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1 Sébastien Bourdreux Agrégation de Physique Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand Utilisation des intégrales premières en mécanique. Exemples et applications. septembre 2003 Correcteur : Pascal DELLOUVE

2 TABLE DES MATIÈRES 2 Table des matières 1 Conservation de la quantité de mouvement Théorème de la quantité de mouvement : RFD Relativité galiléenne Cas des systèmes matériels Quelques exemples d application Recul d un fusil Etude de la chute libre d un corps dans l air Etude de la propulsion d une fusée Collisions entre objets Le moment cinétique Théorème du moment cinétique Aspects importants du moment cinétique en physique Exemples simples d utilisation En astrophysique Disque en rotation autour d un axe Deux disques embrayés Mouvement d une toupie Cas des sytèmes matériels Exemple classique : le pendule simple Exemple fondamental : le mouvement à force centrale L énergie mécanique Généralités Théorème de l énergie mécanique - Conservation Mouvement conservatif à un degré de liberté Retour à l exemple du pendule simple Retour au problème de champ de force centrale Application : le régulateur à boules

3 TABLE DES MATIÈRES 3 Niveau : 1er Cycle Universitaire Prérequis : travail, puissance et moment d une force en mécanique du point et des systèmes PFD, théorème de l énergie cinétique Introduction Le principe fondamental de la dynamique permet de décrire tous les systèmes de la mécanique classique, dont il est la pierre angulaire. Résultante cinétique (quantité de mouvement), moment cinétique et énergie sont néanmoins des grandeurs universelles, concernant les systèmes macroscopiques aussi bien que les systèmes microscopiques (du photon à l Univers) ; ces grandeurs se conservent dans certains cas, que nous allons expliciter, et sont couramment appelées intégrales premières du mouvement en raison des équations différentielles du premier ordre qu elles fournissent, à la différence d autres lois comme le PFD (2ème ordre). De manière générale, une intégrale première du mouvement est une équation reliant la norme des vecteurs position et vitesse sans faire intervenir l accélération d un système donné. Nous allons voir comment utiliser ces trois objets dans la résolution des problèmes de la mécanique newtonienne.

4 1 CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT 4 1 Conservation de la quantité de mouvement 1.1 Théorème de la quantité de mouvement : RFD La quantité de mouvement se définit pour un point matériel de masse m et de vitesse v dans un référentiel R par P = m v (1) et pour un système de points - on parle alors de résultante cinétique - par P = ρ v dτ = M v c (2) τ si v c est la vitesse de son centre de masse 1 et M la masse totale. De manière générale, tout système matériel de l Univers exerce sur un point matériel M non inclus dans ce système une force représentée, dans un référentiel galiléen R, par l ensemble d un point M et d un vecteur F. Exemples : forces de gravitation, électromagnétique, nucléaire... La loi fondamentale de la dynamique dicte que Par rapport à un référentiel galiléen R, le mouvement d un point matériel M de masse m soumis à plusieurs forces dont la somme est F satisfait à la relation d p dt = F Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d un point matériel est égale à la force qui lui est appliquée. Notons bien que si p est décrite dans une autre base que celle de R, il faudra écrire ( d p dt ) R = ( d p dt ) R + ω R /R p Notons enfin que cette loi met en évidence le caractère inertiel de la masse m de M. Pour un système isolé, qui n est soumis à aucune interaction, cette grandeur se conserve au cours du temps, comme le montre le PFD. De tels systèmes sont difficiles à mettre en évidence de manière simple ; cependant, la conservation de cette grandeur nous est démontrée tous les jours, si l on considère le dispositif de ceinture de sécurité : le but est d annuler la quantité de mouvement du corps lors du freinage, en la transférant sous forme de force dont l application est réduite en temps par l élasticité et en intensité par la surface de la ceinture le recul d une arme à feu (cf. exemple) le principe de rappel par corde en escalade etc La conservation de la quantité de mouvement procède d un principe d invariance, par translation, dans l espace. Ceci signifie juste que, si rien n agit sur le système considéré - soit s il y a bien (approximativement) invariance de l environnement par translation -, la grandeur p se conserve. 1 Le référentiel du centre de masse d un solide, noté R*, est le référentiel en translation par rapport à R dans lequel on satisfait P = 0

5 1 CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT 5 Compte tenu du caractère irréaliste de l hypothèse du point matériel isolé, la propriété de conservation de la quantité de mouvement peut sembler de peu d intérêt. On observera toutefois que cette loi de conservation reste tout à fait valable dans une situation où le point est dit pseudo-isolé, définie par le fait que l on a F = 0 en présence d interactions qui se compensent pour donner une résultante nulle. L exemple le plus proche est certainement le cas des mobiles autoporteurs à coussins d air utilisés dans tout le secondaire. 1.2 Relativité galiléenne La loi fondamentale de la dynamique est invariante par changement de référentiel galiléen. Comme les accélérations d entraînement et de Coriolis, dans la composition des mouvements entre deux référentiels galiléens R et R, sont nulles, il vient F = maa/r = ma A/R Ainsi, aucune expérience de mécanique ne permettra de distinguer deux référentiels galiléens entre eux. C est bien ce que l expérience courante nous apprend : dans un véhicule, se déplaçant à vitesse (vectorielle) constante par rapport au sol terrestre, il est impossible de déceler notre état de mouvement (sauf regard par une fenêtre). Seules les modifications occasionnelles de cette vitesse, dans un virage ou au cours d un freinage, sont détectables. Ce résultat essentiel a été perçu très tôt par Galilée, et résumé par la phrase le mouvement ( rectiligne et uniforme) n est rien. Cette invariance de la loi fondamentale lorsqu on change de référentiel galiléen est appelée la relativité galiléenne. Dans ce contexte, le référentiel de Copernic, souvent utilisé comme référentiel galiléen, n est qu un excellente réalisation d un référentiel galiléen parmi d autres. L invariance galiléenne dépasse le cadre de la mécanique newtonienne, puisqu en 1905 Einstein la généralisa à tous les phénomènes physiques, ce qui permit de résoudre l important problème de la constatation expérimentale de l invariance de la vitesse de la lumière dans le vide. La chute libre des corps dans le voisinage de la surface terrestre a été étudiée et analysée complètement par Galilée. C est lui qui le premier a montré que deux corps, suffisamment denses pour pouvoir négliger l influence de l air, lâchés d une même hauteur sans vitesse initiale, arrivent en même temps au sol. C est lui aussi qui montra l influence des conditions initiales sur la nature de la trajectoire du mouvement d un corps : elle est rectiligne lorsque le corps est abandonné sans vitesse et parabolique lorsqu il est lancé avec une vitesse initiale perpendiculaire à la verticale du lieu. Dans ce contexte, il est instructif de citer le célèbre problème posé par Galilée dans le Dialogue des deux mondes : quel est le point de chute d un boulet abandonné au sommet du mât vertical d un voilier, qui se déplace à vitesse (vectorielle) constante par rapport au référentiel terrestre, lorsqu on néglige l influence de l air? Comme le référentiel du bateau a les même propriétés que le référentiel terrestre et que, dans ce dernier, tout corps abandonné sans vitesse a une trajectoire verticale, la réponse est évidemment le point situé au bas du mêt. On montre qu en réalité on doit ajouter au poids du corps un terme de force de Coriolis dont l influence peut ici être négligée ; cette chute, indépendante de la masse, n est vraie qu en l absence de forces de frottements dues à l air.

