Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes

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1 Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes Biostatistique Pr. Nicolas MEYER Laboratoire de Biostatistique et Informatique Médicale Fac. de Médecine de Strasbourg Mars 2011

2 Plan 1 Introduction 2 Théorie de l Analyse de la Variance (ANOVA) 3 Application de l ANOVA

3 Plan 1 Introduction 2 Théorie de l Analyse de la Variance (ANOVA) 3 Application de l ANOVA

4 Contexte Précédemment : Comparaison d une moyenne à une moyenne de référence comparaison de deux moyennes observée par test z ou t Quid des cas où il y a plusieurs moyennes? comparer l effet de trois traitements A, B et C sur la cholestérolémie comparer l expression d un gène entre 4 stades de cancer comparer la durée de séjour entre 3 établissements hospitaliers ou plusieurs techniques opératoires comparer une protéine sérique entre tabagiques actifs, anciens tabagiques et non tabagiques

5 Contexte Soit un facteur F à J classes, de j = 1,..., J traitement, stades de cancer, hôpitaux, techn. chir. Soit une variable aléatoire X cholestérolémie, niveau d expression du gène, durée de séjours, Comparaison des J moyennes µ j La question : existe-t-il au moins un groupe qui diffère des autres? µ 0 = µ 1 = = µ J? ou µ j µ j pour au moins un couple (j, j )?

6 Contexte Donc, comparaison de différents groupes indépendants une mauvaise solution : comparaisons deux à deux entre les groupes car : augmentation du risque α : si 4 groupes 6 comparaisons de deux groupes risque de conclure à tort à au moins une différence = 1 0,95 6 = 0,265 au lieu de 0,05 mauvaise estimation de la variance sous H 0 si H 0 vraie, la meilleure estimation de la variance commune est faite sur l ensemble des groupes simultanément

7 Plan 1 Introduction 2 Théorie de l Analyse de la Variance (ANOVA) 3 Application de l ANOVA

8 Théorème fondamental de la Variance Les éléments de base : soient une V.A. X, continue, distribuée suivant une loi de Gauss un facteur F constitué de J groupes avec n j sujets par groupe et N le nombre total de sujets x ij la valeur de la mesure pour le sujet i du groupe j µ la moyenne générale inconnue (pop o ) des valeurs de X µ j la moyenne inconnue (pop o ) des valeurs de X dans le groupe j α j l écart entre la moyenne µ j du groupe j et la moyenne générale µ : α j = µ j µ x j la moyenne observée dans le groupe j a j = x j x un résidu ε ij = x ij µ j estimé par e ij

9 Théorème fondamental de la Variance Le modèle théorique decrivant les données est : x ij = µ + α j + ε ij le test de comparaison de moyennes implique sous H 0 que les α j = 0, j. dans ce cas, le facteur F n a pas d effet sur la variable X sous H 1, α j 0 pour au moins un j : alors, le facteur F a un effet non nul sur la valeur de X données gaussiennes, sinon réaliser une transformation des valeurs pour normaliser les valeurs

10 Décomposition de la variation totale A partir du modèle fondamental : x ij = µ + α j + ε ij x ij = x + a j + e ij pour les valeurs observées x ij x = ( x j x) + (x ij x j ) où (x ij x j ) est un résidu e ij estimant ε ij = modèle observé de l ANOVA, pour un sujet i dans le groupe j. les écarts entre les observations individuelles et la moyenne générale sont constitués des écarts des observations individuelles à la moyenne des groupes et des écarts de la moyenne des groupes à la moyenne générale.

11 Décomposition de la variation totale Passage d une unité statistique à l ensemble des unités : x ij x = ( x j x) + (x ij x j ) En élevant au carré et en sommant sur toutes les unités : soit : n j i=1 j =1 n j i=1 j =1 J (x ij x) 2 = J (x ij x) 2 = n j i=1 j =1 n J j ( x j x) 2 + i=1 j =1 n J j [n j ( x j x) 2 ] + j =1 i=1 j =1 J (x ij x j ) 2 J (x ij x j ) 2

12 Décomposition de la variation totale L équation fondamentale de la variance n j i=1 j =1 J (x ij x) 2 = n J j [n j ( x j x) 2 ] + j =1 i=1 j =1 J (x ij x j ) Cette équation contient plusieurs sources de variations : une variation totale 1 une variation factorielle i.e. liée au facteur contrôlé 2 une variation résiduelle i.e. entre unités statistiques dans chacun des groupes 3

13 Décomposition de la variation totale Les moyennes ne diffèrent pas : la variabilité inter-groupes est proche de la variabilité intra-groupe

14 Décomposition de la variation totale Les moyennes diffèrent : la variabilité inter-groupes est supérieure à la variabilité intra-groupe

15 Décomposition de la variation totale Remarque L équation ne contient pas de double produit car la somme des doubles produits est nulle en raison de la nullité de la somme des écarts par rapport à la moyenne En effet : n j 2 i=1 j =1 n J j (x ij x j )( x j x) = 2 ( x j x) i=1 J (x ij x j ) = 0 j =1

16 Décomposition de la variation totale L équation fondamentale de la variance n j i=1 j =1 J (x ij x) 2 = n J j [n j ( x j x) 2 ] + j =1 i=1 j =1 J (x ij x j ) Cette équation contient plusieurs sources de variations : une variation totale 1 une variation factorielle ou liée au facteur contrôlé 2 une variation résiduelle = i.e. entre unités statistiques dans chacun des groupes 3

17 Les sources de variations Donc : variation totale = Somme des Carrés Totaux (SCE T ) = n j i=1 j =1 J (x ij x) 2 variation factorielle = Somme des Carrés Factoriels (SCE F ) = J [n j ( x j x) 2 ] j =1 variation résiduelle = Somme des Carrés Résiduels (SCE R ) = n j i=1 j =1 J (x ij x j ) 2

18 Les sources de variations On a alors : SCE T = SCE F + SCE R On y associe des degrés de libertés : N 1 = (J 1) + (N J )

19 Définition des carrés moyens Les sommes des carrés des écarts peuvent être divisées par leur nombres de degré de liberté respectifs on obtient alors : CM T = SCE T /(N 1) CM F = SCE F /(J 1) CM R = SCE R /(N J ) Ces carrés moyens ont les propriétés de variances, notamment en ce qui concernent leur distribution d échantillonage.

20 Le tableau d analyse de la variance : première partie Les données d une analyse de la variance sont généralement présentées dans un tableau de la forme suivante : Sources Degrés Sommes des Carrés de variation de liberté carrés des écarts moyens diff. entre groupes J-1 SCE F CM F diff. entre unités N-J SCE R CM R (dans les groupes) (= résiduelle) Total N-1 SCE T

21 Les tests statistiques associés Comment tester l écart entre les moyennes à partir de ces éléments? plusieurs moyennes et un test, H 0 vs H 1 des sommes de carrés d écarts et leur distributions d échantillonnage La solution : les sommes de carrés d écart sont assimilables à des variances. sous H 0, les CM F et la CM R sont deux estimations différentes d une même variance leur rapport est donc égal à 1 sous H 0 leur comparaison se fait par leur rapport CM F /CM R si le rapport est trop grand, on rejette l hypothèse d égalité des moyennes

22 Les tests statistiques associés le rapport CM F /CM R est un rapport de variance, i.e. variance factorielle / variance résiduelle (rappel : le terme de variance est abusif mais utilisé partout et donc aussi ici, à partir de maintenant) un rapport de variances suit une loi de Fisher F donc pour tester l écart de plusieurs moyennes : test de Fisher CM F CM R F J 1;N J ce qui permet donc de tester les écarts entre plusieurs moyennes simultanément!

23 Le tableau d analyse de la variance : première partie Le tableau complet d une ANOVA : Sources de variation Degrés de liberté Sommes des carrés des écarts Carrés moyens Test F p-valeur diff. entre groupes diff. entre unités (résiduelle) J 1 SCE F CM F CM F CM R N J SCE R CM R p Total N 1 SCE T

24 Retour sur le concept de l ANOVA Plusieurs points : si plus de deux moyennes : ne pas faire de comparaisons deux à deux car estimation commune des variances sur plusieurs groupes sous H 0 l eq o. fondamentale de l ANOVA : somme d écart inter-groupes et d écarts intra-groupes si pas de différence, la variabilité inter-groupes variabilité intra-groupes si l un au moins des groupes s éloigne des autres : l écart des moyennes (inter-groupes) est supérieur à l écart intra groupes

25 Retour sur le concept de l ANOVA Les moyennes ne diffèrent pas : la variabilité inter-groupes est proche de la variabilité intra-groupe

26 Retour sur le concept de l ANOVA Les moyennes diffèrent : la variabilité inter-groupes est supérieure à la variabilité intra-groupe

27 Retour sur le concept de l ANOVA on compare donc plusieurs variables en comparant des variances! cette comparaison test F de Fisher (ou Fisher-Snedecor) (ne pas confondre avec test exact de Fisher) test de rapport de variances, avec des ddl. si le rapport CM F /CM R est supérieur à la valeur seuil de la loi de F pour J 1 et N J ddl, on rejette H 0.

28 Les calculs de l ANOVA Calculs des moyennes : x j = 1 n j i x ij Soit T j = i x ij la somme des x ij dans le groupe j Soit Tj 2 j = ( i x ij ) 2 le carré de la somme des x ij dans le groupe Calcul des carrés moyens : CM F = j Tj 2 n j ( j T j ) 2 N J 1 CM R = x 2 ij j N J T 2 j n j

29 Plan 1 Introduction 2 Théorie de l Analyse de la Variance (ANOVA) 3 Application de l ANOVA

30 Exemple On veut étudier l effet de deux médicaments sur le taux de lymphocytes d animaux de laboratoires. On construit un plan factoriel dans lequel il y a trois groupes d animaux d effectifs 10 animaux par groupe. On garde un des groupes comme témoin et l on administre les médicaments A et B aux deux autres groupes.

31 Exemples Valeurs observées (10 3 ) : Groupe témoin : 272 ; 193 ; 432 ; 259 ; 386 ; 349 ; 320 ; 247 ; 260 ; 478 ; Groupe traité par A : 468 ; 333 ; 375 ; 398 ; 534 ; 451 ; 474 ; 278 ; 255 ; 528 ; Groupe traité par B : 368 ; 290 ; 325 ; 298 ; 314 ; 350 ; 378 ; 321 ; 275 ; 401 ; Les données correspondent au modèle d ANOVA : une variable de groupe, une variable continue dont on veut comparer les moyennes

32 Exemple Descriptif des données : $Descriptif leuco groupes = 1 groupes = 2 groupes = 3 Effectifs présents Proportions de présents Effectifs manquants Proportions de manquants Moyenne Ecart-type Variance Erreur standard (s.e.m) Err. Std (basée sur l ANOVA) NA

33 Exemple Les valeurs : n 1 = n 2 = n 3 = 10 x 1 = 319.6, x 2 = 409.4, x 3 = T 1 = 3196, T 2 = 4094, T 3 = 3320 T 2 1 = 31962, T 2 2 = 40942, T 2 3 = 33202

34 Exemple Résultats de l analyse de la variance (logiciel R) : summary(aov(leuco~groupes)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) groupes * Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

35 SCE : SCEt = SCEA + SCEe ddl : (30-1) = (3-1) + (30-3) Valeurs : ,7 = 47361, ,8 Carrés Moyens : CMA = 47361,9/2 = 23680,9 CM_R = ,8/27 = 6523,4 Rapport et test (CMA / CMe ) = 23680,9 / 6523,4 = 3,63 --> F calculé Valeur seuil F à 2 et 27 ddl = 3,354 F obs < F seuil d où la conclusion : on rejette H 0 et au moins un des groupes a une moyenne différente des deux autres groupes.

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