Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou"

Transcription

1 Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou alpha-stables Richard Eon sous la direction de Mihai Gradinaru Institut de Recherche Mathématique de Rennes Journées de probabilités 215, Toulouse

2 v t = v x t = t t v s ds sign(v s ) v s β ds

3 v ε t x ε t = = v t t v ε sds sign(v ε s) v ε s β ds + εl t

4 1) Processus de Lévy et calcul stochastique 2) Étude du comportement de la vitesse et de la position pour une vitesse initiale non nulle 3)

5 1) Processus de Lévy et calcul stochastique 2) Étude du comportement de la vitesse et de la position pour une vitesse initiale non nulle 3)

6 1) Processus de Lévy et calcul stochastique 2) Étude du comportement de la vitesse et de la position pour une vitesse initiale non nulle 3)

7 Processus de Lévy et calcul stochastique

8 Processus de Lévy Processus de Lévy Un processus de Lévy X est un processus qui vérifie : X = presque sûrement X est à accroissements indépendants et stationnaires X est càdlàg Processus α-stable Un processus de Lévy X est appelé α-stable pour α (, 2] si les processus (X c α t) t et (cx t ) t ont la même loi pour tout c >. Remarque : Pour α = 2, le processus est un mouvement Brownien standard et pour α (, 2), le processus est purement à sauts.

9 Processus de Lévy Processus de Lévy Un processus de Lévy X est un processus qui vérifie : X = presque sûrement X est à accroissements indépendants et stationnaires X est càdlàg Processus α-stable Un processus de Lévy X est appelé α-stable pour α (, 2] si les processus (X c α t) t et (cx t ) t ont la même loi pour tout c >. Remarque : Pour α = 2, le processus est un mouvement Brownien standard et pour α (, 2), le processus est purement à sauts.

10 Processus de Lévy Processus de Lévy Un processus de Lévy X est un processus qui vérifie : X = presque sûrement X est à accroissements indépendants et stationnaires X est càdlàg Processus α-stable Un processus de Lévy X est appelé α-stable pour α (, 2] si les processus (X c α t) t et (cx t ) t ont la même loi pour tout c >. Remarque : Pour α = 2, le processus est un mouvement Brownien standard et pour α (, 2), le processus est purement à sauts.

11 Mesure de Poisson Soit (S; A) un espace mesurable et (Ω; F; P) un espace probabilisé. Mesure de Poisson Soit µ une mesure σ-finie sur (S; A). Une mesure aléatoire de Poisson N sur (S; A) est une collection de variables aléatoires (N(B); B A) telle que : pour tout B A tel que µ(b) < +, N(B) suit une loi de Poisson de paramètre µ(b), si A 1,..., A m sont des ensembles disjoints de A, les variables aléatoires N(A 1 ),..., N(A m ) sont indépendantes, pour tout ω Ω, A N(A, ω) est une mesure de comptage sur (S, A).

12 Mesure et intégrale de Poisson Si X est un processus de Lévy, N([, T], A) := #{ s t, X t X t A} est une mesure de Poisson. Intégrale de Poisson Soit N une mesure aléatoire de Poisson d intensité dt µ sur R + (R/{}). Si f : R R est une fonction borélienne et si A B(R/{}) vérifie µ(a) < +, on définit, pour tout t et ω Ω, l intégrale stochastique de Poisson de f par : f (z)n(t, dz) := f (z)n(t, {z}). A z A

13 Mesure et intégrale de Poisson Si X est un processus de Lévy, N([, T], A) := #{ s t, X t X t A} est une mesure de Poisson. Intégrale de Poisson Soit N une mesure aléatoire de Poisson d intensité dt µ sur R + (R/{}). Si f : R R est une fonction borélienne et si A B(R/{}) vérifie µ(a) < +, on définit, pour tout t et ω Ω, l intégrale stochastique de Poisson de f par : f (z)n(t, dz) := f (z)n(t, {z}). A z A

14 Décomposition d Itô-Lévy Théorème de décomposition d Itô-Lévy Si X est un processus de Lévy alors il existe b R, un mouvement brownien standard B, un coefficient de diffusion σ et une mesure aléatoire de Poisson N sur R + (R/{}), d intensité dt µ où µ est une mesure de Lévy (i.e. vérifiant R/{} (1 z2 )µ(dz) < + ) tels que, pour tout t : X t = bt + σb t + < z <1 z Ñ(t, dz) + z N(t, dz) z >1 où Ñ est la mesure de Poisson compensée de N définie par : Ñ(t, dz) = N(t, dz) tµ(dz).

