Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé"

Transcription

1 Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette limite est nécessairement Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers, et f, tend vers Donc f n a pas de limite réelle en, f est définie sur R \ {, } Pour,,, f, = + = + Comme tend vers quand le couple, tend vers le couple,, il en est de même de f f, tend vers quand, tend vers, 3 f est définie sur R \ {, } Pour, f, = 3 4 = Quand tend vers par valeurs supérieures, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers + Donc f n a pas de limite réelle en, 4 f est définie sur R \ {, } Pour, f, = = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers + Donc f n a pas de limite réelle en, 5 f est définie sur R \ {,, R} Pour, f, + 3 = Quand tend vers par valeurs supérieures, le couple, + 3 tend vers, et f, + 3 tend vers Donc f n a pas de limite réelle en, 6 f est définie sur R \ {,, R} cos =,, et donc f tend vers quand, tend vers, 7 f est définie sur R 3 privé du cône de révolution d équation + z = f,, = qui tend vers + quand tend vers par valeurs supérieures Donc f n a pas de limite réelle en,, 8 f + h, + k, l = h + k h k + l + 4h + 4k = gh, k, l gh,, tend vers 4 vers quand l tend vers Donc, f n a pas de limite réelle quand,, z tend vers,, 4 quand h tend vers et g,, l tend n o : f est définie sur R f est de classe C sur R \{, } en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s annule pas sur R \{, } Continuité en, Pour,,, f, f, = = Comme tend vers quand le couple, tend vers le couple,, on a donc déduit que f est continue en, et finalement f est continue sur R f est de classe C au moins sur R lim,,,, f, = f, On en Dérivées partielles d ordre sur R \ {, } f est de classe C au moins sur R \ {, } et pour,,,, = = , D autre part, pour,, f, = f, Donc pour,,, c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

2 Eistence de, et, Pour, f, f, et donc lim = Ainsi, partielles premières sur R définies par, =, = , R,, =, = f, f,, eiste et = =,, = De même,, = Ainsi, f admet des dérivées si,, si, =, si,, si, =, Continuité de et en, Pour,,,,, = = Comme tend vers quand, tend vers,, on en déduit que,, tend vers quand, tend vers, Donc la fonction est continue en, et finalement sur R Il en est de même de la fonction et on a montré que f est au moins de classe C sur R et n o 3 : On pose D = {,, R} puis Ω = R \ D f est définie sur R f est de classe C sur Ω en vertu de théorèmes générau et pour, Ω,, = cos et, = sin cos Etudions la continuité de f en, Pour,,, sin si f, f, = si = { si si = Comme tend vers quand, tend vers, lim,,,, f, = f, et donc f est continue en, puis f est continue sur R Etudions l eistence et la valeur éventuelle de,, réel donné Pour, Donc f, f, la fonction est définie sur R par f, f, = = tend vers quand tend vers On en déduit que, eiste et, = Finalement,, R,, = cos si = si c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

3 Etudions l eistence et la valeur éventuelle de,, réel donné Pour, sin f, f, = = sin On en déduit que f, f, puis que f, f, tend vers quand tend vers Par suite,, eiste et, = Finalement, la fonction est définie sur R par, R,, = sin si = cos si Etudions la continuité de en,, réel donné Pour, R,,, = cos si si = Quand, tend vers,, tend vers et donc, tend vers, quand, tend vers, La fonction est donc continue en, et finalement la fonction est continue sur R Etudions la continuité de en,, réel donné Supposons tout d abord = Pour, R,,, = sin si = Quand, tend vers,, + tend vers et donc cos si Supposons maintenant Pour,, = sin tend vers car sin et cos tend vers et la fonction n est pas continue en, si On a montré que +, tend vers, quand, tend vers, cos Quand tend vers, sin n a pas de limite réelle car Donc, n a pas de limite quand f est de classe C sur Ω {, } Etudions l eistence et la valeur éventuelle de f, Pour,,, = =,, Donc tend vers quand tend vers On en déduit que Etudions l eistence et la valeur éventuelle de f, Pour,,, cos = =, eiste et, = c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-francefr

