extensivité peret d affirer l existence dans ce doaine d un chap de densité voluique de asse appelé asse voluique actuelle, traditionnelleent notée ρ 1. La asse d un doaine atérield, de position de référenced et de position actuelled t peut s écrire avec une description de Lagrange ou une description d Euler des asses voluiques (voir (1.1) page 3, aveca = eta v = ρ scalaires) : (D,t)= = D t D ρ E (x t,t) dv t = ρ E dv t ρ L (x,t)k vl dv = ρ L K vl dv D où K v est la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd, et K vl est sa description de Lagrange. La asse d un doaine géoétriqued g s écrit uniqueent avec une description d Euler du chap des asses voluiques (voir (1.2) page 3, aveca = M eta v = ρ scalaires): (D g,t)= ρ E (x t,t) dv t = ρ E dv t g g 2.2 Principe de la conservation de la asse Une des anières d exprier le principe de la conservation de la asse est le suivant 2 : PRINCIPE : La asse de tout doaine atériel est invariante dans le teps. 1. On devrait la noter v t ou ρ t 2. On peut exprier le principe de la conservation de la asse de différentes anières. Celle choisie ici, expriée pour un doaine atériel, seble la plus intuitive à l auteur. D autres préfèrent l exprier avec un doaine géoétrique, en disant que la production de asse y est nulle (voir (1.1) page 6). Dans ce cours, l expression du principe sur un doaine géoétrique devient un théorèe. 9

14 2. CONSERVATION DE LA MASSE Si le chap des asses voluiques du doaine atériel est décrit par la éthode d Euler, le principe de la conservation de la asse pour un doaine atérield s écrit : où : = d dt (D,t)= d ρ E dv t (voir (1.1) page 3) dt ( ρe ) = + div E (ρv) dv t (voir (1.14) page 8) (2.1) t = ( ρ E + ρ E d ve ) dv t (voir (1.15) page 8) (2.2) D t ρ E est la description d Euler de la dérivée particulaire de la asse voluique actuelle ; d ve = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Si le chap des asses voluiques du doaine atériel est décrit par la éthode de Lagrange, le principe de la conservation de la asse pour un doaine atérield s écrit : où : = d dt (D,t)= d ρ L K vl dv (voir (1.1) page 3) dt D = ( ρ L + ρ L d vl )K vl dv (voir (1.16) page 8) (2.3) D ρ L est la description de Lagrange de la dérivée particulaire de la asse voluique actuelle ; K vl est la description de Lagrange de la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd ; d vl = div E v=trd est la description de Lagrange du taux de dilatation voluique actuel. 2.3 Fore locale du principe de la conservation de la asse Le principe de la conservation de la asse est vrai quel que soit le doaine atériel considéré. En vertu du lee fondaental rappelé en (1.12) page 7, on peut en déduire des expressions locales du principe de la conservation de la asse : On déduit de (2.1) et (2.2) page 1 que 3 : ρ t + div E(ρv)= ρ+ρ d v = ρ ρ = d v (2.4) où d v = K v K v = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Cette équation différentielle est l écriture locale de la conservation de la asse. Elle est souvent appelée équation de continuité 4. Le taux de dilatation voluique (concept cinéatique) est l opposé du taux de variation (dérivée teporelle logarithique) de la asse voluique. REMARQUES : 1. En rearquant que ρ E +ρ E d ve est le taux de production voluique de asse (voir (1.19) page 6, aveca = ), on interprète l équation de continuité (2.4) en disant que quand le principe de la conservation de la asse 3. On a enlevé les indices E inutiles car par définitiona E (x t,t)=a L (x,t)=a(p,t). 4. Cette dénoination est consacrée par l usage. La «continuité» évoquée ici n a rien à voir avec la continuité des applications qu on évoque en athéatiques. 1

15 2.4. Bilan de asse pour un doaine géoétrique est vrai, le taux de production voluique de asse dans le doaine est nul. Il est possible de prendre cette conclusion coe principe fondaental, l équation locale (2.4) est alors un principe dont on peut déduire les expressions globales sur un doaine atériel ou géoétrique. 2. On obtient le êe résultat en utilisant le lee (1.12) page 7 sur les expressions globales lagrangiennes de la conservation de la asse (2.3) page 1 (la dilatation voluique K v est toujours stricteent positive). L équation différentielle (2.4) peut s intégrer teporelleent entre les instants t et t : ρ ρ = d v = K v ρ= C C ρ L (x,t)= K v K v K vl (x,t) Pour t = t, on a : K vl (x,t )=1 et ρ L (x,t )=ρ (x ) où ρ (x ) est la asse voluique de la particule x à l instant de référence t (asse voluique «initiale»). On en déduit que C=ρ (x ). On a donc : K vl = ρ (x ) ρ L (x,t) = ρ (P) ρ(p,t) K v = ρ ρ (2.5) Le principe de la conservation de la asse iplique l égalité entre la dilatation voluique actuelle K v (concept cinéatique) et le rapport des asses voluiques initiale et actuelle. Dans une déforation entre les instants t et t, la asse voluique n est donc pas constante en général. Elle ne l est que dans une déforation isovolue 5 (K v = 1). 2.4 Bilan de asse pour un doaine géoétrique Dans un doaine géoétriqued g, la asse du ilieu continu contenu dans le doaine ne se conserve pas au cours du teps. En effet : où : d dt (D g,t)= g ρ E + d ve ρ E } {{ } τ = dv t + ρ E (v f v E ) n t ds t } g {{ } Φ (voir (1.19) page 8 aveca = ) d dt (D g,t)= ρ E (v f v E ) n t ds t = Φ (2.6) g v f est la vitesse des points de la frontière du doaine géoétrique; Φ est le débit assique entrant à travers la frontière du doaine géoétrique. La dérivée teporelle de la asse contenue dans un doaine géoétrique est égale au débit assique entrant à travers la frontière. REMARQUE : L énoncé ci-dessus peut aussi bien être pris coe principe de la conservation de la asse, et on peut en déduire la fore locale et la fore globale pour un doaine atériel coe étant des théorèes. 2.5 Densités assiques La distribution dans un doaine D (géoétrique ou atériel) d une grandeur physique extensive A peut aussi se décrire par des densités assiquesa (unité : [A ].kg 1 ) plutôt que par des densités voluiques A v (unité : [A ]. 3 ). On a évideent :A v = ρa. 5. En teres de tenseurs de déforation entre t et t, la condition K v = 1 se traduit par detu = detv = 1 ou encore dans le cas des petites perturbations par : Tr ε= (voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, sections 4.7 et ). 11

16 2. CONSERVATION DE LA MASSE Pour un doaine atériel : A(D,t)= = D t D A v E dv t = A v L K vl dv = ρ E A E dv t = D D t ρ L A L K vl dv = A E d (2.7) D A L ρ dv = A D L d (2.8) Pour un doaine géoétrique : A(D g,t)= D g t A v E dv t = ρ E A g E dv t = A g E d (2.9) On obtient de nouvelles expressions de la dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine qui seront utiles dans la suite quand on utilise des densités assiques. On a établi en (1.15) page 8 que pour un doaine atériel : d dt A(D,t)= (ȦA v E+ d ve A v E) dv t ( ) = (ρ E A E) + d ve ρ E A E dv t (A v E = ρ EA E ) = D t D t d dt A(D,t)= D (ρ E ȦA E + ρ E A E + d ve ρ E A E) dv t (conservation de la asse, voir (2.4) page 1) } {{ } ȦA E d (2.1) De êe, toujours pour un doaine atériel, à partir de (1.16) page 8, il vient : d dt A(D,t)= (ȦA v L+ d vl A v L)K vl dv D ( ) = (ρ L A L) + d vl ρ L A D L K vl dv (A v L = ρ LA L ) ( ) = ρ L ȦA L + ρ L A L + d vl ρ L A L K vl dv (conservation de la asse, voir (2.4) page 1) } {{ } d dt A(D,t)= ȦA D L ρ dv = ȦA D L d (K vl = ρ ρ L, voir (2.5) page 11) (2.11) Enfin, pour un doaine géoétrique, en utilisant (1.19) page 8: d dt A(D g,t)= (ȦA v E+ d ve A v E) dv t + A v E(v f v E ) n ds t g g ( ) = (ρ E A E) + d ve ρ E A E dv t + ρ E A E(v f v E ) n ds t (A v E = ρ EA E ) où : 12 d dt A(D g,t)= D g t D g t D g t ȦA E d+ ρ E A E(v f v E ) n ds t } g {{ } Φ (2.12) Φ (unité : [A ].s 1 ) est le flux dea entrant à travers la frontière du doaine géoétrique (il est nul pour un doaine atériel) ; ȦA = τρ 1 est la dérivée particulaire de la densité assiquea ; c est aussi le taux de production assique de la quantité extensivea à l intérieur du doaine.