15 Décomposition d Itô-Lévy Corollaire Si X est un processus de Lévy α-stable pour α (, 2), on a : X t = z Ñ(t, dz) + z N(t, dz) < z <1 z >1 où la mesure de Lévy µ est µ(dz) = z 1 α dz.

16 Formule d Itô-Lévy Théorème Soit X un processus de la forme : t t t t X t = X + b(s)ds+ σ(s)db s+ H(s, z)ñ(ds, dz)+ K(s, z)n(ds, dz), < z <1 z >1 alors, pour toute fonction f C 2 (R) et tout t, on a : f (X t) = t t f (X ) + f (X s )b(s)ds + f (X s )σ(s)db s + 1 t f (X 2 s )σ 2 (s)ds t + [f (X s + H(s, z)) f (X s )]Ñ(ds, dz) + < z <1 t [f (X s + H(s, z)) f (X s ) f (X s )H(s, z)]dsµ(dz) < z <1 t + [f (X s + K(s, z)) f (X s )]N(ds, dz). z >1

17 Étude du comportement de la vitesse et de la position pour une vitesse initiale non nulle

18 Proposition, Gradinau et E. Pour β, quand ε, {v ε t : t } (respectivement x ε ) converge vers v (respectivement x) en probabilité uniformement sur tout intervalle compact. Pour β 1, on introduit Z t := t β v s β 1 Z s ds + l t. On a 1 ε (vε v εz) et 1 ε (xε x ε Z) convergent UCP vers, quand ε.

19

20 On pose, pour t, X ε t := x ε ε α t et V ε t := v ε ε α t qui satisfont alors respectivement, X ε t = 1 ε α t V ε s ds et V ε t = L ε t 1 ε α t sgn(v ε s ) V ε s β ds. où {L ε t := εl ε α t : t } est aussi un processus α-stable.

21 Théorème, Gradinaru et E. Supposons que < α 2 et β + α 2 > 2, on pose θ := α α+β 1 (, 1). Alors il existe une constante positive κ α,β telle que le processus } { } {ε θ(β+ α 2 2) xε ε α t : t = ε θ(β+ α 2 2) Xt ε : t converge en distribution vers un mouvement Brownien avec coefficient de diffusion κ α,β quand ε. De plus, si α = 2, le résultat est vrai pour 1 < β 1.

22 Si α + β 1 >, on pose Ľ ε t := Lε t ε αθ ε θ = l t ε θ(β 1) ε θ(β 1) α et ˇV ε t := Vε t ε αθ ε θ. Par auto-similarité, Ľ ε est un processus de Lévy α-stable et on a : X ε t = ε θ(2 β) tε αθ ˇV ε s ds et ˇV ε t = Ľ ε t t sgn(ˇv ε s ) ˇV ε s β ds.

23 Théorème de Whitt Pour n 1, soit M n = (M n,1,..., M n,k ) une martingale locale dans D k pour une filtration F n, satisfaisant M n () = (,..., ). Soit C = (c i,j ) une matrice de covariance de taille k 2. Si M n est de carré intégrable, on peut introduire la covariation quadratique prédictible M n,i, M n,j. Si, de plus, pour tout T > et (i, j) [ 1, k ] 2, on a : lim E[J( M n,i, M n,j, T) = n + lim E[J(M n, T) 2 ] = n + M n,i, M n,j (t) c i,j t alors M n M dans D k où M est un (, C)-mouvement brownien.

