La médiatrice d un segment

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1 EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que les etrémités du segment sont smétriques par rapport à la médiatrice. Si et sont smétriques par rapport à alors cela a deu conséquences : et coupe [] en son milieu. De cette définition de la smétrie centrale, il découle une première propriété double de la médiatrice : Propriété 1 : Si une droite est perpendiculaire à un segment en son milieu, alors c'est sa médiatrice. Réciproquement : si une droite est médiatrice d un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment en son milieu. n adoptera donc le codage suivant pour la médiatrice d'un segment : 1 u Traduction : Hpothèses milieu de [] [] médiatrice de [] Une propriété essentielle des smétries est que deu segments smétriques ont la même longueur sont superposables par pliage. Si un point est sur la médiatrice de [], alors est son propre smétrique et et sont smétriques, donc les segments [] et [] sont smétriques. Et, puisqu ils sont smétriques, ils sont de même longueur.

2 Propriété 2 : Si un point est situé sur la médiatrice d'un segment, alors il est à égale distance de ses etrémités. Traduction : Hpothèses médiatrice de [] = Figure : Hpothèses Sur le premier, on fait apparaître les conditions et médiatrice de []. Sur le deuième, on ne fait apparaître que le fait que est équidistant des etrémités. Réciproque de la propriété 2 : Si un point est équidistant des etrémités d'un segment, alors il est sur sa médiatrice. En effet, supposons un segment [], sa médiatrice et un point, hors de tel que =. Supposons que soit plutôt du côté de le raisonnement serait identique s il était du côté de. lors coupe en un point que l on nomme N. Les points, N et étant alignés, N = N + N ais N étant un point de, N = N donc = N + N ais par hpothèse, =. n doit donc avoir = N + N. Ce qui contredit le principe de l inégalité triangulaire. : l hpothèse émise un point, hors de tel que = est impossible. Traduction : Figure : Hpothèses Hpothèses = médiatrice de [] Deu propriétés, deu constructions

3 Chaque méthode de construction de la médiatrice est une application d une des propriétés. Propriété 2 Si un point est équidistant des etrémités d'un segment, alors c'est un point de la médiatrice de ce segment. Construction n place un premier point à égale distance des deu etrémités en traçant deu arcs de cercle de même raon dont les centres sont les etrémités du segment. Puis on en place un second de la même manière. Les raons pour le premier point et pour le deuième n'ont pas besoin d'être les mêmes. mais garder le même raon ne pose pas de problème. Propriété 1 Si une droite est perpendiculaire à un segment en son milieu, alors c'est la médiatrice de ce segment. C est la construction habituelle avec l équerre graduée. Négation de la propriété Dans la propriété 1 Si une droite est médiatrice d un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment en son milieu il a deu éléments qui peuvent être contredits pour qu une droite ne soit pas médiatrice. Dans le cas : La droite coupe le segment en son milieu mais non perpendiculairement. Dans le cas : La droite est perpendiculaire au segment mais pas en son milieu. Dans le cas : aucun des deu éléments n est vérifié. Quand une propriété contient deu hpothèses milieu et perpendiculaire il suffit que l une des deu soit contredite ou niée pour que la conclusion soit fausse. La propriété : Si une droite est médiatrice d un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment en son milieu. sa forme négative : Si une droite n est pas perpendiculaire au segment ou bien ne passe pas en son milieu, alors ce n est pas la médiatrice de ce segment. issectrice d un angle Définition : La bissectrice d un angle est l ae de smétrie de cet angle ; c'est-à-dire que les deu côtés de l angle sont smétriques par rapport à la bissectrice.

4 D après cette définition, la bissectrice est une droite un ae de smétrie est une droite. Selon les époques et les auteurs, la bissectrice peut désigner une droite ou une demi-droite. n peut considérer que la droite ut est la bissectrice de Certains considèrent que c est la demi-droite [t qui est la bissectrice de lors que [u serait la bissectrice de l angle rentrant Certains considèrent que [t est la bissectrice intérieure de et que [u est la bissectrice etérieure de. Pour ce qui nous concerne, nous admettons u que la bissectrice peut être, selon les circonstances, la droite toute entière et nous le préciserons alors. C est la demi-droite que nous représenterons la plupart du temps. Nous adopterons le codage suivant pour la bissectrice. t t on Pas bon Constructions de la bissectrice d un angle La construction la plus immédiate est l utilisation du rapporteur et elle consiste à mesurer l angle, en calculer la moitié puis placer la bissectrice qui coupe l angle en deu parties égales. Cette construction ressemble à la construction du milieu d un segment avec la règle graduée. Si l on veut faire intervenir la notion de smétrie, il aura alors diverses constructions possibles, selon les instruments utilisés ; et toutes celles que nous proposons ici utilisent en fait la construction de la médiatrice d un segment. Car est son propre smétrique par rapport à la bissectrice. [t est la bissectrice de est équivalent à t médiatrice de [] à la condition que soit égale à. La construction de la bissectrice consiste donc à tracer la médiatrice de [] après avoir placé et à la même distance de. Plusieurs constructions possibles 1. vec la règle graduée Placer sur [ et sur [ tels que = Placer le milieu de [] est la bissectrice de t

