Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :"

Transcription

1 LM323 Envoi Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés : 3-15 à 21, 24, 26 à 31, 34, 35, 38 à 40, 43 ; 4-3 ; 5-1, 2, 3, 5 à 7 ; 6-1 à 3, 5, 6, 9 à 11. Corrigés des exercices sur l inversion. Corrigé de l exercice de révision. Programme de la période couverte par l envoi Il faut finir les sections 1 et 2 du chapître 3. Les exercices correspondant à la section 3.3 sont imbriqués avec ceux des sections 3.1 et 3.2 et sont corrigés ici. JLJ

2 2 Devoir 2 Exercice n o 1 Soit ABC un triangle non isocèle, C i son cercle inscrit, I, J, K les points de contacts de C i avec BC, CA, AB, G le point de concours de JB et AI, C A, C B les cercles de centres A, B de rayons AK, BK, I une inversion de pôle K et de cercle d inversion C, D A = I ( C A ), D B = I ( C B ). On note pour M K, M = I(M), pour M N non alignés avec K, C MN = I ( (MN) ) et O MN le centre de C MN, pour M K, M la médiatrice de MK, et pour M N, MN celle de MN, D, E les milieux de KA, KB, Ω le centre du cercle circonscrit à I J K. 1) Vérifiez que D A = A et D B = B. 2) Montrer que D E I J est un rectangle. 3) Montrer que O AJ O BI O BJ O AI est un parallélogramme de centre Ω. 4) Montrer que K, G et C sont alignés. 5) Conclusion? Dans le cas de la figure et dans le repère orthonormé ( K, ı, j ), les coordonnées de A, B, C sont respectivement (0, 14), (0, 7), (12, 2) et la puissance de I est k = 56.

3 3 Exercice n o 2 Soit E un espace affine orienté de dimension 3, dirigé par un espace vectoriel E, ABC, A B C des triangles tels que AB = A B, BC = B C, AC = A C, P le plan contenant ABC et P celui contenant A B C. On suppose P P. On note Π la direction de P, Π la direction de P, U = AA, V = BB et W = CC, G le sous-espace affine engendré par {U, V, W } et G sa direction, F le sous-espace vectoriel engendré par {U, V, W }. 1) Soit (e i ) 1 i d une base d un espace vectoriel euclidien E et ψ une application linéaire. Montrer que ψ est une isométrie 1 i, j d, ψ(e i ) ψ(e j ) = e i e j. 2) Montrer qu il existe une isométrie positive unique φ telle que φ(a) = A, φ(b) = B, φ(c) = C. On suppose que φ est une rotation ou un vissage et on note D son axe, = Ker ( φ Id ) la direction de D, θ : E E, l application affine M θ(m) = Mφ(M). 3) Montrer que G = ( ) φ Id (Π) et que G = θ(p). 4) Montrer que dim G = 2 dim(π ). 5) Préciser dim F et dim G selon que φ est une rotation ou un vissage et selon la position de D par rapport à P.

4 4 Corrigé du devoir 1 Exercice n o 1 1) Pour un point M de P, (ΩM) P si et seulement si la droite (ΩM) n est pas parallèle à P. Soit P Ω le plan parallèle à P et passant par Ω. Alors la droite (ΩM) n est pas parallèle à P si et seulement si elle n est pas parallèle à P Ω, ce qui revient à dire que M / P Ω. Donc E = P \ P Ω. En posant D Ω = P P Ω, on a E = P \ D Ω. 2) Un point M P est dans π(e) si et seulement si la droite (ΩM ) rencontre P. Cette question est donc analogue à la précédente. On note P Ω le plan parallèle à P passant par Ω et D Ω = P P Ω. Alors π(e) = P \ D Ω. 3) La droite D Ω étant le complémentaire de E dans P, DΩ = et il n y a rien à dire. Pour une droite D quelconque, on a toujours π( D) π(e). De plus, si M D, alors (ΩM) P D, d où π(m) P D. Donc π( D) π(e) P D. Montrons l inclusion réciproque. Un point M de π(e) a un antécédent M qui est l intersection de la droite (ΩM ) avec P. Si M P D, alors (ΩM ) P D et M P D P. Donc M D et comme M / D Ω, M D. On en déduit M π( D) soit π(e) P D π( D), d où l égalité. 4) Soit u un vecteur directeur des deux droites en question. Alors il est inclus dans les deux plans vectoriels P x et P y dirigeant P x et P y. Or P x P y est une droite vectorielle contenant u. Elle est donc engendrée par u et dirige P 1 P 2. D où le résultat. 5) On suppose que les droites sont distinctes de D Ω. La droite D 3 est parallèle à la droite P D1 P et passe par Ω. Donc D 3 P D1. De même D 3 P D2. Donc D 3 = P D1 P D2. De plus D 3 est parallèle à P, d où D 3 P Ω. Deux cas se présentent : soit D 3 et D Ω sont parallèles, soit elles sont sécantes. Si D 3 D Ω, alors π( D 1 ) et π( D 2 ) sont des droites parallèles à D Ω. D après 4) appliqué à P D1 et P, D 1 est parallèle à D Ω. De même pour D 2. Réciproquement si deux droites D 1 et D 2 sont parallèles à D Ω alors elles sont incluses dand E et, à nouveau en appliquant 4) à P D1 et P, π(d 1 ) est parallèle à D Ω. De même pour π(d 2 ). Si D 3 rencontre D Ω en un point Q, alors les plans P D1 et P D2 contiennent Q. Donc D 1 et D 2 sont sécantes en Q. Réciproquement si deux droites D 1 et D 2 sont sécantes en Q D Ω, alors la droite (ΩQ) est l intersection de P D1 et de P D2. Cette droite étant parallèle à P, est, d après 4) parallèle à P D1 P et à P D2 P. Donc π( D 1 ) et π( D 2 ) sont des droites parallèles à la droite (ΩQ).

5 5 π(d 2 ) P π(d D 1 ) Ω D 3 Ω D i P D 1 Q D 2 D Ω 6) On reprend les notations de l exercice Il s agit d utiliser les questions précédentes, pour transformer des couples de droites sécantes dans un plan, en couples de droites parallèles. On note P le plan contenant les droites D et D et la droite (αγ). On choisit un point Ω quelconque en dehors de P et on choisit pour P un plan parallèle au plan contenant et Ω. On utilise alors l application π. La droite joue le rôle de D Ω dans les questions précédentes. Les droites (AB ) et (B A) se coupant en γ, donc sur, sont transformées en deux droites ( π(a)π(b ) ) et ( π(a )π(b) ) parallèles et de même (B C) et (C B) se coupent en α donc sur, de sorte que ( π(b )π(c) ) et ( π(c)π(b ) ) sont parallèles. Le Théorème de Pappus parallèle, appliqué sur P, entraîne que ( π(a)π(c ) ) et ( π(a )π(c) ) sont parallèles. D après 4), (AC ) et (CA ), qui ne sont pas parallèles, sont sécantes sur. Donc β est aligné avec α et γ.

6 6 Exercice n o 2 Partie I 1) Le quadrilatère HO B CO A a ses côtés de longueur R. Comme H C et O B O A, c est un losange ou un carré, donc un parallélogramme. 2) De 1) on déduit O B C = HO A. Par symétrie du problème on a aussi O C B = HO A, d où O B C = O C B. Donc CO B O C B est un parallélogramme. C B C A H O B O A C I O C A B C C 3) Comme HO B AO C est un losange, AH O B O C. Or O B O C BC, soit AH BC. Le point H est donc sur la hauteur de ABC issue de A. Par symétrie H est sur les trois hauteurs : c est l orthocentre de ABC.

7 7 4) Le point H est équidistant de O A, O B, O C. Le cercle circonscrit à O A O B O C est donc le cercle de centre H et de rayon R. D après 2) O B B et O C C ont même milieu, de même que O A A. Soit I ce milieu. Les triangles ABC et O A O B O C sont symétriques par rapport à I. Donc les cercles circonscrits à ABC et O A O B O C ont même rayon : R. Partie II 5) Par hypothèse A C = BA = CB. Il en découle que C est le milieu de A B et de même pour A et B. Par Thales AB A B. La hauteur de ABC issue de C est donc également la médiatrice du segment A B. Or les hauteurs de ABC concourent en H et les médiatrices de A B C concourent au centre de C. D où l égalité entre les deux points. 6) Soit h = h A,2 l homothétie de centre A et de rapport 2. Alors h(a BC) = A C B, d où h(c A ) = C. Or C A et C ont le point A en commun. Soit T A et T les tangentes en A de ces cercles. Alors {A } = h(t A C A ) = h(t A ) h ( C A ) = TA C. Donc T A = T, d où C A et C sont tangents. 7) Comme C est intérieur à C, le cercle C A, qui est tangent à C et contient C, est également intérieur à C. De plus C A a un diamètre moitié de celui de C et contient donc son centre H. Idem pour C B et C C. 8) Soit A le milieu de BC et σ la symétrie centrale associée. Alors σ(a CB) = ABC, σ(c A ) = C et σ(h) = H A. Comme H C A, par symétrie H A C. Idem pour H B et H C. 9) On a vu au 6) que h(a BC) = A C B. Donc h(h A ) = K et H A est le milieu de A K. Idem pour H B et H C. 10) Le milieu de A K A est sur la droite BC. De plus A K A et BC sont orthogonaux. Donc K A est le symétrique de A par rapport à BC. Comme les cercles C A et C sont symétriques l un de l autre par rapport à BC, A C A = K A C.

8 8 C C B C A H C C B C C A K C B A C K A H B H A K B H C K

9 9 Exercice de révision sur le chapître 1 Exercice n o 1-51 On désigne par φ une application affine d un plan affine E dirigé par un plan vectoriel E. On suppose que Ker ( ) φ Id est une droite. Soit i un vecteur qui engendre et j tel que (i, j) est une base de E. 1) Déterminer F tel que φ (j) / F E = Ker( φ Id) Im( φ Id). On suppose pour la suite que E = Ker( φ Id) Im( φ Id). On note v et ψ tels que définis par la proposition 1.16 p 12 du poly. 2) Montrer qu il existe k E tel que (i, k) est une base propre de φ. 3) On fixe A E et on suppose que φ(a) = A + ci + dk. Calculer v. 4) Déterminer l ensemble des points fixes de ψ en supposant φ (k) = 2k. 5) Soit A, B, C, D des points distincts tels que AB CD. Montrer qu il existe une application affine unique σ telle que σ(a) = C, σ(b) = D, σ est une symétrie vectorielle par rapport à une droite. 6) Vérifier que la proposition 1.16 s applique ; préciser v et l ensemble des points fixes de ψ. 7) A quelle condition sur A, B, C, D σ est-elle une symétrie affine?

10 10 Exercices sur l inversion Exercice n o 3-45 Soit ABC un triangle et H un point du plan qui n est ni aligné avec BC, CA ou AB, ni cocyclique avec A, B et C. On suppose que les cercles C A, C B et C C respectivement circonscrits à BCH, CAH et ABH ont même rayon. 1) Montrer que le cercle C circonscrit à ABC a même diamètre que C B. Soit C(I, r) et C(O, R) les cercles inscrit et circonscrit d un triangle A B C, C(J, r ) un des cercles exinscrits 1 de A B C. 2) En calculant de deux façons le diamètre de l image de C(O, R) par l inversion de pôle I, montrer que OI 2 = R 2 2Rr. 3) Montrer que J est à l extérieur du disque limité par C(O, R). 4) Trouver une relation analogue à celle du 2) pour OJ, R et r. Exercice n o 3-46 Soit C 1, C 2, C 3 et C 4 des cercles tels que C 1 et C 2 sont sécants en A et B, C 2 et C 3 sont sécants en C et D, C 3 et C 4 sont sécants en E et F et enfin C 4 et C 1 sont sécants en G et H, les points A, B, C, D, E, F, G et H étant distincts. Montrer que {A, B, E, F } sont cocycliques ou alignés {C, D, G, H} sont cocycliques ou alignés. Exercice n o 3-47 Soit ABC un triangle, C(I, r) et C(O, R) ses cercles inscrit et circonscrit. D un point D de C(O, R), on mène les deux tangentes à C(I, r). Elles recoupent C(O, R) respectivement en E et F. Montrer que EF est tangent à C(I, r). On pourra utiliser la question 1) de l exo Voir exo 3-4

11 11 Corrigés d exercices Exercice n o 3-15 On a vu dans l exercice 2.17 que si ABC est un triangle inscrit dans un cercle C, l orthocentre H est à l intersection des symétriques de C par rapport aux 3 côtés. Les symétrique D, E, F de H par rapport à BC, CA, AB sont donc sur C. Comme les angles de ABC sont aigus, H est à l intérieur du triangle ABC. E A F H α α C B C α α On a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) DF, DA = CF, CA = CH, CA = CA, CE = DA, DE D où on a utilisé successivement AF DC cocycliques et les arcs AF, CD sont disjoints. H est sur le segment CF. E est le symétrique de H par rapport à AC. CDAE sont cocycliques et les arcs AE, CD sont disjoints. Donc la droite DH = DA est la bissectrice intérieure de ÊDF. Les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices intérieures du triangle DEF. Réciproquement soit DEF un triangle inscrit dans un cercle C. Les bissectrices intérieures de DEF recoupent C en trois points A, B, C. Il n y a plus qu à montrer que les hauteurs de ABC

