Rupture et plasticité

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1 Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

2 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements non linéaires des matériaux solides Amphi 1 Rupture fragile Singularités de contrainte et ténacité des matériaux Amphi 2 Analyse énergétique de la propagation d une fissure I Amphi 3 Analyse énergétique de la propagation d une fissure II. Fissuration par fatigue Amphi 4 Plasticité Comportement élasto-plastique Amphi 5 Dissipation plastique Amphi 6 Structures élasto-plastiques standards Amphi 7 Charges limites Amphi 8 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

3 Charges limites 1. Position du problème 2. Chargements potentiellement supportables : approche statique 3. Chargements potentiellement supportables : approche cinématique 4. Chargements supportables ou potentiellement supportables? 5. Exemples d analyse limite par les deux approches Stabilité des pentes Fondation Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

4 Position du problème Plan 1. Position du problème 2. Chargements potentiellement supportables : approche statique 3. Chargements potentiellement supportables : approche cinématique 4. Chargements supportables ou potentiellement supportables? 5. Exemples d analyse limite par les deux approches Stabilité des pentes Fondation Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

5 Position du problème Charges limites Les contraintes que peut supporter une structure sont physiquement limitées... Matériaux élastiques fragiles sup σ(n) σ 0. n =1 Matériaux ductiles σ eq σ 0. Plus généralement : σ G domaine de résistance. Objectif : dimensionner une structure à partir de la seule connaissance de son domaine de résistance. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

6 Position du problème Position du problème Domaine de résistance σ σ 0 σ 0 σ σ 0 σ ε Une même condition d admissibilité : σ σ 0., mais 3 comportements 1D différents ε ε Plus généralement : Contraintes non physiques. 0 σ G Contraintes physiquement admissibles G Le domaine de résistance G délimite les états de contraintes physiquement admissibles. G est convexe. σ = 0 est point intérieur de G. Rien n est dit sur le comportement du matériau lorsque σ est à l intérieur de G ou sur le bord de G. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

7 Position du problème Problème de structure T_ d HPP : ε = 1 2( ξ + T ξ ), Quasi-statique : div σ + F = 0, F_ C.L. : T = σ.n = T d sur S T, ξ = ξ d sur S ξ. Ω d ξ_ Résistance limitée : σ(x) G(x), x Ω Estimation des chargements supportables (ou non) par la structure? Commentaires : Information sur le comportement très incomplète. Pas (ou peu) d espoir de caractériser les chargements supportables. Objectif : caractériser les chargements non supportables par la structure. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

8 Position du problème Exemple : torsion z=h e_ z α z h α Paramètres généralisés de chargement : P e = T.ξ ds = Q q, z=h Q = M = 2π R 0 σ θz r 2 dr, z=0 M : couple de torsion, q = α (angle de torsion). Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

9 Position du problème Exemple : torsion Torsion d un arbre : borne supérieure pour le couple admissible R ( ) M 2π sup σ θz r 2 dr = 2πR3 sup σ θz. σ G 3 σ G Résistance régie par le critère de von Mises : G = {σ : σ eq σ 0 }, σ 2 eq = ( s 2 rr + sθθ 2 + szz 2 + 2σrθ 2 + 2σrz 2 + 2σθz 2 ) σ 2 0, sup σ θz = σ 0 = M M u = 2πR3 σ 0 σ G Résistance régie par la contrainte normale maximale σ(n) σ 0 En supposant (équilibre) σ = τ (e θ e z + e z e θ ) n, sup n =1 σ(n) = τ = M M u = 2πR3 σ 0. 3 Informations utilisées : Equilibre + résistance limitée Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

10 Position du problème Commentaires Existe-t-il un champ de contrainte σ(x, t) vérifiant les équations en contrainte du problème? NON si M > M u, Le champ de contrainte solution du problème élastoplastique montre (critère de von Mises) que la réponse est OUI si M < M u. Existe-t-il un champ de déplacement ξ(x, t) associé? : impossible de répondre sans préciser la loi de comportement complète : - Matériau parfaitement plastique : Oui. - Matériau élastique fragile : Non en général. Il peut y avoir rupture dès que le critère est atteint sur le bord. Informations incomplètes = réponse incomplète. On ne peut donner que des conditions nécessaires pour l existence d une solution. = Notion de chargement potentiellement supportable. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

