Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

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1 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation variationelle, c est à dire dont la solution u est aussi solution du problème (V) Trouver u X tel que a(u, v) = L(v) pour tout v X, où X est un espace de Hilbert, a une forme bilinéaire sur X X, et L une forme linéaire sur X. Ces formulations sont importantes pour les raisons suivantes: 1. De nombreux problèmes issus de la physique et de la mécanique admettent de telles formulations, et celles-ci reflettent souvent une propriété fondamentale du modèle, typiquement la minimisation d une énergie sous-jacente. 2. Ces formulations donnent accès à des résultats fondamentaux sur le caractère bien posé de l équation, c est à dire l existence et l unicité de la solution, et la stabilité de cette solution par rapport à des perturbations des données. 3. Elles sont à la base de méthodes performantes pour l approximation numérique des solutions, par la résolution d un problème approché: trouver u h X h tel que a(u h, v h ) = L(v h ) pour tout v h X h, où X h est un sous-espace de dimension finie de X. Le cours se concentre autour de ce dernier aspect qui pose la question du contrôle de l erreur u u h entre la solution exacte et la solution approchée. On s interessera tout particulièrement à la méthode des éléments finis dans laquelle les fonctions de X h sont polynomiales par morceaux sur une partition du domaine de la solution de l équation. Ces notes contiennent la totalité des résultats du cours sous une forme relativement condensée. En particulier, les démonstrations les plus simples sont esquissées ou laissées en exercice. Ces notes sont mises à jour et corrigées en temps réel. Toutes les remarques permettant d en améliorer la rédaction peuvent être envoyées à l adresse 1

2 1 Formulations et approximations variationelles 1.1 Un exemple fondamental Nous allons illustrer le passage à une formulation variationelle sur l exemple simple mais important du problème du laplacien (ou équation de Poisson): on cherche une fonction u telle que u = f dans et u = 0, (1.1) où désigne un ouvert borné de IR d, désigne la frontière de et f est une fonction définie sur. Il est important de faire des hypothèses supplémentaires sur la régularité géométrique du domaine. Définition Le domaine est dit lipschitzien si il existe une une famille finie de boules ouvertes (B i ) i=1,,n telle que n i=1 B i et sur chaque B i il existe un système de coordonnées (x 1,, x d ) et une fonction ψ i lipschitzienne telle que B i = {(x 1,, x d ) B i ; x d < ψ i (x 1,, x d 1 )}. (1.2) Intuitivement cela signifie que la frontière de peut-être vue localement comme le graphe d une fonction lipschitzienne. La pluspart des domaines classiques - en particulier les polygones en dimension 2 et presque tous les polyhèdres en dimension 3 - sont lipschitziens. Des exemples de domaines non-lipschitziens sont ceux dont la frontière présente des points de rebroussement, ou une fissure rentrant dans le domaine. On peut aussi définir des domaines plus réguliers: on dira que est de classe C m,1 lorsque les fonctions ψ i sont C m et leurs dérivées partielles d ordre m sont lipschitziennes. Tous les domaines considérés dans ce cours seront au minimum de type lipschitzien. Afin de donner un sens à l équation (1.1) il faut préciser l espace dans lequel on cherche la solution. Un premier choix intuitivement possible est de chercher u dans C 2 en supposant alors f continue. En multipliant l équation par une fonction v arbitraire de classe C 1, et en intégrant sur le domaine, on obtient u v = fv, (1.3) et en appliquant la formule de Green u v 2 u n v = fv, (1.4)

