Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

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1 Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j). Déterminer Mat, ( f ), la matrice de f dans la base ( i, j). Même question avec Mat,( f ) où est la base ( i j, i + j) de R. Même question avec Mat, ( f ). Indication [87] Exercice Soient trois vecteurs e,e,e formant une base de R. On note φ l application linéaire définie par φ(e ) = e, φ(e ) = e + e + e et φ(e ) = e.. Écrire la matrice A de φ dans la base (e,e,e ). Déterminer le noyau de cette application.. On pose f = e e, f = e e, f = e + e + e. Calculer e,e,e en fonction de f, f, f. Les vecteurs f, f, f forment-ils une base de R?. Calculer φ( f ),φ( f ),φ( f ) en fonction de f, f, f. Écrire la matrice de φ dans la base ( f, f, f ) et trouver la nature de l application φ. 4. On pose P =. Vérifier que P est inversible et calculer P. Quelle relation lie A,, P et P? [97] Exercice Soit f l endomorphisme de R dont la matrice par rapport à la base canonique (e,e,e ) est 5 5 A = Montrer que les vecteurs e = e + e + e, e = e + 4e + e, e = e + e + e forment une base de R et calculer la matrice de f par rapport à cette base. [4] Exercice Soit A =.... En utilisant l application linéaire associée de L (R n,r n ), calculer A p pour.... p Z.

2 [] Exercice 5 Soient A, deux matrices semblables (i.e. il existe P inversible telle que = P AP). Montrer que si l une est inversible, l autre aussi ; que si l une est idempotente, l autre aussi ; que si l une est nilpotente, l autre aussi ; que si A = λi, alors A =. Indication [444] Exercice 6 Soit f l endomorphisme de R de matrice A = ( ) e =. 5 ( ) 5 dans la base canonique. Soient e =. Montrer que = (e,e ) est une base de R et déterminer Mat ( f ).. Calculer A n pour n N. x n+ = x n +. Déterminer l ensemble des suites réelles qui vérifient n N y n y n+ = 5 x n y n. ( ) et [4] Exercice 7 Soit a et b deux réels et A la matrice A = a b Montrer que rg(a). Pour quelles valeurs de a et b a-t-on rg(a) =? [774] Exercice 8 7 Soient A = 4 5 6, = 4 4. Calculer rg(a) et rg(). Déterminer une base du noyau 7 8 et une base de l image pour chacune des applications linéaires associées f A et f. [99] Exercice 9 Soit E un espace vectoriel et f une application linéaire de E dans lui-même telle que f = f.. Montrer que E = Ker f Im f.. Supposons que E soit de dimension finie n. Posons r = dimim f. Montrer qu il existe une base = (e,...,e n ) de E telle que : f (e i ) = e i si i r et f (e i ) = si i > r. Déterminer la matrice de f dans cette base. [9] Exercice Trouver toutes les matrices de M (R) qui vérifient. M = ;. M = M ;

3 . M = I. Indication [475] Exercice Soit f l application de R n [X] dans R[X] définie en posant pour tout P(X) R n [X] : f (P(X)) = P(X + ) + P(X ) P(X).. Montrer que f est linéaire et que son image est incluse dans R n [X].. Dans le cas où n =, donner la matrice de f dans la base,x,x,x. Déterminer ensuite, pour une valeur de n quelconque, la matrice de f dans la base,x,...,x n.. Déterminer le noyau et l image de f. Calculer leur dimension respective. 4. Soit Q un élément de l image de f. Montrer qu il existe un unique P R n [X] tel que : f (P) = Q et P() = P () =. [94] Exercice Pour toute matrice carrée A de dimension n, on appelle trace de A, et l on note tra, la somme des éléments diagonaux de A : tra = n a i,i i=. Montrer que si A, sont deux matrices carrées d ordre n, alors tr(a) = tr(a).. Montrer que si f est un endomorphisme d un espace vectoriel E de dimension n, M sa matrice par rapport à une base e, M sa matrice par rapport à une base e, alors trm = trm. On note tr f la valeur commune de ces quantités.. Montrer que si g est un autre endomorphisme de E, tr( f g g f ) =. [44] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr

4 Indication pour l exercice ( ) x f est l application qui à associe y ( ) x y. Indication pour l exercice 5 A est idempotente s il existe un n tel que A n = I (la matrice identité). A est nilpotente s il existe un n tel que A n = () (la matrice nulle). Indication pour l exercice Il faut trouver les propriétés de l application linéaire f associée à chacune de ces matrices. Les résultats s expriment en explicitant une (ou plusieurs) matrice M qui est la matrice de f dans une base bien choisie et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la forme M = P M P. Plus en détails pour chacun des cas :. Im f Ker f et discuter suivant la dimension du noyau.. Utiliser l exercice 9 : Ker f Im f et il existe une base telle que f (e i ) = ou f (e i ) = e i.. Poser N = I+M (et donc M = ) chercher à quelle condition M = I. 4