6 1 CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT Cas des systèmes matériels Soit Σ un système de points matériels constitué d éléments M i de masses m i, l indice i pouvant varier de 1 à n. Ce système est quelconque en ce sens qu il est éventuellement déformable (i.e. que le distances M i M j peuvent varier dans le temps). On considèrera néanmoins qu il s agit d un système fermé de points matériels en nombre bien déterminé, et dont la masse totale est par conséquent constante. La force totale subie par un élément M i de Σ peut s écrire F i = F e i + F j i (3) j i le premier terme désignant une force extérieure à Σ, c est-à-dire traduisant l action sur M i de systèmes non compris dans Σ, et le second terme la somme des forces intérieures exercées sur M i par d autres éléments M j de Σ. Dans un référentiel galiléen, pour chaque élément, on peut écrire En sommant les n relations de ce type, on voit apparaître la quantité de mouvement totale p = p i i encore appelée résultante cinétique la résultante ou somme des forces extérieures à Σ d p i dt = F i (4) R = i F e i la somme des forces intérieures ( i j F j i ) dont le caractère identiquement nul résulte de la troisième loi de Newton (principe de l action et de la réaction) puisque cette double sommation se décompose en termes du genre F i j + F j i = 0 On aboutit donc à la généralisation de la relation fondamentale de la dynamique vue pour le point matériel à un système de points matériels : d p dt = R (5) Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d un système de points matériels est égale à la résultante des forces extérieures qui lui sont appliquées.

7 1 CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT Quelques exemples d application Recul d un fusil Considérons le cas (assez théorique) d une arme à feu de masse M posée sans frottement sur un sol horizontal et éjectant un projectile de masse m animé d une vitesse v par rapport à un observateur lié au sol. Si on néglige l action du tireur sur la gâchette, le système n est soumis qu à des forces verticales : la composante verticale de la quantité de mouvement est constante, identiquement nulle avant le départ du coup si le fusil est initialement immobile. Soit V la vitesse du fusil après le départ du coup. On a donc soit mv + MV = 0 (6) V = m M v (7) Le fusil recule donc en emportant une partie de l énergie cinétique, assez facile à chiffrer : 1 2 MV 2 = 1 2 M( m M )2 v 2 = m M (1 2 mv2 ) (8) Application numérique : dans le cas du fusil, m = 10 g M = 4, 5 kg v = 600 m.s 1 la vitesse de recul obtenue est de l ordre de V = 1, 33 m.s 1. Le rapport de l énergie cinétique emportée par ce recul à l énergie cinétique du projectile est 2, Ces résultats ne sont vrais qu à 20 % puisqu il faudrait également considérer la quantité de mouvement emportée par les gaz Etude de la chute libre d un corps dans l air Tentons de déterminer le mouvement d un projectile lancé dans l air en un point donné avec une vitesse donnée. Dans un repère cartésien (Ox,Oy,Oz) lié au référentiel terrestre (qu on considèrera galiléen), l équation du mouvement s obtient immédiatement d p dt = P + f R = m g k v (9) En intégrant directement cette équation vectorielle, sous la forme on obtient d v dt = g (k/m) v (10) v = m k g + A.e (k/m)t (11) où A est une constante (vectorielle) d intégration qu on détermine en écrivant, pour t = 0, que v = v o : v = m k g + ( v o m k g).e (k/m)t (12) Le mouvement est alors déterminé ; l équation de la trajectoire peut être obtenue par une nouvelle intégration, OM = OM o + m k gt + m k ( v o m k g)(1 e (k/m)t )

8 1 CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT Etude de la propulsion d une fusée Etudions pour illustrer cette conservation le mouvement d une fusée dont le mode de propulsion est l éjection de gaz à la vitesse v g dans un référentiel fixe par rapport à elle. Soit v la vitesse de la fusée dans le référentiel fixe, et M(t) sa masse à l instant t, alors qu elle éjecte entre t et t + dt la masse dm de gaz. La conservation de la quantité de mouvement pour l ensemble fermé et isolé fusée + gaz s écrit d(m v) + dm v g = 0 (13) vdm + Md v + dm v g = 0 (14) Or, la masse de gaz éjectée au cours du temps dt, dm, est égale à la masse perdue par la fusée, dm, soit dm = dm. Alors M v g dm( v g v) = 0 (15) Posons u = vg v la vitesse d éjection des gaz par rapport au référentiel mobile de la fusée. Si on suppose que cette vitesse est constante, nous obtenons l équation différentielle dont la solution s écrit Collisions entre objets dv = u dm M v = v o + u ln M o M (16) (17) L expérience courante montre que la durée d un choc est toujours très faible devant les durées caractéristiques qui interviennent dans l analyse : il en résulte que le choc est localisé dans l espace. En outre, les variations de vitesse sont fortes car les solides exercent entre eux des forces de réaction importantes lorsqu on tente de les comprimer. Notons que la condition d isolement du système est ici peu restrictive, puisque seules les percussions P = t2 t 1 F ext dt (18) associées aux forces de réaction ne sont pas négligeables. Par exemple, considérons un solide de masse m 1 qui tombe, avec une vitesse de translation v 1, sur un second solide initialement immobile, de masse m 2. Supposons que les deux masses aient même vitesse v f après la collision et que l échange de quantité de mouvement entre elles soit dirigé suivant la droite qui joint les deux centres de masse 2. On peut alors écrire d où le facteur de restitution en énergie m 1 v 1 = (m 1 + m 2 ) v f (19) ε = ε f ε i = (m 1 + m 2 )v 2 f m 1 v 2 1 = v f v i = m 1 m 1 + m 2 (20) 2 Cette dernière hypothèse facilite l étude de la rotation de chaque solide puisque, l échange de moment cinétique étant nul, les solides gardent leur mouvement de rotation après le choc.

