Les Conditions aux limites

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1 Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles, d appliquer les conditions aux limites aux interfaces entre les différents corps. Nous allons donc nous attarder ici sur ces conditions aux limites. 5.1 Induction magnétique - b oient deux milieux de propriétés électriques différentes séparés par une interface. Construisons un petit cylindre de section a et d épaisseur l à travers cette surface Figure 5.1: Géométrie pour les conditions-limites sur b, d et j. On rappelle que b = 0 et le théorème de Gauss 16

2 V b dv = b n d = 0 (5.1) où n est un vecteur unitaire normal à l interface. i le rayon du cylindre est suffisamment petit, on peut supposer que l induction magnétique est constante sur cette surface et donc b = b 1 dans le milieu 1 et b = b 2 dans le milieu 2. L intégrand devient alors ( b 1 n 1 + b 2 n 2 ) a + (contribution des bords) l = 0 (5.2) si l tend vers zéro, i.e. on se limite à l interface, il ne reste que le premier terme, soit ( b 1 n 1 + b 2 n 2 ) a = 0, mais les deux normales sont inversées donc b1 b 2 = 0 (5.3) Ce qui implique que la composante normale de l induction magnétique est continue de part et d autre de l interface. 5.2 Déplacement diélectrique - d Reprenons le même cylindre que dans le cas précédent. L équation de Maxwell correspondante est cette fois d = ρ. En intégrant de part et d autre du cylindre, on obtient d dv = d n d = ρ dv = ρ l a (5.4) V si ρ est constant. Remplacons ρ l par une densité surfacique de charge ρ s. V ( d 1 n 1 + d 2 n 2 ) a = ρ s a (5.5) ( d 1 d 2 ) n = ρ s (5.6) Ce qui implique que la composante normale du déplacement diélectrique est discontinue à une interface à cause de l accumulation d une densité de charge surfacique ρ s. 17

3 5.3 Densité de courant - j Toujours avec ce cher cylindre. i l épaisseur du cylindre tend vers zéro, le courant traversant l interface est donné par I = j 1 n a = j 2 n a (5.7) ( j 1 j 2 ) n = 0 (5.8) donc la composante normale de la densité de courant est continue. i on s intéresse au cas plus général du courant total, i.e. conduction + déplacement soit (σ + iɛω)e, alors on a (σ 1 + iɛ 1 ω) E 1 = (σ 2 + iɛ 2 ω) E 2 (5.9) n J = ( J 1 J 2 ) n 0 (5.10) car, selon (2.7), n j + ρ/ t = 0. Notez que si on est à basse fréquence, i.e. ρ/ t 0, on retrouve simplement la relation (5.8). 5.4 Champ électrique - e Nous allons ici prendre un contour, en sens horaire, autour d un rectangle de longueur h et de hauteur l. Figure 5.2: Géométrie pour les conditions-limites sur e et h. Rappelons l équation de Maxwell 18

4 e = b (5.11) t Intégrons le champ électrique autour du contour. Nous obtiendrons, via le théorème de tokes ( e) n d = e dl (5.12) b t n d = e 1 l e 2 l + (contributions des bouts) (5.13) b t n l h = ( e 1 e 2 ) l (5.14) Comme nous nous intéressons à l interface au sens strict, on peut prendre h = 0 et donc annuler le terme du côté gauche. Il ne reste plus que C ( e 1 e 2 ) l = 0 (5.15) l étant parallèle à l interface, on en conclut que la composante tangentielle du champ électrique est continue. Ceci peut aussi être exprimé sur la forme plus pratique à appliquer. 5.5 Champ magnétique - h n ( e 1 e 2 ) = 0 (5.16) Nous reprenons le même contour et le même raisonnement que dans le cas précédent. L équation de Maxwell correspondante est h = d t + j (5.17) Intégrons le champ magnétique autour du contour. Nous obtiendrons, via le théorème de tokes ( h) n d = h dl (5.18) ( d t + j) n d = h 1 l h 2 l + (contributions des bouts) (5.19) 19 C

5 ( d t + j) n l h = ( h 1 h 2 ) l (5.20) Ce qui revient à dire n ( h 1 h 2 ) = lim ( d h 0 t + j) n h (5.21) On a donc deux termes à analyser. Il semble évident que la dérivée temporelle du déplacement ne peut être infinie, car cela nécéssiterait une variation instantanée de d. La limite tendra bien vers 0 pour ce premier terme. Qu en est-il du courant de conduction? On peut imaginer la présence d une densité surfacique de courant telle que la condition sur h tangentiel devient lim ( j h) = j s (5.22) h 0 j n ( h 1 h 2 ) = j s (5.23) Mais si σ est limité (i.e. n est pas infini) de part et d autre (ce qui est toujours le cas en géophysique) et que le champ électrique e = j/σ est aussi limité, j ne peut tendre vers l infini et donc le second terme est également nul, donc n ( h 1 h 2 ) = 0 (5.24) Ceci implique que la composante tangentielle du champ magnétique est continue dans ce cas. Pour certains problèmes, on pourra supposer que σ est infini. Alors, on peut envisager que j soit infini sans que e ne le soit. Dans ce cas, on doit utiliser (5.23). 5.6 Exemple: Filon Vertical Enfin, on commence à faire de la géophysique! Nous allons aborder un cas très simple mais il vous donnera une bonne idée des raisons pour lesquelles la prospection EM fonctionne. oit un filon vertical de conductivité électrique σ 2 dans un encaissant de conductivité σ 1. Un champ électrique orienté parallèlement à la surface est incident à l interface I. De plus ɛ 1 = ɛ 2 = ɛ et µ 1 = µ 2 = µ. 20

6 σ σ σ Figure 5.3: Problème du filon pour l application des conditions aux limites. A l interface I, on a la discontinuité dans le déplacement normal donc d 2 d 1 = ρ s (5.25) e 2 e 1 = ρ s ɛ on a aussi la continuité de la composante normale de j (5.26) j 2 j 1 = σ 2 e 2 σ 1 e 1 = 0 (5.27) Combinant ces deux premiers résultats, on obtient e 2 = σ 1e 1 σ 2 (5.28) σ 1 e 1 σ 2 e 1 = ρ s ɛ (5.29) σ 1 σ 2 e 1 = ρ s (5.30) σ 2 ɛ Deux cas sont possibles: - σ 1 < σ 2 (interface I) : alors ρ s < 0. Accumulation de charges négatives - σ 1 > σ 2 (interface II) : alors ρ s > 0. Accumulation de charges positives La quantité de charges accumulées dépendra du contraste de conductivité entre le filon et son encaissant. i l on trace le champ électrique résultant, on remarque que les discontinuités facilitent largement la mise en évidence du filon. 21

7 σ 1 < σ 2 E σ 1 σ 2 σ 1 Figure 5.4: Bas: accumulation de charges aux bords d un filon conducteur. Haut: champ électrique perpendiculaire au filon que l on mesurerait en surface. Notez comme les discontinutés permettent de bien locaiser le filon. 5.7 L effet galvanique - Un corps dans un Champ électrique Nous pouvons étendre le problème du filon à un cas plus général, par exemple à un parallélépipède dans un champ électrique. Pour une cible plus conductrice que son encaissant, nous venons de voir que des charges de signe opposé s accumulaient aux deux extrémités de la cible. On peut en déduire qu il y a un courant (= un champ) secondaire de direction opposée au champ primaire à l intérieur de la cible: c est donc un champ de dépolarisation. Il s ajoute cependant au champ primaire à l extérieur de la cible, ce qui a pour effet de faciliter la découverte de celle-ci. Le champ secondaire produit par ce courant secondaire est équivalent à celui produit par un dipôle électrostatique orienté des charges négatives vers les charges positives. i l on s intéresse à la somme entre le champ électrique primaire e p et le champ de dépolarisation e s, on remarque qu à l extérieur de la cible les lignes de champ convergent vers celle-ci, et qu à 22

8 l intérieur, l opposition des champs provoque un resserrement des lignes de champ vers le centre. Le champ électrique total semble donc canalisé par le corps conducteur. Cet effet de canalisation du courant est connu sous le nom d effet galvanique. Ce champ total peut être assimilé à celui d un dipôle électrique ce qui permet de modéliser simplement ce phénomène. 23