4 ,, Donc tend vers quand tend vers On en déduit que, eiste et, = On a montré que, et, eistent et sont différents D après le théorème de Schwarz, f n est pas de classe C sur Ω {, } n o 4 : Soit,, z, t R 4 { { { e ϕ, = z, t e = z = t = t + = t e e t = z e ze e t = { = t e = z z + 4e t ou e = z + z + 4e t { e = z + z + 4e t car z z = t + 4e t < z z = z z { = lnz + z + 4e t = t lnz + z + 4e t car z + z + 4e t > z + z = z + z Ainsi, tout élément z, t R a un antécédent et un seul dans R par ϕ et donc ϕ est une bijection de R sur lui-même La fonction ϕ est de classe C sur R de jacobien J ϕ, = e e = e + e Le jacobien de ϕ ne s annule pas sur R En résumé, ϕ est une bijection de R sur lui-même, de classe C sur R et le jacobien de ϕ ne s annule pas sur R On sait alors que ϕ est un C -difféomorphisme de R sur lui-même n o 5 : Soit n N Soit R La fonction f : n+ + est continue et strictement croissante sur R en tant que somme de fonctions continues et strictement croissantes sur R Donc la fonction f réalise une bijection de R sur ] lim f, lim f [= R En particulier, l équation f = a une et une seule solution dans R que l on note ϕ + La fonction f :, n+ + est de classe C sur R qui est un ouvert de R et de plus,, R,, = n + n + D après le théorème des fonctions implicites, la fonction ϕ implicitement définie par l égalité f, = est dérivable en tout réel et de plus, en dérivant l égalité R, ϕ n+ + ϕ =, on obtient R, n + ϕ ϕ n + ϕ = et donc R, ϕ = n + ϕ n + Montrons par récurrence que p N, la fonction ϕ est p fois dérivable sur R - C est vrai pour p = - Soit p Supposons que la fonction ϕ soit p fois dérivable sur R Alors la fonction ϕ = n + ϕ n + est p fois dérivable sur R en tant qu inverse d une fonction p fois dérivable sur R ne s annulant pas sur R On en déduit que la fonction ϕ est p + fois dérivable sur R On a montré par récurrence que p N, la fonction ϕ est p fois dérivable sur R et donc que Calculons maintenant I = la fonction ϕ est de classe C sur R ϕt dt On note tout d abord que, puisque n+ + =, on a ϕ = et puisque n+ + =, on a ϕ = Maintenant, pour tout réel de [, ], on a ϕ ϕ n+ + ϕ ϕ ϕ = en multipliant par ϕ les deu membres de l égalité définissant ϕ et en intégrant sur le segment [, ], on obtient Or, ϕ ϕ n+ d = ϕ ϕ n+ d + ϕ ϕ n+ d + [ ϕ n+ n + ϕ ϕ d = ] ϕ ϕ d = De même, n + n + + = n + n + ϕ d = ϕ ϕ d = [ ϕ ] = et donc D autre part, puisque les deu fonctions et ϕ sont de classe C sur le segment [, ], on peut effectuer une intégration par parties qui fournit c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 4 http ://wwwmaths-francefr