12 12 sont les bissectrices de DEF, ce qui n est pas si évident. Il est plus simple de considérer les bissectrices extérieures de DEF, notées D D, D E et D F. Posons A = D E D F, B = D D D F et C = D D D E. D où D D = BC, D E = AC et D F = AB. D après l exercice 3-4, A est sur la bissectrice intérieure de ÊDF. La droite AD est donc cette bissectrice intérieure. D où AD D D = BC. Donc la hauteur de ABC issue de A est la droite AD, i.e. la bissectrice intérieure en D au triangle DEF. De même pour les droites BE et CF. C D D D B D E D F E A F Exercice n o 3-16 Montrons que la droite OI est bien définie. Raisonnons par la contraposée et supposons que O = I. Soit H le point de tangence de AB avec C. Par Pythagore r 2 + HA 2 = R 2 = r 2 + HB 2, d où AB 2 = 4(R 2 r 2 ). Donc les trois côtés ont même longueur, ce qui est exclus par hypothèse. Les points A, A, X et Y sont sur C. Comme les droites AA et XY se coupent en I, qui est à l intérieur du cercle, on a P C (I) = IX IY = IA IA. Donc IA/IX = IY/IA. Les écarts angulaires ÂIX et  IY étant égaux, il en découle que IAX et IA Y sont semblables. Pour montrer que BIA est isocèle montrons que les angles en B et en I sont égaux et plus précisément que (BA, BI) = (IB, IA ). On a (BA, BI) = (BA, BC) + (BC, BI). Par cocyclicité (BA, BC) = (AA, AC) et par définition de I, (BC, BI) = (BI, BA) et (AB, AI) = (AI, AC). Or AA = AI, d où (BA, BC) = (AA, AC) = (AI, AC) = (AB, AI). En substituant on obtient (BA, BI) = (AB, AI) + (BI, BA). La relation de Chasles puis l alignement de I, A et

13 13 A donnent (BA, BI) = (BI, AI) = (IB, IA ). Donc BIA est isocèle en A, d où IA = A B. Y C O A α r I A X B Passons à la démonstration de l égalité OI 2 = R 2 2Rr. Soit α la mesure de l angle  AB. Alors (cf exercice 3-2), A B = 2R sin α. Soit H le point de contact de C avec AB. Le triangle AIH est rectangle en H et IH = r. Comme ÎAH =  AB, on a r = IA sin α. D où R 2 OI 2 = IA IA = IA A B = IA 2R sin α = 2R IA sin α = 2rR. Il en résulte que 2rR R 2 soit 2r R, avec égalité uniquement dans le cas équilatéral. Exercice n o 3-17 Soit Π le plan euclidien et φ : Π 3 R + définie par φ(l, M, N) = LM + MN + NL. L application φ est continue et atteint son minimum sur tout compact. Comme AB BC CA est compact, φ atteint son minimum sur ce produit. Le problème a donc une solution. Supposons que le minimum est atteint en un triplet (P, Q, R) de points situés à l intérieur des côtés du triangle. Alors le minimum de l application M QM + MR, définie sur la droite

14 14 BC atteint son minimum en P. D après l exo 11, la droite BC est la bissectrice extérieure du secteur QP R. Les droites AB et AC sont les deux autres bissectrices extérieures du triangle P QR. On sait alors (cf fin de l exo 3-15) que les bissectrices intérieures de P QR portent les hauteurs de ABC. Donc P, Q et R sont les pieds des hauteurs de ABC, H A, H B et H C. Il reste à montrer que le minimum n est pas atteint en un triplet comprenant un point à la frontière des côtés, i.e. un des sommets. Imaginons que lorsque le minimum est atteint P = B. Alors P Q + QR + RP = BQ + QR + RB 2BR. Le minimum de R RB sur la droite AC est atteint en H B. Donc BQ + QR + RB 2BH B. Comme les angles de ABC sont aigus, H B est à l intérieur de AC. Pour Q = B et R = H B, BQ + QR + RB = 2BH B. C est donc le minimum de (Q, R) BQ + QR + RB, définie sur AB AC. Nous avons démontré que si le minimum est atteint avec un des sommets dans le triplet, alors ce minimum est le double de la hauteur issue de ce sommet. C est effectivement la configuration minimum si un des angles est obtus. Nous allons voir que si les angles sont aigus, on peut calculer H A H B +H B H C +H C H A et obtenir une valeur inférieure. Cela montrera que le minimum est atteint pour P = H A, Q = H C et R = H B. Soit σ et σ les symétries orthogonales respectivement par rapport aux droites AC et AB. Soit Q 1 = σ(h A ) et R 1 = σ (H A ). Les points Q 1, H B et H C sont alignés avec H B entre Q 1 et H C. De même les points R 1, H C et H B sont alignés avec H C entre R 1 et H B. Donc R 1, H C, H B et Q 1 sont alignés dans cet ordre. D où R 1 Q 1 = R 1 H C + H C H B + H B Q 1 = H A H C + H C H B + H B H A. Comme H A = σ(q 1 ), R 1 = σ (H A ) = σ σ(q 1 ). Soit θ = BAC. Alors σ σ est une rotation d angle 2θ et de centre A. Le triangle R 1 AQ 1 est un triangle isocèle en A et AQ 1 = AR 1 = AH A. On en déduit R 1 Q 1 = 2R 1 A sin θ = 2AH A sin θ. Comme sin θ < 1, cette valeur est strictement inférieure à 2AH A. Donc le minimum est bien atteint en (H A, H B, H C ). Exercice n o 3-18 Soit P un point de BC. Suposons que P est sur une des bissectrices de l angle en A. Soit D le symétrique de B par rapport à AP. Par hypothèse D est sur la droite AC. Le triangle BP D est isocèle en P et on peut le compléter par un point E de sorte que BP DE soit un losange. Le point E est sur la médiatrice de BD, soit la droite AP, et les droites ED et BP ou BC sont parallèles. Les triangles AED et AP C sont donc homothétiques, d où ED P C = AD AC. Comme ED = BP et AD = AB on obtient BP P C = AB AC. Réciproquement cette égalité détermine deux points sur BC, (un seul si AB = AC) que nous

15 15 venons d identifier. Autre méthode. Soit D la parallèle à AB passant par C. Elle coupe la bissectrice AP en un point E. Les triangles ABP et P CE sont homothétiques d où BP BA = P C. D autre part CE (AB, AP ) = (AP, AC) = (AE, AC) et (EC, EA) = (AB, AP ). Donc (EC, EA) = (EA, AC), ce qui implique que AEC est isocèle en C et que CE = AC. D où BP BA = P C ou encore AC BP P C = AB AC. Exercice n o 3-19 L angle orienté ( ) MA, MB est nul ssi M est sur la droite AB, à l extérieur du segment AB. De même ( ) MA, MB = π ssi M est à l intérieur du segment AB. Supposons α 0 mod π. Soit D la médiatrice de AB. Pour toute valeur de α la rotation ρ d angle α telle que ρ(a) = B est bien définie et a son centre O sur D. Ce centre n est pas sur la droite AB. On a ( ) OA, OB = α. Si ( ) MA, MB = α, alors (OA, OB) = (MA, MB) et M est sur le cercle C passant par O, A et B. Réciproquement si M est sur C \ {A, B}, alors ( ) ( ) MA, MB = α ou MA, MB = α + π. La fonction M ( ) MA, MB est continue sur les deux arcs qui constituent C \ {A, B}. Donc elle est constante sur ces deux arcs. Sur l arc contenant O, elle vaut α, et sur l arc ne contenant pas O elle vaut α + π car le vecteur unitaire directeur de AM subit une discontinuité lorsque M franchit A. Donc ( ) MA, MB = α si et seulement si M est sur l arc AB contenant O. L angle (MA, MB) est nul ssi M est aligné avec A et B. Supposons α non nul mod π. D après ce qu on vient de voir (MA, MB) = α M C \ {A, B}. L écart angulaire ÂMB est nul ssi M est sur la droite AB, à l extérieur du segment AB et ÂMB = π ssi M est à l intérieur du segment AB. En général ÂMB = α ( ) MA, MB = ±α. Aux signes + et - correspondent deux arcs de cercle limités par A et B, symétriques par rapport à AB. Exercice n o 3-20 Si A B = AB, il existe une isométrie positive f unique telle que f(a) = A et f(b) = B. On notera σ la symétrie par rapport à A B. Pour O M, on notera O M la demi-droite issue de O et passant par M. Les écarts angulaires sont préservés par f, d où B A f(c) = BAC = B A C. Cela signifie que A C et A f(c) sont identiques ou symétriques par rapport à A B. Comme A C = AC = A f(c), on conclut que f(c) et C sont égaux ou symétriques par rapport à A B. Si

16 16 f(c) = C, on prend φ = f. Si f(c) C, alors C = σ ( f(c) ) et il suffit de poser φ = σ f. On sait que A C = A f(c) ou σ ( A C ) = A f(c) et de même B C = B f(c) ou σ ( B C ) = B f(c) Si A C = A f(c), alors f(c) et C sont dans le même demi-plan limité par A B. D où B C = B f(c). Pour tout M / A B, M = (A M) (B M). En posant M = C puis M = f(c) on obtient C = f(c). On peut donc poser φ = f. Si σ ( A C ) = A f(c), alors f(c) et C sont de part et d autre de la droite A B et donc σ ( B C ) = B f(c). En prenant les intersections on obtient σ(c ) = f(c) ou encore C = σ f(c). On peut donc poser φ = σ f. Rappelons que si θ est l angle en A, BC 2 = BA BA AC + AC 2 = AB 2 2 cos θab AC + AC 2. Un écart angulaire étant déterminé par son cosinus, on voit que la donnée des trois côtés permet de déterminer les angles aux sommets. On peut donc se ramener au cas précédent. Exercice n o 3-21 La transformation φ est une application affine dont l application linéaire associée est la rotation d angle α + β + γ, i.e. π. Donc φ est une rotation d angle π ou encore une symétrie centrale. Soit K et I les points de contact du cercle inscrit avec CB et AB respectivement. Alors CJ = CK, BK = BI et AI = AJ. On en déduit que ρ C,γ (J) = K, ρ B,β (K) = I et ρ A,α (I) = J. Ceci entraîne que le point J est invariant par φ. Donc φ est la symétrie par rapport à J. Exercice n o 3-24 Les points A, T et M sont alignés de même que les points A, C et N. Comme T C MN, d après le théorème de Thalès, AN AC = AM AT. D autre part AB AC = P C(A) = AT 2. Il en découle AB AC AN AC = AT 2 AM, soit AB AN = AT AM. Cette égalité entraîne, d après la AT proposition 2.24, que M, N, T et B sont cocycliques. Exercice n o 3-26 Théorème de Miquel On peut utiliser deux critères de cocyclicité suivant que l on est plus à l aise avec les angles orientés de droites ou les écarts angulaires. Le premier est celui du poly, corollaire L autre dit que si M, N, P et Q se suivent dans cet ordre sur un cercle, alors MNP + P QM = π. La réciproque est vraie sous l hypothèse que le quadrilatère MNP Q est convexe, ou si on suppose également NP Q + QMN = π. Oublions ces détails et faisons comme si la condition MNP + P QM = π était nécessaire et suffisante.

17 17 C D α β C π β D β + δ π δ La figure ci-contre illustre comment on peut appliquer ce second critère de cocyclicité. Partant de B C C = α, on obtient, par la cocyclicité de B, B, C et C, B BC = π α. De même, B π α α + γ B π γ A γ δ A si B A A = γ, B BA = π γ. Comme B BA + B BC + ÂBC = 2π on obtient ÂBC = α + γ. De même, ÂDC = β + δ. D où, ÂBC + ÂDC = α + β + γ + δ = B C D + B A D. D après la cocyclicité de A, B, C et D, on sait que la somme de gauche vaut π et on en déduit que B C D + B A D = π. De même  B C +  D C = π. Et on conclut que A, B, C et D sont cocycliques... Mais la démonstration est fausse. En effet elle a été très influencée par la figure. Par exemple quand nous écrivons B BA + B BC + ÂBC = 2π, nous utilisons implicitement que B est à l intérieur du triangle AB C. De même lorsque nous écrivons B C D = α + β = B C C + ĈC D, nous utilisons implicitement que la demi-droite C C est dans le secteur B C D. Tout ceci est "évident sur la figure" mais est faux en général. Il suffit de faire une autre figure où le quadrilatère ABCD n est pas à l intérieur de A B C D, comme à la page suivante. Le premier critère de cocyclicité est donc plus adapté à une démonstration rigoureuse. C est lui que nous allons maintenant utiliser, en suivant notre figure fausse. Les seuls outils sont la cocyclicité et la relation de Chasles. Ceci étant nous avons (BA, BC) = (BA, BB ) + (BB, BC) = (A A, A B ) + (C B, C C). De même, (DA, DC) = (A A, A D ) + (C D, C C), d où en soustrayant : (BA, BC) (DA, DC) = (C B, A B ) (C D, A D ). Donc A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si A, B, C et D sont cocycliques. Il est très difficile de raisonner directement sur les angles orientés de droites avant d avoir

18 18 d abord compris sur la figure ce qui se passe, et ceci en manipulant sans précaution les écarts angulaires. Par contre les angles orientés sont indispensables lors de la rédaction. D C B C C A = B D C A Exercice n o 3-27 Droite de Simson Commençons par raisonner en termes d écarts angulaires en regardant la figure, et sans souci de rigueur. Puis nous ferons une démonstration en utilisant les angles orientés de droites. Les angles MP C et MQC sont droits. Donc M, R, Q et C sont cocycliques et ĈQP = ĈMP. De même ÂQR = ÂMR. Enfin M, R, B et P sont cocycliques de sorte que RMP + RBP = π. Toujours par cocyclicité, ÂMC + ÂBC = π. Comme ÂBP = RBC, on obtient RMP = ÂMC. Or RMP + ÂRM = ÂMP = ÂMC + ĈMP.

