Cours de résistance des matériaux

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1 ENSM-SE RDM - CPMI Cycle Préparatoire Médecin-Ingénieur Cours de résistance des matériau Pierre Badel Ecole des Mines Saint Etienne Première notions de mécanique des solides déformables Premières notions de comportement des matériau Aborder des situations classiques en RDM Résoudre des problèmes simples de dimensionnement

2 Résistance des matériau ENSM-SE RDM - CPMI Ch. 1 - Introduction à la RDM Ch. 2 - Equilibre global des structures Ch. 3 - Définitions et hypothèses de la RDM Ch. 4 - Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Ch. 5 - Les sollicitations simples

3 Ch. 1 Introduction à la RDM 1 Objet de la RDM Objet de la RDM De façon générale, Mécanique = étude des effets d actions etérieures sur des solides et fluides. Choi d une modélisation = fonction de l application, des objectifs visés, des hypothèses fiées Eemple : étude dynamique du mouvement d un pendule méca. des solides rigides En mécanique des solides déformables, on étudie les déplacements relatifs entre points d un solide (notion de déformations) les efforts intérieurs associés (notion de contraintes) L objectif est de déterminer, par le calcul, des pièces de machine, des éléments de structures : Dimensionner ces pièces (objectifs d économie) Vérifier leur tenue mécanique (déformations / contraintes limites imposées) RDM = Etude des déformations, déplacements et contraintes d objets de forme simple. Dans la cadre de ce cours, des poutres. Elle est issue de la théorie, plus générale, de la Mécanique des Milieu Continus. ENSM-SE RDM - CPMI

4 Ch. 1 Introduction à la RDM 2 Champ d application de la RDM Champ d application de la RDM Calcul de structures Bâtiments, charpentes, structures métalliques Ouvrages de génie civil Squelette structural de systèmes divers Calcul de pièces mécaniques Arbres de transmission Première approche de calculs complees Etablir un premier résultat simplement ENSM-SE RDM - CPMI

5 Ch. 1 Introduction à la RDM 3 Objectifs du cours Objectifs du cours Savoir étudier le comportement d une structure de type «poutre» sous des actions (simples) Calcul des contraintes Calcul des déformations et déplacements dans le but de les dimensionner / vérifier Actions connues + efforts/déplacements admissibles problème de dimensionnement Dimensions connues + actions connues problème de vérification ENSM-SE RDM - CPMI

6 Ch. 1 Introduction à la RDM 3 Objectifs du cours ENSM-SE RDM - CPMI Principe d étude d une structure de poutres Contraintes dans les sections Isoler la structure Déterminer les actions de liaison Diagramme des efforts internes Vérification Dimensionnement (selon valeurs admissibles) Déformations et déplacements en certains points?

7 Résistance des matériau Ch. 1 - Introduction à la RDM Ch. 2 - Equilibre global des structures? Ch. 3 - Définitions et hypothèses de la RDM Ch. 4 - Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Ch. 5 - Les sollicitations simples ENSM-SE RDM - CPMI

8 Ch. 2 Equilibre global des structures 1 Statique des structures Objectif A l équilibre, déterminer les actions de liaison qui sont a priori inconnues.? Principe de la statique PFS : Sous l action des efforts etérieurs, la structure est en équilibre chaque élément de la structure est en équilibre. Pour chaque élément isolé : F=0 MP =0 Lois de la mécanique du solide indéformable! ENSM-SE RDM - CPMI

9 Ch. 2 Equilibre global des structures ENSM-SE 1 Statique des structures RDM - CPMI Actions etérieures appliquées Forces de contact Ponctuelles Réparties Forces de volume Les plus courantes : pesanteur

10 Ch. 2 Equilibre global des structures 1 Statique des structures ENSM-SE RDM - CPMI Actions de liaison Appui simple Action de liaison : Ry Articulation ou rotule Action de liaison : R, Ry Poutre Poutre Poteau y Poteau y Encastrement Action de liaison : R, Ry, Mz Poutre y Poteau