5 ϕ d = [ ϕ] + ϕ d = + I L égalité s écrit donc n + 3n + + I = et on obtient I = n + n + ϕ d = 3n + n + n o 6 : Soit R La fonction f : e + + est continue et strictement croissante sur R en tant que somme de fonctions continues et strictement croissantes sur R Donc la fonction f réalise une bijection de R sur ] lim f, lim f [= R En particulier, l équation f = a une et une seule solution dans R que l on note + ϕ La fonction f :, e + + est de classe C sur R qui est un ouvert de R et de plus,, R,, = e+ + D après le théorème des fonctions implicites, la fonction ϕ implicitement définie par l égalité f, = est dérivable en tout réel et de plus, en dérivant l égalité R, e +ϕ + ϕ =, on obtient R, + ϕ e +ϕ + ϕ = ou encore R, ϕ = e+ϕ e +ϕ + On en déduit par récurrence que ϕ est de classe C sur R et en particulier admet en un développement limité d ordre 3 Déterminons ce développement limité ère solution Puisque e + + =, on a ϕ = L égalité fournit alors ϕ = et on peut poser ϕ = + a + b 3 + o 3 On obtient e +ϕ = e +a +b 3 +o 3 = + + a + b a o 3 6 = + + a + + b + a o 3 48 L égalité e +ϕ + ϕ = fournit alors a a = et b + a + + b = ou encore a = 48 6 et b = 9 ème solution On a déjà ϕ = et ϕ = En dérivant l égalité, on obtient et donc ϕ ϕ = + ϕ e +ϕ e +ϕ + + ϕ e +ϕ e +ϕ e +ϕ + = + ϕ e +ϕ e +ϕ +, = = De même, 6 e +ϕ ϕ 3 = ϕ e +ϕ + + ϕ e +ϕ + ϕ e +ϕ ϕ e +ϕ + ϕ e +ϕ e +ϕ +, 3 et donc ϕ3 6 = / 4 + = La formule de Talor-Young refournit alors 8 9 ϕ = o3 n o 7 : On dérive par rapport à λ les deu membres de l égalité fλ = λ r f et on obtient n =,, n R n, λ >, i λ = rλ r f, i et pour λ =, on obtient =,, n R n i= n i= i i = rf c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-francefr

6 n o 8 : f est de classe C sur R qui est un ouvert de R Donc si f admet un etremum local en un point, de R,, est un point critique de f { { { 3 df, = = = = 3 = = ou = 4 4 Réciproquement, r = 6+6, t = et s = 6 puis rt s = 36 Ainsi, rt s, = rt s, = 44 < 4 4 et f n admet pas d etremum local en, ou, 4 4 f n admet pas d etremum local sur R La fonction f est de classe C sur R en tant que polnôme à plusieurs variables Donc, si f admet un etremum local en, R,, est un point critique de f Soit, R, =, = { = =, {,,,,, } { = = { = 3 = Réciproquement, f est plus précisément de classe C sur R et r, t, s, = = = 483,, rt s = 48 > Donc f admet un etremum local en Plus précisément, puisque,, r = 4 = >, f admet un minimum local en De plus, pour, R, f, f, = = , et f est un minimum global = = + Pour tout, R, f, = f, et donc f admet aussi un minimum global en, égal à 8 f, = Pour ], f, = 4 > et donc f prend des valeurs strictement supérieures à f, dans tout voisinage de, Pour, [ \ {}, f, = 4 = < et f prend des valeurs strictement inférieures à f, dans tout voisinage de, Finalement, f n admet pas d etremum local en,, f admet un minimum global égal à 8, atteint en et, n o 9 : On munit M n R d une norme sous-multiplicative Soit A GL n R On sait que GL n R est un ouvert de M n R et donc pour H M n R de norme suffisamment petite, A + H GL n R Pour un tel H puis A + H A = A + H I n A + HA = A + H HA A + H A + A HA = A + H HA + A HA = A + H HA + A + HA HA = A + H HA HA Par suite, fa + H fa + A HA = A + H A + A HA A + H A H Maintenant, la formule M = t comm, valable pour tout M GL n R, et la continuité du déterminant detm montre que l application M M est continue sur l ouvert GL n R On en déduit que A + H tend vers A quand H tend vers Par suite, c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 6 http ://wwwmaths-francefr

7 lim H A + H A H = et donc lim H H Comme l application H A HA est linéaire, c est la différentielle de f en A A GL n R, H M n R, df A H = A HA A + H A + A HA = n o : Pour tout complee z tel que z, + sinz = n zn+ + n +! z n+ = sh z sh, n +! n= e i e i l égalité étant obtenue effectivement pour z = i car sini = i = e e = sh n= Ma{ sinz, z C, z } = sh n o : Pour, R, on pose P, = + + e + = Q, Les fonctions P et Q sont de classe C sur R qui est un ouvert étoilé de R Donc, d après le théorème de Schwarz, ω est eacte sur R si et seulement si P = Q et comme P = + e+ = Q, la forme différentielle ω est une forme différentielle eacte sur R Soit f une fonction f de classe C sur R df = ω, R,, = + + e+, = + + e+ { f, = g C R, R/, R, + + e + + g + e + + g = + + e + { λ R/, R f, =, + + e + + g g = + λ λ R/, R / f, = + + e + + λ Les primitives de ω sur R sont les fonctions de la forme, + + e + + λ, λ R Remarque On pouvait aussi remarquer immédiatement que si f, = + + e + alors df = ω La forme différentielle ω est de classe C sur Ω = {, R / > } qui est un ouvert étoilé de R car convee Donc, d après le théorème de Schwarz, ω est eacte sur Ω si et seulement si ω est fermée sur Ω = + = 3 = + 3 = + 3 = = + 3 = + 3 = Donc ω est eacte sur l ouvert Ω Soit f une fonction f de classe C sur R df = ω, Ω,, =, = g C R, R/, Ω, λ R/, Ω, f, = Les primitives de ω sur Ω sont les fonctions de la forme, + g f, = + g = + λ + λ, λ R c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 7 http ://wwwmaths-francefr

8 3 ω est de classe C sur R \ {, } qui est un ouvert de R mais n est pas étoilé On se place dorénavant sur Ω = R \ {,, ], ]} qui est un ouvert étoilé de R Sur Ω, ω est eacte si et seulement si ω est fermée d après le théorème de Schwarz Ω + = + = + df = ω, Ω, Donc ω est eacte sur Ω Soit f une application de classe C sur, = +, = + g C R, R/, Ω,, = ln + + g + + g = + λ R/, Ω, f, = ln + + λ Les primitives de ω sur Ω sont les fonctions de la forme, ln + + λ, λ R Les fonctions précédentes sont encore des primitives de ω sur R \ {, } et donc ω est eacte sur R \ {, } 4 ω est de classe C sur ], + [ qui est un ouvert étoilé de R Donc ω est eacte sur ], + [ si et seulement si ω est fermée sur ], + [ d après le théorème de Schwarz = et = Donc et ω n est pas eacte sur ], + [ On cherche un facteur intégrant de la forme h :, g + où g est une fonction non nulle de classe C sur ], + [ g + = g + g + et g + = g + + g + hω est eacte sur ], + [, ], + [, g + g + = g + + g +, ], + [, g + + g + = t >, tg t + gt = λ R/ t >, gt = λt La forme différentielle + ω est eacte sur ], + [ De plus, d = + d + d = + ω n o 3 : Soit f une application de classe C sur R Posons f, = gu, v où u = + et v = + L application, +, + = u, v est un automorphisme de R et en particulier un C -difféormorphisme de R sur lui-même De même, = g u + g v et donc = u gu, v = g u + v g v = g u + g v = g u + g v g u g v = g u Par suite, = g u = h C R, R/ u, v R, gu, v = hv h C R, R/, R, f, = h + Les solutions sont les, h + où h C R, R Par eemple, la fonction, cos + + est solution Soit f une application de classe C sur R \ {, } Posons f, = gr, θ où = r cosθ et = r sin θ L application r, θ r cosθ, r sinθ =, est un C -difféormorphisme de ], + [ [, π[ sur R \ {, } De plus, c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 8 http ://wwwmaths-francefr

9 et g r = f, = r r + r g θ = f, = θ θ + θ = cosθ + sin θ, = r sinθ + r cosθ = Donc = g θ = h C ], + [, R/ r, θ ], + [ [, π[, gr, θ = h r h C ], + [, R/, R \ {, }, f, = h + h C ], + [, R/, R \ {, }, f, = h + Les solutions sont les, h + où h C ], + [, R 3 Soit f une fonction de classe C f sur ], + [ R D après le théorème de Schwarz, = f Soit ϕ : ], + [ R ], + [ R Donc si on pose f, = gu, v, on a g = f ϕ u, v u, uv =, Soit,, u, v ], + [ R ], + [ R ϕu, v =, { u = uv = { u = v = Ainsi, ϕ est une bijection de ], + [ sur lui-même et sa réciproque est l application ϕ : ], + [ R ], + [ R,, = u, v De plus, ϕ est de classe C sur ], + [ R et son jacobien J ϕ u, v = v u = u ne s annule pas sur ], + [ R On sait alors que ϕ est un C -difféomorphisme de ], + [ R sur lui-même Puisque g = f ϕ et que ϕ est un C -difféomorphisme de ], + [ R sur lui-même, f est de classe C sur ], + [ R si et seulement si g est de classe C sur ], + [ R = u g u + v g v = g u g v = u g u + v g v = g v f = g u g g = v u g u v f = g u g = g v v v g v g 3 v f = g = g v v Ensuite, g + 3 v g u v + g 4 v = g u g u v + g 4 v + g 3 v Ainsi, f + f + f = g u g u v + g v + = g u g v + g v v g v g v + g v c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 9 http ://wwwmaths-francefr

10 , ], + [ R, f, + f, + f, = u, v ], + [ R, g uu, v = h C g R, R/ u, v ], + [ R, u, v = hv u h, k C R, R / u, v ], + [ R, gu, v = uhv + kv h, k C R, R /, ], + [ R, f, = h + k Les fonctions solutions sont les, h + k où h et k sont deu fonctions de classe C sur R n o 3 : On munit R 3 de la norme définie par, R 3,, = Ma{ h, k } Soit a, b R 3 Pour h, k R 3, fa, b + h, h = a + hb + k = ab + ah + bk + hk, et donc fa, b + h, h fa, b = ah + bk + hk Maintenant l application L : h, k ah + bk est linéaire et de plus, pour h, k,, et donc fa, b + h, h fa, b Lh, k = hk h k h, k, fa, b + h, h fa, b Lh, k h, k puis h, k lim h,k, fa, b + h, h fa, b Lh, k = h, k Puisque l application h, k ah + bk est linéaire, on en déduit que f est différentiable en a, b et que h, k R 3, df a,b h, k = ah + bk La démarche est analogue pour le produit vectoriel : h, k a + h b + k a b a h b k = h k h, k h k h, k h, k Puisque l application h, k a h+b k est linéaire, on en déduit que g est différentiable en a, b et que h, k R 3, dg a,b h, k = a h + b k n o 4 : Pour tout E, f = + < + = Donc f est bien une application de E dans B + Si =, pour E, f = + = = Soit alors B \ {} Pour E, f = = + λ K/ = λ Donc un éventuel antécédent de est nécessairement de la forme λ, λ R Réciproquement, pour λ R, fλ = λ et donc + λ fλ = λ + λ = λ = + λ λ et λ = ou λ < et + λ = λ = car < Dans tous les cas, admet un antécédent par f et un seul à savoir = f est bijective et B, f = Ainsi, On sait que l application est continue sur R Donc l application + est continue sur R en tant qu inverse d une fonction continue sur R à valeurs dans R, ne s annulant pas sur R L application est continue sur B pour les mêmes raisons Donc les applications f et f sont continues sur R et B respectivement et on a montré que c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

11 l application f : E B + est un homéomorphisme n n o 5 : ère solution Pour =,, n R n, f = i f est de classe C sur R n \{} en vertu de théorèmes générau et pour tout =,, n R n \ {} et tout i, n i= i = i n i= i = i On en déduit que f est différentiable sur R n \ {} et pour R n \ {} et h R n df h = n i= h i = i n i= i h i = h R n \ {}, h R n, df h = h ème solution Soit R n \ {} Pour h R n, puis + h = + h + h + + h + = h + h + h +, + h h = h + h + h + h = + h h + h + h + Maintenant, on sait que l application est continue sur R n On en déduit que + h + h et aussi que + h tend vers quand h tend vers Ensuite, puisque h h inégalité de Cauch- Schwarz, on a h = O h puis + h h = o h h h Finalement, + h h + h + h + = h o h et donc + h = h + h + o h Puisque l application h h est linéaire, on a redémontré que f est différentiable en tout de R n \ {} et que R n \ {}, h R n, df h = h Soit L une application linéaire de R n dans R c est-à-dire une forme linéaire h + h Lh = L h h Supposons que cette epression tende vers quand h tend vers Pour u vecteur non nul donné et t réel non nul, tu l epression L = t u tu t L tend donc vers quand t tend vers Mais si t tend vers par valeurs u supérieures, on obtient Lu = u et si t tend vers par valeurs inférieures, on obtient Lu = u ce qui est impossible car u Donc f n est pas différentiable en c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

12 n o 6 : On pose BC = a, CA = b et AB = c et on note A l aire du triangle ABC Soit M un point intérieur au triangle ABC On note I, J et K les projetés orthogonau de M sur les droites BC, CA et AB respectivement On pose u = aire de MBC, v = aire de MCA et w = aire de MAB On a dm, BC dm, CA dm, AB = MI MJ MK = u a v b w c = 8 uva u v abc Il s agit alors de trouver le maimum de la fonction f : u, v uva u v sur le domaine T est un compact de R En effet : T = { u, v R / u, v et u + v A } - u, v T, u, v = u + v A et donc T est bornée - Les applications ϕ : u, v u, ϕ : u, v v et ϕ 3 : u, v u + v sont continues sur R en tant que formes linéaires sur un espace de dimension finie Donc les ensembles P = {u, v R / u } = ϕ [, + [, P = {u, v R / v } = ϕ [, + [ et P 3 = {u, v R / u + v } = ϕ 3 ], ] sont des fermés de R en tant qu images réciproques de fermés par des applications continues On en déduit que T = P P P 3 est un fermé de R en tant qu intersection de fermés de R Puisque T est un fermé borné de R, T est un compact de R puisque R est de dimension finie et d après le théorème de Borel-Lebesgue f est continue sur le compact T à valeurs dans R en tant que polnôme à plusieurs variables et donc f admet un maimum sur T Pour tout u, v appartenant à la frontière de T, on a fu, v = Comme f est strictement positive sur T = {u, v R / u >, v > et u + v < }, f admet son maimum dans T Puisque f est de classe C sur T qui est un ouvert de R, si f admet un maimum en u, v T, u, v est nécessairement un point critique de f Soit u, v T u, v = { { u va u v = u + v = A ua u v = u + v = A u = v = A 3 u, v = v A Puisque f admet un point critique et un seul à savoir u, v = 3, A, f admet son maimum en ce point et ce 3 maimum vaut fu, v = A 3 Le maimum du produit des distances d un point M intérieur au triangle ABC au cotés 7 de ce triangle est donc 8A 3 7abc Remarque On peut démontrer que pour tout point M intérieur au triangle ABC, on a M = bara, aire de MBC, B, aire de M Si maintenant M est le point en lequel on réalise le maimum, les trois aires sont égales et donc le maimum est atteint en G l isobarcentre du triangle ABC n o 7 : Soient A et B les points du plan de coordonnées respectives, a et a, dans un certain repère R orthonormé Soit M un point du plan de coordonnées, dans R Pour, R, f, = MA + MB = MA + MB AB avec égalité si et seulement si M [AB] Donc f admet un minimum global égal à AB = a atteint en tout couple, de la forme λa, λa, λ [, ] n o 8 : Puisque la fonction ch ne s annule pas sur R, g est de classe C sur R et pour, R, g cos, = sin ch f ch puis De même, g, = 4cos ch f = 4 cos ch f cos ch cos ch + 4 sin ch f cos ch + 4 cos cos ch f ch c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

13 g cos, = cossh ch f ch puis g, = 4sh ch cos cosch3 ch 4 f ch cos ch Donc, pour tout, R, = 4 cos ch 3 ch + f ch g, = cos 4 ch f + 4 cos sh cos ch 4 f ch + 4 cos ch cos ch 4 f ch cos + cos cos ch ch f ch Maintenant, pour, R, cos cos et d autre part, l epression = cos décrit [, ] quand { } ch ch cos décrit R Donc,, R = [, ] Par suite, ch, R, g, = t [, ], t f t tf t = On cherche une application f de classe C sur ], [ Or cos ch = cos = ch cos = ch = = et π Z Donc { } kπ, R \,, k Z, g, = t ], [, t f t tf t = De plus, f n est pas constante si et seulement si µ = t ], [, t f t = λ R/ t ], [, f t = λ, µ R / t ], [, ft = λ argtht + µ L application t argth t convient λ t c, s, n o 9 : Soit, R La matrice jacobienne de f en, s écrit où c et s sont deu fonctions s, c, de classe C sur R telle que c + s = Il s agit dans un premier temps de vérifier que les fonctions c et s sont constantes sur R Puisque f est de classe C sur R f, d après le théorème de Schwarz, = f c Ceci s écrit encore = s s ou enfin c, R, c, s, = s, c, En dérivant par rapport à ou à, on obtient les égalités c c + s s c c deu vecteurs et c s s sont orthogonau au vecteur non nul s montre que les deu vecteurs c s et c s = et c c + s s = Ceci montre que les et sont donc colinéaires Mais l égalité sont aussi orthogonau l un à l autre Finalement, pour tout c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-francefr

14 c c,, R, les deu vecteurs, et s s sont nuls On en déduit que les deu applications c et s,, sont constantes sur R et donc, il eiste θ dans R tel que pour tout, R, la matrice jacobienne de f en, est cosθ sinθ sinθ cosθ Soit g la rotation d angle θ prenant la même valeur que f en, f et g ont mêmes différentielles en tout point et coïncident en un point Donc f = g et f est une rotation affine Soit f : R R de classe C dont la différentielle en tout point est une rotation Montrer que f est une rotation affine c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 4 http ://wwwmaths-francefr

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Devoir à la maison : correction

Devoir à la maison : correction Calcul différentiel 2 Sous-variétés : bilan Devoir à la maison : correction Exercice 1. Un exemple de sous-variété : les structures complexes Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que la donnée d une structure

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions de plusieurs variables Bernard Ycart Ce chapitre contient des techniques que vous utiliserez très souvent en physique, mais les justifications

Plus en détail

Olympiades Suisses de Mathématiques. Inéquations. Thomas Huber. Actualisé: 25 juin 2014. Table des matières

Olympiades Suisses de Mathématiques. Inéquations. Thomas Huber. Actualisé: 25 juin 2014. Table des matières Olympiades Suisses de Mathématiques Inéquations Thomas Huber Actualisé: 5 juin 04 Table des matières Transformations algébriques. Il n eiste pas de carrés négatifs Nous allons commencer ce script par la

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Le planimètre polaire

Le planimètre polaire Le planimètre polaire Document d accompagnement des transparents. Bruno eischer Introduction Dans mon exposé à La Rochelle, ou au séminaire de l IREM de Besançon, j ai volontairement consacré une longue

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL

BACCALAUREAT GENERAL ACCALAUREAT GENERAL Session 2009 MATHÉMATIQUES - Série ES - Enseignement de Spécialité Liban EXERCICE 1 1) 2) C 3) C 4) A Explication 1. Chacun des logarithmes existe si et seulement si x > 4 et x > 2

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Ensembles et applications. Motivations. Exo7

Ensembles et applications. Motivations. Exo7 o7 nsembles et applications Vidéo partie 1. nsembles Vidéo partie 2. Applications Vidéo partie 3. Injection, surjection, bijection Vidéo partie 4. nsembles finis Vidéo partie 5. Relation d'équivalence

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2 Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Logique. Plan du chapitre

Logique. Plan du chapitre Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3

Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3 Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre 9 : Intégrales triples Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mai 2013 suivant Chapitre 9 Intégrales triples 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Licence de Mathématiques 3

Licence de Mathématiques 3 Faculté des sciences et techniques Département de mathématiques 2004-2005 Licence de Mathématiques 3 M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Laurent Guillopé www.math.sciences.univ-nantes.fr/~guillope/m62/

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail