Équations générales des milieux continus

Transcription

1 Équations générales des ilieux continus Jean Garrigues 1 ai 212

2 ii

3 Avant-propos L objectif de ce cours est d établir les équations générales régissant tous les ilieux continus, qu ils soient solides ou fluides. Les développeents qui suivent se placent dans le cadre de la physique classique (non relativiste et non quantique). Les équations générales des ilieux continus sont donc les conséquences des quatre principes fondaentaux de la physique classique 1 : 1. le principe de la conservation de la asse ; 2. le principe fondaental de la écanique ; 3. le preier principe de la therodynaique, encore appelé principe de la conservation de l énergie ; 4. le second principe de la therodynaique. En ce qui concerne le principe fondaental de la écanique, l auteur a choisi résoluent de conserver le principe fondaental de Newton, c est-à-dire celui qui est généraleent posé dans les cours de écanique générale éléentaires. Ce choix est un choix pédagogique : plutôt de coencer la écanique des ilieux continus par l énoncé d un nouveau principe fondaental (le principe des travaux virtuels ou des puissances virtuelles 2 ), il seble préférable à l auteur de se baser sur les connaissances classiques acquises en écanique générale. Les connaissances préalables de écanique générale nécessaires à la lecture de ce cours se résuent aux trois théorèes généraux pour des ensebles de points atériels (finis ou non) : 1. le théorèe de la résultante dynaique ; 2. le théorèe du oent dynaique ; 3. le théorèe de la puissance cinétique (dérivée teporelle de l énergie cinétique). La lecture de ce cours suppose aussi une aîtrise suffisante de l algèbre et de l analyse tensorielle 3 ainsi que de la cinéatique des ilieux continus 4. Dans la esure du possible, on respectera les conventions typographiques suivantes : les nobres réels sont en inuscules italiques (exeple : a,µ); les vecteurs sont en inuscules italiques grasses (exeple : v); les tenseurs sont en ajuscules italiques grasses (exeple : T ); les teres d une atrice sont rangés dans un tableau entre crochets, à deux indices, l indice de gauche est l indice de ligne, et l indice de droite est l indice de colonne : [ ] = [ i j ] la transposition des atrices est notée avec un T en exposant (exeple : M T ); les espaces d entités athéatiques sont en ajuscules doublées (exeples : l espace des réels : R, l espace des vecteurs de diension 3 : V 3 ). le produit vectoriel de deux vecteurs de V 3 est noté. 1. En fait, on peut déontrer que si le principe de la conservation de l énergie est universel et si les grandeurs calorifiques scalaires ou vectorielles sont objectives, les deux preiers principes (asse et écanique) en sont des conséquences (voir l article 2. Dans ce cours, ils apparaîtont donc coe des théorèes. 3. L auteur propose un autre cours intitulé Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus. 4. L auteur propose un autre cours intitulé Cinéatique des ilieux continus. iii

4 iv

5 Chapitre 1 Concepts fondaentaux Avant d aborder l écriture des principes fondaentaux et leurs conséquences pour les ilieux continus, il est nécessaire d introduire des concepts indispensables à la bonne copréhension des chapitres suivants. 1.1 Les doaines de ilieux continus Dans l étude des ilieux continus, on applique les principes fondaentaux à des doaines de ilieux continus. Coe on va le voir, on peut définir deux sortes de doaines. Dans la littérature spécialisée, les auteurs ne précisent pas toujours quelle est la définition de ce qu ils appellent doaine de ilieu continu, et cette iprécision est à l origine de nobreux alentendus. On consacre cette section à en donner des définitions rigoureuses Doaine atériel DÉFINITION : Un doaine atériel est défini par l enseble des particules (a priori en ouveent) qui le constituent. Si une particule appartient au doaine atériel à un instant t, elle lui appartient donc à tout instant. REMARQUE : Étant défini par les particules qui le constituent, un doaine atériel a la êe définition pour tous les observateurs 1. Un doaine atériel se déplace et se défore en raison du ouveent de ses particules 2. Quand on considère un doaine atériel, on dit souvent que «l on suit le doaine dans son ouveent». Il n y a donc pas de atière qui traverse la frontière obile. Le doaine atériel étant en ouveent, l enseble des positions actuelles de ses particules définit une région de l espace qui change à chaque instant. NOTATIONS : un doaine atériel sera notéd (c est un enseble de particules); le doaine de l espace qu il occupe à l instant t sera notéd t ; sa frontière à l instant t sera notée D t. VOCABULAIRE : En therodynaique, les doaines atériels sont appelés systèes ferés Iaginer que l on a peint en rouge toutes les particules du doaine atériel. 2. Ce ouveent est différent pour chaque observateur. 3. Avec parfois une petite nuance : les therodynaiciens supposent parfois ipliciteent que la frontière étanche à la atière est fixe. Nous ne ferons évideent pas cette restriction. 1

6 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX Doaine géoétrique DÉFINITION : Un doaine géoétrique est défini par l enseble des points géoétriques dee 3 qui le constituent. Coe pour tout doaine, la frontière d un doaine géoétrique est une surface ferée. Quand le ilieu continu est en ouveent, les particules qui sont dans le doaine géoétrique à un instant t ne sont pas les êes que celles qui s y trouvent à un instant t. On dit que le doaine géoétrique est «traversé par le ilieu continu». Il y a donc des particules qui traversent la frontière (ou une partie de frontière), en entrant ou en sortant du doaine géoétrique. Dans ce cours, les frontières des doaines géoétriques seront considérées a priori coe obiles pour l observateur choisi, ais le ouveent de ses frontières est sans rapport avec celui des particules qui s y trouvent. REMARQUE : Un doaine géoétrique étant défini par des points dee 3, chaque observateur attribue une position et un ouveent différent aux points de sa frontière. Toutefois, puisque tous les observateurs attribuent la êe distance à tout couple de points géoétriques(m 1,M 2 ), la fore du doaine géoétrique à un instant donné est la êe pour tous les observateurs. NOTATIONS : Un doaine géoétrique sera notéd g (c est une région de l espacee 3 déliité par une frontière); Le doaine de l espace qu il occupe à l instant t sera notéd g t ; Sa frontière (a priori obile) à l instant t sera notée D g t. VOCABULAIRE : En therodynaique, les doaines géoétriques sont appelés systèes ouverts. En écanique des fluides, ils sont souvent aussi appelés volues de contrôle Coparaison entre les deux types de doaines Les deux types de doaines on chacun leur intérêt : Les doaines atériels sont les préférés des écaniciens des solides déforables. En effet, leur sujet d étude est le coporteent d un objet déforable toujours constitué des êes particules : les particules de l objet déforable. Les doaines géoétriques sont les préférés des écaniciens des fluides. En effet, en écanique des fluides (liquides ou gaz), on ne se préoccupe que de l évolution des grandeurs physiques des particules qui sont à l intérieur du doaine géoétrique à un certain instant, plutôt que de se préoccuper de l histoire individuelle des particules, notaent lorsqu elles sont hors du doaine géoétrique. REMARQUE : Les écaniciens des fluides qui n envisagent que des doaines géoétriques supposent souvent ipliciteent (et parfois un peu trop vite) que ces doaines géoétriques ont des frontières fixes. Il n est pas toujours possible de trouver un observateur pour lequel le doaine géoétrique est fixe. Par exeple, si on considère le doaine géoétrique défini coe l espace à l intérieur d une turboachine, il y a des parties de frontières qui sont obiles (les aubages qui tournent) par rapport à d autres parties de frontières (les parois) et il n est pas possible de trouver un observateur pour lequel toutes les frontières du doaine géoétrique sont fixes. C est pourquoi dans la suite, pour ne pas restreindre la généralité des équations, les frontières d un doaine géoétriques seront a priori considérées coe obiles (ais le ouveent des frontières est sans rapport avec celui des particules du ilieu continu). 4. En therodynaique coe en écanique des fluides, il est parfois sous-entendu que les frontières d un doaine géoétrique sont fixes (pour un certain observateur). 2

7 1.2. Grandeurs physiques extensives 1.2 Grandeurs physiques extensives DÉFINITION : On dit qu une grandeur physique globale A (scalaire, vectorielle ou tensorielle) évaluée pour un doained (atériel ou géoétrique) est extensive si sa valeur pour le doained est la soe des valeurs dea pour tous les sous-doaines d une partition quelconque ded : { } n A extensive et D = n i=1 D i et D i D j = / (i j) A(D)= A(D i ) Dans ces conditions, on peut affirer 5 qu il existe un chap défini dans le doained, appelé densité voluique dea et notéa v (M) tel que : A(D)= A v (M) dv D Toutes les grandeurs physiques ne sont pas extensives. Les grandeurs physiques non extensives sont dites intensives. i=1 EXEMPLES : Le volue (scalaire), la asse (scalaire), l énergie cinétique (scalaire), la quantité de ouveent (vecteur) sont des grandeurs extensives. La tepérature (scalaire), la pression (scalaire), la déforation (tenseur d ordre 2) sont des grandeurs intensives Application à un doaine atériel Puisque dans un doaine atériel, les particules qu il contient sont toujours les êes, on peut identifier ses particules indifféreent par la éthode de Lagrange (par leur position de référence) ou par la éthode d Euler (par leur position actuelle). La position de référence du doaine atériel sera notéed. SiA est une grandeur extensive, sa valeur actuelle pour le doaine atérield peut s écrire de deux anières : A(D,t)= A v E(x t,t) dv t = A v L(x,t)K vl (x,t) dv (1.1) D où K v est la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd 6. Le tere K vl (x,t) est sa description de Lagrange. PRÉCISIONS : Pour passer de l intégrale sur le doaine actuel à l intégrale sur le doaine de référenced, on effectue le changeent de variable x t = f(x,t), où f est la description de Lagrange du ouveent 7. On a donc : A v E (x t,t)=a v E ( f(x,t),t)=a v L (x (,t) =A v (P,t) ) et dv t = K v dv Application à un doaine géoétrique Contraireent aux doaines atériels, on ne peut identifier les particules qui sont actuelleent dans un doaine géoétrique que par la éthode d Euler, car ce sont les valeurs dea v pour les particules qui sont actuelleent dans le doaine qui sont l objet de l intégration (elles ne sont peut-être plus dans le doaine D g t à un autre instant). En conséquence, la valeur actuelle de la grandeur extensivea(d g,t) s écrira exclusiveent avec une description d Euler du chapa v : A(D g,t)= A v E(x t,t) dv t (1.2) g 5. Théorèe de Radon en théorie de la esure. 6. Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section Voir Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section 2.2 et 2.4 3

8 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX 1.3 Rappel : dérivées teporelles d intégrales à bord variables Que les doaines envisagés soient atériels ou géoétriques, on aura besoin, dans les chapitres qui suivent, d écrire la dérivée teporelle d intégrales sur ces doaines. Les frontières du doaine d intégration sont a priori variables avec le teps. La variation teporelle d une intégrale de volue dont le doaine d intégration varie avec le teps est due à la fois à la variation teporelle de l intégrande et à la variation teporelle du doaine d intégration. On rappelle le résultat athéatique suivant 8 : où : d A v (x,t) dv t = dt t A v (x,t) dv t + A v (x,t)(v f n t ) ds t (1.3) A v (x,t) est un chap défini dans une portion l espacee 3 contenant tous les doaines ( t appartenant à l intervalle d étude [t 1,t 2 ]) ; v f est la vitesse des points de la frontière du doaine d intégration ; n t est la norale unitaire extérieure actuelle à la frontière. 1.4 Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine atériel SoitA une grandeur extensive dont la densité voluique esta v (P,t). Si le chapa v est décrit par la éthode d Euler La valeur actuelle de la grandeur extensive pour le doaine atérield est : A(D,t)= A v E(x t,t) dv t (voir (1.1) page 3) D t Le doaine d intégration est variable avec le teps. Le doaine étant atériel, la vitesse d un point de la frontière du doaine d intégration est la vitesse de la particule qui s y trouve, on a donc : v f = v(p,t). En vertu du théorèe (1.3), la dérivée teporelle dea(d,t) s écrit donc : d dt A(D,t)= t A v E(x t,t) dv t + A v E(x t,t)(v E (x t,t) n t ) ds t (1.4) Le chap v E (x t,t) étant défini dans tout le doaine d intégration, on peut utiliser le théorèe de la divergence 9 pour transforer l intégrale de frontière ) en une intégrale de) volue. En rearquant que :A v E (x t,t) (v E (x t,t) n t =( A v E (x t,t) v E (x t,t) n t, il vient : D t A v E(x t,t)(v E (x t,t) n) ds t = ) div( A v E(x t,t) v E (x t,t) dv On obtient ainsi une seconde expression de la dérivée teporelle dea(d,t) : d dt A(D,t)= (sia est scalaire, est un produit siple) ( t A v E(x t,t)+div ( A v E(x t,t) v E (x t,t) )) dv t (1.5) 8. Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section 3.8 4

9 1.4. Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine atériel En développant la divergence 1, on obtient une troisièe expression de la dérivée teporelle dea(d,t) : d dt A(D,t)= d dt A(D,t)= D t D t ( t A ) v E(x t,t)+grad E A v (x t,t) v E (x t,t)+div E v(x t,t)a v (x t,t) dv t (ȦA v E(x t,t)+d ve (x t,t)a v (x t,t)) dv t (définition de la dérivée particulaire) (1.6) où : ȦA v E est la description d Euler de la dérivée particulaire 11 de la densité voluiquea v ; d ve = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Si le chapa v est décrit par la éthode de Lagrange La valeur actuelle de la grandeur extensive pour le doaine atérield est : A(D,t)= A v L(x,t)K vl (x,t)dv (voir (1.1) page 3) D où K vl est la description de Lagrange de la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd. Le doaine d intégrationd est, par définition, indépendant du teps. La vitesse des points de la frontière du doaine d intégration est donc nulle (v f = ). En vertu du théorèe (1.3) page 4, la dérivée teporelle dea(d,t) est donc : d dt A(D,t)= = = d dt A(D,t)= D D D D t ( A v L(x,t)K vl (x,t)) dv (d après (1.3) page 4) (1.7) d ( A v dt L(x,t)K vl (x,t)) dv (x ne dépend pas de t) (ȦA v L(x,t)+A v d dt L(x,t) K vl(x,t)) K vl (x,t)dv K vl (x,t) (ȦA v L(x,t)+A v L(x,t)d vl (x,t)) K vl (x,t)dv (1.8) où : ȦA v L est la description de Lagrange de la dérivée particulaire de la densité voluiquea v ; K vl est la description de Lagrange de la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd ; d vl = K v actuel. K v = K vl K vl = K ve K ve = TrD=div E v est la description de Lagrange du taux de dilatation voluique Les trois équations (1.4) page 4, (1.5) page 4 et (1.6) page 5 (avec des descriptions d Euler), ainsi que les deux équations (1.7) et (1.8) (avec des descriptions de Lagrange) sont toutes des expressions équivalentes de la dérivée teporelle dea(d,t) sur un doaine atériel quanda est une grandeur extensive. On peut les utiliser indifféreent, selon les teres que l on a envie de voir apparaître. 1. Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section 2.7 5

10 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX 1.5 Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine géoétrique SoitA une grandeur extensive dont la densité voluique esta v (P,t). Dans un doaine géoétrique (de frontière a priori variable avec le teps), la seule anière de décrire les grandeurs des particules qui s y trouvent est la éthode d Euler : A(D g,t)= A v E(x t,t) dv t (voir (1.2) page 3) g Le doaine d intégrationd g t est a priori variable avec le teps, ais contraireent au doaines atériels, la vitesse des points de la frontière est sans rapport avec la vitesse des particules du ilieu continu qui s y trouvent. En vertu du théorèe (1.3) page 4, la dérivée teporelle dea(d,t) s écrit donc : d dt A(D g,t) dv t = g t A v E(x t,t) dv t + A v E(x t,t)(v f n t ) ds t (voir (1.3) page 4) (1.9) g REMARQUE : S il existe un observateur pour lequel toute la frontière du doaine géoétrique est fixe, alors v f = et, pour cet observateur, l intégrale de bord disparaît. On obtient une seconde expression de la dérivée teporelle dea(d g,t) en notant que le théorèe de la divergence iplique : D g t ) div( A v E(x t,t) v E (x t,t) dv t = A v E(x t,t)(v E (x t,t) n t ) ds t g (sia est scalaire, est un produit siple) En ajoutant le tere de gauche et en retranchant le tere de droite de cette équation à l équation (1.9), il vient : où : d dt A(D g,t) dv t = g t A ( v E(x t,t)+div A v E(x t,t) v E (x t,t)) } {{ } τ dv t + A v E(x t,t)(v f v E ) n t ds t } g {{ } Φ (1.1) le tere τ est appelé taux 12 de production voluique dea (unité : [A ]. 3.s 1 ) ; le tere g τ dv t est appelé taux de production interne dea (unité : [A ].s 1 ) ; le tere Φ est appelé flux entrant 13 dea à travers la frontière (unité : [A ].s 1 ). La nouvelle expression (1.1) de la dérivée teporelle dea(d g,t) est souvent appelée équation de bilan de la grandeur extensivea pour le doaine géoétriqued g. On interprète cette équation en disant que la variation teporelle de la grandeur extensive A dans le doaine géoétriqued g est due à la production interne dea à l intérieur du doaine géoétrique et au flux entrant dea à travers la frontière. En développant la divergence dans l expression de τ, on obtient une troisièe expression de la dérivée 12. Attention, ici le ot «taux» signifie ici une dérivée teporelle siple et non une dérivée teporelle logarithique coe on l a vu dans d autres contextes. Ces dénoinations, consacrées par l usage, peuvent induire en erreur. 13. Certains auteurs appellent «flux» l intégrande de Φ. Son unité est alors : [A ]. 2.s 1. 6

11 1.6. Rappel : lee fondaental teporelle dea(d g,t) : d dt A(D g,t) dv t = g d dt A(D g,t) dv t = g t A ) v E(x t,t)+grad E A v (x t,t) v E (x t,t)+div E v(x t,t)a v E(x t,t) dv t + A v E(x t,t)(v f v E (x t,t)) n t ds t (ȦA ) v E(x t,t)+d ve (x t,t)a v E(x t,t) } {{ } τ D g t dv t + A v E(x t,t)(v f v E (x t,t)) n t ds t } g {{ } Φ (1.11) où d ve = K v K v = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Les équations (1.9), (1.1) et (1.11) sont toutes des expressions équivalentes de la dérivée teporelle de A(D g,t) sur un doaine géoétrique quanda est une grandeur extensive. On peut les utiliser indifféreent, selon les teres que l on a envie de voir apparaître. 1.6 Rappel : lee fondaental THÉORÈME : SoitA(M) un chap (scalaire, vectoriel ou tensoriel) défini danse 3 et soit un doaine D E 3. On a l équivalence suivante : D A(M) dv= MA(M)= (1.12) D Autreent dit : si l intégrale d un chap est nulle quel que soit son doaine d intégration, alors le chap est nul. Ce lee (la déonstration est donnée en annexe A.1 page 69) sera systéatiqueent utilisé dans les chapitres qui suivent pour déduire les expressions locales des principes fondaentaux. 1.7 Convention de notation Pour alléger les écritures, on convient de ne plus faire figurer dans la suite du cours les arguents des descriptions d Euler et de Lagrange. Il est sous entendu que la description de Lagrange d un chap pour un certain observateurr a pour arguents (x,t) et que sa description d Euler a pour arguents (x t,t). 1.8 En bref... Pour appliquer les principes fondaentaux de la physique classique, on raisonne sur deux sortes de doaines : les doaines atériels et les doaines géoétriques. Ces doaines ont en général des frontières (ou des parties de frontières) variables avec le teps. Les grandeurs physiques extensives perettent de définir des chaps de densités voluiques de ces grandeurs, qui peuvent être décrits par la éthode de Lagrange (seuleent pour les doaines atériels) ou par la éthode d Euler (pour les doaines atériels ou géoétriques). 7

12 1. CONCEPTS FONDAMENTAUX Suivant le type de doaine (atériel ou géoétrique) et suivant le ode de description (Lagrange ou Euler) du chap de densité voluiquea v, les dérivées teporelles d une grandeur extensivea(d,t), définie sur un doaine s écrivent sous différentes fores : sur un doaine atérield (description d Euler ou de Lagrange): d dt A(D,t)= d dt A v E dv t = = D t D t = d dt A(D,t)= d A v dt D L K vl dv = D t A v E dv t + A v E(v E n t ) ds t (1.13) ( t A ) v E+ div(a v E v E ) dv t (1.14) } {{ } τ E (ȦA v E+ d ve A v E } {{ } τ E ) dv t (1.15) (ȦA v L+ d vl A v L } {{ } τ L )K vl dv (1.16) où sur un doaine géoétriqued g (description d Euler uniqueent): d dt A(D g,t)= d dt g A v E dv t = = D g t D g t = g t A v E dv t + A v E(v f n t ) ds t (1.17) g ( t A ) v E+ div(a v E v E ) dv t + A v E(v f v E ) n t ds t } {{ } } g {{ } τ E Φ (1.18) ) dv t + τ E (ȦA v E+ d ve A v E } {{ } A v E(v f v E ) n t ds t } g {{ } Φ (1.19) v f est la vitesse d un point de la frontière d un doaine géoétrique ; K v est la dilatation voluique actuelle (dans une déforation dont l état de référence estd ) ; d v est le taux de dilatation voluique actuel ; τ est le taux de production voluique dea à l intérieur du doaine (atériel ou géoétrique) ; Φ est le flux dea entrant dans le doaine géoétrique à travers les fontières (convection). Il est nul pour les doaines atériels. 8

13 Chapitre 2 Conservation de la asse 2.1 Concept de asse en écanique des ilieux continus La asse est une esure de la quantité de atière. Par principe, la asse d un doaine est une grandeur scalaire (un tenseur d ordre ), extensive (la asse d un doaine est la soe des asses d une de ses partitions) et objective (sa valeur est la êe pour tous les observateurs). Dans le cadre d un odèle continu de la atière se trouvant dans un doaine, l extensivité peret d affirer l existence dans ce doaine d un chap de densité voluique de asse appelé asse voluique actuelle, traditionnelleent notée ρ 1. La asse d un doaine atérield, de position de référenced et de position actuelled t peut s écrire avec une description de Lagrange ou une description d Euler des asses voluiques (voir (1.1) page 3, aveca = eta v = ρ scalaires) : (D,t)= = D t D ρ E (x t,t) dv t = ρ E dv t ρ L (x,t)k vl dv = ρ L K vl dv D où K v est la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd, et K vl est sa description de Lagrange. La asse d un doaine géoétriqued g s écrit uniqueent avec une description d Euler du chap des asses voluiques (voir (1.2) page 3, aveca = M eta v = ρ scalaires): (D g,t)= ρ E (x t,t) dv t = ρ E dv t g g 2.2 Principe de la conservation de la asse Une des anières d exprier le principe de la conservation de la asse est le suivant 2 : PRINCIPE : La asse de tout doaine atériel est invariante dans le teps. 1. On devrait la noter v t ou ρ t 2. On peut exprier le principe de la conservation de la asse de différentes anières. Celle choisie ici, expriée pour un doaine atériel, seble la plus intuitive à l auteur. D autres préfèrent l exprier avec un doaine géoétrique, en disant que la production de asse y est nulle (voir (1.1) page 6). Dans ce cours, l expression du principe sur un doaine géoétrique devient un théorèe. 9