24 Schéma de preuve dans le cas Brownien Étape 1 On résout l équation de Poisson : (L 2,β g β )(x) = x où L 2,β := 1 2 dx 2 d sgn(x) x β dx. La solution est : g β (x) = x ( + avec c β (x) := 2 β+1 x β+1. y d 2 ) 2ze cβ(z) dz e cβ(y) dy,

25 Schéma de preuve dans le cas Brownien Étape 1 On résout l équation de Poisson : (L 2,β g β )(x) = x où L 2,β := 1 2 dx 2 d sgn(x) x β dx. La solution est : g β (x) = x ( + avec c β (x) := 2 β+1 x β+1. y d 2 ) 2ze cβ(z) dz e cβ(y) dy,

26 Schéma de preuve dans le cas Brownien Étape 2 En utilisant la formule d Itô, on obtient alors : 2θ t ε ε θ(β 1) Xt ε = ε θ g β (ˇV s )dˇb s + ε θ g β (ˇV t ε 2θ ) Étape 3 On montre que ε θ g β (ˇV t ε 2θ converge vers, UCP. On utilise le théorème de Whitt et le théorème ergodique pour montrer que ε θ t ε 2θ g β (ˇV s )dˇb s converge vers un mouvement Brownien avec coefficient de diffusion κ 2,β. Étape 4 On utilise le théorème de Slutsky et le continuous mapping theorem pour conclure. ).

27 Schéma de preuve dans le cas Brownien Étape 2 En utilisant la formule d Itô, on obtient alors : 2θ t ε ε θ(β 1) Xt ε = ε θ g β (ˇV s )dˇb s + ε θ g β (ˇV t ε 2θ ) Étape 3 On montre que ε θ g β (ˇV t ε 2θ converge vers, UCP. On utilise le théorème de Whitt et le théorème ergodique pour montrer que ε θ t ε 2θ g β (ˇV s )dˇb s converge vers un mouvement Brownien avec coefficient de diffusion κ 2,β. Étape 4 On utilise le théorème de Slutsky et le continuous mapping theorem pour conclure. ).

28 Schéma de preuve dans le cas Brownien Étape 2 En utilisant la formule d Itô, on obtient alors : 2θ t ε ε θ(β 1) Xt ε = ε θ g β (ˇV s )dˇb s + ε θ g β (ˇV t ε 2θ ) Étape 3 On montre que ε θ g β (ˇV t ε 2θ converge vers, UCP. On utilise le théorème de Whitt et le théorème ergodique pour montrer que ε θ t ε 2θ g β (ˇV s )dˇb s converge vers un mouvement Brownien avec coefficient de diffusion κ 2,β. Étape 4 On utilise le théorème de Slutsky et le continuous mapping theorem pour conclure. ).

29 Le cas purement à sauts Étape 1 Par la décomposition de Itô-Lévy, il existe un processus de Poisson N et son compensé Ñ tel que t t Ľ t = zñ(ds, dz) + zn(ds, dz). z 1 Le générateur de ˇV est : (L α,β g)(x) = sgn(x) x β g (x)+ R z >1 [g(x+y) g(x) yg (x)1 y 1 ] ν(dy). Pour résoudre l Équation de Poisson, il suffit de trouver une fonction de Lyapunov h (i.e. : L α,β h Ch). Le théorème de Glynn et Meyn nous assure alors l existence d une solution ĝ vérifiant ĝ c(h + 1), avec c une constante positive.

30 Le cas purement à sauts Étape 1 Par la décomposition de Itô-Lévy, il existe un processus de Poisson N et son compensé Ñ tel que t t Ľ t = zñ(ds, dz) + zn(ds, dz). z 1 Le générateur de ˇV est : (L α,β g)(x) = sgn(x) x β g (x)+ R z >1 [g(x+y) g(x) yg (x)1 y 1 ] ν(dy). Pour résoudre l Équation de Poisson, il suffit de trouver une fonction de Lyapunov h (i.e. : L α,β h Ch). Le théorème de Glynn et Meyn nous assure alors l existence d une solution ĝ vérifiant ĝ c(h + 1), avec c une constante positive.

31 Le cas purement à sauts Étape 2 En utilisant la formule d Itô-Lévy, on obtient alors : avec ε θ(β+ α 2 2) Xt ε = ε (ˇV ) αθ αθ 2 ĝ t ε αθ ε 2 Mt ε αθ, M t := t R [ĝ(z + ˇV s ) ĝ(ˇv s )]Ñ(ds, dz). Étape 3 On montre que ε αθ 2 ĝ (ˇV t ε αθ) converge vers, UCP. On utilise le théorème de Whitt et le théorème ergodique pour montrer que ε αθ 2 M t ε αθ converge vers un mouvement Brownien avec coefficient de diffusion κ α,β.

