Chapitre 5: Oscillations d un pendule élastique horizontal

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1 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 40 Chapitre 5: Oscillations d un pendule élastique horizontal 1. Définitions a) Oscillateur écanique * Un systèe écanique qui effectue un ouveent d'aller-retour de part et d'autre de sa position d'équilibre est dit oscillateur écanique. Une oscillation est un aller-retour autour de la position d'équilibre. * Eeples : ouveent des arées, batteents du cœur,... b) Oscillateur libre * C'est un oscillateur abandonné à lui-êe après ecitation etérieure. * Eeples : pendule siple, pendule élastique,... c) Oscillateur haronique * C'est un oscillateur dont l'évolution dans le teps suit une loi sinusoïdale du teps. * Eeples : pendule élastique sans frotteent (cas idéalisé) d) Oscillateur forcé * C'est un oscillateur ecité par un dispositif etérieur iposant le rythe d'oscillation. * Eeples : ouveent des arées, haut-parleurs,... e) Oscillateur aorti * C'est un oscillateur dont les oscillations s'affaiblissent au cours du teps. * Eeples : pendule élastique réel, ouveent d'une corde de piano,...

2 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 41. Epérience fondaentale: pendule élastique horizontal a) Description du pendule élastique Disposons sur un rail à coussin d air un chariot pouvant glisser pratiqueent sans frotteent. Il est attaché à l une des etréités d un ressort. L autre etréité du ressort est fie. Les spires du ressort sont non-jointives, de sorte que le ressort peut égaleent être coprié. b) Observations Ecartons légèreent le chariot de sa position d équilibre et lâchons-le sans vitesse initiale. Le solide effectue des oscillations libres autour de sa position d équilibre. Ces oscillations sont légèreent aorties à cause de la résistance de l air freinant le chariot. 3. Etude dynaique et cinéatique du pendule élastique horizontal a) Données Un pendule élastique horizontal est constitué d un ressort de raideur et d un solide de asse. On néglige tout frotteent (idéalisation!). Tirons le chariot, à partir de sa position d équilibre, d une distance d vers la droite. Lâchons le corps sans vitesse initiale. b) Systèe. Référentiel. Repère * Le systèe étudié est le corps de asse. * Le référentiel est celui de la Terre (= celui où le pendule est au repos). * L origine O du repère est le centre d inertie G du solide lorsque le ressort n est pas déforé. * L ae O est parallèle au ressort et orienté dans le sens de l étireent du ressort. L'ae Oy est vertical. (On n a pas besoin du 3 e ae Oz car il n'y a pas de force ni de ouveent selon cet ae.)

3 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 4 b) Conditions initiales Le corps est lâché à l instant initial. t = 0 0 = d > 0 v 0 =0

4 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 43 c) Forces etérieures * Poids P g P = 0 P y = -P * Force pressante du coussin d'air R R = 0 R y = R * Tension du ressort T T = - T y = 0 En effet : si le ressort est étiré T = - < 0 si le ressort est coprié T = - >0 d) Accélération Appliquons le principe fondaental de Newton (Newton II) : F a P R T a Projection de l équation vectorielle (1) sur l ae O : a (1) () G effectue un ouveent rectiligne. L'accélération est donc parallèle à l'ae O. a y 0 Conclusion : L'accélération n'est donc pas constante. Elle dépend de la déforation du ressort (= écarteent du solide par rapport à sa position d'équilibre = élongation du solide). Elle est constaent dirigée vers la position d'équilibre du solide. e) Equation différentielle du ouveent Coe a d, l'équation () donne: d C'est l'équation différentielle du ouveent! f) Relation entre P et R Projection de l équation vectorielle (1) sur l ae Oy : Py R y a y P R 0 R P

5 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 44 g) Solution de l'équation différentielle du ouveent Résoudre une telle équation revient à chercher la fonction du teps (t) qui possède une dérivée seconde telle que : d L'étude athéatique de cette équation fournit coe solution (t) X cos( 0t ), où X, 0 et sont des constantes. d Vérifions sa validité! Dérivons : X 0 sin( 0t ) Replaçons dans l'équation différentielle : d X cos( t ) La fonction (t) X cos( 0t ) convient coe solution, si on pose possible car et sont positifs! Conclusion : 0, ce qui est L'équation d peut s'écrire d 0, avec 0 0. La solution générale de ce type d'équation est alors une fonction sinusoïdale de la fore : (t) X cos( 0t ) 0t est appelé phase et phase initiale de l oscillateur. L'équation horaire du ouveent (t) est une fonction sinusoïdale du teps : le pendule élastique horizontal est un oscillateur haronique. Rearque : De la êe façon on ontre que (t) X sin( 0t ) est solution de l'équation différentielle. h) Aplitude du ouveent Coe 1 cos( 0t ) 1, l'élongation varie entre X et +X. La valeur aiale X que l'élongation peut prendre est l'aplitude de l élongation. Par convention, les aplitudes sont toujours positives : X > 0

