Séquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire

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1 Séquence 8 Fonctions numériques Conveité Objectifs de la séquence Introduire graphiquement les notions de fonctions convees et de fonctions concaves. Établir le lien entre le sens de variation d une fonction et sa conveité. Établir le lien entre le signe de la dérivée seconde d une fonction et sa conveité. Étudier des rendements en Économie en utilisant la conveité. Sommaire. Pré-requis. Conveité d une fonction sur un intervalle 3. Synthèse de la séquence 4. Eercices de synthèse Séquence 8 MA0

2 Pré-requis A Fonctions de référence : dérivées courbes. Fonction "carré" Fonction "racine carrée" Fonction" carré" Fonction Fonction" racine carrée" c: r : Ensemble de définition D c = ] ; [ D r = [0 ; [ Fonction dérivée pour tout réel c': pour tout réel > 0 r': Sens de variation 0 + c'( ) 0 + c ( ) r'( ) + r ( ) y = y = y = y = 0,5 + 0,5 Courbes K y = Séquence 8 MA0

3 Propriété Dans un repère orthonormal la courbe représentant la fonction est la courbe symétrique, par rapport à la droite d équation y =, de celle représentant la fonction définie sur [0 ; + [ (voir courbes en gras). La courbe représentant la fonction" racine carrée" est une demi parabole.. Fonction " inverse" Fonction" inverse" Courbe de la fonction" inverse" Fonction Ensemble de définition i : D i = ] ;0[ ]0 ; + [ y = + 3 y = / y = ae de symétrie de la courbe Fonction dérivée i': y = K Sens de variation y = / H La courbe est une hyperbole (composée de " branches") Propriété Dans un repère orthonormal la courbe de la fonction est symétrique par rapport à la droite d équation y =. 3. Fonction "ep" Fonction "ln" Fonction Ensemble de définition Fonction" ep" Fonction" ln" ep : ep( ) = e ln: ln( ) D ] ; [ ep = + D ]0 ; [ ln = + Séquence 8 MA0 3

4 Fonction dérivée (ep)': e (ln)': Sens de variation 0 + ep () + e 0 + ln () + ln() y 5 4 y = ep() y = + y = ae de symétrie de la figure 3 e y = Courbes K y = In() 3 0 H e Propriété Dans un repère orthonormal la courbe représentant la fonction e est la courbe symétrique, par rapport à la droite d équation y =, de celle représentant la fonction ln( ). B Équation d une tangente. Équation générale d une tangente On désigne par f une fonction définie sur un intervalle I et parc f sa courbe représentative dans un repère du plan. Soit A( a; f( a)) le point d abscisse a situé 4 Séquence 8 MA0

5 sur la courbec f et T A la tangente en A à la courbe C f. Le coefficient directeur de la tangentet A est le nombre dérivéf'( a). Une équation de la tangente T A est y = f '( a) ( a) + f( a).. Équation de quelques tangentes particulières Fonction f Coordonnées de A Équation det A f( )= ( ; ) y = f( )= ( ; ) y = 0,5 ( + ) f( )= e f( ) = ln( ) (0 ; ) y = + ( ; 0) y = f( )= ( ; ) y = + 3. Positions relatives d une courbe et d une tangente Pour déterminer la position d une courbec f par rapport à sa tangente en A (au-dessus ; en dessous) on peut étudier le signe de la différenced( ) = f ( ) ( m+ p) où y = m + p est l équation de la tangente en A. Signe ded( ) sur un intervalle I d ( )< 0 d ( )= 0 d ( )> 0 Positions relatives de Cf et de TA sur l intervalle I C f est située en dessous det A T A est tangente en A à la courbec f C f est située audessus de T A Séquence 8 MA0 5

6 C Équation d une parabole On considère une fonction trinôme f définie sur R par f( )= a + b + c (avec a 0). La courbe représentative de f est une parabole qui a pour équation y = a + b + c. Sommet b b S f a a Signe de a a < 0 a > 0 S Allure de la parabole Concavité La parabole tourne sa concavité " vers le bas" car elle est orientée vers les " ordonnées négatives". S La parabole tourne sa concavité " vers le haut" car elle est orientée vers les " ordonnées positives". D Fonctions dérivées Fonctions primitives. Fonctions dérivées Fonction u f : e ( ) f : ln( u( )) Ensemble de définition Dérivée Même ensemble de définition que la fonction u. Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est dérivable sur I et on a : f ': u'( ) e u ( ) La fonction u doit être définie et strictement positive. Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction u f est dérivable sur I et on a : f': '( ) u ( ). 6 Séquence 8 MA0