3 où u n = u n est la dérivée normale de u, avec n le vecteur unitaire normal extérieur au bord. Dans le cas d un domaine lipschitzien, cette normale est définie en presque tout point de et la formule de Green s applique. En supposant de plus que v s annulle au bord on obtient ainsi u v = fv. (1.5) L équation ci-dessus garde un sens lorsque u est seulement de classe C 1. En introduisant l espace X = {v C 1 ; v = 0}, on obtient ainsi que toute solution de (1.1) est aussi solution de la formulation variationelle avec a(u, v) := Trouver u X tel que a(u, v) = L(v) pour tout v X, (1.6) u v = u, v L 2 et L(v) := fv = f, v L 2, (1.7) (dans l ensemble du cours, on ne considère que des fonctions à valeurs réelles, ce qui explique l absence de quantités conjuguées dans la définition du produit scalaire). On voit aisément que a est bilinéaire sur X X et L est linéaire sur X. Remarque La formulation variationelle nous permet aisément d obtenir un résultat d unicité pour l équation, en prouvant, ce qui est équivalent, que u = 0 si f = 0. En effet, en prenant dans ce cas v = u dans (1.6), on obtient u = 0, donc u est constante et forcément nulle puisque u = 0. Remarque Il est important de vérifier que réciproquement, toute solution suffisament régulière de (1.6) est aussi solution de la formulation initiale (1.1). En supposant u de classe C 2 et solution de (1.6), on obtient en appliquant la formule de Green dans le sens inverse que ( u + f)v = 0, pour tout v X, (1.8) qui implique immédiatement que u = f (exercice: on peut au choix évoquer l égalité u + f = 0 au sens des distribution, ou la densité de X dans L 2 (), ou prouver directement que u + f est nul en tout point de ). 3

4 Remarque Il est assez naturel que l espace X où l on cherche la solution soit le même que celui que parcours les fonctions v. Remarquons que si X est un espace de dimension finie, toute équation de type (1.6) peut se reformuler sous la forme d une équation linéaire Au = f où A est l unique endomorphisme de X tel que a(u, v) = Au, v et f l unique élément de X tel que L(v) = f, v, avec, un produit scalaire fixé dans X. Dans un tel cas, l unicité de la solution signifie que A est injective et donc un isomorphisme ce qui assure l existence d une solution. Cependant nous travaillons ici en dimension infinie et ce raisonement n est plus valable. L existence de la solution de (1.6) va découler de la théorie de Lax-Milgram. 1.2 Théorie de Lax-Milgram Dans cette section, on considère un problème général pouvant se mettre sous la forme variationelle (V) Trouver u X tel que a(u, v) = L(v) pour tout v X, Le théorème de Lax-Milgram apporte une réponse à l existence, l unicité et la stabilité de la solution dans un cadre précis. Théorème On suppose que X est un espace de Hilbert et que les formes a et L vérifient les hypothèses suivantes: 1. Continuité de L : L(v) C L v X pour tout v X. 2. Continuité de a : a(u, v) C a u X v X pour tout u, v X. 3. Coercivité de a : a(u, u) α u 2 X pour tout u X, avec α > 0. Alors il existe une solution unique u au problème (V ) qui vérifie l estimation a-priori u X L X α, (1.9) avec L X = sup v X =1 L(v) la norme de L dans le dual X de X. Preuve: L estimation à postériori s établit en prenant v = u dans (V) puis en appliquant la continuité de L et la coercivité de a ce qui donne α u 2 X C L u X. (1.10) 4

5 Il suffit alors de prendre C L = L X. Cette estimation nous donne aussi l unicité de la solution. Pour l existence, considérons d abord le cas simple où a est une forme symétrique. Dans ce cas, la continuité et la coercivité de a montrent qu il s agit d un produit scalaire sur X X et que la norme v a := a(v, v) est équivalente à la norme X. Puisque L est continue, elle l est aussi par rapport à a et le théorème de représentation de Riesz nous assure donc l existence d un unique u X tel que L(v) = a(u, v) pour tout v X. Dans le cas non-symétrique, on remarque que puisque v a(u, v) et v L(v) sont continues, on peut écrire a(u, v) = Au, v et L(v) = f, v où A est un opérateur continu sur X, f X et, un produit scalaire dans X. L équation (V) s écrit donc Au = f dans X. L hypothèse de coercivité nous permet d affirmer que α v X Av X, (1.11) pour tout v X, ce qui entraine que Im(A) est un sous-espace fermé de X qui se décompose donc suivant X = Im(A) (Im(A)). Considérons à présent w (Im(A)). La coercivité nous montre que α w 2 X a(w, w) = Aw, w = 0. (1.12) Par conséquent Im(A) = X ce qui prouve l existence de la solution u. Remarque Bien qu un espace de Hilbert s identifie avec son dual, il sera souvent pertinent de distinguer X et X. On écrit donc plutôt a(u, v) = Au, v X,X et L(v) = f, v X,X où A est un opérateur continu de X dans X, f X et, X,X le produit de dualité entre X et X. L équation (V) s écrit alors Au = f dans X et le théorème de Lax-Milgram montre que A est isomorphisme de X dans X. Remarque Dans le cas où la forme a est symétrique, on vérifie que toute solution u de (V) est aussi un minimiseur sur X de la fonctionelle J(v) := 1 a(v, v) L(v). (1.13) 2 On pourra vérifier (exercice) que la propriété de coercivité est alors équivalente à la propriété dite de α-convexité J( v + w J(v) + J(w) ) α v w 2 X, (1.14) 5