19 19 On en déduit que ÂMR = ĈMP, d où finalement, ÂQR = ĈQP. Comme A, Q, C sont alignés, R, Q, P le sont également. Cette démonstration suit la figure de trop près. Les trois points A, B, C ne sont pas traités de manière symétrique, ce qui est suspect. Passons à la traduction. M P C Par hypothèse (P C, P M) = π/2 et (RC, RM) = π/2. Donc M, Q, P, C sont cocycliques et de même M, P, R, B, et M, R, Q, A. D où Q et (QC, QP ) = (MC, MP ) (MA, MR) = (QA, QR). A R B Par cocyclicité (MR, MP ) = (BR, BP ) = (BA, BC). C Ces égalités, ainsi que Chasles ou les relations d alignement donnent : (QR, QP ) = (QR, QA) + (QC, QP ) = (MR, MA) + (MC, MP ) = (MR, MP ) + (MC, MA), soit (QR, QP ) = (BA, BC) (MA, MC) Finalement : P, Q et R sont alignés (QR, QP ) = 0 (BC, BA) = (MC, MA) A, B, C et M sont cocycliques M est sur le cercle circonscrit à ABC. Exercice n o 3.28 Droite de Steiner Cet exercice est un prolongement du précédent et les notations sont compatibles. Soit h = h M,2. Alors h(p ) = P, h(q) = Q et h(r) = R. Donc P, Q, R alignés P, Q, R alignés A, B, C, M cocycliques. Il reste à montrer que si M est sur le cercle circonscrit C à ABC, alors P, Q, R sont alignés avec H, l orthocentre de ABC. Si M = A alors Q = R = A et P est le symétrique de A par rapport à BC. Comme

20 20 AP BC, AP est la hauteur issue de A et contient H. Donc H, P, Q et R sont alignés. Idem si M = B ou M = C. Si M est distinct de A, B et C, les points P, Q et R sont distincts et il suffit de montrer que deux quelconques d entre eux sont alignés avec H. Rappelons que d après l exercice 2.17, les symétriques de H par rapport aux côtés sont sur C. Soit σ et σ les symétries orthogonales respectivement par rapport à AC et AB. Alors (HA, HQ ) = ( σ(h)σ(a), σ(h)σ(q ) ) = ( σ(h)a, σ(h)m ), et de même (HA, HR ) = ( σ (H)A, σ (H)M ). Comme σ(h), σ (H), A et M sont sur C, on a ( σ(h)a, σ(h)m ) = ( σ (H)A, σ (H)M ), d où (HA, HQ ) = (HA, HR ), soit (HQ, HR ) = 0. Donc H, Q et R sont alignés. σ(h) M C Q H A R Q σ (H) B C R

21 21 Exercice n o 3-29 Le Pivot Soit C A le cercle circonscrit à AB C et C B le cercle circonscrit à A BC. Si ces deux cercles ne sont pas tangents, ils se coupent en deux points distincts C et P. Nous voulons montrer qu alors le point P est sur le cercle C C circonscrit à A B C. D après la définition de P et le critère de cocyclicité, (P A, P C ) = (BA, BC ) et (P C, P B ) = (AC, AB ). Or d après les alignements respectifs de A, B et C, de A, C et B et de B, A et C, (BA, BC ) = (BC, BA) et (AC, AB ) = (AB, AC). On en déduit que soit (P A, P C ) + (P C, P B ) = (BC, BA) + (AB, AC), (P A, P B ) = (BC, AC) = (A C, B C). Donc P, A, B et C sont cocycliques, ou encore P C C, ce qu on voulait montrer. Lorsque les cercles C A et C B sont tangents, ils le sont en C. On veut montrer que C C C ou encore que A, B, C et C sont cocycliques. Soit la tangente commune aux cercles C A et C B en C. D après le corollaire 3.4, (, C A ) = (BC, BA ) et (C B, ) = (AB, AC ), d où (C B, C A ) = (BC, BA ) + (AB, AC ) = (BA, BC) + (AC, AB) = (CA, CB) = (CB, CA ). Donc A, B, C et C sont cocycliques et C appartient aux cercles C A, C B et C C. Exercice n o 3-30 Supposons qu un tel triangle ABC existe, et qu il soit direct. Si ρ est la rotation d angle π/3 et de centre A, alors ρ(b) = C. Donc C ρ(d 2 ), soit C = D 3 ρ(d 2 ). Réciproquement soit A sur D 1 et E et F sur D 2. On construit (avec un compas) E et F de sorte que AEE et AF F soient équilatéraux directs, soit E = ρ(e) et F = ρ(f ), d où E F = ρ(d 2 ). On pose C = E F D 3 et on construit B de sorte que ACB soit équilatéral indirect, soit B = ρ) 1 (C). Comme C ρ(d 2 ), B D 2. Exercice n o 3-31 β A γ K J B C I On suppose le plan orienté de sorte que la base ( ) AB, AC soit directe. Soit ρ la rotation vectorielle d angle π/2, J le milieu de AC et K le milieu de AB. Pour montrer que βiγ est isocèle rectangle en I, vérifions que ρ ( Iγ ) = Iβ.

22 22 Commençons par traduire l hypothèse que les triangles βab et γac sont isocèles rectangles respectivement en β et γ, et extérieurs à ABC. On obtient ρ ( ) ( ) ( ) ( ) KA = Kβ et ρ Kβ = KB et ρ JC = Jγ et ρ Jγ = JA. D après le théorème de Thalès, AKIJ est un parallélogramme. Donc IJ = KA et JA = IK. D où ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Iγ = ρ IJ + ρ Jγ = ρ KA + ρ Jγ = Kβ + JA = Kβ + IK = Iβ. Exercice n o 3-34 Il est facile de voir que le résultat est faux si on suppose seulement que les angles géométriques ÂOB, ĈOD et ÊOF sont égaux à π/3. Nous supposerons donc que le plan est orienté de sorte que π/3 est une mesure des angles orientés ( ) ( ) ( ) OA, OB, OC, OD et OE, OF. Les triangles OAB et OEF sont deux triangles équilatéraux positivement isométriques. Si on écrit OEF sous la forme EF O qui préserve l orientation on voit que E, P et B, milieux des segments OE, AF et BO sont les milieux des segments joignant les sommets respectifs de deux triangles équilatéraux orientés positivement. Soit ρ la rotation vectorielle d angle π/3. On a E B = 1 EB = 1 ( ) 1 ( EO + OB = ρ ( ) ( ) ) ( 1 ( ) ) EF + ρ OA = ρ EF + OA = ρ ( E P ) Donc E P B est un triangle équilatéral direct. Passons à MNP. Le triangle P B E étant équilatéral orienté positivement, ρ ( P B ) = P E. D après la définition de B et M, on a B M = 1 OC et de même E N = 1 OD. Comme 2 2 ρ ( ) ( OC = OD on a ρ B M ) = E N. En sommant on obtient ρ ( ) P M = P N. D où le résultat. Exercice n o 3.35 Point De Fermat Supposons la base ( ) AB, AC directe. Soit ρ la rotation vectorielle d angle π/3. Le fait que les triangles CAB et ABC sont équilatéraux extérieurs au triangle ABC se traduit par ρ ( ) AC = AB et ρ ( AC ) = AB. Par différence on obtient ρ ( CC ) = B B et de même ρ ( BB ) = A A. Ceci entraîne que AA, BB et CC ont même longueur. De plus ( CC, B B ) = π/3 d où ( BB, C C ) = π/3 et ( BB, CC ) = π/3 + π = 2π/3. De même pour ( CC, AA ) et ( AA, BB ). Ceci implique que 2π/3 est une mesure des angles de droites correspondants. Soit F le point d intersection des droites (BB ) et (CC ). Alors (F B, F C) = (B B, C C) = 2π/3 = (A B, A C) (mod π). Donc F, A, C et B sont cocycliques. Ceci entraîne que (F B, F A ) = (CB, CA ). Comme CBA est équilatéral direct, (CB, CA ) = π/3. De plus (B B, AA ) = π/3 et (F B) = (B B). En récapitulant on obtient (B B, AA ) = π/3 = (CB, CA ) = (F B, F A ) = (B B, F A ).