9 2 LE MOMENT CINÉTIQUE 9 Si m 2 m 1, ε 1 et il n y a pratiquement pas d énergie cinétique perdue. C est le cas voulu lorsqu on souhaite que toute l énergie cinétique soit utilisée pour mettre en mouvement une cible : pour enfoncer un clou de masse m 2 avec un marteau de masse m 1, il vaut mieux utiliser un marteau lourd Si m 2 m 1, ε 0 et la grande variation d énergie cinétique est utilisée pour modifier l état de la cible. Ce cas modélise le fonctionnement du marteau léger qu utilise les cantonniers pour briser les cailloux. Cet exemple est à nouveau exploitable si l on compare les caractéristiques d un boxeur et d un karatéka 2 Le moment cinétique 2.1 Théorème du moment cinétique La loi que nous allons établir découle elle encore d un principe d invariance, celui d invariance de l espace par rotation. On appelle moment cinétique (parfois angulaire) d un point matériel A par rapport à un référentiel R, en un point O de celui-ci, le moment de sa quantité de mouvement L o = OA p = OA m( v A ) R (21) Prenons un exemple : soit un solide en rotation autour d un axe fixe. Ce mouvement est caractérisé par son moment cinétique. De manière générale, pour un solide en rotation autour d un axe, on montre que le moment cinétique peut se mettre sous la forme simple L = j Ω où j représente le moment d inertie du solide et Ω son vecteur rotation. Intuitivement, on comprend que s il n y a aucune force perpendiculaire à l axe de rotation, soit aucun couple selon cet axe, la vitesse angulaire va être constante, et le moment cinétique conservé. La non-existence d actions de cette nature caractérise bien l invariance de l univers ambiant par rotation autour de l axe. Le théorème de conservation de L est très commode lorsque le moment des forces est nul (système isolé). On obtient alors immédiatement une constante vectorielle du mouvement, en la grandeur L O/R = cte. Si on dérive la quantité galiléen, il vient L O/R par rapport au temps relativement au référentiel R supposé soit d L o dt = d OM dt p + OM d p dt = OM d p dt = OM F (22) dl o = Mo (23) dt Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique d un point matériel calculé en un point O fixe est égale au moment en O de la force totale s exerçant sur ce point.

10 2 LE MOMENT CINÉTIQUE 10 Ce théorème peut sembler superflu pour un point matériel, dans la mesure où le PFD fournit assez d équations pour en déterminer le mouvement. Cependant, il est parfois plus rapide d utiliser ce théorème comme nous allons le montrer sur un exemple ; de plus, ce théorème fournit directement des renseignements que l on aurait du mal à obtenir à partir des solutions des équations du mouvement. Considérons un point matériel M en mouvement dans le plan (z = 0). Sa vitesse s écrit, dans un repère cylindrique d axe (Oz) v = ṙ e r + r θ e θ Son moment cinétique par rapport à O a pour expression L o = OM p = r e r m(ṙ e r + r θ e θ ) (24) soit L o = mr 2 θ ez (25) Ainsi, le moment cinétique est d autant plus grand que la rotation du point matériel M autour de (Oz) est rapide, et que le point est plus éloigné de cet axe : le moment cinétique joue vis-à-vis de la rotation un rôle homologue à celui de la quantité de mouvement pour la translation. Un système isolé (ne subissant aucune interaction) qui se contracte accélère sa rotation : c est par exemple l effet qu obtient une ballerine ou un danseur sur glace en ramenant les bras vers le corps Aspects importants du moment cinétique en physique Ce sont les principes généraux de la mécanique classique qui permettent donc d établir que dans un référentiel galiléen, le moment cinétique d un système isolé calculé en un point O fixe dans ce référentiel est une constante du mouvement. Il s agit là d une loi très générale et qui touche à la structure même des lois physiques : on montre en effet que la conservation du moment cinétique pour un système isolé est due, en fait, à l invariance des lois physiques vis-à-vis d une rotation (géométrique) des systèmes de coordonnées. Aussi retrouve-t-on la notion de moment cinétique dans d autres domaines de la physique et sous d autres formalismes (relativiste et quantique). Une constatation simple : l analyse dimensionnelle du moment cinétique donne [L] = M.L 2.T 1 et en ce qui concerne la constante de Planck h liant l énergie E d un photon à sa fréquence ν, [h] = [E].T = M.L 2.T 1 Est-ce un hasard? Non. Si on introduit la constante de Planck réduite, = h/2π, on montre en mécanique quantique que le résultat d une mesure de la projection du moment cinétique orbital d une particule sur un axe (Oz) dit de quantification ne peut prendre que les valeurs L z = n (26) 3 simultanément, la ballerine sur la pointe de ses chaussons pour minimiser le moment des forces de frottement exercées sur elle par le sol par diminution de la surface de contact.

11 2 LE MOMENT CINÉTIQUE 11 où n est un entier. Signalons également que certaines particules possèdent un moment cinétique intrinsèque, caractérisé par un nombre entier ou demi-entier, appelé spin. L électron est une particule de spin 1/2, ce qui signifie que la mesure de la composante sur un axe de son moment cinétique propre ne peut prendre que deux valeurs, (1/2) ou (1/2). Si l axe de quantification suit la direction d un champ magnétique B par exemple, il leur correspond deux niveaux d énergie différents. Si elles ne permettent pas d introduire clairement le concept de moment cinétique dans le domaine quantique, ces brèves indications montrent que dans ce domaine d étude est l unité naturelle de moment cinétique. 2.3 Exemples simples d utilisation En astrophysique La conservation du moment cinétique joue également un rôle essentiel en astrophysique. Donnons-en deux exemples : Dans le système Terre-Lune (idéalisé en supposant la Lune à symétrie sphérique et l ensemble isolé), l action de la Lune entraîne une diminution du moment cinétique intrinsèque de la Terre ainsi que sa précession ; on déduit par ailleurs de la conservation du moment cinétique l augmentation du paramètre de l orbite lunaire (la Lune s éloigne de nous!)... Le modèle usuel de l origine du système solaire invoque la contraction progressive sous l effet des forces gravitationnelles d une vaste nébuleuse gazeuse ayant originellement un mouvement de rotation très lent. L accélération de la rotation au cours de la contraction a, par des effets centrifuges, causé l aplatissement du système jusqu à former un disque au sein duquel se sont constitués au centre le Soleil et dans la périphérie les planètes. Ce modèle rend bien compte du fait que les planètes orbitent toutes dans le même sens, lequel est aussi celui de rotation propre du Soleil (de période T = 25 jours) ainsi que de la quasi totalité 4 des planètes et de leurs satellites. Par ailleurs, les plans trajectoires des planètes ainsi que de leurs satellites font avec le plan de l orbite terrestre (appelé écliptique) des angles qui ne dépassent pas quelques degrés. On pense que les étoiles de masse assez nettement supérieure à celle du Soleil R s = m M s = kg terminent leur existence par une explosion catastrophique (supernova) suivie d un effondrement à l issue duquel leur rayon est réduit à une valeur R N 15 km en raison de réactions p + + e n qui font que l astre n est plus qu essentiellement constitué d un entassement de neutrons (stade d étoile à neutrons). A cette contraction pour le moins spectaculaire doit être associée une considérable accélération de la rotation. En admettant que le Soleil puisse suivre une telle évolution 5 et en exprimant la conservation du moment cinétique au cours 4 On dispose actuellement de modèles susceptibles de rendre compte par des phénomènes accidentels (collisions par exemple) des rares exceptions observées. 5 De façon plus calme, le Soleil devrait finir en naine blanche après avoir passé le stade de géante rouge, astre dont le rayon s étend bien au-delà de l unité astronomique... ce qui est fâcheux pour notre descendance.

12 2 LE MOMENT CINÉTIQUE 12 de celle-ci, on peut estimer la période de rotation d une étoile à neutrons T N = ( R N ) 2 1, T s = ( R s ) = 10 3 s (27) Des astres dont les périodes de rotation propre sont de l ordre de la milliseconde ont été observées en 1968 par l anglais Anthony Hewish et baptisés pulsars. On a acquis depuis la conviction que ces pulsars s identifient aux étoiles à neutrons imaginées dès 1932 par le soviétique Lev Davidovitch Landau ( ) dans le cadre du modèle de mort d une étoile décrit ci-dessus Disque en rotation autour d un axe La figure suivante représente un disque en rotation autour d un axe fixe que l on a monté sur des pivots de façon à réduire les frottements. Dans le cas idéal où le contact est quasi ponctuel au niveau des pivots, les réactions sont sur l axe et ont un moment nul par rapport à. On dit dans ce cas que la liaison a lieu sans frottement, ou encore qu elle est parfaite. Par ailleurs, si le disque possède la symétrie de révolution, son centre d inertie sera sur et le moment des forces de pesanteur par rapport à sera nul. Il y aura donc conservation du moment cinétique par rapport à. Cette loi de conservation s écrira Jω = cte soit ω = cte : un tel disque aura un mouvement de rotation uniforme. C est d ailleurs cette propriété qu on utilise pour vérifier qu un mouvement a lieu sans frottement Deux disques embrayés Considérons 2 disques montés sur un même axe (la liaison étant supposée parfaite), de moments d inertie par rapport à J 1 et J 2. Initialement, le premier disque est lancé avec une vitesse angulaire ω o et le second est immobile ; un embrayage à friction permet de les connecter.

13 2 LE MOMENT CINÉTIQUE 13 Pour l ensemble des deux disques, les forces qui interviennent au niveau de l embrayage étant des forces intérieures, la conservation du moment cinétique par rapport à s écrit d où l on peut extraire la vitesse finale commune J 1 ω o = (J 1 + J 2 )ω (28) ω = ω o J 1 J 1 + J 2 Il serait dans cet exemple faux d écrire la conservation de l énergie : les forces de friction ne dérivent pas d un potentiel, travaillent, et on peut évaluer la perte d énergie cinétique : soit E c = 1 2 (J 1 + J 2 )ω Jω2 o (29) E c = 1 2 J 1ωo 2 J 1 + J 2 Il est ici tout à fait remarquable que sans connaître le détail des forces de frottement nous puissons en calculer le travail et prévoir l état final du système ; il faut bien remarquer cependant que nous n avons pas assez de renseignements pour décrire le régime transitoire correspondant à l embrayage lui-même Mouvement d une toupie Considérons une toupie qui tourne autour d un point fixe O et soumise uniquement à son poids. Ici il n y a pas d invariance de l espace par rotation autour de l axe de rotation, et le moment cinétique n est pas conservé. Nous allons cependant voir que la variation de ce dernier permet de déterminer qualitativement le mouvement de la toupie. La variation du moment en O s écrit dl o = OG m g (30) dt On peut montrer que si la toupie tourne très vite sur elle-même, le moment cinétique est en permanence aligné avec l axe de rotation propre. L égalité ci-dessus implique que la composante selon l axe vertical va être conservée, ainsi que sa norme : soit L o L o dt = 1 d( 2 L o ) 2 dt J 2 = 0 (31) e z d L o = dl Oz = 0 (32) dt dt Le seul effet du couple du poids va donc être de modifier l orientation du moment cinétique, et donc de l axe de la toupie. Celle-ci va décrire un cône de révolution autour de la verticale en O : on dit que la toupie précesse autour de l axe (Oz). Ceci peut s appliquer à nombre de corps en rotation, et permet notamment de comprendre le mécanisme de précession des équinoxes de la Terre, qui est soumise à un couple similaire à celui du poids par effet différentiel des autres planètes.

