108y= 1 où x et y sont des entiers

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "108y= 1 où x et y sont des entiers"

Transcription

1 Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble des couples d entiers relatifs solutions de l équation ( E ) Partie B Dans cette partie, a désine un entier naturel et les nombres c et sont des entiers naturels vérifiant la relation c= On rappelle le petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, p alors a p est conru à modulo p que l on note a p Soit x un entier naturel Démontrer que si x a 7 et x a 9 alors x a 3 2 (a) On suppose que a n est pas un multiple de 7 6 Démontrer que a 7 puis que a 7 En déduire que ( ) 7 a a (b) On suppose que a est un multiple de 7 a a 7 Démontrer que ( ) (c) On admet que pour tout entier naturel a, ( ) Démontrer que ( a ) a 3 9 a a PanaMaths [ - 6 ] Juin 202

2 Partie C On note A l ensemble des entiers naturels a tels que : a 26 Un messae, constitué d entiers appartenant à A, est codé puis décodé La phase de codae consiste à associer, à chaque entier a de A, l entier r tel que a r 3 avec 0 r < 3 La phase de décodae consiste à associer à r, l entier r tel que r r 3 avec 0 r < 3 Justifier que r a 3 2 Un messae codé conduit à la suite de deux entiers suivants : Décoder ce messae PanaMaths [ 2-6 ] Juin 202

3 Analyse Théorème de Gauss, petit théorème de Fermat, propriétés de la relation de conruence sont «au proramme» de cet exercice d arithmétique qui propose, classiquement désormais, comme application des résultats intermédiaires un travail de décodae où la calculatrice peut être assez utile Résolution Partie A Question On a immédiatement : 3 = = Le couple ( ) ; 3 est solution de l équation x y = Question 2 En utilisant le résultat de la question précédente, l équation se récrit classiquement : Soit : ( x ) ( y 3) = divise donc le produit ( y 3) x y = 3 2 Les entiers = 5 et étant premiers entre eux (5 ne divise pas ), on en déduit que divise y 3 (théorème de Gauss), soit : y 3= k où k est un entier relatif Il vient alors : ( x ) = k, soit : x = k x ; y = + k; 3+ k où k est un entier relatif En définitive : ( ) ( ) L ensemble des couples d entiers relatifs solutions de l équation ( E ) est l ensemble : {( + k; 3+ k) / k } PanaMaths [ 3-6 ] Juin 202

4 Partie B Question, il existe un entier k tel que : x = a+ 7k Comme x a [ 7 ] De même, comme x a [ 9 ], il existe un entier k ' tel que : x = a+ 9 k' On a donc : x = a+ 7k = a+ 9 k', soit : 7k = 9 k' Les entiers 7 et 9 étant premiers entre eux, On en déduit (théorème de Gauss) que 7 divise k ', soit k' = 7 k'', où k '' est un entier On a alors : x = a+ 9 k' = a+ 9 7 k'' = a+ 3 k'' L entier x est bien conru à a modulo 3 Si x a [ 7 ] et x a [ 9 ] alors x a [ 3 ] Question 2a Ici, a n est pas un multiple de 7 qui est premier Le petit théorème de Fermat nous permet 7 6 alors d affirmer que a 7 Remarquons que l on a : = 6 8 a est conru à modulo p, soit [ ] D après le résultat précédent, il vient alors : ( 6 8 ) 8 [ 7] On a : c =, soit : = c + Il vient alors : ( ) c+ a = a = a a, soit : [ 7] c c Comme a [ 7], on a : ( a ) [ 7], soit : c [ 7] c c D où : a a a [ 7], soit : a a [ 7 ] a a +, c'est-à-dire : ( ) a a [ 7 ] Si a n est pas un multiple de 7, on a : 6 a [ 7], [ 7] a et ( a ) a [ 7 ] Question 2b Puisque a est un multiple de 7, il en va de même pour toute puissance de a d exposant entier naturel non nul Ainsi, ( a ) est un multiple de 7 La différence ( a ) a est elle-même un multiple de 7, soit : ( a ) a 0 [ 7] D où : ( a ) a [ 7 ] Si a est un multiple de 7 alors ( a ) a [ 7 ] PanaMaths [ 4-6 ] Juin 202

