Tests de comparaison de moyennes. Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année UE «Introduction à la biostatistique»

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1 Tests de comparaison de moyennes Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année UE «Introduction à la biostatistique»

2 Test de Z ou de l écart réduit Le test de Z : comparer des paramètres en testant leurs différences Utilisé pour comparer : Une moyenne observée à une moyenne théorique Deux moyennes Deux moyennes de deux séries appariées.

3 Principe du test de Z (1) 2 paramètres de 2 échantillons que l on désire comparer : H 0 : Les paramètres des populations d où sont issus les 2 échantillons sont identiques H 1 bilatérale : Les paramètres sont différents H 1 unilatérale : un des paramètres est inférieur (ou supérieur) à l autre

4 Principe du test de Z (2) On compare les 2 paramètres par leur différence est une variable aléatoire Si H 0 est vrai alors est proche de 0 : Si H 0 est vrai et que l échantillon est de taille suffisance La division de par son écart type suit une loi Z normale centrée réduite de moyenne 0 et d écart type 1

5 Le test de Z consiste : Principe du test de Z (3) à estimer l écart type de la différence s d à calculer l écart réduit z o = /s d à comparer cette valeur à la distribution théorique de la loi Z On utilise la table Z Condition d application : effectif de chaque échantillon 30

6 H 1 bilatérale : Interprétation du test de Z (1)

7 Interprétation du test de Z (2) α de 5%, H 1 bilatérale : Si la valeur observée z o < 1,96, on ne rejette pas H 0 On ne peut pas affirmer que les échantillons proviennent de populations différentes la différence entre les paramètres n est pas significative Si la valeur observée z o >1,96, on rejette H 0 On accepte H 1 en affirmant que les échantillons proviennent de populations différentes On affirme que la différence entre les paramètres est significative On recherche le degré de signification

8 Exemple (1) On veut comparer la fréquence du palu dans 2 régions d Afrique. La fréquence de la maladie a été mesurée dans 2 échantillons d individus tirés au sort dans chacune des deux régions. Le calcul du test a montré une valeur égale à z o =2,6 Formulez les hypothèses H 0 et H 1 Qu en concluez vous?

9 Exemple (2) H 0 : il n y pas de différence significative entre les fréquences des deux régions H 1 : Les fréquences sont différentes d une région à l autre z o >1,96 on rejette donc H o La valeur immédiatement inférieur à 2,6 correspond à une valeur α = 0,01 On affirme donc que la fréquence du palu est significativement différente entre les deux régions avec un degré de signification p<1%

10 Interprétation du test de Z (3) α de 5%, H1 unilatérale : On s intéresse au sens de la différence On postule que 1 des paramètres est supérieur ou inférieur à l autre on ne considère qu une seule extrémité de la distribution Z Le risque d erreur est deux fois moindre que l hypothèse bilatérale La valeur seuil pour un risque α =5% est de 1,645

11 Interprétation du test de Z (4) Valeur observée z o <1,645, on ne rejette pas H 0 : la différence entre les paramètres n est pas significative Valeur observée z o > 1,645, on rejette H 0 : On accepte H 1 en affirmant non seulement que la différence entre les paramètres est significative, mais en outre que l un des paramètres est inférieur ou supérieur à l autre On recherche le degré de signification p

12 Exemple (1) On désire étudier la supériorité d un nouveau médicament visant à réduire l HTA. Le nouveau produit A est administré à un groupe de malades hypertendus. L effet sur la pression artérielle est mesuré dans ce groupe et comparé à un groupe témoin de sujets hypertendus traités par un produit classique B. Le paramètre calculé est z o =1,82 Poser les hypothèses H 0 et H 1 Qu en concluez vous?

13 Exemple (2) H 0 : effet de A similaire à B H 1 : effet de A supérieur à B z o =1,82 z o >1,645 (risque α unilatéral) On rejette H 0 Pour une valeur z=1,82 on trouve un α=0,07. H 1 unilatéral, p est divisé par 2 : p=0,07/2 = 0,035 A possède un effet supérieur à B avec un degré de signification p<4%. il faut poser les hypothèse avant de faire les tests Si on avait pris un test bilatéral, on n aurait pas pu conclure (1,82<1,96)

14 Utilisation du test Z

15 Comparer moyenne observée à moyenne théorique On compare une moyenne observée dans un échantillon à une moyenne connue dans la population de référence Variable quantitative Paramètre étudié moyenne Taille de l échantillon >= 30 Hypothèses H 0 : M = µ H 1 bilatérale : M µ H 1 unilatérale : M > µ ou M < µ Formulation µ : moyenne théorique connue de la population de référence M : moyenne inconnue de la population d où est issu l échantillon m : moyenne observée de l échantillon s : écart type de l échantillon n : effectif

16 Conditions d applications Taille >= 30 (sinon : test de T) Principe du test : Si H 0 est vrai : m est l une des valeurs possibles d une variable normale centrée autour de M La différence Δ entre cette variable et µ suit une loi normale de moyenne 0 Le rapport de Δ sur l écart type de µ suit une loi Z normale centrée réduite L écart type de µ estimé par l écart type de la moyenne de l échantillon Test de Z z = m µ s n H 1 z Rejet H 0 Interprétation bilatérale < 1,96 Non M n est pas significativement différent de µ 1,96 Oui M diffère significativement de µ unilatérale < 1,645 Non M n est pas significativement supérieur (ou inférieur) à µ 1,645 Oui M est significativement supérieur (ou inférieur) à µ s n

17 Exercice (1) Lors d une enquête sur la durée de sommeil des enfants de 2 à 3 ans dans un département français, on a trouvé une moyenne du temps de sommeil par nuit de 10,2 heures dans un groupe de 40 enfants. L écart type est 2,1 heures. La moyenne du temps de sommeil est de 11,7 heures chez les enfants de cet âge. La durée de sommeil des enfants de ce département diffère-t-elle du temps de sommeil des enfants de cet âge?

18 Exercice (2) H 0 : les enfants de ce département dorment autant que ceux de la population H 1 bilatérale : la durée de sommeil des enfants de ce département est différente z =(11,7 10,2)/(2,1/ 40) = 4,5 4,5 > 1,96 On rejette H 0 z est encore inférieur à 4,5 pour un risque α = 0,00001 La population des enfants examinés présente un temps de sommeil significativement différent de la population générale ( p < 10-5 )

19 Comparaison de deux moyennes (1) On veut comparer les moyennes observées dans deux échantillons Paramètre étudié moyennes Taille de l échantillon >= 30 par échantillon Hypothèses H 0 : µ 1 =µ 2 H 1 bilatérale : µ 1 µ 2 H 1 unilatérale : µ 1 <µ 2 ou µ 1 > µ 2 Formulation µ 1 et µ 2 : moyennes inconnues des deux populations d où sont tirés les échantillons m 1 et m 2 : moyennes observées des 2 échantillons s 2 1 et s 2 2 : variances des 2 échantillons n 1 et n 2 : effectifs des 2 échantillons

20 Comparaison de deux moyennes (2) Conditions d application : effectif de chaque échantillon >=30 (sinon test de T) Principe du test : Si H 0 est vrai : m 1 et m 2 sont deux valeurs possible d une variable normale centrée autour de la moyenne commune au deux populations La différence Δ = m 1 -m 2 suit une loi normale de moyenne 0 Le rapport de cette différence sur son écart type suit une loi de Z

21 Comparaison de deux moyennes (3) Calcul : z = m m s s + n n 1 2 H 1 z Rejet H 0 Interprétation bilatérale < 1,96 Non µ 1 n est pas significativement différent de µ 2 1,96 Oui µ 1 diffère significativement de µ 2 unilatérale < 1,645 Non µ 1 n est pas significativement supérieur (ou inférieur) à µ 2 1,645 Oui µ 1 est significativement supérieur (ou inférieur) à µ 2

22 Exercice (1) On désire comparer la pression artérielle diastolique d un groupe de sujets sains et d un groupe de sujets atteints de drépanocytose. Une étude donne les résultats suivants : Formulez les hypothèses H 0 et H 1 Que concluez vous? Effectif (n) Pression artérielle diastolique Variance (s²) Sujets sains 88 70,1 10,8 Sujets drépanocytaires 85 61,8 6,9

23 Exercice (2) H 0 : les pressions artérielles sont identiques H 1 : la pression artérielle est différente chez les sujets drépanocytaires s d = (10,8/88) + (6,9/85) = 0,45 z = ( 70,1 61,8 ) / 0,45 = 18,4 18,4 > 1,96 : on rejette H 0 La pression artérielle des sujets drépanocytaires est significativement différente de celle des sujets sains p < 10-5

24 Comparaison de deux moyennes sur deux séries appariées (1) Chaque observation d un échantillon est liée à une observation homologue d un deuxième échantillon. Chaque couple de valeur constitue une paire On a un seul échantillon, mais 2 séries de valeurs observées et liée à des individus. Ex : comparer la moyenne du poids avant et après régime Paramètre étudié moyenne des différences entre sujet appariés Taille de l échantillon >= 30 Hypothèses H 0 : M δ =0 H 1 bilatérale : M δ 0 H 1 unilatérale : M δ >0 ou M δ <0

25 Comparaison de deux moyennes sur deux séries appariées (2) Formulation : x i et y i :valeurs observées dans chaque série d i : différence observée entre deux valeurs appariées s d2 : variance des différence m d : moyenne des différences entre sujets appariés s md : écart type de la moyenne des différences n : nombre de couples appariés (paires) Condition d application : Le nombre de paires n doit être >=30 Sinon test T de Student pour série appariées

26 Comparaison de deux moyennes sur deux séries appariées (3) Principe du test : On teste hypothèse que les différences individuelles entre sujets appariés sont nulles La moyenne des différences suit une loi Z normale centrée réduite de moyenne 0 et l écart-type 1 Intérêt du test : élimine la variabilité entre individus de la même série. On ne prend en compte que la variabilité des différences entre paires Ce test est plus puissant qu un simple test de comparaison de moyenne

27 Comparaison de deux moyennes sur deux séries appariées (4) Calculs Différence entre paire: Moyenne des différences : Variance des différences : Ecart type de la moyenne: Test de Z: z = m d s 0 md d i = m s s x 2 d i d = md y i n d i ( ) 2 di di = n = s n 2 d n 1 2

28 Comparaison de deux moyennes sur deux séries appariées (5) H 1 z Rejet H o Interprétation bilatérale < 1,96 Non Les moyennes des deux séries ne diffèrent pas significativement 1,96 Oui Les moyennes des deux séries diffèrent significativement unilatérale < 1,645 Non Les moyennes des deux séries ne diffèrent pas significativement 1,645 Oui La moyenne d une des deux séries est significativement supérieure (ou inférieure) à l autre

29 Exercice (1) Chez 58 personnes présumées diabétiques, on a pratiqué un test d'hyperglycémie provoquée par voie orale, et on a mesuré chez chaque sujet, dans les mêmes conditions techniques, la glycémie juste avant et 2 heures après l'ingestion de glucose. x i désigne la glycémie de départ, y i la glycémie 2 heures après. on a trouvé : Σ x i = 5646 Σ y i = 5722 Σ x i ² = Σ y i ² = Σ x i y i = Comparer les glycémies à jeun et au bout de 2 heures

30 Exercice (2) Comparaison de moyennes sur séries appariées n > 30 : H 0 : le différence moyenne est nulle M δ =0 H 1 : la différence moyenne est non nulle M δ 0 Σ d i = 76 m d = 76/58 = 1,31 Σ d i ² = s d ² = [41064 (76² / 58)] / 57= 719 z = 1,31 / ( 719 / 58) = 0,37 0,37 < 1,96 : on ne rejette pas H 0 la glycémie au bout de 2 heures n est pas significativement différente de la glycémie à jeun

31 Test de T

32 Test T de Student Lorsque la taille des échantillons est faible (n<30) le rapport entre les différences de leurs moyennes et l écart type ne suit pas une loi normale centrée réduite Z On utilise alors le test T de Student Le test de Student sert à comparer : Une moyenne observée à une moyenne théorique Les moyennes de 2 petits échantillons Les moyennes de 2 petites séries appariées

33 Principe du test T Principe : idem à Z On calcule la différence Δ entre les moyennes On estime l écart type s d de la différence Δ On calcule t o = Δ / s d On compare cette valeur à la distribution théorique de la loi T de Student On utilise la table de la loi T

34 Interprétation du test T H 1 bilatérale : t o < T 5% la différence entre les paramètres n est pas significative t o > T 5% la différence entre les paramètres est significative H 1 unilatérale : La valeur seuil pour un risque de 5% est donné par la valeur de T 10% t o < T 10% la différence entre les paramètres n est pas significative t o > T 10% la différence entre les paramètres est significative. L un des paramètres est inférieur (ou supérieur) à l autre Conditions d application : Utilisable si petits effectifs Mais la distribution de la variable dans les populations doit être normale Et les populations doivent avoir des variances identiques Soit on le sait Soit on le teste (test de F de comparaison des variances)

35 Utilisation de la table T (1) La table de T est plus difficile à utiliser que la table de Z Il y a autant de table de T que de degré de liberté ddl c est l effectif d un échantillon-1 Pour 1 échantillon : ddl = n-1 Pour 2 échantillons : ddl = (n 1-1) + (n 2-1) En ligne les valeurs possible de ddl En colonne les valeurs de α

36 Utilisation de la table T (2) Repérer la ligne correspondant au degré de liberté Repérer la valeur T 5% dans cette ligne H 1 bilatérale : Si la valeur calculée t o < à T 5%, on ne rejette pas H 0 Si la valeur calculée t o > à T 5%, on rejette H 0 et on accepte H 1 on recherche dans la même ligne la valeur de T immédiatement inférieure à t o La valeur correspondante lue dans la colonne α donne le degré de signification p

37 Utilisation de la table T (3) H 1 unilatérale : Si la valeur calculée t o < à T 10% on ne rejette pas H 0 Si la valeur calculée t o > à T 10% on rejette H 0 et on accepte H 1 on recherche dans la même ligne la valeur de T immédiatement inférieure à t o le p obtenu est divisé par 2

38 Exemple (1) Un test de T bilatéral de comparaison de moyenne a été effectué sur deux échantillons comportant chacun 3 sujets. Le calcul a abouti à un t o = 3,9 Calculez le ddl Lire T 5% Conclure ddl= (3-1)+(3-1)=4 H 1 bilatérale : T 5% = 2,776 t o > T 5% : on rejette H 0 p < 0,02

39 Valeur immédiatement inférieure à t o =3,9 Zone de rejet d H o Zone de non rejet d H o

40 Exemple (2) H 1 unilatérale : T 10% = 2,132 t o > T 5% : on rejette H 0 p = 0,02 / 2

41 Test T : comparaison moyenne observée à une moyenne théorique (1) On compare une moyenne observée dans un échantillon de petite taille à une moyenne connue dans une population de référence Variable quantitative Paramètre étudié moyenne Taille de l échantillon < 30 Hypothèses H 0 : M=µ H 1 bilatérale : M µ H 1 unilatérale : M>µ ou M<µ

42 Test T : comparaison moyenne observée à une moyenne théorique (2) Formulation µ : moyenne théorique connue de la population de référence M : moyenne inconnue de la population d où est issu l échantillon m : moyenne observée de l échantillon s : écart type de l échantillon n : effectif ddl : degré de liberté Condition d application : la distribution de la variable doit être supposée normale dans la population d où est issu l échantillon

43 Test T : comparaison moyenne observée à une moyenne théorique (3) Principe du test : Si H 0 est vrai, le rapport de la différence Δ= m- µ sur l écart type de µ suit une loi T de student de n-1 ddl m µ Test T de student : t = avec ddl = s n n -1

44 Test T : comparaison moyenne observée à une moyenne théorique (4) H 1 t Rejet H 0 Interprétation bilatérale < T 5% Non M n est pas significativement différent de µ T 5% Oui M diffère significativement de µ unilatérale < T 10% Non M n est pas significativement supérieur (ou inférieur) à µ T 10% Oui M est significativement supérieur (ou inférieur) à µ

45 Exercice (1) Dans un échantillon de 18 sujets suspects d être atteints de trypanosomiase, on mesure la quantité de protéines dans le liquide céphalorachidien. On trouve dans ce groupe une protéinorachie moyenne de 460 mg/l avec un écart type de 280 mg/l. Dans la population générale, la protéinorachie est en moyenne de 300 mg/l. On se demande si ce groupe de sujet présente une protéinorachie différente de normale? Formulez les hypothèses H 0 et H 1 Quel test utilisez-vous? Justifiez la réponse Que concluez vous?

46 Exercice (2) H 0 : la protéinorachie des sujets atteints de trypanosomiase ne diffère pas de celle de la population générale H 1 : la protéinorachie des sujets atteints de trypanosomiase est différente de celle de la population n < 30 : Test de T Condition d application : on suppose que la protéinorachie est distribuée normalement chez les sujets atteints de trypanosomiase t = ( ) / (280 / 18 ) = 2,4 ddl =17 T 5% pour 17 ddl = 2,11 2,4 > 2,11 : on rejette H 0 la protéinorachie des sujets atteints de trypanosomiase est significativement différente de celle de la population p < 0,03

47 Test de T pour comparer 2 moyennes (1) On veut comparer les moyennes dans 2 échantillons de petite taille Paramètre étudié moyennes Taille de l échantillon au moins un inférieur à 30 Hypothèses H 0 : µ 1 =µ 2 H 1 bilatérale : µ 1 µ 2 H 1 unilatérale : µ 1 <µ 2 ou µ 1 > µ 2 Formulation µ 1 et µ 2 : moyennes inconnues des deux populations d où sont tirés les échantillons m 1 et m 2 : moyennes observées des 2 échantillons s 2 1 et s 2 2 : variances des 2 échantillons n 1 et n 2 : effectifs des 2 échantillons ddl : degré de liberté

48 Test de T pour comparer 2 moyennes (2) Conditions d application : Les distributions de la variable dans les populations d où sont tirés les échantillons doivent être normales Les variances des deux populations d où sont tirés les échantillons doivent être égales Principe du test : Si H 0 est vraie, le rapport de la différence µ 1 -µ 2 sur son écart type suit une loi de T de Student lorsque les effectifs sont faibles

49 Test de T pour comparer 2 moyennes (3) par : Ecart type de la différence 2 1) ( 1) ( s variance commune aux 2 échantillons Estimation de la = + + = n n s n s n µ µ 2 n avec ddl m t Test T de Student : s d + = = + = n s m n s n s d

50 Test de T pour comparer 2 moyennes (4) H 1 z Rejet H 0 Interprétation bilatérale < T 5% Non µ 1 n est pas significativement différent de µ 2 T 5% Oui µ 1 diffère significativement de µ 2 unilatérale < T 10% Non µ 1 n est pas significativement supérieur (ou inférieur) à µ 2 T 10% Oui µ 1 est significativement supérieur (ou inférieur) à µ 2

51 Exercice (1) On a mesuré un marqueur biologique chez 2 séries de sujets, l une composée de sujets sains, l autre de sujets atteints d hépatite alcoolique. L étude a trouvé les résultats suivants: Effectif (n) Moyenne du marqueur (g/l) Ecart type Sujets sains 15 1,6 0,19 Sujets alcooliques 12 1,4 0,21 On veut comparer les 2 populations. Formuler les hypothèses Quel test choisissez vous? Quelles en sont les conditions d application? Que concluez vous?

