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1 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 1

2 Milieux diélectriques On considère pour l instant des isolants, au sein desquels on ne peut trouver de courant (macroscopique) de charges libres Le champ E peut y être non nul! Expérience de Faraday : L introduction d un isolant entre les armatures d un condensateur en modifie la capacité Dans ce chapitre, on considèrera des champs éventuellement variables dans le temps Milieux diélectriques 2

3 Une molécule peut être assimilée à grande distance à un dipôle Un milieu à structure moléculaire sera caractérisé, à grande distance, par sa densité volumique de moments dipolaires (électriques) On pose : Densité volumique de moment dipolaire ou polarisation P = d p dv m -3 C/m 2 Un milieu diélectrique est une substance qui peut acquérir un moment dipolaire électrique sous l action d un champ électrique extérieur Cm Milieux diélectriques 3

4 La polarisation peut être spontanée ou induite La polarisation spontanée (très rare) concerne les milieux : Pyro-électriques (spontanément polarisés lorsqu ils sont chauffés) Exemple : la tourmaline Ferro-électriques (une polarisation persiste après qu ils aient été soumis pendant un temps à un champ électrique extérieur) Exemple : le titanate de baryum (BaTiO 3 ) La polarisation induite concerne a priori tous les matériaux Milieux diélectriques 4

5 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 1. Moments dipolaires des atomes et des molécules 2. Polarisation électronique 3. Polarisation ionique 4. Polarisation dipolaire 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 5

6 Cas d un atome Un atome isolé dans son état fondamental aura un moment dipolaire nul puisque les barycentres moyens G + et G - seront superposés (principe de Curie) Un champ E appliqué va décaler G + et induire un moment dipolaire (électrique) Ceci reste valable tant que E < seuil d ionisation Concerne par exemple He, Ne, Ar, Kr (gaz nobles) Milieux diélectriques 6

7 Cas d une molécule Il existe deux types de molécules, en fonction des positions relatives des barycentres G + et G - : Les molécules apolaires possèdent un centre de symétrie Mol. diatomiques constituées du même atome (H 2, N 2, O 2 ) Mol. linéaires (CO 2 ) Mol. à symétrie tétragonale ou benzémique (CH 4, C 6 H 6 ) Les molécules polaires ne possèdent pas de centre de symétrie Molécules diatomiques constituées de 2 atomes différents (HCl) ou molécules non linéaires (H 2 O) Molécules plus complexes Milieux diélectriques 7

8 Dipôles permanent et induits Les molécules polaires possèdent un moment permanent Les molécules apolaires sont polarisables par un champ E externe : elles se polarisent mutuellement sous l action du moment dipolaire électrique instantané de l autre molécule Pour une molécule apolaire, il peut exister les 2 types de moments Entre dipôles permanents : force de Keesom Entre dipôles permanents et induits : force de Debye Entre dipôles induits : force de London Milieux diélectriques 8

9 Ordre de grandeur Les distances inter-moléculaires sont 0,1 nm, les moments dipolaires sont en ordre de grandeur : p e d 1, , Cm On exprime souvent les moments dipolaires en Debye 1D = unité CGS de moment dipolaire (10-3 /c) 1 D 0, Cm Cm Les moments dipolaires sont alors voisins de l unité : 1,08 pour HCl ; 1,85 pour H 2 O et 1,5 pour NH 3 Milieux diélectriques 9

10 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 1. Moments dipolaires des atomes et des molécules 2. Polarisation électronique 3. Polarisation ionique 4. Polarisation dipolaire 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 10

11 Elle concerne tous les milieux et résulte du déplacement des nuages électroniques autour des atomes sous l action d un champ E l. On observe expérimentalement que : Pour une molécule apolaire p = α ε 0 E α : polarisabilité de la molécule Pour une molécule polaire G +- : barycentre des charges + et - δ p = α ε 0 E Milieux diélectriques 11