6 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 45 i) Période, fréquence et pulsation d un ouveent haronique * Une fonction sinusoïdale du type X cos( t ) est périodique. Elle reprend la êe valeur chaque fois que la phase t change de ( ). On appelle période T la durée d une oscillation. (En ouveent circulaire unifore, la période est la durée d un tour.) * Déterinons T! De quelle durée T faut-il augenter t pour que la phase augente de? (t T) t T La période du ouveent est donc donnée par : T * La fréquence du ouveent s écrit : f 1 T * est appelée pulsation. (En ouveent circulaire unifore, est la vitesse angulaire.) j) Période propre, fréquence propre et pulsation propre du pendule élastique horizontal Coe l oscillateur est libre, il oscille avec sa période propre T 0, sa fréquence propre f 0 et sa pulsation propre 0. La période propre est donnée par : T0 1 La fréquence propre est donnée par : f0 La pulsation propre est donnée par : 0 ) Déterination de l'aplitude X et de la phase initiale Nous déterinons ces constantes à l'aide des conditions initiales : t = 0 abscisse initial 0 = d > 0 vitesse initiale v 0 = 0 Abscisse : (t) X cos( 0t ) (3) d(t) Vitesse : v (t) v (t) X 0 sin( 0t ) (4)

7 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 46 Replaçons les conditions initiales dans les équations (3) et (4) : d X cos 0 (5) 0 X sin (6) 0 (6) sin 0 = 0 ou bien = (5) X cos 0 cos 0 car X > 0 : la solution = est donc à rejeter! Finaleent : = 0, et (5) X = d. l) Equations finales de l'élongation, de la vitesse et de l'accélération (t) d cos 0 t X cos t Elongation : ; aplitude de l élongation : X = d v (t) d 0sin 0t V cos t Vitesse : ; aplitude de la vitesse : V d a d 0 cos 0t A cos t Accélération : ; aplitude de l'accélération : A d

8 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 47 ) Applications Déteriner l'aplitude et la phase initiale pour les conditions initiales suivantes : * t = 0 0 = -d < 0 v 0 =0 * t = 0 0 = 0 v 0 = v > 0 * t = 0 0 = 0 v 0 = -v < 0 4. Etude énergétique du pendule élastique horizontal a) Energie écanique de l'oscillateur * Energie cinétique du solide : 1 X 0 Ec v sin ( 0t ) 0 Finaleent : X Ec sin ( 0t ) X Ec sin ( 0t ) * Energie potentielle élastique du ressort : 1 X Ep élastique cos ( 0t ) * Energie écanique de l oscillateur : E E E c p élastique X X sin ( 0t ) cos ( 0t ) X (sin ( 0 t ) cos ( 0 t )) 1 E X Conclusion : L'énergie écanique d'un oscillateur haronique est conservée.

9 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 48 b) Etablisseent de l'équation différentielle à partir de la conservation de l'énergie écanique * En classe de e, nous avons ontré que l'énergie écanique d'un oscillateur haronique est conservée : 1 1 E v constant * Dérivons par rapport au teps cette epression de l'énergie écanique : de d 1 d 1 ( ) ( v ) 0 (la dérivée d'une constante est nulle) On obtient en appliquant les règles de dérivation établies en athéatiques : 1 d 1 d ( ) (v ) 0 1 d 1 dv v 0 v v a 0 Coea d, on obtient : d 0 Finaleent, on retrouve l'équation différentielle du ouveent : d 5. Etude qualitative du pendule élastique aorti L'aplitude X diinue au cours du teps à cause des frotteents. L'énergie écanique diinue au cours du teps et se transfore en énergie calorifique. L'oscillateur n'est donc pas périodique. On parle quand-êe de sa pseudo-période T.

10 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal Oscillations forcées. Résonance Epérience : Observations : * Le résonateur effectue des oscillations de êe fréquence que celle de l'ecitateur: il effectue des oscillations forcées. * L'aplitude A du résonateur dépend de la fréquence de l'ecitateur et de l'intensité de l'aortisseent. * A passe par un aiu : c'est la résonance. La fréquence de résonance f R est pratiqueent égale à la fréquence propre f 0 du résonateur.

11 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 50 * Si l'aortisseent est faible, on peut avoir A >> a (catastrophe de résonance) * Si l aortisseent est iportant f R est légèreent inférieur à f 0. La courbe A(f) est appelée courbe de réponse du résonateur.