5 2. vec une équerre graduée 1 Placer sur [ et sur [ tels que = La perpendiculaire à passant par coupe en. est la bissectrice de 3. vec une équerre graduée 2 Placer sur [ et sur [ tels que = La perpendiculaire à [ passant par et la perpendiculaire à [ passant par se coupent. est la bissectrice de 4. vec le compas Tracer un arc de centre qui coupe [ en et [ en De même raon, tracer un arc de centre et un autre de centre qui se coupent en. est la bissectrice de

6 Eercices Eercice 1 Les phrases suivantes sont-elles correctes? ndiquer les formulations ou les notations qui posent problème. a est le point tel que = 2 cm. b 3 est inférieur ou égal à 5. c Soit D la parallèle à. d Soit le cercle de centre. e est un point tel que = 4 cm. f 4 est inférieur ou égal à 4. g 8 est un nombre pair et un multiple de 3. h Soit D' une perpendiculaire à D. i Soit D' la parallèle à D passant par. Eercice 2 Trois points, et C sont non alignés. Recopier et compléter les phrases suivantes avec l'article qui convient: a Soit cercle passant par et par et ne contenant pas C. b Soit D perpendiculaire en à la droite. c Soit ' cercle, distinct de, passant par les trois points, et C. d Soit D' parallèle à D sécante au cercle '. e Soit E point d'intersection de D' et de '. f n appelle D" parallèle à droite, passant par E. g et sont points d'intersection des cercles et '. Eercice 3 Réécrire correctement les phrases suivantes a est à FC. b []² = 16 donc [] = 4 c est la moitié de. d est le milieu du cercle. e H est la médiatrice de C. f Si C = 90, alors elles sont perpendiculaires. g est la bissectrice du triangle. h est la perpendiculaire qui croise au point H. Eercice 4 Rédiger le programme de construction d'un triangle équilatéral au compas. Construction de l heagone régulier. Sur un cercle de centre et de raon r, placer les si points,, C, D, E et F dans cet ordre tels que = C = CD = DE = EF = r.

7 Quelle est la nature de chacun des triangles, C, CD, DE, EF et F? Quelle est la mesure de chacun des angles, C, CD, DE, EF et F? Quelle est la mesure de chacun des angles D, E et CF? Que peut-on en conclure pour les segments [D], [E] et [CF]? En déduire La construction du dodécagone régulier douze sommets La construction d'un angle de 60 au compas. La construction d'un angle de 30 au compas. Eercice 5 Construction d un rapporteur simplifié. Tracer un segment [] de 10 cm. Tracer sa médiatrice qui le coupe en. Placer C et D sur la médiatrice, de chaque côté de, à 5 cm de. Placer E à l intérieur de l angle C tel que CE soit équilatéral. Placer F à l intérieur de l angle C tel que F soit équilatéral. Placer G à 5 cm de, tel que [G soit la bissectrice de E. Placer H à 5 cm de, tel que [H soit la bissectrice de EF. Placer à 5 cm de, tel que [ soit la bissectrice de CF. Placer les smétriques des points E, F, G, H et par rapport à C. Tracer le demi-cercle de diamètre [] passant par tous ces points. Puis découper le demi-disque. n obtient ainsi un rapporteur gradué de 15 en 15 qui est souvent bien suffisant pour des mesures approchées. Eercice 6 [L] est un segment de 15 cm. N est un point de la droite L vérifiant N = 4 Epliquer et construire les deu positions possibles de ce point N. LN. Eercice 7 ontrer que les bissectrices de deu angles adjacents supplémentaires sont perpendiculaires. Eercice 8 C est un triangle tel que C = 2 C. ontrer que la bissectrice de C, [C] et la médiatrice de [C] sont concourantes. Proposer d autres rédactions possibles de la question précédente. Par eemple : ontrer que la bissectrice de C et la médiatrice de [C] sont sécantes sur [C].