14 2 LE MOMENT CINÉTIQUE Cas des sytèmes matériels Nous pouvons énoncer la généralisation suivante. En un point O d un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique d un système de points matériels est égale à la somme des moments en ce point des forces extérieures qui lui sont appliquées avec d L o dt L o = i = M o (33) OM i p i moment cinétique en O de l ensemble Σ et M o = i OM i F e i moment résultant en O des forces extérieures. En effet, la dérivation de L par rapport au temps conduit à d L o dt = i d OM i p i + dt i OM i d p i dt (34) Le premier terme est nul puisque d OM i s identifie à v dt i colinéaire à p i ; le référentiel étant galiléen, on peut remplacer dans le second terme d p i par F dt i = F e i + j i F j i (cf. notations du premier chapitre). Ainsi d L o dt = i OM i (F e i + F j i ) (35) j i Le premier terme du second membre représente bien le moment résultant le second terme comme une somme du type OM i F i j + OM j F j i = ( OM i OM j ) F i j = M j M i Mo. En regroupant F i j = 0 et on remarque que, compte tenu de la troisième loi de Newton, cette somme est identiquement nulle. Remarque L étude dynamique d un système (théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique) ne fait intervenir que les forces extérieures au système considéré. Nous verrons dans le troisième chapitre qu il n en est pas de même en ce qui concerne l étude énergétique pour laquelle il faut prendre en compte le travail des forces intérieures. 2.5 Exemple classique : le pendule simple Considérons le point matériel M de masse m, relié à un point fixe O d un référentiel galiléen par l intermédiaire d un fil de masse négligeable et de longueur constante l ; ce dispositif constitue un pendule simple. Nous nous limiterons ici au cas où ce pendule effectue un mouvement

15 2 LE MOMENT CINÉTIQUE 15 contenu dans un plan vertical. A chaque instant, la position du pendule est repérée par l angle θ que fait le fil avec la verticale ; la vitesse v est perpendiculaire au fil et a pour module v = l θ (36) Soit u un vecteur unitaire perpendiculaire au plan du mouvement, et dont le sens est défini à partir du sens positif de θ. On constate presqu immédiatement que L(O) = OM m v = ml 2 θ u (37) Les forces agissant sur M sont son poids m g et la tension du fil T. Le support de cette dernière force passe par O et son moment par rapport à ce point est nul, ce qui fait que le moment des forces appliquées se restreint à celui du poids de M : M(O) = OM m g = lmg sin θ u (38) Le vecteur u étant fixe, l application du théorème du moment cinétique conduit immédiatement à d L dt = M(O) (39) soit ml 2 θ = mgl sin θ (40) c est-à-dire θ + g sin θ = 0 (41) l Cette équation différentielle est l équation du mouvement ; on aurait pu l obtenir également, mais beaucoup moins rapidement, en utilisant le PFD. Si θ reste petit au cours du mouvement (approximation des petites oscillations), l équation du mouvement peut s écrire θ + g l θ = 0 (42) dont la solution la plus générale est de la forme θ(t) = θ o sin(ωt + ϕ) (43)

16 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE 16 où ω = g/l et θ o, ϕ sont des constantes déterminées par les conditions initiales du mouvement. Cette solution correspond à des oscillations de période T o = 2π l/g indépendante de l amplitude des oscillations (dans la mesure où celle-ci reste assez faible pour que l on puisse confondre sin θ et θ) : on parle d isochronisme des petites oscillations. 2.6 Exemple fondamental : le mouvement à force centrale Il s agit du mouvement d un point matériel soumis à une force F = grad E p (r) dont le support passe constamment par un point O, appelé centre de force, fixe dans un référentiel galiléen. Pour un tel mouvement, la force étant colinéaire à la position OM, son moment en O est nul et le théorème du moment cinétique permet d en déduire que le moment cinétique est une constante du mouvement. L o = r m v = cte = m r o v o Cette conservation vectorielle implique que la trajectoire d un mouvement à force centrale est plane. Autre conséquence de cette conservation, liée à la rotation considérée, la loi des aires : en des temps égaux, le rayon-vecteur balaie des aires égales. En effet, L o = mc = mr 2 θ ez = 2m( 1 dθ r2 2 dt ) e z = 2m ds dt e z = cte L importance de ce mouvement sera démontrée dans une leçon ultérieure. 3 L énergie mécanique 3.1 Généralités Les grandeurs p et L nous ont permis jusqu à présent de décrire un système en regard des forces extérieures qui lui sont appliquées ; cependant, on sent qu il existe une évolution interne du système à p et L constantes : c est le cas pour la fusée ; en outre, si l on considère le système Terre-Lune, l existence de forces de marées - solides et liquides - suppose un transfert d énergie, prélevée sur l énergie terrestre, et l on peut se convaincre que la Terre tourne de moins en moins vite et que la Lune s éloigne de plus en plus... Le concept d énergie, en soi, nous échappe à tous, mais nous en exploitons souvent les lois de conservation, qui sont extrêmement générales et ne se limitent pas à la seule mécanique. En particulier, c est cette conservation que traduit le premier principe de la thermodynamique. Cette hypothèse de conservation traduit en fait le postulat d invariance temporelle de l Univers, et plus précisément - au niveau de l expérimentateur - de l approximation de cette invariance pour un système considéré comme isolé : si l on se place pour faire une expérience dans des conditions identiques, ce qui est théoriquement possible, mais à deux dates différentes, celle-ci va se dérouler de manière identique. Pour illustrer cette invariance, considérons une masse accrochée à un ressort maintenu comprimé (par un taquet). Si on enlève le taquet, le ressort se détend, entrant en mouvement.

