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1 Dominique Muller Laboratoire Inter-universitaire de Psychologie Bureau : 238 Tel : dominique.muller@upmf-grenoble.fr Supports de cours : webcom.upmf-grenoble.fr/lip/perso/dmuller/m2r/acm/

2 Test omnibus et tests de contrastes MA : Err i + β 1 C1 i + β 2 C2 i Dans R : ma<-lm(y~c1+c2,df) summary(ma) Correspond à la comparaison du modèle déclaré et du modèle simple > effet omnibus 2

3 Test omnibus et tests de contrastes MA : MC : Err i + β 1 C1 i + β 2 C2 i Err i L'anova qui nous est donnée correspond à l'effet omnibus (dans Statistica R modèle complet ) La comparaison de modèles sous-jacente, illustre la question traitée ici : Diminue-t-on l'erreur de manière intéressante lorsqu'on prend en compte l'existence des conditions? Ici la réponse est oui mais on ne peut rien dire de plus 3

4 Modèles ANOVA à un facteur (catégoriel) : k > 2 Y i + β 1 C1 i + β 2 C2 i Y i C1 i 1.11C2 i Prédiction pour FBm : Prédiction pour FBnm : Prédiction pour NoFB : Y (2) 1.11(0) Y ( 1) 1.11(1) Y ( 1) 1.11( 1) Ces prédictions sont les moyennes des trois conditions expérimentales Groupe FBm FBnm NoFB Moyenne

5 Tests des contrastes MA : Y i + β 1 C1 i + β 2 C2 i ma<-lm(y~c1+c2,df) confint(ma) 2.5 % 97.5 % (Intercept) c c

6 Tests des contrastes Y i C1 i 1.11C2 i! Interprétation de b : prédiction pour C1 et C2 0, ces deux contrastes étant centrés, cela correspond à une condition moyenne est donc la moyenne 6

7 Tests du contraste 1 Y i C1 i 1.11C2 i -6,26 (FBnm et NoFB) Contraste 1 (FBm) 7

8 Tests des contrastes Y i C1 i 1.11C2 i! Interprétation de b : prédiction pour C1 et C2 0, ces deux contrastes étant centrés, cela correspond à une condition moyenne est donc la moyenne! Interprétation de b : pour toute augmentation d'une unité, notre prédiction diminue de Il y a 3 unités de différence entre FBnm/NoFB et FBm, 6.26 correspond donc à 1/3 de la différence entre la moyenne de FBnm/NoFB et FBm.! Interprétation de b : pour toute augmentation d'une unité, notre prédiction diminue de Il y a 2 unités de différence entre FBnm et NoFB, 1.11 correspond donc à 1/2 de la différence entre la moyenne de FBnm et NoFB. 8

9 Pourquoi une famille de contrastes orthogonaux? Y a-t-il un problème avec le fait d'utiliser des contrastes non orthogonaux? FBm FBnm NoFB C C' Moyenne Y i C1i C '2 i! b 1 devrait être égal à 1/3 de la différence entre et la moyenne de et 54.48, soit Or b , soit 2/3 de la différence entre la moyenne des deux premières conditions et NoFB, soit un contraste 0.5, 0.5, -1! b 2 devrait être égale à 1/2 de la différence entre et 52.26, soit Or b , soit la différence entre FBnm et NoFB, soit un contraste 0, -0.5, 0.5 FBm FBnm NoFB C C.O. Cont. Ortho. FBm FBnm NoFB C.O. Cont. Ortho. C' Oui, il y a un problème, nous ne savons pas ce que nous testons! 9

10 Exemple de codage non orthogonaux : dummy codings FBm FBnm NoFB D D Moyenne Y i + β 1 D1 i + β 2 D2 i Avec un tel codage, la condition codée 0 sur les deux prédicteurs sera opposée à la condition codée 1. Ainsi,! D1 : la condition NoFB est opposée à la condition FBm! D2 : la condition NoFB est opposée à la condition FBnm (NB : R utilise ce type de codage si nous lui donnons une variable catégorielle non-recodée) 10