7 . Fonctions primitives Fonction Fonctions primitives n ( n N*) n n + + k Ensemble de définition des primitives + R ln + k ]0 ; + [ u '( ) u u ( ) ( avec ( ) > 0) ln( u ( ))+ k Tout intervalle où iu ( ) eiste ; iu ( ) > 0. a e ( a 0) a e + k R a e u ( ) u'( ) u e ( ) + k Tout intervalle où u ( )eiste. (voir aussi le tableau de primitives de la séquence 6) Eercice 4 Soit f la fonction définie sur R parf( )= dans un repère du plan. + 3 Étudier le sens de variation de la fonction f. et C sa courbe représentative En déduire un encadrement def( ). Déterminer les équations des tangentes à la courbe C au points A, K, B d abscisses respectives, 0,. Solution 8 La fonction dérivée est définie sur R parf'( ) =. ( + 3) Cette dérivée est du signe de. i croissante sur ] ; 0] ; La fonction f est i décroissante sur [0 ; + [. Pour tout réel on a 0 < f( ). D après l étude des variations de f on sait que f est maimale pour = Calculons f ( 0) =. Pour tout réel on a 0 < f( ). 3 3 Pour = on a f( ) = et f'( ) = 0, 5. La tangente en A( ; ) a pour équation y = 05, ( + ) +, soit y = 0,5 +,5. 4 Pour = 0 on a f( 0) = et f'( 0) = 0. La tangente en K 0 4 ; 3 3 a pour équation 4 y =. 3 Séquence 8 MA0 7

8 Pour = on a f() = et f'() = 0, 5. La tangente en B( ; ) a pour équation y = 05, ( ) +, soit y = 0,5 +,5. Voir le tracé de la courbe dans le paragraphe du chapitre (eemple 5). Eercice Solution Soit f la fonction définie sur R par f( )= et C sa courbe représentative dans un repère du plan d origine O. + Donner, suivant les valeurs de, le signe def( ). Étudier le sens de variation de la fonction f. En déduire un encadrement def( ). Déterminer les équations des tangentes à la courbe C au points A, O, B d abscisses respectives, 0,. Comme + > 0, f( ) est du signe de. 0 + Signe de f( ) 0 + ( ) ( ) La fonction dérivée est définie sur R parf '( ) = +, soit ( +) ( )( ) f'( ) = = +. ( + ) ( + ) La dérivée a le même signe que le trinôme ( )( + ). Ainsi f '( ) = 0 pour = et pour = ; f '( ) < 0 pour < et pour > ; f '( ) > 0 pour < <. La fonction f est i i décroissante sur ] ; ] et sur [; + [ ; croissante sur [ ; ]. Sur ] ;0] la fonction f est négative et sa valeur minimale est égale à f ( ) = 0, 5. Ainsi, pour 0, on a 05, f( ) 0. Sur[0 ; + [ la fonction f est positive et sa valeur maimale est égale àf () = 0, 5. Ainsi, pour 0, on a 0 f( ) 0, 5. Pour tout réel on a 0,5 f( ) 0,5. Pour = on a f( ) = 0, 5et f'( ) = 0. La tangente en A( ; 0, 5 ) a pour équation y = 0,5. 8 Séquence 8 MA0

9 Pour = 0 on a f( 0) = 0et f'( 0) =. La tangente eno( 0; 0 ) a pour équation y =. Pour = on a f() = 0, 5et f'() = 0. La tangente en B( ; 0, 5 ) a pour équation y = 0,5. Voir le tracé de la courbe dans le paragraphe du chapitre (eemple 6). Eercice Soit f la fonction définie sur R parf( )= e = et C sa courbe représentative dans un repère du plan d origine O. e Étudier le sens de variation de la fonction f. Déterminer les équations des tangentes à la courbe C au points A, K, B d abscisses respectives, 0,. Solution La fonction dérivée est définie sur R par f '( ) = e. Pour tout réel on af'( ) < 0, d où la fonction f est strictement décroissante sur R. Pour = on a f( ) = e; f'( ) = e. La tangente en A ( ; e) a pour équation y = e( + ) + e, soit y = e. Pour = 0 on a f( 0) = et f'( 0) =. La tangente en K (0 ; ) a pour équation y = +. Pour = on a f() = e = f'() = =. e et e e La tangente en B ( ; e ) a pour équation y e = ( ) + e, soit y = e ( ). Eercice Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, toutes définies sur R. f( )= e + 3 g ( ) = ln( + e ) h ( )= e + j ( ) = ln( + ). Solution f'( ) = e + 3 e g'( ) = + e ( ) j'( ) =. + + h'( ) = ( + ) e Séquence 8 MA0 9

10 Eercice Déterminer une fonction primitive de chacune des fonctions suivantes, toutes définies sur R. f( )= e g ( )= + + j ( ) e e =. e + e, + h ( ) = ( 4) e 05 Solution u( ) On af( ) = e = ( ) e = u'( ) e où u( ) =. u'( ) On a g ( ) = + = + où u( ) = +. + u ( ) 0,5 + u( ) On a h ( ) = ( )e = u'( )e où u( ) = 05, +. e e On a j ( ) = e + e u'( ) = où u( ) = e + e. u ( ) D oùf( ) = e ; G ( ) = + ln( + ); J ( ) = ln( e + e )., + H ( ) = e 05 ; 0 Séquence 8 MA0

11 Conveité d une fonction sur un intervalle A Objectifs Reconnaître graphiquement des fonctions convees, des fonctions concaves. Obtenir des inégalités en utilisant la conveité. Rechercher les points d infleion éventuels d une courbe. Utiliser un tableur pour obtenir des encadrements. B Pour débuter Activité Tangentes et parabole Partie A Situer la parabole d équation y = c( ) =, définie pour tout réel, par rapport à sa tangente en K ( ; ). Situer la parabole par rapport à sa tangente en un point quelconque A (a ; a ). Tracer la parabole et les tangentes au points d abscisses a =, a =, a = 0, a =, a =. Soit f la fonction définie, pour tout réel, parf( ) = c( ) = et f sa courbe représentative. Que peut-on dire des courbes et f? Comment se situe la courbe f par rapport à ses tangentes? Partie B Situer la courbe d équation y = r( ) =, définie pour tout 0, par rapport à sa tangente en K ( ; ). Situer la courbe par rapport à sa tangente en un point quelconque Aa ( ; a), avec a > 0. Tracer la courbe et les tangentes au points d abscisses a =, a =, a = 4. Soit g la fonction définie sur [0 ; + [ par g ( ) = r ( ) = et g sa courbe représentative. Séquence 8 MA0

12 Que peut-on dire des courbes et rapport à ses tangentes? g? Comment se situe la courbe g par Activité Tangentes et hyperbole Soit l hyperbole d équation y = i( ) =, définie pour 0. Situer, sur l intervalle ]0 ; + [, la courbe par rapport à sa tangente en K ( ; ). Situer, sur l intervalle ] ;0[, la courbe par rapport à sa tangente en H ( ; ). Situer, sur chacun des intervalles ]0 ; + [ et ] ;0[, la courbe par rapport à sa tangente en un point quelconque A a ;, a avec a 0. Tracer les tangentes à la courbe au points d abscisses a =, a =, a=, a=, a =, a =. Activité 3 Tangentes au courbes des fonctions" ep" et" ln" Situer la courbec ep représentant la fonction"ep" par rapport à sa tangente en K (0 ; ). Situer la courbec ep par rapport à sa tangente en un point quelconque a Aa ( ; e ). Tracer la courbec ep et les tangentes au points d abscisses a =, a = 0, a =. Situer la courbec ln représentant la fonction"ln" par rapport à sa tangente en H ( ; 0). Situer la courbec ln par rapport à sa tangente en un point quelconque Aa ( ;ln a), avec a > 0. Tracer, dans le même repère, la courbe C ln et les tangentes au points d abscisses a= e, a=, a= e. Soit h la fonction définie sur ]0 ; + [ par h ( ) = ln et ( C ) sa courbe représentative. Que peut-on dire des courbes C ln et ( C )? Comment se situe la courbe ( C ) par rapport à ses tangentes? Séquence 8 MA0

13 C Cours. Fonction convee, fonction concave a) Notion intuitive de la courbure d une courbe Considérons le circuit de Formule d Interlagos à São Paulo au Brésil. On y voit deu lignes droites et plusieurs virages. Si un pilote veut rester sur la piste il lui faut, le plus souvent, tourner son volant, soit vers la gauche, soit vers la droite. On peut noter, entre autres, un changement de courbure entre les virages et, ainsi qu entre les virages 5 et 6. Donnons quelques eemples mathématiques pour évoquer la" courbure" d une courbe. Les courbes représentatives de 4 fonctions, définies sur le même intervalle [0 ; ], sont tracées sur la figure. Les 4 fonctions d, f, g et h sont continues et strictement croissantes sur [0 ; ]. Par ces 4 fonctions l image de 0 est 0 et l image de est. Remarque Parmi les vingt grands pri de la saison 0 de Formule, celui du Brésil est le seul dont le circuit soit parcouru par les pilotes dans le sens " anti-horaire" (sens inverse des aiguilles d une montre). K K K K K 0,5 H 0,5 0,5 0,5 0,5 H 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,5 4 courbes Courbe de d Courbe de f Courbe de g Courbe de h Figure Figure a Figure b Figure c Figure d Peut-on dire que les 4 courbes aient la même" allure"? A priori la réponse est NON. Figure a Figure b Figure c Figure d Sur un circuit, pour aller de Sur un circuit, pour aller de Sur un circuit, pour aller de La courbe est un segment de courbure nulle. Sur un circuit, pas besoin de tourner son volant pour garder sa trajectoire. O à K, il faudrait tourner son volant vers la gauche. O à K, il faudrait tourner son volant vers la droite. O à K, il faudrait d abord tourner son volant vers la droite, puis vers la gauche. On note un changement de courbure en H. Séquence 8 MA0 3

14 b) Concave ou convee? Archimède et les" miroirs ardents" ` Miroir Miroirs concaves Archimède Concave Convee Peinture murale de Giulio Parigi (57 635) datant de 600 environ (Galerie des Offices, Florence, Italie). Bridgeman Giraudon Figure 3 Selon la légende, Archimède (vers 87 ; ) aurait utilisé des miroirs concaves, appelés aussi" miroirs ardents", pour concentrer les rayons du soleil et ainsi enflammer les voiles des navires romains qui assiégeaient la ville de Syracuse (en Sicile) lors de la seconde guerre punique. Archimède fut tué, en, lors de ce siège de Syracuse. Figure 4 Autoportrait dans un miroir convee C est vers 54 que le peintre italien Il Parmigiano ( ), connu en France sous le nom de " Le Parmesan", a peint son autoportrait sur un miroir convee. Ce tableau se trouve à Vienne au Kunsthistorisches Museum. Maurits Cornelis ESCHER (898 97) Cet artiste hollandais a réalisé, en 955, une lithographie intitulée " Concave et Convee". Vous trouverez BPK, Berlin, Dist. RMN/Hermann Buresch cette lithographie (et bien d autres toutes aussi intrigantes ) sur Internet. La lithographie " Concave et Convee" est divisée en trois bandes verticales. Celle de gauche montre une architecture convee : tout est vu d en haut et notre regard est attiré vers le bas. Celle de droite montre une architecture concave : tout est vu d en bas et notre regard est attiré vers le haut. 4 Séquence 8 MA0

15 c) Définitions Dans l activité on a montré que la parabole d équation y = f( ) = est située au-dessus de chacune de ses tangentes : la fonction" carré" est dite convee sur R. Dans l activité 3 on a montré que la courbec ep d équation y = f( ) = e est située au-dessus de chacune de ses tangentes : la fonction"ep" est dite convee sur R. Dans l activité on a montré que la courbe d équation y = f( ) = est située en dessous de chacune de ses tangentes : la fonction" racine carrée" est dite concave sur ]0 ; + [. Dans l activité 3 on a montré que la courbec ln d équation y = f( ) = ln est située en dessous de chacune de ses tangentes : la fonction"ln" est dite concave sur ]0 ; + [. Définition Une fonction f dérivable sur un intervalle I est convee sur cet intervalle si sa courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses tangentes. Définition Une fonction f dérivable sur un intervalle I est concave sur I si la fonction g = f est convee sur cet intervalle. On peut donner une autre définition d une fonction concave. Définition bis Une fonction f dérivable sur un intervalle I est concave sur I si sa courbe représentative est située en dessous de chacune de ses tangentes. Remarque Les mots" au-dessus" et" en dessous" sont à prendre au" sens large". Quand on dit qu une courbe est située au-dessus d une de ses tangentes, cela signifie qu aucun point de la courbe ne se trouve strictement en dessous de la tangente. Un point de tangence se trouve à la fois sur la courbe et sur la tangente. Séquence 8 MA0 5