14 2. CONSERVATION DE LA MASSE Si le chap des asses voluiques du doaine atériel est décrit par la éthode d Euler, le principe de la conservation de la asse pour un doaine atérield s écrit : où : = d dt (D,t)= d ρ E dv t (voir (1.1) page 3) dt ( ρe ) = + div E (ρv) dv t (voir (1.14) page 8) (2.1) t = ( ρ E + ρ E d ve ) dv t (voir (1.15) page 8) (2.2) D t ρ E est la description d Euler de la dérivée particulaire de la asse voluique actuelle ; d ve = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Si le chap des asses voluiques du doaine atériel est décrit par la éthode de Lagrange, le principe de la conservation de la asse pour un doaine atérield s écrit : où : = d dt (D,t)= d ρ L K vl dv (voir (1.1) page 3) dt D = ( ρ L + ρ L d vl )K vl dv (voir (1.16) page 8) (2.3) D ρ L est la description de Lagrange de la dérivée particulaire de la asse voluique actuelle ; K vl est la description de Lagrange de la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd ; d vl = div E v=trd est la description de Lagrange du taux de dilatation voluique actuel. 2.3 Fore locale du principe de la conservation de la asse Le principe de la conservation de la asse est vrai quel que soit le doaine atériel considéré. En vertu du lee fondaental rappelé en (1.12) page 7, on peut en déduire des expressions locales du principe de la conservation de la asse : On déduit de (2.1) et (2.2) page 1 que 3 : ρ t + div E(ρv)= ρ+ρ d v = ρ ρ = d v (2.4) où d v = K v K v = div E v=trd est la description d Euler du taux de dilatation voluique actuel. Cette équation différentielle est l écriture locale de la conservation de la asse. Elle est souvent appelée équation de continuité 4. Le taux de dilatation voluique (concept cinéatique) est l opposé du taux de variation (dérivée teporelle logarithique) de la asse voluique. REMARQUES : 1. En rearquant que ρ E +ρ E d ve est le taux de production voluique de asse (voir (1.19) page 6, aveca = ), on interprète l équation de continuité (2.4) en disant que quand le principe de la conservation de la asse 3. On a enlevé les indices E inutiles car par définitiona E (x t,t)=a L (x,t)=a(p,t). 4. Cette dénoination est consacrée par l usage. La «continuité» évoquée ici n a rien à voir avec la continuité des applications qu on évoque en athéatiques. 1

15 2.4. Bilan de asse pour un doaine géoétrique est vrai, le taux de production voluique de asse dans le doaine est nul. Il est possible de prendre cette conclusion coe principe fondaental, l équation locale (2.4) est alors un principe dont on peut déduire les expressions globales sur un doaine atériel ou géoétrique. 2. On obtient le êe résultat en utilisant le lee (1.12) page 7 sur les expressions globales lagrangiennes de la conservation de la asse (2.3) page 1 (la dilatation voluique K v est toujours stricteent positive). L équation différentielle (2.4) peut s intégrer teporelleent entre les instants t et t : ρ ρ = d v = K v ρ= C C ρ L (x,t)= K v K v K vl (x,t) Pour t = t, on a : K vl (x,t )=1 et ρ L (x,t )=ρ (x ) où ρ (x ) est la asse voluique de la particule x à l instant de référence t (asse voluique «initiale»). On en déduit que C=ρ (x ). On a donc : K vl = ρ (x ) ρ L (x,t) = ρ (P) ρ(p,t) K v = ρ ρ (2.5) Le principe de la conservation de la asse iplique l égalité entre la dilatation voluique actuelle K v (concept cinéatique) et le rapport des asses voluiques initiale et actuelle. Dans une déforation entre les instants t et t, la asse voluique n est donc pas constante en général. Elle ne l est que dans une déforation isovolue 5 (K v = 1). 2.4 Bilan de asse pour un doaine géoétrique Dans un doaine géoétriqued g, la asse du ilieu continu contenu dans le doaine ne se conserve pas au cours du teps. En effet : où : d dt (D g,t)= g ρ E + d ve ρ E } {{ } τ = dv t + ρ E (v f v E ) n t ds t } g {{ } Φ (voir (1.19) page 8 aveca = ) d dt (D g,t)= ρ E (v f v E ) n t ds t = Φ (2.6) g v f est la vitesse des points de la frontière du doaine géoétrique; Φ est le débit assique entrant à travers la frontière du doaine géoétrique. La dérivée teporelle de la asse contenue dans un doaine géoétrique est égale au débit assique entrant à travers la frontière. REMARQUE : L énoncé ci-dessus peut aussi bien être pris coe principe de la conservation de la asse, et on peut en déduire la fore locale et la fore globale pour un doaine atériel coe étant des théorèes. 2.5 Densités assiques La distribution dans un doaine D (géoétrique ou atériel) d une grandeur physique extensive A peut aussi se décrire par des densités assiquesa (unité : [A ].kg 1 ) plutôt que par des densités voluiques A v (unité : [A ]. 3 ). On a évideent :A v = ρa. 5. En teres de tenseurs de déforation entre t et t, la condition K v = 1 se traduit par detu = detv = 1 ou encore dans le cas des petites perturbations par : Tr ε= (voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, sections 4.7 et ). 11

16 2. CONSERVATION DE LA MASSE Pour un doaine atériel : A(D,t)= = D t D A v E dv t = A v L K vl dv = ρ E A E dv t = D D t ρ L A L K vl dv = A E d (2.7) D A L ρ dv = A D L d (2.8) Pour un doaine géoétrique : A(D g,t)= D g t A v E dv t = ρ E A g E dv t = A g E d (2.9) On obtient de nouvelles expressions de la dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine qui seront utiles dans la suite quand on utilise des densités assiques. On a établi en (1.15) page 8 que pour un doaine atériel : d dt A(D,t)= (ȦA v E+ d ve A v E) dv t ( ) = (ρ E A E) + d ve ρ E A E dv t (A v E = ρ EA E ) = D t D t d dt A(D,t)= D (ρ E ȦA E + ρ E A E + d ve ρ E A E) dv t (conservation de la asse, voir (2.4) page 1) } {{ } ȦA E d (2.1) De êe, toujours pour un doaine atériel, à partir de (1.16) page 8, il vient : d dt A(D,t)= (ȦA v L+ d vl A v L)K vl dv D ( ) = (ρ L A L) + d vl ρ L A D L K vl dv (A v L = ρ LA L ) ( ) = ρ L ȦA L + ρ L A L + d vl ρ L A L K vl dv (conservation de la asse, voir (2.4) page 1) } {{ } d dt A(D,t)= ȦA D L ρ dv = ȦA D L d (K vl = ρ ρ L, voir (2.5) page 11) (2.11) Enfin, pour un doaine géoétrique, en utilisant (1.19) page 8: d dt A(D g,t)= (ȦA v E+ d ve A v E) dv t + A v E(v f v E ) n ds t g g ( ) = (ρ E A E) + d ve ρ E A E dv t + ρ E A E(v f v E ) n ds t (A v E = ρ EA E ) où : 12 d dt A(D g,t)= D g t D g t D g t ȦA E d+ ρ E A E(v f v E ) n ds t } g {{ } Φ (2.12) Φ (unité : [A ].s 1 ) est le flux dea entrant à travers la frontière du doaine géoétrique (il est nul pour un doaine atériel) ; ȦA = τρ 1 est la dérivée particulaire de la densité assiquea ; c est aussi le taux de production assique de la quantité extensivea à l intérieur du doaine.

17 2.6. En bref En bref... La asse d un doaine atériel est une grandeur scalaire, extensive, objective et invariante dans le teps, qui esure la quantité de atière contenue dans le doaine atériel. L expression locale du principe de la conservation de la asse pour un ilieu continu est une équation différentielle appelée équation de continuité. La asse d un doaine géoétrique est variable dans le teps car de la atière traverse les frontières. On peut calculer la dérivée teporelle d une grandeur extensive A sur un doaine atériel ou géoétrique avec des intégrales de volue de densités voluiquesa v ou bien avec des intégrales de asse de densités assiquesa. 13

18 2. CONSERVATION DE LA MASSE 14

19 Chapitre 3 Principe fondaental de la dynaique 3.1 Rappel de écanique générale Observateurs galiléens DÉFINITION : Un observateur galiléen est un observateur pour lequel le ouveent des points atériels obéit à la loi de Newton : f = γ. On ne peut savoir si un observateur est galiléen ou non qu en faisant des expériences pour vérifier si les prédictions de la loi de Newton sont correctes ou non pour cet observateur 1. EXEMPLES D EXPÉRIENCES : La loi de Newton prédit qu un point atériel sans vitesse initiale et souis à une force constante se déplace en ligne droite. Elle prédit aussi qu un pendule lâché sans vitesse initiale oscille dans un plan fixe. Si pour un observateur, les prédictions de la loi de Newton sont considérées coe suffisaent correctes, on peut déclarer coe galiléen cet observateur. Déclarer galiléen un observateur, c est donc accepter une certaine approxiation dans la confrontation avec des expériences. EXEMPLES : Si on assiile un objet pesant à un point atériel, et si on utilise un observateur lié à la terre pour analyser son ouveent, cet objet est souis à une force constante (en preière approxiation) : son poids 2. Lâché sans vitesse initiale, la loi de Newton prévoit que sa trajectoire est une droite colinéaire au poids. En preière approxiation, on peut constater que c est vrai, cependant des esures fines ettent en évidence une petite déviation vers l est. De êe, si on observe le ouveent d un pendule siple, on constate que, pour un observateur terrestre, son plan d oscillation est sensibleent fixe. Mais une observation plus fine (pendule de Foucault) ontre que ce plan tourne à une faible vitesse. Selon que l on considère que la déviation vers l est de la chûte des corps ou que la vitesse de rotation du plan d oscillation d un pendule sont négligeables ou non, on décide si un observateur terrestre est galiléen ou non. Tous les observateurs dont le ouveent par rapport à un observateur galiléen est une translation à vitesse constante sont aussi des observateurs galiléens car pour tous ces observateurs l accélération d un point atériel est la êe. On ne peut donc pas distinguer un observateur galiléen absolu. La loi de Newton f = γ n est donc pas une loi universelle 3. On peut la rendre artificielleent universelle en ajoutant aux forces extérieures agissant sur un point atériel des forces extérieures fictives appelées forces d inertie (d entraîneent et de Coriolis). La loi de Newton est alors vraie pour tous les observateurs, ais les forces extérieures agissant sur un point atériel sont la soe de forces réelles 4 et de forces fictives ; elles ne sont plus les êes pour tous les observateurs. 1. On rappelle que la valeur de l accélération d un point atériel dépend de l observateur utilisé pour observer le ouveent. 2. Il faut faire l expérience dans le vide pour éliiner l action de l air. 3. C est-à-dire valable pour tous les observateurs. La seule écanique dont les lois sont universelles est celle de la théorie appelée Relativité générale due à Einstein. 4. C est-à-dire dont la source est identifiée. 15

20 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Rappel des théorèes généraux On ontre en écanique générale, que pour tout enseble de points atériels (fini ou infini), dont le ouveent est observé par un observateur galiléen, les trois théorèes qui suivent rasseblent toutes les conséquences des lois fondaentales énoncées par Newton 5 pour des points atériels : 1. Théorèe de la résultante dynaique : THÉORÈME : La résultante dynaique (soe des quantités d accélération) est égale à la résultante des actions écaniques extérieures. 2. Théorèe du oent dynaique : THÉORÈME : Le oent dynaique en un point (soe des oents en ce point des quantités d accélération) est égale au oent en ce point des actions écaniques extérieures. 3. Théorèe de la puissance cinétique : THÉORÈME : La puissance cinétique (dérivée teporelle de l énergie cinétique) est égale à la soe de la puissance des efforts extérieurs et de la puissance des efforts intérieurs. REMARQUE : Ces théorèes sont encore vrais pour un observateur non galiléen si on ajoute aux forces extérieures des forces d inertie fictives d entraîneent et de Coriolis. 3.2 Application aux doaines atériels On considère aintenant un doaine atériel de ilieu continu (c est-à-dire un enseble de particules, voir la définition en (1.1.1) page 1). On note la position actuelle de ce doaine atériel. Ce doaine contient une infinité de particules. Son extérieur est par définition le reste de l univers. DÉFINITION : On appelle actions écaniques extérieures à un doaine l action écanique de l extérieur du doaine sur ce doaine. L objet de la écanique (des ilieux continus ou non) est de trouver les relations entre le ouveent du doaine atériel 6 choisi et les sollicitations écaniques de son extérieur Efforts extérieurs sur un doaine atériel Les actions écaniques extérieures sur un doaine atériel de ilieu continu peuvent se classer en deux catégories : les actions écaniques à distance et les actions écaniques de contact. Modélisation des actions écaniques extérieures à distance Les actions écaniques extérieures à distance agissent sur toutes les particules du doaine. On les odélise par un chap de densité voluique de force 7, qu on notera f v (unité : N. 3 ) ou par un chap de densité assique de forces que l on notera f (unité : N.kg 1 =.s 2 ). Le vecteur f v représente la force totale par unité de volue (gravitationnelle, électrostatique... ) exercée par le reste de l univers sur la particule. A priori, la valeur de cette densité voluique de force dépend du 5. La loi f = γ, et l action d un point atériel sur un autre est une force colinéaire à la droite qui joint les deux points atériels (interactions de Newton). 6. On verra plus loin coent on peut envisager des doaines géoétriques 7. Noter que l on n envisage pas de densité voluique de oent. De ce fait, on éliine la possibilité d actions agnétiques. Le coporteent électroagnétique des ilieux continus n est pas envisagé dans ce cours. Il deanderait une refonte de toute la cinéatique des ilieux continus : la position à un instant t d un ilieu continu n est pas coplèteent décrite par la seule position actuelle de ses particules ais aussi par leur orientation actuelle (dipôles agnétiques par exeple). 16

21 3.2. Application aux doaines atériels doaine atériel choisi pour l étude, car pour chaque doaine atériel, la définition de son extérieur est a priori différente 8. REMARQUES : 1. Si l observateur utilisé pour décrire le ouveent ne peut pas être considéré coe galiléen, le vecteur f v (ou bien f ) contient en outre des forces d inertie d entraîneent et de Coriolis. 2. Dans la plupart des études, les seules forces à distance notables exercées par l extérieur sur les particules du doaine atériel se réduisent à la gravitation terrestre 9, les autres asses extérieures ayant une action gravitationnelle négligeable devant celle de la terre, soit parce qu elles sont trop éloignées 1, soit parce que leur asse est trop faible 11. On peut donc souvent affirer que le chap de forces gravitationnelles est indépendant du choix du doaine. 3. Lorsque les diensions du doaine sont petites devant celles de la terre, on siplifie souvent le chap de gravitation terrestre (qui est approxiativeent un chap vectoriel central convergeant vers le centre de gravité de la terre) en disant que le chap de forces gravitationnel terrestre est un chap de forces assique unifore g, orienté vers le bas 12, appelé accélération de la pesanteur, et dont la nore au voisinage de la surface de la terre est g =g 9.81.s On peut représenter les forces à distance par un chap de forces voluiques ou un chap de forces assiques ( f v = ρ f ). Dans les applications où seule la pesanteur est prise en copte, on affire parfois que le chap des forces voluiques est unifore. Les lois de la gravitation ontrent que c est le chap des forces assiques f (l accélération de la pesanteur) qui est unifore. Le chap des forces voluiques f v n est unifore que si l on peut considérer que la asse voluique ρ est aussi un chap unifore, ce qui est rareent le cas en écanique des ilieux continus. Cette approxiation est acceptable pour des liquides (ρ sensibleent constant), elle est assez grossière pour les solides déforables, et elle est difficileent adissible pour les gaz. Modélisation des forces extérieures de contact Pour un doaine atériel de ilieu continu, les forces extérieures de contact ne peuvent exister que sur la frontière du doaine. Elles sont odélisées par une densité surfacique de force s appliquant sur la frontière D, qui sera notée f s (unité : Pa = N. 2 ). REMARQUES : Bien que la écanique des ilieux continus soit par essence inapte à représenter correcteent la physique à l échelle icroscopique, on peut coprendre que les actions surfaciques de contact odélisent les actions écaniques à court rayon d action entre les corpuscules voisins de part et d autre de la frontière. Par ailleurs, si la nore d un chap de forces de contact surfaciques est bien hoogène à une pression, l orientation et le sens du chap f s est a priori quelconque par rapport à la norale extérieure de la frontière Efforts intérieurs dans un ilieu continu SoitD un doaine atériel dont la position actuelle est le doained t. On a défini dans la section précédente les actions de l extérieur sur le doaine atériel. On se propose aintenant de définir des efforts intérieurs à ce doaine atériel. Dans un doaine atériel discret (le nobre de points atériels est fini), il est aisé de définir les efforts intérieurs en considérant les interactions de Newton 13 entre tous les couples de points atériels (le nobre de couples est fini). Dans un ilieu continu, cette éthode est ipossible. Pour analyser les efforts intérieurs dans un ilieu continu, on les rend extérieurs en considérant des sous-doaines au doaine atériel étudié. 8. Dans la pratique, on siplifie souvent l extérieur en le réduisant à quelques sources de chaps gravitationnnels ou électriques. Les chaps de forces extérieures ne changent donc pas pour bon nobre de doaines atériels, tant qu ils n incluent pas l une de ces sources. 9. À condition que la terre ne fasse pas partie du doaine, auquel cas la gravitation terrestre ne serait pas un effort extérieur. 1. Les astres par exeple. Toutefois, si l on veut prévoir un phénoène coe la arée, il faut prendre en copte la gravitation due à la lune et celle due au soleil. 11. La atière voisine du doaine, par exeple des parois ou l ieuble d à coté. 12. C est-à-dire vers la terre 13. On rappelle que les interactions de Newton entre deux points atériels se liitent à des forces (pas de oent d interaction). 17

22 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Soit un sous-doaine atérield 1 D. L extérieur du sous-doained 1 peut être partitionné de la anière suivante : ext(d 1 )=(D D 1 ) ext(d ) Les actions du sous-doained D 1 sur le sous-doained 1 sont des actions intérieures au doaine D. Coe pour tout doaine atériel, les actions extérieures au sous-doained 1 sont de deux sortes : 1. des actions extérieures à distance provenant de (D D 1 ) et de ext(d ) : f v D 1 = f v (D D 1 )/D 1 } {{ + f v ext(d } )/D 1 } {{ } f v intd 1 f v extd 1 L action à distance f v intd 1 est une action à distance intérieure au doained. 2. des actions extérieures de contact sur la frontière D 1 : On note c la densité de force surfacique actuelle exercée par le sous-doained D 1 sur le sousdoained 1, répartie sur la frontière D 1. La densité surfacique de force c est une action de contact intérieure àd. DÉFINITION : On appelle contrainte actuelle, la densité surfacique de force de contact actuelle qui s exerce sur la frontière des sous-doaines d un doaine atériel. A priori, la valeur des contraintes c, définies sur la frontière D 1, dépend à la fois du choix du sous-doaine et du choix de la particule P sur sa frontière. D 1 HYPOTHÈSE DE CAUCHY : La contrainte actuelle en une particule P de la frontière d un sous-doaine atériel ne dépend que de la particule P et de la facette atérielle 14 tangente à la frontière actuelle du sous-doaine atériel en P. Si on repère la facette atérielle tangente à la frontière du sous-doained 1 par sa direction actuelle n t, l hypothèse de Cauchy affire qu il existe une application σ telle que : σ : (P,n t ) c=σ(p,n t ) (3.1) L hypothèse de Cauchy iplique que tous les sous-doaines atérielsd 1 dont la frontière contient la particule P et qui ont la êe norale extérieure actuelle 15 en P, ont la êe force surfacique extérieure en P. En revanche, pour la êe particule P, le vecteur contrainte c est a priori différent pour une autre facette atérielle de norale unitaire n t (c est une autre faille de sous-doaines dont la norale extérieure coune en P est n t). JUSTIFICATION MICROPHYSIQUE : Microscopiqueent, ce chap de forces surfaciques de contact odélise des actions intercorpusculaires à court rayon d action de part et d autre de la frontière de D 1, au voisinage de P. La localité de ces actions justifie leur indifférence à la fore de la frontière. NOUVELLE DÉFINITION : On appelle contrainte actuelle en la particule P pour la facette atérielle de norale actuelle n t, la force surfacique actuelle qui s ercerce en P sur toute frontière de sous-doaine passant par P et de norale unitaire extérieure n t Existence du tenseur des contraintes On déontre, en utilisant l hypothèse de Cauchy et en appliquant le principe fondaental de la écanique à un certain doaine atériel qu on fait tendre d une certaine anière vers un volue nul (voir la déonstration détaillée en annexe A.2 page 7), que l application σ définie en (3.1) est nécessaireent un opérateur linéaire sur son arguent n t, 14. Définition dans le cours Ciéatique des ilieux continus, du êe auteur, section Toutes les frontières de ces doaines atériels sont donc tangentes en P. 18

23 3.2. Application aux doaines atériels La contrainte c et la norale n t étant des vecteurs, l opérateur σ en la particule P est donc un endoorphise linéaire de V, c est-à-dire un tenseur du second ordre. DÉFINITION : On appelle tenseur des contraintes de Cauchy en la particule P, le tenseur du second ordre tel que la contrainte actuelle en P sur une facette atérielle de norale unitaire actuelle n t est donnée par : c(p,n t,t)=σ(p,t) n t (3.2) Dans un ilieu continu, il existe donc un chap atériel de tenseurs des contraintes : σ(p,t). Coe tous les chaps atériels, le chap des tenseurs des contraintes peut aussi bien être décrit par la éthode de Lagrange que par la éthode d Euler : σ(p,t)=σ L (x,t)=σ E (x t,t) Définitions et notations Soit P une particule à l intérieur d un ilieu continu, et soit n t la norale unitaire actuelle d une facette atérielle en P. On note c(p,n t,t) la contrainte actuelle en P pour cette facette atérielle. La contrainte c est la force surfacique de contact actuelle exercée par la atière qui se trouve du côté de n t (l extérieur du sous-doaine atérield 1 ) sur la atière qui se trouve de l autre côté de la facette atérielle (l intérieur du sous-doaine atérield 1 ). Contraintes norales et tangentielles DÉFINITION : On appelle contrainte norale actuelle en la particule P pour la facette atérielle de norale actuelle n t, le scalaire défini par : c N = n t c(p,n t,t)=n t σ(p,t) n t Si c N > on dit que c est une traction (l extérieur ded 1 exerce sur D 1 une force vers lui). Si c N < on dit que c est une copression. DÉFINITION : On appelle contrainte tangentielle actuelle en la particule P pour la facette atérielle de norale actuelle n t, le vecteur défini par : c T = c c N n t = σ(p,t) n t (n t σ(p,t) n t )n t La contrainte tangentielle actuelle c T pour la facette atérielle de norale actuelle n t est un donc vecteur orthogonal à n t (on vérifie aiséent que n t c T = ). REMARQUE : Dans le plan de la facette atérielle, on peut choisir arbitraireent deux directions unitaires orthogonales t 1 et t 2 et poser c T = c T 1 t 1 + c T 2 t 2. On a alors : c T 1 = t 1 c T = t 1 c= t 1 σ n t c T 2 = t 2 c T = t 2 c= t 2 σ n t Les nobres c T 1 et c T 2 sont parfois appelés contraintes tangentielles pour les directions t 1 et t 2, en P pour la facette atérielle n t. Ces définitions sont de peu d intérêt : les nobres c T 1 et c T 2 ne sont pas des scalaires, car leur valeur dépend du choix arbitraire des directions t 1 et t 2. Ils sont donc dénués de signification physique. Seule la nore c T est un scalaire (c est-à-dire dont la valeur ne dépend pas du choix d une base). Pour une facette atérielle en P de norale actuelle n t, on peut donc décoposer le vecteur contrainte c(p,n t,t) en une partie norale et une partie tangentielle de la anière suivante : c=c N n t + c T avec c 2 = c 2 N+ c T 2 Les réels c, c N et c T sont des scalaires (c est-à-dire indépendants de la base dans laquelle on exprie les vecteurs). 19

24 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Conditions aux liites en contrainte sur les frontières Le tenseur des contraintes de Cauchy σ existe en toute particule du doained t, et donc en particulier il existe aussi sur sa frontière actuelle D t. Soit une particule P D t, et soit n t (P ) la norale extérieure actuelle à la frontière en P. On déduit de la définition de la contrainte que le vecteur σ(p,t) n t (P ) représente la force surfacique f s (P ) excercée par l extérieur du doaine sur la frontière du doaine en ce point : σ(p,t) n t (P )= f s (P,t) P D t (3.3) Cette équation est appelée condition aux liites en contraintes en la particule frontière P. Dans tout ilieu continu, le chap atériel des tenseurs des contraintes σ(p,t) doit nécessaireent respecter cette condition aux frontières. Notaent, sur une partie de frontière où il n y a pas de forces extérieures de contact et dont le ouveent est libre (on l appelle souvent «bord libre»), le chap du tenseur des contraintes doit être tel que : bord libre σ(p,t) n t (P )= 3.3 Théorèes généraux de la dynaique pour un doaine atériel Par définition, la résultante dynaique, le oent dynaique en un point et l énergie cinétique sont des grandeurs extensives. On peut donc définir des densités voluiques de ces grandeurs : R dyn = ρ E γ E dv t M dyno = ρ E x t γ E dv t E cin = ρ E v 2 E 2 dv t Le choix du point pour évaluer les oents est indifférent. Dans toute la suite, ce point sera l origine de l observateur utilisé pour décrire le ouveent. Par ailleurs, la section précédente a ontré coent décrire les efforts extérieurs sur un doaine atériel (forces extérieures à distance et forces extérieures de contact) : R ext = M ext O = P ec ext = D t D t D t fe v dv t + D t x t fe v dv t + v E f v E dv t + f s E ds t (3.4) D t D t x t f s E ds t (3.5) v E f s E ds t (3.6) Les trois théorèes généraux de la écanique appliqués à un doaine atériel s écrivent sipleent : d R dyn = R ext M dyno = M ext O dt E cin =P ext ec +P ec int Suivant la anière dont on tranfore l écriture de toutes ces intégrales, on obtient différentes expressions de ces trois théorèes pour un doaine de ilieu continu, certaines ayant parfois un no particulier. 2

25 3.3. Théorèes généraux de la dynaique pour un doaine atériel Théorèe de la résultante dynaique sur un doaine atériel Résultante des efforts extérieurs sur un doaine atériel Si les chaps sont décrits par la éthode d Euler : R ext = = = D t D t D t fe v dv t + fe v dv t + D t D t f s E ds t (définition (3.4) page 2) (3.7) σ E n t ds t (condition aux liites (3.3) page 2) ( f v E+ div E σ) dv t (théorèe de la divergence) (3.8) Si les chaps sont décrits par la éthode de Lagrange : R ext = = = = D D D D fl v K vl dv + fl v K vl dv + fl v K vl dv + D D D f s L K sl ds (changeent de variables sur (3.7), voir (1.1) page 3) σ L F T n F T n K sl ds (cinéatique : n t = F T n F T n ) σ L F T n K vl ds ( ) fl v K vl + div L (K vl σ L F T ) Résultante dynaique sur un doaine atériel Si les chaps sont décrits par la éthode d Euler : R dyn = D t γ E d= (cinéatique : K s = K v F T n ) dv (théorèe de la divergence) (3.9) v E d (définition de l accélération) (3.1) = d v E d (cons. de la asse, voir (2.1) page 12) dt = d ρ E v E dv t (d=ρ E dv t ) dt = t (ρ E v E ) dv t + ρ E v E (v E n t ) ds t ( voir (1.3) page 4) (3.11) Si les chaps sont décrits par la éthode de Lagrange : R dyn = γ L d= ρ L γ L K vl dv = ρ γ L dv (voir (2.8) page 12) (3.12) D D D En écrivant l égalité : R dyn = R ext et en choisissant l une des expressions précédentes pour chacun des teres, on écrit le théorèe de la résultante dynaique pour un doaine atériel sous les différentes fores qu on peut trouver dans la littérature. 21

26 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Théorèe du oent dynaique sur un doaine atériel Moent des efforts extérieurs sur un doaine atériel Si les chaps sont décrits par la éthode d Euler : M ext O = x t fe v dv t + x t f s E ds t (définition (3.5) page 2) (3.13) = = = = D t D t D t D t D t x t fe v dv t + x t fe v dv t + D t D t D t x t (σ E n t ) ds t (condition aux liites (3.3) page 2) H :(x t σ E ) n t ds t (algèbre: produit vectoriel écrit avec H) (3.14) ( x t fe+ v ( div E H :(xt σ E ) )) dv t (théorèe de la divergence) ) (x t (fe+ v div E σ)+h : σ E dv t (développeent de la divergence) (3.15) Si les chaps sont décrits par la éthode de Lagrange (x t = f(x,t) où f est la description de Lagrange du ouveent) : M ext O = = = = D D D D f fe L K vl dv + f fe L K vl dv + D D H :( f σ L ) F T n F T n K sl ds (ch. var. de (3.14)) H :( f σ L ) F T n K vl ds ( f f L E K vl + div L ( KvL H :( f σ L ) F T)) dv (K s = K v F T n ) ( f ( f L E + div L (K vl σ L F T ) ) + H : σ L )K vl dv (algèbre) (3.16) Moent dynaique sur un doaine atériel Si les chaps sont décrits par la éthode d Euler : ( M dyno = x t γ E d= D t = d dt = = D t D t D t D t x t v E d= d dt t (ρ E x t v E ) dv t + x t t (ρ E v E ) dv t + (x t v E ) v E v E } {{ } D t D t D t ) d (3.17) ρ E x t v E dv t (voir (2.1) page 12) ρ E x t v E (v E n t ) ds t (voir (1.13) page 8) ρ E x t v E (v E n t ) ds t ( x t t = v E ) (3.18) Si les chaps sont décrits par la éthode de Lagrange (x t = f(x,t) où f est la description de Lagrange du ouveent) : M dyno = f γ L d= ρ L f γ L K vl dv = ρ f γ L dv (voir (2.8) page 12) (3.19) D D D En écrivant l égalité : M dyno = M ext O et en choisissant l une des expressions précédentes pour chacun des teres, on écrit le théorèe du oent dynaique pour un doaine atériel sous les différentes fores qu on peut trouver dans la littérature. 22

27 3.3. Théorèes généraux de la dynaique pour un doaine atériel Théorèe de la puissance cinétique sur un doaine atériel Puissance des efforts extérieurs dans un doaine atériel Si les chaps sont décrits par la éthode d Euler : P ext ec = = = = D t D t D t D t v E f v E dv t + v E f v E dv t + D t D t ( ) v E f v E+ div E (v E σ E ) v E f s E ds t (voir définition (3.6) page 2) v E σ E n t ds t (condition aux liites (3.3) page 2) (3.2) dv t (théorèe de la divergence) ( ) v E (f v E+ div E σ)+σ E : grad E v dv t (développeent de la divergence) (3.21) Si les chaps sont décrits par la éthode de Lagrange : P ext ec = = = = = = D D D D D D v L f v L K vl dv + v L f v L K vl dv + D D v L σ L F T n F T n K sl ds (ch. var. de (3.2)) v L σ L F T n K vl ds ( ) v L f v L K vl + div L (K v v L σ L F T ) (v L (f v L K vl + div L (K vl σ L F T ) ) + K vl (σ L F T ) : grad T L v L ) dv dv ( v L (f v L K vl + div L (K vl σ L F T ) ) ) + K vl (σ L F T ) : ḞF dv (K s = K v F T n ) (théorèe de la divergence) ( v L (f v L K vl + div L (K vl σ L F T ) ) ) + K vl σ L :(ḞF F 1 ) dv (3.22) Puissance cinétique dans un doaine atériel Si les chaps sont décrits par la éthode d Euler : P ec cin = de cin = d v 2 E ρ E dt dt 2 dv t = d v 2 E dt 2 D d= (v 2 E ) d (voir (2.1) page 12) t 2 = v E γ E d= ρ E v E γ E dv t (3.23) D t D t Si les chaps sont décrits par la éthode de Lagrange : P cin ec = v L γ L d= ρ L v L γ L K vl dv = ρ v L γ L dv (3.24) D D D Le théorèe de la puissance cinétique peret d évaluer la puissance écanique des efforts intérieurs dans un doaine atériel de ilieu continu : P ec int =P cin ec P ext ec En choisissant l une des expressions précédentes pour chacun des teres, on trouve les différentes expressions de la puissance écanique des efforts intérieurs Pint ec qu on peut trouver dans la littérature. 23

28 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE 3.4 Fore locale des théorèes généraux Les résultats qui suivent sont les conséquences locales des trois théorèes généraux énoncés pour un doaine atériel dans la section précédente Équation de ouveent Ce résultat est la conséquence du théorèe de la résultante dynaique. En prenant les fores eulériennes (3.8) page 21 et (3.1) page 21, il s écrit : ρ E γ E dv t = (div E σ+ f v E) dv t D t D t Cette égalité étant vraie pour tout doaine atériel, en utilisant le lee énoncé en (1.12) page 7, on en déduit 16 : ργ=div E σ+ f v = div E σ+ρ f (3.25) L équation différentielle vectorielle (3.25) est appelée fore eulérienne de l équation de ouveent. En prenant les fores lagrangiennes (3.9) page 21 et (3.12) page 21, le théorèe de la résultante dynaique s écrit : ( ) ρ L K vl γ L dv = f v D L K vl + div L (K vl σ L F T ) dv D En utilisant le lee énoncé en (1.12) page 7, on en déduit 17 : ρk v γ= f v K v + div L (K v σ F T ) (3.26) ρ γ=ρ f + div L (K v σ F T ) (K v = ρ ρ et f v = ρ f ) (3.27) où K v = detf est la dilatation voluique dans une déforation de référenced et où ρ est la asse voluique à l instant de référence t. L équation différentielle vectorielle (3.26) ou (3.27) est appelée fore lagrangienne de l équation de ouveent. REMARQUES : Pour faire une resseblance avec la fore eulérienne, le groupeent de teres Π = K v σ F T est parfois appelé preier «tenseur des contraintes» de Piola-Kirchhoff (ou encore de Boussinesq). On peut trouver une «interprétation» à ce tenseur : le vecteur Π n est la force de contact actuelle par unité de surface de référence. Contraireent au tenseur des contraintes de Cauchy, le tenseur Π n est pas syétrique. Dans la littérature scientifique on trouve d autres «tenseurs des contraintes» : le tenseur de Kirchhoff : τ=k v σ et le second tenseur de Piola-Kirchhoff : S=F 1 Π qui sont syétriques. Ces groupeents de teres sont noés car ils apparaissent dans certains calculs. Ils n ont pas interprétation physique Syétrie du tenseur des contraintes de Cauchy Ce résultat est la conséquence du théorèe du oent dynaique. En prenant les fores eulériennes (3.15) page 22 et (3.17) page 22, il s écrit : ) ρ E x t γ E dv t = (x t (fe+ v div E σ)+h : σ E dv t D t En tenant copte de la fore eulérienne de l équation de ouveent (3.25), il reste : = H : σ E dv t 16. On a enlevé les indices E inutiles car par définitiona E (x t,t)=a L (x,t)=a(p,t). 17. On a enlevé les indices L inutiles car par définitiona E (x t,t)=a L (x,t)=a(p,t). D t D t 24

29 3.4. Fore locale des théorèes généraux En utilisant le lee énoncé en (1.12) page 7, on en déduit : H : σ=. Le tenseur des contraintes de Cauchy est un tenseur du second ordre syétrique. REMARQUES : Cette conclusion n est valable que si les actions extérieures et intérieures sont odélisables par des forces sans oent (ilieux continus dits «non polarisés»). En effet, dans le cas contraire, le théorèe du oent dynaique contient des teres suppléentaires qui invalident la conclusion. D autre part, on pouvait aussi bien déduire ce résultat à partir des expressions lagrangiennes du théorèe du oent dynaique (3.16) et (3.19) page 22. Contraintes principales Le tenseur des contraintes de Cauchy actuel σ étant syétrique, il a donc 3 valeurs propres réelles σ 1 (P,t), σ 2 (P,t) et σ 3 (P,t) (éventuelleent confondues). DÉFINITION : Les valeurs propres du tenseur des contraintes de Cauchy actuel sont appelées contraintes principales actuelles. Directions principales actuelles des contraintes Soit une base propre orthonorée {u i } construite sur les directions propres du tenseur des contraintes de Cauchy actuel. On écrit donc : σ= 3 i=1 σ i(u i u i )= 3 i=1 σ iu i. On a évideent : σ u i = σ i u i. En toute particule d un ilieu continu, il existe des facettes atérielles pour lesquelles la contrainte est uniqueent norale : ce sont les facettes atérielles dont les norales actuelles sont colinéaires avec les directions propres actuelles du tenseur des contraintes de Cauchy. Représentation de Mohr du tenseur des contraintes de Cauchy Le tenseur des contraintes de Cauchy étant syétrique, il est susceptible d être graphiqueent représenté par la représentation de Mohr 18. Cette représentation graphique ontre que la contrainte norale actuelle et la nore de la contrainte tangentielle actuelle pour une facette atérielle de norale actuelle n t ne peuvent prendre des valeurs quelconques : le point de coordonnées (c N, c T ) est astreint à rester à l intérieur du tricercle de Mohr. Notaent, si on ordonne les contraintes principales σ 1 σ 2 σ 3, la nore de la contrainte tangentielle c T ne peut dépasser la valeur 1 2 (σ 1 σ 3 ), et les valeurs extréales de la contrainte norale sont : σ 3 c N σ Puissance voluique des efforts intérieurs Ce résultat est la conséquence du théorèe de la puissance cinétique : en utilisant les expressions de la puissance cinétique (3.23) page 23 et de la puissance des efforts extérieurs (3.21) page 23, ce théorèe s écrit : P int ec = ρ E v E γ E dv t Copte tenu de l équation de ouveent (3.25) page 24 il reste : P int ec = ( ) v E (f v E+ div E σ)+σ E : grad E v dv t σ E : grad E v dv t 18. Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section

30 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Enfin, copte tenu de la syétrie du tenseur des contraintes de Cauchy : P int ec = où D est le tenseur des taux de déforation 19. σ E : sy grad E v dv t = σ E : D E dv t (3.28) La puissance des efforts intérieurs dans un doaine atériel est une intégrale de volue. On peut donc poser la définition suivante : DÉFINITION : La densité voluique de puissance des efforts intérieurs dans un ilieu continu est : L unité légale est le W. 3. P v int = σ : D (3.29) REMARQUE : On laisse le soin au lecteur de vérifier qu on aboutit au êe résultat en utilisant les expressions lagrangiennes (3.22) page 23 et (3.24) page Théorèes généraux pour les doaines géoétriques Soit un doaine géoétriqued g (éventuelleent en ouveent, ais sans rapport avec celui du ilieu continu) dont le doaine actuel estd g t. L équation de ouveent (3.25) page 24 peret d écrire : D g t ρ E γ E dv t = ρ E γ E dv t = } g {{ } R dyn D g t div E σ E dv t + σ E n dv t + D g t f v E dv t f v g g E dv t } {{ } R ext De êe, l équation de ouveent peret d écrire : ρ E x t γ E dv t } g {{ } M dyno = x t div E σ E dv t } g {{ } A + (théorèe de la divergence) (3.3) x t f v g E dv t } {{ } M dist ext O (3.31) L intégrande de l intégrale A peut s écrire sous la fore d une divergence : ( ) ( x t div E σ E = H :(x t div E σ)=h : div E (x t σ) grad E x t σ E = dive H :(xt σ) ) H :(G σ E ) } {{ } L intégrale A s écrit donc : ( A= div E H :(xt σ) ) ( dv t = H :(xt σ) ) n ds t = g g g L intégrale A de (3.31) est donc le oent en O des actions extérieures de contact. x t (σ E n) ds }{{} t = M cont ext O f s Finaleent, les deux preiers théorèes généraux de la écanique pour un doaine géoétrique traversé par un ilieu continu s exprient exacteent coe pour un doaine atériel : R dyn = R ext = R cont ext + R dist ext et M dyno = M ext O = M cont ext O + Mdist ext O 19. Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section

31 3.5. Théorèes généraux pour les doaines géoétriques Bilan de quantité de ouveent sur un doaine géoétrique On peut présenter le théorèe de la résultante dynaique appliqué à un doaine géoétriqued g coe une équation de bilan de quantité de ouveent sur ce doaine géoétrique, de la anière suivante : R dyn = D g t = d dt = d dt γ E d= D g t D g t D g t v E d v E d D g t ρ E v E dv t + ρ E v E (v f v E ) n t ds t (voir (2.12) page 12 aveca E = v E ) D g t ρ E v E (v E v f ) n t ds t Le tere dt d g ρ E v E dv t est la dérivée teporelle de la quantité de ouveent 2 dans le doaine géoétrique. Il est nul dans un ouveent stationnaire. Le théorèe de la résultante dynaique s écrit alors : d ρ E v E dv t = dt g g ρ E v E (v E v f ) n t ds t + f v dv t + f s ds t } g {{ g } R ext En notant que f s = σ E n t, et en utilisant le théorèe de la divergence, on peut encore l écrire : d dt g ρ E v E dv t = ρ E v E (v E v f ) n t ds t } g {{ } Φ Q vt + ( f v + div E σ) dv t } g {{ } R ext où Φ Qvt est le flux (débit) de quantité de ouveent entrant à travers la frontière. (3.32) En coparant avec l équation de bilan d une grandeur extensive donnée en (1.11) page 7, la quantité f v +div E σ peut-être interprétée coe le taux de production voluique de quantité de ouveent dans le doaine géoétriqued g et son intégrale R ext est le taux de production interne de quantité de ouveent. Ainsi, le théorèe de la résultante dynaique peut être interprété coe un théorèe de «conservation de la quantité de ouveent», si on considère la résultante des forces extérieures R ext coe une source de quantité de ouveent (pour un doaine atériel, v E = v f, le tere Φ Qvt est nul). REMARQUES : 1. Dans certains ouvrages de écanique, cette interprétation du théorèe de la résultante dynaique est érigée en principe. Le théorèe de la résultante dynaique est alors une interprétation. 2. L équation (3.32) est très utile en écanique des fluides lorque le ouveent est stationnaire. Le tere de gauche est alors nul et il suffit de connaitre les vitesses seuleent à la frontière d un doaine géoétrique pour en déduire la résultante des efforts extérieurs (à distance et de contact) sur le doaine géoétrique. Les actions à distance se réduisent la plupart du teps à la pesanteur dont la résultante est facile à évaluer (le poids du fluide dans le doaine géoétrique). En revanche, la résultante des actions extérieures de contact est l opposé de la résultante de l action du fluide sur les frontières du doaine géoétrique. On peut donc, en ne connaissant que les vitesses à la frontière du doaine géoétrique, calculer la résultante des actions du fluide sur ses frontières. 2. On rappelle que la quantité de ouveent d un point atériel de asse se déplaçant à la vitesse v est le produit v. Le vecteur v E peut donc être vu coe une densité assique de quantité de ouveent et le vecteur ρ E v E est une densité voluique de quantité de ouveent. La quantité de ouveent est aussi parfois appelée ipulsion. 27

32 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Bilan de oent cinétique sur un doaine géoétrique On peut suivre la êe déarche que précédeent pour interpréter le théorèe du oent dynaique. ( M dyno = x t γ E d= x t v E d= g g g = d dt = d dt D g t D g t x t v E d D g t ρ E x t v E dv t + (x t v E ) ẋx t v E } {{ } ) d ρ E (x t v E )(v f v E ) n t ds t (voir (2.12) page 12 aveca E = x t v E ) D g t ρ E (x t v E )(v E v f ) n t ds t Le tere dt d g ρ E x t v E dv t est la dérivée teporelle du oent cinétique 21 dans le doaine géoétrique. Il est nul dans un ouveent stationnaire. Le théorèe du oent dynaique s écrit alors : d ρ E x t v E dv t = dt g g où x t f s = H :(x t f s )=H :(x t σ E ) n t ρ E (x t v E )(v E v f ) n t ds t + En utilisant le théorèe de la divergence, on peut encore l écrire : d dt g ρ E x t v E dv t = = = D g t D g t ρ E (x t v E )(v E v f ) n t ds t + ρ E (x t v E )(v E v f ) n t ds t + ρ E (x t v E )(v E v f ) n t ds t } g {{ } Φ Mcin + D g t D g t x t f v dv t + x t f s ds t } g {{ g } M ext O ( x t f v ( + div E H :(xt σ E ) )) dv t ( ) x t (f v + div E σ)+h :(G σ) dv t } {{ } x t (f v + div E σ) dv t } g {{ } M ext O (3.33) En coparant avec l équation de bilan d une grandeur extensive donnée en (1.11) page 7, la quantité x t (f v + div E σ) peut-être interprétée coe le taux de production voluique de oent cinétique dans le doaine géoétrique et M ext O est le taux de production interne de oent cinétique. Ainsi, le théorèe du oent dynaique peut être interprété coe un théorèe de «conservation du oent cinétique», si on considère le oent résultant en O des forces extérieures M ext O coe une source de oent cinétique (pour un doaine atériel, v E = v f, le tere Φ Mcin est nul). REMARQUES : 1. Dans certains ouvrages de écanique, cette interprétation du théorèe du oent dynaique est érigée en principe. Le théorèe du oent dynaique est alors une interprétation. 2. L équation (3.33) est très utile en écanique des fluides lorque le ouveent est stationnaire. Le tere de gauche est alors nul et il suffit de connaitre les vitesses seuleent à la frontière d un doaine géoétrique pour en déduire le oent résultant en O des efforts extérieurs (à distance et de contact) sur le doaine géoétrique. Les actions à distance se réduisent la plupart du teps à la pesanteur, dont le oent résultant en O est facile à évaluer (c est le oent en O du poids du fluide dans le doaine géoétrique). En revanche, le oent résultant en O des actions extérieures de contact est l opposé du oent résultant en O de l action du fluide sur les frontières du doaine géoétrique. On peut donc, en ne connaissant que les vitesses à la frontière du doaine géoétrique, calculer le oent résultant en O des actions du fluide sur ses frontières. 21. On rappelle que le oent cinétique en un point A d un point atériel de asse se déplaçant à la vitesse v est le produit vectoriel AP v(p), c est-à-dire le oent en A de la quantité de ouveent. 28