32 Le cas purement à sauts Étape 2 En utilisant la formule d Itô-Lévy, on obtient alors : avec ε θ(β+ α 2 2) Xt ε = ε (ˇV ) αθ αθ 2 ĝ t ε αθ ε 2 Mt ε αθ, M t := t R [ĝ(z + ˇV s ) ĝ(ˇv s )]Ñ(ds, dz). Étape 3 On montre que ε αθ 2 ĝ (ˇV t ε αθ) converge vers, UCP. On utilise le théorème de Whitt et le théorème ergodique pour montrer que ε αθ 2 M t ε αθ converge vers un mouvement Brownien avec coefficient de diffusion κ α,β.

33 Le cas purement à sauts Étape 4 On utilise le théorème de Slutsky et le continuous mapping theorem pour conclure.

34 Applebaum, D., Lévy Processes and Stochastic Calculus, 2nd edition, Cambridge University Press, 211. Bhattacharya, R. N., On the functional central limit theorem and the law of iterated logarithm for Markov processes, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 6 (1982), Billingsley, P. Convergence of Probability Measures, Second Edition, Wiley-Interscience, Fournier, N. On pathwise uniqueness for stochastic differential equations driven by stable Lévy processes. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., 49 (213), Glynn, P.W., Meyn S.P., A Lyapunov bound for solutions of the Poisson equation. Ann. Probab. 24 (1996),

35 Gradinaru, M., Pavlyukevich, I., Small noise asymptotics of solutions of the Langevin equation with non-linear damping subject α-stable Lévy forcing, in preparation. Hintze, R., Pavlyukevich, I. Small noise asymptotics and first passage times integrated Ornstein-Uhlenbeck process driven by α-stable Lévy process, Bernoulli 2 (214), Kulik, A.M., Exponential ergodicity of the solutions to SDE s with a jump noise, Stochastic Proc. Appl. 119 (29), Rogers, L.C.G., Williams, D., Diffusions, Markov Processes, and Martingales, vol. 2, Itô calculus, John Wiley & Sons, Samorodnitsky, G., Grigoriu, M., Tails of solutions of certain nonlinear stochastic differential equations driven by heavy

36 tailed Levy motions, Stochastic Proc. Appl. 15 (23), Whitt, W., Proofs of the martingale FCLT, Probability Surveys 4 (27),

Processus de Lévy et calcul stochastique. Rhodes Rémi

Processus de Lévy et calcul stochastique. Rhodes Rémi Processus de Lévy et calcul stochastique Rhodes Rémi 18 novembre 21 2 Table des matières 1 Quelques rappels sur les processus de Poisson 5 1.1 Processus de Poisson................................ 5 1.2

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Martingales dans l étude de quelques arbres aléatoires

Martingales dans l étude de quelques arbres aléatoires Martingales dans l étude de quelques arbres aléatoires Brigitte CHAUVIN Brigitte.Chauvin@math.uvsq.fr Monastir, 18-20 Octobre 2010 Contents 1 Introduction 1 2 Arbres binaires de recherche 2 2.1 Définitions.....................................

Plus en détail

MEMOIRE Présenté pour l obtention du diplôme de : MAGISTER EN MATHEMATIQUES

MEMOIRE Présenté pour l obtention du diplôme de : MAGISTER EN MATHEMATIQUES REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEURE ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DE MENTOURI - CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

Plus en détail

Remise à niveau en processus stochastiques

Remise à niveau en processus stochastiques M2IR Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 212-213 Remise à niveau en processus stochastiques F. Bienvenüe-Duheille Le but de ce poly est de vous mettre à niveau sur les processus stochastiques

Plus en détail

Quelques modèles financiers utilisant les EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration

Quelques modèles financiers utilisant les EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration Quelques modèles financiers utilisant les EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration Anne EYRAUD-LOISEL ISFA, Université Lyon 1 Séminaire Lyon - Le Mans 3 Mai 2012, Le Mans 1 / 40 Outline 1 Problèmes