12 Sous l action d un champ E l, un milieu va acquérir une polarisation supplémentaire P donnée par : P = n p = n α ε 0 E En chimie, on utilise souvent les unités CGS. On a alors : α Physique = 4 π α chimie Milieux diélectriques 12

13 Modèle de Mossotti (1/2) On assimile un atome à un noyau (charge Ze) et à une distribution de charge électronique uniforme ρ de rayon a. L application d un champ E a extérieur déplace le nuage électronique wrt au noyau Neutralité électronique : Z e π a3 ρ = 0 r On note r le déplacement du noyau wrt au centre du nuage Nuage Noyau Forces s exerçant sur le noyau : Force électrique : Z e E a Force exercée par le nuage : Gauss : le champ E créé par ρ à la distance r s écrit : Z e E 4 π r 2 E = 1 4 ε 0 3 π r3 ρ E = ρ r = Z e 3ε 0 4 π ε 0 Milieux diélectriques 13 r a 3

14 Modèle de Mossotti (2/2) L équilibre du noyau s écrit : ( ) 2 Z e E a Z e 4 π ε 0 r a 3 = 0 r = 4 π ε 0 a3 Z e E a Il apparaît un moment dipolaire induit : La polarisabilité devient : p = Z e r p = α ε 0 E a α = 4 π a 3 La polarisabilité a la dimension d un volume! En mécanique quantique, on obtient : α MQ =18 π a 3 Pour H 2 dans son état fondamental, a = 52.9 pm α Exp = m 3 α Mossotti = m 3 α MQ = m 3 Milieux diélectriques 14

15 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 1. Moments dipolaires des atomes et des molécules 2. Polarisation électronique 3. Polarisation ionique 4. Polarisation dipolaire 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 15

16 Si une distribution de charges (globalement neutre) est soumise à un champ E, les charges + et se séparent légèrement d où apparition d un moment dipolaire : Au niveau moléculaire (déformation du nuage électronique) Polarisation électronique Au niveau du réseau cristallin (déformation des mailles) Polarisation ionique Pour un cristal cubique tel que NaCl, on observe : P = n p = n α ε 0 E S ajoute à la polarisation électronique qui apparaît pour un champ plus faible On appelle parfois polarisation par déformation les polarisations électronique et ionique Milieux diélectriques 16

17 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 1. Moments dipolaires des atomes et des molécules 2. Polarisation électronique 3. Polarisation ionique 4. Polarisation dipolaire 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 17

18 Concerne les molécules qui possèdent un moment dipolaire électrique permanent (H 2 O, HCl). Les dipôles se répartissent avec une orientation aléatoire Les dipôles tendent à minimiser leur énergie potentielle E p = p. E moyenne nulle car n très élevé P = 1 V p = 0 orientation préférentielle dans le 0 P sens du champ n p n : densité moléculaire volumique Milieux diélectriques 18

19 Lien avec la Physique Statistique Langevin a montré par la physique statistique que P(x) = n p L(x) avec L(x) = coth(x) 1 x et x = p E k B T L(x) : fonction de Langevin Si x << 1 (T 300 K) : P // E p 2 P = n α ε 0 E α = 3ε 0 k B T Forte variation avec T Si x >> 1 : P n p Les dipôles sont tous alignés sur le champ : saturation de la polarisation Milieux diélectriques 19

20 Egalement appelée polarisation par orientation On retiendra que la polarisation dipolaire varie fortement avec la température : p 2 α or = 3ε 0 k B T Ce n est pas le cas de la polarisation par déformation : La polarisation électronique ne dépend que de la nature de la molécule La polarisation ionique ne dépend que de la structure du cristal Milieux diélectriques 20

21 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 1. Approche intuitive des charges de polarisation 2. Densités de charges équivalentes 3. Vecteur D 4. Relations constitutives 5. Milieu lhi plongé dans un champ constant 6. Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant 7. Séparation de deux milieux lhi 8. Force électromagnétique s exerçant sur un milieu diélectrique 9. Complément sur les densités de charges équivalentes 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 21

22 Dans l expérience de Faraday, la capacité C = Q/Φ augmente à charge constante : Le champ E doit donc diminuer : des charges opposées aux charges des armatures doivent apparaître. D où viennent-elles? Milieux diélectriques 22

23 Plaque uniformément polarisée On remplace (par la pensée) la plaque par un empilement de dipôles: La charge volumique sera nulle La charge surfacique sera non nulle On appelle charges de polarisation les excédents locaux de charges engendrés par la polarisation Milieux diélectriques 23

24 z Exemple d une polarisation dépendant de la position En remplaçant la polarisation par un empilement de dipôles, on observe cette fois que les densités volumiques et surfaciques sont non nulles Il apparaît un excédent de charges de polarisation dans le volume, lié à P/ z Milieux diélectriques 24

25 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 1. Approche intuitive des charges de polarisation 2. Densités de charges équivalentes 3. Vecteur D 4. Relations constitutives 5. Milieu lhi plongé dans un champ constant 6. Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant 7. Séparation de deux milieux lhi 8. Force électromagnétique s exerçant sur un milieu diélectrique 9. Complément sur les densités de charges équivalentes 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 25

26 On appelle (V) le volume du diélectrique (initialement neutre) et (S) la surface qui l entoure. Le potentiel scalaire correspondant au diélectrique s écrit : On a : P Q. = QM Φ(M ) = Q P QM 1 4 π ε 0 ( ) Diélectrique + P. 1 Q QM P.QM QM 3 = Q P QM ( ) d3 Q + P. QM QM 3 D où : Φ(M ) = 1 P Q. 4 π ε Diélectrique 0 QM Q. QM P ( ) d3 Q Milieux diélectriques 26

27 Φ(M ) = 1 P Q. 4 π ε Diélectrique 0 QM Q. QM P ( ) d3 Q Théorème de la divergence Φ(M ) = 1 4 π ε 0 P. (S) n ds QM 1 4 π ε 0 Diélectrique Q.( P ) QM d3 Q Le potentiel Φ créé par la distribution de dipôles qui constitue le diélectrique est donc égal au potentiel créé par une distribution surfacique σ P et une distribution volumique ρ P telles que : σ P = P. n et ρ P =. P Savoir refaire ce calcul Milieux diélectriques 27

28 Φ(M ) = 1 4 π ε 0 P. (S) n ds QM 1 4 π ε 0 Diélectrique Q.( P ) QM d3 Q σ P = P. n et ρ P =. P Tout se passe comme si on pouvait remplacer le diélectrique et sa polarisation par les distributions de charges σ P et ρ P appelées charges de polarisation D un point de vue macroscopique, la polarisation P du diélectrique est équivalente pour Φ (ou E) à une distribution macroscopique de charges de polarisation Milieux diélectriques 28

29 Ces charges ne sont pas des charges «comme les autres». Ce ne sont pas des charges libres. On les appelle charges liées La signification physique du terme charge liée apparaîtra dans l étude des régimes variables Attention à bien distinguer σ P et ρ P des densités de charges libres σ et ρ si le milieu contient les deux types de charge Pour un régime statique, les charges de polarisation sont fictives du point de vue macroscopique. Les deux descriptions (en polarisation ou en charges) sont équivalentes Milieux diélectriques 29

30 La charge totale portée par le diélectrique est : Q = ρ P dv + σ P ds = Q = Q = 0 (V ) P. n ds + (S) (S) P. n (S) ds (V ). P dv + P. n (S) ds d ʹ après le théorème de la divergence On retrouve que le diélectrique est globalement neutre (car constitués de dipôles) Milieux diélectriques 30

31 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 1. Approche intuitive des charges de polarisation 2. Densités de charges équivalentes 3. Vecteur D 4. Relations constitutives 5. Milieu lhi plongé dans un champ constant 6. Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant 7. Séparation de deux milieux lhi 8. Force électromagnétique s exerçant sur un milieu diélectrique 9. Complément sur les densités de charges équivalentes 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 31

32 Dans un diélectrique de polarisation P, (MG) s écrit : On introduit donc naturellement le vecteur D tel que : D est un vecteur axial. ε 0 E ( ) = ρ libre. La définition de D est étendue au vide pour lequel Le théorème de Gauss s écrit Sous sa forme locale : Sous sa forme intégrale : ( P ). ε 0 E + P D = ε 0 E. D = ρ libre D. ds (S) ( ) = ρ libre = Q libre. E = ρ libre + ρ P ε 0 D = ε 0 E + P C/m 2 Déplacement électrique - Induction électrique - Excitation électrique - Densité de flux électrique - Vecteur D Milieux diélectriques 32

33 Quand utilise-t-on D ou E? Dans le cas général :. D = ρ libre. E = ρ libre + ρ P ε 0 D. ds (S) = Q libre (S) E. ds = ρ tot ε 0 = Q tot ε 0 Les calculs avec E (et donc Φ) utilisent les densités totales. Les calculs avec D utilisent uniquement les densités de charges libres Il est possible d utiliser E ou D indifféremment En particulier, si «P est uniforme», alors ρ P =. P 0 Milieux diélectriques 33

34 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 1. Approche intuitive des charges de polarisation 2. Densités de charges équivalentes 3. Vecteur D 4. Relations constitutives 5. Milieu lhi plongé dans un champ constant 6. Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant 7. Séparation de deux milieux lhi 8. Force électromagnétique s exerçant sur un milieu diélectrique 9. Complément sur les densités de charges équivalentes 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 34

35 Milieu linéaire si les composantes de sa polarisation sont des fonctions linéaires des composantes du champ électrique : P = ε 0 [ χ e ] E Valable pour E «pas trop fort». La limite dépend de chaque corps [χ e ] est le tenseur de susceptibilité diélectrique (matrice 3x3 sur une base orthonormée). Il existe une base principale sur laquelle : χ [ χ e ] = 0 χ χ 3 Les éléments diagonaux χ i sont les susceptibilités diélectriques principales Milieux diélectriques 35

36 Milieu homogène si [χ e ] est indépendante du point de l espace considéré Milieu isotrope si aucune direction n est privilégiée. Cela signifie en particulier que P n a aucune raison d être dans une autre direction que E : P = ε 0 χ e (M, E ) E χ e : susceptibilité électrique χ e est un nombre réel positif sans dimension La susceptibilité électrique χ e est parfois appelée simplement susceptibilité (et notée χ) lorsqu il n existe pas de risque de confusion Milieux diélectriques 36

37 Milieu linéaire, homogène et isotrope (ou lhi) si les valeurs propres de [χ e ] sont égales (isotropie) et indépendantes de l espace (homogénéité) et du champ (linéarité) : P = ε 0 χ E Quelques valeurs : Matériau Phase χ e Air Gaz H 2 Gaz O 2 Gaz H 2 O Liquide polaire 80 Benzène Liquide non polaire 2.8 NaCl Solide cristallin 5.8 BaTiO 3 Solide cristallin 1760 à 120 C Milieux diélectriques 37

38 Déplacement électrique pour un lhi Dans un lhi : P = ε 0 χ E D = ε 0 E + P = ε 0 (1+ χ) E = ε 0 ε r E = ε E Permittivité relative Permittivité absolue Le théorème de Gauss s écrit alors :. D = ρ libre. E = ρ libre = ρ libre ε 0 ε r ε D. ds (S) = Q libre (S) E. ds = Q libre = Q libre ε 0 ε r ε Milieux diélectriques 38

39 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 1. Approche intuitive des charges de polarisation 2. Densités de charges équivalentes 3. Vecteur D 4. Relations constitutives 5. Milieu lhi plongé dans un champ constant 6. Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant 7. Séparation de deux milieux lhi 8. Force électromagnétique s exerçant sur un milieu diélectrique 9. Complément sur les densités de charges équivalentes 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 39

40 Le champ E 0 d un système de conducteurs dans le vide vérifie : E 0 = (MF) 0 (MG). E 0 = ρ libre ε 0 Par la pensée, on peut remplacer le vide par un lhi. Le champ E vérifie alors : E = 0 (MF) (MG).( ε 0 ε r E ) = ρ libre Soit encore : (MF) ε r E ( ) = 0 (MG). ε r E ( ) = ρ libre ε 0 On en déduit que E vérifie : E = E 0 < ε r E 0 Le champ dans le diélectrique lhi est toujours plus faible que dans le vide!! Milieux diélectriques 40

41 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 1. Approche intuitive des charges de polarisation 2. Densités de charges équivalentes 3. Vecteur D 4. Relations constitutives 5. Milieu lhi plongé dans un champ constant 6. Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant 7. Séparation de deux milieux lhi 8. Force électromagnétique s exerçant sur un milieu diélectrique 9. Complément sur les densités de charges équivalentes 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 41

42 Plaque lhi plongée dans un condensateur Les charges libres des armatures créent le champ E 0 = σ libre ε 0 u z E 0 induit dans le diélectrique une polarisation P de même sens Il apparaît sur les faces du diélectrique des densités de charges de polarisation σ = P. n = ± P Ces charges créent un autre champ dans le diélectrique E P = σ P P u z = ε 0 ε 0 Milieux diélectriques 42

43 E P = P ε 0 E P est de sens opposé à E 0 Le champ total dans la plaque vaut : E = E 0 + E P = E 0 P ε 0 Généralisation : le champ E P créé par la polarisation est toujours de sens opposé à E 0 (loi de modération). On l appelle champ dépolarisant (même s il n est associé à aucun mécanisme de dépolarisation) Milieux diélectriques 43

44 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 1. Approche intuitive des charges de polarisation 2. Densités de charges équivalentes 3. Vecteur D 4. Relations constitutives 5. Milieu lhi plongé dans un champ constant 6. Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant 7. Séparation de deux milieux lhi 8. Force électromagnétique s exerçant sur un milieu diélectrique 9. Complément sur les densités de charges équivalentes 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 44

45 Equations de Maxwell Pour une polarisation statique :. D = ρ libre B = µ 0 J E = 0. B = 0 (MG) (MA) (MF) (MΦ) On en déduit : (MF) : continuité de E T (MΦ) : continuité de B N (MA) : discontinuité de B T (MG) : discontinuité de D N E T2 = E T1 B T2 B T1 = µ 0 K n 1 2 B N2 = B N1 Seule modification par rapport au vide Milieux diélectriques 45

46 Discontinuité de D N σ libre : densité de charge libres sur la surface de séparation dans un modèle surfacique. On a : σ P1 = P 1. n 1 2 et σ P2 = P 2. n 1 2 La condition de passage pour la composante normale de E s écrit : E 2 ( E 1 ). n 1 2 = σ tot ε 0 = σ libre +σ P1 +σ P2 ε 0 Ou encore pour D N : ε 0 E 2 + P 2 ( ). n 1 2 ε 0 E 1 + P ( 1 ). ( D 1 ). n 1 2 = σ libre D 2 D N2 D N1 = σ libre n 1 2 n 1 2 = σ libre Milieux diélectriques 46

47 Réfraction des lignes de champ pour 2 lhi E T2 = E T1 D N2 D N1 = σ libre n 1 2 Si σ libre = 0, on en déduit : E 1 sin(α 1 ) = E 2 sin(α 2 ) ε 1 E 1 cos(α 1 ) = ε 2 E 2 cos(α 2 ) D où : tan(α 1 ) ε 1 = tan(α 2 ) ε 2 tan(α 1 ) ε r1 = tan(α 2 ) ε r2 Cette relation caractérise la réfraction des lignes de champ à la traversée de la surface (S) En passant dans un milieu de ε plus élevé, le champ E s écarte de la normale Milieux diélectriques 47

48 Exemple de la sphère uniformément polarisée E i = P 3ε 0 Les champs internes E i et externe E e créés par une polarisation P selon u z sont (cf TD) : et E e = P R 3 3ε 0 r 3 [ ] 2 cos(θ) u r +sin(θ) u θ A l extérieur, on retrouve le champ d un dipôle de moment placé au centre de la sphère Le signe «-» est très général et caractérise le champ dépolarisant p = 4 3 π R3 P P, E et D créés par la sphère (différents des champs totaux) Milieux diélectriques 48

49 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 1. Approche intuitive des charges de polarisation 2. Densités de charges équivalentes 3. Vecteur D 4. Relations constitutives 5. Milieu lhi plongé dans un champ constant 6. Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant 7. Séparation de deux milieux lhi 8. Force électromagnétique s exerçant sur un milieu diélectrique 9. Complément sur les densités de charges équivalentes 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 49

50 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 1. Approche intuitive des charges de polarisation 2. Densités de charges équivalentes 3. Vecteur D 4. Relations constitutives 5. Milieu lhi plongé dans un champ constant 6. Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant 7. Séparation de deux milieux lhi 8. Force électromagnétique s exerçant sur un milieu diélectrique 9. Complément sur les densités de charges équivalentes 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 50

51 Pour passer des densités vraies aux densités nivelées, on utilise une fonction de nivellement continue, centrée sur la charge en r i et à symétrie sphérique, vérifiant : f ( r ) dv =1 Espace Une charge ponctuelle q i en r i est remplacée par la fonction continue ρ i : ρ i = q i f ( r r i ) La densité nivelée s écrit : ρ = q i f ( r r i i ) La forme de la fonction f fait que dans la pratique, seules les charges proches de r sont prises en compte Milieux diélectriques 51

52 On extrapole ceci aux charges liées : On coupe le diél. en groupe de particules de charge totale nulle On note r N la position du centre de masse du groupe N et r Nk les positions relatives par rapport au centre de masse des k charges qui composent le groupe N Comme la charge q k est située en r N + r Nk, la densité nivelée devient : ρ( r ) = N k q Nk f ( r r N r Nk ) De la même manière, on peut écrire la polarisation P à partir des moments p N : P ( r ) = p N f ( r r N ) avec p N = q Nk r Nk N k Milieux diélectriques 52

53 ρ( r ) = N k q Nk f ( r r N r Nk ) Par définition, f varie peu à l échelle des variations de ρ, d où : f ( r r N r Nk ) f ( r r N ) r Nk. f ( r r N ) [ ] On en déduit ρ : ρ( r ) q Nk N k f ( r r N ) N k q Nk r Nk. f ( r r N ) [ ] = 0 car la charge totale de chaque groupe est nulle Moment dipolaire du groupe N p N = k q Nk r Nk Finalement : ρ( r ) p N N [ ]. f ( r r N ) Milieux diélectriques 53

54 On peut écrire : P ( r ) = p N f ( r r N ).( f p N ) = f.( p N )+ p N. ( f ) Puisque seul f dépend de r, on a :. P = p N f ( r r N ) N N ( ) En comparant avec l expression de ρ du transparent précédent, il reste : ρ( r ). P Cette expression ne conserve que le caractère dipolaire de la distribution. Les autres termes ne sont pas pris en compte Milieux diélectriques 54

55 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 1. Champ local E l 2. Formule de Clausius-Mossotti 3. Variations de la susceptibilité 4. Cas particuliers 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 55

56 Champs microscopiques et macroscopiques Le champ microscopique e est le champ dans le vide entre les particules du milieu. Il a une structure très «tourmentée» Dans un solide cristallin, il varie considérablement sur des distances de l ordre de la maille (quelques Å) Le champ macroscopique E est la moyenne spatiale de e au voisinage du point M E = 1 V V e dv V : volume mésoscopique E varie plus lentement que e. C est E qui est utilisé dans les équations de Maxwell On ne peut plus raisonner ainsi avec la polarisabilité Milieux diélectriques 56

57 On soumet un diélectrique à un champ E 0 constant créé par un condensateur Le champ macroscopique E dans le diélectrique est : E = E 0 + E P avec E P = P ε 0 E P : champ dépolarisant dû aux charges de polarisation portées par le diélectrique On considère une molécule M du diélectrique. Le champ qui agit sur M n est pas E qui est la moyenne spatiale du champ au voisinage de M. Le champ à considérer est le champ créé en M par toutes les molécules autres que M Ce champ local E l est le champ ressenti par la molécule C est lui qui intervient dans le moment dipolaire Milieux diélectriques 57

58 Pour les molécules apolaires, on utilise pour E l une expression due à Lorentz (1920) On suppose que la présence ou non de l élément polarisable ne modifie pas le champ autour de M On obtient alors : E l = E P E est le champ + 3ε 0 macroscopique Cette expression n est qu une approximation pour les milieux denses (liquides et solides) et est complètement fausse pour les cristaux non cubiques Pour les molécules polaires, on utilise pour E l une expression plus complexe due à Onsager (1936) Milieux diélectriques 58

59 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 1. Champ local E l 2. Formule de Clausius-Mossotti 3. Variations de la susceptibilité 4. Cas particuliers 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 59

60 Clausius-Mossotti (1/2) On a (en supposant la forme de Lorentz du champ local) : P P = n α ε 0 E l = n α ε 0 E + n α P = 3ε 0 1 n α /3 ε 0 E Polarisabilité Soit pour un milieu lhi : χ e = n α 1 n α /3 Savoir refaire ce calcul µ : masse volumique M : masse molaire N 0 : nombre d Avogadro ε r =1+ χ e µ = n M N 0 M ε r 1 = N 0 α µ ε r Formule de Clausius-Mossotti Milieux diélectriques 60

61 M ε r 1 = N 0 α µ ε r Clausius-Mossotti (2/2) L énorme intérêt de ce modèle est de permettre une mesure de α (paramètre microscopique) à l aide de paramètres macroscopiques Pour un milieu peu dense (χ e << 1) : χ n α M µ ε r 1 ( ) N 0 α Milieux diélectriques 61

62 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 1. Champ local E l 2. Formule de Clausius-Mossotti 3. Variations de la susceptibilité 4. Cas particuliers 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 62

63 Variation de la polarisabilité avec la température Pour un milieu peu dense : χ n α Milieux apolaires : Uniquement polarisation électronique et ionique qui ne dépendent pas de la température α ne doit pas dépendre de T Milieux polaires : La polarisation dipolaire dépend de la température : α = α elec +α ion +α dipolaire = α 0 + p 0 2 3ε 0 k B T Polarisations électronique et ionique Milieux diélectriques 63

64 α = α elec +α ion +α dipolaire = α 0 + HCl p 0 2 3ε 0 k B T HI CH 4 La pente de ses courbes fournit le moment dipolaire L ordonnée à l origine fournit la polarisabilité α 0 On en déduit que : HCl a un plus grand moment dipolaire que HI HI a une plus grande polarisabilité électronique que HCl (HI est plus grosse) CH 4 est apolaire (logique puisque possède un centre de symétrie) Milieux diélectriques 64

65 Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 1. Champ local E l 2. Formule de Clausius-Mossotti 3. Variations de la susceptibilité 4. Cas particuliers 4. Polarisation en régime variable 5. Aspects énergétiques des milieux diélectriques Milieux diélectriques 65

66 χ e = n α 1 n α /3 «Catastrophe de polarisation» ou ferroélectricité (1/2) χ e va diverger pour n α/3 = 1 Exemple du titanate de Baryum BaTiO 3 A 400 C, diélectrique «ordinaire» (χ e 500) Si T, n et χ e plusieurs milliers Lorsque T atteint sa température de Curie (120 C), apparition d un état ferroélectrique, caractérisé par l apparition d une polarisation spontanée en l absence de champ appliqué (χ e = ) P est alors due à l existence pour les ions Ti 4+ et Ba 2+ de nouvelles positions d équilibre décalées wrt aux nœuds du réseau initial Milieux diélectriques 66

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