Correction du bac blanc CFE Mercatique

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1 Correction du bac blanc CFE Mercatique Exercice 1 (4,5 points) Le tableau suivant donne l évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers : Année Nombre de bénéficiaires en milliers 3 258, , , ,2 3334, , ,7 Source : Insee 1. Entre 2002 et 2003, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux a augmenté de 1,69%. Déterminer le nombre de bénéficiaires de minima sociaux en 2003 (arrondir à 0, 1 millier). Entre 2002 et 2003, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux a augmenté de 1,69%. Le coefficient multiplicateur est alors de 1, Calculons le nombre de bénéficiaires : 3258,7 1,0169 = 3313,772. Le nombre de bénéficiaires de minima sociaux en 2003 est 3313,8 milliers à 0,1 millier près. 2. On affecte l indice 100 à l année Déterminer les indices des années 2008 et 2009 (les résultats seront arrondis au centième). Le nombre de bénéficiaires est passé de 3334,6 en 2007 à 3297,5 en L indice de 2008 par rapport à 2007 est 3297,5 100 = 98, ,6 L indice de 2009 par rapport à 2007 est 3502,7 100 = 105, ,6 3. Déterminer les taux d évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2007 et 2008, puis entre 2007 et Exprimer ces taux en terme de hausse ou de baisse en pourcentage (arrondir à 0, 01%). Le taux d évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2007 et 2009, exprimé en pourcentage est 98, = 1,11 %. 100 Entre 2007 et 2008, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux a baissé de 1,11 %. Le taux d évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2007 et 2009, exprimé en pourcentage est 105, = 5,04 %. 100 Entre 2007 et 2009, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux a augmenté de 5,04 %. 4. Calculer le taux d évolution annuel moyen du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2002 et 2009 (arrondir à 0,01%). Calculons le taux d évolution annuel moyen du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2002 et 2009 (arrondi à 0,01%). Appelons T le taux global et t m le taux moyen annuel. valeur finale valeur initiale T = T = 3502,7 3258,7 0, valeur initiale 3258,7 Le coefficient multiplicateur global est 1 + T d une part et (1 + t m ) 7 car le nombre de bénéficiaires a subi 7 évolutions d où t m = (1+T) 1 7 1, t m = (1,074876) ,0104. Le taux d évolution annuel moyen du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2002 et 2009 est d environ 1,04 %. 1

2 5. Le gouvernement souhaite qu en 2015, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux ne dépasse pas Si l évolution moyenne est de 1,04% par an après 2009, cet objectif est-il réalisable? Il y a 6 évolutions de 2009 à Si l évolution moyenne est de 1, 04% par an après 2009, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux en 2015 aura été multiplié par 1, ,7 1, ,04. On prévoit donc moins de 3800 milliers de bénéficiaaires pour Cet objectif est réalisable puisque le nombre prévu est inférieur au seuil fixé par le gouvernement. Exercice 2 (Vrai/Faux, 4 points) Pour chaque proposition, relever le numéro et indiquer si la proposition est vraie ou fausse. Aucune justification n est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point; une réponse fausse enlève 0,5 point; l absence de réponse ne rapporte ni n enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l exercice est ramenée à 0. Un groupe d élèves décide de faire des gâteaux et de les vendre pour récolter de l argent pour un voyage scolaire. Il confectionnent des gâteaux au yaourt et des gâteaux au chocolat. Les gateaux au yaourt sont vendus 6e pièce et les gâteaux au chocolat 8epièce. Ils disposent en quantités nécessaires des yaourts, du chocolat, du beurre, de la levure et de l huile, mais n ont que 4,8 kg de farine, 5,4 kg de sucre et 150 œufs. La préparation d un gâteau au yaourt nécessite 240 g de farine, 240 g de sucre et 3 œufs. La préparation d un gâteau au chocolat nécessite 80 g de farine, 150 g de sucre et 6 œufs. On note x le nombre de gâteaux au yaourt et y le nombre de gâteaux au chocolat fabriqués. On suppose que tous les gâteaux fabriqués sont vendus. Les élèves souhaitent gagner le plus d argent possible. Ils réalisent le graphique ci-dessous pour traiter le problème. ( 120 On note 0(0;0), A(0;25), B(10;20), C 7 ; 60 ), et D(20;0). 7 Les couples d entiers (x; y) respectant les contraintes sont les coordonnées des points situés à l intérieur du pentagone OABCD. La droite d équation 6x+8y = 160 est tracée en pointillés. Elle correspond au cas où la recette est de 160 euros. 2

3 25 A 20 B C 5 O D Proposition 1 : La contrainte liée à la quantité de farine se traduit pas 3x+y 60. La contrainte sur la farine est : 240x+80y En simplifiant par 80, on a 3x+y 60. VRAI Proposition 2 : La droite (BC) est associée à la contrainte liée au nombre d œufs. La contrainte sur les œufs est 3x+6y 150. En simplifiant par 3, x+2y 50. La droite d équation x+2y = 50, a pour équation réduite y = 1 2 x+25. C est la droite (AB) qui a 25 pour ordonnée à l origine. Ce n est donc pas la droite (BC). FAUX Proposition 3 : En fabriquant 19 gâteaux au yaourt et 4 gâteaux au chocolat, toutes les contraintes sont respectées. Le point de coordonnées (19;4) est en dehors du polygone des contraintes. FAUX Proposition 4 : En respectant toutes les contraintes, la recette maximale sera de 220 euros. La recette est maximale pour x = 10 et y = 20. De façon générale, la recette est R = 6x+8y. R max = = = 220. La recette maximale est 220 euros. VRAI 3

