Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

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1 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires Conclusion : les trois points A, B et C définissent un plan b A P est vrai ; B P est vrai ; C P 4+ ) 5+4 est vrai Le plan P est donc bien le plan ABC) a D après 1, AB AC ) 1+ 4)+ ) 1) Les vecteurs AB et AC sont donc orthogonaux, les droites AB) et AC) perpendiculaires Conclusion : le triangle ABC est rectangle en A b Le vecteur n a ; b ; c) est un vecteur normal au plan d équation ax+by+cz d Ici le vecteur n ; 1 ; ), vecteur normal au plan P est donc un vecteur directeur de la droite ) Si M ) alors OM λ n Cette égalité vectorielle se traduit par le système : x λ y λ, λ R z λ c Puisque K O) P, K O) Le point K est commun à ) et à P En utilisant la question précédente, on a x K + y K z K + 4 λ+ λ λ)+4 9λ+4 λ 4 9 Conclusion : les coordonnées de K sont donc 9) ) 8 9 Donc OK ) Conclusion : OK ; 4 9 ; 8 9 ) d On prend pour base ABC) et la hauteur est donc [OK] D après 1, AB 4+48, donc AB ; AC , donc AC3 L aire du triangle rectangle ABC est : AB AC Donc V OABC) 6 OK a Le barycentre G existe car la somme des coefficients est non nulle Il est tel que 3 GO + GA + GB + GC b I centre de gravité du triangle ABC est l isobarycentre du système de points pondérés {A, 1),B, 1),C, 1)} D après l associativité du barycentre, G est le barycentre plus précisément l isobarycentre) du système de points pondérés {O, 3), I, 3)} G est donc le milieu de [OI], donc appartient à la droite OI) c On sait que OI 1 OA + OB + OC ) Les coordonnées de I sont donc ; 3 ; 15 ) 4 Celles de G : 3 3 ; 1 3 ; 5 ) La distance de G au plan P est donnée par xg + y G z G dg, P ) ) 3 3 6

2 Baccalauréat S 4 En utilisant la relation de Chasles 3 MO + MA + MB + MC 3MG + 3GO + MG + GA + MG + GB + MG + GC 6MG, par définition du barycentre On a donc MO + MA + MB + MC MG GM 6 L ensemble Γ est donc la sphère de centre G et de rayon 5 6 D après la question 3 c, la distance de G au plan P est égale à < 5 6 Le plan P et la sphère Γ sont donc sécants : l intersection est un cercle EXERCICE Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points 1 Question de cours : il suffit de montrer que le complexe z ω a pour module z ω 1 et a un argument égal à θ à π près a D après le résultat précédent si M z ) est l image de Mz) par la rotation R on a alors : z +i)e i π 3 [z +i)] ) z i [z +i)]++i ) z i z 1+i ) 3)1+i)++i z i z i 1 3 ) qui est l écriture complexe de R b En appliquant cette relation à l affixe de I, on obtient : z A 1 ) i ) c On a IB 1+i ; de même IO 1+i D après la définition de la rotation R, le triangle BIA est isocèle d angle au sommet de mesure π 3 : c est donc un triangle équilatéral Donc IB AB IA IO En particulier les points les points O, A et B sont équidistants de I Ils sont sur le cercle de centre I et de rayon On a 1+i ++i), c est-à-dire que I est le milieu du diamètre [OB] Le triangle OAB est donc inscrit dans le cercle précédent : il est donc rectangle en A Par complément à π, on trouve que u, OB ) argz I ) π 4 d On a En appliquant la relation de Chasles : π 4 π 6 π 1 OA, OB )π π π 3 π 6 u u, OA ), OB ) OA, OB ) 3 a A T A) L affixe du vecteur IO est 1 i On a donc z A 1 ) ) 1 ) i ) i i b On a par définition de la translation IO AA OIAA est un parallélogramme ; de plus d après c AI IO ; La quadrilatère OIAA est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur : c est donc un losange mais pas un carré car IO, IA ) π 3 ) c On sait que OA, ) OI π 3 et OA, OI ) π ; en appliquant la relation de 6 u ) Chasles on obtient, OA u, OA ) OA, ) OA π 1 π 6 π 1 Pondichéry 1 avril 7

3 Baccalauréat S B I A O A EXERCICE Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité 5 points 1 Voir le cours a Triangle OAG) : on a OA, OG 9+1 1, AG Triangle OEF : on a OE, OF 5, EF 1 On remarque que OA OE OG 1 OF AG 5 EF 1 Conclusion : Les triangles OAG et OEF sont donc semblables b S il existe une similitude indirecte S transformant OAG en OEF, son écriture est de la forme : z az+ b, avec a C, b C On a donc SO)O SG)F SA)E a +b 1+i a +b +i a 3 i)+b Or a +i)3+i) 3 i)3+i) 5+5i i) L écriture complexe de S est donc : z 1 c L écriture complexe de h est : z 1 z 1+iz ) b a 1 1+i) a +i 3 i L affixe de A est donc Le milieu I de [EA ] a pour affixe i L équation de la droite OI) est donc y 1 ) x Calculons OI EA ) + 1 1) 1 1 E est l image de A par l homothétie h suivie de la symétrie σ ) De même G3+i), donc G 3 + i ) Le milieu J de [FG ] a pour affixe i Pondichéry 3 1 avril 7

4 Baccalauréat S ) On a ) appartient bien à la droite OI) De même OI FG 1+ ) 1+ 3 Donc le point J 4 3 ) ) F est donc l image de G par la symétrie σ et F est l image de G par l homothétie h suivie de la symétrie σ Enfin O est l image de O par l homothétie h suivie de la symétrie σ Conclusion : d après la question 1, on a S σ h E F G I G A A EXERCICE 3 Commun à tous les candidats 5 points 1 Le numérateur de f est la composée d une fonction affine et de la fonction ln Elle est donc dérivable pour x > 3 Le dénominateur est une fonction affine f est donc dérivable comme quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s annulant pas sur [ ; + [ On calcule f 1 lnx+ 3) x) x+ 3) Comme x+ 3) 9 >, la dérivée est du signe de 1 lnx+ 3) Or 1 lnx+ 3) lnelnx+ 3) ex+ 3 x e 3< On a x x+ 33>e x+ 3>e lnx+ 3)>ln e lnx+ 3)> 1 >1 lnx+ 3) Conclusion : sur [ ; + [, f x) < et la fonction est décroissante sur cet intervalle On a f ) ln3 ln u et en posant ux+ 3, lim f x) lim 3 x + u + u D où le tableau de variations de f : x + f f x) ln 3 3 a Si n x n+1 alors par décroissance de la fonction sur f sur [ ; + [, f n+ 1) f x) f n) b En intégrant de n à n+ 1 les fonctions précédentes on obtient l encadrement : Pour tout entier naturel n, Pondichéry 4 1 avril 7

5 Baccalauréat S n+1 n f n+ 1) dx f n+ 1)u n f n) n+1 n f x) dx n+1 n f n) dx ou c En appliquant le théorème des gendarmes, u n qui est encadré par deux nombres qui ont pour limite a pour limite 3 a La fonction définie par x ux) lnx+ 3) est dérivable sur [ ; + [, ainsi que la fonction définie par u u Par composition, la fonction F est dérivable sur [ ; + [ Sur cet intervalle, F x)u u lnx+3) 1 lnx+ 3) f x) x+ 3 x+ 3 b D après la question précédente, pour tout entier naturel n : n [ F x) I n f x) dx I n [lnn+ 3) [ln 3] 4 Pour tout entier n, S n u + u u n 1 n n 1 f x) dx n ] n f x) dx par application de la relation de Chasles Finalement : S n I n [lnn+ 3) [ln 3] Comme n+ 3) +, lim lim n + lim S n + n + La suite S n ) est divergente 1 [F x)]n 1 [F n) F)] 1 f x) dx+ f x) dx+ + 1 lnn+ 3)+, lim [lnn+ n + n + 3)] + et EXERCICE 4 Commun à tous les candidats 6 points 1 La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n 5 et p,1 Pour k 5, PX k) 5) k,1 k,9 5 k PA)1 PX )1,9) 5,9948,995 au millième PB)PX )+PX l)+px ), ,1, ,1,9 48,11179,11 au millième PC)1 PB) 1,11179,888 au millième a La probabilité qu au moins trois personnes répondent est : PX 3) [ e a a 1 [PX )+PX l)+px )]1 + e a a 1 + e a a ]! 1!! [ ] 1 e a 1+ a+ a b f 5)1 e ) 1 e 5 37,8753,875 au millième a 5 correspond à n 5 : on est donc dans la situation de la question 1 où on avait une probabilité de,888 ; on a donc un résultat voisin 3 a La fonction est définie et dérivable sur R On a f x)e x 1+ x+ x ) 1 x e x x Comme x, e x >, f x) La fonction f est croissante sur R f ) Comme f x) 1 1 e x x e x x derniers termes est nulle en+, on a e x lim x + la limite de chacun des trois f x)1 D où le tableau : Pondichéry 5 1 avril 7

6 Baccalauréat S x + f + f x) 1 b Sur R, f est continue et strictement croissante de à 1 Or <,95<1 donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel α tel que f α),95 La calculatrice indique : f 6,9),94979 et f 6,3),95815 On a donc 6,9< α<6,3 c La probabilité qu au moins trois personnes répondent parmi n personnes ) interrogées est f x)1 e x 1+ x+ x et x n Pour que f x),95 1 ou d après la question précédente f x) f α) il faut que x α, d après la croissance de la fonction f vue au 3 a C est-à-dire que n 6,3 1 n 63 Il faut donc interroger au minimum 63 personnes Pondichéry 6 1 avril 7

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