f n (x) = x n e x. T k

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1 EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous ls candidats Pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, on désign par f n la fonction défini sur R par : f n (x) = x n x. On not C n sa courb rprésntativ dans un rpèr orthogonal PARTIE A ( O ; i, j ) du plan. Sur l graphiqu ci-dssous, on a rprésnté un courb C k où k st un ntir naturl non nul, sa tangnt T k au point d absciss t la courb C 3. ( ) 4 La droit T k coup l ax ds abscisss au point A d coordonnés 5,. y C k T k j O i A x C 3. a. Détrminr ls limits d la fonction f n t n +. b. Étudir ls variations d la fonction f t drssr l tablau d variations d f. c. À l aid du graphiqu, justifir qu k st un ntir supériur ou égal à a. Démontrr qu pour n, touts ls courbs C n passnt par l point O t un autr point dont on donnra ls coordonnés. b. Vérifir qu pour tout ntir naturl n supériur ou égal à 2, t pour tout rél x, f n (x) = xn (n x) x. MASCOME pag 4 / 6

2 3. Sur l graphiqu, la fonction f 3 smbl admttr un maximum attint pour x = 3. Validr ctt conjctur à l aid d un démonstration. 4. a. Démontrr qu la droit T k coup l ax ds abscisss au point d coordonnés b. En déduir, à l aid ds donnés d l énoncé, la valur d l ntir k. ( ) k 2 k,. PARTIE B On désign par (I n ) la suit défini pour tout ntir n supériur ou égal à par. Calculr I. I n = x n x dx. 2. Dans ctt qustion, tout trac d rchrch ou d initiativ, mêm incomplèt, sra pris n compt dans l évaluation. Sur l graphiqu ci-dssous, on a rprésnté ls portions ds courbs C, C 2, C 3, C, C 2, C 3 compriss dans la band défini par x.,5 y C C 2 C 3 C C 2 C 3 x a. Formulr un conjctur sur l sns d variation d la suit (I n ) n décrivant sa démarch. b. Démontrr ctt conjctur. c. En déduir qu la suit (I n ) st convrgnt. d. Détrminr lim n + I n. MASCOME pag 5 / 6

3 EXERCICE 3 ) a) Pour tout rél x, f (x) =x x. PARTIE A Limit d f n. lim x = t lim x x x = lim X + X =+. Donc lim f (x) = lim x x x x =. Limit d f n +. Pour tout rél non nul x, f (x) = x x = x. D après un théorèm d croissancs comparés, on /x x sait qu lim =+ t donc x + x lim f (x) = lim x + x + x /x =. lim f (x) = t lim f (x) =. x x + b) La fonction f st dérivabl sur R n tant qu produit d fonctions dérivabls sur R t pour tout rél x, f (x) = x + x ( ) x =( x) x. Pour tout rél x, x >t donc pour tout rél x, f (x) st du sign d x. Par suit, la fonction f st strictmnt positiv sur ],[ t strictmnt négativ sur ], + [ puis la fonction f st strictmnt croissant sur ],] t strictmnt décroissant sur [, + [. On n déduit l tablau d variations d la fonction f : x + f (x) + f c) La courb C admt un tangnt parallèl à (Ox) n son point d absciss. La tangnt T k n st pas parallèl à (Ox). L ntir k n st donc pas égal à ou ncor l ntir k st supériur ou égal à 2. 2) a) Si un point M appartint à touts ls courbs C n, n, alors M appartint aux courbs C t C 2 t donc son absciss x st solution d l équation f (x) =f 2 (x). Soit x un rél. f (x) =f 2 (x) x x = x 2 x x x x 2 x = x( x) x = x( x) = (car x ) x = ou x =. Ls ( courbs C t C 2 ont xactmnt dux points communs, ls points d coordonnés rspctivs (, ) (car f () =) t, ) (car f () = ). Ls courbs C n, n, ont donc au plus dux points n commun. Réciproqumnt, pour tout ntir naturl non nul n, f n () = n = t donc l point O(, ) appartint à touts ls courbs C n, n. D mêm, pour tout ntir naturl non nul n, f n () = n = ( t donc l point d coordonnés, ) appartint à touts ls courbs C n, n. Ls courbs C n, n, ont xactmnt dux points communs, ls points d coordonnés (, ) t (, ). b) Soit n 2. La fonction f n st dérivabl sur R n tant qu produit d fonctions dérivabls sur R t pour tout rél x, f n (x) =nxn x + x n ( ) x = nx n x x n x = x n (n x) x. 3) En particulir, pour tout rél x, f 3 (x) =x2 (3 x) x. Donc, la fonction f 3 st strictmnt positiv sur ],[ ], 3[ t strictmnt négativ sur ]3, + [ puis la fonction f 3 st strictmnt croissant sur ],3] t strictmnt décroissant sur [3, + [. La fonction f 3 admt donc un maximum attint n x = 3. 4) a) Soit k 2. Un équation d T k st y = f k ()+f k ()(x ) avc f k() = t f k () =k (k ) =(k ). 4

4 Un équation d T k st donc y = +(k ) (x ) ou ncor y = k x + 2 k. Ensuit, k x + 2 k = k 2 ((k )x (k 2)) = (k )x (k 2) = (k )x = k 2 x = k. ( ) k 2 Donc la tangnt T k coup l ax ds abscisss au point A k d coordonnés k,. b) Soit k 2. A k = A k 2 k = 4 5(k 2) =4(k ) 5k 4k = 4 k = 6. 5 k = 6. ) On a I = [, ] t pour x dans [, ], on a PARTIE B x x dx. Pour x dans [, ], posons u(x) =x t v(x) = x. Ls fonctions u t v sont dérivabls sur u(x) =x u (x) = v(x) = x v (x) = x D plus, ls fonctions u t v sont continus sur [, ]. On put donc ffctur un intégration par partis t on obtint I = x x dx = [ x( x ) ] ( x ) dx =( ) ()+ = 2 = 2. x dx = + [ x] = + I = 2 = 2. 2) a) Puisqu chaqu fonction f n st continu t positiv sur [, ], I n st l air, xprimé n unités d air, du domain du plan compris ntr l ax ds abscisss, la courb C n t ls droits d équations rspctivs x = t x =. D après l graphiqu, il smblrait qu la suit (I n ) n soit décroissant. b) Soit n. I n+ I n = = x n+ x dx x n (x ) x dx x n x dx = (x n+ x x n x ) dx (par linéarité d l intégral) Pour tout rél x d [, ], on a x n, x t x. Donc pour tout rél x d [, ], on a x n (x ) x. Par croissanc d l intégral, on n déduit qu x n (x ) x dx ou ncor qu I n+ I n. On a montré qu pour tout ntir naturl non nul n, I n+ I n t donc la suit (I n ) n st décroissant. c) D autr part, chaqu fonction f n, n, st positiv sur [, ] t donc, par positivité d l intégral, pour tout ntir naturl non nul n, on a I n. En résumé, la suit (I n ) n st décroissant t minoré par. On n déduit qu la suit (I n ) n st convrgnt. d) Soit n. Pour tout rél x d [, ], on a x t donc x ou ncor x. En multipliant ls trois mmbrs d ct ncadrmnt par l rél positif x n, on obtint x n x x n. Par positivité t croissanc d l intégral, on n déduit qu 5

5 avc Puisqu [ x x n n+ dx = lim n + ] x n x dx x n dx = n+ n+ =. Ainsi, pour tout ntir naturl non nul n, I n. =, l théorèm ds gndarms prmt d affirmr qu lim I n =. n + 6