6 et que toute fonction α-convexe continue sur un espace de Hilbert atteint un minimum qui est unique (indication: prouver que les suites minimisantes sont de Cauchy). Si l on revient à présent au problème du laplacien (1.1) et à sa formulation variationelle (1.6) dans l espace X = {v C 1 ; v = 0}, on voit que v X := v L 2, (1.15) définit une norme sur X telle que les propriétés de continuité et de coercivité sont trivialement satisfaites par a. La continuité de L(v) = f, v L 2 est une conséquence de l inégalité de Poincaré: si est un domaine lipschitzien borné, il existe une constante C P telle que pour toute fonction f de X on a v L 2 C P v L 2. (1.16) En appliquant successivement l inégalité de Cauchy-Schwarz et l inégalité de Poincaré on a donc L(v) f L 2 v L 2 C L v X, (1.17) avec C L = C P f L 2. Toutes les conditions du théorème de Lax-Milgram sont vérifiées à l exception du fait que X muni de la norme définie ci-dessus n est pas un espace complet. Il est donc nécessaire d introduire un cadre fonctionnel mieux approprié. Celui-ci se fonde sur les espaces de Sobolev. 1.3 Rappels sur les espaces de Sobolev Pour m entier positif, 1 p et un domaine ouvert de IR d on définit les dérivées D α v = W m,p () := {v L p () ; D α v L p (), α m}, (1.18) α v x α 1 1 xα d d étant prises au sens des distributions avec la notation usuelle α = α α d. Autrement dit v W m,p () si et seulement si pour tout α m, il existe v α L p () telle que v α ϕ = ( 1) α vd α ϕ, (1.19) pour tout ϕ D() où D() est l ensemble des fonctions C à support compact dans, et on note alors v α = D α v. Lorsque 1 < p <, une autre 6

7 façon équivalente d exprimer ceci est d affirmer que pour tout α m, il existe une constante C α telle que vd α ϕ C α ϕ L p, (1.20) avec 1/p + 1/p = 1 (exercice). Pour m = 0 on pose W 0,p = L p On munit W m,p () de la norme ( v W m,p := et on définit aussi la semi-norme par α m ( v W m,p := α =m D α v p L p ) 1/p, (1.21) D α v p L p ) 1/p, (1.22) de sorte que v W m,p = ( v p W m 1,p + v p W m,p ) 1/p. Dans le cas p = ces définitions sont modifiées en remplacant les norme l p par des max. En partant de ces définitions et en utilisant le fait que L p () est complet, on démontre facilement le résultat suivant. Théorème W m,p () muni de sa norme est un espace de Banach. Dans le cas p = 2 qui nous intéresse plus particulièrement on pose H m () := W m,2 (). La norme H m dérive du produit scalaire v, w H m := α m D α u, D α v L 2, (1.23) et par conséquent H m est un espace de Hilbert. La définition de W m,p () montre facilement que si v W m,p (IR d ) alors sa restriction à est dans W m,p (). Une question plus délicate est de savoir si toute fonction de W m,p () est la restriction d une fonction de W m,p (IR d ). Nous admettrons le résultat difficile suivant du à Stein. Théorème Si est un domaine lipschitzien, il existe un opérateur linéaire d extension E borné de W m,p () dans W m,p (IR d ), c est à dire tel que pour tout v W m,p (), la restriction de Ev à est égale à v et Ev W m,p (IR d ) C v W m,p (). 7

8 A titre d exercice on pourra essayer de montrer que ce théorème est faux dans un domaine non-lipschitzien présentant une fissure. Rappelons quelques résultats importants sur la densité des fonctions régulières dans les espaces de Sobolev : si est un ouvert lipschitzien, D() est dense dans W m,p () pour p < +, où D() désigne l ensemble des restrictions à des fonctions C. Ce théorème peut se démontrer d abord sur IR d par des opérations de troncature et de régularisation, puis sur en utilisant le théorème de prolongement Il faut bien noter que D() diffère de D() qui n est pas dense dans W m,p (), sauf si = IR d ou si m = 0 ce qui correspond à la densité de D() dans L p (). D autre part, tous ces résultats de densité sont faux dans le cas p =. Rappelons à présent les résultats concernant la restriction au bord ou trace des fonctions des espaces de Sobolev : si est un ouvert lipschitzien alors l opérateur γ 0 qui à une fonction régulière u définie sur associe sa restriction γ 0 u au bord vérifie l estimation γ 0 u L 2 ( ) C u H 1 (). (1.24) Cette estimation se prouve facilement dans le cas où est le demi-espace IR d 1 IR + (exercice), le passage à un ouvert plus général est technique et utilise les ouverts recouvrant la frontière de dans la définition Par un argument de densité ceci montre que la trace γ 0 définit un opérateur continu de H 1 () dans L 2 ( ). Remarquons que la trace d une fonction de L 2 () n a en général pas de sens puisque le est un ensemble de mesure nulle. La continuité de l opérateur de trace permet de définir l espace H 1 0 () := {v H 1 () ; γ 0 v = 0}, (1.25) qui est un sous-espace hilbertien de H 1 (). On peut vérifier que D() est dense dans H0 1 () qui peut ainsi être défini de manière équivalente comme la fermeture de D() au sens de la norme H 1. Ceci entraine en particulier la validité de l inégalité de Poincaré (1.16) pour les fonctions de H0 1 (). Cette inégalité nous indique que la semi-norme v L 2 est une norme équivalente à la norme H 1 sur H0 1(). On la désigne parfois comme norme H1 0 et on note donc v H 1 = v 0 H 1 = v L 2. (1.26) On désigne par H 1 () l espace dual de H0 1 () muni de la norme v H 1 := sup v, w H 1,H 1. (1.27) 0 w H 1 =1 0 8

9 Lorsque v est une fonction de L 2 (), on l identifie à un élément de H 1 () en utilisant la forme linéaire définie par le produit scalaire L 2, c est à dire v H 1 := sup vw. (1.28) w H 1 =1 0 On a ainsi la chaine d inclusion H 1 0 () L 2 () H 1 (). (1.29) Remarque Quand = IR d la densité de D() montre que H 1 0 (IRd ) = H 1 (IR d ) et (H 1 (IR d )) = H 1 (IR d ). En revanche si est borné lipschitzien ces espaces diffèrent, et l espace (H 1 ()) n est pas un espace de distribution (par exemple v γ 0v est dans cet espace mais s annulle sur toutes les fonctions de D()). Les espaces de Sobolev peuvent aussi être définis pour des indices de régularité non-entier. Définition Pour un domaine de IR d, m < s < m+1 et 1 p <, W s,p () est l ensemble des fonctions v de W m,p () telles que v p W s,p := D α v(x) D α v(y) p x y (s m)p+d dx dy < +, (1.30) α =m Cet espace est muni de la norme v W s,p := ( v p W m,p + v p W s,p ) 1/p Dans le cas p = 2 et = IR d, on peut aussi définir H s (IR d ) de manière équivalente en utilisant la transformée de Fourier : v H s (IR d ) si et seulement si (1 + ω s )ˆv L 2 (IR d ). Dans le cas p = on remplace (1.30) par la condition de Hölder D α v(x) D α v(y) C x y s m pour α = m et on note W s, = C s. Ces espaces ont propriétés similaires à celles énoncées pour les espaces d indices entiers : complétude par rapport à leur norme, opérateur d extension, densité des fonctions régulières. L espace H 1/2 joue un rôle important dans l étude de l opérateur de trace, comme l indique le résultat admis suivant. Théorème Soit un domaine lipschitzien. L image de H 1 () par l opérateur de trace γ 0 est l espace H 1/2 ( ). On peut définir une norme sur H 1/2 ( ) par v H 1/2 ( ) := inf w γ 0 w=v H 1 (), (1.31) 9

10 qui est équivalente à la norme H 1/2 obtenue par la définition adaptée à. Il existe un opérateur de relevement R linéaire et continu de H 1/2 ( ) dans H 1 () tel que γ 0 R(v) = v pour tout v H 1/2 ( ). On définit H 1/2 ( ) l espace dual de H 1/2 ( ). Cet espace joue un rôle naturel dans la définition de la trace de la dérivée normale. On note γ 1, l opérateur qui à u associe la fonction u n définie sur. Théorème Soit u H 1 () telle que u L 2 (), alors γ 1 u définit un élément de H 1/2 (). Preuve : En effet, si u est suffisament régulière et v H 1/2 ( ), la formule de Green donne (γ 1 u)v = u R(v) + ur(v). (1.32) En utilisant l inégalité de Schwarz, on obtient donc (γ 1 u)v ( u 2 L 2 + u 2 L 2)1/2 R(v) H 1, (1.33) puis par le théorème (γ 1 u)v ( u 2 L 2 + u 2 L 2)1/2 v H 1/2, (1.34) ce qui montre que γ 1 u H 1/2 ( u 2 L 2 + u 2 L 2 ) 1/2. Terminons par quelques remarques sur les relations d inclusions entre espaces de Sobolev. On a de manière évidente W m,p () W n,p () si m n, ainsi W m,p () W m,q () si p > q et est borné. On rappelle aussi le théorème de Rellich. Théorème Si est borné et m > n, l injection de W m,p () dans W n,p () est compacte : toute suite bornée pour la norme W m,p admet une sous-suite convergente en norme W n,p. Des inclusions plus générales s expriment par les injections de Sobolev : pour un domaine IR d borné lipschitizien, m n et m n > d/p d/q on a l injection W m,p () dans W n,q () et cette injection est compacte si m > n. Le cas critique m n = d/p d/q est à manipuler avec précaution, 10

11 l injection étant vraie si q < mais pouvant être fausse si q = et n est entier. Par exemple, en dimension d = 2 l espace H 1 () s injecte dans L q () pour tout q < mais pas dans L, en revanche l espace W 2,1 () s injecte dans L (exercice). On peut vérifier que les injections de Sobolev ne sont jamais compactes dans le cas critique (exercice). 1.4 Exemples de formulations variationelles Voici à présent quelques exemples d application de la théorie de Lax-Milgram dans les espaces de Sobolev pour des équations aux dérivées partielles mises sous forme variationelle. Exemple 1. Equation du laplacien On a déjà vu en section 1.1 la mise sous forme variationelle de l équation du laplacien (1.1). Dans ce cas on travaille avec l espace de Sobolev X = H0 1(), et toutes les hypothèses du théorème de Lax-Milgram sont vérifiées. Le laplacien définit ainsi un isomorphisme de H0 1() dans H 1 () et on a l estimation a-priori u H 1 f 0 H 1. (1.35) Si f est dans L 2, on peut aussi écrire u H 1 0 C P f L 2, (1.36) où C P est la constante de l inégalité de Poincaré qui s étend aux fonctions de H0 1 (). Intuitivement la solution u du laplacien gagne deux ordres de dérivabilité par rapport à la donnée f. Ceci est confirmé par le résultat admis suivant. Théorème Soit un domaine C 1,1 ou un domaine convexe. Alors si f L 2 (), la solution u de la formulation variationelle de (1.1) est dans H 2 et il existe une constante C qui ne dépend que de telle que u H 2 C f L 2. (1.37) Plus généralement, si est de classe C m+1,1 alors f H m () implique u H m+2 (). On verra par la suite que ce résultat n est pas valide pour des domaines moins réguliers. 11

12 Exemple 2. Laplacien avec conditions non-homogènes Considérons à présent le problème de Laplace avec une donnée de Dirichlet non-homogène au bord. u = f dans et γ 0 u = g, (1.38) On peut reformuler cette équation en considérant un relèvement R(g) de g, et en écrivant u = ũ + R(g). On voit ainsi que ũ s annulle au bord et est solution de l équation ũ = f + R(g), (1.39) que l on peut mettre sous la forme variationelle suivante : trouver ũ H0 1() tel que ũ v = fv R(g) v pour tout v H0 1 (). (1.40) On peut vérifier que le choix du relèvement ne change rien à la solution de (1.40). On voit que dans cette formulation variationelle on peut supposer g H 1/2 ( ) et utiliser le théorème 1.3.5, ce qui montre que la forme lineaire du membre de droite est bornée suivant L(v) v H 1 0 ( f H 1 + g H 1/2). (1.41) On obtient ainsi ũ H 1 0 f H 1 + g H 1/2 et finalement en ajoutant R(g), u H 1 f H g H 1/2. (1.42) On voit ainsi que u ( u, γ 0 u) définit un isomorphisme de H 1 () sur H 1 () H 1/2 ( ). Exemple 3. Coefficients variables On peut généraliser l équation du laplacien en introduisant des coefficients variables : σu div(a. u) = f dans et γ 0 u = 0, (1.43) où σ L () est une fonction positive, et A est une fonction de à valeur dans l ensemble des matrices symétriques définies positives d d, telle que les valeurs propres maximales et minimales de A(x) vérifient 0 < α λ min (A(x)) λ max (A(x)) C, (1.44) 12

13 où α et C sont indépendantes de x. La forme bilinéaire est alors donnée par a(u, v) = σuv + A u v, (1.45) et les hypothèses de Lax-Milgram dans H0 1 () découlent aisément de la propriété (1.44). Exemple 5. Equation de convexion diffusion On considère l équation u + b u = f dans et γ 0 u = 0, (1.46) où b(x) est un champ de vecteur, i.e. une application de à valeur dans IR d que l on suppose de classe C 1 et uniformément bornée sur et telle que div(b(x)) = 0, x. (1.47) La formulation variationelle est alors : trouver ũ H0 1 () tel que u v + (b u)v = fv pour tout v H0 1 (). (1.48) Dans ce cas, la forme bilinéaire n est pas symétrique. Il est facile de vérifier sa continuité sur H0 1. Pour la coercivité, on utilise la condition de divergence nulle de b qui implique div(buv) = (b u)v + (b v)u, ce qui entraine l antisymétrie du terme β(u, v) = (b u)v. Il s en suit que a(u, u) = u 2 L et la coercivité est donc vérifiée. 2 Exemple 6. Problème de Neumann Le problème u + u = f dans et γ 1 u = g, (1.49) peut se mettre sous forme variationelle en multipliant par une fonction arbitraire de H 1 () et en appliquant la formule de Green. En remplacant u n par sa valeur au bord, on obtient ainsi : trouver u H 1 () tel que u v + uv = fv + gγ 0 v pour tout v H 1 (). (1.50) Notons que la condition de Neumann aux limites n apparait plus dans l espace dans lequel on travaille, mais elle est implicitement contenue dans la formulation variationelle. En effet si u est suffisament régulière, en considérant 13

14 d abord v H0 1() dans (1.50), on élimine le terme gv et on retrouve l équation (1.49), puis on obtient que pour tout v H 1 () on a ( u n g)γ 0v = 0, (1.51) ce qui entraine la validité de la condition aux limites. Il convient de préciser dans quel espace on choisit la donnée f et la condition au bord g. Au vu du théorème 1.3.4, on prend f L 2 et f H 1/2 (), ce qui entraine la continuité sur H 1 () de la forme linéaire dans (1.50). La continuité et la coercivité de la forme bilinéaire est immédiate, et les hypothèses de Lax-Milgram sont donc vérifiées. Exemple 7. Laplacien avec conditions de Neumann Toujours avec f L 2 () et g H 1/2 () on considère le problème u = f dans et γ 1 u = g, (1.52) On fait ici l hypothèse supplémentaire que est connexe. La solution de ce problème est définie à une constante près. Afin de lever cette indétermination, on va chercher u dans l espace quotient H 1 ()/IR := {u H 1 () ; u = 0}. (1.53) On vérifie aisément que cet espace est un sous espace hilbertien de H 1 (). Comme H0 1 (), on peut le munir de la norme v H 1 /IR := v L2. (1.54) On remarque que les données de l équation ne sont pas indépendantes : on a nécessairement f + g = u + γ 1 u = 0. (1.55) Sous cette hypothèse, examinons la formulation variationelle : trouver u dans H 1 ()/IR telle que u v = fv + gγ 0 v pour tout v H 1 ()/IR. (1.56) En utilisant la relation entre f et g, on voit que l égalité dans (1.56) est automatiquement vérifiée pour tout v H 1 puisqu on peut lui ajouter 14