5 Correction de l exercice ( ) x L expression de f dans la base est la suivante f (x,y) = (x y,). Autrement dit à un vecteur on associe y ( ) x y le vecteur. On note que f est bien une application linéaire. Cette expression nous permet de calculer les matrices demandées. ( ) ( ) x x Remarque : comme est la base canonique on note pour qui est le vecteur x i + y j. y y. Calcul de Mat( f,,). Comme = ( i, j), la matrice s obtient en calculant f ( i) et f ( j) : ( ) ( ) ( ) ( ) f ( i) = f = = i f ( j) = f = = i donc Mat( f,,) = ( ). On garde la même application linéaire mais la base de départ change (la base d arrivée reste ). Si on note u = i j et v = i + j, on a = ( i j, i + j) = ( u, v). On exprime f ( u) et f ( v) dans la base d arrivée. donc f ( u) = f ( i j) = f ( ) = ( ) Mat( f,,) = f ( v) = f ( i + j) = f ( ) 5 ( ) = ( ) 5. Toujours avec le même f on prend comme base de départ et d arrivée, il s agit donc d exprimer f ( u) et f ( v) dans la base = ( u, v). Nous venons de calculer que ( ) ( ) ( ) ( ) 5 f ( u) = f ( i j) = f = = i f ( v) = f ( i + j) = f = = 5 i Mais il nous faut obtenir une expression en fonction de la base. Remarquons que { u = i j v = i + j = { i = u + v j = u + v Donc Donc f ( u) = f ( i j) = i = 6 u + v = Remarque : ( ) 6 f ( v) = f ( i + j) = 5 i = 5 u 5 v = Mat( f,, ) = ( ) x désigne le vecteur x u + y v. y ( ) ( ) 5 5 Correction de l exercice x. On note la base = (e,e,e ) et X = y = xe +ye +ze. La matrice A = Mat ( f ) est composée z des vecteurs colonnes φ(e i ), on sait φ(e ) = e = φ(e ) = e + e + e = φ(e ) = e = 5

6 donc A = x Le noyau de φ (ou celui de A) est l ensemble de X = y tel que AX =. z x y = AX = y = y = z x + y + z = Donc Kerφ = { x R x R } = Vect = Vect(e e ). Le noyau est donc de dimension. x. On applique le pivot de Gauss comme si c était un système linéaire : e e = f L e e = f L e + e + e = f L e e = f e + e = f f L L e = f + f L +L On en déduit e = f + f + f e = f + f e = f + f. Donc tous les vecteurs de la base = (e,e,e ) s expriment en fonction de ( f, f, f ), ainsi la famille ( f, f, f ) est génératrice. Comme elle a exactement éléments dans l espace vectoriel R de dimension alors = ( f, f, f ) est une base. φ( f ) = φ(e e ) = φ(e ) φ(e ) = e e = φ( f ) = φ(e e ) = φ(e ) φ(e ) = e ( e + e + e ) = e e = f φ( f ) = φ( e + e + e ) = φ(e ) + φ(e ) + φ(e ) = e + e + e = f Donc, dans la base = ( f, f, f ), nous avons φ( f ) = = φ( f ) = f = φ( f ) = f = Donc la matrice de φ dans la base est = φ est la projection sur Vect( f, f ) parallèlement à Vect( f ) (autrement dit c est la projection sur le plan d équation (x = ), parallèlement à l axe des x, ceci dans la base ). 6

7 4. P est la matrice de passage de vers. En effet la matrice de passage contient -en colonnes- les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l ancienne base. Si un vecteur a pour coordonnées X dans la base et X dans la base alors PX = X (attention à l ordre). Et si A est la matrice de φ dans la base et est la matrice de φ dans la base alors = P AP (Une matrice de passage entre deux bases est inversible.) Ici on calcule l inverse de P : P = donc = P AP = On retrouve donc bien les mêmes résultats que précédemment. Correction de l exercice Notons l ancienne base = (e,e,e ) et ce qui sera la nouvelle base = (e,e,e ). Soit P la matrice de passage qui contient -en colonnes- les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l ancienne base P = 4 On vérifie que P est inversible (on va même calculer son inverse) donc est bien une base. De plus 6 5 P = 4 et on calcule = P AP = est la matrice de f dans la base. Correction de l exercice 4 Nous associons à la matrice A son application linéaire naturelle f. Si = (e,e,...,e n ) est la base canonique de R n alors f (e ) est donné par le premier vecteur colonne, f (e ) par le deuxième, etc. Donc ici.. f (e ) = = e n, f (e ) = = e n,... et en général f (e i ) = e n+ i Calculons ce que vaut la composition f f. Comme une application linéaire est déterminée par les images des éléments d une base alors on calcule f f (e i ), i =,...,n en appliquant deux fois la formule précédente : f f (e i ) = f ( f (e i ) ) = f (e n+ i ) = e n+ (n+ i) = e i Comme f f laisse invariant tous les vecteurs de la base alors f f (x) = x pour tout x R n. Donc f f = id. On en déduit f = f et que la composition itérée vérifie f p = id si p est pair et f p = f si p est impair. Conclusion : A p = I si p est pair et A p = A si p est impair. Correction de l exercice 5 Soit A, tel que = P AP. 7

8 . Supposons A inversible, alors il existe A tel que A A = I et A A = I. Notons alors = P A P. On a = ( P AP ) ( P A P ) = P A ( PP ) A P = P AA P = P IP = I De même = I. Donc est inversible d inverse.. Supposons que A n = I. Alors Donc est idempotente. n = ( P AP ) n ( = P AP )( P AP ) (P AP ) = P A(PP )A(PP ) AP = P A n P = P IP = I. Si A n = () alors le même calcul qu au-dessus conduit à n = (). 4. Si A = λi alors = P (λi)p = λi P P = λi (car la matrice λi commute avec toutes les matrices). Correction de l exercice 6. Notons P la matrice de passage de la base canonique = ( (,),(,) ) vers (ce qui va être) la base = (e,e ). C est la matrice composée des vecteurs colonnes e et e : ( ) P = 5 detp = 4 donc P est inversible et ainsi est bien une base. Alors la matrice de f dans la base est : = P AP = ( )( Il est très facile de calculer la puissance d une matrice diagonale : ( ) n = ( ) n Comme A = PP on va en déduire A n :. Si l on note X n = ( xn y n Si l on note les conditions initiales X = )( ) = 5 ( ) A n = ( PP ) n = P n P = ( ) n n n n ) alors les équations que vérifient les suites s écrivent en terme matriciel : x n = 4 y n = 4 ( x y X n+ = AX n. ) R alors X n = A n X. On en déduit (( 6 n )x + (4 4 n )y ) ( ( n )x + ( 6 + n )y ) Correction de l exercice 7 Avant toute, un coup d œil sur la matrice nous informe de deux choses : (a) A n est pas la matrice nulle donc rg(a) ; (b) il y a lignes donc rg(a) (le rang est plus petit que le nombre de colonnes et que le nombre de lignes). 8

9 . Montrons de différentes façons que rg(a). Première méthode : sous-déterminant non nul. On trouve une sous-matrice dont le déterminant est non nul. Par exemple la sous-matrice extraite du coin en bas à gauche vérifie 5 4 = donc rg(a). Deuxième méthode : espace vectoriel engendré par les colonnes. On sait que l image de l application linéaire associée à la matrice A est engendrée par les vecteurs colonnes. Et le rang est la dimension de cette image. On trouve facilement deux colonnes linéairement indépendantes : la deuxième 4 et la troisième colonne. Donc rg(a). Troisième méthode : espaces vectoriel engendré par les lignes. Il se trouve que la dimension de l espace vectoriel engendré par les lignes égal la dimension de l espace vectoriel engendré par les colonnes (car rg(a) = rg( t A)). Comme les deuxième et troisième lignes sont linéairement indépendantes alors rg(a). Attention : les dimensions des espaces vectoriels engendrés sont égales mais les espaces sont différents!. En utilisant la dernière méthode : le rang est exactement si la première ligne est dans le sous-espace engendré par les deux autres. Donc rg(a) = (a,,,b) Vect { (,,, 4),(5,4,,) } λ,µ R λ,µ R (a,,,b) = λ(,,, 4) + µ(5,4,,) λ + 5µ = a 4µ = λ µ = 4λ + µ = b λ = µ = a = b = Conclusion la rang de A est si (a,b) = (,). Sinon le rang de A est. Correction de l exercice 8. (a) Commençons par des remarques élémentaires : la matrice est non nulle donc rg(a) et comme il y a p = 4 lignes et n = colonnes alors rg(a) min(n, p) =. (b) Ensuite on va montrer rg(a) en effet le sous-déterminant (extrait du coin en haut à gauche) : 4 = est non nul. (c) Montrons que rg(a) =. Avec les déterminants il faudrait vérifier que pour toutes les sous-matrices les déterminants sont nuls. Pour éviter de nombreux calculs on remarque ici que les colonnes sont liées par la relation v = v + v. Donc rg(a) =. (d) L application linéaire associée à la matrice A est l application f A : R R 4. Et le théorème du rang dimker f A + dimim f A = dimr donne ici dimker f A = rg(a) =. Mais la relation v = v +v donne immédiatement un élément du noyau : en écrivant v v +v = alors A = Donc Ker f A. Et comme le noyau est de dimension alors Ker f A = Vect 9