11 Ch. 2 Equilibre global des structures 1 Statique des structures Remarque sur les charges réparties Charge équivalente à une charge répartie pl p L L/2 Une charge uniformément répartie sur une longueur est globalement équivalente à une force ponctuelle : L Intensité : pl Point d application : au milieu de L Preuve : Remarque : Nous avons en fait calculé le torseur de l action mécanique répartie p. ENSM-SE RDM - CPMI

12 Ch. 2 Equilibre global des structures 1 Statique des structures ENSM-SE RDM - CPMI Schéma de calcul Règles de schématisation : Poutre schématisée par sa ligne moyenne (ou fibre de référence) Actions de liaison schématisées par les composantes de réaction Actions etérieures schématisées par les forces réparties/ponctuelles ramenées à la ligne moyenne Repère de référence à représenter (car convention de signe pour les composantes de réaction) (Il est recommandé de reporter les indications de longueurs) a y b p F h A R B B R Ay R By

13 Ch. 2 Equilibre global des structures 1 Statique des structures ENSM-SE RDM - CPMI Calcul des actions de liaison A B A B Situation réelle Modèle Schéma de calcul Application numérique : poutre de longueur 2L, charge P. A B Situation réelle Modèle Schéma de calcul

14 Ch. 2 Equilibre global des structures 2 Iso / hyper staticité ENSM-SE RDM - CPMI Généralités Isostatique le PFS suffit à déterminer les inconnues statiques Hyperstatique de degré n n équations supplémentaires sont nécessaires. En pratique Pour une structure isostatique : libérer 1 ddl instabilité (on peut parler alors de mécanisme) structure hyperstatique de degré n : on peut libérer jusqu à n ddl et rester stable. Remarque : degré d hyperstaticité indépendant du chargement.

15 Ch. 2 Equilibre global des structures 2 Iso / hyper staticité ENSM-SE RDM - CPMI Degré d hyperstaticité Si l on travaille dans le plan (cadre de ce cours) alors nous avons pour équations : F = 0 F = 0 y M z = 0 n = Nr - Ne Ne : nombre d équations (pour un solide dans le plan, Ne=3) Nr : nombre de composantes de réaction n : degré d hyperstaticité n = 0 isostatique (cadre de ce cours) n < 0 hypostatique, instable (pb. insoluble)

16 ENSM-SE RDM - CPMI Eemples 2 Iso / hyper staticité F p A B F p A B F p A B C F p A B A B p F A B A B F F A B p F A B Ch. 2 Equilibre global des structures

17 Résistance des matériau Ch. 1 - Introduction à la RDM Ch. 2 - Equilibre global des structures? Ch. 3 - Définitions et hypothèses de la RDM Ch. 4 - Torseur de cohésion (ou des efforts internes) Ch. 5 - Les sollicitations simples ENSM-SE RDM - CPMI

18 Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM ENSM-SE RDM - CPMI Introduction La RDM est une théorie simplifiée. Elle découle d un certain nombre d hypothèses qui cadrent son domaine de validité. On s intéresse à des solides considérés comme déformables Des restrictions multiples sont nécessaires pour utiliser la RDM. sur les géométries sur les matériau sur les efforts etérieurs Ce chapitre vise à poser l ensemble de ces hypothèses

19 Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM 1 Notion de poutre ENSM-SE RDM - CPMI Définition Poutre = volume engendré par une surface S quand G décrit une courbe C. y C G 0 z Gi (S i ) G 1 C = ligne moyenne = courbe des centres de gravité des sections S. (S i ) = sections droites, perpendiculaires localement à C en G i. Remarque : (S) peut varier le long de C. Repérage Utilisation d un repère local à chaque section droite S i. Défini par : G, i G, y i G, z i tangent à C en G i. dans le plan de (S i ). Généralement parallèles au aes principau de (Si) (= aes de symétrie, s ils eistent).