17 2.6. En bref En bref... La asse d un doaine atériel est une grandeur scalaire, extensive, objective et invariante dans le teps, qui esure la quantité de atière contenue dans le doaine atériel. L expression locale du principe de la conservation de la asse pour un ilieu continu est une équation différentielle appelée équation de continuité. La asse d un doaine géoétrique est variable dans le teps car de la atière traverse les frontières. On peut calculer la dérivée teporelle d une grandeur extensive A sur un doaine atériel ou géoétrique avec des intégrales de volue de densités voluiquesa v ou bien avec des intégrales de asse de densités assiquesa. 13

18 2. CONSERVATION DE LA MASSE 14

19 Chapitre 3 Principe fondaental de la dynaique 3.1 Rappel de écanique générale Observateurs galiléens DÉFINITION : Un observateur galiléen est un observateur pour lequel le ouveent des points atériels obéit à la loi de Newton : f = γ. On ne peut savoir si un observateur est galiléen ou non qu en faisant des expériences pour vérifier si les prédictions de la loi de Newton sont correctes ou non pour cet observateur 1. EXEMPLES D EXPÉRIENCES : La loi de Newton prédit qu un point atériel sans vitesse initiale et souis à une force constante se déplace en ligne droite. Elle prédit aussi qu un pendule lâché sans vitesse initiale oscille dans un plan fixe. Si pour un observateur, les prédictions de la loi de Newton sont considérées coe suffisaent correctes, on peut déclarer coe galiléen cet observateur. Déclarer galiléen un observateur, c est donc accepter une certaine approxiation dans la confrontation avec des expériences. EXEMPLES : Si on assiile un objet pesant à un point atériel, et si on utilise un observateur lié à la terre pour analyser son ouveent, cet objet est souis à une force constante (en preière approxiation) : son poids 2. Lâché sans vitesse initiale, la loi de Newton prévoit que sa trajectoire est une droite colinéaire au poids. En preière approxiation, on peut constater que c est vrai, cependant des esures fines ettent en évidence une petite déviation vers l est. De êe, si on observe le ouveent d un pendule siple, on constate que, pour un observateur terrestre, son plan d oscillation est sensibleent fixe. Mais une observation plus fine (pendule de Foucault) ontre que ce plan tourne à une faible vitesse. Selon que l on considère que la déviation vers l est de la chûte des corps ou que la vitesse de rotation du plan d oscillation d un pendule sont négligeables ou non, on décide si un observateur terrestre est galiléen ou non. Tous les observateurs dont le ouveent par rapport à un observateur galiléen est une translation à vitesse constante sont aussi des observateurs galiléens car pour tous ces observateurs l accélération d un point atériel est la êe. On ne peut donc pas distinguer un observateur galiléen absolu. La loi de Newton f = γ n est donc pas une loi universelle 3. On peut la rendre artificielleent universelle en ajoutant aux forces extérieures agissant sur un point atériel des forces extérieures fictives appelées forces d inertie (d entraîneent et de Coriolis). La loi de Newton est alors vraie pour tous les observateurs, ais les forces extérieures agissant sur un point atériel sont la soe de forces réelles 4 et de forces fictives ; elles ne sont plus les êes pour tous les observateurs. 1. On rappelle que la valeur de l accélération d un point atériel dépend de l observateur utilisé pour observer le ouveent. 2. Il faut faire l expérience dans le vide pour éliiner l action de l air. 3. C est-à-dire valable pour tous les observateurs. La seule écanique dont les lois sont universelles est celle de la théorie appelée Relativité générale due à Einstein. 4. C est-à-dire dont la source est identifiée. 15