4 Exercice 3 (6 points) Un artisan fabrique des vases qu il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus. L artisan veut faire une étude sur la production d un nombre de vases compris entre 0 et 60. Il estime que le coût de production de x vases fabriqués est modélisé par la fonction C dont l expression est C(x) = x 2 10x+500, où x appartient à l intervalle [0; 60]. Chaque vase est vendu 50 euros. Sur le graphique donné en annexe 2, C est la courbe représentative de la fonction C et D 2 est la droite d équation : y = 50x. 1. Par lecture graphique, déterminer : (a) le coût de production de 40 vases fabriqués. On lit : C(40) = La fabrication de 40 vases coûte 1700 euros. (b) la production, à une unité près, qui correspond à un coût total de 1300 euros. On lit un peu moins de 34. Le coût est de 1300 euros pour 34 vases fabriqués. 2. On note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases fabriqués. (a) Exprimer R(x) en fonction de x. Recette = prix quantité. R(x) = 50x. (b) Déterminer graphiquement le nombre de vases que l artisan doit fabriquer pour réaliser un bénéfice. L entreprise fait des bénéfice lorsque les recettes sont sup erieures aux coûts. On lit les valeurs de x où la droite des recettes est au-desus de la courbe des coûts. On voit que les deux courbes ont en commun les points (10; 500) et (50; 2500). Pour réaliser un bénéfice, il faut produire entre 10 et 50 vases. 3. (a) Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par la fabrication et la vente de x vases, est donné par la fonction B dont l expression est B(x) = x 2 +60x 500, où x appartient à l intervalle [0; 60]. Lebénéfice est ladifférence entrelarecette et lecoût deproductiondespièces vendues soit : B(x) = R(x) C(x) = 50x ( x 2 10x+500 ) = x 2 +60x 500. (b) Calculer B (x). La fonction B est dérivable et : B (x) = 2x+60 = 2(30 x). (c) Déterminer le signe de B (x) sur l intervalle [0; 60]. B (x) = 0 lorsque 30 x = 0, soit x = 30. On a B (x) > 0 30 x > 0 x < 30. De même B (x) < 0 x > 30. x B (x) + 0 (d) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle [0; 60]. Lafonction est donccroissante sur]0 ; 30[ et décroissante sur]30 ; 60[, d où letableau de variations : 4

5 x B (x) B(x) (e) En déduire le nombre de vases à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Le tableau montre que la production (et la vente) de 50 vases permet de réaliser un bénéfice maximal de 400 e D C Exercice 4 (5,5 points) Depuis quelques années, le nombre de personnes tuées sur les routes de France a considérablement diminué. Le tableau suivant présente le bilan de l année 2001 à l année Année Rang de l année x i Nombres de personnes Source : site officiel de la sécurité routière Le nuage de points (x i ; y i ) est donné en annexe à rendre avec la copie. La courbe C f tracée sur l annexe est la courbe représentative d une fonction f étudiée dans la partie B. Partie A : Dans cette partie, on ne tiendra pas compte de la courbe C f 5

6 1. Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite d ajustement de y en x de la série (x i ; y i ) obtenue par la méthode des moindres carrés. (arrondir les coefficients à l unité). La calculatrice donne en arrondissant les coefficients à l unité : y = 576x À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l aide de la droite d équation y = 580x Tracer cette droite sur le graphique de l annexe à rendre avec la copie. On calcule les coordonnées de 2 points. x 0 10 y Déterminer le nombre de tués prévus en 2010 par ce modèle. Indiquer la méthode utilisée. Graphiquement : on trace la droite d équation x = 10 (10 correspondant à 2010) qui coupe la droite d ajustement en un point dont on trouve l ordonnée en le projetant sur l axe des ordonnées. On lit à peu près : Par le calcul : si x = 10, y = = = Selon ce modèle, on estime à 2600 le nombre de tués en Partie B : On considère la fonction f définie sur l intervalle [1; 15] par f(x) = 1900ln(x) On note f la fonction dérivée de f sur cet intervalle. 1. (a) Calculer f (x). f est dérivable pour x > 0 et en particulier sur l intervalle [1; 15], f (x) = x. (b) Justifier que f (x) est négatif sur l intervalle [1; 15]. Comme x > 1, 0 < 1 x < 1, donc f (x) est du signe de Donc pour tout x [1;15], f (x) < 0. (c) En déduire le sens de variation de f sur l intervalle [1; 15]. La dérivée f étant négative sur [1; 15], la fonction f est donc décroissante sur [1;15]. Dans la suite de cette partie, on décide de modéliser l évolution du nombre de personnes tuées sur les routes de France à l aide de la fonction f. 2. Déterminer par le calcul le nombre de tués prévus en 2010 par ce modèle (arrondir à l unité). On a f(10) = 1900ln(10) Cette fois, on estime le nombre de tués en 2010 à Partie C : Parmi les deux modèles étudiés dans la partie A et la partie B, indiquer celui qui ne permet pas d obtenir une prévision réaliste en Justifier la réponse. L estimation pour 2015 avec la droite donnerait un nombre négatif, ce qui n est pas réaliste. L ajustement par la courbe représentative de f est nettement meilleur que celui obtenu par la droite. 6

7 Nombre de personnes tuées sur la route C f Rang de l année 7

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