10 (e) Pour un base de l image, qui est de dimension, il suffit par exemple de prendre les deux premiers vecteurs colonnes de la matrice A (ils sont clairement non colinéaires) : Im f A = Vect{v,v } = Vect 5, 7. On fait le même travail avec et f. (a) Matrice non nulle avec 4 lignes et 4 colonnes donc rg() 4. (b) Comme le sous-déterminant (du coin supérieur gauche) 4 = est non nul alors rg(). (c) Et pareil avec le sous-déterminant : 4 = qui est non nul donc rg(). (d) Maintenant on calcule le déterminant de la matrice et on trouve det =, donc rg() < 4. Conclusion rg() =. Par le théorème du rang alors dimker f =. (e) Cela signifie que les colonnes (et aussi les lignes) sont liées, comme il n est pas clair de trouver la relation à la main on résout le système X = pour trouver cette relation ; autrement dit : 7 x x + y z + 7t = 4 4 y z = 4x + y z + t = ou encore y + z 4t = t x + y z + t = Après résolution de ce système on trouve que les solutions s écrivent (x, y, z, t) = ( λ, λ, λ, λ). Et ainsi Ker f = Vect Et pour une base de l image il suffit, par exemple, de prendre les premiers vecteurs colonnes v,v,v de la matrice, car ils sont linéairement indépendants : Im f = Vect{v,v,v } = Vect 4,, Correction de l exercice 9. Nous devons montrer Ker f Im f = {} et Ker f + Im f = E. (a) Si x Ker f Im f alors d une part f (x) = et d autre part il existe x E tel que x = f (x ). Donc = f (x) = f ( f (x ) ) = f (x ) = x donc x = (on a utilisé f f = f ). Donc Ker f Im f = {}. (b) Pour x E on le réécrit x = x f (x) + f (x). Alors x f (x) Ker f (car f ( x f (x) ) = f (x) f f (x) = ) et f (x) Im f. Donc x Ker f + Im f. Donc Ker f + Im f = E. (c) Conclusion : E = Ker f Im f.

11 . Notons r le rang de f : r = dimim f. Soit {e,...,e r } une base de Im f et soit {e r+,...,e n } une base de Ker f. Comme E = Ker f Im f alors (e,...,e n ) est une base de E. Pour i > r alors e i Ker f donc f (e i ) =. Comme f f = f alors pour n importe quel x Im f on a f (x) = x : en effet comme x Im f, il existe x E tel que x = f (x ) ainsi f (x) = f ( f (x ) ) = f (x ) = x. En particulier si i r alors f (e i ) = e i.. La matrice de f dans la base (e,...,e n ) est donc : ( I ) () () () où I désigne la matrice identité de taille r r et les () désignent des matrices nulles. Correction de l exercice. Soit M une matrice telle que M = et soit f l application linéaire associée à M. Comme M = alors f f =. Cela entraîne Im f Ker f. Discutons suivant la dimension du noyau : (a) Si dimker f = alors f = donc M = (la matrice nulle). (b) Si dimker f = alors prenons une base de R formée de deux vecteurs du noyau et d un troisième a vecteur. Dans cette base la matrice de f est M = b mais comme f f = alors M = ; c un petit calcul implique c =. Donc M et M sont les matrices de la même application linéaire f mais exprimées dans des bases différentes, donc M et M sont semblables. (c) Si dimker f = alors comme Im f Ker f on a dimim f mais alors cela contredit le théorème du rang : dimker f + dimim f = dimr. Ce cas n est pas possible. (d) Conclusion : M est une matrice qui vérifie M = si et seulement si il existe une matrice inversible P et des réels a,b tels que a M = P b P. On va s aider de l exercice 9. Si M = M et f est l application linéaire associée alors f f = f. On a vu dans l exercice 9 qu alors Ker f Im f et que l on peut choisir une base (e,e,e ) telle que f (e i ) = e i puis f (e i ) =. Suivant la dimension du noyau cela donne que la matrice M de f dans cette base est A = A = A = A =. Maintenant M est semblable à l une de ces matrices : il existe P inversible telle que M = P M P où M est l une des quatre matrices A i ci-dessus. Géométriquement notre application est une projection (projection sur une droite pour la seconde matrice et sur un plan pour la troisième).. Posons N = I+M et donc M = N I. Alors M = I (N I) = I 4N 4N I = I N = N. Donc par la deuxième question N est semblable à l une des matrice A i : N = P A i P. Donc M = P A i P I = P (A i I)P. Ainsi M est semblable à l une des matrices A i I suivantes :. Ce sont des matrices de symétrie (par rapport à l origine pour la première matrice, par rapport à une droite pour la seconde matrice et par rapport à un plan pour la troisième).

12 L idée de poser N = I+M est la suivante : si M = I alors géométriquement l application linéaire s associée à M est une symétrie, alors que si N = N alors l application linéaire p associée est une projection. Et projection et symétrie sont liées par p(x) = x+s(x) (faites un dessin!) c est-à-dire p = id+s ou encore N = I+M. Correction de l exercice. Il est facile de voir que f (λp+ µq) = λ f (P)+ µ f (Q) donc f est linéaire, de plus, P étant un polynôme de degré n alors f (P) aussi.. Pour n = on calcule l image de chacun des éléments de la base : f () = + =, f (X) = (X + ) + (X ) X =, f (X ) = (X + ) + (X ) X =, f (X ) = (X + ) + (X ) X = 6X. Donc la matrice de f dans la base (,X,X,X ) est 6 Pour le cas général on calcule Donc la matrice est f (X p ) = (X + ) p + (X ) p X p p ( ) p = X k p ( ) p + k= k X k ( ) p k X p k= k ( ) p = X k p k pair et k<p k ( ) ( ) p ( ) ( ) p+ ( ) p ( ) p Dans cet exemple de matrice, p est pair. Chaque colonne commence en alternant une valeur nulle/une valeur non-nulle jusqu à l élément diagonal (qui est nul).. Nous savons que f () = et f (X) = donc et X sont dans le noyau Ker f. Il est aussi clair que les colonnes de la matrices f (X ),, f (X n ) sont linéairement indépendantes (car la matrice est échelonnée). Donc Im f = Vect{ f (X ), f (X ),..., f (X n )} et dimim f = n. Par la formule du rang dimker f + dimim f = dimr n [X] donc dimker f =. Comme nous avons déjà deux vecteurs du noyau alors Ker f = Vect{,X}. 4. (a) Soit Q Im f. Il existe donc R R n [X] tel que f (R) = Q. On pose ensuite P(X) = R(X) R() R ()X. On a tout fait pour que P() = et P () =. De plus par la linéarité de f et son noyau alors f (P) = f ( R(X) R() R ()X ) = f ( R(X) ) R() f () R () f (X) = f (R) = Q. Donc notre polynôme P convient.

13 (b) Montrons l unicité. Soient P et P tels que f (P) = f ( P) = Q avec P() = P () = = P() = P (). Alors f (P P) = Q Q = donc P P Ker f = Vect{,X}. Ainsi P P s écrit P P = ax + b. Mais comme (P P)() = alors b =, et comme (P P) () = alors a =. Ce qui prouve P = P. Correction de l exercice. Notons C = A et D = A. Alors par la définition du produit de matrice : Ainsi De même c i j = k n a ik b k j donc c ii = a ik b ki k n tr(a) = trc = c ii = i n tr(a) = trd = i n k n i n k n b ik a ki a ik b ki Si dans cette dernière formule on renomme l indice i en k et l indice k en i (ce sont des variables muettes donc on leur donne le nom qu on veut) alors on obtient : tr(a) = k n i n b ki a ik = i n k n a ik b ki = tr(a). M et M sont semblables donc il existe une matrice de passage P telle que M = P MP donc. La trace a aussi la propriété évidente que trm = tr ( P (MP) ) = tr ( (MP)P ) = tr(mi) = trm tr(a + ) = tra + tr. Fixons une base de E. Notons A la matrice de f dans cette base et la matrice de g dans cette même base. Alors A est la matrice de f g et A est la matrice de g f. Ainsi la matrice de f g g f est A A Donc tr( f g g f ) = tr(a A) = tr(a) tr(a) =.