15 n importe quelle constante. Cela permet de montrer en raisonnant comme dans l exemple précédent qu une solution u suffisament régulière de (1.56) est aussi solution de (1.52). La continuité et la coercivité de la forme bilinéaire est immédiate pour la norme de H 1 ()/IR. La continuité de la forme linéaire utilise le résultat suivant qui est l analogue de l inégalité de Poincaré pour les fonctions de moyenne nulle. Théorème Soit borné, lipschitzien et connexe. Il existe une constante C Q qui ne dépend que du domaine telle que pour tout v H 1 ()/IR v H 1 C Q v L 2. (1.57) Preuve : On procède par contradiction. Si le résultat est faux, il existe une suite (v n ) n>0 telle que v n H 1 ()/IR, v n H 1 = 1 et v n L 2 tends vers 0. Par le théorème de Rellich on peut extraire une sous suite w n qui converge vers w dans L 2 (). Puisque w n L 2 tends vers 0 on en déduit que c est une suite de Cauchy dans H 1 () et qui converge donc vers w dans H 1 (). Par passage à la limite on voit que w L 2 = 0, w H 1 ()/IR et w H 1 = 1. La première propriété montre que w est constante puisque est connexe. D après la deuxième propriété on a donc w = 0 ce qui est en contradiction avec la troisième propriété. Remarque On remarque que ce résultat est faux pour un ouvert nonconnexe, en prenant une fonction constante par morceaux sur chaque composante et de moyenne nulle. Remarque On peut aussi utiliser ce mode de raisonnement pour démontrer l inégalité de Poincaré sur H0 1 () (exercice). On peut à présent écrire fv + gγ 0v f L 2 v L 2 + g H 1/2 γ 0 v H 1/2 C Q f L 2 v L 2 + g H 1/2 v H 1 C Q ( f L 2 + g H 1/2) v L 2. La continuité de la forme linéaire est ainsi démontrée et le théorème de Lax- Milgram s applique. 15

16 Exemple 8. Bi-Laplacien La formulation variationelle du problème utilise le sous-espace espace hilbertien de H 2 () 2 u = f, γ 0 u = γ 1 u = 0, (1.58) H 2 0 () := {v H 2 () ; γ 0 v = γ 1 v = 0}, (1.59) qui est aussi la fermeture de D() pour la norme H 2. En appliquant deux fois la formule de Green, on obtient la formulation variationelle : trouver u H0 2 () telle que u v = fv pour tout v H0 2 (). (1.60) On vérifie aisément que toute solution de (1.60) suffisament régulière est aussi solution de (1.58). Sur H0 2 () on peut travailler avec la norme u H 2 0 () := u L2, (1.61) qui rend immédiate la continuité et la coercivité de la forme bi-linéaire (il s agit bien d une norme puisque u = 0 et γ 0 u = 0 implique u = 0). Pour la continuité de la forme linéaire, on a besoin d une équation analogue à Poincaré pour le laplacien : pour tout v H 2 0 (), v L 2 C B v L 2. (1.62) Cette estimation est une conséquence directe de la régularité H 2 des solutions du laplacien dans le cas où est convexe ou de classe C 1,1. Elle est aussi vérifiée pour un domaine lipschitzien. La formulation variationelle permet de donner un sens aux solutions du bi-laplacien quand f est dans le dual de H0 2() que l on note H 2 (), et pour f L 2 on a donc f H 2 = sup fv C B f L 2. (1.63) v H 2 =1 0 16

17 1.5 Approximation variationelle Considérons un problème admettant une formulation variationelle de type (V) dans un espace de Hilbert X. Une méthode d approximation interne ou méthode de Galerkin, consiste à rechercher une solution approchée dans un sous-espace hilbertien X h X. Pour cela on définit un problème approché en substituant X h à X dans (V) : (G) Trouver u h X h tel que a(u h, v h ) = L(v h ) pour tout v h X h. L un des but poursuivi est d aboutir à une solution calculable en un nombre fini d opération. Pour cela, on va supposer X h de dimension finie N h et on introduit une base (ϕ k ) k=1,,nh de X h. La solution u h peut donc se décomposer suivant : N h u h = u h,k ϕ k, (1.64) k=1 et on voit que u h est solution de (G) si et seulement si N h a(u h, ϕ l ) = u k,h a(ϕ k, ϕ l ) = L(ϕ l ), l = 1,, N h. (1.65) k=1 Ces équations peuvent se reformuler sous la forme d un système A h U h = F h (1.66) où U h := (u h,k ) k=1,,nh, F h := (L(ϕ k )) k=1,,nh et (A h ) k,l = a(ϕ k, ϕ l ) pour k, l = 1,, N h. La matrice A h est appelée matrice de rigidité du problème. Cette matrice est symétrique lorsque a est symétrique. L un des intérêts de la méthode de Galerkin est qu elle permet d aboutir à une estimation d erreur optimale entre la solution exacte u du problème (V) et la solution approchée u h, au sens où l erreur u u h X est comparable au minimum de u v h X quand v h parcourt X h. Ceci est exprimé par le lemme de Cea. Lemme On suppose que les hypothèses du théorème de Lax-Milgram sont vérifiées. Alors, il existe une solution unique u h au problème approché (G) et la matrice A h est inversible. On a l estimation d erreur u u h X C a α min u v h X. (1.67) v h X h 17

18 Dans le cas où a est symétrique on a ( Ca ) 1/2 u u h X min u v h X. (1.68) α v h X h Preuve : Comme X h est un sous-espace Hilbertien de X, les hypothèses de Lax-Milgram pour (V) entrainent la validité des mêmes hypothèses pour (G). On en déduit l existence et l unicité de u h (ainsi que l estimation a- priori u h X L X α ). Comme (ϕ k) est une base, l unicité montre que U h = 0 si F h = 0 ce qui signifie que A h est inversible. Pour l estimation d erreur, on remarque en combinant (V) et (G) que pour tout v h X h on a a(u u h, v h ) = 0. (1.69) En utilisant cette remarque ainsi que la coercivité et la continuité de a, on obtient α u u h 2 X a(u u h, u u h ) = a(u u h, u h v h ) C a u u h X u v h X, ce qui donne l estimation recherchée dans le cas général. Dans le cas où a est symétrique, on remarque que (1.69) signifie que u h est la projection orthogonale de u sur X h au sens du produit scalaire a(, ), et donc u u h a = min v h X h u v h a. On en déduit l estimation recherchée en utilisant l équivalence de norme α 1/2 v X v a C 1/2 a v X, (1.70) qui découle de la continuité et de la coercivité de a. Notre but est à présent de définir des espaces X h pertinents pour appliquer la méthodes de Galerkin. En premier lieu, il s agit d obtenir un compromis raisonable entre la complexité du système décrit par la dimension N h de X h et la précision dans l approximation de la solution. D autre part, il est important que les espaces X h aient des propriétés permettant de calculer de façon simple et rapide les quantités a(ϕ k, ϕ l ) et L(ϕ k ) qui interviennent dans le système (1.66). Enfin, il est important que ce système puisse être résolu aisément, en particulier lorsque N h devient grand. Il peut ainsi être intéressant que X h possède une base qui rend la matrice de rigidité creuse, c est à dire contenant peu d éléments non-nuls, ou encore bien conditionnée. La méthode des éléments finis répond à l ensemble de ces exigences. 18

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