Introduction à la Statistique Inférentielle

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Introduction à la Statistique Inférentielle"

Transcription

1 UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL SCIENCES FACULTE DES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SMI semestre 4 : Probabilités - Statistique Introduction à la Statistique Inférentielle Prinemps 2013

2 0 INTRODUCTION La statistique est la science dont l'objet est de recueillir, de traiter et d'analyser des données issues de l'observation de phénomènes aléatoires, c'est-à-dire dans lesquels le hasard intervient. L'analyse des données est utilisée pour décrire les phénoménes étudiés, faire des prévisions et prendre des décisions à leur sujet. En cela, la statistique est un outil essentiel pour la compréhension et la gestion des phénomènes complexes. Les données étudiées peuvent être de toute nature, ce qui rend la statistique utile dans tous les champs disciplinaires et explique pourquoi elle est enseignée dans toutes les filières universitaires, de l'économie à la biologie en passant par la psychologie, et bien sûr les sciences de l'ingénieur. Les méthodes statistiques se répartissent en deux classes : - La statistique descriptive, statistique exploratoire ou analyse des données, a pour but de résumer l'information contenue dans les données de façon efficace. Elle utilise pour cela des représentations de données sous forme de graphiques, de tableaux et d'indicateurs numériques (par exemple des moyennes). Elle permet de dégager les caractéristiques essentielles du phénomène étudié et de suggérer des hypothèses pour une étude ultèrieure plus sophistiquée. Les probabilités n'ont ici qu'un rôle mineur. - La statistique inférentielle va au delà de la simple description des données. Elle a pour but de faire des prévisions et de prendre des décisions au vu des observations. Les probabilités jouent ici un rôle fondamental. L'objet de ce cours est de décrire les techniques de la statistique inférentielle utilisées pour recueillir de l'information et prendre des décisions à partir des données observées. 2

3 1 - ECHANTILLONNAGE Tout, dans la statistique inférentielle, repose sur l'étude des distributions des échantillons Généralités Le terme d'échantillon est souvent associé à un sous-ensemble de cardinal n tiré d'une population finie ou infinie selon certaines règles: il s'agit alors d'un échantillon d'individus. Dans cette partie, on s'intéresse plutôt aux échantillons de variables que l'on relie aux échantillons d'individus par la considération élémentaire suivante: Sur chaque individu tiré, on mesure une certaine grandeur X et on note observées. Le n-uplet x = ( ) est un échantillon de valeurs. les valeurs Exemple 1: On prélève au hasad n ampoules électriques dans une production et on mesure leur durée de fonctionnement. Si les caractéristiques de fabrication n'ont pas varié d'une ampoule à l'autre, les différences entre les (x i ) peuvent être considérées comme des fluctuations de nature aléatoire. Cette dernière remarque justifie l'hypothèse fondamentale de la théorie de l'échantillonnage: Les valeurs observées x i sont des réalisations d'une même variable aléatoire X, appelée variable parente ou de population. Dans notre exemple, ceci revient à postuler l'existence d'une variable abstraîte, la durée de vie d'une ampoule de type donné, fabriquée dans des conditions données. On peut cependant introduire aussi le modèle suivant: À chaque individu tiré, on associe une variable aléatoire X i dont on observe une seule réalisation x i. L'hypothèse formulée plus haut revient alors à dire que les X i sont des variables aléatoires réelles ayant toutes la même distribution, celle de X. On supposera également que les X i sont indépendantes (dire qu'elles sont indépendantes sous entend qu'elles sont définies sur le même espace de probabilit ). Définition 1: Les variables aléatoires forment un échantillon aléatoire de taille n (on dit aussi un n-échantillon) si les v.a. sont indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d. en abrégé). On dit que ( ) est un échantillon de taille n (ou aussi un n-échantillon),si pour tout i, x i est une réalisation de X i. Dans toute la suite on notera les variables aléatoires par des lettres capitales, et leurs réalisations (non aléatoires ou déterministes) par des lettres minuscules. En convenant de noter par f X (.) aussi bien la masse de probabilité dans le cas discret que la densité marginale dans le cas continu de la v.a. X, c'est-à-dire:, La densité conjointe du n-uplet (X 1,..., X n ) est donnée par: 3

4 Cette densité conjointe peut être utilisée pour calculer diverses probabilités relatives à l échantillon. En particulier, si f X (x) appartient à une famille paramétrique de densités de probabilités { (x), } où l'espace des paramètres est contenu dans IR k, k 1, nous avons: avec inconnu. En considérant différentes valeurs possibles de, on peut étudier le comportement de notre échantillon pour différentes distributions appartenant à la famille considérée. Exemple 2 : Soit un n-échantillon représentant les n durées de fonctionnement (en mois) de n ampoules issues d'une population exponentielle de paramètre : n n f(x 1,...,x n ) = f (x i ) = (1/ ) e -x i / = (1/ n ) e - n x i / i 1, x 1,...,x n 0. i 1 i 1 Quelle est la probabilité que toutes les ampoules admettent une durée de fonctionnement d'au moins 2 mois? P(X 1 > 2,..., X n > 2) = f(x1,...,x n )dx 1 dx 2...dx n n = (1/ ) e -x i / dx 1 dx 2...dx n i 1 = e -2/ n {i 1/ e -x i / }dx 2...dx n (intégration p.r. à x 1 ) 1 =... (intégration p.r. à x i ) = (e -2/ ) n = e -2n/. On peut retrouver ce résultat en utilisant l'indépendance des v.a. X 1,...,X n : P(X 1 > 2,..., X n >2) = P(X 1 >2)... P(X n >2) (indépendance) = (P[X 1 > 2]) n (lois identiques) Remarques: = e-2n / (loi exp( )) 1) Le modèle d'échantillonnage décrit dans la définition 1 est aussi appelé échantillonnage à partir d'une population infinie. 2) Echantillonnage d'une population finie: dans ce cas, les hypothèses d'indépendance peuvent ne pas être vérifiées selon que le tirage est avec ou sans remise. Considérons en effet une population finie dont les N mesures ou observations possibles de X sont {x 1,..., x N }. Un échantillon est à constituer à partir de cette population. On peut procéder de deux manières: i) tirage avec remise: dans ce cas, chaque X i est une variable discrète prenant chaque valeur x i avec la même probabilité 1/N : P(X i =x i ) = 1 N, i=1,...,n 4

5 Les (X i ) sont indépendantes car le processus de choix de toute variable X i est le même indépendamment de la valeur obtenue. ii) tirage exhaustif ou sans remise: l'indépendance est en défaut car par exemple, si x et y sont deux éléments distincts de l'ensemble {x 1,...,x N }, on a P(X 2 =y/x 1 =y)=0 car y ne peut être choisi à l'étape suivante, alors que P(X 2 =y/x 1 =x) = 1/(N-1) et donc la loi de X 2 dépend de celle de X 1. Cependant, si N est grand comparativement à n, les variables aléatoires peuvent être considérées comme presque indépendantes. Ceci est illustré par l'exemple suivant. Exemple 3: P = {1,...,1000} est notre population de taille N=1000. Un échantillon de taille n=10 est tiré sans remise. Quelle est la probabilité que toutes les 10 valeurs échantillonnées soient > 200? Si X 1,..., X 10 sont indépendantes et, puisque P(X i > 200) = 800/1000, i, on a: 10 P(X 1 > 200,..., X 10 > 200) = P(X 1 >200) = ( ) 10 = 0, i 1 Calcul exact: Soit la v.a. Y = nombre de X i > 200 parmi n. Alors, Y suit la loi hypergéométrique H(N,n,r) avec N=1000, n=10, r=800, et donc P (Y=10) = P(X 1 >200,..., X 10 >200) = C 800C200 / C 1000 = 0,106164, valeur qui est très proche de celle obtenue sous l'hypothèse d'indépendance Dans la suite du cours, nous utilisons la définition 1 comme définition d'un échantillon aléatoire Statistiques basées sur un échantillon aléatoire Il est d'usage dans la pratique de résumer les n valeurs x 1,..., x n observées d'un échantillon X = ( ) par quelques caractéristiques simples telles que la moyenne, la variance, l'étendue, la plus grande valeur, etc. Ces caractéristiques sont elles-mêmes des réalisations ou observations de variables aléatoires qui sont fonctions de l'échantillon aléatoire X. Définition 2: Soit un échantillon de taille n de X et soit T( ) une fonction vectorielle définie sur l'espace image du vecteur X=( ). Alors la variable aléatoire ou vecteur aléatoire défini par T=T(X) est appelée statistique. La distribution de probabilité de la statistique est appelée distribution échantillonnale de T. Exemple4 : Remarque: est une statistique est sa valeur observée a) La définition d'une statistique est assez large, mais il est sous-entendu qu'une statistique ne peut dépendre d'un paramètre. 5

6 b) Une statistique peut être à valeurs dans IR ou dans IR p. Dans ce dernier cas, on parlera de statistique vectorielle. Les résumés empiriques par une statistique peuvent contenir diverses informations. La plus petite et la plus grande de ces valeurs ainsi que leur valeur moyenne constituent des exemples courants de tels résumés. Définition 3: 1) La moyenne échantillonnale est la variable aléatoire définie par: 2) La variance échantillonnale est la variable aléatoire définie par: S 2 = 1 n (X i X) 2. n -1 i 1 L'écart-type échantillonal est la racine carrée S de la variance échantionnale. 3) La statistique d'ordre de l'échantillon X 1,..., X n est l'échantillon ordonné dans l'ordre croissant et noté X (1),..., X (n) avec : X (1) = min X 1 i n i, X (2) = seconde plus petite observation,.., X (n) = max X 1 i n i. 4) L'étendue échantillonnale R est la variable aléatoire : R = X (n) - X (1). Remarques: a) Dans cette définition, on devrait écrire: X = X( ), S = S(X 1,...,X n ), R = R(X 1,...,X n ), etc. b) La variance et l'écart-type échantillonnaux sont deux mesures de la variabilité dans l'échantillon. Ces deux caractéristiques sont liées à la variance et l écart-type inconnus de la population comme nous le verrons plus loin Propriétés de X et S2 Lemme 1: Soit X = ( ) un échantillon aléatoire et x une observation ou réalisation de X. Soit x la moyenne empirique des x i. Alors: a) Min n n (x i 1 i ) 2 = (x i x) 2 i 1 b) (n-1) s 2 n = (x i x) 2 n 2 = x i 1 i 1 i - n x 2 n n Preuve : (x i 1 i ) 2 = (x i 1 i x + x - ) 2 n = (x i x) 2 n n + (x ) (x i 1 i 1 i 1 i x)(x - ) n = (x i x) 2 n + (x ) 2. i 1 i 1 Cette dernière expression résulte du fait que 6

7 Elle montre clairement que est minimisée par =x, d'où a). L'identité b) se déduit par un calcul analogue au précédent Commentaires: Pour résumer les n valeurs observées d'un échantillon, il ne faut jamais perdre de vue qu'un resumé par une seule caractéristique n'a aucun sens: la statistique commence précisement là où il y a variabilité et on ne peut évidemment pas se contenter d'une valeur unique telle que la moyenne. Il convient donc de définir à la fois une valeur centrale et une mesure de dispersion autour de cette valeur. La recherche de cette valeur centrale répond à la préoccupation suivante: "Résumer les n valeurs par une valeur unique aussi voisine que possible des (x i )". Nous commençons par étudier les distributions échantillonnales de X et de S 2 en considérant d'abord l'espérance de ces statistiques. En utilisant la linéarité de l'espérance mathématique ainsi que l'indépendance, on peut établir le théorème suivant: Théorème 1: Soit X un n-échantillon d'une population de moyenne et de variance 2 finie. Alors on a : a) E[X] = b) Var[X] = 2 n c) E[S 2 ] = 2. Preuve: a) E[X] = = ; (Car X 1,..., X n sont de même loi) = b) étant indépendantes et de même loi, donc Var(X) = n var( 1 X 1 ) n = n 2 n2 = 2 n. c) Puisque:, on a: X X 7

8 Commentaires: les deux relations a) et c) du théorème précédent sont des relations entre une statistique ( X ou S 2 ) et un paramètre de la population ( ou 2 ). Ce sont deux exemples de statistiques sans biais (à voir plus loin en détail). Théorème 2: (Théorème central limite) Soit un n-échantillon de X. On pose =E(X) et 2 =var(x). On considère la variable aléatoire centrée réduite Z n définie par: Alors, pour n grand, la distribution de Z n est approximativement (0,1): P (Z n x) P (Z x) pour n grand, avec Z de loi (0,1). Ainsi, lorsque n est suffisamment grand, la moyenne X est assimilée à une v.a. normale quelque soit la distribution de l'échantillon X Echantillonnage à partir d'une distribution normale Le théorème central limite est souvent utile lorsque la distribution échantillonnale de X ou de S 2 est inconnue ou difficile à déterminer. Dans le cas où X 1,..., X n est issu d'une population de loi normale, il est facile de déduire plusieurs propriétés échantillonnales intéressantes. En particulier, nous avons: Théorème 3: (Théorème de Fisher). Soit ( ) un n-échantillon issu d'une population normale (, 2 ). Soient X et S 2 sa moyenne et sa variance échantillonnales. Alors: a) X et S 2 sont deux variables aléatoires indépendantes; b) ; c) la loi Khi-deux à (n-1) degrés de libertés d.d.l. d) la loi de Student à (n-1) d.d.l. La détermination des lois de X et S 2 est une des premières étapes dans l'analyse statistique. En particulier, la variance 2 est inconnue dans la plupart des cas pratiques et, pour avoir une idée précise de la variablilité de X (considérée comme estimateur de ), il est nécessaire d'estimer cette variance. Si suit la loi (, 2 ), alors la variable aléatoire. Si on connait et on observe X, on peut utiliser Z pour faire de l'inférence concernant car ce paramètre est le seul inconnu dans ce cas. Cependant, lorsque est inconnu, l'utilisation de Z devient impossible. Student (pseudonyme de W.S Gosset, 1900) a proposé dans ce cas d'utiliser plutôt la statistique. 8

9 2 ESTIMATION PONCTUELLE On observe un échantillon issu d'une variable aléatoire X dont la loi de probabilité dépend d'un paramètre inconnu. Le problème qui se pose est celui de l'estimation du paramètre. L estimation statistique consiste à donner, à partir des observations, une approximation ou une évaluation de que l'on espère la plus proche possible de la vraie valeur inconnue. On pourra proposer une unique valeur vraisemblable pour (estimation ponctuelle), ou un ensemble de valeurs vraisemblables (estimation ensembliste ou région de confiance). Exemple5 : Supposons qu'on fabrique des pièces sur une machine, chaque pièce ayant une probabilité inconnue (mais la même pour chaque pièce) d'être défectueuse. On cherche, à l'aide d'un échantillon de n pièces, à obtenir des renseignements sur. Pour cela, on dispose de l'observation, constituée du nombre X de pièces défectueuses parmi les N pièces fabriquées. Il est "naturel" de prendre comme valeur de la proportion X N de pièces défectueuses. Il est "vraisemblable" que la valeur exacte de soit proche de X/N, mais tout-à-fait invraisemblable qu'elle soit égale à X N exactement Méthodes d'estimation ponctuelle Dans cette section, nous présentons deux méthodes classiques qui permettent de sélectionner des estimateurs raisonnables pour le paramètre inconnu (ou encore une fonction de ce paramètre). Mais il faut d'abord définir précisement ce que sont une estimation et surtout un estimateur. Pour estimer on ne dispose que des données, donc une estimation de sera une fonction de ces observations. Définition4 : Soit un échantillon issu d une loi de paramètre. On appelle estimateur de toute staistique T(X)=T à valeurs dans l'ensemble des valeurs possibles de. Une estimation de est une réalisation t de l'estimateur T. Un estimateur est donc une variable aléatoire, alors qu'une estimation est une valeur déterministe Méthode des moments Soit X un échantillon d'une distribution dépendant de k paramètres 1,..., k. Soient les k moments d'ordre j ( ) de la v.a X. On définit les moments échantillonnaux d'ordre j correspondants par : Pour pouvoir appliquer la méthode des moments, supposons pouvoir exprimer les k premiers moments en fonction des k paramètres 1,..., k : On remplace ensuite les moments système : par leurs estimateurs respectifs m j puis on résout le 9

10 Les k solutions paramètres. Exemple6: Soit paramètre à estimer est On a dans ce cas: de ce système, constituent les estimateurs des moments des k un échantillon issu d une v.a aléatoire X. Supposons que le, où est la moyenne de X et 2 est sa variance. le système à résoudre est: D'où : Et l estimateur des moments pour est Méthode du maximum de vraisemblance Soit un échantillon aléatoire issu d une loi inconnue appartenant à la famille de lois paramétriques { }, et soit x = la valeur observée correspondante. Définition 5: On appelle fonction de vraisemblance, la fonction définie sur par. Les va étant indépendantes, donc N.B: Dans la suite de ce cours on notera par la loi de probabilité d une v.a discrète ( et la densité de probabilité d une v.a continue(. Définition 6: Soit un échantillon aléatoire issu d une loi inconnue appartenant à la famille de lois paramétriques { }, et soit x = une valeur observée de X. pour x fixé on note de qui maximise, la fonction de 10

11 La statistique vraisemblace (EMV) de est appelée l estimateur du maximum de La méthode du maximum de vraisemblance (M.M.V) consiste, étant donné un échantillon de valeurs, à estimer le paramétre par la valeur qui rend maximale la fonction de vraisemblance : Pour déterminer la valeur, il est souvent commode d'utiliser car cette dernière fonction atteint son maximum au même point que la fonction et se prète mieux aux calculs. En effet, si et est différentiable en les candidats possibles pour l E. M.V sont les valeurs de 1,..., k solutions du système Exemple7: Contrôle de qualité par sondage: Une machine fabrique une proportion inconnue de pièces défectueuses. On désire estimer. Pour cela, on effectue un sondage: On prélève n pièces avec remise et on observe les v.a où X i = 1 si la pièce tirée est défectueuse et 0 sinon. Les données x i sont les valeurs observées des n variables aléatoires indépendantes de même loi : La fonction de vraisemblance est donnée par:. En dérivant la fonction et en résolvant par rapport à l'équation: nous obtenons l'estimateur de M.V. de suivant: Exemple8: Fiabilité: Considérons la v.a. continue à valeurs positives X représentant la durée de fonctionnement sans panne d'un système. Sa densité de probabilité f est celle d'une distribution exponentielle de moyenne 1/. On désire estimer par la méthode du M.V le paramètre. Pour celà, on considère n systèmes identiques et on observe leur durée de vie. Ce sont des observations des v.a. qui sont i.i.d. de loi exp ( ) où est inconnu. La fonction de vraisemblance est donnée par: L(x, ) = 11

12 et la fonction logarithme de la vraisemblance L(x, ) est:. En déterminant le zéro de la dérivée de cette fonction par rapport à, on obtient: L'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre est donc: Exemple9: Dans le cas d'un échantillon aléatoire de loi Uniforme sur, la fonction de vraisemblance est donnée par : Cette fonction est maximale en. L'estimateur de M.V de est donc: Méthode d'évaluation d'estimateurs Dans la section précédente, nous avons présenté deux méthodes de construction d'estimateurs raisonnables d'un paramètre ou d'une fonction de celui-ci. Ces techniques d'estimation conduisent généralement à différents estimateurs et la question qui se pose tout naturellement est celle du choix entre ces derniers. Soit X = ( ) un n-échantillon dont la distribution est spécifiée grace à un paramètre inconnu, et soit T=T(X) un estimateur de la fonction de ce paramètre. T sera un bon estimateur de s'il est suffisamment proche, en un certain sens, de. Il faut donc définir une mesure de l'écart entre et T. On appelle cette mesure le risque de l'estimateur. On a intérêt à ce que le risque d'un estimateur soit le plus petit possible. Parmi les critères qui permettent d'optimiser le choix d'un estimateur, nous avons: Définition 7: Le risque moyen quadratique où erreur moyenne quadratique (EMQ en abrégé) d'un estimateur T=T(X) de est la fonction de définie par: Où désigne l'espérance mathématique relativement à. Remarque : En écrivant, il est facile d'exprimer l'emq en fonction de la moyenne et la variance de l'estimateur T. On a:, 12

13 où. La fonction désigne le biais de l'estimateur T. Définition 8: Soient T = T(X) et S=S(X) deux estimateurs de On dit que T est meilleur que S (au sens de l EMQ) si, pour tout, Il est dit strictement meilleur si de plus il existe au moins une valeur de l'inégalité précédente est stricte. pour laquelle Exemple10: Soit X un n-échantillon de loi. Un estimateur raisonnable de est la moyenne échantillonnale. Comme et, on a: La dernière égalité résulte du fait que suit une loi (d'après le théorème 3). D'autre part, la statistique peut aussi bien être considérée comme estimateur de. Sa moyenne est égale à et son EMQ vaut. Donc l'estimateur est strictement meilleur que (si n>1). L'exemple précédent montre que est strictement meilleur que lorsqu'on veut estimer la moyenne d'une loi normale Estimateurs sans biais. Le biais mesure une erreur systématique d'estimation de par T. Par exemple, si, cela signifie que T aura tendance à sous-estimer. Définition 9: On appelle estimateur sans biais de toute statistique T=T(X) telle que : Remarque: a) Si T est un estimateur sans biais, son EMQ est égale à sa variance. On en déduit immédiatement que de deux estimateurs sans biais, le meilleur est celui qui a la plus petite variance. On a donc intérêt à ce qu'un estimateur soit sans biais et de faible variance. b) La définition précédente signifie que l'estimateur sans biais T n'a tendance ni à sousestimer ni à sur-estimer le paramètre : en moyenne il vise juste. Exemples11: Contrôle de qualité par sondage (suite): dans cet exemple, l'estimateur de M.V du paramètre est donné parx. Il s'agit là d'un estimateur sans biais puisque: Exemples12: Fiabilité: L'estimateur du MV de est. Est-il sans biais? 13

14 loi Suit la loi gamma, car c est la somme de n variables aléatoires i.i.d de sa densité de probabilité est: et alors, Et n'est pas un estimateur sans biais de. Par contre, l'estimateur est sans biais. Nous avons vu précédemment que le critère d'emq n'est autre que la variance d'un estimateur sans biais. Par conséquent, la comparaison d'estimateurs sans biais selon la définition 8 revient à comparer leurs variances respectives. Exemple13: Estimation du paramètre d'une distribution uniforme. Soit un échantillon d'une v.a. de loi Uniforme sur, où est un paramètre réel positif inconnu. Puisque: il est "naturel" d'utiliser l'estimateur sans biais (estimateur des moments) T=T(X)=2X. Un second estimateur de est l'estimateur du MV obtenu précédemment: S Un tel estimateur est-il sans biais? Pour calculer E[S], nous avons besoin de déterminer la densité de probabilité de la v.a. S. Soit sa fonction de répartition:. Il en résulte, en dérivant par rapport à x: 14

15 Par suite, on a:. et S n'est donc pas sans biais. Par contre, l'estimateur est sans biais et on peut vérifier que :. Par conséquent, l'estimateur U fonction de l'estimateur du MV est meilleur que l'estimateur naturel des moments T=2 X puisque var(u) var(t) pour tout et tout n >1. Définition 10: On dit qu'un estimateur T=T(X) de la fonction g( ) du paramètre est un estimateur sans biais de variance minimale s'il est sans biais pour g( ) et si, pour tout autre estimateur S=S(X) sans biais de g( ), on a: R(,T) = var (T) var (S) = R(,S),. La recherche du meilleur estimateur sans biais de variance minimale (s'il en existe un!) n'est pas une tache facile en général. La difficulté réside d'abord dans l'évaluation de la variance d'estimateurs potentiels. Une autre difficulté réside dans la détermination du meilleur estimateur sans biais au sens de la définition précédente: même si on montre par exemple que var (T) var (S), rien ne permet d'affirmer qu'il n'existe pas d'autres estimateurs sans biais de variance inférieure à celle de T. 15

16 3 - ESTIMATION ENSEMBLISTE Introduction Il peut parfois être intéressant de chercher à approcher le paramètre inconnu non pas par un point T(X) mais par un sous-ensemble de l'espace des paramètres. Autrement dit, au lieu d'un estimateur ponctuel, on cherche un estimateur ensembliste de appelé aussi intervalle ou domaine de confiance. Note: Comme celà était convenu précédemment, nous notons par T(x) la valeur de la statistique observée pour T(X). Définition 10: Un intervalle de confiance d un paramètre réel est un intervalle où R(x) et S(x) est une paire de fonctions telle que. L'intervalle aléatoire est appelé estimateur ensembliste de. Exemple14: Soit un échantillon de loi (,1). Lorsqu on estime le paramètre parx, la probabilité, P(X= ), que cette estimation soit exacte, est nulle. Cependant, avec un intervalle de confiance on peut évaluer la probabilité que soit dans un intervalle I(X). Un estimateur ensembliste possible pour est par exemple l'intervalle I(X) = [X-1,X+1]. Prenons pour illustrer notre échantillon gaussien, n=4. Puisque la statistique X (,1/n), nous pouvons écrire en utilisant la table de la fonction de répartition (.) de la loi normale centrée et réduite: 0,9544. Ainsi, nous avons plus de 95% de "chance" que notre paramètre soit dans l'intervalle aléatoire I(X) Intervalle de confiance de niveau (1- ) Pour déterminer un intervalle de confiance pour un paramètre inconnu, nous devons connaître la distribution échantillonnale d'un estimateur ponctuel de ce dernier. Définition 11: Soient R(X) et S(X) deux statistiques. L intervalle aléatoire intervalle de confiance de niveau 1- pour le parrmètre si : est un Les statistiques R(X) et S(X) sont respectivement les limites de confiance inférieure et supérieure pour. Notre objectif est donc de les déterminer. 16

