Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions.

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1 Problèmes mathématiques de la mécanique/mathematical problems in Mechanics Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Cristinel Mardare Laboratoire d Analyse Numérique, Tour n 55, Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, Paris, France. Résumé. On considère une famille de coques linéairement élastiques, ayant toutes la même surface moyenne que l on va supposer uniformément elliptique. On donne une estimation d erreur sur l écart entre la solution du modèle de Koiter et la solution du modèle membranaire de coques. La démonstration repose sur une méthode de correcteurs. Two-dimensional models of linearly elastic shells. Error estimates between their solutions. Abstract We consider a family of linearly elastic shells, all having the same middle surface which we assume to be uniformly elliptic. We give an error estimate between the solution of the Koiter s model and the solution of membrane-dominated problem of shells. The proof uses a method of correctors. 1. Le modèle de Koiter et le problème membranaire d une coque linéairement élastique A l exception de ε, les indices et exposants grecs (resp. latins) prennent leurs valeurs dans l ensemble {1,} (resp. {1,,3}). On utilise la convention de sommation sur les indices et exposants répétés. On note u v, u v et u respectivement le produit scalaire, le produit vectoriel et la norme euclidienne dans R 3. Soit un ouvert borné, connexe de R, de point courant y=(y α ) et de frontière γ lipschitzienne, étant localement d un même côté de γ. On note par ν le vecteur normal unitaire le long de γ, dirigé vers l extérieur du domaine. Posons α = / y α. Soit ϕ : R une application injective, de classe C, telle que les deux vecteurs a α = α ϕ forment une base, dite covariante, du plan tangent à la surface S=ϕ(). On note a α les vecteurs de la base contravariante correspondante, définis par a α a β = δβ α. En tout point de S, on définit le vecteur normal a 3 =a 1 a / a 1 a, les symboles de Christoffel Γ σ αβ = aσ α a β, et l élément d aire de la surface a dy, où a=dét(aαβ ). Les composantes covariantes (resp. contravariantes) du tenseur métrique sont donnés par a αβ = a α a β (resp. a αβ = a α a β ), et on définit le tenseur de courbure par ses composantes covariantes b αβ = a α β a 3, ou mixtes b β α = a βσ b σα. Pour tout ε > 0, on considère une coque élastique de surface moyenne S et d épaisseur ε, 1

2 dont la configuration de référence est Φ(Ω ε ), où Ω ε = ] ε, ε[, Φ : Ω ε R étant définie par Φ(x ε ) = ϕ(y) + x ε 3 a3 (y) pour tout x ε = (y, x ε 3 ) Ωε. On définit les vecteurs g ε i = ε i Φ, qui, pour ε suffisament petit, forment une une base (dite covariante) en chaque point de la coque. On se place en élasticité linéarisée et on étudie le problème où la coque est encastrée sur toute sa surface latérale, et est soumise à l action de forces de volume, dont la densité élémentaire est f=f i,ε g i,ε avec f i,ε L (Ω ε ). On suppose de plus qu il existe des fonctions f i L ( ] 1, 1[) tels que f i,ε (y, x ε 3 ) = f i (y, x ε 3 /ε). Les points de la coque subissent alors un déplacement de vecteur u ε i gi,ε, u ε i : Ω ε R. Les inconnues u ε i résolvent dans ce modèle un problème tri-dimensionnel posé sur Ω ε (voir Ciarlet []). On suppose que les constantes de Lamé λ > 0 et µ > 0 du matériau élastique constituant la coque sont indépendantes de ε. Puisque l épaisseur est très petite par rapport aux autres dimensions de la coque, on a besoin en pratique de modèles bi-dimensionnels dont les solutions soient de bonnes approximations du vrai déplacement u ε. Le modèle de Koiter énoncé ci-dessous est un de ceux-là: ζ(ε) V K () déf = H 1 0(Ω) H 1 0(Ω) H 0(Ω), (1) B K (ζ(ε), η) = p i η i a dy pour tout η = (ηi ) V K (), où, pour tout (ζ, η) [ H 1 () H 1 () H () ], on a: () B K (ζ, η) = a αβστ γ στ (ζ)γ αβ (η) a dy + ε a αβστ ρ στ (ζ)ρ αβ (η) a dy 3 a αβστ = 4λµ 1 λ + µ aαβ a στ + µ(a ασ a βτ + a ατ a βσ ) et p i = f i (y, x 3 ) dx 3, γ αβ (η) = 1 ( αη β + β η α ) Γ σ αβ η σ b αβ η 3 1 pour tout η V(), ρ αβ (η) = αβ η 3 Γ σ αβ ση 3 c αβ η 3 +b σ β αη σ +b σ α β η σ +( β b σ α Γ γ αβ bσ γ Γ σ αγb γ β )η σ, les γ αβ (η) représentant les composantes covariantes du tenseur linéarisé des déformations de la surface S et les ρ αβ (η) désignant les composantes covariantes du tenseur linéarisé de changement de courbure. On sait que ce problème admet une unique solution ζ(ε) V K () (voir Bernadou, Ciarlet et Miara [1]), et ce sans aucune hypothèse supplémentaire sur la surface S; toutefois, ce modèle n est justifié, c est-à-dire que ζ(ε) n approche correctement le vrai déplacement u ε que pour certaines types de surface moyennes S (voir Ciarlet et Lods [4]). Maintenant, si on suppose que la surface S est uniformément elliptique, c est-à-dire qu il existe une constante b > 0 telle que b αβ (y)ξ α ξ β b ξ pour tout y et ξ = (ξ α ) R, on trouve, par l analyse asymptotique, un autre modèle de coques linéairement élastiques, appelé problème membranaire : ζ V() déf = H 1 0() H 1 0() L (), (3) a αβστ γ στ (ζ)γ αβ (η) a dy = p i η i a dy pour tout η V(),

3 où les a αβστ, p i et γ αβ (η) sont définis comme ci-dessus. Le problème (3) est bien posé (voir Ciarlet []). On sait de plus que ζ approche le déplacement u ε une fois mis à l echelle, en norme H 1 (Ω) H 1 (Ω) L (Ω) (voir Ciarlet et Lods [3]).. L estimation d écart entre ζ(ε) et ζ Avant d ennoncer le résultat principal de cette note, on donne un Lemme général, qui est en fait une généralisation du Lemme 5-1 de J-L. Lions (voir [6]), et qui va nous servir dans la suite: Lemme 1 Soit u H m (Ω), m N, où Ω R N, N N, est un ouvert borné à frontière Γ régulière (de classe C par exemple), et a > 0. Alors, pour chaque ε > 0, il existe u(ε) H m (Ω) tel que: (4) u(ε) u H m 0 (Ω), i. e. k ν u(ε) = k ν (u) sur Γ, pour tout k = 0, 1,..., m 1, (5) u(ε) L (Ω) Cεa u L (Ω), (6) u(ε) Hk(Ω) Cε ak u Hk(Ω) pour tout k = 1,..., m, où C est une constante qui dépend uniquement de Ω. Démonstration du Lemme 1 (esquisse) On se ramène d abord au cas où Ω = R N R +. On cherche u(ε) sous la forme suivante: u(ε)(y, x N ) = m c k u(y, 1 ε k x N), y = (x 1, x,..., x N 1 ), k=1 où les coefficients c k restent à choisir afin de vérifier la condition (7). On trouve ainsi: c s = ε s(s 1) ( 1) s 1 (1 + O(ε)) pour tout s = 1,,..., m, ce qui nous permet, moyennant un changement de variables, d établir les estimations (5)-(6) en norme H k (Ω) pour tout k allant de 0 à m. On est désormais en mesure de montrer le résultat suivant, qui est le résultat principal de cette Note: Théorème 1 On suppose que la frontière γ de est de classe C, que ϕ est analytique dans un ouvert contenant, et que p α H 1 () et p 3 H (). On suppose de plus que la surface S est uniformément elliptique. Alors, pour ε suffisament petit on a l estimation suivante: (7) ζ(ε) ζ H 1 () H 1 () L () Cε 1/5, où la constante C dépend seulement de ϕ, γ, p α H 1 () et p3 H () et où ζ(ε) est la solution du modèle de Koiter (1) et ζ est la solution du problème membranaire. La démonstration est en trois étapes, que nous décrivons brièvement ci-dessous: Étape 1. Sous les hypothèses du Théorème 1, la solution du problème membranaire est en 3

4 fait dans l espace [H 3 () H 3 () H ()] [H 1 0() H 1 0() L()] (voir Genevey [5]). introduit alors un correcteur θ(ε) H 1 0() H 1 0() H () tel que { (θ(ε) ζ) V K () déf = H 1 0() H 1 0() H (8) 0(), B K (θ(ε), η) = 0 pour tout η V K (). On Étape. Afin de pouvoir estimer θ(ε) dans la norme H 1 () H 1 () L (), on écrit θ(ε) = θ(ε) + θ(ε), où θ 1 (ε) = θ (ε) = 0 et θ 3 (ε) est donné par le Lemme 1, avec θ 3 (ε) ζ 3 H 0(); de plus, les estimations (5)-(6) peuvent être obtenues pour un choix de a qui est précisé plus loin. Alors θ(ε) est la solution du problème: { θ(ε) V K (), (9) B K ( θ(ε), η) = B K ( θ(ε), η) pour tout η V K (). On trouve ainsi: (10) ( γ αβ (θ(ε)) ) 1 C(ε α ζ L () 3 L () + ε1 4α ζ 3 H () ). Étape 3. - Puisque ζ(ε) = ζ(ε) ζ + θ(ε) est un élément de V K (), on l utilise comme fonction test dans les relations (1)(3) et (8). On trouve ainsi l inégalité: (11) ( γ αβ (ζ(ε) L () ) 1 Cε ζ H 1 () H 1 () H (). La coercivité de la forme bilinéaire B M (, ) dans l espace H 1 0 () H1 0 () L () nous permet d obtenir de (10) et de (11) l inégalité annoncée dans le Théorème 1, avec le choix a = 1/5. Corollaire Sous les hypothèses du Théorème 1, pour tout s [0, /5[, on a également l estimation d erreur suivante: (1) ζ(ε) ζ H 1 () H 1 () H s () Cε 1/5 s/, où la constante C dépend de ϕ, γ, p α H 1 () et p3 H (). La démonstration utilise un argument d interpolation entre les espaces H 1 () H 1 () L () et H 1 () H 1 () H () ainsi que l inégalité suivante, valable pour tout η H 1 0 () H1 0 () H 0 () (voir Bernadou, Ciarlet et Miara [1]): (13) [ γ αβ (η) L () + ρ αβ (η) L () ] 1 C η H 1 () H 1 () H (). 3.Commentaire L inégalité (7) ne peut avoir lieu lorsque l exposant sur ε est trop grand (> 4/15), même pour des fonctions f très régulières. On montre ceci en utilisant le même argument d interpolation et le fait que ζ 3 (ε) ne peut converger vers ζ3 0 dans Hs (Ω) si s > 1/ dès que 4

5 ζ 0 3 γ 0. Ce travail fait partie du Programe Capital Humain et Mobilité Shells: Mathematical Modeling and Analysis, Scientific Computing de la Commision des Communautés Européennes(Contrat n 0 ERBCHRXCT ). Références bibliographiques [1] M. Bernadou, P.G. Ciarlet et B. Miara, Existence theorems for two-dimensional linear shell theories, Journal of Elasticity, [] P.G. Ciarlet, Mathematical Elasticity, Vol. II, (à paraître). [3] P.G. Ciarlet et V. Lods, Asymptotic analysis of linearly elastic shells. I: Justification of membrane shell equations, Arch. Rational Mech. Anal. (à paraître). [4] P.G. Ciarlet et V. Lods, Asymptotic analysis of linearly elastic shells. III: A justification of Koiter s shell equations, Arch. Rational Mech. Anal. (à paraître). [5] K. Genevey, C. R. Acad. Sci. Paris, 30, Série I, p , [6] J-L. Lions, Perturbations singulières dans les Problèmes aux Limites et en Contrôle Optimal, Springer-Verlag, Berlin,

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