33 3.6. Forulation intégrale des équations de ouveent Bilan d énergie cinétique sur un doaine géoétrique On peut interpréter le théorèe de la puissance cinétique coe un bilan d énergie cinétique sur le doaine géoétrique : la puissance cinétique s écrit : P cin = d dt D g t 2 D d= (v 2 E ) v 2 E d+ ρ E t g 2 g 2 (v f v E ) n t ds t (voir (2.12) page 12 aveca E = v2 E2 ) v 2 E = ρ E v E γ E dv t + ρ E 2 (v f v E ) n t ds t (3.34) v 2 E D g t D g t La puissance des efforts extérieurs s écrit : P ext ec = = = = D g t D g t v E f v dv t + D g t ( v E f v + div E (v σ) De l équation (3.34) et (3.35), il vient : D g t D g t P cin = d dt v E f s ds t = ) dv t = D g t D g t v E f v dv t + D g t v E σ n t ds t (v E (f v + div E σ)+σ E : D E ) dv t (ρ E v E γ E + σ E : D E ) dv t (équation de ouveent (3.25) page 24 ) ρ E v E γ E dv t P ec int (voir définition (3.28) page 26 ) (3.35) D g t v 2 E 2 D d= v 2 E ρ E t g 2 (v E v f ) n t ds t +P ext ec +P int ec (3.36) } {{ } Φ Ecin où Φ Ecin est le flux (débit) d énergie cinétique entrant à travers la frontière. En coparant avec l équation de bilan d une grandeur extensive donnée en (1.11) page 7, la quantité ) ) P ext ec +P int ec = (ρ E v E γ E + σ E : D E dv t = (v E (f v E+ div E σ)+σ E : D E dv t g g peut être interprétée coe un taux de production interne d énergie cinétique et l intégrande τ ec = ρv γ+σ : D=ρ( f v + div E σ)+σ : D peut être interprété coe un taux de production voluique d énergie cinétique. Ainsi, le théorèe de la puissance cinétique peut être interprété coe un théorèe de «conservation de l énergie cinétique», si on considère la puissance des efforts extérieurs et l opposé de la puissance des efforts intérieurs coe des sources d énergie cinétique par unité de teps (pour un doaine atériel, v E = v f, le tere Φ Ecin est nul). 3.6 Forulation intégrale des équations de ouveent Cette forulation de l équation de ouveent est à la base de éthodes nuériques pour la résolution de problèes de écanique des ilieux continus. Soit w un chap de vecteurs arbitraire quelconque. L équation de ouveent (3.25) page 24 iplique : ρw γ=w div E σ+ρw f v w 29

34 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE En intégrant sur doaine actuel quelconque (atériel ou géoétrique, fixe ou non) 22, on obtient : ρ E w γ E dv= w div E σdv+ ρ E w f E dv w (3.37) D t = div E (w σ)dv σ E : grad E wdv+ ρ E w f E dv w D t = w σ E nds+ ρ E w f E dv σ E : grad E wdv w D t ρ E w γ E dv= w f s E ds+ ρ E w f E dv σ E : sy grad E wdv w (3.38) On déontre en analyse fonctionnelle que si cette égalité scalaire d intégrales est vraie pour tout chap w, alors elle est équivalente à l équation différentielle vectorielle de ouveent. INDICATIONS SUR LA DÉMONSTRATION : Si les chaps arbitraires w et les chaps ργ, div E σ et ρ f sont dans l espace vectoriel des fonctions définies sur et de carré intégrable sur (espace de Hilbert de diension infinie), alors on ontre en analyse fonctionnelle que g(x) h(x)dv t est un produit scalaire noté g,h de cet espace. L équation (3.37) s écrit : (ρ E γ E div E σ ρ E f E ) wdv t = ρ E γ E div E σ ρ E f E,w = w. Le vecteur ρ E γ E div E σ ρ E f E étant orthogonal à tout vecteur w, il est donc nécessaireent nul. Vocabulaire L égalité (3.38) est appelée forulation intégrale ou encore forulation variationnelle 23 ou encore forulation faible 24 des équations de ouveent. Les chaps arbitraires w sont appelés fonctions test ou encore fonctions de pondération. Si l on interprète le chap vectoriel arbitraire w coe un chap de vitesses arbitraire, il est appelé chap de vitesses virtuelles. Les teres de l égalité (3.38) sont alors hoogènes à des puissances, et le théorèe prend le no de théorèe des puissances virtuelles. Si l on interprète le chap vectoriel arbitraire w coe un chap de déplaceents arbitraire, il est appelé chap de déplaceents virtuels. Les teres de l égalité (3.38) sont alors hoogènes à des travaux, et le théorèe prend le no de théorèe des travaux virtuels. REMARQUES : 1. Du fait de son équivalence à l équation de ouveent (3.25) page 24, cette forulation est présentée dans certains de cours de écanique des ilieux continus coe le principe fondaental (peu intuitif) de la dynaique. 2. Cette forulation est à la base d une éthode nuérique de résolution approchée de systèes d équations différentielles : la éthode des éléents finis. L approxiation provient de ce que l on cherche des solutions dans un sous-espace de diension finie des fonctions définies (le plus souvent polynôiales par orceaux) et de carré intégrable sur le doained et que l on replace le w par un nobre fini de chaps w i engendrant ce sous-espace de fonctions. 3. Dans le cas de doaines atériels, on peut décrire les chaps par la éthode de Lagrange. On laisse le soin au lecteur, en suivant la êe déarche que précédeent et en partant de l expression lagrangienne de l équation de ouveent (3.26) page 24, de vérifier que l expression lagrangienne de ce théorèe est : D ρ w γ L dv = ρ w f D L dv + w f s D L dv K vl (σ L F T ) : grad D } {{ } L w dv w Π L 22. Dans le calcul qui suit, on n utilise pas de dérivées d intégrales, les résultats sont donc valables pour tout type de doaine. 23. Ce no est utilisé par les auteurs qui utilisent un autre principe fondaental de la écanique : la solution d un problèe de écanique est celle qui iniise une certaine intégrale appelée «énergie potentielle». Pour chercher ce iniu, on utilise le calcul variationnel. 24. Ce no est plutôt utilisé par les nuériciens : cette forulation n est pas plus faible que l équation de ouveent, elle lui est équivalente. Elle ne devient faible que si on liite la recherche de solutions dans un certain espace de fonctions particulières. 3

35 3.7. Changeents d observateur où F = grad L x t, où K vl = detf est la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont l état de référence estd et où ρ est la asse voluique à l instant de référence t. Les auteurs qui interprètent w coe un chap de vitesses virtuelles transforent parfois le dernier tere : K vl (σ L F T ) : grad } {{ } L w=k vl σ L : sy(grad } {{ } L w F 1 )=τ L : sy grad E w } {{ } Π L τ L D w où D w serait interprétable coe un «taux de déforation virtuel» par resseblance avec les vitesses réelles. 3.7 Changeents d observateur Soient deux observateursr et R et soit Q t le tenseur de changeent d observateur actuel. On convient de suronter d un les grandeurs relatives à l observateur R. On ontre en cinéatique que la forule de changeent d observateur des directions atérielles actuelles u t et des norales actuelles à une facette atérielle n t 25 sont : ũu t = Q t u t et ñn t = Q t n t (3.39) On pose par principe que les forces extérieures surfaciques de contact f s = σ n t sur la frontière d un doaine ont la êe orientation par rapport à cette frontière pour tous les observateurs, c est-à-dire que les forces surfaciques extérieures s exerçant sur la frontière d un doaine sont des grandeurs vectorielles objectives. Leur forule de changeent d observateur est donc 26 : f s = Q t f s (3.4) En appliquant la condition aux liites (3.3) page 2 pour chaque observateur, l égalité (3.4) s écrit : σ ñn t = Q t (σ n t ) n t σ Q t n t = Q t σ n t n t (en vertu de (3.39)) σ Q t = Q t σ σ=q t σ Q T t (3.41) ce qui est la forule de changeent d observateur d une grandeur tensorielle du second ordre objective 27. Le chap de tenseur des contraintes de Cauchy est un chap tensoriel du second ordre objectif. On en déduit aiséent qu une contrainte norale actuelle c N (P,n t,t)=n t σ(p,t) n t est un scalaire objectif quelle que soit la facette atérielle de norale actuelle n t. De êe, le vecteur contrainte tangentielle actuelle en une particule pour une facette atérielle de norale actuelle n t, ainsi que sa nore sont des grandeurs respectiveent vectorielle et scalaire objectives car c T ũu t = c T u t u t. Les valeurs propres actuelles et les invariants actuels du tenseur des contraintes de Cauchy sont des scalaires objectifs et les directions propres actuelles sont des grandeurs vectorielles objectives. REMARQUE : On laisse le soin au lecteur d établir les forules de changeent d observateur des autres «tenseurs des contraintes» Π, τ et S évoqués dans la rearque en fin de section (3.4.1) page 24. Il en déduira 28 que seul le tenseur τ=k v σ est objectif. 25. Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section et Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section On rappelle que la forule de changeent d observateur du gradient lagrangien des positions actuelles F est : F = Q t F Q T, voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section

36 3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Enfin, on déduit aiséent de l objectivité du tenseur des contraintes de Cauchy (3.41) et de celle du tenseur des taux de déforation 29 que la puissance voluique actuelle des efforts intérieurs est une grandeur scalaire objective : σ : D= σ : D (3.42) En revanche, la puissance des efforts extérieurs (à distance coe de contact), l énergie cinétique et la puissance cinétique ne dont pas des grandeurs objectives, car la vitesse et l accélération ne sont pas des grandeurs vectorielles objectives. 3.8 En bref... Dans ce cours, on a choisi de considérer les lois de Newton coe étant le principe fondaental de la écanique. Elles supposent notaent que les actions intérieures ou extérieures sur une particule sont de siples forces sans oent. On ontre en écanique générale que les lois de Newton appliquées à un enseble de points atériels (doaine atériel) conduisent aux trois théorèes généraux de la écanique classique : théorèe de la résultante dynaique, théorèe du oent dynaique, et théorèe de la puissance cinétique. L application de ces théorèes à un doaine atériel de ilieu continu conduit à la notion de contrainte actuelle en une particule et pour une facette atérielle pour décrire les efforts intérieurs à un ilieu continu, ainsi qu à l existence dans tout ilieu continu d un chap de tenseurs du second ordre objectif, appelé tenseur des contraintes de Cauchy, qui décrit la contrainte actuelle pour toutes les facettes atérielles repérées par leur norale unitaire actuelle autour d une particule. Ce tenseur des contraintes doit satisfaire à des conditions aux liites sur la frontière. La fore globale des théorèes généraux pour un doaine atériel ou pour un doaine géoétrique est la êe. Toutefois elle peut s écrire sous différentes fores pour des doaines atériels ou géoétriques par transforations d intégrales, et suggérer d autres interprétations en teres de bilan de quantité de ouveent, de oent cinétique ou d énergie cinétique. La fore locale des trois théorèes généraux conduit à l équation de ouveent (fore lagrangienne ou eulérienne), à la syétrie du tenseur des contraintes et à la définition d une densité voluique de puissance des efforts intérieurs. Il existe une forulation intégrale équivalente à l équation locale de ouveent. 29. Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section

37 Chapitre 4 Conservation de l énergie Le principe de la conservation de l énergie est aussi appelé Preier principe de la therodynaique. Avant d aborder l expression du principe de la conservation de l énergie pour un doaine de ilieu continu, il est utile de rappeler un certain nobre de concepts de base utilisés en therodynaique. 4.1 Concepts de base en therodynaique La therodynaique générale envisage des systèes atériels dont la constitution interne est a priori quelconque (achines, objets atériels solides ou non, ponctuels ou non, agencés de anière quelconque) et susceptibles d échanger de l énergie avec l extérieur du systèe. Cet échange d énergie se fait sous la fore d énergie écanique, qu on appelle travail et sous la fore d autres énergies non écaniques, principaleent la chaleur. On va naturelleent s intéresser plus particulièreent au cas où la atière qui constitue le systèe étudié est odélisée par un ilieu continu 1. Les systèes dont on étudiera l évolution sont donc des doaines atériels ou des doaines géoétriques (voir la section 1.1 page 1) replis de ilieu continu Variables d état Coe on va le voir dans la suite, le principe de la conservation de l énergie invoque «l état actuel d un systèe». Il convient de préciser ce concept. Dans le cas d un systèe discret 2, l état actuel du systèe est descriptible avec un nobre fini de paraètres qui sont nécessaires et suffisants pour reproduire coplèteent la configuration actuelle du systèe. Cette liste de paraètres est appelée liste de variables d état indépendantes. Pour un observateur donné, il existe un grand nobre de listes possibles de paraètres pour décrire l état actuel d un systèe discret. De plus, un état doit être un concept de définition universelle, c est-à-dire que si un systèe atériel est dans un certain état pour un observateurr, (chaque variable d état a une certaine valeur), il doit être dans le êe état pour un autre observateur R 3. La anière la plus siple de rendre universelle la définition 1. C est d ailleurs le cas dans la plupart des cours de therodynaique éléentaire, où l on raisonne essentielleent sur des «asses de gaz» (le plus souvent parfaits). Il n en reste pas oins vrai que tout systèe atériel peut être considéré coe presque partout continu, au sens de la théorie des distributions. Les intégrales qui sont dans ce cours peuvent être prises au sens de Lebesgue. 2. Par exeple, un asseblage de points atériels, de solides éventuellent dilatables, de ressorts sans asse, liés ou articulés entre eux, réservoirs, etc. 3. Les définitions non universelles n ont aucun intérêt en physique. Quel serait l intérêt du concept d état si des observateurs attribuaient un état actuel différent à un êe systèe atériel? Si tel était le cas, la therodynaique d un systèe donné serait différente pour chaque observateur! 33

38 4. CONSERVATION DE L ÉNERGIE d un état est de ne n utiliser que des variables d état scalaires objectives pour décrire l état du systèe atériel. Ainsi, l état est décrit par une liste de scalaires qui sont les êes pour tous les observateurs. REMARQUE : Cette condition exclut donc de la liste des variables d état d un systèe, toute grandeur telle que des positions ou des vitesses par rapport à un observateur. En revanche, des distances ou des angles entre des éléents du systèe sont des grandeurs objectives. Dans le cas d un doaine de ilieu continu, l état du doaine est décrit par un certain nobre nécessaire et suffisant de chaps atériels χ i (P,t) de grandeurs physiques objectives décrivant l état actuel de chaque particule, leurs positions relatives actuelles, etc. Si l on connaît tous ces chaps, on est capable par définition de déteriner 4 toutes les autres chaps atériels (objectifs ou non) de grandeurs physiques définissables sur ce ilieu continu. DÉFINITION : On appelle liste de variables d état indépendantes d un doaine atériel de ilieu continu, une liste ordonnée nécessaire et suffisante de chaps atériels objectifs pour décrire coplèteent tous les états envisageables de ce doaine atériel. Le choix d une liste de variables d état indépendantes est donc la preière étape de la odélisation d un ilieu atériel continu. En faisant ce choix, on décide que tous les états du doaine atériel envisageables par ce odèle sont représentés en donnant indépendaent une valeur arbitraire à chacune des variables d état (dans un certain doaine de valeurs adissibles). Les grandeurs physiques objectives choisies pour caractériser un état de doaine atériel peuvent être des chaps scalaires, vectoriels ou tensoriels. Tant que le odèle de ilieu continu n est pas précisé (fluide, solide déforable, etc), on les note {χ 1 (P,t),,χ n (P,t)}. REMARQUES : Le choix d un enseble de variables d état indépendantes est noraleent suggéré par des constatations expérientales sur le ilieu continu qu on veut odéliser : on doit pouvoir donner indépendaent à chacune des variables d état une valeur arbitraire. Elles ne peuvent donc pas être liées par une relation issue d une définition, de la cinéatique ou d un principe fondaental. Par exeple, on ne peut pas prendre siultanéent la asse voluique actuelle ρ et un tenseur de déforation actuel coe variables d état indépendantes, car la dilatation voluique actuelle en une particule K v (calculable à partir du tenseur de déforation actuelle) est liée à la asse voluique actuelle en raison du principe de la conservation de la asse (K v = ρ ρ 1, voir (2.5) page 11). Ces deux grandeurs ne sont donc pas indépendantes. Autre exeple : en therodynaique des gaz parfaits on ne peut pas prendre coe variables d état indépendantes à la fois la tepérature, la asse voluique et la pression d une particule car ces trois grandeurs sont liées par la définition d un gaz parfait (p=k ρt où k est une constante caractéristique du gaz parfait). Si on choisit la tepérature et la asse voluique coe variables d état d un gaz parfait, la pression d une particule de gaz parfait est une fonction d état (voir section page 35). En revanche, si on constate expérientaleent qu il faut distinguer des états qui auraient les êes valeurs de variables d état, alors il faut ajouter à la liste de ces variables d état une ou plusieurs variables d état qui perettent de distinguer ces états. Plus l enseble de variables d état indépendantes est grand, plus le odèle de la atière est copliqué, ais il sera d autant plus apte à rendre copte du coporteent réel du ilieu continu. Exeples de listes de variables d état indépendantes On verra dans le chapitre suivant qu une variable d état obligatoire est la tepérature absolue T. Elle figure donc toujours dans la liste des variables d état des exeples qui suivent. La variable d état asse voluique actuelle (un scalaire) traduit la présence d une certaine quantité de atière par unité de volue 5. Cette description de la répartition actuelle de la atière est la plupart du teps jugée suffisante pour les odèles de fluides siples. Une liste de variables d état objectives pour décrire l état d une particule de fluide siple est donc {T,ρ}. 4. En résolvant des équations algébriques ou des équations différentielles avec des conditions initiales et des conditions aux liites. 5. Microscopiqueent, c est un nobre de corpuscules par unité de volue 34

39 4.1. Concepts de base en therodynaique Un tenseur de déforation actuelle (un tenseur du second ordre) traduit plus fineent la disposition actuelle de la atière en coparant les distances actuelles entre particules voisines avec celles d une configuration de référence. Un tenseur de déforation doit donc obligatoireent figurer dans la liste des variables d état d une particule de ilieu continu solide déforable. L instant de référence utilisé pour définir les déforations serait, par exeple, un instant où le solide déforable n a encore jaais été sollicité. Une liste de variables d état objectives pour décrire l état d une particule de solide déforable isotrope est donc {T,X} où X est un tenseur de déforation actuelle objectif 6. Pour les solides déforables anisotropes, un tenseur de déforation est insuffisant pour distinguer les états : il faut copléter la description de l état d une particule en précisant l orientation du tenseur des déforations actuelles par rapport aux directions actuelles d anisotropie. Les variables d état doivent donc coporter à la fois un tenseur de déforation actuelle et les directions atérielles actuelles d anisotropie. Une liste de variables d état indépendantes objectives pour décrire l état d une particule de solide déforable anisotrope est donc {T,X,N 1,,N p } où X est un tenseur de déforation actuelle objectif et où les N i sont des tenseurs uniaxiaux donnant les directions d anisotropie actuelles. Pour certains ilieux continus, l histoire des changeents d état pour parvenir à un état donné peut être jugée iportante. Il faut alors ajouter des variables d état (scalaires, vectorielles ou tensorielles) 7 qui sont le résué actuel de l histoire de cette particule. Ces variables d état sont appelées variables d état internes 8. Ce résué de l histoire peut être plus ou oins riche selon les éléents de l histoire que l on a sélectionnés coe iportants Fonction d état L énoncé du principe de la conservation de l énergie invoque la notion de «fonction d état». Il convient de préciser ce concept. DÉFINITION : On appelle fonction d état, toute grandeur physique dont la valeur est déterinée par la seule connaissance des valeurs de la liste des variables d état indépendantes. VOCABULAIRE : Les fonctions d état (ou certaines d entre-elles) sont aussi appelées potentiels therodynaiques. Les fonctions d état sont donc des applications {χ 1,,χ n } V q 3 où q est l ordre de tensorialité de la fonction d état 9. Une fonction d état est donc une grandeur χ j dont la définition f χ est de la fore : j χ j(p)= f χ j (χ 1 (P), χ n (P)) Pendant l évolution d un doaine, l état {χ,,χ n } des particules évolue avec le teps, la valeur de la fonction d état χ j (P) évolue donc aussi avec le teps. On définit donc la dérivée particulaire 1 de cette fonction d état : χ j (P)= n i=1 i f χ j pi χ i (P) où p i est l ordre de tensorialité de la variable d état χ i et où p i est un produit tensoriel p i -contracté. 6. Il en existe plusieurs, voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section Ces variables d état traduisent en général des réarrangeents ou des ruptures de liaisons intercorpusculaires. Les phénoènes acroscopiques s appellent : plastification, endoageent, etc. 8. Le qualificatif d «interne» seble plus ou oins consacré par l usage, bien que toutes les variables d état puissent être vues coe «internes». Certains auteurs les appellent «non observables», les autres variables d état étant donc «observables». Si l auteur de ce cours osait proposer une terinologie qui ne soit pas tropeuse, il les appellerait variables «nésiques». 9. La plupart des fonctions d état envisagées dans la suite seront scalaires (q=, V q 3 =R). 1. Voir la définition de la dérivée particulaire dans le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section 2.7, et le cours Algèbre et analyse tensoriel pour l étude des ilieux continus, section pour la dérivation de fonctions d arguents tensoriels. 35

40 4. CONSERVATION DE L ÉNERGIE REMARQUE : On peut définir un grand nobre de fonctions d état χ j : toute fonction de fonctions d état et de variables d état est une fonction d état. Pari l enseble de grandeurs {χ 1,,χ n,χ 1,,χ q}, on peut choisir n grandeurs {χ 1,,χ n} telles que les n q grandeurs restantes s exprient en fonction des χ i. Il suffit que l application (changeent de variables d états) {χ 1,,χ n } {χ 1,,χ n} soit inversible. Cette possibilité de changer de liste de variables d états indépendantes explique la profusion de forules (expriant la êe chose) que l on peut trouver dans certains cours de therodynaique. Dans la suite, par souci de clarté, on évitera de faire de tels changeents de variables d état. Les seules fonctions d état réelleent indispensables sont celles introduites par les deux principes fondaentaux de la therodynaique, à savoir l énergie interne introduite par le preier principe de la therodynaique (voir section page 38) et l entropie introduite par le second principe de la therodynaique (voir chapitre 5 page 45). Les autres fonctions d état évoquées classiqueent en therodynaique (enthalpie, énergie libre, etc.) sont définies par des cobinaisons de ces deux fonctions d état et de variables d état. Fonctions d état objectives et objectivité des variables d état La définition d une fonction d état est, coe toute définition, universelle. Soit une fonction d état scalaire définie par χ = f χ (χ 1,,χ n ). L universalité de la définition signifie que l application f χ est la êe pour tous les observateurs. Si la grandeur physique définie par la fonction d état est une grandeur scalaire objective (sa valeur scalaire pour un état de particule est la êe pour tous les observateurs), on peut écrire : χ (P)= f χ ( χ1 (P),,χ n (P) ) = f χ ( χ 1 (P),, χ n (P) ) avec la êe fonction (définition) f χ pour tous les observateurs et où les χ i (P) sont les valeurs des variables d état (a priori tensorielles) de la particule P pour un observateur R. Les variables d état étant objectives, les forules de changeent d observateur de ces variables d état sont connues a priori 11 : χ i (P)=R Qt (χ i (P)) oùr Qt est un opérateur de changeent d observateur dont la nature change avec l ordre de tensorialité de la variable d état 12. La fonction d état scalaire χ étant objective, l application f χ doit satisfaire à l égalité : f χ ( χ1 (P),,χ n (P) ) ( = f χ R Qt (χ 1 (P)),,R Qt (χ n (P)) ) Ainsi, si les variables d état sont des grandeurs objectives, toute fonction d état à valeur scalaire objective est nécessaireent une fonction isotrope de ses arguents 13. On sait qu il existe alors une fonction f χ telle que : f χ ( χ1 (P),,χ n (P) ) = f χ (I 1 (P), I (P)) (4.1) où {I 1, I } sont des scalaires calculés à partir des arguents tensoriels {χ 1,,χ n } de la fonction f χ. Cette liste dépend du nobre et de l ordre de tensorialité des variables d état tensorielles χ i. L évaluation d une fonction d état scalaire objective et, d une anière générale, la description de l état d une particule de ilieu continu avec des variables d état tensorielles objectives, peut donc se raener à un enseble de variables d état scalaires objectives où est inférieur ou égal au nobre de coposantes nécessaires pour donner une valeur aux n variables d état tensorielles{χ 1,,χ n }. 11. Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, sections 3.2 à On rappelle que pour une grandeur vectorielle objective v, la forule de changeent d observateur est ṽv=q t v, et pour une grandeur tensorielle d ordre 2 objective T elle s écrit : T = Q t T Q T t. 13. Voir le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l étude des ilieux continus, du êe auteur, section

41 4.1. Concepts de base en therodynaique DÉFINITION : La liste des chaps scalaires objectifs {I 1, I } est appelée liste de variables d état réduites. REMARQUE : La signification physique profonde de ce résultat athéatique est que les seules valeurs réelles, counes à tous les observateurs, nécessaires et suffisantes pour décrire un état de particule contenant des variables d état vectorielles ou tensorielles, sont les invariants de chacune des variables d état et les invariants «croisés» qui définissent les orientations relatives de ces tenseurs les uns par rapport aux autres, en excluant toute orientation absolue par rapport à un observateur particulier. Les variables scalaires {I 1,,I } ne perettent donc pas de reconstruire coplèteent les variables d état tensorielles pour un observateur donné, elles perettent seuleent de reconstruire l enseble des variables d état tensorielles à une rotation quelconque près Espace des états Chaque état de particule étant défini par un nobre fini de scalaires objectifs, on peut donc représenter les tous états envisageables d une particule de ce odèle de ilieu continu avec un point de R (ou d un certain doaine de R ). DÉFINITION : Soit le nobre de scalaires objectifs nécessaires et suffisants pour décrire l état d une particule. On appelle espace des états, noté E, un espace affine de points de diension tel que chaque point représente un état possible de particule. Dans cet espace, les fonctions d état scalaires peuvent se représenter par des hypersurfaces de diension 1 qui sont les isovaleurs de la fonction d état. REMARQUE : En therodynaique des gaz, les variables d état indépendantes se réduisent à deux scalaires objectifs (=2, on dit parfois que les gaz sont «divalents»). Les isovaleurs des fonctions d état d un gaz sont donc des courbes dans un espace des états de diension 2. On peut donc les représenter graphiqueent sur des diagraes plans. Du fait que les therodynaiciens changent souvent de systèe de variables d état indépendantes (voir la rearque en section page 36), il existe plusieurs versions de ces diagraes, qui exprient néanoins tous la êe chose : l évolution de grandeurs le long d un chein dans l espace des états Évolution therodynaique L évolution therodynaique d un doaine (atériel ou géoétrique) est la description des changeents d état de chaque particule du doaine, c est-à-dire la donnée des chaps atériels{i 1 (P,t),,I (P,t)}. Dans l évolution therodynaique d un doaine, chaque particule suit donc son propre chein (ou trajectoire) dans l espace des états E, paraétré par le teps. DÉFINITION : On appelle évolution therodynaique d une particule, le chein (ou la trajectoire) du point représentatif de l état de la particule au cours du teps dans l espace des états. DÉFINITION : On appelle vitesse d évolution therodynaique à l instant t de la particule P, la dérivée teporelle dans l espace des états du point représentatif de l état dans une évolution. Les coposantes de la vitesse d évolution therodynaique d une particule dans l espace des états E sont donc les dérivées particulaires {İ 1 (P,t),,İ (P,t)}. Il faut bien noter que si l enseble des variables d état d un odèle de ilieu continu est bien un enseble de valeurs indépendantes 15, l enseble de ses dérivées particulaires dans une évolution ne l est pas nécessaireent : il se peut que des lois cinéatiques, physiques ou des principes fondaentaux iposent des relations entre les dérivées particulaires des variables d état. 14. On peut tenter de justifier ces différentes versions de diagraes par le fait qu on souhaite représenter des cheins d évolutions particulières (isotheres, isobares, isochores, isentropes,...) par des verticales ou des horizontales. 15. On peut donner une valeur arbitraire à chacune des variables d état pour définir un état. 37

42 4. CONSERVATION DE L ÉNERGIE Toutes les directions de vitesse d évolution therodynaique autour d un point de l espace des états ne sont donc pas toujours possibles. EXEMPLE : Pour un ilieu continu solide anisotrope, la déforation actuelle et les directions d anisotropie actuelles font partie des variables d état indépendantes : tout tenseur de déforation associé à toute direction d anisotropie est un état possible. Néanoins, les directions d anisotropie étant des directions atérielles, la cinéatique iplique des relations entre la dérivée particulaire des déforations et la dérivée particulaire des directions d anisotropie car les directions d anisotropie sont entraînées par le ouveent. 4.2 Principe de la conservation de l énergie La déarche suivie dans ce chapitre est siilaire à celle suivie dans les deux chapitres précédents : on pose le principe pour un doaine atériel, on en déduit une expression locale et on exprie les conséquences pour un doaine géoétrique. Le principe de la conservation de l énergie est aussi appelé Preier principe de la therodynaique. Il fait intervenir un nouveau concept : la chaleur, qui est une fore d énergie non écanique, ais qui peut aussi être échangée avec l extérieur Énoncé classique pour une évolution finie entre deux instants On considère un doaine atériel 16 quelconque en évolution entre deux instants t 1 et t 2. Le preier principe de la therodynaique postule deux axioes : 1. l énergie se conserve : il existe une grandeur scalaire, extensive et objective, appelée énergie interne du doaine atériel, telle que l énergie (travail et chaleur) reçue 17 de l extérieur du doaine atériel entre ces deux instants sert à odifier son énergie cinétique (odification du ouveent), le reste servant à odifier son énergie interne l énergie interne du doaine atériel est une fonction d état : à chaque état du doaine atériel correspond une valeur de son énergie interne. Les odifications de l énergie interne du doaine atériel se traduisent donc nécessaireent par des changeents des variables d état du doaine atériel. L énergie reçue de l extérieur est à la fois de l énergie écanique (du travail) et de l énergie non écanique (de la chaleur). Le preier principe s écrit donc classiqueent : ( Ecin (t 2 ) E cin (t 1 ) ) + ( E int (t 2 ) E int (t 1 ) ) = W t 2 t 1 + Q t 2 t1 (4.2) où : la variation d énergie interne E int (t 2 ) E int (t 1 ) du doaine atériel se traduit par des changeents d état dans le doaine atériel, c est-à-dire des odifications des variables d état ; le tere W t 2 t 1 désigne le travail écanique reçu (éventuelleent négatif) de l extérieur par le systèe pendant l évolution entre les instants t 1 et t 2 ; le tere Q t 2 t1 désigne la chaleur reçue (éventuelleent négative) de l extérieur par le systèe pendant l évolution entre les instants t 1 et t Les therodynaiciens disent systèe feré. Pour l instant, le doaine atériel n est pas nécessaireent un doaine de ilieu continu, ais il est néanoins toujours constitué de la êe atière. 17. Par convention, on parle toujours de l énergie reçue de l extérieur par le doaine atériel. Si l énergie «reçue» est négative, elle est en fait cédée au ilieu extérieur. 18. Bien noter qu il n y a pas de spécialisation : on peut odifier l énergie cinétique aussi bien avec du travail que de la chaleur. Il en est de êe pour l énergie interne. 38

43 4.2. Principe de la conservation de l énergie L expression de la fonction d état énergie interne en fonction des variables d état n est pas précisée par le principe. Cette relation est particulière à chaque systèe étudié. Dans le cas d un doaine atériel de ilieu continu, cette relation est particulière à chaque ilieu continu (acier, eau, air...). C est en précisant d une part la liste des variables d état nécessaire et suffisante pour caractériser l état d un doaine atériel et d autre part l expression de l énergie interne en fonction de ces variables d état, que l on construit un odèle du coporteent du ilieu continu contenu dans le doaine. REMARQUE : Dans un grand nobre de traités de therodynaique, le preier principe de la therodynaique est énoncé avec des systèes supposés «à l équilibre» aux instant t 1 et t 2, sans définition claire de ce que signifie cet «équilibre» : tantôt les vitesses sont supposées nulles 19 (il n y a donc pas de variation d énergie cinétique) ou constantes dans le teps (accélération nulle, «équilibre écanique») et/ou unifores dans l espace (ouveent de translation), tantôt les chaps de variables d état dans le doaine sont supposés unifores («équilibre therique» et autres...) 2, et bien souvent les deux à la fois. Coe on va le voir par la suite, cette idée d «équilibre» est inutile. Ces conditions soit-disant siplificatrices ne sont évoquées que parce que c est dans ces cas particuliers que les vérifications expérientales sont les plus faciles à faire. Pour pouvoir appliquer le principe avec de telles restrictions, on est aené à considérer les évolutions du systèe étudié coe une «succession d états d équilibre», éventuelleent «infinient lente» qui n ont aucun sens physique. Lorsqu un systèe atériel (continu ou non) évolue, les vitesses ou les accélérations de ses particules se sont en général pas nulles, les chaps de variables d état ne sont en général pas unifores et le principe de la conservation de l énergie n en reste pas oins vrai Énoncé global instantané L énoncé (4.2) page 38 est affiré pour toutes les transforations, c est-à-dire t 1 et t 2, et donc en particulier pour toute sous-transforation entre deux instants t et t+ dt aussi proches que l on veut 21. On va donc en donner une forulation instantanée qui garantit le respect du principe de la conservation de l énergie pour toute sous-évolution d une évolution : où : P ec P cal d dt E cin+ d dt E int =P ext ec +P ext cal (4.3) ext est la puissance écanique actuelle des efforts extérieurs (à distance et de contact) ; ext est la puissance calorifique actuelle reçue de l extérieur. Il faut aintenant traduire cet énoncé global valable pour un systèe atériel a priori quelconque, dans le cas où la atière du systèe atériel est odélisée par un ilieu continu Conservation de l énergie pour un doaine atériel de ilieu continu SoitD un doaine atériel, soitd t sa position actuelle et soitd sa position de référence. L énergie interne est, par principe, une grandeur extensive 23, on peut donc définir une densité assique d énergie interne, notée e et appelée énergie interne assique 24, telle que l énergie interne actuelle d un doaine atériel est (voir (1.1) page 3) : E int (,t)= e E d= ρ E e E dv t = e D L d= ρ L e D L K v dv = ρ e D L dv 19. Pour quel observateur? 2. Par exeple la tepérature ou la pression sont supposés unifores dans l espace, ce qui évite de parler de chaps atériels pour les variables d état. 21. Naturelleent, tous les états interédiaires t [t 1,t 2 ] ne sont pas «à l équilibre» quel que soit le sens qu on donne à ce ot. 22. Voir la rearque 1 page L extensivité postulée de l énergie interne est parfois appelée en therodynaique : «principe de l état local». 24. Les therodynaiciens disent aussi : énergie interne spécifique. 39

44 4. CONSERVATION DE L ÉNERGIE où e est l énergie interne assique actuelle (unité : J.kg 1 ). D autre part, l énergie interne assique est, par principe, une fonction d état. Il existe donc une application réelle f e telle que : e (P)= f e (χ 1 (P),,χ n (P)) L application universelle f e est caractéristique de chaque odèle de ilieu continu, par le choix de ses variables (la liste des variables d état χ i ) et par l application f e elle-êe (expression de l énergie interne assique en fonction des variables d état). Enfin, l énergie interne est, par principe, une grandeur scalaire objective. Puisque les variables d état sont objectives, l application f e est une fonction isotrope de ses arguents tensoriels et peut donc être raenée à une fonction f e d arguents scalaires (voir (4.1) page 36) : e (P)= f e (I 1 (P),,I (P)) où les variables d état réduites scalaires {I 1,,I } sont connues quand on connait la liste des variables d état tensorielles objectives. L énergie cinétique actuelle et la puissance écanique extérieure actuelle d un doaine atériel ont été définies dans le chapitre sur le principe fondaental de la écanique. On rappelle leurs différentes expressions ici : E cin (,t)= P ec ext (D t,t)= v 2 E ρ E 2 dv v 2 E t = 2 d= v 2 L D 2 d= v 2 L ρ L D 2 K v 2 L v dv t = ρ D 2 dv t v E f v E dv t + v E σ E n t ds t } {{ } } {{ } Puiss. forces à distance Puiss. forces de contact = v L f v L K vl dv + v L σ L F T n K vl ds (par exeple, voir (3.22) page 23) D D Dans un doaine atériel, on représente l énergie calorifique reçue de l extérieur par deux teres : un tere de frontière : cal sur f P ext = F T n q E n t ds t = q L D F T n K sl ds = q L F T n K vl ds D Ce tere est la puissance calorifique reçue de l extérieur par conduction 25 à travers la frontière. Le chap vectoriel q, défini dans tout le doaine atériel 26, est appelé courant de chaleur 27 (W. 2 ). un tere de volue : cal vol P ext = rexte v dv t = r v D extl K vl dv Le chap scalaire r v ext représente une puisssance calorifique voluique (W. 3 ) reçue à l intérieur du doaine atériel ais due à une source d énergie extérieure 28. On peut utiliser ce tere pour odéliser une production de chaleur due à un rayonneent d origine extérieure qui cède une partie de son énergie sous fore de chaleur en traversant le doaine atériel par interaction avec la atière (par exeple un rayonneent icro-ondes). Dans beaucoup d applications, ce tere est nul. 25. On applique ici le principe à un doaine atériel. Aucune atière ne traverse la frontière, il n y a donc pas d apport de chaleur à travers la frontière par convection. 26. L existence du chap vectoriel q dans le doaine est souvent postulée. En fait, on peut prouver son existence de la êe anière que pour l existence du tenseur des contraintes. La déonstration d existence est donnée en annexe A.3 page Le vecteur q est parfois appelé «flux» de chaleur ; quelquefois, c est le scalaire q s = q n qui est appelé «flux» de chaleur. 28. C est un apport de chaleur à distance, coparable aux forces extérieures à distance. 4

45 4.3. Fore locale de la conservation de l énergie Le principe de la conservation de l énergie (4.3) page 39 pour un doaine atériel s écrit donc (avec les descriptions d Euler) : d v 2 E dt 2 d + d e dt D } {{ } E d= t } {{ } P cin = dt d E cin(d,t) d dt E int(d,t) v E f v dv t + v E σ E n t ds t } {{ } Pext ec + rext v E dv t q E n t ds t } {{ } Pext cal (4.4) On peut siplifier l expression globale de la conservation de l énergie pour un doaine atériel (4.4), en utilisant le théorèe de la puissance cinétique :P cin =P ext ec + Pint ec. d dt E int(d,t)= P int ec + r v ext E dv t q E n t ds t } {{ } d e dt E d= ė E ρ E dv t = D t D t D t σ E : D E dv t + σ E : D E dv t + D t D t P cal ext rext v E dv t rext v E dv t D t D t q E n t ds t (voir (3.28) page 26) (4.5) div E q dv t (voir (2.1) page 12) (4.6) Si on utilise les descriptions de Lagrange dans le doaine atériel, le principe de la conservation de l énergie s écrit : D ρ L ė L K vl dv = D ρ ė L dv = D D σ L : D L K vl dv + σ L : D L K vl dv + D D rext v L K vl dv rext v L K vl dv D D q L F T n K vl ds où K v est la dilatation voluique actuelle dans une déforation dont la référence estd. 4.3 Fore locale de la conservation de l énergie div L (K v F 1 q) dv (4.7) On l obtient par le êe procédé que pour les autres principes : en utilisant le lee fondaental à partir de l expression globale (4.6), on obtient la fore locale de la conserservation de l énergie, appelée fore eulérienne de l équation de la chaleur 29 : ρė = σ : D + r v ext div E q (4.8) L énergie interne assique étant une fonction d état, sa dérivée particulaire est : où : ė = n i=1 i f e pi χ χ χ i = j=1 j f e İ j ( f e (χ,,χ n )= f e (I 1,,I ), voir (4.1) page 36) p i est l ordre du tenseur χ i et p i est un produit tensoriel p i -contracté ; {χ 1,,χ n } sont les variables d état tensorielles ; f e est la fonction d état énergie interne assique en fonction des variables d état tensorielles ; 29. On a enlevé les indices E inutiles car par définitiona E (x t,t)=a L (x,t)=a(p,t). 41

46 4. CONSERVATION DE L ÉNERGIE {I 1,,I } sont les variables d état réduites (scalaires) ; f e est la fonction d état énergie interne assique en fonction des variables d état réduites. Pour un certain ilieu continu (l application f e ou f e et la liste des variables d état sont connues), la conservation de l énergie s écrit donc : ρ n i=1 i f e pi χ χ χ i = ρ j=1 j f e İ j = σ : D + r v ext div E q (4.9) On peut aussi écrire une fore lagrangienne de l équation de la chaleur en appliquant le lee fondaental à l équation (4.7) page 41 : K v ρ ė = K v σ : D K }{{} }{{} v rext v div L (K v F 1 q) ρ τ où ρ = ρ L (x,t ) et où τ est le «tenseur des contraintes» de Kirchhoff (voir la rearque page 24). REMARQUE : Le tere K v F 1 q parfois noté q est difficileent interprétable. 4.4 Conservation de l énergie pour un doaine géoétrique Soit un doaine géoétrique dont la position actuelle estd g t. De l équation locale (4.8) page 41, il vient : D g t ρ E ė E dv t = σ E : D E dv t + r v g g ext E dv t div E q dv t g En utilisant la dérivation des intégrales de asse sur un doaine géoétrique (2.12) page 12, il vient : d e d dt } {{ g } de int dt = σ E : D E dv t } g {{ } Pint ec + rext v E dv t div E q dv t } g {{ g } Pext cal + ρ E e E(v f v E ) n t ds t } g {{ } Φ e (4.1) où Φ e est le flux (débit) d énergie interne entrant à travers la frontière et où v f est la vitesse de la frontière du doaine géoétrique. En coparant (4.1) avec l équation de bilan d une grandeur extensive donnée en (1.11) page 7, la quantité P ext cal P int ec = ) D (r t g ext v E div Eq+σ E : D E dv t peut s interpréter coe un taux de production interne d énergie interne, et le tere τ int = rext v div E q+σ : D est le taux de production voluique d énergie interne. Ainsi, on peut interpréter le principe de la conservation de l énergie, coe un principe de «conservation de l énergie interne», à condition de considérer la puissance calorifique extérieure et l opposé de la puissance écanique des efforts intérieurs coe des sources d énergie interne. Pour un doaine atériel, le flux à travers la frontière est nul. BILAN D ÉNERGIE TOTALE : En utilisant le théorèe de la puissance cinétique sous fore de bilan d énergie cinétique pour un doaine géoétrique (3.36) page 37 : et en additionnant tere à tere avec (4.1) il vient : d dt E cin =P ext ec +P int ec + Φ Ecin de tot dt = de int dt + de cin dt =P ext ec +P ext cal + Φ e + Φ Ecin } {{ } Φ Etot 42

47 4.5. Changeents d observateur Ainsi, si on appelle énergie totale le tere E tot = E cin + E int, en coparant avec l équation de bilan d une grandeur extensive donnée en (1.11) page 7, le principe de la conservation de l énergie peut être présenté coe un principe de conservation de l énergie totale, à condition de considérer la puissance écanique des efforts extérieurs et la puissance calorifique extérieure coe des sources d énergie totale. Le taux de production voluique d énergie totale est : τ Etot = v (div E σ+ f v )+r v ext div E q. Pour un doaine atériel, le flux à travers la frontière est nul. 4.5 Changeents d observateur L énergie interne assique est par principe une grandeur scalaire objective. D autre part, la puissance voluique des efforts intérieurs P vec int = σ : D l est aussi (voir (3.42) page 32). On pose par principe que la puissance calorifique surfacique actuelle transise par conduction à travers la fontière q s = q n t (W. 2 ) est un scalaire objectif ( q s = q s ). On déduit aiséent de l égalité : q ñn t = q n t, en utilisant (3.39) page 31, que la forule de changeent d observateur du vecteur courant de chaleur q est : q=q t q (4.11) ce qui est la forule de changeent d observateur d une grandeur vectorielle objective. Le vecteur courant de chaleur q est un chap vectoriel objectif. On ontre en cinéatique que la divergence eulérienne d un chap vectoriel objectif est un chap scalaire objectif 3. On en déduit que : Le chap div E q est un chap scalaire objectif. On déduit de la fore locale de la conservation de l énergie (4.8) page 41 que : La puissance calorifique voluique extérieure r v ext est une grandeur scalaire objective. En revanche, l énergie cinétique, sa dérivée teporelle (la puissance cinétique) et la puissance des efforts extérieurs ne sont pas des grandeurs objectives, car la vitesse n est pas une grandeur objective. On peut récrire le principe de la conservation de l énergie global pour un doaine atériel sous la fore : d dt E int P cal ext =P ext ec d dt E cin Le tere de gauche étant objectif, le tere de droitep ext ec dt d E cin l est aussi. Bien que chacun des teres de cette différence soit non objectif, leur différence est objective. 4.6 En bref... Lorsqu un doaine de ilieu continu évolue, le point représentatif de l état de chaque particule suit son propre chein dans l espace des états. Le preier principe de la therodynaique postule la conservation de l énergie d un doaine atériel (systèe feré) via l existence d une énergie interne qui est une fonction d état objective. On en déduit une équation différentielle locale de la conservation de l énergie appelée équation de la chaleur (une fore eulérienne et une fore lagrangienne). La fonction d état objective énergie interne assique est caractéristique de chaque odèle de ilieu continu (par la liste des variables d état objectives et par son expression en fonction de ces variables). Elle peut être identifiée par des esures expérientales ou bien sa fore peut être posée a priori par une relation athéatique avec des coefficients à ajuster aux esures. 3. Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section

48 4. CONSERVATION DE L ÉNERGIE Pour un doaine géoétrique (systèe ouvert), l expression globale du principe s écrit en tenant copte du flux d énergie interne traversant la frontière par convection. L énergie interne et les quantités calorifiques sont des grandeurs scalaires objectives. En revanche, l énergie cinétique, la puissance cinétique, le travail et la puissance des forces extérieures ne le sont pas. 44

49 Chapitre 5 Second principe de la therodynaique 5.1 Introduction Le second principe de la therodynaique n est pas toujours présenté dans les cours de ilieux continus pour deux raisons : 1. Il n est utile que quand on cherche à construire un odèle de coporteent de ilieux continus therodynaiqueent adissible (tous devraient l être!). 2. Contraireent aux trois principes fondaentaux précédents, il ne conduit pas à des équations ais à une inéquation dont on n a pas à se soucier dans la résolution d un problèe dès lors qu un odèle de coporteent therodynaiqueent adissible a été choisi. Ce chapitre n est donc indispensable que pour les lecteurs qui ont en vue la construction de nouveaux odèles de coporteents. Les odèles de coporteent classiques des solides et des fluides, proposés généraleent sans justification dans les cours éléentaires, satisfont (approxiativeent pour certains) autoatiqueent l inégalité du second principe de la therodynaique. REMARQUE : Il n est cependant pas pédagogiqueent inutile de vérifier que les odèles de coporteent classiques satisfont bien le principe. Il est aussi pédagogiqueent utile de reconstruire les odèles classiques à partir du second principe de la therodynaique, pour les justifier 1. Le second principe de la therodynaique introduit une nouvelle variable d état : la tepérature absolue, ainsi qu une nouvelle fonction d état : l entropie. Il sort du cadre de ce cours de tenter de justifier l énoncé de ce principe par un exposé de l évolution historique des idées en therodynaique ou par des expériences de pensée sur les achines theriques idéales de Carnot. L auteur a choisi résoluent de le présenter coe les principes précédents, c est-à-dire en l énonçant coe un axioe sans essayer de le justifier. Dans ce chapitre, on suit la êe déarche que dans les chapitres précédents : le principe est énoncé de anière globale pour un doaine atériel, on en déduit une inégalité locale et une expression globale pour les doaines géoétriques. 1. Historiqueent, les lois de coporteent classiques des fluides et des solides déforables ont été proposées sans le souci de respecter le second principe. C est donc un peu par chance qu ils se trouvent être therodynaiqueent adissibles (ou presque). L oubli de ce principe a notaent pu conduire, dans un passé récent, à la proposition de certaines lois de coporteent therodynaiqueent inadissibles coe le coporteent dit «hypoélastique», dont on peut encore trouver la trace dans certains codes de calcul. 45

50 5. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 5.2 Énoncé classique On postule l existence d une grandeur scalaire positive non extensive ais objective appelée tepérature absolue (unité légale : le Kelvin de sybole K). On postule que la chaleur est une énergie qui ne peut se transettre d une région A vers une région B que si T A > T B (on dit que «la chaleur va du chaud vers le froid»). REMARQUE : Parler de la tepérature absolue d un systèe fini ou d une région n a de sens que quand elle est unifore dans le systèe ou la région! La tepérature est une grandeur non extensive. Une variation d entropie «ds» est quantifiée par le rapport d une quantité de chaleur «dq» échangée divisée par la tepérature T au oent de ce échange : ds= dq T. EXEMPLE : S il y a un transfert de chaleur «dq» de la région A vers la région B, le gain (négatif) d entropie de la région A est dq T A et le gain (positif) d entropie de la région B est dq T B. L extensivité de l entropie peret d écrire que la variation d entropie du systèe A B due au transfert de chaleur «dq» est dq T B dq T A > car T A > T B. Un échange de chaleur à l intérieur du systèe A B provoque donc une augentation d entropie. On postule l existence d une fonction d état extensive et objective appelée entropie du systèe (J.K 1 ), dont la variation dans une évolution du systèe est due en partie aux apports d entropie extérieure dq ext T où dq ext est la chaleur reçue de l extérieur entre les instants t et t+ dt à la tepérature T(t) du systèe. REMARQUE : Au cours d une évolution avec échange de chaleur, la tepérature d un systèe de diension finie ne reste généraleent pas constante dans le teps, ais elle resterait unifore dans le systèe pour qu on puisse parler de sa tepérature. Une telle définition ipliquerait que l on ne puisse parler de l entropie d un systèe fini que quand sa tepérature est unifore! On donne généraleent l inégalité du second principe pour une transforation «infinitésiale» (entre t et t+ dt) d un systèe fini sous la fore suivante : où : ds dq ext T ou encore ds dq ext T = ds int ds signifie «petite variation d entropie du systèe entre les instants t et t+ dt» d une évolution ; dq ext est la «petite quantité de chaleur» reçue de l extérieur par le systèe entre ces deux instants ; T = T(t) est la tepérature (unifore) du systèe à l instant t. Le reste de la variation d entropie du systèe, ds int = dq int T = ds dq ext T, est une production interne d entropie positive due à des processus internes non précisés. PRÉCISIONS : L augentation d entropie due aux échanges de chaleur entre les régions A et B d un systèe évoquée dans l exeple précédent (dissipation therique) n est pas la seule cause de création d entropie. Des quantités de chaleur peuvent être gagnées ou perdues par le systèe à la tepérature T en raison de phénoènes internes coe le frotteent (exotherique), des changeents de phase ou des réactions chiiques (exotheriques ou endotheriques), etc. La création interne d entropie ds int est parfois notée dq f T quand le frotteent est seul en cause. Il n en reste pas oins vrai que, êe s il existe des phénoènes internes endotheriques, le second principe de la therodynaique postule que la production interne totale d entropie (dissipation therique et autres) est non négative. Sous cette fore, le principe est inutilisable en écanique des ilieux continus : les tepératures d un ilieu continu sont décrites par un chap de tepérature qui n est généraleent pas unifore. Le second principe de la therodynaique deande donc à être reforulé de anière plus pertinente. 46

51 5.3. Énoncé du second principe pour un doaine atériel 5.3 Énoncé du second principe pour un doaine atériel SoitD un doaine atériel dont la position actuelle est second principe de la therodynaique affire que : et dont la position de référence estd. Le 1. Il existe une variable d état de particule, notée T, scalaire, objective, positive et non extensive appelée tepérature absolue. La liste des variables d état indépendantes et objectives caractérisant l état d une particule (voir section page 33) s écrira donc :{T,χ 2,,χ n } et sa liste de variables d état réduites (voir (4.1) page 36) est {T,I 2,,I }. 2. En une particule, le produit scalaire q E grad E T est négatif ou nul (c est la traduction locale du principe «la chaleur va du chaud vers le froid»). 3. Il existe une fonction d état scalaire et extensive 2 S appelée entropie. Son extensivité peret de définir une entropie assique 3 (unité : J.kg 1.K 1 ) telle que l entropie actuelle S(D,t) d un doaine atérield peut s écrire (voir section 1.2 page 3) : S(D,t)= s E d= ρ E s E dv t = ρ L s D L K vl dv = ρ s D L dv = s D L d L entropie assique en une particule P étant une fonction d état scalaire objective, et les variables d état étant objectives, il existe une fonction f s et une fonction f s telles que : s (P)= f s (T(P),χ 2 (P),,χ n (P))= f s (T(P),I 2 (P),,I (P)) où l application universelle f s (ou f s ) est caractéristique de chaque odèle de ilieu continu, par le choix de ses variables (les variables d état indépendantes) et par l application elle-êe (valeur de l entropie assique en fonction des variables d état) ; 4. Pendant une évolution, la dérivée teporelle de l entropie du doaine atériel, appelée taux 4 d entropie du doaine atériel, est supérieure ou égale au taux d entropie d origine extérieure : d dt S(D r v ext E q E n t,t) dv t ds t T E T E Il existe donc un taux de production d entropie interne (unité : W.K 1 ), non négatif, dû à des processus internes non précisés 5 à l intérieur du doaine: ds int dt = d dt S(D r v ext E q E n t,t) dv t + ds t (5.1) T E T E Le cas où la relation (5.1) est une égalité (il n y a pas de production interne d entropie) n a lieu que pour une classe particulière d évolutions therodynaiques idéales que l on qualifie de «réversibles». Les autres sont dites «irréversibles» 6. REMARQUE : Avec cet énoncé, il est possible d envisager l entropie d un doaine atériel (ou d un sous-doaine) à tepérature non unifore. Les puissances calorifiques reçues de l extérieur du doaine, odélisées par r v ext (puissance calorifique voluique actuelle apportée à distance par rayonneent) et par q s = q n t (puissance calorifique surfacique actuelle entrant à travers la frontière par conduction), ont déjà été définies dans le chapitre précédent (voir section page 39). 2. Le postulat d extensivité de l entropie est parfois appelé «principe de l état local». 3. Les therodynaiciens disent aussi : entropie spécificique. 4. Contraireent au chapitre sur les vitesses de déforation, le ot «taux» signifie ici «dérivée teporelle» et non «dérivée teporelle logarithique». 5. Voir les PRÉCISIONS page Ces qualificatifs usuels peuvent induire en erreur : certaines évolutions (coe une fissuration ou une fracture) sont irréversibles au sens coun du tere, alors que d autres, bien que sujettes à une production interne d entropie, ne le sont pas vraient car on peut revenir à l état antérieur en cédant de l entropie au ilieu extérieur. 47

52 5. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 5.4 Fore locale du second principe de la therodynaique En utilisant la dérivée des intégrales de asse d un doaine atériel (2.1) page 12 et le théorèe de la divergence, le second principe de la therodynaique pour un doaine atériel (5.1) s écrit : ds int dt = ρ E ṡ E dv t rext v E dv t + T E div E q T dv t Le principe étant vrai pour tout doaine atériel, il vient une preière expression locale de ce principe 7 : où : ṡ v int = ρṡ rv ext T + div q E T (5.2) le tere ṡ v int est le taux de production voluique d entropie (W. 3.K 1 ) dû à des processus internes; le tere rv ext T div E q T est le taux de production voluique d entropie d origine externe (W. 3.K 1 ). FORME LAGRANGIENNE : Si on utilise la description de Lagrange des chaps dans le doaine atériel, il vient : D ρ L ṡ L K vl dv D r v ext L T L On en déduit une fore locale lagrangienne du second principe : K v ρ }{{} ρ En développant la divergence, on peut obtenir d autres expressions. En développant la divergence avec l identité : div E ( q T )= div Eq T l expression locale du second principe s écrit encore : q L K vl dv K vl F T n ds D T L ṡ r v ( ext K v T + div L ṡ v int = ρṡ rv ext T + div Eq q grad ET T T 2 K v F 1 q T ). 1 + q grad E T = div Eq q grad ET T T 2, Puisque T >, on peut ultiplier chaque ebre par T sans changer le sens de l inégalité : T ṡ v int = ρt ṡ r v ext+ div E q q grad E T T (5.3) DÉFINITION : On appelle dissipation, la puissance calorifique voluique (W. 3 ) d origine interne, notée Φ, non négative par principe : Φ=Tṡ v int = ρt ṡ r v ext+ div E q q grad E T T Avec cette définition, la fore locale du second principe s écrit sipleent : (5.4) Φ (5.5) En toute particule d un ilieu continu et pour toute évolution possible à partir de son état, la dissipation doit être non négative. En utilisant la conservation de l énergie (4.8) page 41, on obtient une autre expression de la dissipation : 48 Φ=ρ(T ṡ ė )+σ : D q T grad ET (5.6) 7. On a supprié les indices E inutiles cara L (x,t)=a E (x t,t)=a(p,t).

53 5.4. Fore locale du second principe La non négativité du chap des dissipations exprie que le taux de production voluique interne d entropie ṡ v int = ΦT 1 est non négatif pour toute évolution de particule d un ilieu continu. En revanche, le second principe n affire rien a priori sur la nature des processus internes qui produisent cette entropie, excepté le fait que le dernier tere q E grad E T T E est non négatif (voir axioe 2 page 47). DÉFINITION : définie par : On appelle dissipation therique, la puissance voluique non négative (par principe) Φ th = q T grad ET (voir axioe 2 page 47) (5.7) DÉFINITION : On appelle dissipation intrinsèque, la puissance voluique définie par : Φ int = Φ Φ th = ρt ṡ r v ext+ div E q=ρ(t ṡ ė )+σ : D (5.8) Avec ces définitions, la fore locale du second principe s écrit : Φ=Φ int + Φ th avec Φ th Coe on peut le constater, le second principe de la therodynaique n ipose pas que la dissipation intrinsèque soit non négative. Il ipose seuleent que : Φ int Φ th. REMARQUE : Lors de la construction de odèles de ilieux continus, on peut assurer la satisfaction au second principe de la therodynaique en s arrangeant pour que la dissipation intrinsèque soit toujours non négative. Cette condition n est qu une condition suffisante pour satisfaire au principe. Elle n est nulleent nécessaire. De ce fait, on éliine la possibilité d existence de processus internes endotheriques. C est le cas pour la plupart des odèles de ilieux continus onoconstituants (pas de réaction chiique ni changeent de phase). Les ilieux continus ulticonstituants sortent du cadre de ce cours, ais on peut noter que si la dissipation intrinsèque est négative, sa nore est liitée par la dissipation therique : Φ int = Φ int Φ th Φ int Φ th. Autreent dit : la chaleur nécessaire à un processus interne endotherique local (une fusion par exeple) ne peut être fournie que par un échange de chaleur de la particule avec ses voisines. Dans les expressions de la dissipation intrinsèque, la dérivée particulaire de l entropie assique est : ṡ = n i=1 i f s pi χ χ χ i = j=1 i f s İ j L expression de la dissipation (5.6) page 48 ontre que, pour un odèle de ilieu continu donné (la liste des variables d état et les fonctions d état énergie interne assique et entropie assique sont connues), la dissipation actuelle en une particule en évolution dépend : de l état actuel de la particule (au oins par ρ et T, ais aussi par d autres variables d état éventuelles), de la vitesse d évolution therodynaique actuelle de la particule (par les dérivées particulaires des variables d état), de la cinéatique du ouveent (au oins par tenseur des taux de déforation actuel D, ais aussi éventuelleent par les dérivées particulaires de certaines variables d état), de son environneent therique actuel gradt. Quand on construit un odèle de ilieu continu, il faut donc : 1. choisir une liste de variables d état indépendantes objectives (éventuelleent tensorielles), qui se raène à une liste de variables d état réduite de scalaires objectifs ; 2. choisir les expressions des deux fonctions d état scalaires objectives énergie interne assique (en se donnant f e ou f e ) et entropie assique (en se donnant f s ou f s ). 49

54 5. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE Ces choix doivent être faits de telle anière que pour tout état et pour toute évolution therodynaique possible à partir de cet état, la dissipation soit non négative. Coe on le verra dans la construction de odèles, cette condition iplique l existence 8 de ce qu il est convenu d appeler des lois de coporteent, qui ne peuvent pas être choisies arbitraireent car elles doivent respecter l inégalité du second principe de la therodynaique en toutes situations. AUTRE EXPRESSION DU SECOND PRINCIPE : Au lieu d utiliser coe fonction d état l énergie interne assique e, on peut préférer utiliser l énergie libre de Helholtz assique ψ définie par : ψ = e T s. On a alors : ψ = ė s Ṫ T ṡ On obtient une autre expression du second principe, avec les fonctions d état ψ et s, appelée inégalité de Clausius- Duhe: Φ= ρ ( ψ + s Ṫ ) q + σ : D } {{ } T grad ET } {{ } Φ int Φ th Le couple de fonctions d état (ψ,s ) est très utilisé à la place du couple (e,s ) en theroécanique des solides déforables car il siplifie l écriture de certaines forules. 5.5 Second principe de la therodynaique pour un doaine géoétrique SoitD g t un doaine géoétrique. De l équation locale (5.2) page 48, il vient : D g t ρ E ṡ E dv t D g t D g t ṡ E d D g t rext v E dv t + T E rext v E dv t + T E D g t D g t div E ( q T ) dv t q E n t T E dv t et en utilisant la dérivée d un intégrale de asse sur un doaine géoétrique (2.12) page 12, on obtient : d s dt g E d } {{ } ds dt r v ext E q E n t dv t + dv t g T E g T E } {{ } d dt S ext ρ E s E(v f v E ) n t ds t } g {{ } φ s où φ s est le flux (débit) convectif d entropie entrant à travers la frontière et où v f est la vitesse de la frontière. On peut encore écrire ce bilan de diverses anières en transforant des intégrales, coe par exeple : d s dt g E d g rext v E div Eq dv t + ρ E s T E(v f v E ) n t ds t (5.9) E g où r v ext E div Eq peut être replacé par ρė σ : D (équation de la chaleur (4.8) page 41), etc. En coparant (5.9) avec l équation de bilan d une grandeur extensive donnée en (1.11) page 7, on peut interpréter la quantité τ sext = rv ext div E q = ρė σ : D coe un taux de production voluique d entropie (W.K 1. 3 ) d origine T T extérieure. Ainsi, la dérivée teporelle de l entropie d un doaine géoétrique est supérieure ou égale à la soe de la production d entropie d origine extérieure et du flux d entropie entrant dans le doaine géoétrique à travers la frontière par convection. La différence est une production d entropie due à des processus internes D g t Φ E T E dv t. 8. Un exeple de loi dont l existence est iposée par une inégalité est donné plus loin en section 5.7 page 51 5

55 5.6. Changeents d observateur 5.6 Changeents d observateur Considérons deux observateursr et R et soit Q t le tenseur de changeent d observateur à l instant t. La tepérature est un scalaire objectif par principe. On ontre en cinéatique que le gradient eulérien d un chap scalaire objectif est un chap vectoriel objectif 9. La forule de changeent d observateur du gradient eulérien du chap de tepératures est donc : grad E T = Q t grad E T (5.1) Toutes les grandeurs qui interviennent dans l expression de la dissipation (voir (5.6) page 48) sont des grandeurs objectives. Les dissipations Φ, Φ th et Φ int sont donc des chaps de grandeurs scalaires objectives. 5.7 Nécessité de l existence d une loi de coporteent therique L axioe 2 de l énoncé du second principe de la therodynaique pour un doaine atériel de ilieu continu donné en section 5.3 page 47 ipose l inégalité : q grad E T en toutes situations, c est-à-dire quel que soit l environneent therique représenté par le vecteur grad E T. On en déduit que le vecteur courant de chaleur q est nécessaireent au oins fonction du vecteur grad E T : q grad E T grad E T f q tel que q= f q (grad E T, ) La fonction f q est appelée loi de coporteent therique ou loi de conduction therique. La loi la plus siple que l on puisse choisir est la très populaire loi de Fourier : q= αgrad E T avec α (5.11) On vérifie aiséent qu elle satisfait bien la non négativité de la dissipation therique et qu elle est bien universelle 1. Cette loi linéaire siple n est a priori valable que pour des ilieux continus isotropes, car aucune référence n est faite à des directions atérielles d anisotropie (la loi est la êe quel que soit l orientation de grad E T par rapport aux directions atérielles). On peut construire des lois de coporteent theriques plus évoluées : le scalaire α peut être replacé par toute fonction isotrope (au sens athéatique) à valeur non négative de la fore α(grad E T,T,χ i,d, ). On obtient ainsi des lois de conduction therique non linéaires, ais toujours pour des ilieux continus isotropes. On peut aussi construire des lois de conduction therique pour des ilieux continus anisotropes 11. Par exeple, pour un ilieu continu à une seule direction d anisotropie 12 dont la direction actuelle est n t (vecteur unitaire), on peut prendre des lois de conduction therique de la fore suivante : q E = α 1 ( )(grad E T n t )n t α 2 ( ) ( grad E T (grad E T n t )n t ) où α 1 est la conductivité therique dans la direction d anisotropie, et α 2 est la conductivité therique transverse (perpendiculaireent à la direction d anisotropie). On vérifie aiséent que cette loi satisfait le second principe si les fonctions α 1 et α 2 sont à valeur scalaire non négative et que cette loi de conductivité therique est bien universelle si les fonctions α 1 et α 2 sont des fonctions non négatives isotropes de leurs arguents tensoriels objectifs. 9. Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, section En utilisant la forule de changeent d observateur de q en (4.11) page 43 et celle de grad E T en (5.1) page 51, on vérifie aiséent que la loi est la êe pour un autre observateur R : q= αgrad E T 11. En général ce sont des ilieux continus solides déforables. 12. On les appelle ilieux continus «isotropes transverses». Ce sont, par exeple, des ilieux fibreux ou feuilletés que l on veut odéliser coe des ilieux continus. 51

56 5. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 5.8 Capacités calorifiques locales dans une évolution La capacité calorifique (J.kg 1.K 1 ) souvent aussi appelée chaleur assique 13, est habituelleent définie coe la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 1 Kelvin l unité de asse de atière dans une certaine transforation finie dont les états initiaux et finaux dont à tepérature unifore (grad E T 1 = et grad E T 2 = ) ais différentes (T 2 T 1 = 1 K). On va en donner ici une définition locale et instantanée : dans un ilieu continu en évolution, les puissances calorifiques voluiques échangées en une particule sont : τ cal ext = rext v div E q=ρė σ : D (conservation de l énergie (4.8) page 41) (5.12) et Φ int = ρ(t ṡ ė )+σ : D (dissipation intrinsèque (5.6) page 48) (5.13) La preière représente la puissance calorifique voluique locale d origine extérieure et la seconde représente la puissance calorifique voluique locale due aux processus internes. La soe des deux est la puissance calorifique voluique totale actuelle ise en jeu en une particule. REMARQUE : Dans l équation (5.13) page 52, on ne tient pas copte de la dissipation therique car cet échange de chaleur n est dû qu à la non uniforité des tepératures et n est donc pas caractéristique du ilieu continu. On retrouve ainsi une définition locale de la capacité calorifique dans les êes conditions que la définition globale habituelle énoncée en début de section. On peut alors définir une capacité calorifique locale actuelle C qui donne la vitesse d échauffeent due à ces puissances calorifiques voluiques locales : ρc Ṫ = τ cal ext + Φ int = ρt ṡ (5.12) + (5.13) C= Ṫ T ṡ = T T f s + T n i=2 i f s p i χ χ χ i Ṫ = T T f s + T j=2 j f s İ j Ṫ (5.14) où la fonction d état entropie assique s exprie en fonction des variables d état tensorielles ou des variables scalaires réduites : s = f s (χ 1,,χ n )= f s (I 1,,I ) La capacité calorifique locale dépend donc a priori à la fois de l état actuel et de la direction actuelle de la vitesse d évolution de la particule dans l espace des états. Pour des vitesses d évolution telles que Ṫ = (évolution à tepérature constante dans le teps) elle n est évideent pas définie. 5.9 En bref... Le second principe est une inégalité qui exprie que, dans l évolution d un doaine, la variation d entropie du doaine n est pas due qu aux échanges d entropie avec l extérieur, il y a en général un taux de production interne d entropie D ΦT 1 dv (unité : W.K 1 ), sauf pour des évolutions particulières idéales dites «réversibles». La fore locale de ce principe est la non négativité de la dissipation : Φ=Φ int + Φ th, à respecter en toute particule et à tout instant de l évolution de tout ilieu continu. La production d entropie d origine non externe est due au oins à la dissipation therique Φ th (non uniforité des tepératures) et à d éventuels processus internes (endo ou exotheriques) : la dissipation intrinsèque Φ int Φ th. Dans la plupart des odèles de ilieux continus onoconstituants (donc sans réaction chiique ni changeent de phase), les processus internes sont exotheriques (essentielleent le frotteent) et la dissipation intrinsèque est non négative. 13. Cette dénoination est tropeuse, elle suggère que l unité est en J.kg 1. 52

57 5.9. En bref... Lorsqu on construit un nouveau odèle de coporteent de ilieu continu (choix d une liste de variables d états indépendantes et choix de l expression des fonctions d état énergie interne assique f e et entropie assique f s en fonction des variables d état), le coporteent du ilieu continu est coplèteent défini. Ces choix doivent satisfaire autoatiqueent la condition Φ dans toutes les situations. Cette condition iplique l existence de lois de coporteent. Les odèles ilieux continus ainsi construits sont dits therodynaiqueent adissibles. Dans la résolution d un problèe de theroécanique des ilieux continus dans lequel le odèle de ilieu continu est donné, le second principe n apparaît pas dans les équations car il est noraleent autoatiqueent respecté par le odèle de ilieu continu donné (s il est therodynaiqueent adissible). 53

58 5. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 54

59 Chapitre 6 Exeple : le odèle «fluide siple» L objet de ce chapitre est d illustrer coent on peut construire des odèles de fluides siples therodynaiqueent adissibles. On verra coent le second principe de la therodynaique iplique l existence d une loi de coporteent écanique et d une loi de coporteent therique, que ces lois ne peuvent pas être choisies arbitraireent et qu enfin que le odèle classique fluide newtonien est le plus siple d entre eux. Il est tout à fait possible d ignorer ce chapitre et de poser la loi de coporteent écanique des fluides newtoniens ainsi que la loi de coporteent therique de anière autoritaire : il suffit de vérifier qu elles satisfont bien le second principe de la therodynaique dans toutes les situations, c est-à-dire qu avec ce odèle, la dissipation est non négative dans toute évolution. Nonobstant, la déarche de construction de ces lois est pédagogiqueent intéressante : elle ontre les origines profondes de ce odèle et elle ouvre la voie à la construction de odèles de coporteent therodynaiqueent adissibles de fluides siples non linéaires. 6.1 Définition d un fluide siple DÉFINITION : On appelle fluide siple, un ilieu continu dont les deux variables d état indépendantes sont la tepérature T et la asse voluique ρ. La présence de la tepérature dans les variables d état est iposée par le second principe. Le choix de la asse voluique coe seule autre variable d état traduit l intention de ne pas distinguer l état de deux particules ayant la êe tepérature autreent que par la densité voluique de asse actuelle, sans référence à une déforation par rapport à un instant particulier. Autreent dit, les fluides siples n ont pas de fore propre par rapport à laquelle on pourrait donner un sens physique à un tenseur de déforation qui coparerait les distances actuelles entre particules par rapport à celles d une configuration de référence. Avec seuleent deux variables d état scalaires et objectives, un fluide siple est un des odèles de ilieux continus les plus siples que l on puisse construire. La fonction d état énergie interne assique et la fonction d état entropie assique sont donc des fonctions des deux variables d état (T,ρ) : ( ) ( ) e(p,t)= f e T(P,t),ρ(P,t) s(p,t)= f s T(P,t),ρ(P,t) REMARQUE : Les deux variables d état étant des scalaires, les variables d état réduites sont les êes. Leurs dérivées particulaires sont donc : ė= T f e Ṫ + ρ f e ρ ṡ= T f s Ṫ + ρ f s ρ 55

60 6. EXEMPLE : LE MODÈLE «FLUIDE SIMPLE» 6.2 Conséquences du second principe de la therodynaique Le second principe de la theodynaique s écrit (voir (5.6) page 48) : Φ=ρ(T ṡ ė )+σ : D q T grad ET soit encore pour un fluide siple : ) ρ (T T f s T f e )Ṫ + ρ (T ρ f s ρ f e ρ+σ : D q T grad ET (6.1) Cette inégalité doit être satisfaite en toutes situations, c est-à-dire pour toute vitesse d évolution ( Ṫ ρ), pour tout ouveent ( D), à partir de tout état (T,ρ) et pour tout environneent therique ( grad E T ). Or, les grandeurs ρ et D ne peuvent varier indépendaent : elles sont liées par le principe de la conservation de la asse donné en (2.4) page 1 : ρ= ρtrd En décoposant le tenseur D en partie sphérique et déviatorique, on isole TrD : D= TrD 3 G+dev D σ : D= TrD 3 TrD σ : G+σ : dev D= Trσ+dev σ : dev D 3 Le second principe de la therodynaique pour un fluide siple (6.1) page 56 s écrit donc : ( ρ T T f s T f e )Ṫ ( ρ 2 T ρ f s ρ f e Trσ ) 3ρ 2 TrD+dev σ : dev D q T grad ET (6.2) Cette inégalité doit être vraie dans toutes les situations c est-à-dire : Ṫ (vitesse actuelle d évolution de la tepérature de la particule), D (taux de déforation), c est-à-dire : Tr D (partie shérique) et dev D (partie déviatorique), autreent dit : pour tout ouveent actuel au voisinage de la particule; grad E T (environneent therique actuel de la particule), chacune de ces quatre grandeurs {Ṫ,TrD,dev D,grad E T} pouvant indépendaent prendre une valeur arbitraire. En définissant les «vecteurs généralisés» suivants 1 R R V sd 3 V 3 : { ) x= ρ (T T f s T f e, ρ 2( T ρ f s ρ f e Trσ ) 3ρ 2,dev σ, q } T } y={ṫ,trd,dev D,gradE T le second principe de la therodynaique (6.2) s écrit sous la fore : x y y où est un «produit scalaire généralisé». Le «vecteur» x est donc nécessaireent au oins fonction du «vecteur» y. On en déduit la nécessité de l existence des quatre fonctions f 1 R, f 2 R, f 3 V 2sd 3 et f 4 V 3 suivantes : x 1 = f 1 (y, ) ρ(t T f s T f e )= f 1 (Ṫ,TrD,dev D,grad E T, ) (6.3) x 2 = f 2 (y, ) ρ 2( T ρ f s ρ f e Trσ ) 3ρ 2 = f 2 (Ṫ,TrD,dev D,grad E T, ) (6.4) x 3 = f 3 (y, ) dev σ= f 3 (Ṫ,TrD,dev D,grad E T, ) (6.5) x 4 = f 4 (y, ) q T = f 4 (Ṫ,TrD,dev D,grad E T, ) (6.6) 1. L espace V sd 3 est l espace vectoriel des tenseurs du second ordre syétriques et de trace nulle. Il est de diension 5. On rappelle que le produit doubleent contracté est un produit scalaire de cet espace. 56

61 6.2. Conséquences du second principe de la therodynaique où les arguents suppléentaires ( ) peuvent être toutes variables autres que les «coposantes» du vecteur y (par exeple des variables d état T et/ou ρ). L inégalité du second principe de la therodynaique (6.2) page 56 s écrit donc : f 1 Ṫ + f 2 TrD+ f 3 : dev D+ f 4 grad E T Ṫ TrD dev D grad E T (6.7) Il faut donc choisir les quatre fonctions f 1, f 2, f 3 et f 4 (lois de coporteent) dont l existence est nécessaire, telles que l inégalité (6.7) soit respectée Ṫ, TrD, dev D et grad E T. Les quatre sous-sections qui suivent exposent les conséquences de l existence des quatre fonctions évoquées en (6.3), (6.4), (6.5) et (6.6) page Relation de Helholtz Dans l équation (6.3) page 56, le tere de gauche ρ(t T f s T f e ) est une fonction d état, c est-à-dire fonction des seules variables d état. On en déduit que la fonction f 1 est nécessaireent aussi une fonction d état. Elle n est donc pas fonction de ses quatre preiers arguents. L équation (6.3) page 56 ne peut être que de la fore : ρ(t T f s T f e )= f 1 (T,ρ) Dans l inégalité (6.7), vraie Ṫ, la fonction d état f 1 ne pouvant être fonction de Ṫ, elle est nécessaireent nulle. On en déduit que dans un fluide siple : T T f s T f e = (6.8) Dans un fluide siple, le second principe de la therodynaique iplique que les fonctions d état f e (T,ρ) et f s (T,ρ) sont liées par la relation différentielle (6.8) appelée relation de Helholtz 2. Pour définir le coporteent therodynaique d un fluide siple, il suffit donc de donner une seule fonction d état, l autre se déduit de la résolution de cette équation différentielle. AUTRE EXPRESSION DE LA RELATION DE HELMHOLTZ : Si on utilise le couple de fonctions d état (ψ,s ) à la place du couple (e,s ) où ψ = e T s, il vient : T f e = T f ψ + f s + T T f s. La relation de Helholtz (6.8) s écrit alors : f s = T f ψ (6.9) Loi de coporteent écanique Les deux équations (6.4) et (6.5) prouvent la nécessité de l existence de deux lois de coporteent écanique reliant le tenseur des contraintes aux autres grandeurs : Trσ ) 3 = ρ2( T ρ f s ρ f e + f 2 (Ṫ,TrD,dev D,grad E T, ) (6.1) } {{ } p dev σ= f 3 (Ṫ,TrD,dev D,grad E T, ) (6.11) L équation (6.1) définit la partie shérique du tenseur des contraintes de Cauchy, et l équation (6.11) définit sa partie déviatorique. DÉFINITIONS : On appelle pression therodynaique d un fluide siple la fonction d état définie par : p(t,ρ)= ρ 2 (T ρ f s ρ f e )=ρ 2 ρ f ψ (6.12) 2. Cette relation est parfois appelée «postulat» de Helholtz. En fait il est inutile de la postuler : elle est une conséquence du second principe de la therodynaique. 57

62 6. EXEMPLE : LE MODÈLE «FLUIDE SIMPLE» La grandeur scalaire Trσ 3 = p f 2 est appelée pression écanique. La décoposition en partie sphérique et déviatorique étant unique, on peut rassebler les deux lois (6.1) et (6.11) en une seule loi tensorielle : σ=sph σ+dev σ=( p+ f 2 )G+ f Loi de coporteent therique La dernière équation (6.6) page 56 affire la nécessité d une loi de coporteent therique, encore appelée loi de conduction therique : q= T f 4 (Ṫ,TrD,dev D,grad E T, ) REMARQUE : La nécessité de l existence d une loi de conduction therique a déjà été déduite de la condition Φ th iposée par le second principe de la therodynaique (voir section 5.7 page 51) Second principe de la therodynaique pour les fluides siples Dans ces conditions, l inégalité du second principe de la therodynaique pour les fluides siples s écrit : Φ= f 2 TrD+ f 3 : dev D+ f } {{ } 4 grad E T } {{ } Φ int Φ th D grad E T Coe on peut le constater, le second principe ne dit rien sur les fonctions f 2, f 3 et f 4 sauf d affirer la nécessité de leur existence. Il faut les choisir telles que l inégalité ci-dessus soit respectée dans toute évolution. 6.3 Fluides siples newtoniens Pour continuer la odélisation d un fluide siple, il faut choisir les trois fonctions f 2, f 3 et f 4 de telle anière que le second principe de la therodynaique soit satisfait en toutes situations, c est-à-dire Ṫ D grad E T. Pour définir les fluides newtoniens, on fait les choix suivants : 1. f 2 = k(t,ρ)trd avec k(t,ρ). Le coefficient k(t,ρ) est appelé viscosité de volue. 2. f 3 = 2µ(T,ρ)dev D avec µ(t,ρ). Le coefficient µ(t,ρ) est appelé viscosité de cisailleent ou encore viscosité dynaique. 3. f 4 = α(t,ρ) T grad E T avec α(t,ρ). Avec ce choix, on retrouve la loi de Fourier linéaire isotrope proposée en (5.11) page 51. Le coefficient α(t,ρ) est appelé coefficient de conductibilité therique. REMARQUE : Bien souvent, les fonctions k, µ et α sont choisies constantes, c est-à-dire indépendantes de l état actuel, ou bien seuleent fonctions de la tepérature. Coe on peut le constater, ces choix siples ne sont pas nécessaires ais ils sont suffisants pour que l inégalité du second principe de la therodynaique soit respectée en toutes situations. En effet, avec ces choix, la dissipation est la soe de teres non négatifs séparéent : 58 Φ=k(T,ρ)(TrD) 2 + 2µ(T,ρ) dev D 2 +α(t,ρ)t 1 gradt 2 } {{ } } {{ } Φ int Φ th

63 6.4. Un exeple de fluide siple : les gaz parfaits Les lois de coporteent écanique (6.1) page 57 d un fluide newtonien sont donc : Trσ 3 = ρ2 (T ρ f s ρ f e ) +k TrD dev σ=2µdev D } {{ } p La pression écanique Trσ 3 et la pression therodynaique p d un fluide newtonien sont égales quand la viscosité de volue k est nulle (fluides de Stokes) ou pour des ouveents particuliers tels que le taux de dilatation voluique est nul 3 (d v = TrD=). Ces deux lois de coporteent se rasseblent en une seule équation tensorielle. On obtient la loi de coporteent écanique des fluides newtoniens : ( σ=sph σ+dev σ=( p+ktrd)g+2µdev D=2µD+ p+ ( k 2µ ) ) TrD G 3 où la pression therodynaique p= ρ 2 (T ρ f s ρ f e ) est une fonction d état caractéristique du fluide étudié. La loi de coporteent therique choisie est celle de Fourier : q= αgrad E T. Les choix faits précédeent pour les fonctions f 2, f 3 et f 4 sont pari les plus siples que l on puisse faire pour assurer le respect du second principe de la therodynaique. On vérifie aiséent avec les forules de changeent d observateur de D 4 et de σ (voir (3.41) page 31), que la loi de coporteent écanique des fluides newtoniens est bien universelle, c est-à-dire qu elle est la êe pour tous les observateurs. REMARQUE : On peut construire des lois de coporteent non linéaires de fluides siples si les fonctions scalaires non négatives k, µ et α ont une liste d arguents plus coplète, notaent coprenant le tenseur des taux de déforation D. Les fonctions scalaires k, µ et α doivent être des fonctions isotropes de leurs arguents tensoriels pour assurer l universalité de la loi de coporteent écanique. Ces fluides sont dits rhéofluidifiants ou bien rhéoépaississants. Pour copléter la odélisation du fluide siple, il faut préciser l expression d une des fonctions d état introduites (p, f e, f s, f ψ = f e T f s ou autre) en fonction des variables d état. Les autres se trouvent déterinées par leur définition et par la relation de Helholtz. Les sections qui suivent en donnent quelques exeples. 6.4 Un exeple de fluide siple : les gaz parfaits Plutôt que de se donner une des fonctions d état f e, f s ou f ψ, on définit habituelleent les gaz parfaits en se donnant la fonction d état pression therodynaique p(t,ρ) appelée loi de Mariotte 5 : où r est une constante caractéristique du gaz parfait. p=r ρt La définition de la fonction d état p donnée en (6.12) page 57 et la relation de Helholtz (6.8) page 57 conduisent à un systèe différentiel qui peret de déteriner les deux fonctions d état f e et f s : ρ 2( T ρ f s ρ f e )=r ρt T T f s T f e = La solution générale de ce systèe différentiel est : T f s = r lnρ+ f 1 (T) f e = T f 1(T) dt +C T 3. C est notaent le cas en statique des fluides ou si le fluide est supposé parfaiteent incopressible ( ρ=). 4. Voir le cours Cinéatique des ilieux continus, du êe auteur, sections Cette loi acroscopique peut aussi bien être considérée coe d origine expérientale ou coe suggérée par un odèle issu de la physique statistique. 59

64 6. EXEMPLE : LE MODÈLE «FLUIDE SIMPLE» REMARQUE : Noter qu on retrouve un résultat classique, parfois postulé : l énergie interne assique d un gaz parfait n est fonction que de la tepérature. Les inconnues f 1 (T) et C peuvent être déterinées par des esures expérientales, par exeple la esure de la capacité calorifique C v (T) à ρ constant ( ρ=), habituelleent appelée à volue constant. Elle s écrit (voir (5.14) page 52) : ρ T C v (T)=T T f s + T ρ f s Ṫ = T C v (T) f 1(T) f 1 (T)= dt +C T T Finaleent, les deux fonctions d état f e et f s d un gaz parfait sont : T C v (T) T f s = r lnρ+ dt +C f e = C v (T) dt +C T T T Elles sont définies à une constante près, ce qui est sans grande iportance car seules leurs dérivées partielles interviennent dans les lois de coporteent et dans la dissipation. On peut toujours choisir un état de référence (T,ρ ) dans lequel elles sont déclarées nulles ou égales à une valeur de référence s et e. L une quelconque de ces fonctions d état peut être prise coe définition des gaz parfaits, la relation de Helholtz et la définition de la pression therodynaique perettent de retrouver la loi de Mariotte. REMARQUE : Pour les gaz, on peut définir une chaleur assique à pression therodynaique constante, notée C p. Pour un gaz parfait : p=r ρt ṗ=r T ρ+rρṫ. Dans une évolution à pression therodynaique constante, on a donc ṗ= ρ Ṫ = ρ T. La capacité calorifique à pression constante est donc : ce qui est connu sous le no de relation de Mayer. ρ C p = T T f s + ρ f s Ṫ = C v+ T r ρ ρ T = C v+ r En conclusion, les gaz parfaits sont les fluides siples tels que la pression therodynaique satisfait à la loi de Mariotte. Ils sont coplèteent caractérisés par une esure de la constante r, une esure d une capacité calorifique (C p (T) ou C v (T)) et la donnée des fonctions f 2, f 3 et f 4 (pour les gaz parfaits newtoniens, ce sont la viscosité de volue k, la viscosité de cisailleent µ et la conductivité therique α). On peut construire un odèle de gaz plus proche des gaz réels en suivant la êe déarche, ais en replaçant la loi de Mariotte par celle de Van der Waals. 6.5 Liquides idéaux Les liquides idéaux sont des fluides siples parfaiteent incopressibles ( ρ= ρ=ρ ). La variable d état ρ est donc une constante. On peut construire un odèle de liquide idéal (newtonien ou non) en posant que la pression therodynaique de ce fluide est indépendante des variables d état T et ρ : p(t,ρ)= p Un tel liquide est incopressible ( ρ p=) et indilatable ( T p=, pas de variation de pression dans une évolution de tepérature à volue constant). La définition de la pression therodynaique p donnée en (6.12) page 57 et la relation de Helholtz (6.8) page 57 conduisent au systèe différentiel : ρ 2( T ρ f s ρ f e )= p T T f s T f e = 6

65 6.6. Liquides siples copressibles et dilatables dont la solution générale est : T g (T) f s = dt +C 1 f e = p T T ρ + g(t) La fonction g(t) peut se déteriner par une esure de capacité calorifique (nécessaireent à volue constant car ρ=) : C v (T)=T d f s dt = g (T) (voir (5.14) page 52) On obtient les deux fonctions d état f e et f s du liquide idéal : T C v (T) f s = dt +C 1 f e = p T T T ρ + C v (T) dt +C 2 T REMARQUE : La pression therodynaique p en une particule n est pas fonction des variables d état. Il n en reste pas oins vrai que dans un ilieu continu, elle peut varier dans l espace et dans le teps : p est un chap atériel. 6.6 Liquides siples copressibles et dilatables Copressibilité et dilatabilité On se propose de chercher un odèle de liquide siple (les variables d état indépendantes sont T et ρ) copressible et dilatable avec un coporteent choisi de la fore suivante : où : d v est le taux de dilatation voluique ; p est la pression therodynaique ; χ T est la copressibilité à tepérature constante 6 (unité : Pa 1 ); α p est la dilatabilité à pression constante (unité : K 1 ). d v = χ T (T,ρ) ṗ+α p (T,ρ)Ṫ (6.13) On cherche donc ici à odéliser un liquide dont la variation relative de volue dépend de la variation de pression (copressibilité du liquide) et de la variation de tepérature (dilatabilité du liquide). REMARQUE : Dans l écriture différentielle habituelleent utilisée chez les therodynaiciens, cette équation s écrit : dv v = χ T d p+α p dt où v=ρ 1 est le volue assique. La conservation de la asse (2.4) page 1 et la définition de la pression therodynaique (6.12) page 57 perettent d écrire : d v = ρ ρ et p= ρ 2 (T ρ f s ρ f e )=ρ 2 ρ f ψ où ψ = e T s est la fonction d état énergie libre de Helholtz. 6. Il faut en général des échanges theriques pour aintenir la tepérature constante pendant la copression ou la détente. 61

66 6. EXEMPLE : LE MODÈLE «FLUIDE SIMPLE» L équation (6.13) s écrit donc : ρ ρ = χ T (ρ 2 ρ f ψ ) + α p Ṫ = χ T (2ρ ρ ρ f ψ + ρ 2 ρρ f ψ ρ+ρ 2 ρt f ψ Ṫ)+α p Ṫ 1 ) ) = ρ( ρ χ T (2ρ ρ f ψ + ρ 2 ρρ f ψ ) + Ṫ ( χ T ρ 2 ρt f ψ + α p Cette loi devant être vraie pour toute vitesse d évolution à partir de tout état, c est-à-dire Ṫ et ρ, et les teres entre parenthèses étant des fonctions d état (c est-à-dire seuleent fonction de T et de ρ), on en déduit : = 1 ρ χ T (2ρ ρ f ψ + ρ 2 ρρ f ψ ) et = χ T ρ 2 ρt f ψ + α p L énergie libre assique de Helholtz est donc solution des deux équations différentielles du second ordre : 2 ρ f ψ + ρ ρρ f ψ = 1 ρ 2 χ T ρt f ψ = α p ρ 2 χ T (6.14) où les deux fonctions χ T (T,ρ) et α p (T,ρ) peuvent être identifiées par des esures expérientales de copression à tepérature constante et de dilatation voluique à pression constante. En dérivant l équation de gauche par rapport à T et tenant copte de l équation de droite, on en déduit l équation différentielle que doit satisfaire la fonction d état f ψ : 2α p ρ 2 χ T + ρ ρρt f ψ = 1 ρ 2 T χ T χ 2 T avec les conditions (6.14). ρρt f ψ = 1 ρ 3 χ T ( T χ T χ T + 2α p ) Exeple de odèle siple de liquide copressible et dilatable (6.15) HYPOTHÈSE : On construit ici un odèle siple en supposant que la copressibilité à tepérature constante χ T et la dilatation therique à pression constante α p sont des constantes : χ T = χ et α p = α. REMARQUE : Dans les liquides, la copressibilité à tepérature constante χ T est toujours non négative (le volue diinue toujours avec la pression). En revanche, la dilatation therique à pression constante n est pas toujours non négative. Par exeple, on sait que pour l eau à la pression atosphérique et à des tepératures entre 273 K et 277 K, le coefficient de dilatation à pression constante est négatif, nul à 277 K, puis positif pour des tepératures supérieures. On ne peut donc pas odéliser le coporteent de l eau avec l approxiation α p = α, sauf peut-être loin de cette anoalie. Copte tenu de cette hypothèse, la solution générale du systèe d équations différentielles (6.14) page 62 est : f ψ = 1 (lnρ+α T + 1) C + g(t) (6.16) ρχ ρ La pression therodynaique (voir la définition (6.12) page 57) est alors : Pour ρ=ρ et T = T, on pose p= p. On a donc p= 1 χ (lnρ+α T)+C C= p 1 χ (lnρ + α T ) 62

67 6.6. Liquides siples copressibles et dilatables Finaleent, la pression therodynaique est : p= 1 (ln ρ ) + α (T T ) + p χ ρ L énergie libre assique de Helholtz est donc (voir (6.16) page 62) : f ψ = 1 ( 1+ln ρ ) + α (T T ) p ρχ ρ ρ + g(t) L entropie assique est (relation de Helholtz (6.9) page 57) : L énergie interne est : f s = T f ψ = α ρχ g (T) f e = f ψ + T f s = 1 ρχ (1+ln ρ ρ α T ) p ρ + g(t) T g (T) La fonction g peut être déterinée avec une esure de la capacité calorifique C v (T) à volue constant ( ρ=) : C v (T)=T T f s = T g (T) g Cv (T)= T dt +C 1 Cv g(t)= T dt +C 1 T +C 2 REMARQUE : On constate que dans ce odèle siplifié (χ T (T,ρ) = χ et α p (T,ρ) = α ), la capacité calorifique à volue constant C v ne peut être fonction que de la tepérature. Si l expérience le contredit, il faut reettre en question les hypothèses siplificatrices χ T = χ et α p = α. Si de plus C v est supposé constant (C v = C v ), il vient : g = C v lnt +C 1 g= C v (T lnt T)+C 1 T +C 2 Finaleent, avec les hypothèses χ T = χ, α p = α et C v = C v, et en posant f s (T,ρ )=s et f e (T,ρ )=e pour déteriner les constantes C 1 et C 2, les fonctions d état sont : f s = α ( ρ ) ρ χ ρ 1 +C v ln T + s T ( f e = 1 ρχ ln ρ ρ + 1 ρ ρ )( p + 1 T α ) +C v (T T )+e ρ ρ χ ρ χ p= 1 ln ρ + α (T T )+ p χ ρ χ f ψ = 1 ln ρ ( + 1 ρ )( p α (T T ) ) ( +C v T T T ln T )+e T s ρχ ρ ρ ρ ρ χ ρ χ T REMARQUE : Dans une évolution à pression constante, l équation (6.13) page 61 iplique : ρ ρ = α Ṫ ρ Ṫ = ρα. La capacité calorifique à pression constante est donc (voir (5.14) page 52) : C p = T T f s + T ρ f s ρ Ṫ = C v+ T ρ f s ρ Ṫ = C v+ α2 χ T ρ C p est expérientaleent plus facile à esurer. Dans le cas du odèle siplifié, C p est nécessaireent de la fore : C p = C v + α2 χ T ρ Si l expérience le contredit, il faut reettre en question une ou plusieurs des hypothèses siplificatrices (χ T = χ, α p = α et C v = C v ) et intégrer l équation différentielle (6.15) page