17 est la probabilité que le paramètre n'appartienne pas à l intervalle, c'est à dire la probabilité que l'on se trompe en affirmant que. C'est donc une probabilité d'erreur, qui doit être assez petite. Les valeurs usuelles de sont 10%, 5%, 1%, etc. Nous allons illustrer la procédure générale par des exemples, en déterminant des intervalles de confiance pour la moyenne et la variance dans un échantillon de loi normale Intervalle de confiance pour la moyenne d une loi normale Soit un n-échantillon d'une population gaussienne. Intervalle de confiance pour la moyenne lorsque la variance est connue La loi normale standard étant tabulée, il est alors possible de déterminer pour tout appelé le -fractile de la loi (0,1) qui vérifie : Compte tenu de la symétrie de la densité de la loi (0,1), on a: D'après le théorème de Fisher, nous savons que Donc Ainsi un intervalle de confiance de niveau 1- pour, quand est connue, est donné par : Exemple14: Supposons que lorsqu'un signal ayant la valeur est transmis d'un endroit A, le signal reçu en B est normalement distribué avec moyenne et variance. Supposons que la même valeur est transmise 9 fois. Les valeurs reçues succéssivement en B sont : 5; 8,5 ; 12 ; 15 ; 7; 9 ; 7,5 ; 6,5 ; 10,5. Puisque x=81/9=9 et z /2 =1,96 si =0,05, un intervalle de niveau 1- =95% pour la moyenne est alors: 17

18 = [7,69 ; 10,31]. La vraie valeur du message sera comprise entre 7,69 et 10,31 avec 95% de confiance. Intervalle de confiance pour la moyenne lorsque la variance inconnue Dans ce qui a précédé, nous avons supposé que est connue. Cette hypothèse est souvent non vérifiée dans la pratique et dans un tel cas, on pense à remplacer le paramètre inconnu dans la v.a. par son estimateur S. Nous savons que la v.a. est distribuée selon la loi de student t à n-1 d.d.l. Soit donc le -fractile de la loi de Student t à n-1 d.d.l, c'est-à-dire le réel tel que: La loi de Student étant symétrique, donc Donc Ainsi un intervalle de niveau 1- pour lorsque est inconnu est donné par: Exemple15: Avec les valeurs utilisées dans l'exemple précédent, nous avons: x=9 et s=3,08. La table de la loi de student donne la valeur Un intervalle de confiance de niveau 95% pour la moyenne est alors: lorsque =0,05 et n=9. Un tel intervalle est bien sûr moins précis que celui obtenu lorsque la variance supposée connue. est Intervalle de confiance pour la variance d une loi normale Intervalle de confiance pour la variance lorsque la moyenne est connue 18

19 La statistique est un estimateur sans biais pour Nous savons que la v.a. est distribuée selon la loi khi deux à n d.d.l car (0,1) et indépendantes. Soit donc le -fractile de la loi à n d.d.l. c'est-à-dire le réel tel que: Avec ces notations, nous avons : Donc Alors, un intervalle de niveau 1- pour lorsque est connu, est donné par: Intervalle de confiance pour la variance lorsque la moyenne est inconnue Dans le cas où et sont inconus on a : Où est un estimateur sans biais pour. Avec les mêmes notations ci-dessus, nous avons : où désigne -fractile de la loi à (n-1) d.d.l. Ainsi, un intervalle de confiance de niveau 1- pour lorsque est inconnu est donné par: Remarque : Dans le cas ou X n'est pas gaussienne et l échantillon est de grande taille (n > 30), d après le théorème limite centrale on peut approcher la loi de par et donc la loi de par. On a alors la même définition de l'intervalle de confiance que dans le cas où X est gaussienne et connue (si est inconnue, on lui attribue la valeur de son estimation ponctuelle). 19

20 Exemple16 : Intervalle de confiance pour une proportion Soit une population dont les individus possèdent un caractère A avec une probabilité p. On cherche à déterminer cette probabilité inconnue en prélevant un échantillon de taille n (n > 30) dans cette population. Soit x est le nombre d individus possèdant le caractère A dans l échantillon. est une estimation de p. La v.a. ( nombre d individus possèdant le caractère A dans la population) est la somme de n variables aléatoires indépendantes de même loi de bernouilli de paramètre p. C est donc, d après le théorème central limite, une variable aléatoire dont la loi de probabilité peut être approchée par une loi normale de moyenne np et de variance, donc la loi de peut être approchée par. Ainsi un intervalle de confiance de niveau 1- pour la proportion p est :. 20

21 Résumé Intervalle de confiance de niveau pour la moyenne d une loi normale connue inconnue Intervalle de confiance de niveau pour la variance d une loi normale connue inconnue Intervalle de confiance de niveau pour la moyenne d une loi inconnue (n grand) connue inconnue Intervalle de confiance de niveau pour une proportion p (n grand) 21

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Analyse des données - Méthodes explicatives (STA102) Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Giorgio Russolillo giorgio.russolillo@cnam.fr Infos et support du cours Slide

Plus en détail

Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES

Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES LES STATISTIQUES INFERENTIELLES (test de Student) L inférence statistique est la partie des statistiques qui, contrairement à la statistique descriptive, ne se contente pas de décrire des observations,

Plus en détail

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si L'estimation 1. Concrètement... Dernièrement un quotidien affichait en première page : en 30 ans les françaises ont grandi de... je ne sais plus exactement, disons 7,1 cm. C'est peut-être un peu moins

Plus en détail

Master 1 Informatique Éléments de statistique inférentielle

Master 1 Informatique Éléments de statistique inférentielle Master 1 Informatique Éléments de statistique inférentielle Faicel Chamroukhi Maître de Conférences UTLN, LSIS UMR CNRS 7296 email: chamroukhi@univ-tln.fr web: chamroukhi.univ-tln.fr 2014/2015 Faicel Chamroukhi

Plus en détail

STATISTIQUES. Cours I : Test d hypothèses. Télécom Physique Strasbourg Module 2101. Fabrice Heitz. Octobre 2014

STATISTIQUES. Cours I : Test d hypothèses. Télécom Physique Strasbourg Module 2101. Fabrice Heitz. Octobre 2014 Télécom Physique Strasbourg Module 2101 STATISTIQUES Cours I : Test d hypothèses Fabrice Heitz Octobre 2014 Fabrice Heitz (Télécom PS) Statistiques 2014 1 / 75 Cours I TESTS D HYPOTHÈSES Fabrice Heitz

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. 1 Généralités sur les tests statistiques 2

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. 1 Généralités sur les tests statistiques 2 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document 4 : Les tests statistiques 1 Généralités sur les tests

Plus en détail

Échantillonnage. Pierre Neuvial, http://stat.genopole.cnrs.fr/~pneuvial Evry, M1 SGO, automne 2014

Échantillonnage. Pierre Neuvial, http://stat.genopole.cnrs.fr/~pneuvial Evry, M1 SGO, automne 2014 Démarche Statistique 1 Échantillonnage Pierre Neuvial, http://stat.genopole.cnrs.fr/~pneuvial Evry, M1 SGO, automne 2014 Introduction Objectif statistique descriptive: sur l'échantillon statistique inférentielle:

Plus en détail

Cours (8) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012. Test du Khi 2

Cours (8) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012. Test du Khi 2 Test du Khi 2 Le test du Khi 2 (khi deux ou khi carré) fournit une méthode pour déterminer la nature d'une répartition, qui peut être continue ou discrète. Domaine d application du test : Données qualitatives

Plus en détail

9. Distributions d échantillonnage

9. Distributions d échantillonnage 9. Distributions d échantillonnage MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v3) MTH2302D: distributions d échantillonnage 1/46 Plan 1. Échantillons aléatoires 2. Statistiques et distributions

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilités Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilités Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. 1 ère - 3 Chap.9 : Loi binomiale. Échantillonnage. 1 ère - Chapitre 9 : LOI BINOMIALE. ÉCHANTILLONNAGE. Textes officiels (30 septembre 2010) : CONTENU CAPACITÉ ATTENDUE COMMENTAIRE Probabilités Épreuve

Plus en détail

TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple

TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple Un examinateur doit faire passer une épreuve type QCM à des étudiants. Ce QCM est constitué de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a trois réponses

Plus en détail

Principe des tests statistiques

Principe des tests statistiques Principe des tests statistiques Jean Vaillant Un test de signification est une procédure permettant de choisir parmi deux hypothèses celles la plus probable au vu des observations effectuées à partir d

Plus en détail

UE ADP1 Durée de l'épreuve : 1 heure 30 mn. Aucun document n'est autorisé. Seule la calculette (sans sa documentation) est autorisée.

UE ADP1 Durée de l'épreuve : 1 heure 30 mn. Aucun document n'est autorisé. Seule la calculette (sans sa documentation) est autorisée. Université René Descartes- Paris V Licence de Psychologie Année L1, Semestre S1-2005 /2006 Page 1/5 UE ADP1 Durée de l'épreuve : 1 heure 30 mn. Aucun document n'est autorisé. Seule la calculette (sans

Plus en détail

Lois normales, cours, terminale S

Lois normales, cours, terminale S Lois normales, cours, terminale S F.Gaudon 6 mai 2014 Table des matières 1 Variables centrées et réduites 2 2 Loi normale centrée et réduite 2 3 Loi normale N (µ, σ 2 ) 4 1 1 Variables centrées et réduites

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Sondage stratifié. Myriam Maumy-Bertrand. Master 2ème Année 12-10-2011. Strasbourg, France

Sondage stratifié. Myriam Maumy-Bertrand. Master 2ème Année 12-10-2011. Strasbourg, France 1 1 IRMA, Université de Strasbourg Strasbourg, France Master 2ème Année 12-10-2011 Ce chapitre s appuie essentiellement sur deux ouvrages : «Les sondages : Principes et méthodes» de Anne-Marie Dussaix

Plus en détail

Variables aléatoires continues

Variables aléatoires continues IUT Aix-en-Provence Année 204-205 DUT Informatique TD Probabilités feuille n 6 Variables aléatoires continues Exercice (La station-service) Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence,

Plus en détail

Ch.12 : Loi binomiale

Ch.12 : Loi binomiale 4 e - programme 2007 - mathématiques ch.12 - cours Page 1 sur 5 1 RÉPÉTITION D'EXPÉRIENCES INDÉPENDANTES Lancer plusieurs fois un dé et noter les résultats successifs. Ch.12 : Loi binomiale Prélever des

Plus en détail

Examen d accès - 28 Septembre 2012

Examen d accès - 28 Septembre 2012 Examen d accès - 28 Septembre 2012 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Cet examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses

Plus en détail

Séminaire de Statistique

Séminaire de Statistique Master 1 - Economie & Management Séminaire de Statistique Support (2) Variables aléatoires & Lois de probabilité R. Abdesselam - 2013/2014 Faculté de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière

Plus en détail

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques I. Un guide pour l'année II. La loi uniforme : une introduction III. La loi exponentielle IV. De la loi binomiale à la loi normale V. Échantillonnage

Plus en détail

Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS

Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS Statistique appliquée à la gestion et au marketing http://foucart.thierry.free.fr/statpc Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS Les chapitres précédents donnent des méthodes graphiques et numériques pour caractériser

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation. Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages

Plus en détail

11. Tests d hypothèses (partie 1/2)

11. Tests d hypothèses (partie 1/2) 11. Tests d hypothèses (partie 1/2) MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v1) MTH2302D: tests d hypothèses 1/30 Plan 1. Introduction 2. Hypothèses et erreurs 3. Tests d hypothèses

Plus en détail

DOCUMENT 2.1 : INFORMATIONS COMPLEMENTAIRES SUR LA METHODE D ENQUETE

DOCUMENT 2.1 : INFORMATIONS COMPLEMENTAIRES SUR LA METHODE D ENQUETE DOCUMENT 2.1 : INFORMATIONS COMPLEMENTAIRES SUR LA METHODE D ENQUETE 1 Définir le type de variable Dans notre cas, la variable est quantitative nominale. Note : Une variable est qualitative nominale quand

Plus en détail

SCI03 - Analyse de données expérimentales

SCI03 - Analyse de données expérimentales SCI03 - Analyse de données expérimentales Introduction à la statistique Thierry Denœux 1 1 Université de Technologie de Compiègne tél : 44 96 tdenoeux@hds.utc.fr Automne 2014 Qu est ce que la statistique?

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

L essentiel sur les tests statistiques

L essentiel sur les tests statistiques L essentiel sur les tests statistiques 21 septembre 2014 2 Chapitre 1 Tests statistiques Nous considérerons deux exemples au long de ce chapitre. Abondance en C, G : On considère une séquence d ADN et

Plus en détail

Cours de Tests paramétriques

Cours de Tests paramétriques Cours de Tests paramétriques F. Muri-Majoube et P. Cénac 2006-2007 Licence Ce document est sous licence ALC TYPE 2. Le texte de cette licence est également consultable en ligne à l adresse http://www.librecours.org/cgi-bin/main?callback=licencetype2.

Plus en détail

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Chapitre VI Échantillonages et simulations

Chapitre VI Échantillonages et simulations Chapitre VI Commentaires : Récursivement, les commentaires ne sont pas à l attention des élèves.. Fluctuation d échantillonnage Définition : En statistiques, un échantillon de taille n est la liste des

Plus en détail

Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition

Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition Lorsqu'une variable est qualitative et l'autre numérique, il est courant que la première identie des sous-populations (sexe, catégories socio-économiques,

Plus en détail

une décision dans un monde aléatoire : modèles inférentiels

une décision dans un monde aléatoire : modèles inférentiels Lecture 9. Comment prendre une décision dans un monde aléatoire : modèles inférentiels Prof. Kizungu Vumilia Roger UNIKIN (FACAGRO-BIOLOGIE), UNILU (FACAGRO), UEA (FACAGRO), UCB (FACAGRO), ISS, ISTA (ENVIRONNEMENT),

Plus en détail

Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009

Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009 Projets scilab L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 2 Avril 29 REMARQUE: quelques résultats importants concernant le théorème central limite et les intervalles de confiance sont rappelés dans la

Plus en détail

Cartes de contrôle aux mesures

Cartes de contrôle aux mesures Cartes de contrôle aux mesures 1 Une introduction à la maîtrise statistique des processus Deux objets ne sont jamais rigoureusement identiques. Quelles que soient les techniques utilisées pour fabriquer

Plus en détail

2010 My Maths Space Page 1/6

2010 My Maths Space Page 1/6 A. Des statistiques aux probabilités 1. Statistiques descriptives, analyse de données. Vocabulaire des statistiques : Population : c'est l'ensemble étudié. Individu : c'est un élément de la population.

Plus en détail

CAPTEURS - CHAINES DE MESURES

CAPTEURS - CHAINES DE MESURES CAPTEURS - CHAINES DE MESURES Pierre BONNET Pierre Bonnet Master GSI - Capteurs Chaînes de Mesures 1 Plan du Cours Propriétés générales des capteurs Notion de mesure Notion de capteur: principes, classes,

Plus en détail

NOTIONS DE PROBABILITÉS

NOTIONS DE PROBABILITÉS NOTIONS DE PROBABILITÉS Sommaire 1. Expérience aléatoire... 1 2. Espace échantillonnal... 2 3. Événement... 2 4. Calcul des probabilités... 3 4.1. Ensemble fondamental... 3 4.2. Calcul de la probabilité...

Plus en détail

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2.1 Probabilité conditionnelle Soient A et B deux événements tels que P(B) > 0. Soit alors P(A B), la probabilité que A se réalise, B étant réalisé.

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Exercices de simulation 1

Exercices de simulation 1 Licence MIA 2ème année Année universitaire 2009-2010 Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab.

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale STMG

Cours de mathématiques Terminale STMG Cours de mathématiques Terminale STMG Chapitre 1 Information chiffrée...3 I Proportions...3 II Taux d'évolution...3 a) Détermination d'un taux d'évolution...3 b) Appliquer un taux d'évolution...4 III Taux

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Prix d options européennes

Prix d options européennes Page n 1. Prix d options européennes Une société française tient sa comptabilité en euros et signe un contrat avec une entreprise américaine qu elle devra payer en dollars à la livraison. Entre aujourd

Plus en détail

C3 : Manipulations statistiques

C3 : Manipulations statistiques C3 : Manipulations statistiques Dorat Rémi 1- Génération de valeurs aléatoires p 2 2- Statistiques descriptives p 3 3- Tests statistiques p 8 4- Régression linéaire p 8 Manipulations statistiques 1 1-

Plus en détail

LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES

LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES 1 Ce travail a deux objectifs : ====================================================================== 1. Comprendre ce que font les générateurs de nombres aléatoires

Plus en détail

MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE

MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE Annexe MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE L enseignement des mathématiques au collège et au lycée a pour but de donner à chaque

Plus en détail

Principe d un test statistique

Principe d un test statistique Biostatistiques Principe d un test statistique Professeur Jean-Luc BOSSON PCEM2 - Année universitaire 2012/2013 Faculté de Médecine de Grenoble (UJF) - Tous droits réservés. Objectifs pédagogiques Comprendre

Plus en détail

Analyse de données et méthodes numériques

Analyse de données et méthodes numériques Analyse de données et méthodes numériques Analyse de données: Que faire avec un résultat? Comment le décrire? Comment l analyser? Quels sont les «modèles» mathématiques associés? Analyse de données et

Plus en détail

Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année)

Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année) Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année) Marches aléatoires et marchés financiers Groupe 4 tuteur : J. Bouttier 8 février 2010 Résumé Depuis la thèse de Bachelier, les marchés nanciers ont constitué un

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss LivreSansTitre1.book Page 44 Mardi, 22. juin 2010 10:40 10 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss I. Définition de la loi normale II. Tables de la loi normale centrée réduite S il y avait une seule loi de

Plus en détail

Tests statistiques Formation «Analyse de données RNA-seq/ChiP-seq»

Tests statistiques Formation «Analyse de données RNA-seq/ChiP-seq» Tests statistiques Formation «Analyse de données RNA-seq/ChiP-seq» Guy Perrière Pôle Rhône-Alpes de Bioinformatique 14 novembre 2012 Guy Perrière (PRABI) Tests statistiques 14 novembre 2012 1 / 40 Plan

Plus en détail

Chapitre 6 TESTS STATISTIQUES

Chapitre 6 TESTS STATISTIQUES Statistique appliquée à la gestion et au marketing http://foucart.thierry.free.fr/statpc Chapitre 6 TESTS STATISTIQUES Les tests statistiques sont des méthodes de la statistique inférentielle qui, comme

Plus en détail

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers

Plus en détail

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé Baccalauréat ES Centres étrangers 1 juin 14 - Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats 1. On prend un candidat au hasard et on note : l évènement «le candidat a un dossier

Plus en détail

Théorie de la crédibilité

Théorie de la crédibilité ISFA - Année 2008-2009 Théorie de la crédibilité Chapitre 2 : Prime de Bayes Pierre-E. Thérond Email, Page web, Ressources actuarielles Langage bayesien (1/2) Considérons une hypothèse H et un événement

Plus en détail

Initiation à la théorie de l échantillonnage

Initiation à la théorie de l échantillonnage Initiation à la théorie de l échantillonnage Jean VAILLANT Octobre 2005 1 Notions de base en échantillonnage L étude de propriétés caractéristiques d un ensemble, quand on ne dispose pas encore de données,

Plus en détail

Feuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre.

Feuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre. Université de Nantes Année 2013-2014 L3 Maths-Eco Feuille 6 : Tests Exercice 1 On cherche à connaître la température d ébullition µ, en degrés Celsius, d un certain liquide. On effectue 16 expériences

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Test de Poisson à 1 échantillon et à 2 échantillons

Test de Poisson à 1 échantillon et à 2 échantillons Test de Poisson à 1 échantillon et à 2 échantillons Sous-menus de Minitab 15 : Stat>Statistiques élémentaires>test de Poisson à 1 échantillon Stat>Statistiques élémentaires>test de Poisson à 2 échantillons

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Exercice 1 QCM. 4 i. e π ou. e π, ou : 4 ( i) 1 /4. e π. e π Réponse d. 1. Le carré de z est : ce qui donne : soit : , soit 4i

Exercice 1 QCM. 4 i. e π ou. e π, ou : 4 ( i) 1 /4. e π. e π Réponse d. 1. Le carré de z est : ce qui donne : soit : , soit 4i TSTI2D - Bac 203 - Polynésie STI2D -.0 - Corrigé.doc - Page /5 Terminale STI2D - Bac 203 - Polynésie - Corrigé. TSTI2D - Bac 203 - Polynésie STI2D -.0 - Corrigé.doc - Page 2/5 Exercice QCM. Le carré de

Plus en détail

Statistiques Descriptives à une dimension

Statistiques Descriptives à une dimension I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des

Plus en détail

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Université d Avignon Fichier dispo sur http://fredericnaud.perso.sfr.fr/ Une étude statistique dans la population montre que le Q.I. est

Plus en détail

PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES

PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES Université de Caen Basse-Normandie U.F.R. de Sciences Economiques et de Gestion Année universitaire 2009-2010 LICENCE ECONOMIE ET GESTION Semestre 3 L2 PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES (18 heures) Hélène Ferrer

Plus en détail

Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE

Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE UE4 : Biostatistiques Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Introduction

Plus en détail

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème.

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

Chapitre 3 : INFERENCE

Chapitre 3 : INFERENCE Chapitre 3 : INFERENCE 3.1 L ÉCHANTILLONNAGE 3.1.1 Introduction 3.1.2 L échantillonnage aléatoire 3.1.3 Estimation ponctuelle 3.1.4 Distributions d échantillonnage 3.1.5 Intervalles de probabilité L échantillonnage

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION Dans les leçons précédentes, nous avons modélisé des problèmes en utilisant des graphes. Nous abordons dans cette leçon un autre type de modélisation.

Plus en détail

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE LICENCE DE SCIENCES ECONOMIQUES. STATISTIQUE APPLIQUEE F. Gardes / P. Sevestre. Fiche N 7.

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE LICENCE DE SCIENCES ECONOMIQUES. STATISTIQUE APPLIQUEE F. Gardes / P. Sevestre. Fiche N 7. UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE LICENCE DE SCIENCES ECONOMIQUES STATISTIQUE APPLIQUEE F. Gardes / P. Sevestre Fiche N 7 (avec corrigé) L objet de ce TD est de vous initier à la démarche et à quelques

Plus en détail

Tests statistiques Notes de cours. V. Monbet

Tests statistiques Notes de cours. V. Monbet Tests statistiques Notes de cours V. Monbet L2 S1-2009 Table des matières 1 Introduction 4 1.1 Qu'est ce que la statistique?.............................. 4 1.2 Qu'est ce qu'un test statistique?............................

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

ASI (L2) : TP3 Calculs probabilistes avec Excel et Rstat

ASI (L2) : TP3 Calculs probabilistes avec Excel et Rstat ASI (L2) : TP3 Calculs probabilistes avec Excel et Rstat Objectifs du TP : Savoir utiliser Excel et Rstat pour calculer des moyennes pondérées, des variances pondérées et savoir faire des approximations

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

PROBABILITÉS STATISTIQUES

PROBABILITÉS STATISTIQUES PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Probabilités et Statistiques PAES 0-03 L FOUCA Sommaire Chapitre Statistique descriptive 4 La statistique et les statistiques 4 Généralités sur les distributions statistiques

Plus en détail

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Quantiles En statistique, pour toute série numérique de données à valeurs dans un intervalle I, on définit la fonction quantile Q, de [,1] dans

Plus en détail

Mth2302B - Intra Été 2011

Mth2302B - Intra Été 2011 École Polytechnique de Montréal page 1 Contrôle périodique Été 2011--------------------------------Corrigé--------------------------------------T.Hammouche Question 1 (12 points) Mth2302B - Intra Été 2011

Plus en détail

Algorithmes d'apprentissage

Algorithmes d'apprentissage Algorithmes d'apprentissage 1 Agents qui apprennent à partir d'exemples La problématique : prise de décision automatisée à partir d'un ensemble d'exemples Diagnostic médical Réponse à une demande de prêt

Plus en détail

Lois de probabilité 3/3. Anita Burgun

Lois de probabilité 3/3. Anita Burgun Lois de probabilité 3/3 Anita Burgun Contenu des cours Loi binomiale Loi hypergéométrique Loi de Poisson Loi normale Loi du Chi2 Loi de Student Loi normale VA continue X Densité de probabilité de X" Loi

Plus en détail

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève 30-1- 2013 J.F.C. p. 1 F 1 F 2 F 3 Assez simple ou proche du cours. Demande du travail. Délicat. EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005 Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 X est une variable aléatoire de

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

Evaluation de la variabilité d'un système de mesure

Evaluation de la variabilité d'un système de mesure Evaluation de la variabilité d'un système de mesure Exemple 1: Diamètres des injecteurs de carburant Problème Un fabricant d'injecteurs de carburant installe un nouveau système de mesure numérique. Les

Plus en détail

Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres

Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres 1 Introduction Le nombre de piles obtenus au cours d une série de n lancers de pile ou face ou plus généralement dans

Plus en détail

Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN

Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Table des matières. Introduction....3 Mesures et incertitudes en sciences physiques

Plus en détail

La régression sur données de panel

La régression sur données de panel La régression sur données de panel 1 I. Définition Les données utilisées en économétrie sont le plus souvent des séries chronologiques, tel le nombre de naissances enregistrées par an dans le département

Plus en détail

1. Vocabulaire : Introduction au tableau élémentaire

1. Vocabulaire : Introduction au tableau élémentaire L1-S1 Lire et caractériser l'information géographique - Le traitement statistique univarié Statistique : le terme statistique désigne à la fois : 1) l'ensemble des données numériques concernant une catégorie

Plus en détail

Introduction à l'analyse statistique des données

Introduction à l'analyse statistique des données INTRODUCTION À L'ANALYSE STATISTIQUE DES DONNÉES CONCEPTS DE BASE Un certain nombre de concepts, préalables indispensables à la compréhension des analyses présentées, sont définis ici. De même pour quelques

Plus en détail

EXERCICES DE. (version 2.7 Révision 10 du 2015-06-23)

EXERCICES DE. (version 2.7 Révision 10 du 2015-06-23) EXERCICES DE GÉNIE INDUSTRIEL (version 2.7 Révision 10 du 2015-06-23) EXERCICE 1. Niveau: Gymnase (Lycée) Auteur: Vincent ISOZ (isozv@hotmail.com) Mots-clés: tirage non-exhaustif Énoncé: Pour réaliser

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail