U102 Devoir sur les suites (TST2S)

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1 LES SUITES - DEVOIR 1 EXERCICE 1 L'objectif de cet exercice est de comparer l'évolution des économies de deux personnes au cours d'une année. Pierre possède 500 euros d'économies le 1 er janvier. Il décide d'ajouter 50 euros le 27 de chaque mois. Emilie ne possède que 400 euros d'économies le 1 er janvier, mais elle décide d'augmenter ses économies de 10 % le 27 de chaque mois. 1) Cas de Pierre : On note la somme initiale reçue le 1 er janvier, et la somme disponible à la fin du n ième mois. a) Montrer que la suite ( ) correspondante est arithmétique : précisez sa raison et son terme initial b) Exprimer en fonction de c) Calculer la somme dont dispose Pierre à la fin de l'année. d) Calculer le taux d augmentation de ses économies entre le 1 er janvier et le 31 décembre 2) Cas de Emilie : On note la somme initiale reçue le 1 er janvier, et la somme disponible à la fin du n ième mois. a) Montrer que la suite ( ) correspondante est géométrique : précisez sa raison et son terme initial b) Exprimer en fonction de c) Calculer la somme dont dispose Emilie à la fin de l'année. d) Calculer le taux d augmentation de ses économies entre le 1 er janvier et le 31 décembre 3) Comparaison des deux cas : A l aide de la calculatrice, déterminer à la fin duquel mois les économies d Emilie deviennent supérieures à celles de Pierre. EXERCICE 2 L élève souhaite estimer le nombre de plombémies pour l année Pour cela, elle considère que le nombre de plombémies baisse de 11% par année à partir de Elle modélise alors cette évolution par une suite géométrique de terme général où désigne un entier naturel et représente le nombre de plombémies de l année ( ). On a alors = a. Montrer que la raison de cette suite est égale à 0,89. b. Calculer. On arrondira à l unité. 2. a. Exprimer en fonction de. b. Calculer alors le nombre de plombémies que l élève peut estimer pour l année On arrondira le résultat à l unité. 3. On rappelle le résultat suivant : Si ( ) est une suite géométrique de premier terme et de raison avec 1, alors : = 1 1 a. Calculer, pour les années 2005 à 2009 incluses, le nombre total T de plombémies que l élève peut obtenir avec sa modélisation. On arrondira le résultat à l unité.

2 EXERCICE 3 Le tableau ci-dessous donne les dépenses de soins hospitaliers pour les années 2008 à 2010 en milliards d euros en France. Années Dépenses de soins hospitaliers en milliards d euros 76,2 76,1 81,2 Source : DREES, comptes de la santé Calculer le pourcentage d évolution des dépenses de soins hospitaliers entre 2008 et Les prévisions de dépenses font apparaître une augmentation annuelle de 2% des dépenses de soins hospitaliers à partir de l année On note, pour tout entier naturel, le montant des dépenses de soins hospitaliers en milliards d euros pour l année (2010+ ). On a donc =81,2. a. Calculer et. On arrondira à 10 près. b. Quelle est la nature de la suite ( )? Préciser sa raison. c. Exprimer, pour tout entier naturel, en fonction de. 3. Calculer l estimation du montant des dépenses de soins hospitaliers pour l année On utilise un tableur pour calculer le montant des dépenses de soins hospitaliers. A B C D E F G H I J K L M N ,2 Quatre formules sont proposées à saisir en C2 puis à recopier vers la droite. Une seule est exacte. Indiquer, sur la copie, la réponse choisie. a. =B2 1,02ˆC1 b. =B2 1,02 c. =B2 0,02 d. =$B$2 1,02 5. a. Résoudre, pour t réel, l équation 81,2 1, b. En déduire une estimation de l année à partir de laquelle les dépenses de soins hospitaliers dépasseront 100 milliards d euros.

3 3 CORRECTION Exercice 1 1) Cas de Pierre Chaque mois Pierre ajoute une somme fixe à ses économies, on a donc une relation de la forme = + Avec le 1 er terme =500 et la raison =50 Soit = A la fin de l année, il dispose de = +1 = = = Entre le 1 er janvier et le 31 décembre, ses économies ont augmenté de 10%. 2) Cas d Emilie Chaque mois Emilie ajoute un pourcentage à ses économies, on a donc une relation de la forme = Avec le 1 er terme =400 et la raison = 1+ =1,1 Soit =400 (1,1) A la fin de l année, il dispose de =400 (1,1) =400 1,1 = = Entre le 1 er janvier et le 31 décembre, ses économies ont augmenté de 10%. 3) Comparaison des deux cas Cela équivaut à résoudre Economie de Pierre = +1 50=500+50=550 = +2 50= =600 =650 =950 =1000 Economie d Emilie = (1,1) =400 1,1=440 = (1,1) =400 1,21=484 =532,4 943, ,4

4 Les économies d Emilie deviennent supérieures à celles de Pierre à la fin du mois d octobre. 4 EXERCICE 2 1.a. Une baisse de 11% correspond à un coefficient multiplicateur de : =0,89 La suite étant géométrique, on passe d un terme au suivant en le multipliant toujours par le même nombre qui est la raison. La raison est donc 0,89. b. = , a. = = ,89 b. L année 2010 correspond à = , Le nombre de plombémies que l élève peut estimer pour l année 2010 est de a. L année 2009 correspond à D où = = 1 1 = ,89 1 0, Pour les années 2005 à 2009 incluses, le nombre total T de plombémies que l élève peut obtenir avec sa modélisation est de Exercice 3 1. Valeur finale Valeur initiale = 79,1 76,2 76,2 =0,03806 Valeur initiale Soit 3,81% Le pourcentage d évolution des dépenses de soins hospitaliers entre 2008 et 2009 est de 3,81%. 2. La hausse de 2% correspond à un coefficient multiplicateur de 1+ =1,02 a. =81,2 1,02 82,82 =82,82 1,02 84,48

5 b. Pour passer d un terme au suivant on multiplie toujours par le même nombre 1,02, qui est la raison. La suite ( ) est une suite géométrique de raison est 1,02 et de premier terme 81,2. 5 c. = 1,02 =81,2 1,02 3. L estimation du montant des dépenses de soins hospitaliers pour l année 2015 est. =81,2 (1,02) 89,65 4. Réponse b. 5. a. 81,2 1, , ,2 1,02 1, log1,02 log1, log1, log 1,02 10,52 L ensemble des solutions de l inéquation est [10,52 ; +1[. b. L année à partir de laquelle les dépenses de soins hospitaliers dépasseront 100 milliards d euros est 2021 ( ,52).

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