52 Exercice (2) H 0 : la valeur moyenne du marqueur est identique dans les 2 populations H 1 : la valeur moyenne du marqueur est différente chez les sujets atteints d hépatite alcoolique n < 30 : test de T Condition d application : on suppose que : le marqueur se distribue normalement dans les 2 populations Les variances des 2 populations sont égales s² = [((15-1) * (0,19)² ) + ((12-1) * (0,21)² )] / ( )= 0,04 s d = (0,04 / 15) + (0,04 / 12) = 0,077 t = (1,6 1,4) / 0,077 = 2,60

53 Exercice (3) ddl = = 25 T 5% pour 25 ddl = 2,06 2,6 > 2,06 : on rejette H 0 Les malades atteints d hépatite alcoolique présentent une valeur du marqueur significativement différente de celle des sujets sains p < 0,02

54 Test de T pour comparer 2 moyennes sur séries appariées (1) On compare 2 séries d une variable quantitative provenant de deux petits échantillon et chaque observation d un échantillon est liée à une observation homologue de l autre échantillon Paramètre étudié moyenne des différences entre sujet appariés Taille de l échantillon < 30 Hypothèses H 0 : M δ =0 H 1 bilatérale : M δ 0 H 1 unilatérale : M δ >0 ou M δ <0

55 Test de T pour comparer 2 moyennes sur séries appariées (2) Formulation : x i et y i : valeurs observées dans chaque série d i : différence observée entre deux valeurs appariées s d2 : variance des différence m d : moyenne des différences entre sujets appariés s md : écart type de la moyenne des difference n : nombre de couples appariés Condition d application : les différences doivent être distribuées de façon normales

56 Test de T pour comparer 2 moyennes sur séries appariées (3) Principe du test : Sous H 0, les différences individuelles entres individus appariées sont nulles La moyenne des différence divisée par sont écart type suit une loi T de Student à n-1 ddl On élimine la variabilité entre individus de la même série. Le test apparié est plus puissant qu un simple test de comparaison de 2 moyennes.

57 Test de T pour comparer 2 moyennes sur séries appariées (4) Différence entre paires: Moyenne des différences: Variance des différences : Ecart type de la Test de T : t moyenne: = m d s 0 md d i = m s s 2 d avec d md x i = y i n d i ( d ) 2 i di = n = ddl = s n 2 d n -1 n 1 2

58 Test de T pour comparer 2 moyennes sur séries appariées (5) H 1 t Rejet H o Interprétation bilatérale < T 5% Non Les moyennes des deux séries ne diffèrent pas significativement T Oui Les moyennes des deux séries diffèrent significativement 5% unilatérale < T 10% Non Les moyennes des deux séries ne diffèrent pas significativement T 10% Oui La moyenne d une des deux séries est significativement supérieure (ou inférieure) à l autre

59 Exercice (1) On désire étudier l effet d une nouvelle stratégie de traitement du diabète sur la glycémie. On dose la glycémie chez 15 sujets avant le début du nouveau protocole (série A) et 3 mois après (série B) : A 2,47 3,09 2,14 2,47 3,06 2,72 2,29 1,90 2,34 2,75 2,67 2,80 2,51 2,23 2,20 B 2,30 2,96 2,23 2,34 2,84 2,59 2,15 1,88 2,32 2,65 2,68 2,58 2,43 2,02 2,17 Le nouveau protocole est-il efficace? Formuler les hypothèses Quel test choisissez vous? Quelles en sont les conditions d application? Que concluez vous?

60 Exercice (2) Comparaison de moyennes sur séries appariées : H 0 : les glycémies sont identiques avant et après le nouveau protocole H 1 : la glycémie est abaissée grâce au nouveau protocole n < 30 : test de T Condition d application : la différence de glycémie avant et après le traitement est distribuée de façon normale On calcule les différences : d i 0,17 0, ,13 0,22 0,13 0,14 0,02 0,02 0,1-0,01 0,22 0,08 0,21 0,03

61 Exercice (3) Σ d i = 1,5 m d = 1,5 / 15 = 0,10 Σ d i ² = 0,266 s d ² = [0,266 (1,5² / 15)] / 14 = 0,0083 t = 0,10 / ( 0,0083 / 15) = 4,25 ddl = 15 1 = 14 T 10% pour 14 ddl = 1,761 4,25 > 1,761 : on rejette H 0 La glycémie est abaissée significativement après administration de la nouvelle stratégie p < 0,0005