11 Chargements potentiellement supportables : approche statique Plan 1. Position du problème 2. Chargements potentiellement supportables : approche statique 3. Chargements potentiellement supportables : approche cinématique 4. Chargements supportables ou potentiellement supportables? 5. Exemples d analyse limite par les deux approches Stabilité des pentes Fondation Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

12 Chargements potentiellement supportables : approche statique Approche statique (Equilibre + résistance limitée) Cadre de travail : paramètres généralisés de chargement Q. Condition nécessaire pour que le chargement soit supportable : il doit exister un champ de contrainte σ statiquement admissible { : } σ S(Q) = σ, div σ + F = 0 dans Ω, σ.n = T d sur S T.. physiquement admissible : σ P = { σ, tel que σ (x) G(x) x Ω. }. Condition nécessaire : Q K = { X tels que : S(X ) P }. Un chargement dans K est dit potentiellement supportable. Un chargement en dehors de K n est pas supportable. Un chargement sur le bord de K est chargement limite. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

13 Chargements potentiellement supportables : approche statique Propriétés de K K = { X tels que : S(X ) P }. K contient 0 : σ = 0 S(0), 0 P. K est convexe : Q 1, Q 2 K, Q t = tq 1 + (1 t)q 2, alors Q t K 0 t 1. Chargement à un paramètre : K = [ Q u, +Q u +]. Q u ± : charges limites. Tout champ de contrainte σ statiquement et physiquement admissible donne une estimation par défaut de Q u : Q(σ) Q u + (σ K). Objectif de l approche statique : construire des champs de contrainte statiquement et physiquement admissibles donnant la borne inférieure la plus grande. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

14 Chargements potentiellement supportables : approche statique Preuve de la convexité de K Définition de K = σ 1 S(Q 1 ) P, σ 2 S(Q 2 ) P. On pose σ t = tσ 1 + (1 t)σ 2. (a) Par linéarité de l application σ Q(σ) et des équations d équilibre : Q(tσ 1 + (1 t)σ 2 ) = tq 1 + (1 t)q 2 = σ t S(Q t ). (b) Par convexité de G : σ 1 (x) G, σ 2 (x) G = tσ 1 (x) + (1 t)σ 2 (x) G, σ t P. (c) Conclusion σ t S(Q t ) P = Q t K. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

15 Chargements potentiellement supportables : approche statique Mise en oeuvre de l approche statique (dite aussi «par l intérieur») Choisir un champ de contrainte, ou (mieux) une famille de champs de contrainte. Leur imposer d être statiquement admissibles. Appliquer le critère d admissibilité physique. On obtient une estimation par défaut de la charge limite. Optimiser le champ de contrainte pour maximiser la borne inférieure sur le chargement potentiellement supportable. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

16 Chargements potentiellement supportables : approche statique Exemple : plaque trouée, matériau de von Mises Données du problème : - Force Q selon Oy. - Trou libre de contrainte. - Déformations planes. - von Mises : σ eq σ 0. Famille de champ de contrainte : - σ = 0 dans la bande centrale (satisfait σ.n = 0 au bord du trou). - σ uniforme dans les bandes latérales (satisfait div σ = 0) - Continuité du vecteur contrainte σ.e x entre bandes : σ xx = σ xy = σ xz = 0. Choix 1 : σ = σ yy e y e y, équilibre : σ yy = Q/(L a), résistance : σ eq = σ yy, Q max = σ 0 (L a), L a y Q = σ 0 (L a) Q u. x Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

17 Chargements potentiellement supportables : approche statique Exemple : plaque trouée, matériau de von Mises Choix 2 (famille à 2 paramètres) : L a y Q x σ = = σ = 0 = = σyy σ zz σ = σ yy e y e y + σ zz e z e z, équilibre : σ yy = Q L a, résistance : σeq 2 = (σyy 2 σ yy σ zz + σzz) 2 = ( 1 2 σ yy σ zz ) σ2 yy σ 2 0, Maximiser Q (ou σ yy ) admissible : choisir σ zz = 1 2 σ yy, = σ max yy = 2 3 σ 0 = Q max = 2 3 σ 0 (L a), = 2 3 σ 0 (L a) Q u. Améliore la borne inf précédente σ 0 (L a) par un facteur 2/ 3. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

18 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Plan 1. Position du problème 2. Chargements potentiellement supportables : approche statique 3. Chargements potentiellement supportables : approche cinématique 4. Chargements supportables ou potentiellement supportables? 5. Exemples d analyse limite par les deux approches Stabilité des pentes Fondation Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

19 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Approche cinématique (dite aussi «par l extérieur») Soit Q K. Par définition de K : σ S(Q) P. Soit v un champ cinématiquement admissible quelconque : PPV = Q. q(v) = σ :d(v) dω, (d(v) = ε(v)). Ω Or : σ :d(v) π(x, d(v)), avec π(x, d) déf = sup σ :d, σ G(x) P e (Q, v) = Q. q(v) P rm (v) avec P rm (v) déf = π(x, d(v)) dω. Ω P rm est la puissance résistante maximale. Interprétation : La puissance fournie par l extérieur ne peut excéder celle que la structure est physiquement capable d accommoder. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

20 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Approche cinématique 0 _Q Q. q(v) P rm (v). Q E(v) = { Q tels que P e (Q, v) P rm (v) } E(v) = demi-espace. (v) _ P (v) rm _. _q (v) _ En considérant tous les champs de vitesses v cinématiquement admissibles : K K c = v E(v). K K c est défini de façon purement cinématique. On montre (théorie de la dualité) que K c = K. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

21 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Approche cinématique Tout champ de vitesse donne une information (par excès) sur les chargements Q potentiellement supportables Q. q(v) P rm (v). Cette information peut être optimisée : soit une famille de champs de vitesse v tels que : q(v) = q 0, alors Q. q 0 inf q(v)= q 0 P rm(v). Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

22 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Choix des champs de vitesse Champ de vitesse : d constant par sous domaine. v continu. Massif déformable S Poinçon rigide. ξ_= V e _ z Champs de vitesse virtuelle discontinus? Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

23 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Champs de vitesse discontinus Modifications à apporter à l approche cinématique pour tenir compte des discontinuités de vitesse virtuelle : Champ de vitesse v régulier sur Ω 1 et Ω 2, discontinu sur S : σ :d(v) dω = div σ.v dω + (σ.n).v da Ω 1 Ω 1 eω 1 + (σ.n (1) ).v (1) da, Ω 2 S S n_ (1) n_ (2) σ :d(v) dω = div σ.v dω + (σ.n).v da Ω 2 Ω 2 eω 2 Ω 1 + (σ.n (2) ).v (2) da S (1) + (2) avec : σ.n (1) = σ.n (2) = σ.n, [[v]] = v (2) v (1). σ :d(v) dω + σ.n.[[v]] da Ω S } {{ S } P i = F.v dω + (σ.n).v da Ω } Ω {{ } P e=q. q(v) Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

24 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Champs de vitesse discontinus σ :d(v) dω + σ.n.[[v]] da Ω S } {{ S } P i On remarque alors (symétrie de σ) que (σ.n).[[v]] = σ ij n j [[v i ]] = σ :(n [[v]]) = σ : d où on déduit P e = Q. q(v) = Ω S Ω S = F.v dω + (σ.n).v da Ω } Ω {{ } P e=q. q(v) ( 1 [ ] ) n [[v]] + [[v]] n = σ :(n s [[v]]) 2 σ :d(v) dω + σ :(n s [[v]]) da S sup σ :d(v) dω + sup σ G(x) = Ω S (rappel : π(x, d) déf = sup σ :d). σ G(x) π ( x, d(v) ) dω + S σ G(x) S σ :(n s [[v]]) da π ( x, n s [[v]] ) da Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

25 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Puissance résistante maximale pour champs de vitesse discontinus : P rm (v) = Ω S π ( x, d(v) ) dω + S π ( x, n s [[v]] ) da Puissance résistante = terme volumique + terme surfacique. P e (Q, v) P rm (v), v C.A. Commentaires : Idée : choisir une famille de v C.A. et optimiser. Les meilleurs champs de vitesse (ceux donnant une puissance résistante minimale) sont les modes de ruine les plus proches possibles de la réalité physique. En théorie des charges limites on peut travailler avec des champs de vitesse discontinus. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

26 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Calcul de P rm. Fonctions π (critère de von Mises) π(x, d) = sup σ :d, σ G(x) Critère de von Mises : π(d) = ( sup σ :d = sup p tr(d) + s :d d), σ eq σ 0 σ eq σ 0 d d = d tr(d) 3 i. p arbitraire (s fixé) : π(d) = + si tr(d) 0. Si tr(d) = 0, sup s :d = 3 2 s σ 0 2 ( 2 ) 1/2. 3 σ 0 d = σ 0 d eq, où d eq = 3 d :d π(d) = { + si tr(d) 0, = σ 0 d eq si tr(d) = 0,. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

27 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Fonctions π et discontinuités de vitesse (critère de von Mises) tr([[v]] s n) = [[v]].n, ([[v]] s n) 2 eq = 1 3 [[v]] ([[v]].n)2 = π([[v]] s n) = Si v est tel que : π(d(v) ou π([[v]] s n) = +, { + si [[v]].n 0, = σ 0 [[v]] / 3 si [[v]].n = 0. alors P rm (v ) = +, l inégalité Q. q(v) P rm (v) est toujours satisfaite. Ces champs v ne donnent pas d information sur les charges limites ; ils sont donc sans intérêt pour la méthode. Un champ v tel que π(d(v)) et π([[v]] s n) sont < + est dit pertinent. Pour le critère de von Mises : v pertinent trd(v) = 0 et [[v]].n = 0. Les champs de vitesse pertinents pour le critère de von Mises ne créent pas de variation de volume et leurs discontinuités sont purement tangentielles. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

28 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Autres critères Fonctions π connues (entre autres) pour : Critère de Tresca : voir poly ; Critère de Coulomb (géomatériaux, friction) : voir exemple contrôle MEC τ + tanφ σ n C 0 (C : cohésion, φ : angle de frottement) Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

29 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Exemple de mise en oeuvre : (a) construction de champs pertinents Q _ v = U V 0 y x α v = 0 L Choisir une famille de champs de vitesse pertinents. a Vitesse partie basse : v = 0 Vitesse partie haute : v = Ue x + V e y. Pertinence : V = Utgα. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

30 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Exemple de mise en oeuvre : (b) puissance résistante et optimisation Puissance des efforts extérieurs : α v = 0 _ v = U V 0 P e (Q, v) = QV = QUtgα. Discontinuité de vitesse : [[v]] = (U 2 + V 2 ) 1/2 = U cos α. Puissance résistante maximale P rm (v) : σ 0 [[v]] da = σ 0 L ( 3 3 cos α S a) U cos α. Appliquer l inégalité P e (Q, v) P rm (v) : QV σ 0 L ( 3 cos α a) U cos α. Q σ 0 L ( 3 cos α a) 1 sin α Optimiser l inégalité : α = π/4, Q u 2σ ( 0 L a ). 3 2 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

31 Chargements potentiellement supportables : approche cinématique Exemple de mise en oeuvre : (c) combinaison des approches statique et cinématique 2σ 0 L ( 1 a ) 3 L Q u 2σ ( 0L 1 a ). 3 2L Encadrement de la charge limite. Remarque : les bornes sont d autant plus rapprochées que a/l est petit. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

32 Chargements supportables ou potentiellement supportables? Plan 1. Position du problème 2. Chargements potentiellement supportables : approche statique 3. Chargements potentiellement supportables : approche cinématique 4. Chargements supportables ou potentiellement supportables? 5. Exemples d analyse limite par les deux approches Stabilité des pentes Fondation Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

33 Chargements supportables ou potentiellement supportables? Chargements supportables ou potentiellement supportables? Supposons déterminé l ensemble K. Tout chargement dans l intérieur de K peut-il être effectivement supporté? Réponse : oui en plasticité parfaite : Q int(k) = condition de charge sûre. inconnue en général. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

34 Exemples d analyse limite par les deux approches Plan 1. Position du problème 2. Chargements potentiellement supportables : approche statique 3. Chargements potentiellement supportables : approche cinématique 4. Chargements supportables ou potentiellement supportables? 5. Exemples d analyse limite par les deux approches Stabilité des pentes Fondation Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

35 Exemples d analyse limite par les deux approches Plan 1. Position du problème 2. Chargements potentiellement supportables : approche statique 3. Chargements potentiellement supportables : approche cinématique 4. Chargements supportables ou potentiellement supportables? 5. Exemples d analyse limite par les deux approches Stabilité des pentes Fondation Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