23 23 Par différence (F A, AA ) = 0 ou encore F AA. Les droites AA, BB et CC ont donc F comme point commun. Notons Π le plan et f : Π R, M f(m) = MA + MB + MC. L application f est continue sur le plan. De plus lim f(m) = +. Donc f admet un minimum absolu. MA + On note ρ A la rotation de centre A et d angle π/3, de sorte que ρ A (C) = B. Soit M un point quelconque et N = ρ A (M). Le triangle AMN est équilatéral direct et NM = AM. De plus NB = ρ ( ) MC, d où MC = NB. Finalement MA + MB + MC = NM + MB + NB BB. Cette valeur BB ne peut être atteinte que si M est sur le segment BB. Par symétrie il est également nécessaire que M soit sur les segments AA et CC. On en déduit que si f(m) = BB alors M = F. Réciproquement si ÂCB 2π/3 et BAC 2π/3 alors B appartient au secteur limité par B C et B A. Il en découle que le segment BB rencontre le segment AC en un point B. Si de plus ÂCB 2π/3, alors le segment AA rencontre CB en un point B. Les segments BB et AA se rencontrent dans le triangle ABC. Comme les droites AA et BB se rencontrent en F, on peut conclure que F appartient aux segments AA, BB et CC, (ce qui est faux si un angle excède 2π/3). Soit G = ρ A (F ). Alors AF G est un triangle équilatéral direct. Donc ( BB, F G ) = ( BB, AF ) + ( ) ( AF, F G = BB, AA ) + ( ) AF, F G = 2π/3 + 2π/3 = 0. D autre part comme ρ A (F ) = G et ρ A (C) = B, on a ρ ( ) F C = GB, d où ( ) F C, GB = π/3. On en déduit ( BB, GB ) = ( BB, F C ) + ( ) F C, GB = ( BB, C C ) + π 3 = ( BB, CC ) + π + π = 0 mod 2π. 3 De tout ceci résulte que B, F, G et B sont alignés dans cet ordre et que BF +F G+GB = BB. Donc BB est bien le minimum de f et ce minimum n est atteint qu au point F. Exercice n o 3-38 O k = 3/2, θ = π/4 A A Le centre O de la similitude vérifie OA /OA = k. D après l exo 2-7, O est sur un cercle si k 1, ou la médiatrice de AA si k = 1. Le point O vérifie aussi ( ) OA, OA = θ. D après l exo 3-19,

Fragments de géométrie du triangle

Fragments de géométrie du triangle Fragments de géométrie du triangle Pierre Jammes (version préliminaire du 2 août 2013) 1. Dénitions On donne ici les dénitions des principaux objets mis en jeu dans le début du texte. Dans le plan euclidien,

Plus en détail

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Propriété : Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Si un point est

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Envoi no. 6 : géométrie

Envoi no. 6 : géométrie Envoi no. 6 : géométrie Exercice 1. Soit un triangle rectangle isocèle en. Soit un point de l arc du cercle de centre passant par et, H son projeté orthogonal sur (). On note I le centre du cercle inscrit

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME 2012 FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME NOUS VOUS PRESENTONS ICI UN FORMULAIRE CONTENANT LES DEFINITIONS, PROPRIETES ET THEOREMES VUS EN COURS DE MATHEMATIQUES TOUT AU LONG DE VOTRE SCOLARITE

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni

Plus en détail

Nombres complexes et géométrie euclidienne

Nombres complexes et géométrie euclidienne 19 Nombres complexes et géométrie euclidienne Le corps C des nombres complexes est supposé construit voir le chapitre 7. On rappelle que C est un corps commutatif et un R-espace vectoriel de dimension,

Plus en détail

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit..

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit.. Correction-Exercices sur les droites remarquables 1. Construire un triangle ABC tel que AB = 5cm, BC = 6cm et AC= 8 cm et le cercle circonscrit à ce triangle Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir

Plus en détail

Olympiades Françaises de Mathématiques 2012-2013. Test du mercredi 9 janvier Corrigé

Olympiades Françaises de Mathématiques 2012-2013. Test du mercredi 9 janvier Corrigé Olympiades Françaises de Mathématiques 202-203 Test du mercredi 9 janvier Corrigé Exercice. Soit ABC un triangle isocèle en A. On note O le centre de son cercle circonscrit. Soit D un point de [BC]. La

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7

Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7 Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7 Exercice 1 : ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) 1. (3x + 5)² = (3x) 2 + 2 3x 5 + 5 2 = 9x² + 30x + 25 2. 4(4 + 1) = 20 (4 + 1)(4 2) = 10 (4 + 1)² =

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

CHAPITRE III VECTEURS

CHAPITRE III VECTEURS CHAPITRE III VECTEURS EXERCICES 1) Recopiez le point A et le vecteur u sur le quadrillage de votre feuille : 4 e Chapitre III Vecteurs a) Construisez le point B tel que AB = u. b) Construisez le point

Plus en détail

Exercices sur les vecteurs

Exercices sur les vecteurs Exercice Exercices sur les vecteurs ABCD est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en O () Compléter par un vecteur égal : a) AB = b) BC = c) DO = d) OA = e) CD = () Dire si les affirmations

Plus en détail

Une axiomatisation du plan euclidien

Une axiomatisation du plan euclidien Nicole opp Strasbourg, avril 2007 Une axiomatisation du plan euclidien Le but de ce texte est de montrer comment on peut axiomatiser le plan euclidien d une manière qui se rapproche, autant que faire se

Plus en détail

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Géométrie (barycentre et produit scalaire dans l espace)

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Géométrie (barycentre et produit scalaire dans l espace) Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Géométrie barycentre et produit scalaire dans l espace) Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 24 avril 2011 1. frederic.demoulin

Plus en détail

Bissectrices. Daniel Perrin

Bissectrices. Daniel Perrin Bissectrices Daniel Perrin Introduction Le but de ce texte est d essayer de donner une référence fiable sur la question des bissectrices, pour traiter notamment l exposé de CAPES intitulé Droites remarquables

Plus en détail

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 1 R D Q C Soit un carré ABCD. On construit un rectangle AP QR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ; AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (P

Plus en détail

\documentclass[a4paper,12pt]{book}\usepackage{setspace}\usepackage{amsmath}

\documentclass[a4paper,12pt]{book}\usepackage{setspace}\usepackage{amsmath} \documentclass[a4paper,12pt]{book}\usepackage{setspace}\usepackage{amsmath} \usepackage{amstext}\usepackage{amsthm}\usepackage{mfpic}\usepackage{graphics} \usepackage{rotating}\input{macro}\definecolor{yellowgreen}{rgb}{0.68,1,0.15}

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

5 ème Chapitre 4 Triangles

5 ème Chapitre 4 Triangles 5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du

Plus en détail

Repérage et configurations du plan

Repérage et configurations du plan I Repères et coordonnées a) Repères Définition : (O ;I,J) est un repère du plan. Il est constitué d un triplet de points non alignés. O est appelé origine du repère La droite graduée (O ;I) est l axe des

Plus en détail

ISEFC Juin 2007 Département de Mathématiques MA115. Série d exercices: Géométrie élémentaire du Plan

ISEFC Juin 2007 Département de Mathématiques MA115. Série d exercices: Géométrie élémentaire du Plan ISEFC Juin 2007 Département de Mathématiques MA115 Série d exercices: Géométrie élémentaire du Plan Exercice 1: Soient (ABC) et (ABD) deux triangles tels que C et D soient de part et d autre de la droite

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Géométrie dans l Espace

Géométrie dans l Espace Géométrie dans l Espace Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace............................. 1. Calcul vectoriel dans l Espace......................................

Plus en détail

FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7

FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7 EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES THEOREMES DE PYTHAGORE ET DE THALES EXERCICES CORRECTION EXERCICE N 1 : Figure 1 : ABC est rectangle en A, donc, BC² = AB² + AC² BC² = 5² + 7² BC² = 25 + 49 AB = 5, AC

Plus en détail

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité.

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité. ❶ - Vecteurs I-- Définition d un vecteur Définition : Lorsqu on choisit deux points distincts M et N dans cet ordre, on définit : - une direction : celle des droites parallèles à (MN) ; - un sens : de

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

c) Calculer MP. 3) Déterminer l'arrondi au degré de la mesure de Dˆ.

c) Calculer MP. 3) Déterminer l'arrondi au degré de la mesure de Dˆ. Exercice :(Amiens 1995) Les questions 2, 3 et 4 sont indépendantes. L'unité est le centimètre. 1) Construire un triangle MAI rectangle en A tel que AM = 8 et IM = 12. Indiquer brièvement les étapes de

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les vecteurs

CHAPITRE 6 Les vecteurs A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"

Plus en détail

BC = 3 4 AB ( BA 8

BC = 3 4 AB ( BA 8 1 e S - programme 011 mathématiques ch8 cahier élève Page 1 sur 6 Ch8 : Produit scalaire Exercice n A page 5 : Calcul vectoriel Reproduire la figure et compléter le texte On considère le triangle ABC donné

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d

Plus en détail

géométrie analytique

géométrie analytique Faculté des Sciences ppliquées Géométrie et géométrie analytique Notes théoriques et applications à destination des étudiants préparant l examen d admission aux études d ingénieur civil de l Université

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE PRODUIT SCLIRE DNS L'ESPCE Dans tout ce chapitre, les bases ou repères considérés sont orthonormés. Pour des révisions sur le produit scalaire dans le plan, voir le cours de première. 1. Définition du

Plus en détail

VECTEURS EXERCICES CORRIGES

VECTEURS EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. VECTEURS EXERCICES CORRIGES On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O, et I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [ED]. En utilisant les lettres de la figure citer :

Plus en détail

Devoir commun de seconde, mars 2006

Devoir commun de seconde, mars 2006 Devoir commun de seconde, mars 006 calculatrices autorisées On rappelle que le soin et la qualité de rédaction entrent pour une part non négligeable dans l appréciation de la copie. Eercice (7 points).

Plus en détail

Chapitre : VECTEURS SESSION ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure.

Chapitre : VECTEURS SESSION ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. SESSION 2006 Chapitre : VECTEURS 1 ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. D. Le FUR 1/ 21 2 ABCD est un parallélogramme de centre

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

en utilisant un point-virgule.

en utilisant un point-virgule. 6 Chapitre Chapitre 6. Géométrie analytique Ce chapitre présente les possibilités de votre calculatrice dans le domaine de la géométrie analytique, tout particulièrement pour les problèmes liés aux espaces

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB Chapitre 3 La notion de vecteurs CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur AB associé. Égalité de deux vecteurs

Plus en détail

Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan ème année Maths Produit scalaire dans le plan Octobre 009 A LAATAOUI Exercice n 1 La figure ci-dessous représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = ; un triangle ABF équilatéral et un triangle

Plus en détail

DEVOIR MAISON 4 : LES VECTEURS

DEVOIR MAISON 4 : LES VECTEURS DEVOIR MAISON 4 : LES VECTEURS Ce devoir maison de révisions, de préparation au DS4 comporte deux pages. Vous traiterez au choix au moins la première ou la deuxième page. Exercice 1. Le plan est muni d

Plus en détail

Triangle rectangle : Cercle circonscrit et médiane

Triangle rectangle : Cercle circonscrit et médiane Triangle rectangle : Cercle circonscrit et médiane I) Vocabulaire 1) Hypoténuse Définition : Dans un triangle rectangle le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse. 2) Hauteurs, médianes, médiatrices

Plus en détail

Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications

Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications Introduction : On se place dans plan affine euclidien orienté. On suppose connu : - Angles orientés de vecteurs, relation de Chasles - Pour un triangle

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

Exercices Géométrie plane

Exercices Géométrie plane I Notions élémentaires et compléments sur les vecteurs Savoir-faire 1 : Démontrer avec des vecteurs Exercice 1 ABCD et BDFE sont deux parallélogrammes. Le point K est défini par BK = CB. 1. Justifier les

Plus en détail

CHAPITRE III VECTEURS

CHAPITRE III VECTEURS CHAPITRE III VECTEURS COURS 1) Exemple : force exercée par un aimant. p 2 2) Définitions et notations. p 3 3) Egalité de deux vecteurs... p 5 4) Multiplication d un vecteur par un nombre réel... p 6 5)

Plus en détail

Exercices sur les vecteurs

Exercices sur les vecteurs Exercices sur les vecteurs Exercice 1 : Associativité de la somme de trois vecteurs. On donne trois vecteurs u, v et w. Sur les deux figures suivantes tracer la somme u + v + w de deux manières : u + v

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail

Transformations géométriques

Transformations géométriques Transformations géométriques Thomas udzinski Table des matières 1 Symétries centrales et axiales, translations 1 2 Homothéties 4 2.1 Définitions et propriétés de base :........................... 4 2.2

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

Exercices de géométrie analytique

Exercices de géométrie analytique Exercice 1 Exercices de géométrie analytique (1) Déterminer les coordonnées des vecteurs représentés dans la base ( i, j ) () Déterminer les coordonnées des vecteurs représentés dans la base ( j, i ) ()

Plus en détail

Première S 2 mai 2011

Première S 2 mai 2011 Première S mai 011 Exercices 11 1 Homothétie 1 Mathématiques Soit ABC un triangle, ( Γ ) son cercle circonscrit et O le centre de ( Γ ) Soit H le milieu de [BC] et D le point de ( Γ ) diamétralement opposé

Plus en détail

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Solutions. Exercice 470-1 (Corol aire n 41) Démontrer que, pour tout ensemble {x, y, z} de trois nombres réels quelconques, on a :