20 Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM 1 Notion de poutre ENSM-SE RDM - CPMI Hypothèses Elancement Dimensions transversales ( S i ) petites devant les dimensions longitudinales. Remarque : sinon, autre théories : plaques et coques, ou élasticité. Rayon de courbure Doivent être limités. Variations de section Doivent être lentes et continues. Restrictions dans le cadre de ce cours Poutres droites et problèmes dans le plan. Section constante. Sections droites symétriques G, i, y est le plan de symétrie. Conclusion : poutre définie par 1 ligne moyenne 1 section droite Représentation y Ligne moyenne G 0 G i G 1 Section droite z G i

21 Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM 2 Actions mécaniques Actions mécaniques Deu types d actions mécaniques Localisées Réparties Le chargement doit être ramenée au niveau de la ligne moyenne. F F C ENSM-SE RDM - CPMI

22 Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM 3 Hypothèses fondamentales ENSM-SE RDM - CPMI Matériau Matériau continus, homogènes et isotropes échelle macroscopique hypothèse d isotropie échelle «microscopique» Elasticité linéaire Contrainte Déformation parfaitement réversible + coefficient constant Déformation

23 Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM 3 Hypothèses fondamentales Déformation Hypothèse de petites déformations On ne considère que la zone de comportement élastique des matériau Les déformations et déplacements restent petits. Les calculs se font à partir de la structure non déformée. Hypothèse de Navier Bernoulli Les sections droites et planes restent droites et planes après déformation. La ligne moyenne se déforme mais les sections droites sont «rigides». C déformation C ENSM-SE RDM - CPMI

24 Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM 3 Hypothèses fondamentales ENSM-SE RDM - CPMI Chargement Principe de St Venant «Les contraintes (et déformations) dans une section droite éloignée des points d application d un système de forces ne dépendent que de la résultante et du moment résultant (au centre de gravité de la section) associés à ce système de forces.» Conséquence : Les résultats de la RDM sont valables loin des points d application des forces. Quel que soit la nature d un système de force, seul le torseur résultant au centre de gravité de la section détermine l état de celle-ci. En pratique : On considère qu au-delà de 2-3 fois de la plus grande dimension transverse, résultats valables.

25 Résistance des matériau Ch. 1 - Introduction à la RDM Ch. 2 - Equilibre global des structures? Ch. 3 - Définitions et hypothèses de la RDM Ch. 4 - Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Ch. 5 - Les sollicitations simples ENSM-SE RDM - CPMI

26 Ch. 4 Torseur des efforts internes 1 - Introduction Introduction Passage de l échelle globale à l échelle locale Des efforts etérieurs au efforts internes But : connaître la répartition de ces efforts Les risques de rupture sont liés au efforts de cohésion de la matière! Et l objectif de la RDM est de vérifier la tenue mécanique des structures! Principe : On réalise une coupure afin de déterminer le torseur des efforts de cohésion F F F Torseur des efforts internes? A l équilibre R B R B A R Ay R By R Ay R By R Ay ENSM-SE RDM - CPMI

27 Ch. 4 Torseur des efforts internes 2 Définitions ENSM-SE RDM - CPMI Coupure fictive et repère local E/ E g (E) E/ Ed y O (E g ) y (E d ) O O G z O z (S ) On considère une coupure fictive de la poutre (E) au niveau de la section S de centre de gravité G (E) est partagée à droite, côté positif, en (E d ), à gauche, côté négatif en (E g ) : ( importance du sens de parcours donné par la direction : convention de signe) Le repère (G,, y, z) est le repère local à la section droite (S ). Actions etérieures appliquées à (E) : E / E E / E / d E Eg E = Ed Eg Équilibre statique de la poutre 0 soit E / E E / E E / E g d

28 Ch. 4 Torseur des efforts internes 2 Définitions ENSM-SE RDM - CPMI Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Isolons le tronçon (E g ) E/ E g E / E d g y 0 (E g ) y O 0 G Actions etérieures appliquées à (E g ) : z0 z E / / E E g d E g (S ) Définition : Le torseur des efforts internes en est le torseur, en G, des actions de (E d ) sur (E g ). efforts internes E / d Eg G Equilibre statique de (E g ) efforts internes E/ E g E/ E d G G ( = - torseur des actions etérieures à gauche) ( = torseur des actions etérieures à droite)