36 Exemples d analyse limite par les deux approches Exemple d analyse limite par les deux approches : stabilité de pente Masse volumique quand teneur en eau. Paramètre de chargement : ρ. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

37 Exemples d analyse limite par les deux approches Approche statique («par l intérieur») Données du problème : - Force volumique ρg selon Oz div σ + ρg e z = 0. ρ g 1 x - Bord libre de contrainte. - Tresca σ i σ j σ 0. Champ statiquement admissible : z 3 2 Zone 1 : σ zz = ρgz, σ xz = 0, σ xx = 0, σ yy = (1/2)(σ xx + σ zz ). Zone 2 : σ zz = ρg(z h), σ xz = 0, σ xx = ρgz, σ yy = (1/2)(σ xx + σ zz ). Zone 3 : σ zz = ρg(z h), σ xz = 0, σ xx = ρgz, σ yy = (1/2)(σ xx + σ zz ). Tresca : σ i σ j ρgh = σ 0 gh ρu. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

38 Exemples d analyse limite par les deux approches Approche cinématique Champ de vitesse : Zone 1 : v = U(sin α e x + cos α e z ) Zone 2 : v = 0. Fonction π pour Tresca (cf. poly) : π([[v]]) = σ0 2 [[v]] si [[v]].n = 0. Champ pertinent par construction, [[v]] = U. Puissance efforts extérieurs : P e (P, v) = ρgv.e z dv = PU, P = 1 2 ρgh2 sin α (poids de la partie «mobile»). Ω Puissance résistante maximale : σ 0 P rm (v) = S 2 [[v]] da = σ 0 U h 2 cos α Optimisation par rapport à α : ρ u σ 0 1 min 0 α π/2 gh cos α sin α = 2σ 0 gh. 2 ρ g U 1 = ρ u σ 0 1 gh cos α sin α. α Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

39 Exemples d analyse limite par les deux approches Plan 1. Position du problème 2. Chargements potentiellement supportables : approche statique 3. Chargements potentiellement supportables : approche cinématique 4. Chargements supportables ou potentiellement supportables? 5. Exemples d analyse limite par les deux approches Stabilité des pentes Fondation Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

40 * A O Exemples d analyse limite par les deux approches 8 N B Exemple d analyse limite par les deux approches : fondation H K C D > = I A? M. Hjiaj, A. V. Liamin, S. W. Sloan, Int. J. Solids Structures 42 : , Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

41 Exemples d analyse limite par les deux approches Analyse limite d une fondation : approche cinématique Construction numérique d un «mode de ruine» : optimisation numérique de P rm (v) par rapport aux valeurs nodales des champs de vitesse pertinents v engendrés par des fonctions de base éléments finis. M. Hjiaj, A. V. Liamin, S. W. Sloan, Int. J. Solids Structures 42 : , Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

42 Exemples d analyse limite par les deux approches Analyse limite par les deux approches d une fondation : encadrements de charges limites M. Hjiaj, A. V. Liamin, S. W. Sloan, Int. J. Solids Structures 42 : , Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

43 Exemples d analyse limite par les deux approches Conclusion Pour une structure constituée d un matériau à résistance limitée, il existe un domaine K de chargements potentiellement supportables dont le bord est constitué des charges limites de la structure. Approche statique : détermination par l intérieur de K (détermination par défaut des charges limites). Approche cinématique : détermination par l extérieur de K (détermination par excès des charges limites). Tout chargement potentiellement supportable n est pas nécessairement effectivement supportable. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

44 Exemples d analyse limite par les deux approches Récapitulation : points clefs du cours Les contraintes dans un matériau réel sont le plus souvent limitées. Le critère dépend du type de matériau. Notion de force thermodynamique, commune à la mécanique linéaire de la rupture (G) et la plasticité parfaite (σ), ainsi qu à d autres comportements non linéaires. Des lois à seuil sur ces forces sont fréquemment utilisées pour traduire des transitions entre régimes de comportement. L évolution d un phénomène irréversible s accompagne d une dissipation d énergie toujours positive. En fonction des limitations physiques que traduisent ces seuils, on peut obtenir des estimations des chargements potentiellement supportables. Merci pour votre attention! mercredi 02/12 : pas d amphi mais la PC9 a lieu ; mercredi 09/12 : examen écrit 9h00 12h00 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, novembre / 44

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