Commun à tous les candidats

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1 EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle [; ] doivent vérifier les conditions suivantes : () f() = et f() = ; (2) f est croissante sur l intervalle [; ] ; (3) Pour tout réel x, f(x) x. Le plan est rapporté à un repère orthonormal R = (O, i, j ). Unité graphique cm. I. Première partie. Etude d un modèle. On appelle g la fonction définie sur l intervalle [; ] par ) Prouver que g vérifie les conditions () et (2). g(x) = xe x. 2) Montrer que g(x) x = x e (ex e) et en déduire que g vérifie la condition (3). 3) Tracer les droites d équations y = x et x = et la courbe représentative de g dans le repère R. II. Seconde partie. Un calcul d indice. Pour une fonction f vérifiant les conditions (), (2) et (3), on définit un indice I égal à l aire exprimée en unité d aire, du domaine plan M délimité par les droites d équations y = x, x = et la courbe représentative de f. ) Justifier que I = [x f(x)] dx. 2) A l aide d une intégration par parties, calculer l indice I g, associé à g. 3) On s intéresse aux fonctions f n, définies sur l intervalle [; ] par f n (x) = 2xn + x. où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (), (2) et (3) et on se propose d étudier l évolution de leur indice I n lorsque n tend vers l infini. a) On pose I n = [x f n (x)] dx et u n = f n (x) dx. Prouver que I n = 2 u n. 4

2 b) Comparer tn+ + t et t n + t sur l intervalle [; ] ; en déduire que la suite (u n) est décroissante. c) Prouver que pour tout réel t appartenant à l intervalle [; ], tn + t tn. d) En déduire que pour tout entier naturel n 2, u n 2 n +. e) Déterminer alors la limite de I n quand n tend vers l infini. 5

3 EXERCICE 3 I. Première partie. g() = e = et g() = e =. D autre part la fonction g est dérivable sur [; ] en tant que produit de fonctions dérivables sur [; ] et pour tout réel x de [; ], g (x) = e x + x e x = ( + x)e x. Pour tout réel x de [; ], on a + x et e x et donc g (x). Par suite, la fonction g est croissante sur [; ]. La fonction g vérifie les conditions () et (2). 2. Soit x un réel élément de [; ]. g(x) x = xe x x = x(e x ) = x( ex e ) = xex e e = x e (ex e). Soit x un réel élément de [; ]. Puisque la fonction exponentielle est croissante sur R, on a e x e ou encore e x e et donc e x e. D autre part, x e et finalement x e (ex e). Ainsi, pour tout réel x de [; ], g(x) x ou encore g(x) x. La fonction g vérifie la condition (3). 3. x = y = x y = xe x http :// 4 c Jean-Louis Rouget, 27. Tous droits réservés.

4 II. Seconde partie. Par hypothèse, pour tout réel x de [; ], on a f(x) x. On sait alors que l aire du domaine considéré, exprimée en unité d aire, est [x f(x)] dx. 2. Calculons tout d abord g(x) dx c est-à-dire xe x dx. Pour x réel élément de [; ], posons u(x) = x et v(x) = e x. u et v sont dérivables sur [; ] et pour tout réel x de [; ], on a u (x) = et v (x) = e x. De plus les fonctions u et v sont continues sur [; ]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient Mais alors, par linéarité de l intégrale, I g = xe x dx = [ xe x ] e x dx = ( e e ) [ e x ] = (e e ) = e = e. [x g(x)] dx = x dx I g = 2 e. [ x xe x 2 dx = 2 ] e = 2 e. 3. a. Soit n un entier naturel. Par linéarité de l intégrale on a b. Soit n un entier naturel. I n = [x f n (x)] dx = x dx f n (x) dx = 2 u n. Soit t un réel de [; ]. On a t et donc, puisque t n, on a t n t t n ou encore t n+ t n. Puisque on obtient finalement 2tn+ + t 2tn + t. Ainsi, pour tout réel t de [; ], on a 2tn+ + t 2tn. Par croissance de l intégrale, on a alors + t Ainsi, pour tout entier naturel n, on a u n+ u n et donc la suite (u n ) n N est décroissante. 2 + t, + + t dt + t dt. c. Soit n un entier naturel. Soit t un réel élément de [; ]. On a d une part + t et d autre part, + t + t + t ou encore. En résumé, + t + t. Puisque tn, après multiplication des trois membres de cet encadrement par t n, on obtient tn + t tn. d. Pour tout réel t de [; ], on a 2tn et donc, par positivité de l intégrale on a + t [; ], on a aussi + t 2tn et donc, par croissance de l intégrale on a + t dt Finalement + t dt 2 n +. [ ] t n+ ( ) n+ dt = 2 = 2 n + n + n+ n + Pour tout entier naturel n, u n 2 n +. = 2 n +. dt. Pour tout réel t de + t dt avec http :// 5 c Jean-Louis Rouget, 27. Tous droits réservés.

5 2 e. Puisque n + tend vers quand n tend vers +, le théorème des gendarmes permet d affirmer que u n tend vers quand n tend vers + et donc que lim I n = n + 2. http :// 6 c Jean-Louis Rouget, 27. Tous droits réservés.