16 Étudier la conveité d une fonction c est déterminer sur quel(s) intervalle(s) elle est convee et sur quel(s) intervalle(s) elle est concave. d) Fonctions de référence Les fonctions et e sont convees sur R. Les fonctions et ln sont concaves sur ]0 ; + [. La fonction est convee sur ]0 ; + [ et concave sur ] ;0[. Cas particulier Les fonctions affines sont représentées par des droites (voire des demi-droites ou des segments). En chaque point d une droite la tangente est confondue avec la droite. Une droite se retrouve donc (au sens large) au-dessus et en dessous de chaque tangente. Propriété Les seules fonctions qui soient à la fois convees et concaves sont les fonctions affines. e) Allure générale é des courbes de fonctions convees ou de fonctions concaves Allure des courbes (sauf fonctions affines) Fonction convee Fonction concave f) Courbes des fonctions convees (ou concaves) et tangentes D après la définition, si une fonction f est convee (ou concave) sur un intervalle I alors on connaît la position de la courbe représentant la fonction f sur I par rapport à toutes ses tangentes. 6 Séquence 8 MA0

17 Propriété Soit f une fonction convee sur I et a un réel de I. Pour tout réel de I on a : f( ) f '( a) ( a) + f( a). Soit f une fonction concave sur I et a un réel de I. Pour tout réel de I on a : f( ) f '( a) ( a) + f( a). Appliquons cette propriété au deu fonctions de référence" ep" et" ln". Soit a un réel quelconque. Pour tout réel on a : e e a ( a) + e a. Pour a = 0 on obtient + e. Soit un réel a > 0. Pour tout réel > 0 on a : ln ( ) ln. a a + a Pour a = on obtient ln. Propriété 3 Pour tout réel on a + e. Pour tout réel > 0 on a ln. Remarque Voir dans les pré-requis ( A 3) les tracés des deu courbes C ep etc ln. Vous avez déjà vu dans la Séquence 4 - eercice V de synthèse - que, pour tout réel, + e.. Lien entre conveité d une fonction dérivable et sens de variation de la fonction dérivée Récapitulons certains résultats des paragraphes antérieurs. Séquence 8 MA0 7

18 Fonction f Fonction dérivée f Sens de variation de f La fonction f est sur R sur R Croissante sur R Convee sur R e sur R e sur R Croissante sur R Convee sur R sur ]0 ; + [ sur ]0 ; + [ Croissante Croissante sur ]0 ; + [ Convee Convee sur ]0 ; + [ sur ]0 ; + [ sur ]0 ; + [ Décroissante sur ]0 ; + [ Concave sur ]0 ; + [ ln sur ]0 ; + [ sur ]0 ; + [ Décroissante Décroissante sur ]0 ; + [ Concave Concave sur ]0 ; + [ sur ] ;0[ sur ] ;0[ Décroissante sur ] ;0[ Concave sur ] ;0[ Ces résultats nous permettent d émettre une conjecture pour déterminer la conveité d une fonction. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. i i si f' est croissante sur I alors f semble convee sur I; si f' est décroissante sur I alors f semble concave sur I. On admet cette conjecture, ce qui nous permet d énoncer une propriété. Propriété 4 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. i si f' est croissante sur I alors f est convee sur I; i si f' est décroissante sur I alors f est concave sur I. Eemple On désigne par F une fonction primitive de f sur un intervalle I. Étudier, dans les trois cas suivants, la conveité de la fonction F sur l intervalle I. 8 Séquence 8 MA0

19 ) f( )= + avec I = R. ) f( )= + avec I = R. 3) f( )= avec I = ]0 ; + [. Solution Eemple La fonction f est affine et croissante sur R. Toute fonction primitive F de f est donc convee sur R. La fonction f est affine et décroissante sur R. Toute fonction primitive F de f est donc concave sur R. La fonction f est croissante sur ]0 ; + [. Toute fonction primitive F de f est donc convee sur ]0 ; + [. Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ parf( ) = ln. Déterminer la fonction dérivée de f et dire si f est convee ou concave sur ]0 ; + [. Solution On af'( ) = ln + d où f'( ) = ln. La fonction" ln" étant croissante sur ]0 ; + [ la fonction f est convee sur ]0 ; + [. La fonction f : ln est une primitive de la fonction" ln" sur ]0 ; + [. Remarque Eemple 3 3 Soit f la fonction définie sur R parf( ) = 8 +. Étudier la conveité de la fonction f. Solution On a f'( ) = 3 8. Cette dérivée est une fonction trinôme représentée par une parabole. Son sommet S a pour abscisse = 6 3. Sur l intervalle ; 3 la fonction f ' est décroissante et sur l intervalle 3 ; + elle est croissante. La fonction f est concave sur l intervalle ; 3 et convee sur l intervalle 3 ; +. La propriété 4, associée au formules de dérivation ( u+ v)' = u' + v' et ( kv)' = kv', nous permet de déterminer la conveité des fonctions u + v et k v connaissant la conveité des fonctions u et v. Supposons que l on ait f = u + v et que les deu fonctions u et v soient convees sur un même intervalle I. Séquence 8 MA0 9

20 Les deu fonctions u' etv ' sont donc croissantes sur cet intervalle I et comme ( u+ v)' = u' + v' on peut dire que la fonction f ' est croissante sur I ce qui prouve que la fonction f est convee sur I. De même si les deu fonctions u et v sont concaves sur un même intervalle I alors la fonction f = u + v est concave sur I. Supposons que l on ait f = k v avec k 0, et que la fonction v soit convee sur un intervalle I. La fonction v ' est donc croissante sur I et comme ( kv)' = kv', on peut dire que la fonctionf ' est croissante sur I si k > 0 et décroissante sur I si k < 0. La fonction f est donc convee sur I si k > 0 et concave sur I si k < 0. De même, si la fonction v est concave sur I alors la fonction f est concave sur I si k > 0 et convee sur I si k < 0. Propriété 5 Somme u + v Les fonctions u et v sont définies sur un intervalle I. Le nombre k est un réel non nul. Si alors u convee sur I v convee sur I (u + v) convee sur I u concave sur I v concave sur I (u + v) concave sur I u convee sur I v concave sur I Produit k v k > 0 k < 0 v convee sur I v concave sur I v convee sur I v concave sur I (k v) convee sur I (k v) concave sur I (k v) concave sur I (k v) convee sur I Eemple 4 Solution Soit f la fonction définie sur R parf( ) = e +. Étudier la conveité de la fonction f sur R. Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g ( ) = + 5 ln. Étudier la conveité de la fonction g sur ]0 ; + [. Soit h la fonction définie sur R par h ( ) = e 0, 5. Étudier la conveité de la fonction h sur R. Posons u( )= e et v( ) =. Les deu fonctions u et v sont convees sur R. La fonction f est convee sur R. 0 Séquence 8 MA0

21 Posons u ( )= et v( ) = ln. Les deu fonctions u et v sont concaves sur ]0; + [ ; de plus > 0 et 5 > 0. La fonction g est concave sur ]0 ; + [. Posons u( )= e etv( ) = 05,. On a alors h = u v [ou h = u + ( v)]. Ici la propriété 5 ne s applique pas car la fonction h est la différence de deu fonctions convees sur R ou, si on préfère, la somme d une fonction convee ( e ) et d une fonction concave ( 0, 5 ). On va donc étudier le sens de variation de la fonction dérivée h définie sur R par h'( ) = e. Pour cela on va chercher le signe de la dérivée de la fonction h. ' On a ( h')( ) = e. On sait que e = 0 pour = 0 ; e > 0 pour > 0 3 et e < 0 pour < 0. On obtient ainsi le tableau ci-contre : O 3 Concave Convee A T A y = + h() = ep() 0,5 0 + h'( ) 0 + h'( ) h Concave Convee La fonction h est concave sur ] ;0] et convee sur[0 ; + [ (voir figure 5). Pour étudier la conveité de la fonction h on a été amené à chercher le signe de la dérivée de la fonction dérivée h afin de déterminer le sens de variation de cette fonction dérivée. Figure 5 3. Lien entre conveité d une fonction dérivable et signe de la fonction dérivée seconde On sait que pour savoir si une fonction f est convee ou concave sur un intervalle I (ou ni l un, ni l autre) on peut étudier le sens de variation de sa fonction dérivée f '. Mais pour déterminer le sens de variation de la fonction f ' on peut étudier le signe de sa dérivée (voir la fonction h de l eemple 4). Séquence 8 MA0