Solutions. Exercice 470-1 (Corol aire n 41) Démontrer que, pour tout ensemble {x, y, z} de trois nombres réels quelconques, on a : 888 Pour chercher et approfondir PEP Exercice 473-4 (ichel Lafond - ijon) ans le plan, un triangle a une aire de 344 m Un point P du plan vérifie P = 5 m, P = 33 et P = 39 m alculer les côtés de Solutions

Plus en détail

D = 5 2 4 0,5. 4 points. D = 5 2 2 D = 5 donc D est un nombre entier. 0,5

D = 5 2 4 0,5. 4 points. D = 5 2 2 D = 5 donc D est un nombre entier. 0,5 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 s) Montrer que D est un nombre entier. Ê D = 5 12 2 D = 5 2 Exercice n 1 : Toutes les étapes de calcul devront figurer sur la copie. 1. On donne A = + 1 + 2. Calculer et donner

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Activités numériques

Activités numériques Sujet et correction Stéphane PASQUET, 25 juillet 2008 2008 Activités numériques Exercice On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. a) Multiplier ce nombre pas 3. b) Ajouter le carré

Plus en détail

Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 2010-2011

Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 2010-2011 Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 010-011 novembre 010 I Définition d une conique en terme d équation cartésienne On se place dans le repère orthonormé direct (0, i, j ).

Plus en détail

(2) 1 Côté du carré par rapport au rayon du disque :

(2) 1 Côté du carré par rapport au rayon du disque : Cet article est rédigé par des élèves. Il peut comporter des oublis et imperfections, autant que possible signalés par nos relecteurs dans les notes d'édition. La géométrie de Pierre Année 01-014 LEGENDRE

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Exercices de géométrie

Exercices de géométrie Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées.

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées. Université Claude Bernard Lyon I Agrégation de Mathématiques : Algèbre & géométrie Année 2006 2007 Applications affines A ne pas rater Définition et caractérisations des applications affines, en particulier

Plus en détail

Triangle rectangle et cercle

Triangle rectangle et cercle Objectifs : 1 Savoir reconnaître et tracer une médiane. 2 Connaître et savoir utiliser la propriété qui caractérise le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle. 3 Connaître et savoir

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

x(a + b) = 2 Pythagore et Thalès

x(a + b) = 2 Pythagore et Thalès Pythagore et Thalès Exercice 1 : On a découpé 4 exemplaires de la figure 0 pour les assembler et obtenir la figure 1. La mesure de l aire de la figure 1 est celle d un carré dont le côté a pour mesure

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Devoir Maison A rendre le mercredi 2 mai 2nde 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D. 2/ a)

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

ACTIVITES NUMERIQUES ( 18 points )

ACTIVITES NUMERIQUES ( 18 points ) Copie numéro :.. 4 points sont attribués pour l orthographe, le soin, les notations et la rédaction. L utilisation de la calculatrice est autorisée. NE PAS OUBLIER DE RENDRE L ANNEXE AVEC LA COPIE! ACTIVITES

Plus en détail

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé.

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé. COMPOSITION SECONDE MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE Durée de l épreuve : 2 h 00 L usage de la calculatrice est autorisé. Toutes les réponses devront être justifiées. Exercice 1 Soit la fonction

Plus en détail

Calculer à la règle non graduée et au compas.

Calculer à la règle non graduée et au compas. Calculer à la règle non graduée et au compas. Elèves : RUNDSTADLER Ilina 5 ème MARION Alice 4 ème THOMMES Emeline 4 ème GRANDJEAN Bixente 3 ème MACEL Eric 3 ème WU Louise 3 ème Enseignants : HIRIART Louisette

Plus en détail

Géométrie Vectorielle

Géométrie Vectorielle Géométrie Vectorielle M Renf Jean-Philippe Javet Sources : http://www.josleys.com Table des matières Vecteurs, composantes - points, coordonnées. Les vecteurs..........................................

Plus en détail

A. Déterminant d une matrice carrée

A. Déterminant d une matrice carrée IUT ORSAY Mesures Physiques Déterminants Initiation à la diagonalisation de matrice Cours du ème Semestre A Déterminant d une matrice carrée A-I Définitions élémentaires Si A est la matrice ( a ) on appelle

Plus en détail

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2 MON CAHIER DE VACANCES n 1 MATHEMATIQUES 3 ème 2 Ce cahier appartient à. Ce cahier est à rapporter le vendredi 6 Novembre 201, à Mme Viault. Les exercices sont à rédiger, sur ce livret, le plus sérieusement

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Brevet Juin 007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Exercice 1 : 1) A = 500 (10 3 ),4 10 7 8 10 4 = 500 10 6 4 10 1 10 7 8 10 4 500 4 = 8 = 500 3 8 8 = 500 3 100 10 4 = 1500 10 0 + 4 = 1500 10 4 = 1,5 10 3 10 4

Plus en détail

Corrections preparation BB 2012

Corrections preparation BB 2012 Corrections preparation BB 2012 Brevet 2007 - Solution Activités numériques 1 Les explications ne sont pas demandées mais nous vous les fournissons tout de même. 1) la bonne réponse est 9x 2 + 30x + 25

Plus en détail

Ce cahier existe aussi en numérique avec les liens direct vers les cours nécessaires en fin de page lien : cahier numérique

Ce cahier existe aussi en numérique avec les liens direct vers les cours nécessaires en fin de page lien : cahier numérique Ce cahier existe aussi en numérique avec les liens direct vers les cours nécessaires en fin de page lien : cahier numérique Correction Deuxième partie du cahier-de-vacances Demande Si vous trouvez un lien

Plus en détail

Exercice de géométrie

Exercice de géométrie DOMAINE : Géométrie NIVEAU : Débutants CONTENU : Exercices AUTEUR : Igor KORTCHEMSKI STAGE : Cachan 2011 (junior) Exercice de géométrie 1 Énoncés Exercice 1 Soit ABC un triangle. Montrer que l intersection

Plus en détail

Donc O est le milieu de segment [MM ] Donc I est le milieu de [AB] Donc I est le milieu de [BC] Donc O est le milieu de [AC] et [BD]

Donc O est le milieu de segment [MM ] Donc I est le milieu de [AB] Donc I est le milieu de [BC] Donc O est le milieu de [AC] et [BD] COMMENT DEMONTRER Pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment On sait que I appartient au segment [AB] et IA = IB Propriété :Si un point appartient à un segment et est équidistant des extrémités

Plus en détail

I) Droites du triangle

I) Droites du triangle SEMAINE 2 I) Droites du triangle 1) Les médiatrices ; cercle circonscrit a) Rappels de vocabulaire Deux droites sont parallèles ou sécantes. Elles sont sécantes si elles se coupent. Le point où elles se

Plus en détail

Chapitre 5 : Géométrie dans l'espace

Chapitre 5 : Géométrie dans l'espace Source : site Bacamahts (G.Constantini) et Mathématiques 2 nde (Terracher) I. Règles de base de la géométrie dans l'espace Il existe une et une seule droite de l'espace passant par deux points distincts.

Plus en détail