11 Un codage alternatif : test d'une tendance linéaire Imaginons qu'un chercheur ait comme hypothèse une augmentation linéaire telle que FBm < FBnm < NoFB Nous avons vu que le codage correspondant est 1, 0, 1, donc L 1, 0, 1 Il nous faut également définir un contraste orthogonal à celui-ci pour avoir une famille de contrastes orthogonaux > contraste de tendance quadratique Q -1, 2, -1 FBm FBnm NoFB L Q L teste la tendance linéaire mais c'est aussi le test de la condition FBm contre la condition NoFB Q teste la tendance quadratique mais c'est aussi le test de la condition FBnm contre la moyenne des deux autres conditions Ainsi, pour dire que les données suivent une tendance linéaire, il faudra que le contraste de linéarité soit significatif MAIS pas celui de tendance quadratique 11

12 Modèle à un facteur catégoriel k > 2 : test de linéarité Prédiction pour FBm : Y i + β 1 L i + β 2 Q i Y i L i Q i Y ( 1) ( 1) Prédiction pour FBnm : Y (0) (2) Prédiction pour NoFB : Y (1) ( 1) Ces prédictions sont, là encore, les moyennes des trois conditions expérimentales Groupe FBm FBnm NoFB Moyenne Un arrangement, un découpage, différent pour arriver à une même solution 12

13 Modèle à un facteur catégoriel k > 2 : test de linéarité Groupe FBm FBnm NoFB Moyenne L Q Y i L i Q i 13

14 Test omnibus et tests de contrastes F omnibus identique au découpage précédent Ici encore le contraste qui teste notre hypothèse, la linéarité, est significatif, mais pas celui qui teste la variance résiduelle 14

15 Découpage du SCR (SC effet) total SCR total C2 C1 L Q Y i β β 1.1 C1 i + β 1.2 C2 i Y i β β 2.1 L i + β 2.2 Q i 15

16 Plan Introduction Modèles simples (une VD) Variables continues (une VD et une VI continue) 2 conditions inter-sujets Conditions applications et sujets déviants 2 conditions intra-sujets 3 conditions inter-sujets 3 conditions intra-sujets Inter-sujets k > 3 ANCOVA et Régressions multiples Interaction variable dichotomique et continue (inter-sujets) 2 * 2 Inter-sujets 2 * 2 Intra-sujets 2 * 2 mixtes 2 (intra) * Continue

17 Modèle ANOVA intra à 3 modalités! VI : type d'items positifs (Rien, Compatible et Incompatible)! VD : temps de réaction pour dire si l'item du milieu est positif ou négatif Rien Compatible Incompatible Comme pour les VI inter, pour traiter les VI intra à 3 modalités, utilisation de familles de contrastes orthogonaux Ici deux questions orthogonales : La présence d'un «flanker» augmente-t-elle le temps de réponse? (Q1) Les temps de réponse sont-ils plus lents avec un «flanker» incompatible qu'avec un «flanker» compatible? (Q2)

18 VI intra à 3 modalités : Flanker effect (Fenske et Eastwood, 2003) Première question : La présence d'un «flanker» augmente-t-elle le temps de réponse? Rien Compatible Incompatible Là encore, utilisation d'un contraste pour opposer la première condition aux deux autres Comme nous sommes en intra le contraste renvoie à un calcul sur les trois mesures (trois colonnes) 19

19 VI intra à 3 modalités : première question, premier contraste Modèles pour Q1 : W 1 i + ε 1i Avec : W 1 i ( 2)Rien i + (1)Comp i + (1)Inc i 2Rien i + Comp i + Inc i Tester ce premier contraste revient donc encore une fois à tester la moyenne de W 1 contre 0 (test T pour échantillon unique) 20

20 VI intra à 3 modalités : première question, premier contraste Comparaison de modèles pour Q1 : MC : W 1 i 0 MA : W 1 i 120 SCE C SCE A PRE SCEC SCE SCE C A F SCR SCE ( pa pc) A ( N pa) ( 1 0) ( 6 1) 5.52 Le contraste opposant la condition rien avec les deux autres est donc tendanciel, F(1,5) 5.52, p <.07, PRE.52

21 VI intra à 3 modalités : première question, premier contraste W 1 i + ε1 i Comme pour tous modèles simples, on peut tester b 0 contre 0 en utilisant un test t pour échantillon unique : Le contraste opposant la condition rien avec les deux autres est donc tendanciel, t(5) 2.35, p <.07, PRE.52 Aparté : quand ddl effet 1 > F t PRE F 5.52 ddlerreur F + ddl effet 0.52

22 VI intra à 3 modalités : Flanker effect (Fenske et Eastwood, 2003) Seconde question : Les temps de réponse sont-ils plus lents avec un «flanker» incompatible qu'avec un «flanker» compatible? Rien Compatible Incompatible Là encore, utilisation d'un contraste mais cette fois pour opposer les deux dernières conditions. Soit : W 2 i + ε 2i Avec: W 2 i (0)Rien i + ( 1)Comp i + (1)Inc i Inc i Comp i 23

23 VI intra à 3 modalités : seconde question, second contraste Comparaison de modèles pour Q2 : MC : W 2 i 0 MA : W 2 i 57 SCE C SCE A PRE SCEC SCE SCE C A F SCR SCE ( pa pc) A ( N pa) ( 1 0) ( 6 1) 8.67 Le contraste opposant les conditions Comp et Inc est donc significatif, F(1,5) 8.67, p <.04, PRE.63

24 VI intra à 3 modalités : test omnibus Problème : la formule omnibus W i h δ h h Y hi 2 δ h devait être appliquée pour retrouver le test Recalculons les contrastes, que nous appellerons W1' et W2', mais en utilisant la formule ci-dessus. Ceci nous donne : W1' i ( 2) Rien i ( 2) + (1) Comp 2 + (1) 2 i + (1) + (1) Inc 2 i 2Rien i + Comp 6 i + Inc i W 2' i (0) Rien i + ( 1) Comp (0) 2 + ( 1) 2 i + (1) + (1) Inc 2 i Inc i Comp 2 i Pour le test de W1' : MC : MA : W1' i 0 + ε1 ' c i W1' i + ε1 ' a i SCE C SCE A Pour le test de W2' : MC : W 2' i 0 + ε 2 ' c i MA : W 2' i + ε 2 ' a i SCE C SCE A 5542

25 VI intra à 3 modalités : test omnibus Pour le test omnibus, il nous suffit d'additionner les SC et ddl des 2 contrastes :

26 VI intra à 3 modalités : une raison pour éviter de tester des effets à plus d'1 ddl en intra! " Exemple de comparaison de modèles pour un test à plus d'1 ddl en inter (k 3) MC : Y i MA : Y i + β 1 C1 i + β 2 C2 i Le terme d'erreur utilisé pour le test de l'effet omnibus sera le même que celui que nous aurions utilisé pour les tests à 1 ddl > SCE A " Exemple de test à plus d'1 ddl en intra (k 3) MA : W1' i + ε1 ' a i SCE A1' et MA : W 2' i + ε 2 ' a i SCE A2' 5542 SCE omnibus SCE A1' + SCE A2' Le terme d'erreur utilisé pour le test de l'effet omnibus d'une variable intra est (potentiellement) un composé de deux termes d'erreur totalement différents (ici l'un est plus de deux fois plus grand que l'autre) (note : pas de test vraiment efficace pour voir si cette différence est trop importante)

27 Plan Introduction Modèles simples (une VD) Variables continues (une VD et une VI continue) 2 conditions inter-sujets Conditions applications et sujets déviants 2 conditions intra-sujets 3 conditions inter-sujets 3 conditions intra-sujets Inter-sujets k > 3 ANCOVA et Régressions multiples Interaction variable dichotomique et continue (inter-sujets) 2 * 2 Inter-sujets 2 * 2 Intra-sujets 2 * 2 mixtes 2 (intra) * Continue