22 Définition 4 La fonction dérivée de la fonction f ' est la fonction dérivée seconde de la fonction f et se note f ". ' Ainsi (') f = f". [ f " se lit : f seconde] On en déduit la propriété suivante. Propriété 6 Soit f une fonction deu fois dérivable sur un intervalle I. i si f'' est positive sur I alors f est convee sur I; i si f'' est négative sur I alors f est concave sur I. Complément sur la notion de courbure On peut mathématiquement définir la courbure d une courbe, mais ce n est pas au programme de terminale ES. On admet que la courbure d une courbe C f représentant une fonction f a le même signe que la dérivée seconde. Sur tout intervalle I où f est convee, la courbure de la courbec f est positive. Sur tout intervalle I où f est concave, la courbure de la courbec f est négative. Ainsi la courbure de la courbec ep est positive sur R et la courbure de la courbec ln est négative sur ]0 ; + [. On peut dire que si la courbure est négative la courbe tourne vers la droite (commec ln ) ; si la courbure est positive la courbe tourne vers la gauche (commec ep ). Quand on dit une courbe tourne" vers la droite" ou " vers la gauche" c est toujours en parcourant la courbe dans le sens des «croissants». Eemple 5 Solution 4 Soit f la fonction définie sur R parf( )= (voir premier eercice des prérequis). + 3 Déterminer la dérivée seconde de f et en déduire la conveité de f. La dérivée seconde est définie sur R par ( + 3) ( + 3)( ) ( + 3) f"( ) = 8 = ( + 3) ( + 3) Séquence 8 MA0

23 4( + 3)( + )( ) On obtient f"( ) =. 4 ( + 3) La dérivée seconde est du signe du trinôme ( + ) ( ) qui s annule pour = et pour =. Le trinôme est positif à l etérieur des racines et négatif entre les racines. + Signe de f''( ) f est Convee Concave Convee La fonction f est i i convee sur ] ; ] et sur [; + [; concave sur [ ; ]. La courbe représentative de f, obtenue sur l écran d une calculatrice, est sur la figure 6. O Eemple 6 Cet eemple nous montre qu une fonction définie sur R peut être, ni convee sur R, ni concave sur R. Ainsi concave n est pas le contraire de convee : si une fonction f n est pas convee sur un intervalle I cela ne veut pas dire qu elle est nécessairement concave sur I. Soit f la fonction définie sur R par f( ) = (voir deuième eercice des pré-requis). + Déterminer la dérivée seconde de f et en déduire la conveité de f. Solution La dérivée seconde est définie sur R par ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f"( ) = + + = ( + ) ( + ) ( + )( 3) ( + )( 3)( + 3) On obtientf"( ) = =. 4 4 ( + ) ( + ) La dérivée seconde est du signe du produit ( + 3)( 3 ) qui s annule pour = 0, pour = 3 et pour = 3. Séquence 8 MA0 3

24 Dressons un tableau de signes de la dérivée seconde Signe def"( ) f est Concave Convee Concave Convee La fonction f est i i convee sur [ 3 ; 0] et sur [ 3 ; + [ ; concave sur ] ; 3] et sur [0 ; 3]. La courbe représentative de f, obtenue sur l écran d une calculatrice, est sur la figure 7. Figure 6 Figure 7 Eemple 7 Solution Soit u et v les deu fonctions définies sur R paru( )= + et v( ) = e. On définit, pour tout réel, la fonction f par f( ) = u( ) v( ). Que peut-on dire concernant la conveité des deu fonctions u et v sur R? Étudier la conveité de la fonction f sur R. Les deu fonctions u et v sont convees sur R. La dérivée seconde de f est définie sur R parf"( ) = ( ) e. Cette dérivée seconde a le même signe que le trinôme = ( + )( + 3). Pour = 3 et pour = la dérivée seconde s annule et change de signe. Elle est positive à l etérieur des racines et négative entre les racines. 4 Séquence 8 MA0

25 3 + f''( ) f est Convee Concave Convee Remarque La fonction f est Le produit de deu fonctions convees sur I ne donne pas, en général, une fonction convee sur I. i convee sur] ; 3] et sur [ ; + [ ; i concave sur [ 3 ; ]. La courbe représentant la fonction f admet en B( ;e ) une tangente parallèle à l ae des abscisses (voir figure 8). B A 4 3 O Convee Concave Convee Figure 8 4. Notion de point d infleion Fonction k : 3 q: 4 Courbe O O Séquence 8 MA0 5

26 Dérivée seconde k"( ) = 6 q"( ) = 0 + h'( ) q"( ) Conveité k Concave Convee q Convee k' Décroissante Croissante q ' Croissante Point d infleion La dérivée seconde s annule en 0 en changeant de signe. La fonction k change de conveité en 0. Le point O (0 ; 0) est un point d infleion de la courbe. Au point O (0 ; 0) la courbe traverse sa tangente. La dérivée seconde s annule en 0 sans changer de signe. La fonction q ne change pas de conveité. La courbe n admet pas de point d infleion. En tout point la courbe est au-dessus de sa tangente. Le changement de signe de la dérivée seconde correspond à un changement de conveité de la fonction. En un point où la dérivée seconde s annule et change de signe, la courbe représentative d une fonction traverse sa tangente. Illustrons ceci par la figure 9 où la courbe représentative d une fonction f est donnée. K Point d infleion B Concave Au point K la courbe traverse la tangente T. Le point K est un point d infleion de la courbe. Entre A et K, f " 0 et la pente des tangentes augmente. Entre K et B, f " 0 et la pente des tangentes diminue. Considérons la courbe de la fonction k : 3. Convee La pente des tangentes i diminue sur ] ; 0] ; i augmente sur [0 ; + [. A T Figure 9 (voir le sens de variation de la fonction dérivée k ) 6 Séquence 8 MA0

27 Propriété 7 Lorsque la dérivée seconde d une fonction f s annule en 0, en changeant de signe, alors la fonction f change de conveité en 0. Définition 5 Soit f une fonction dérivable etc f sa courbe représentative dans un repère du plan. Si la fonction f change de conveité en 0 on dit que le point de la courbe C f d abscisse 0 est un point d infleion de la courbec f. Propriété 8 Si la courbe représentative d une fonction admet un point d infleion alors la courbe traverse sa tangente en ce point. Eemple 8 Le point O (0 ; 0) est le point d infleion de la courbe représentant la fonction 3. Les points A( ; ) et B( ; ) sont les points d infleion de la courbe représentant la fonction 4 (voir la courbe de l eemple 5) Les points A 3 ;, O (0 ; 0) et B 3 ; sont les points d infleion de la courbe représentant la fonction (voir la courbe de l eemple 6). 3 Les points A( 3; 0e ) et B( ; e ) sont les points d infleion de la courbe représentant la fonction ( + ) e (voir la courbe de l eemple 7). Eemple 9 Soit f la fonction définie sur R parf( ) = 0( ) e etc sa courbe représentative dans un repère du plan. Déterminer les variations de la fonction f. Étudier la conveité de la fonction f. Séquence 8 MA0 7

28 Solution Montrer que la courbe C admet un point d infleion, noté K. Donner l équation de la tangente à la courbe C en K. i f '( ) = 0 e ( )e 0( )e ; = Pour tout réel on a i f"( ) = 0 e ( )e 0( 3)e. = La fonction dérivée est du signe de ( ). La fonction dérivée seconde est du signe de ( 3). La fonction f est i i croissante sur ] ; ] ; décroissante sur [ ; + [. La fonction f est ( ) Pour = 3 la dérivée seconde s annule et change de signe : le point K 3; 0e 3 est un point d infleion de C. 3 3 Calculons f '( 3) = 0( 3) e = 0e. i concave sur ] ; 3] ; i convee sur [3 ; + [. 3 3 L équation de la tangente à C au point K est y = 0e ( 3) + 0e, soit 3 y = 0e ( 5). 3 Voir la courbe sur la figure 0. On a y K car 0e = 0, y = f() = 0( ) ep( ) K Convee C y = g() = + + In() K Convee , 0,4 0,5 0,6 0,8 Concave C Concave Figure 0 Figure Eemple 0 Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g ( ) = + + ln et C sa courbe représentative dans un repère du plan. Déterminer les variations de la fonction g. Étudier la conveité de la fonction g. Montrer que la courbe C admet un point d infleion, noté K. Donner l équation de la tangente à la courbe C en K. 8 Séquence 8 MA0

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