Plus en détail

0 h(s)ds et h [t = 1 [t, [ h, t IR +. Φ L 2 (IR + ) Φ sur U par

0 h(s)ds et h [t = 1 [t, [ h, t IR +. Φ L 2 (IR + ) Φ sur U par Probabilités) Calculus on Fock space and a non-adapted quantum Itô formula Nicolas Privault Abstract - The aim of this note is to introduce a calculus on Fock space with its probabilistic interpretations,

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Mathématiques. Víctor Manuel RIVERO MERCADO. pour l obtention du grade de. Sujet de la thèse : soutenue le 14 juin 2004 devant le Jury composé de

Mathématiques. Víctor Manuel RIVERO MERCADO. pour l obtention du grade de. Sujet de la thèse : soutenue le 14 juin 2004 devant le Jury composé de Thèse de Doctorat de l Université Pierre et Marie Curie (Paris 6) Spécialité Mathématiques présentée par Víctor Manuel RIVERO MERCADO pour l obtention du grade de Docteur de l Université Pierre et Marie

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Processus aléatoires avec application en finance

Processus aléatoires avec application en finance Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et

Plus en détail

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique Télécom ParisTech, 09 mai 2012 http://www.mathematiquesappliquees.polytechnique.edu/ accueil/programmes/cycle-polytechnicien/annee-1/

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 1. a. On considère un modèle de marché (B, S) à une étape. On suppose que S = 5 C et qu à la date t = 1 on a (S u 1 = 51, S d 1 = 48).

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Modélisation de séries financières par un modèle multifractal. Céline Azizieh

Modélisation de séries financières par un modèle multifractal. Céline Azizieh Modélisation de séries financières par un modèle multifractal Céline Azizieh Mémoire présenté à l Université Libre de Bruxelles en vue d obtenir le diplôme d actuaire Supervision: W. Breymann (RiskLab,

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Travail en collaboration avec F.Roueff M.S.Taqqu C.Tudor

Travail en collaboration avec F.Roueff M.S.Taqqu C.Tudor Paramètre de longue mémoire d une série temporelle : le cas non linéaire Travail en collaboration avec F.Roueff M.S.Taqqu C.Tudor Notion de longue mémoire Les valeurs d une série temporelle X = (X l )

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Université de Montréal. Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène. Jean-Sébastien Turcotte

Université de Montréal. Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène. Jean-Sébastien Turcotte Université de Montréal Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène par Jean-Sébastien Turcotte Département de mathématiques et de statistique Faculté des arts et des sciences Mémoire

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA

Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Soutenance de doctorat, sous la direction de Pr. Bilodeau, M. et Pr. Ducharme, G. Université de Montréal et Université

Plus en détail

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun

Plus en détail

Théorie de la mesure. S. Nicolay

Théorie de la mesure. S. Nicolay Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................

Plus en détail

Les mathématiques de la finance Université d été de Sourdun Olivier Bardou olivier.bardou@gdfsuez.com 28 août 2012 De quoi allons nous parler? des principales hypothèses de modélisation des marchés, des

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

1 Introduction, but du cours, rappels

1 Introduction, but du cours, rappels DEA 2-21 Calcul stochastique II, applications aux finances Université Paul Sabatier 1 Introduction, but du cours, rappels Les applications en finance sont dans ce cours, une valorisation et une justification

Plus en détail

Calcul Stochastique pour la finance. Romuald ELIE

Calcul Stochastique pour la finance. Romuald ELIE Calcul Stochastique pour la finance Romuald ELIE 2 Nota : Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis

Plus en détail

1 La formule de Black et Scholes en t discret

1 La formule de Black et Scholes en t discret Université de Provence Préparation Agrégation Epreuve de Modélisation, Option Proba. Texte : La formule de Black Scholes en Finance Étienne Pardoux 1 La formule de Black et Scholes en t discret On suppose

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème. I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.

Plus en détail

Econométrie Appliquée Séries Temporelles

Econométrie Appliquée Séries Temporelles Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 1 U.F.R. Economie Appliquée Maîtrise d Economie Appliquée Cours de Tronc Commun Econométrie Appliquée Séries Temporelles Christophe HURLIN Chapitre

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

Modèles structurels. Chapitre 4. 4.1 Modèle de Merton

Modèles structurels. Chapitre 4. 4.1 Modèle de Merton Chapitre 4 Modèles structurels 4.1 Modèle de Merton L idée principale de modèles structurels est basée sur l article fondateur de Merton [?], où un défaut est provoqué quand une entreprise n arrive pas

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Résumé des communications des Intervenants

Résumé des communications des Intervenants Enseignements de la 1ere semaine (du 01 au 07 décembre 2014) I. Titre du cours : Introduction au calcul stochastique pour la finance Intervenante : Prof. M hamed EDDAHBI Dans le calcul différentiel dit

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2.

Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Techniques de correction pour les options barrières 25 janvier 2007 Exercice à rendre individuellement lors

Plus en détail

ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE

ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ J.-D. Fouks. École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers. 40 avenue du Recteur Pineau, 860 Poitiers

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

La fonction logistique f: xa rx( 1 x)

La fonction logistique f: xa rx( 1 x) TIPE Math 97 (Version 5 pages) Letouzey Pierre La fonction logistique f: xa rx( x) Quelques résultats sur les suites récurrentes associées x x 0 n+ [ 0, ] = f ( x ) n / Pourquoi cette fonction? C est dans

Plus en détail

Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4

Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4 Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 30 mai 2014 Table des matières 1 Dénombrement 3 I Combinatoire des ensembles

Plus en détail

MAT-3071 Processus Stochastiques

MAT-3071 Processus Stochastiques Université du Québec à Montréal Hiver 2012 Département de Mathématiques Groupe : 011 MAT-3071 Processus Stochastiques Chargée de cours : Hélène Guérin Courriel : guerin.helene@uqam.ca Merci de prendre

Plus en détail

CURRICULUM VITAE SITUATION PROFESSIONNELLE : FORMATION ACADÉMIQUE ET DIPLÔMES : SUJETS DE RECHERCHE : ENCADREMENT DE THÈSE :

CURRICULUM VITAE SITUATION PROFESSIONNELLE : FORMATION ACADÉMIQUE ET DIPLÔMES : SUJETS DE RECHERCHE : ENCADREMENT DE THÈSE : CURRICULUM VITAE Mohamed Ben Alaya. Né le 11 décembre 1965. Marié, deux enfants. 67, rue caulaincourt 75018 Paris. Tél : 06 16 41 36 18 mba@math.univ-paris13.fr http://www.math.univ-paris13.fr/~mba/ SITUATION

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

GRANDES DÉVIATIONS ET CONCENTRATION CONVEXE EN TEMPS CONTINU ET DISCRET

GRANDES DÉVIATIONS ET CONCENTRATION CONVEXE EN TEMPS CONTINU ET DISCRET THÈSE DE DOCTORAT de l UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE Discipline : Mathématiques Spécialité : Probabilités Présentée par Yutao MA pour obtenir le grade de DOCTEUR de l UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE. Titre de la

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

MA6.06 : Mesure et Probabilités

MA6.06 : Mesure et Probabilités Année universitaire 2002-2003 UNIVERSITÉ D ORLÉANS Olivier GARET MA6.06 : Mesure et Probabilités 2 Table des matières Table des matières i 1 Un peu de théorie de la mesure 1 1.1 Tribus...............................

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Integrale de Wiener par rapport au mouvement brownien multi-fractionnnaire

Integrale de Wiener par rapport au mouvement brownien multi-fractionnnaire Integrale de Wiener par rapport au mouvement brownien multi-fractionnnaire L.P.M.A Universite Paris VI L.M.A.S Ecole Centrale Paris 9 eme Colloque des jeunes probabilistes et statisticiens Le Mont-Dore

Plus en détail

Tests semi-paramétriques d indépendance

Tests semi-paramétriques d indépendance Tests semi-paramétriques d indépendance Bernard Colin et Ernest Monga Département de Mathématiques Université de Sherbrooke Sherbrooke J1K-2R1 (Québec) Canada Rapport de recherche N o 139 Abstract Let

Plus en détail

Cours de gestion des risques d assurances et de théorie de la ruine. Stéphane Loisel

Cours de gestion des risques d assurances et de théorie de la ruine. Stéphane Loisel Cours de gestion des risques d assurances et de théorie de la ruine Stéphane Loisel ISFA, 2005-2006 Table des matières I Modélisation de la charge sinistre : du modèle individuel au modèle collectif 5

Plus en détail

Maîtrise universitaire ès sciences en mathématiques 2012-2013

Maîtrise universitaire ès sciences en mathématiques 2012-2013 1 / 6 Remarques liminaires : Ce master à (3 semestres) permet 2 orientations distinctes : - Un master général : "Mathématiques, Systèmes dynamiques et phénomènes d'évolution" - Un master qui permet de

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Contents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes

Contents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes Université Claude Bernard Lyon 1 Institut de Science Financière et d Assurances Système Bonus-Malus Introduction & Applications SCILAB Julien Tomas Institut de Science Financière et d Assurances Laboratoire

Plus en détail

Master of Science en mathématiques 2013-2014

Master of Science en mathématiques 2013-2014 Remarques liminaires : 1 Ce master à (3 semestres) permet 2 orientations distinctes : 1) Un master général en mathématiques 2) Un master qui permet de choisir des mineurs en finance, statistique, informatique

Plus en détail

Web Science. Master 1 IFI. Andrea G. B. Tettamanzi. Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice.

Web Science. Master 1 IFI. Andrea G. B. Tettamanzi. Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice. Web Science Master 1 IFI Andrea G. B. Tettamanzi Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice.fr 1 Annonce : recherche apprenti Projet Géo-Incertitude Objectifs

Plus en détail

CURRICULUM VITAE Anne de Bouard

CURRICULUM VITAE Anne de Bouard CURRICULUM VITAE Anne de Bouard née le 1er mai 1965 à Caen (14) Mariée, 2 enfants Nationalité : Française http://www.cmap.polytechnique.fr/~debouard debouard@cmap.polytechnique.fr CMAP, Ecole Polytechnique

Plus en détail

Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1

Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1 General Mathematics Vol. 18, No. 4 (2010), 85108 Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1 Faiza Belarbi, Amina Angelika Bouchentouf Résumé Nous étudions

Plus en détail

Les changements de numéraire dans la tarification de produits financiers

Les changements de numéraire dans la tarification de produits financiers INMA 2990 - Travail de fin d études Les changements de numéraire dans la tarification de produits financiers Pajot Benjamin Promoteur Devolder Pierre Juin 2010 Table des matières Introduction 1 1 Mesures

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Master of Science en mathématiques 2015-2016

Master of Science en mathématiques 2015-2016 Remarques liminaires : 1/9 Ce master à 90 ECTS (3 semestres) permet 2 orientations distinctes : - Un master général en mathématiques - Un master qui permet de choisir des mineurs en finance, statistique

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

DIPLOME D'ETUDES APPROFONDIES EN ECONOMIE ET FINANCE THEORIE DES MARCHES FINANCIERS. Semestre d hiver 2001-2002

DIPLOME D'ETUDES APPROFONDIES EN ECONOMIE ET FINANCE THEORIE DES MARCHES FINANCIERS. Semestre d hiver 2001-2002 Département d économie politique DIPLOME D'ETUDES APPROFONDIES EN ECONOMIE ET FINANCE THEORIE DES MARCHES FINANCIERS Semestre d hiver 2001-2002 Professeurs Marc Chesney et François Quittard-Pinon Séance

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Module 7: Chaînes de Markov à temps continu

Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Patrick Thiran 1 Introduction aux chaînes de Markov à temps continu 1.1 (Première) définition Ce module est consacré aux processus à temps continu {X(t), t R

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

MATHEMATIQUES FINANCIERES SANS LARMES Nicolas Bouleau octobre 2005

MATHEMATIQUES FINANCIERES SANS LARMES Nicolas Bouleau octobre 2005 MATHEMATIQUES FINANCIERES SANS LARMES Nicolas Bouleau octobre 2005 L'engouement parmi les chercheurs et les jeunes scientifiques pour les mathématiques financières très excessif est-il un comportement

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Modèles et Méthodes de Réservation

Modèles et Méthodes de Réservation Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E

Plus en détail