28 Test d'un modèle théorique avec facteurs catégoriels k > 3 Y i + β 1 C1 i + β 2 C2 i + β 3 C3 i β k Ck 1 i Nous avons parfois une hypothèse très précise sur ce que nous attendons Exemple de prédiction avec k 4 : 1) Trouver le contraste du modèle théorique 2) Trouver des contrastes pour tester ce qui n'est pas expliqué par le modèle théorique, ce que l'on appelle le résidu ou la variance résiduelle 3) Montrer que le modèle théorique est significatif MAIS pas le(s) résidu(s) 30

29 1) Contraste du modèle théorique Placer des poids correspondant aux «hauteurs» prévues pour chaque condition Prédictions Ensuite, faire de ces poids un code de contraste (centrer) : Pds T Pds TA Pds TV Pds TVA MOY Résultats observés Nous utiliserons donc un contraste appelé «Mod» du type : - 1, 0, 0, 1 31

30 2) Contrastes du résidu Trouver deux contrastes orthogonaux avec le modèle : T TA TV TVA Mod Res k k λmod. k 0 λres1. k 0 Res k λres2. k 0 Vérification de l'orthogonalité deux à deux des contrastes : Mod * Res1 : (-1 * 0) + (0 * 1) + (0 * -1) + (1 * 0) 0 Mod * Res2 : (-1 * -1) + (0 * 1) + (0 * 1) + (1 * -1) 0 Res1 * Res2 : (0 * -1) + (1 * 1) + (-1 * 1) + (0 * -1) 0 Il s'agit donc d'une famille de contrastes orthogonaux, nous pouvons tester le modèle : Chgt i + β 1 Mod i + β 2 Res1 i + β 3 Res2 i (adresse pour trouver des contrastes orthogonaux : 32

31 3a) Test du modèle Test du modèle théorique > simplement le test du contraste lui correspondant : MA : Chgt i + β 1 Mod i + β 2 Res1 i + β 3 Res2 i SCE A MC : Chgt i + β 1 Res1 i + β2res2 i! b est significatif, le changement d'attitude est donc plus fort dans la condition Texte seul (M 34.95) que dans la condition Texte + Audio + Vidéo (M 58.43), t(16) 3.8, p <.002.! Ce contraste seul ne nous en dit pas plus 33

32 3b) Test du résidu 3b) Test du résidu > nous allons mettre ensemble tout ce qui n est pas le modèle théorique : MA : MC : Chgt i + β 1 Mod i + β 2 Res1 i + β 3 Res2 i Chgt i + β 1 Mod i Pour une fois, le logiciel ne fera pas tout seul la comparaison de modèles qui nous intéresse. Comment faire? Nous allons faire les deux modèles (MA et MC), l un après l autre : > SC Erreur SCE A > SC Erreur SCE C 34

33 Trouver la SCE A Chgt i + β 1 Mod i + β 2 Res1 i + β 3 Res2 i Ici, nous faisons «tourner» ce modèle uniquement pour obtenir la SCE > SCE A Note : dans R, après avoir utilisé ma<-lm(chgt~mod+res1+res2,df) La fonction deviance(ma) nous donne directement

34 Trouver la SCE C Chgt i + β 1 Mod i Là encore, nous faisons «tourner» ce modèle uniquement pour obtenir la SCE. ATTENTION : la SCE que nous allons retenir correspond, paradoxalement, à ce que nous appelons habituellement la SCE A > SCE C Dans R, deviance(mc) nous donne directement

35 3b) Test du résidu 3b) Test du résidu > nous allons mettre ensemble tout ce qui n est pas le modèle théorique : MA : Chgt i + β 1 Mod i + β 2 Res1 i + β 3 Res2 i SCE A MC : Chgt i + β 1 Mod i SCE C Test du résidu > SCR SCE C SCE A F SCR SCE ( pa pc) A ( N pa) ( 4 2) ( 20 4) 0.31! Modèle significatif ET résidu non significatif > hypothèse vérifiée! Nous pourrions également être encore plus durs avec nous-mêmes en testant le F du résidu avec un ddl de l effet 1 > dans ce cas F(1,16)