5 Question 2c D après les deux questions précédentes, on a, pour tout entier a : ( a ) a [ 7 ] On admet, par ailleurs, que l on a : ( a ) a [ 9 ] D après la question de cette partie (on prend x ( a ) ( a ) a [ 3 ] = ), on en déduit immédiatement : Pour tout entier naturel a, on a : ( a ) a [ 3 ] Partie C Question On a a r [ 3 ] Donc : ( ) a r [ 3 ] Soit : a r [ 3 ] Mais d après la question 2c de la partie B, comme le couple ( ; c ) = ( ;3) est solution de l équation ( E ), on a : a a [ 3 ] De a r [ 3 ] et a a [ 3 ], on tire immédiatement r a [ ] [ ] r a 3 3 Remarque : l entier r vérifie 0 r < 3 et l entier a vérifie a 26 La relation [ ] r a 3 nous permet alors de conclure a = r Question 2 er cas : r = 28 On s intéresse ici 28 dont on cherche le reste dans la division euclidienne par 3 28 étant proche de 3, on a intérêt à partir de 28 5 [ 3 ] Il vient alors : 28 ( 5) [ 3 ] 5 [ 3 ] On a : 5 8 [ 3 ] = Comme 3 3 = 399, on a facilement : 4096 = = = = D où : 5 ( 5 ) ( 8) [ 3 ] 4096 [ 3 ] D où : [ ] Alors : ( ) [ ] [ ] [ ] Pour r = 28 on obtient donc r = a = 2 PanaMaths [ 5-6 ] Juin 202

6 2 ème cas : r = 59 On s intéresse ici 59 dont on cherche le reste dans la division euclidienne par 3 59 étant «éloiné» de 3, on ne peut, à priori, reproduire la démarche précédente On a facilement : [ ], [ ] et [ ] [ ] Nous exploitons ce dernier résultat : 59 ( 59 ) ( 3) [ 3 ] 27 [ 3 ] = 2 D où : 59 = [ 3 ] 593 [ 3 ] Comme =, on a finalement : [ ] Le messae décodé est donc : 2 3 PanaMaths [ 6-6 ] Juin 202

Contrôle de mathématiques

Contrôle de mathématiques Contrôle de mathématiques Correction du Lundi 18 octobre 2010 Exercice 1 Diviseurs (5 points) 1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810. D 810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90;

Plus en détail

Arithmétique. Préambule. 1. Division euclidienne et pgcd. Exo7. 1.1. Divisibilité et division euclidienne

Arithmétique. Préambule. 1. Division euclidienne et pgcd. Exo7. 1.1. Divisibilité et division euclidienne Exo7 Arithmétique Vidéo partie 1. Division euclidienne et pgcd Vidéo partie 2. Théorème de Bézout Vidéo partie 3. Nombres premiers Vidéo partie 4. Congruences Exercices Arithmétique dans Z Préambule Une

Plus en détail

Sur l algorithme RSA

Sur l algorithme RSA Sur l algorithme RSA Le RSA a été inventé par Rivest, Shamir et Adleman en 1978. C est l exemple le plus courant de cryptographie asymétrique, toujours considéré comme sûr, avec la technologie actuelle,

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement de spécialité. Arithmétique

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement de spécialité. Arithmétique Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement de spécialité Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 20 février 2010 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2 1.

Plus en détail

L essentiel du cours

L essentiel du cours Terminale S et concours L essentiel du cours mathématiques Arithmétique - matrices Jean-Marc FITOUSSI Progress Editions Table des matières Arithmétique 01 LA DIVISIBILITÉ page 6 02 LA DIVISION EUCLIDIENNE

Plus en détail

Arithmétique modulaire et applications à la cryptographie

Arithmétique modulaire et applications à la cryptographie Arithmétique modulaire et applications à la cryptographie Etant donné un entier n, l arithmétique modulo n consiste à faire des calculs sur les restes dans la division euclidienne des entiers par n. Exemples

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail

M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER

M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER 1. Euclide, relation de Bézout, gcd Exercice 1. [DKM94,.14] Montrer que 6 n 3 n our tout entier n ositif. Exercice 2. [DKM94,.15]

Plus en détail

ARITHMETIQUE EXERCICES CORRIGES

ARITHMETIQUE EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. ARITHMETIQUE EXERCICES CORRIGES 5 1) Donner l écriture de a) A = 1 b) A = 1001 c) A = 1 ) Ecrire la suite des 10 premiers nombres entiers en base deux. En base quatre ) En base douze, on

Plus en détail

Epreuve de spécialité de Mathématiques Série L

Epreuve de spécialité de Mathématiques Série L Epreuve de spécialité de Mathématiques Série L Durée de l'épreuve: 3 heures. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence Sommaire 1. Arithmétique 2 1.1. Division euclidienne......................... 2 1.2. Congruences.............................

Plus en détail

Cours élémentaire d arithmétique. Valentin Vinoles

Cours élémentaire d arithmétique. Valentin Vinoles Cours élémentaire d arithmétique Valentin Vinoles décembre 2009 Introduction «Wir müssen wissen. Wir werden wissen.» (Nous devons savoir. Nous saurons.) David Hilbert Voici un document présentant les principales

Plus en détail

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS.

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître différents procédés pour établir une divisibilité : utilisation de la définition, utilisation d identités remarquables, disjonction des cas,

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011 Baccalauréat S Métropole 1 juin 011 EXERCICE 1 Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 4 points Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 4. Dans un pays,

Plus en détail

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité?

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité? Université Paris Dauphine DEMIE e année Algèbre linéaire 3 Examen - septembre 01 Le sujet comporte pages. L épreuve dure heures. Les documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Question

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( +

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

Polynômes. Motivation. 1. Définitions. Exo7. 1.1. Définitions

Polynômes. Motivation. 1. Définitions. Exo7. 1.1. Définitions Exo7 Polynômes Vidéo partie 1. Définitions Vidéo partie 2. Arithmétique des polynômes Vidéo partie 3. Racine d'un polynôme, factorisation Vidéo partie 4. Fractions rationnelles Exercices Polynômes Exercices

Plus en détail

Nombres ayant même reste dans la division euclidienne par un entier non nul notion de congruence - Compatibilité avec les opérations usuelles.

Nombres ayant même reste dans la division euclidienne par un entier non nul notion de congruence - Compatibilité avec les opérations usuelles. ARITHMETIQUE Partie des mathématiques étudiant les propriétés élémentaires des nombres entiers. Introduction : Le développement de l informatique et plus généralement de ce qu on appelle «le numérique»,

Plus en détail

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Devoir à la maison. à rendre le lundi 21 février 2011

Devoir à la maison. à rendre le lundi 21 février 2011 Université Clermont 1 Année 2010-2011 IUT Info 1A Semestres décalés Arithmétique et Cryptographie Malika More Devoir à la maison à rendre le lundi 21 février 2011 Exercice 1 (3 points). 1. En utilisant

Plus en détail

Congruences et théorème chinois des restes

Congruences et théorème chinois des restes Congruences et théorème chinois des restes Michel Van Caneghem Février 2003 Turing : des codes secrets aux machines universelles #2 c 2003 MVC Les congruences Développé au début du 19ème siècle par Carl

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban EXERCICE 1 : 4 Points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une

Plus en détail

«Dans l'arithmétique de l'amour, un plus un égal l'infini,

«Dans l'arithmétique de l'amour, un plus un égal l'infini, 1 Niveau : Terminale S Spé Maths Titre Cours : Etude de et (Partie II) PGCD-PPCM Année : 2014-2015 (Etienne BEZOUT 1730-1883) «Dans l'arithmétique de l'amour, un plus un égal l'infini, et deux moins un

Plus en détail

D'UN THÉORÈME NOUVEAU

D'UN THÉORÈME NOUVEAU DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS 1. (Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771.) 1. Je viens de trouver, dans un excellent

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Existence et unicité de la fonction exponentielle 2 1.1 Deux résultats préliminaires.......................................

Plus en détail

Calcul rapide des puissances

Calcul rapide des puissances Calcul rapide des puissances Par Mathtous Il s'agit de puissances à exposant entier naturel (avec la convention a 0 = 1, et a 1 = a). Si on applique la dénition pour calculer a n, on calcule de proche

Plus en détail

Suite arithmétique. Rang n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Suite u n u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 u 11 u 12 Abonnements 2000 2600 3200

Suite arithmétique. Rang n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Suite u n u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 u 11 u 12 Abonnements 2000 2600 3200 Suite arithmétique ENONCE : Une société de téléphonie mobile propose un nouveau forfait à partir du mois de janvier 2009. En janvier 2009, elle a enregistré 2000 abonnements souscrits pour ce forfait.

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

TS - Cours sur le logarithme népérien

TS - Cours sur le logarithme népérien Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C

Plus en détail

PRÉSENTATION SPÉCIALITÉ TERMINALE S MATHÉMATIQUES. Lycée Lumière Année 2012-2013

PRÉSENTATION SPÉCIALITÉ TERMINALE S MATHÉMATIQUES. Lycée Lumière Année 2012-2013 PRÉSENTATION SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES TERMINALE S Lycée Lumière Année 2012-2013 POURQUOI CHOISIR LA SPÉCIALITÉ MATHS? Les maths de spécialité en Terminale S c est : 2 heures de maths en plus par semaine

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS

EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS Dans les exercices suivants (G,.) est un groupe dont l élément neutre est noté e. 1. Soient x, y, z trois éléments de G tels que x 3 = y 2, y 3 = z 2, z 3 = x 2. (a)

Plus en détail

Exercices à savoir faire

Exercices à savoir faire Licence 1 Mathématiques 2014 2015 Algèbre et Arithmétique 1 Feuille n 6 : équations aux congruences, Z/nZ Exercices à savoir faire Exercice 1 1. Trouver tous les couples (x, y) Z 2 tels que 3x + 7y = 5.

Plus en détail

3. La suite ( un)a pour terme général un

3. La suite ( un)a pour terme général un NOM : Terminale ES Devoir n vendredi 9 octobre 0 Eercice : sur.5 points Des questions indépendantes. Résoudre l équation ² + 4 = 0. Calculer la dérivée de f dans chacun des cas suivants : a) f ( ) 4 8

Plus en détail

Session 2011. Enseignement de Spécialité. Durée de l épreuve : 3 heures. Coefficient : 7. Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7.

Session 2011. Enseignement de Spécialité. Durée de l épreuve : 3 heures. Coefficient : 7. Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. BACCALAURÉAT GENÉRAL Session 2011 MATHÉMATIQUES Série ES Enseignement de Spécialité Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. L utilisation d une calculatrice

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

1 Exercices à savoir faire

1 Exercices à savoir faire Licence 1 Mathématiques 2013 2014 Algèbre et Arithmétique 1 Feuille n 5 : Congruences, indicatrice d Euler, RSA 1 Exercices à savoir faire Exercice 1 1 Trouver tous les couples (x, y) Z 2 tels que 3x +

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale scientifique (enseignement de spécialité)

Cours de mathématiques Terminale scientifique (enseignement de spécialité) Cours de mathématiques Terminale scientifique (enseignement de spécialité) Chapitre 0 Raisonnements...2 I Le raisonnement par l'absurde...2 II Le raisonnement par récurrence...3 Chapitre 1 Divisibilité

Plus en détail

Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays.

Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. Maquette de couverture : Graphir Maquette intérieure : Frédéric Jély Mise en page : CMB Graphic Dessins techniques : Gilles Poing Hachette Livre 008, 43, quai de Grenelle, 790 Paris Cedex ISBN : 978--0-8-

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

Introduction des nombres complexes en TS

Introduction des nombres complexes en TS Introduction des nombres complexes en TS 1 À la découverte de nouveaux nombres Résoudre : dans, puis dans, l équation 5 + x = 0 ; dans, puis dans, l équation 3x + 2 = 0 ; dans, puis dans, l équation x

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Cours de mathématiques (Terminale S)

Cours de mathématiques (Terminale S) Cours de mathématiques (Terminale S) II. Chapitre 00 : La trigonométrie. Les angles orientés A. Les radians DÉFINITION Le radian est une unité de mesure angulaire, notée rad définie par : REMARQUE A partir

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité Métropole La Réunion septembre 2008

Baccalauréat L spécialité Métropole La Réunion septembre 2008 Baccalauréat L spécialité Métropole La Réunion septembre 2008 L usage d une calculatrice est autorisé Ce sujet ne nécessite pas de papier millimétré 3 heures EXERCICE 1 4 s Un magasin de matériels informatiques

Plus en détail

3 2 Séries numériques

3 2 Séries numériques BCPST 9 5 3 Séries numériques I Généralités A) Dénition Soit (a n ) n N une suite à valeurs dans R. On appelle série de terme général a n, et on note a n la suite dénie par : S n = On dit que S n est la

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Trigonométrie Résolution d équation trigonométrique Exercices corrigés

Trigonométrie Résolution d équation trigonométrique Exercices corrigés Trigonométrie Résolution d équation trigonométrique Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : résolution d équation trigonométrique dans en utilisant les valeurs remarquables du cosinus

Plus en détail

COURS DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES Terminale S

COURS DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES Terminale S COURS DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES Terminale S Valère BONNET (postmaster@mathsaulycee.info) 1 er novembre 2006 Lycée PONTUS DE TYARD 13 rue des Gaillardons 71100 CHALON SUR SAÔNE Tél. : (33) 03 85 46 85

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE

Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 5 et 6 mai 004 SÉRIE COLLÈGE Durée heures MATHEMATIQUES Rédaction, présentation, orthographe (4 points) PARTIE I : ACTIVITES NUMERIQUES (1 points) Dans

Plus en détail

Conjecture de Syracuse

Conjecture de Syracuse Conjecture de Syracuse Énoncé du problème [1] : Soit (U)n la suite définie par : (U)0=N, avec N N* [(U)n]/2 si (U)n est pair. et (U)n+1 = 3(U)n +1 si (U)n est impair. La Conjecture de Syracuse affirme

Plus en détail

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR MATHEMATIQUES ECE NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR CALCULS NUMERIQUES Fractions, puissances, racines carrées, résolution d équations et inéquations GENERALITES SUR LES FONCTIONS ) Nombre dérivé d

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

Taux d évolution moyen.

Taux d évolution moyen. Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

STRUCTURES ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES

STRUCTURES ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES STRUCTURES ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES A. BOUARICH 1. Notion de relations binaires 1.1. Relation binaire d équivalence sur un ensemble. Définition 1. Soit A un ensemble non vide. Une fonction propositionnelle

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en T ale S. Vincent PANTALONI

Cours de spécialité mathématiques en T ale S. Vincent PANTALONI Cours de spécialité mathématiques en T ale S Vincent PANTALONI VERSION DU 7 DÉCEMBRE 2010 II Mathzani VERSION DU 7 DÉCEMBRE 2010 Table des matières A Arithmétique 1 I Divisibilité et congruences dans Z

Plus en détail

MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés VUIBERT MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES MATHS ECE 2 e année Tout le programme Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

Plus en détail

Chapitre 1 - Suites. Suites géométriques. I.1 Définition et propriétés

Chapitre 1 - Suites. Suites géométriques. I.1 Définition et propriétés Chapitre 1 - Suites I Suites géométriques I.1 Définition et propriétés TD 1 : Évolutions de populations Le premier janvier 2011, une ville A compte 350 000 habitants. A la même date, une ville B compte

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Extrait de cours maths 3e. Multiples et diviseurs

Extrait de cours maths 3e. Multiples et diviseurs Extrait de cours maths 3e I) Multiples et diviseurs Multiples et diviseurs Un multiple d'un nombre est un produit dont un des facteurs est ce nombre. Un diviseur du produit est un facteur de ce produit.

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Arithmétique. 2 ième année de DUT Informatique. Version 2.1 3 février 2009. Ph. Roux

Arithmétique. 2 ième année de DUT Informatique. Version 2.1 3 février 2009. Ph. Roux Arithmétique 2 ième année de DUT Informatique Version 2.1 3 février 2009 Ph. Roux 2002-2009 Table des matières Table des matières 2 1 cours magistral 3 1.1 Divisibilité.................................

Plus en détail

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. Activités numériques (12 points)

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Que faire en algorithmique en classe de seconde? ElHassan FADILI Lycée Salvador Allende

Que faire en algorithmique en classe de seconde? ElHassan FADILI Lycée Salvador Allende Que faire en algorithmique en classe de seconde? BEGIN Que dit le programme? Algorithmique (objectifs pour le lycée) La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que : Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie lors de l évaluation finale. Les élèves n ayant pas la spécialité mathématique traiteront les exercices 1, 2,3 et 4, les élèves ayant

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Logique. Plan du chapitre

Logique. Plan du chapitre Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels

Plus en détail

ENONCE : Le chiffrement de Hill ( Niveau Terminale S spécialité)

ENONCE : Le chiffrement de Hill ( Niveau Terminale S spécialité) ENONCE : Le chiffrement de Hill ( Niveau Terminale S spécialité) Le mathématicien américain Lester Hill (1891-1961) a inventé une méthode de chiffrement à clé symétrique (secrète) par substitution polygraphique

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014

T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014 T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014 Durée : 3h Calculatrice autorisée NOM : Prénom : Sauf mention du contraire, tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. La précision et la clarté de

Plus en détail