29 Ch. 4 Torseur des efforts internes 2 Définitions ENSM-SE RDM - CPMI Eléments de réduction du torseur de cohésion efforts internes R M G G G z y RG MG En projection dans le repère local, on définit ainsi : Ty y RG RG. : effort normal N() RG.y : effort tranchant selon y Ty() RG.z : effort tranchant selon z Tz() z Tz N y MG. : moment de torsion Mt() MG.y : moment fléchissant selon y Mfy() MG.z : moment fléchissant selon z Mfz() efforts internes N Ty Tz Mt Mfy Mfz z R Mfz Mfy Mt MG

30 Ch. 4 Torseur des efforts internes 2 Définitions ENSM-SE RDM - CPMI Cas des problèmes plans Ty y RG Mfz N Pour les problèmes plans (= ce cours), {T eff int } se réduit à (z composante hors plan): efforts internes N Mfz Ty R

31 Ch. 4 Torseur des efforts internes 3 Diagramme des efforts internes ENSM-SE RDM - CPMI Etape très importante! Pour la suite des développements, il est indispensable de déterminer correctement les éléments du torseur des efforts internes. Calcul des efforts internes Découpage en différents tronçons Selon les actions mécaniques rencontrées Selon la géométrie de la ligne moyenne A F B C Ecrire le PFS sur chaque tronçon dans le repère local Coupure fictive on isole la partie droite ou gauche Détermination des composantes d efforts internes grâce au bilan des actions etérieures Convention de signe en fonction du sens de parcours. Repère local repère global le plus souvent. efforts internes E/ E g E/ E d G, R G, R

32 Ch. 4 Torseur des efforts internes 3 Diagramme des efforts internes ENSM-SE RDM - CPMI Eemples de calcul des efforts internes Y Y F B p C A L B L C X h A D X L Remarques : Choi de la partie droite ou gauche indifférent (sauf sur la simplicité des calculs!) Conventions de signe assurent une compréhension physique. (eemple N<0 signifie compression, quel que soit le tronçon considéré) Résultat indépendant du choi du repère local (tant que est tangent à la ligne moyenne)

33 Ch. 4 Torseur des efforts internes 3 Diagramme des efforts internes ENSM-SE RDM - CPMI Diagramme des efforts internes Intérêt : visualisation rapide des poutres les plus sollicitées N Ty Mf A B C A B C A B C

34 Ch. 4 Torseur des efforts internes 3 Diagramme des efforts internes Singularités des diagrammes Discontinuités Discontinuité du diagramme Action ponctuelle correspondant à l effort interne considéré Eemple : discontinuité de Ty force ponctuelle selon y. Au etrémités On retrouve l intensité des actions ponctuelles en projection dans le repère local Effort tranchant Moment fléchissant ENSM-SE RDM - CPMI

35 Ch. 4 Torseur des efforts internes 3 Diagramme des efforts internes ENSM-SE RDM - CPMI Variation des efforts internes Etude d un tronçon de longueur d Hypothèses : Tranche d infiniment fine Pas d actions ponctuelles (St Venant) G G +d z z d y y Seulement des forces réparties : p (), p y () (supposées constantes sur d) p y () Ty(+d) -N() Mf(+d) -Mf() -Ty() p () N(+d) Equilibre du tronçon d dn = -p d dty = -p d y dmf = -Ty d Utile en vérification!

36 Ch. 4 Torseur des efforts internes 4 Les différents types de sollicitations ENSM-SE RDM - CPMI Sollicitations simples Traction/compression simple eff int N 0 0 Fleion pure eff int 0 Mfz 0 Fleion simple eff int 0 Mfz Ty Fleion composée eff int N Ty Mfz Autres (problèmes non plans) Fleion déviée Torsion pure eff int eff int 0 0 Ty Mfy Tz Mfz 0 Mt

37 Ch. 4 Torseur des efforts internes 4 Les différents types de sollicitations Principe de superposition F 1 F 1 A F 2 C = + A C A C F 2 La réponse de la structure sous l action de F 1 est R 1 (contrainte ou déplacement) La réponse de la structure sous l action de F 2 est R 2 (contrainte ou déplacement) La réponse de la structure sous l action de F 1 + F 2 sera R 1 + R 2 Conditions d application Domaine élastique (pas de pertes d énergie par frottement etc ) Domaine linéaire (proportionnalité force/déplacements) Forces etérieures indépendantes des déplacements (hypothèses de petites déformations). En bref : les hypothèses de la RDM! ENSM-SE RDM - CPMI

38 Ch. 4 Torseur des efforts internes 5 Notion de contrainte ENSM-SE RDM - CPMI Vecteur contrainte en un point Encore plus local Le torseur des efforts internes n est qu une vision globale au niveau de la section considérée. Que se passe-t-il, localement, en chaque point de la poutre? M (ds) n df (S) Soit, en M, une facette de surface élémentaire ds. n : normale, en M, à la facette. (ici perpendiculaire à la ligne moyenne, mais peut être quelconque) df : effort élémentaire s appliquant sur la facette. Définition La densité surfacique d effort s appliquant sur la facette ds de normale le vecteur contrainte : ds0 df T M, n = lim ds n est caractérisée par

39 Ch. 4 Torseur des efforts internes 5 Notion de contrainte ENSM-SE RDM - CPMI Vecteur contrainte en un point Remarques : Unité SI : Pascal, Pa. 1 Pa = 1 N/m² (comme la pression). Unité couramment utilisée : Mégapascal, MPa. 1 MPa = 1 N/mm². T M, n dépend à la fois du point M considéré et de l orientation n de la facette. Contraintes normales et tangentielles Par projection, on définit : σ : contrainte normale. τ : contrainte tangentielle. T M,n = σn + t M t τ (S) n σ df Remarque : Cas général : t = y + z Problème plan : y z TM,n = σ + y y τ y y σ T M,n

40 Ch. 4 Torseur des efforts internes 5 Notion de contrainte Relations contraintes efforts internes Torseur des actions mécaniques sur une facette ds de la section (S) : M G (S) (ds) df df df = 0 GM df M T M, n ds GM TM, nds G G Intégration sur toute la surface de (S) : eff int (S) T M, n ds (S) GM TM, nds G z y y G z N ds Mt z.y - y.zds (S) (S) RG Ty yds MG Mfy.zdS (S) (S) Tz zds Mfz.ydS (S) (S) ENSM-SE RDM - CPMI

41 Ch. 4 Torseur des efforts internes 5 Notion de contrainte Intérêt pour la RDM Ces relations vont permettre de passer de l échelle la plus globale (actions etérieures à la structure) à une échelle très locale (cohésion de la matière) Afin de faire ce passage inverse (efforts internes contraintes), d autres hypothèses seront nécessaires Hypothèses sur la répartition des contraintes dans les sections. Rappel : Déterminer les contraintes au sein de la matière Vérifier la tenue mécanique But de la RDM Critère de tenue mécanique : contraintes limites admissibles fonctions de σ et τ (dépend du matériau). ENSM-SE RDM - CPMI

42 Résistance des matériau Ch. 1 - Introduction à la RDM Ch. 2 - Equilibre global des structures? Ch. 3 - Définitions et hypothèses de la RDM Ch. 4 - Torseur des efforts internes (ou de cohésion) Ch. 5 - Les sollicitations simples ENSM-SE RDM - CPMI

43 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 - Introduction Introduction Etude des sollicitations élémentaires pour identifier leurs conséquences Traction / compression Fleion Torsion Le principe de superposition permettra de traiter des sollicitations composées Objectif : établir les relations effort interne contrainte / déformation Répartition et valeur des contraintes dans les sections droites. Déformée des poutres Sera abordée : première notion de comportement des matériau «simples» Principe : Définir les déformations Définir / établir les hypothèses sur les contraintes Etablir les relation contraintes / déformation puis déplacements à partir des lois de comportement. ENSM-SE RDM - CPMI

44 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 Traction / compression ENSM-SE RDM - CPMI Définition Une poutre est soumise à une sollicitation de traction/compression lorsque a la forme : eff int eff int N 0 G Remarques : N > 0 traction N < 0 compression Cas de poutres soumises à deu forces colinéaires, alignées et de sens opposés

45 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 Traction / compression ENSM-SE RDM - CPMI Déformation On appelle déformation le rapport de la variation de longueur sur la longueur de référence : +d ε dl = d d dl N Remarques : u() u(+d) Grandeur sans dimension On a aussi, de manière équivalente : ε du = d N

46 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 Traction / compression ENSM-SE RDM - CPMI Contrainte Hypothèses sur la répartition des contraintes On isole un tronçon de poutre soumis à de la traction via une force F F y N r N = (S) σ ds F y y G σ?? Equilibre F = N Hypothèse (basée sur des résultats epérimentau et sur l hypothèse de linéarité contrainte/déformation) : σ c te On retrouve donc l état de contrainte de la poutre en traction : N σ = S ( et τ = 0 car Ty = 0 ) F G σ N S

47 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 Traction / compression Essai de traction Principe de l essai Essai le plus classique Eercer sur une éprouvette de forme normalisée 2 forces colinéaires, alignées et de sens opposés L = L 0 +u S Sont mesurés : Le déplacement : u La force eercée : F F A O u ENSM-SE RDM - CPMI

48 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 Traction / compression ENSM-SE RDM - CPMI Essai de traction Eploitation de l essai Problématique : S 1 = 2 S 2 F 1 F 2 A 1 A 2 S 2 O u Courbes obtenues pour un même matériau! 2 éprouvettes différentes

49 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 Traction / compression ENSM-SE RDM - CPMI Essai de traction Normalisation Contrainte / Déformation! σ A B σ σ n C Zone élastique Zone plastique Limite maimale R m - striction Module d Young E Limite élastique R e Limite à la rupture R y O Courbe caractéristique d un matériau Ici, matériau «classique» type acier ε F σ = S F σ n = S 0

50 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 Traction / compression Essai de traction, conclusion Loi de Hooke (matériau élastique linéaire isotrope) Dans la zone élastique, on peut écrire une relation linéaire entre contrainte et déformation : σ = E ε E est le module d Young, caractéristique du matériau Unité SI : Pa Autre constat epérimental : Déformation longitudinale ε Déformation transversale ε t La relation est linéaire ε t = - ε ν est le coefficient de Poisson, caractéristique du matériau sans unité Un matériau élastique linéaire isotrope est caractérisé par : Module d Young E Coefficient de Poisson ν Limite d élasticité définie par R e (ou R p0.2 ) : σ < R e, élasticité ; σ > R e, plasticité Eemples ENSM-SE RDM - CPMI

51 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 Traction / compression ENSM-SE RDM - CPMI Eemples de comportement Matériau ductile/fragile Comportement élastique non linéaire Quelques ordre de grandeur : Matériau Module d Young E (MPa) Coefficient de Poisson (sans unité) Limite à rupture R y (MPa) Acier à 1600 Aluminium à 600 Diamant Rupture à Pin (sens des fibres) Béton à à 40 (compression) 2 à 5 (traction) Fémur Vertèbre lombaire 160

52 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 Traction / compression ENSM-SE RDM - CPMI Relation contrainte/déformation Dans une poutre en traction, on a établi : A partir de la loi de Hooke (dans le domaine élastique) : il vient : σ E ε = = N σ = S N E.S σ = E ε Par intégration, on obtient : du N ε = ΔL = u = du = d d E.S N ΔL = u N L 0 Si N, E, S sont constants (c est le cas en traction sur une poutre «simple»), N.L 0 ΔL = E.S

53 Ch. 5 Les sollicitations simples 1 Traction / compression ENSM-SE RDM - CPMI Remarque importante : flambement Problème d instabilité en compression Deu positions d équilibre : À partir de la charge critique F c F<F c F F>F c F Attention au poutres élancées ce phénomène peut mener à la ruine!! Il eiste des théories spécifiques - comme la théorie d Euler - car les lois de la RDM ne sont plus valables (hypothèses des petits déplacements non vérifiée)

54 Ch. 5 Les sollicitations simples 2 - Torsion ENSM-SE RDM - CPMI Définition Définition Une poutre est soumise à une sollicitation de torsion lorsque a la forme : eff int eff int 0 Mt G Remarque : Cas de poutres soumise à un couple longitudinal Eemple : arbre de transmission Restriction importante Dans cette partie de cours, on se restreindra à l étude des poutres à section droite circulaire Sinon, les sections droites ne restent pas planes, elle se gauchissent. Déformation avec gauchissement Déformation sans gauchissement

55 Ch. 5 Les sollicitations simples 2 - Torsion Déformation Observations epérimentales Avec des sections droites circulaires ( prismatiques) : Rotation en bloc des sections droites : pas de gauchissement, les sections restent planes et normales à la ligne moyenne ; pas de déformation longitudinale, les sections gardent des distances relatives constantes ; Angle variant linéairement le long de la poutre (si couple constant) ENSM-SE RDM - CPMI

56 Ch. 5 Les sollicitations simples 2 - Torsion ENSM-SE RDM - CPMI Déformation Isolons un tronçon d de poutre tan rd d φ est l angle de rotation entre 2 sections. γ est la distorsion qui en découle sur une surface cylindrique. γ est une quantité locale dépendant du point dans la section. γ est l analogue de la déformation ε en traction, τ est l analogue de la contrainte σ en traction. On dit que la surface cylindrique est «cisaillée» τ τ τ τ γ τ

57 Ch. 5 Les sollicitations simples 2 - Torsion ENSM-SE RDM - CPMI Essai de torsion Similarité forte avec un essai de traction Les courbes de cisaillement τ = f(γ) ont la même allure que les courbes de traction En zone élastique, la loi de Hooke en cisaillement est : = G G est le module de cisaillement, caractéristique du matériau Unité : Pa τ O A γ Remarques : G n est pas un nouveau coefficient matériau. On peut montrer (cours d élasticité) que : E G = 2 1+ De la même façon qu en traction, il eiste une limite de glissement au-delà de laquelle les déformations sont irréversibles Matériau Module de cisaillement G (MPa) Limite de glissement R pg (MPa) Acier Aluminium

58 Ch. 5 Les sollicitations simples 2 - Torsion ENSM-SE RDM - CPMI Contrainte tangentielle de torsion La relation contrainte / déformation est alors : d = G = G.r. d Il y a variation linéaire (en fonction du rayon) des contraintes dans la section On parle de contrainte de cisaillement «tangentielle» ou «orthoradiale».

59 Ch. 5 Les sollicitations simples 2 - Torsion ENSM-SE RDM - CPMI Relation contrainte / moment de torsion Il a été établi (cf. ch. 4) : z y Mt.y -.z ds, soit Mt.rdS (S) (S) On en déduit successivement : d d d 2 Mt G.r..rdS G r ds G IG S d d d (S) (S) G d Mt d G.I S Rotation élémentaire d un tronçon d par rapport à l ae (G,) G S Mt.r I Contraintes de cisaillement orthoradiale dûe à Mt 2 avec r ds = IG S (S) Moment quadratique polaire de la section droite S Remarques Vous devez reconnaître une certaine familiarité avec I G (S) (cf. cours sur géométrie des masses) Pour une section circulaire pleine : I G R S = 2 4

60 Ch. 5 Les sollicitations simples 3 - Fleion ENSM-SE RDM - CPMI Définition Fleion pure : Une poutre est soumise à de la fleion pure lorsque a la forme : eff int eff int 0 Mfz z G Fleion simple : eff int Ty y Mfz z G Fleion composée : eff int N + Ty y Mfz z G Eemple de zone en fleion pure :

61 Ch. 5 Les sollicitations simples 3 - Fleion ENSM-SE RDM - CPMI Etude des déformations longitudinales Etude d un tronçon d en fleion pure dα y M 1 M 2 Déformations longitudinales : d Mfz r M 1 d M 2 d ε y = d dα = = r d' - d d d' r - y r - y y ε y = - 1 = - r r De façon plus générale, y dα ε,y = - = -y r d On retrouve l intuition (et les constats epérimentau) : Les fibres à y > 0 se raccourcissent, elles sont comprimées ε < 0. Les fibres à y < 0 s allongent, elles sont tendues ε > 0. La fibre neutre ne subit pas de contraintes normales. Les variations de longueur entre fibres entraînent aussi des glissements cisaillement

62 Ch. 5 Les sollicitations simples 3 - Fleion ENSM-SE RDM - CPMI Etudes des contraintes normales Epression de la contrainte normale en fleion pure : Loi de Hooke y σ = E ε = -E r Remarques : Répartition linéaire des contraintes normales dans la section droite y - compression Tension / compression de part et d autre de la ligne moyenne traction + σ

63 Ch. 5 Les sollicitations simples 3 - Fleion ENSM-SE RDM - CPMI Etudes des contraintes normales Relation avec le moment fléchissant : On introduit les relations précédentes dans la relation générale Mfz = f(σ ) Mfz = - y.σ ds S dα dα σ d d y = y.e ds = E y ds = - y ds S S S S Gz S Mfz.y Mfz σ, y = - = - y 2 y ds I 2 avec y ds = IGz S (S) Moment quadratique de S par rapport à (G, z) Permet de déterminer les contraintes normales en tout point de la poutre, selon le moment fléchissant Répartition linéaire des contraintes normales Les contraintes maimales seront situées à Yma ou Ymin Si section symétrique, elles sont à Yma et Ymin : Mfz σ ma = - y I Gz ma - σ ma y Yma Ymin + σ ma

64 Ch. 5 Les sollicitations simples 3 - Fleion ENSM-SE RDM - CPMI Etudes des contraintes normales Remarques sur le moment quadratique des sections I Gz grand σ petit (cf. page précédente) Matière éloignée de la fibre neutre (ou ligne moyenne) I Gz est grand Gz 2 I S = y ds (S) Résistance en fleion Placer la matière loin de la fibre neutre!

65 Ch. 5 Les sollicitations simples 3 - Fleion ENSM-SE RDM - CPMI Etudes des contraintes normales

66 Ch. 5 Les sollicitations simples 3 - Fleion ENSM-SE RDM - CPMI Etude de la déformée Sous les actions de fleion, la ligne moyenne se déforme On appelle déformée, l équation v() de la courbe de la ligne moyenne La valeur de la déformée en un point est appelée flèche : F f = v(l) Epression α() v() v () α() v' = tanα HPD v' α Par suite, il vient Gz dα Mfz v'' = = d E.I S (Equation de la déformée) Par intégration, et avec les conditions au limites, on obtient la déformée v().

67 Ch. 5 Les sollicitations simples 3 - Fleion Contraintes tangentielles (liées à Ty) Principe de réciprocité Equilibre (PFS) du volume élémentaire dv τ y = τ y τ y τ y O dv Cisaillement transversal cisaillement longitudinal τ y τ y Contraintes de cisaillement moyennes y τ ymoy Ty ds = (S) y ymoy Ty S τ ymoy τ y Répartition uniforme de τ y En réalité Réciprocité τ y y La répartition des τ n est pas uniforme! Preuve : cela conduirait à des aberrations : Répartition uniforme de τ y τ y τ y Répartition sur les faces libres impossible Répartition réelle de τ y ENSM-SE RDM - CPMI

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