68 6. EXEMPLE : LE MODÈLE «FLUIDE SIMPLE» 6.7 En bref... Les fluides siples sont les fluides dont les deux variables d état indépendantes sont la tepérature absolue T (iposée par le second principe de la therodynaique) et la asse voluique ρ. En choisissant 7 l expression d une fonction d état f e (énergie interne assique) ou f s (entropie assique) ou p (pression therodynaique) ou autre, et en respectant la relation de Helholtz (voir (6.8) page 57) et la définition de p (voir (6.12) page 57) qui déterinent par un systèe d équations différentielles les autres fonctions d état, on construit tous les odèles therodynaiques de fluides siples auxquels on peut associer une loi de coporteent écanique (fluide newtonien par exeple) et therique (loi de Fourier par exeple). Les fluides newtoniens sont des fluides siples dont la loi de coporteent écanique est : où ( σ=( p+ktrd)g+2µdev D=2µD+ p+ ( k 2µ ) ) TrD G 3 p= ρ 2 (T ρ f s ρ f e ) est une fonction d état caractéristique du fluide siple appelée la pression therodynaique ; k(t,ρ) est la viscosité de volue, souvent considérée coe une constante ou seuleent fonction de la tepérature ou êe parfois nulle (fluides de Stokes) ; µ(t,ρ) est la viscosité de cisailleent ou viscosité dynaique, souvent considérée coe une constante ou seuleent fonction de la tepérature ou êe parfois nulle (fluides non viqueux) ; D est le tenseur des taux de déforation. La loi de coporteent therique (loi de conduction therique) choisie pour les fluides newtoniens est généraleent la loi de Fourier. 7. Ces choix doivent être physiqueent ou expérientaleent otivés. 64

69 Chapitre 7 Conclusion Dans les chapitres de ce cours, on a exprié les conséquences des quatre principes fondaentaux de la physique classique sur les ilieux continus, sous fore globale pour des doaines atériels ou géoétriques, ainsi que sous une fore locale. Les fores locales du principe de la conservation de la asse, du principe fondaental de la écanique et du principe de la conservation de l énergie sont des équations différentielles aux dérivées partielles, qui doivent être satisfaites en tout point et à tout instant de l évolution de tout ilieu continu. En revanche, l inéquation du second principe de la therodynaique est autoatiqueent satisfaite dès lors que l on utilise un odèle de ilieu continu therodynaiqueent adissible. Cette inéquation disparaît donc dans la résolution d un problèe de theroécanique des ilieux continus. Cette inéquation n est utile que quand on cherche à construire des nouveaux odèles, pour qu ils ne soient pas therodynaiqueent absurdes. 7.1 Le problèe de écanique des ilieux continus Les équations restantes (les trois preiers principes) sont évideent insuffisantes pour déteriner l évolution d un doaine de ilieu continu particulier (acier, eau, air, etc) sous l action de sollicitations extérieures. Il faut les copléter par : 1. Un odèle de coporteent du ilieu continu non seuleent therodynaiqueent adissible, ais qui reflète aussi correcteent le coporteent réel de la atière. Ceci suppose : (a) le choix d une liste de variables d état objectives indépendantes (ou la liste des variables scalaires réduites) ; (b) le choix de lois de coporteent écanique et therique satisfaisant le second principe de la therodynaique ; (c) l expression des deux fonctions d état 1 énergie interne assique ( f e ou f e ) et entropie assique ( f s ou f s ) 2 en fonction de ces variables d état (tensorielles ou réduites) reflétant correcteent le coporteent therodynaique de la atière (capacités calorifiques, dilatation...). 2. Une description des sollicitations extérieures sur le doaine étudié : ce sont les conditions aux liites (écaniques et/ou theriques) et les conditions initiales (écaniques et/ou theriques), ainsi que 1. Ou de l une des deux si la relation de Helholtz est vraie. 2. En theroécanique des solides déforables, on préfère souvent le couple de fonctions d état (ψ,s ) au couple de fonctions d état (e,s ). On passe de l un à l autre par la relation ψ = e T s. 65

70 7. CONCLUSION les actions à distance (écaniques et/ou theriques) qui apparaissent dans les équations locales de la écanique et de l énergie. Les conditions aux liites écaniques sont souvent des positions (ou des déplaceents) ou des vitesses iposées aux frontières ou encore des forces surfaciques de contact iposées aux frontières : σ(p,t) n t (P )= f s (P,t). Les conditions aux liites theriques sont souvent des tepératures iposées aux frontières ou des puissances calorifiques surfaciques iposées aux frontières : q(p,t) n t = q s (P,t). On peut aussi envisager des conditions aux liites plus copliquées coe des relations entre forces appliquées et positions ou encore entre tepérature de bord et puissance calorifique surfacique transise à travers la frontière. Ces conditions aux liites doivent odéliser de façon aussi réaliste que possible les actions de l extérieur sur la frontière du doaine étudié. Elles sont donc essentielles pour la qualité de la solution. L enseble de ces équations étant posé, la description du problèe est coplète. Les chaps atériels à déteriner sont : les chaps des variables d état, des fonctions d état, des vitesses, des positions (ou des déplaceents), des contraintes, des déforations, des taux de déforation, etc, pour toute particule et à tout instant. On peut aussi bien rechercher la description de Lagrange ou la description d Euler de ces chaps atériels, les équations différentielles ont été données dans les deux cas. En écanique des ilieux continus (solides ou fluides), il arrive bien souvent que l on ne recherche qu une solution stationnaire (si elle existe). Dans ce cas, le teps disparaît des équations différentielles et le problèe s en trouve quelque peu siplifié. 7.2 La résolution La résolution analytique d un systèe d équations aussi coplexe est rareent possible sauf dans quelques problèes acadéiques extrêeent siplistes (ais pédagogiqueent intéressants). Les causes des difficultés de résolution sont : la coplexité du systèe différentiel (équations couplées, le plus souvent non linéaires); la non unicité éventuelle des solutions, leur instabilité éventuelle, la présence éventuelle de bifurcations (en nobre fini voire infini); la coplexité de la fore du doaine étudié; la coplexité des conditions aux liites odélisant correcteent les interactions écaniques et theriques avec l extérieur du doaine. Pour la plupart des problèes industriels, le recours à une éthode de résolution nuérique est indispensable pour la résolution du problèe exposé en section 7.1. Ces éthodes nueriques sont précieuses ais il ne faut jaais perdre de vue que : Le résultat nuérique est approché pour trois raisons : (a) les calculs sont nécessaireent approchés car la représentation des nobres dans les achines est nécessaireent finie, donc tronquée, et les erreurs de troncature se propagent en croissant dans les calculs successifs ; (b) la éthode nuérique est par elle-êe approchée car l espace des fonctions dans lequel on cherche une solution approchée est un sous-enseble de l enseble des fonctions définies sur le doaine étudié ; (c) la «convergence nuérique» apparente de l ipléentation nuérique d un algorithe théorique n est jaais une preuve de la convergence athéatique. 2. Pour étudier l influence d un paraètre, on ne peut que refaire le calcul pour différentes valeurs nuériques du paraètre en supposant que cette influence est suffisaent régulière entre deux valeurs successives pour faire des interpolations.

71 7.2. La résolution 3. Dans les problèes non linéaires, dans lesquels on est rareent assuré de l unicité de la solution ou de l absence de bifurcations voire de solutions cahotiques, un résultat nuérique est toujours sujet à caution et doit toujours être considéré avec circonspection car on aîtrise rareent la (les) branche(s) suivie(s) par l algorithe en cas de solutions ultiples. REMARQUE : Dans les problèes stationnaires, on peut néanoins obtenir analytiqueent des résultats partiels intéressants en utilisant les trois preiers principes, non pas sous leur fore locale, ais sous une fore globale (sur un doaine atériel ou géoétrique précis) avec quelques hypothèses siplificatrices sur les frontières. Par exeple, il est souvent possible d évaluer des valeurs intégrées sur des parties de frontière (débits, forces résultantes, oents résultants, quantités de chaleur échangée), ais sans inforation sur le détail de leur répartition. 67

72 7. CONCLUSION 68

73 Annexe A Déonstrations A.1 Lee fondaental pour les intégrales de volue Soit g(m) un chap scalaire défini danse 3 et soit un doained E 3. Il faut ontrer que : D g(m) dv= M g(m)= D L iplication g(m)= D g(m) dv= est triviale. Il suffit donc de ontrer l iplication inverse. On représente les points M D par un vecteur x. Pour définir des doainesd arbitraires, on considère un doaine fixed arbitraire dont les points courants sont x et une application f arbitaire ais différentiable telle que : x= f(x ) Avec une fonction f arbitraire, on génère tous les doainesd. Par changeent de variable, on raène l intégrale surd à une intégrale surd : D g(x) dv= g( f(x ))K v (x ) dv D où K v = dv dv = detgrad f > (analogie avec la cinéatique, la fonction arbitraire f étant coparable à la description de Lagrange f d un ouveent réel). On a donc : D D g(m) dv= K v (x )> D g( f(x ))K v (x ) dv = On déontre en analyse fonctionnelle que l enseble des fonctions définies surd et de carré intégrable surd, noté L 2 D, est un espace vectoriel de Hilbert, de diension infinie, sur lequel on peut définir un produit scalaire : f 1, f 2 = f 1 (x ) f 2 (x ) dv D L intégrale D g( f(x ))K v (x ) dv est donc le produit scalaire des deux fonctions h=g f et K v appartenant àl 2 D : g( f(x )) K v (x ) dv = h,k v D } {{ } h(x ) où h=g f 69

74 A. DÉMONSTRATIONS Si un vecteur h de L 2 D est orthogonal à tout vecteur de cet espace, alors ce vecteur est nul. La fonction f étant arbitraire, la fonction K v = det grad f l est aussi. On en déduit : K v > h,k v = h= g f = f g= On généralise sans difficulté aux chaps vectoriels ou tensoriels, il suffit d appliquer le résultat précédent aux coposantes du chap. On a donc : D A(M) dv= MA(M)= D A.2 Existence du chap tensoriel des contraintes de Cauchy Considérons un sous-doaine atériel dont la position actuelle est le tétraédret D t, défini par les particules soets P, P 1, P 2 et P 3, et dont les faces planes P P 2 P 3, P P 3 P 1 et P P 1 P 2 sont orthogonales. Les norales unitaires sont respectiveent n 1, n 2 et n 3. On note n la norale unitaire à la face P 1 P 2 P 3. n 2 P 3 P k3 P 1 P k1 FIG. A.1 Un sous-doaine atériel tétraédriquet D t On note S i les aires des faces, la géoétrie de ce tétraèdre peret d écrire : P n 1 P k2 n 3 P 2 S i S = n n i i [1,2,3] (A.1) Coe pour tout doaine atériel, les efforts extérieurs qui s appliquent sur le sous-doaine atériel tétraédrique T sont : 1. un chap de forces assiques à distance f T (gravitation, forces d inertie, etc) agissant sur l intérieur du tétraèdre, 2. un chap de contraintes sur chaque face de la frontière : c i sur la face S i. En appliquant le théorèe de la résultante dynaique (voir (3.1.2) page 16) au doaine atérielt,il vient : ( γe f ) 3 T E ρe dv= c ie ds T S i i= On définit les valeurs oyennes de chacune de ces intégrales: f = 1 V T T ρ E ( γe f ) T E dv ci = 1 c ie ds S i S i i [,1,2,3] Le théorèe de la résultante dynaique appliqué au doaine atérielt s écrit donc encore : 7 f V T = c S + 3 i=1 c i S i

75 A.2. Existence du chap tensoriel des contraintes de Cauchy On définit aintenant d autres sous-doaines atérielst k par hoothéthie de centre P et de rapport k appliquée au tétraèdret.les tétraèdrest k obtenus ont le êe soet P, les autres étant P 1k, P 2k et P 3k (voir figure A.1 page 7). Dans cette hoothétie, les aires sont ultipliées par k 2 et les volues par k 3. Les faces det k sont parallèles à celles det et leurs norales unitaires n i sont donc invariantes dans l hoothétie. Le théorèe de la résultante dynaique appliqué aux sous-doainest k s écrit coe précédeent : f k V Tk = c k S k + 3 i=1 c ik S ik où f k est la valeur oyenne des forces à distance oins les quantités d accélération sur le doainet k, et où c ik est la valeur oyenne des vecteurs contraintes sur les faces S ik. Copte tenu de l hoothéthie, V Tk = k 3 V T et S ik = k 2 S i. Il vient : f k k 3 V T = c k k 2 S + 3 i=1 c ik k 2 S i f k kv T = c k S + En faisant tendre le rapport d hoothétie k vers, on obtient 1 : =S li c k + k 3 i=1 S i li k c ik Dans cette liite, les valeurs des contraintes oyennes sur chacune des faces tendent (par définition de la contrainte) respectiveent vers les contraintes en P pour les directions de ces faces dont les norales sont de direction constante : li k c ik = c(p,n i,t) i [,1,2,3] Le passage à la liite conduit donc à : =S c(p,n,t)+ 3 i=1 S i c(p,n i,t) La contrainte en la particule P pour la facette de norale n est donc : c(p,n,t)= = 3 i=1 3 i=1 S i S c(p,n i,t)= 3 i=1 3 i=1 c ik S i c(p,n i,t)(n i n ) (voir (A.1) page 7) ( ) c(p,n i,t) n i n (algèbre tensorielle) } {{ } σ(p,n 1,n 2,n 3,t) Pour toute direction n, la contrainte actuelle c(p,n,t) est une fonction linéaire de n, car le tenseur du second ordre σ(p,n 1,n 2,n 3,t) est indépendant de n. En revanche, le tenseur du second ordre σ est encore a priori une fonction des trois directions unitaires n 1, n 2 et n 3. Pour ontrer qu elle en est indépendante, on fait le êe raisonneent avec un autre doaine tétraèdriquet, de êe soet P dont les norales unitaires aux faces sont n (identique au précédent), n 1, n 2 et n 3 (les trois autres directions orthogonales sont différentes). Par passage à la liite, on trouve une autre expression de la contrainte actuelle c(p,n,t) : 3 c(p,n,t)= c(p,n i,t) n i n i=1 } {{ } σ(p,n 1,n 2 n 3,t) 1. Il est rearquable de constater que dans le passage à la liite, les intégrales de volue (les forces à distance et les accélérations) disparaissent. 71

76 A. DÉMONSTRATIONS On a donc : c(p,n,t)=σ(p,n 1,n 2,n 3,t) n = σ(p,n 1,n 2,n 3,t) n. Cette égalité étant vraie pour toute direction n, les deux tenseurs sont égaux : σ(p,n 1,n 2,n 3,t)=σ(P,n 1,n 2,n 3,t) Cette dernière égalité est vraie pour toute base { n 1,n 2,n 3}. L opérateur σ n est donc pas fonction du choix des orientations des faces (n 1,n 2,n 3 ), et on peut écrire : σ(p,n 1,n 2,n 3,t)=σ(P,t) Il existe donc bien en chaque particule P d un ilieu continu un tenseur du second ordre σ(p,t) tel que la contrainte actuelle sur une facette atérielle de norale n est donnée par : c(p,n,t)=σ(p,t) n La déonstration précédente ne prouve que l existence du chap atériel tensoriel du second ordre appelé tenseur des contraintes de Cauchy sans préciser sa distribution dans l espace ni son évolution dans le teps. REMARQUE : Contraireent à ce qui est parfois affiré, pour prouver l existence du chap de tenseurs des contraintes dans un ilieu continu, il n est pas nécessaire de négliger les forces de volue extérieures à distance agissant sur les tétraèdres (autogravitation dans un doaine contenant le tétraèdre et inerties d accélérations) : elles disparaissent dans le passage à la liite. Si le chap d autogravitation f a est défini dans un doained et est ajouté au chap de gravitation d origine extérieure f e, le chap de tenseur des contraintes, solution de l équation de ouveent div E σ+ρ f a + ρ f e = ργ, prend en copte l autogravitation. Toutefois, la résolution de l équation de ouveent se trouve forteent copliquée, car le chap d autogravitation f a dépend de la fore actuelle du doained. C est dans l écriture de l équation de ouveent que l on peut faire l approxiation f a f e. A.3 Existence du chap vectoriel courant de chaleur Cette déonstration d existence est seblable à celle du chap de tenseur des contraintes de Cauchy. On considère un doaine atérield dont la position actuelle estd t. La puissance calorifique surfacique extérieure actuelle entrant par conduction à travers sa frontière est un scalaire noté q s (t) (W. 2 ). Pour étudier les échanges de chaleur à l intérieur du doaine, on procède coe pour la définition des efforts intérieurs à un ilieu continu : on considère des sous-doainesd 1 et leurs échanges theriques avec leur extérieur(d D 1 ) ext(d), dont une partie sont des échanges theriques intérieurs à (voir section page 17). HYPOTHÈSE : La puissance calorifique surfacique actuelle q s (t) traversant une facette atérielle ne dépend que de la particule et de la facette atérielle (repérée par sa norale actuelle). REMARQUE : Cette hypothèse est seblable à l hypothèse de Cauchy posée en section page 18. Il existe donc une fonction f q telle que q s (t)= f q (P,n,t) où P est une particule et n est la norale actuelle à une facette atérielle. On applique ensuite le principe de la conservation de l énergie (équation (4.5) page 41) au sous-doaine atériel tétraédrique de la déonstration de Cauchy (voir figure A.1 page 7): T ė E d= σ E : D E dv t + T T rv ext E dv t 3 i= S i q se ds t On définit ensuite les valeurs oyennes des intégrales suivantes : I v = 1 ( ρe ė E σ E : D E r v ) ext E dvt I i = 1 q se ds t V T T S i S i 72

77 A.3. Existence du chap vectoriel courant de chaleur où V T est le volue du tétraèdret et S i l aire des facess i. Le principe de la conservation de l énergie s écrit alors : V T I v + 3 i= S i I i = Ce êe principe de la conservation de l énergie appliqué à des tétraèdrest k hoothétiques det de centre P et de rapport k s écrit : k 3 V T I vk + k 2 3 i= S i I ik = kv T I vk + 3 i= S i I ik = où I vk et I ik sont les valeurs oyennes des intégrales de volue et de surface sur le tétraèdret k. Lorsqu on fait tendre k vers, les norales n i sont de direction constante et il reste : S q s = q s = 3 i=1 3 i=1 S i q si S i S q si = 3 i=1 q si n i n = q(p,n 1,n 2,n 3 ) n (voir (A.1) page 7) 1 où q si = li I ik = li q si (t) ds t, ce qui est par définition la puissance calorifique surfacique traversant la facette atérielle en P de norale actuelle n i k k S ik S k. Pour toute facette atérielle de norale actuelle n, la puissance calorifique surfacique actuelle entrant par cette facette est une fonction linéaire de la direction n : q s (t)=q(p,n 1,n 2,n 3,t) n On terine la déonstration de la êe anière que dans la section précédente : on considère les autres tétraèdres, de êe soet P, de êe norale n ais dont les autres norales orthogonales sont différentes : n 1, n 2 et n 3. En refaisant le calcul précédent, on en déduit que : q s (t)=q(p,n 1,n 2,n 3,t) n n 1 n 2 n 3 On a donc : q s (t)=q(p,t) n En chaque particule P d un ilieu continu, il existe un chap atériel vectoriel q(p,t), appelé courant de chaleur, tel que la puissance calorifique surfacique traversant par conduction une facette atérielle en la particule P de norale actuelle n est donnée par q s (P,t)=q(P,t) n. Cette déonstration ne prouve que l existence du chap atériel vectoriel courant de chaleur sans préciser sa distribution dans l espace ni son évolution dans le teps. 73

78 A. DÉMONSTRATIONS 74

79 Table des atières 1 Concepts fondaentaux Les doaines de ilieux continus Doaine atériel Doaine géoétrique Coparaison entre les deux types de doaines Grandeurs physiques extensives Application à un doaine atériel Application à un doaine géoétrique Rappel : dérivées teporelles d intégrales à bord variables Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine atériel Dérivée teporelle d une grandeur extensive sur un doaine géoétrique Rappel : lee fondaental Convention de notation En bref Conservation de la asse Concept de asse Principe de la conservation de la asse Fore locale du principe de la conservation de la asse Bilan de asse pour un doaine géoétrique Densités assiques En bref Principe fondaental de la dynaique Rappel de écanique générale Observateurs galiléens Rappel des théorèes généraux Application aux doaines atériels Efforts extérieurs sur un doaine atériel Efforts intérieurs dans un ilieu continu Existence du tenseur des contraintes Définitions et notations Conditions aux liites en contrainte sur les frontières Théorèes généraux de la dynaique pour un doaine atériel Théorèe de la résultante dynaique sur un doaine atériel Théorèe du oent dynaique sur un doaine atériel Théorèe de la puissance cinétique sur un doaine atériel Fore locale des théorèes généraux Équation de ouveent Syétrie du tenseur des contraintes de Cauchy Puissance voluique des efforts intérieurs Théorèes généraux pour les doaines géoétriques

80 TABLE DES MATIÈRES Bilan de quantité de ouveent sur un doaine géoétrique Bilan de oent cinétique sur un doaine géoétrique Bilan d énergie cinétique sur un doaine géoétrique Forulation intégrale des équations de ouveent Changeents d observateur En bref Conservation de l énergie Concepts de base en therodynaique Variables d état Fonction d état Espace des états Évolution therodynaique Principe de la conservation de l énergie Énoncé classique pour une évolution finie entre deux instants Énoncé global instantané Conservation de l énergie pour un doaine atériel de ilieu continu Fore locale de la conservation de l énergie Conservation de l énergie pour un doaine géoétrique Changeents d observateur En bref Second principe de la therodynaique Introduction Énoncé classique Énoncé du second principe pour un doaine atériel Fore locale du second principe Second principe pour un doaine géoétrique Changeents d observateur Nécessité de l existence d une loi de coporteent therique Capacités calorifiques locales dans une évolution En bref Exeple : le odèle «fluide siple» Définition d un fluide siple Conséquences du second principe de la therodynaique Relation de Helholtz Loi de coporteent écanique Loi de coporteent therique Second principe de la therodynaique pour les fluides siples Fluides siples newtoniens Un exeple de fluide siple : les gaz parfaits Liquides idéaux Liquides siples copressibles et dilatables Copressibilité et dilatabilité Exeple de odèle siple de liquide copressible et dilatable En bref Conclusion Le problèe de écanique des ilieux continus La résolution A Déonstrations 69 A.1 Lee fondaental pour les intégrales de volue

81 TABLE DES MATIÈRES A.2 Existence du chap tensoriel des contraintes de Cauchy A.3 Existence du chap vectoriel courant de chaleur