17 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE 17 On dit alors que le système constitué de la masse possède une certaine énergie potentielle, qui traduit la potentialité d un mouvement. Le postulat d invariance temporelle se traduit ici par le fait que si la manipulation est effectuée maintenant ou dans un temps indéterminé, et si rien ne vient modifier le système entre-temps, son comportement sera rigoureusement le même. Il y a donc une grandeur qui s est conservée au cours du temps : l énergie (potentielle ici). Cette dernière existe sous de multiples formes, l énergie potentielle dont nous venons de parler l énergie cinétique, qui traduit le fait qu un système possède une certaine vitesse l énergie thermique l énergie électromagnétique etc Notons enfin que le mot grec ɛνɛργɛια d où est tiré le français énergie peut s analyser comme ɛν signifiant en et ɛργoν signifiant travail : on retrouve le sens premier du concept d énergie, un système possède de l énergie s il peut fournir du travail... Un point matériel possède de l énergie potentielle si du travail peut être fourni par modification de sa position, et de l énergie cinétique si du travail peut être fourni par modification de sa vitesse. L énergie mécanique présentée ici se conserve à l échelle microscopique, tout comme est démontré le caractère conservatif des interactions fondamentales. Dans une situation aussi simple que celle d un pendule amorti par frottement, on peut se demander ce que devient l énergie mécanique qui disparaît : la diminution de l énergie mécanique macroscopique observable se retrouve dissimulée au niveau microscopique d une part dans le système lui-même sous forme d énergie interne (somme des énergies mécaniques microscopiques du système) et éventuellement sous forme d énergie mécanique microscopique transférée à l extérieur, c est-à-dire sous forme de chaleur. De même que pour les concepts de quantité de mouvement et de moment cinétique, le caractère conservatif de l énergie dépasse la cadre de la mécanique newtonienne qui lui a donné naissance. 3.2 Théorème de l énergie mécanique - Conservation Sous sa forme différentielle, le théorème de l énergie cinétique s écrit dw = de c Dans le cas général, l intégration de cette relation n est pas d un grand intérêt, car le travail W de la force ne s exprime pas de manière simple. Si le champ de force dérive d un potentiel, l intégration conduit au contraire à une expression simple de la variation d énergie cinétique. En effet, on a dans ce cas f = gradu d où dw = f d OM = du La forme différentielle du théorème de l énergie cinétique conduit à d(e c + U) = 0 soit à E c + U = cte (44) Cette quantité conservée ici, somme de l énergie potentielle et de l énergie cinétique, est appelée énergie mécanique du point matériel. Nous avons donc que

18 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE 18 Lorsqu un point matériel se déplace dans un champ de force dérivant d un potentiel, son énergie mécanique reste constante au cours du mouvement. Attention, le point doit être soumis seulement à des forces dérivant d un potentiel (dites alors forces conservatives). Ce résultat perd sa validité dans le cas où certaines forces ne dérivent pas d un potentiel, comme c est typiquement le cas des forces de frottement. Nous nous limiterons dans notre étude à l énergie mécanique, qui ne se conserve que lorsque les autres formes d énergie n interviennent pas, et qui est définie par E m = E c + E p E c est l énergie cinétique, définie en général par E c = 1 2 mv2 g jω2 (45) où m est la masse, v g la vitesse du centre de masse, j le moment d inertie et Ω le vecteur rotation du système considéré. E p est l énergie potentielle, définie à partir des forces (dites conservatives) pouvant s écrire sous la forme f = grad(e p ) Citons dans ce cas par exemple l énergie potentielle de pensanteur E p = mgz + cte dérivant de F = mg e z l énergie potentielle de type newtonienne E p = K + cte dérivant d une force centrale r F = K e r 2 r l énergie potentielle élastique E p = 1 k(l l 2 o) 2 + cte dérivant de la force de rappel F = k(l l o ) e x l énergie potentielle électrostatique E p = qv d une particule de charge q soumise à un champ électrostatique E dérivant lui-même du potentiel V ; cette particule subit la force coulombienne F = qe. Les autres forces font en général intervenir d autres types d énergie, comme c est par exemple le cas pour les frottements (énergie thermique de dissipation). Lorsque l énergie mécanique se conserve, l énergie potentielle peut, au cours du mouvement, se transformer en énergie cinétique, et inversement, mais de manière à ce que la somme de ces deux formes d énergie reste constante (cf. pendule simple). Lorsque l énergie mécanique ne se conserve pas, on n a plus de loi aussi simple, mais comme plus généralement l énergie totale de l Univers doit se conserver (premier principe de la thermodynamique), il faudra trouver, pour chaque problème, une forme d énergie (non mécanique) en laquelle l énergie mécanique puisse se transformer. Souvent il arrive que l énergie mécanique décroisse au cours du temps : dans le cas d un point soumis à des frottements, elle se transforme en chaleur. De manière générale, la décomposition du travail élémentaire dw en deux composantes, l une liée aux forces conservatives et l autres aux non-conservatives, permet de résumer l intégrale première en énergie sous la forme du théorème suivant, de m dt = P nc (46)

19 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE 19 où P nc représente la puissance des forces ne dérivant pas d une énergie potentielle. Cette égalité représente le théorème de l énergie mécanique. Remarque : intérêt de l intégrale première en énergie Plaçons nous dans un repère cartésien d un référentiel galiléen. L énergie potentielle U(x,y,z) est une donnée du problème ; à un certain instant originel t = t o, le mobile se trouve au point de coordonnées (x o,y o,z o ) et sa vitesse est v o. Si (x,y,z,ẋ,ẏ,ż) sont des coordonnées de position et de vitesse à un instant quelconque t, on écrira 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) + U(x, y, z) = 1 2 mv2 o + U(x o, y o, z o ) (47) Cette équation différentielle est du premier ordre, donc, en principe, plus facile à résoudre que les équations obtenues à partir du PFD qui, elles, sont du second ordre. La redérivation de cette relation par rapport au temps permet d obtenir une équation différentielle du second ordre. 3.3 Mouvement conservatif à un degré de liberté L équation de conservation de l énergie mécanique d un point matériel soumis uniquement à des forces qui travaillent conservatives s avère très intéressante dans la résolution des problèmes à un degré de liberté, notamment lorsque l intégration des équations différentielles est délicate. En effet, cette équation se prête bien à une discussion qualitative souvent suffisante. Comme E m = E c + E c, les seuls mouvements possibles sont ceux pour lesquels E c = E m E p 0 (48) On représente alors graphiquement E p (q) en fonction du seul degré de liberté q ; les mouvements possibles sont ceux qui réalisent E m E p. Supposons que E p (q) ait l allure représentée sur la figure. Pour q = q o, l énergie potentielle passe par une valeur minimale E o et, pour q = q o, elle passe par une valeur maximale E o. On distingue plusieurs types de mouvements : 1. E m E o : les seuls mouvements possibles sont ceux pour lesquels q > q 1 où q 1 est défini pour E m = E p. Comme le point matériel peut s éloigner indéfiniment du centre de force, cet état est dit libre.

20 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE E o < E m < E o : suivant la valeur initiale q i de q, le mouvement est tel que Q 2 q q 3. Dans le premier cas, l état est dit lié car le point matériel reste toujours dans une région déterminée de l espace. Dans le second, il est libre. 3. E m = E o ou E m = E o : il en résulte que q = q o ou q = q o. Le mouvement est stationnaire en q, et l état est ici aussi lié. On peut montrer dans ce dernier cas que le premier mouvement stationnaire est stable, alors que le second est instable : dans le premier cas, toute légère perturbation du point matériel provoque un mouvement d oscillation autour de la position d équilibre q o ; dans le second, la perturbation provoque une accentuation de l écart par rapport à q o. En effet, E p (q) = E p (q o ) + q q o 1! ( de p dq ) o + (q q o) 2 2! ( d2 E p dq ) 2 o +... = E o + K (q q o) (49) 2 en remarquant que la dérivée première s annule en q o (extrémum de position) et en posant K = ( d2 E p ) dq 2 o. L équation différentielle du mouvement est donc, en première approximation, Deux cas se présentent suivant le signe de K. 1 2 A q2 + E o K(q q o) 2 = E m (50) 1. K > 0. L équation traduit l oscillation de q autour de la valeur d équilibre q o, avec la pulsation K ω o = m En dérivant cette équation par rapport au temps, on obtient alors bien l équation différentielle du second ordre caractéristique de l oscillation d 2 Q dt 2 + ω2 oq = 0 avec Q = q q o. Ainsi, l équilibre est stable si l énergie potentielle est minimale. 2. K < 0. L équation différentielle à laquelle satisfait Q = q q o est d 2 Q dt 2 α2 Q = 0 K avec α =, ce qui est caractéristique d une augmentation de Q au cours du temps. m L équilibre est donc instable si l énergie potentielle est maximale. Illustration : point lié à un ressort (Tec et Doc p.84) Prenons pour exemple le problème d un point M glissant sans frottement sur un axe horizontal (Ox) et lié à un ressort de raideur k et de longueur au repos l o attaché au point (O,-a) où a < l o.

21 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE 21 Le poids P et l action N de la tige, orthogonaux au déplacement, ne travaillent pas et il suffit donc de prendre en compte l énergie potentielle due au ressort de longueur l = MA : Le profil correspondant est le suivant. E p (x) = 1 2 k(l l o) 2 = 1 2 k( a 2 + x 2 l o ) 2 (51) Son minimum correspond à l = l o d où x o = ± l 2 o a 2, et x = 0 correspond au maximum relatif E po = 1 2 k(a l o) 2. L observation de la figure suffit à décrire les mouvements possibles : pour E < U o, le mouvement est confiné dans l un des puits, séparés par une barrière de potentiel de hauteur U o : on observe des oscillations périodiques x 1 < x < x 2 autour de l une des positions d équilibre x o ou x o, qui sont asymétriques (x 2 x o x o x 1 ) pour E > U o, le point n est plus confiné et on observe des oscillations symétriques autour du point O : x 1 < x < x 2 avec x 1 = x 2 ; le passage en O correspond à un minimum local de la vitesse (maximum relatif de l énergie potentielle, et E c + E p = cte). On étend en fait ce type de raisonnement à tout système décrit par un paramètre q et dont l évolution temporelle q(t) est régie par une équation différentielle du premier ordre de la forme q w(q) = e e étant une constante définie par les conditions initiales et w(u) une fonction connue.

22 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE Retour à l exemple du pendule simple Reprenons les conventions de la deuxième partie, relativement à cet exemple. Ecrivons les énergies cinétique et potentielle pour ce mobile de masse m : E p = mgh = mg(l l cos θ) = mgl(1 cos θ) E c = 1 2 m(v2 y + v 2 z) = 1 2 m((dy dt )2 + ( dz dt )2 ) E c = 1 2 m([ d dt (l sin θ)]2 + [ d dt (l cos θ)]2 ) = 1 2 m(l θ) 2 Ecrivons maintenant la conservation de l énergie mécanique : soit de m dt = d(e p + E c ) dt θ + g l = mgl sin θ + ml 2 θ θ = 0 (52) sin θ = 0 (53) Dans l approximation linéaire des petits mouvements oscillatoires, nous avons θ 1 d où l on tire le développement de sin θ = θ + o(θ 3 ) et l équation différentielle devient Cette équation admet des solutions de forme générale g θ = θ o cos( l.t) θ + g l θ = 0 (54) dans les conditions initiales d écartement θ o donné et de vitesse nulle. On obtient alors les énergies cinétique et potentielle E c (t) = 1 2 ml2 θ2 = 1 2 mglθ2 o sin 2 g l t (55) E p (t) = mgl(1 cos θ) mgl(1 1 + θ2 2 ) = 1 g 2 mglθ2 o cos 2 ll t (56) Nous vérifions immédiatement que E c + E p = 1 2 mglθ2 o = cte. Traçons les deux énergies en fonction du temps.

23 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE 23 Fig. 1 En rouge, énergie cinétique ; en bleu, énergie potentielle du pendule simple au cours du temps. On constate qu il y a un échange permanent entre les deux formes d énergie, l énergie potentielle étant maximale quand l énergie cinétique est nulle, et inversement. Cependant, même en dehors du cadre de l approximation linéaire, on peut prévoir qualitativement le mouvement. En effet, traçons l énergie potentielle et l énergie mécanique : Deux cas se présentent : l énergie mécanique est en-dessous de E p,max : le mobile effectue des oscillations l énergie mécanique est au-dessus de E p,max : le mobile fait des tours complets On peut généraliser à des cas plus compliqués. Supposons par exemple que l on dispose un rail suivant le mouvement de la masse et que ce rail soit solidaire d un ressort qui impose une énergie potentielle de rappel du type C θ2. Le tracé de l énergie potentielle permet de déterminer, 2 qualitativement, la nature du mouvement sans aucun calcul mathématique. Selon les valeurs de E, la masse va passer une fois, deux fois, etc... la verticale. Nous pouvons encore établir la vitesse de libération d une fusée. Il s agit de savoir quelle vi-

24 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE 24 tesse minimale il faut communiquer à une fusée pour qu elle se libère de l attraction terrestre. L énergie potentielle associée à cette attraction s écrit E p (r) = GmM r Sur le graphique de E p, on voit que cette libération peut se faire si et seulement si E m 0. L énergie cinétique initiale minimale à donner à la fusée correspond donc à l écart entre cette valeur et l énergie potentielle initiale, soit E c,min = GmM r d où l on tire la vitesse d évasion terrestre, v m in = soit plus de km.h 1. 2GMT R T = 2 6, , = 1 2 mv2 min (57) 6, = m.s 1 (58) 3.5 Retour au problème de champ de force centrale Revenons à l étude d un point matériel M de masse m soumis à une force F = grad E p (r) où r désigna la distance de M à O, origine d un référentiel galiléen. L existence d une énergie potentielle et l isolation du système impliquent dans ce cas la conservation de l énergie mécanique E m = 1 2 mv2 + E p (r) = cte (59) soit avec les coordonnées polaires dans le plan contenant la trajectoire E m = 1 2 m[ṙ2 + r 2 θ2 ] + E p (r) (60) L expression du moment cinétique L = mr 2 θ permet de modifier l écriture précédente E m = 1 2 mṙ2 + L2 2mr 2 + E p(r) = 1 2 mṙ2 + E p,eff (r) (61) où E p,eff (r) = E p (r)+ L2 est le potentiel effectif ou efficace ramenant l expression de l énergie 2mr 2 mécanique de notre système à celle d un point matériel de masse m animé d un mouvement rectiligne et dont l énergie potentielle serait E p,eff. Mettons l expression de l énergie sous la forme ( dr dt )2 = 2 m (E m E p,eff ) (62) A partir de cette équation, dont le premier membre est positif, on peut étudier pour une loi de force donnée (soit E p donnée) et pour des conditions initiales données (E m et L donnés) le domaine de variation de r. Une étude graphique est alors très instructive. Soit la fonction E p,eff (r) suivante.

25 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE 25 Le point représentatif du mouvement se déplace sur la droite parallèle à l axe des abscisses et d ordonnée égale à l énergie mécanique totale constante (initiale donc). Pour E m et L fixés, le domaine de variation possible de r est précisé par la condition E m E p,eff 0, soit E p,eff E m. Sur la droite d énergie E m, le point représentatif ne peut se trouver que dans les intervalles situés au-dessous du graphe de E p,eff (r). Par exemple, pour E m = E 1, le domaine de variation de r est borné par r et r ; si le champ de force traduit l action d une particule centrale sur une autre particule, les deux objets restent toujours à distance finie l un de l autre et forment un système lié. Au contraire, pour E m = E 2, le domaine de r est l intervalle [r m,+ [ : le mobile vient de l infini, atteint une distance d approche minimale r m et repart à l infini. C est un processus de collision qui conduit à des états de diffusion. Remarquons aussi que pour E m = E o, où E o est le minimum de E p,eff (r), r ne peut prendre que la valeur r o : la trajectoire est alors un cercle de rayon r o. Rappelons enfin que pour une énergie potentielle E p (r) donnée, la forme de U p,eff (r) dépend du paramètre L choisi. 3.6 Application : le régulateur à boules Cet exemple présente à la fois un intérêt pratique, pédagogique et scientifique. On connaît en effet son importance dans la maîtrise du fonctionnement des machines à vapeur au XIXème siècle. On peut schématiser l appareil par un système constitué de tiges articulées, de masse négligeable, de deux masselotes identiques A et B, de même masse m et d une troisième masselote D de masse 2m. L ensemble déformable, caractérisé par l angle variable θ que font les tiges avec l axe de rotation, peut tourner symétriquement et de façon parfaite autour d un axe vertical ascendant (Oz). Un moteur, exerçant un moment d action Γ m e z lui impose une vitesse angulaire uniforme Ω. Dans le référentiel tournant R, non galiléen, la puissance P nc des forces non conservatives qu exerce le moteur est nulle puisque P nc = Γ m ω où ω = 0. On a donc, dans ce référentiel non galiléen, conservation de l énergie mécanique.

26 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE 26 Dans R, l énergie cinétique du système a pour expression c est-à-dire E c,r = 1 2 mv2 A mv2 B (2m)v2 D (63) E c,r = m(ml θ) (2m)(2l θ sin θ) 2 = 4ml 2 θ2 (1 + sin 2 θ) (64) puisque OA = OB = 2l et OD = 2l cos θ. L énergie potentielle a deux contributions, une de pesanteur, E pg = mg(y A + y B + 2y D ) + cte une d inertie centrifuge E pc = I Ω2 + cte 2 Elle se résume, en prenant pour origine totale θ = 0 et si le moment d inertie de la masse en D est nul, à E p = 8mgl cos θ + cte [2 m(2l sin θ) 2 ] Ω2 2 = 8mgl(1 cos θ) 4mΩ2 l 2 sin 2 θ (65) On peut alors aisément en déduire une expression de l énergie mécanique totale dans R, E m,r = 4ml 2 θ2 (1 + sin 2 θ) + 8mgl(1 cos θ u2 2 sin2 θ) = cte (66) où u = Ω/ω o, avec ω o = g/l. A l aide de E p (θ), il est possible d étudier les différentes positions d équilibre stable de ce système dans le référentiel tournant R : remarquons immédiatement que la fonction E p (θ) est paire ; les positions d équilibre sont définies par l équation de p dθ = 8mgl sin θ(1 u2 cos θ) = 0 (67) d où les solutions θ 1 = 0, θ 2 = π et θ 3 tel que cos θ 3 = 1/u 2. Ces positions d équilibre sont stables si la dérivée seconde est positive : K e = ( d2 E p dθ 2 ) e = 8mgl[cos θ(1 u 2 cos θ) + u 2 sin 2 θ] e 0 (68)

27 3 L ÉNERGIE MÉCANIQUE 27 On a donc K o = 8mgl(1 u 2 ) K π = 8mgl(1 + u 2 ) K θ3 = 8mglu 2 (1 1 u 4 ) Il existe par conséquent deux positions d équilibre stable, l une pour θ 1 = 0 si Ω < ω o l autre pour θ 3 = ± arccos(1/u 2 ) si Ω > ω o. Le graphe donnant E p (θ) pour Ω > ω o conforte cette analyse : on voit que si Ω ω o, alors θ 3 π/2. Si l on représente maintenant graphiquement la position d équilibre stable en fonction de Ω, on obtient le graphe suivant. Tant que Ω < ω o, la position d équilibre est θ e = 0 ; dès que Ω > ω o, la position d équilibre prend une valeur non nulle qui varie avec Ω jusqu à π/2 lorsque Ω devient très grand devant ω o. Au point B de la courbe, défini par Ω = ω o, il se produit un changement qualitatif de la position d équilibre sous l action du paramètre extérier Ω : on dit que le système subit en ce

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