20 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Rappel des théorèes généraux On ontre en écanique générale, que pour tout enseble de points atériels (fini ou infini), dont le ouveent est observé par un observateur galiléen, les trois théorèes qui suivent rasseblent toutes les conséquences des lois fondaentales énoncées par Newton 5 pour des points atériels : 1. Théorèe de la résultante dynaique : THÉORÈME : La résultante dynaique (soe des quantités d accélération) est égale à la résultante des actions écaniques extérieures. 2. Théorèe du oent dynaique : THÉORÈME : Le oent dynaique en un point (soe des oents en ce point des quantités d accélération) est égale au oent en ce point des actions écaniques extérieures. 3. Théorèe de la puissance cinétique : THÉORÈME : La puissance cinétique (dérivée teporelle de l énergie cinétique) est égale à la soe de la puissance des efforts extérieurs et de la puissance des efforts intérieurs. REMARQUE : Ces théorèes sont encore vrais pour un observateur non galiléen si on ajoute aux forces extérieures des forces d inertie fictives d entraîneent et de Coriolis. 3.2 Application aux doaines atériels On considère aintenant un doaine atériel de ilieu continu (c est-à-dire un enseble de particules, voir la définition en (1.1.1) page 1). On note la position actuelle de ce doaine atériel. Ce doaine contient une infinité de particules. Son extérieur est par définition le reste de l univers. DÉFINITION : On appelle actions écaniques extérieures à un doaine l action écanique de l extérieur du doaine sur ce doaine. L objet de la écanique (des ilieux continus ou non) est de trouver les relations entre le ouveent du doaine atériel 6 choisi et les sollicitations écaniques de son extérieur Efforts extérieurs sur un doaine atériel Les actions écaniques extérieures sur un doaine atériel de ilieu continu peuvent se classer en deux catégories : les actions écaniques à distance et les actions écaniques de contact. Modélisation des actions écaniques extérieures à distance Les actions écaniques extérieures à distance agissent sur toutes les particules du doaine. On les odélise par un chap de densité voluique de force 7, qu on notera f v (unité : N. 3 ) ou par un chap de densité assique de forces que l on notera f (unité : N.kg 1 =.s 2 ). Le vecteur f v représente la force totale par unité de volue (gravitationnelle, électrostatique... ) exercée par le reste de l univers sur la particule. A priori, la valeur de cette densité voluique de force dépend du 5. La loi f = γ, et l action d un point atériel sur un autre est une force colinéaire à la droite qui joint les deux points atériels (interactions de Newton). 6. On verra plus loin coent on peut envisager des doaines géoétriques 7. Noter que l on n envisage pas de densité voluique de oent. De ce fait, on éliine la possibilité d actions agnétiques. Le coporteent électroagnétique des ilieux continus n est pas envisagé dans ce cours. Il deanderait une refonte de toute la cinéatique des ilieux continus : la position à un instant t d un ilieu continu n est pas coplèteent décrite par la seule position actuelle de ses particules ais aussi par leur orientation actuelle (dipôles agnétiques par exeple). 16