4. Martingales à temps discret

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "4. Martingales à temps discret"

Transcription

1 Martingales à temps discret Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les tribus F n ne sont pas nécessairement posées complètes. On sait que la famille d ensembles F n n est pas une tribu. On définit donc F = σ( F n). F est une tribu, en général plus petite que F, laquelle jouera un rôle important dans la suite. Définition 4.1. Un processus réel adapté (X n ) est appelé une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) s il est intégrable et si, pour tout n N), IE(X n+1 F n ) = X n p.s. (resp., ). Donc (X n ) est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) si et seulement si pour tout F n on a X n+1 dip = X n dip (resp., ) Notons que (X n ) est une surmartingale si et seulement si ( X n ) est une sous-martingale (et réciproquement) et que (X n ) est une martingale si et seulement si (X n ) est à la fois une surmartingale et une sous-martingale. Les définitions ci-dessus sont encore valables si on remplace X n intégrable par X n positif. On parlera alors de martingale (resp. surmartingale, sous-martingale) positive. Il reste entendu qu une martingale (resp. surmartingale, sous-martingale) sans adjectif est nécessairement intégrable. Exemple 4.2. Soit X L 1 ou 0. X n = IE(X F n ) est une martingale. Enfin un processus X = (Ω, F, (X n ), IP ) sera dit une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) si c est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) par rapport à la filtration F 0 n = σ(x 0,..., X n ). Il est clair que le processus (X n ) est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) si et seulement si IE(X n+1 X n F n ) = 0, (resp., ). Donc si (Y n ) est un processus adapté)(intégrable ou positif), alors X n = Y 0 + Y Y n définit une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) si et seulement si IE(Y n+1 F n ) = 0, (resp. 0, 0). En particulier si (Y n ) est une suite de v.a. indépendantes intégrables ou positives et si on pose S 0 = 0, S n = Y 0 + Y Y n pour n 1, alors (S n ) est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) pour la filtration σ(y 0, Y 1,..., Y n ) si, pour tout n 1, IE(Y n ) = 0, (resp. 0, 0) Premières propriétés. Proposition 4.3. (i) Si (X n ) est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale), la suite (IE(X n )) est constante (resp. décroissante, croissante). (ii) Si (X n ) est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale), on a, pour m < n, IE(X n F m ) = X m p.s. (resp., ). (iii) Si (X n ) et (Y n ) sont des surmartingales, il en est de même de X n + Y n et de X n Y n. (iv) Si (X n ) est une martingale (resp. une surmartingale) et f est une fonction concave (resp. concave croissante) telle que f(x n ) est intégrable ou positive pour tout n 0, alors Y n = f(x n ) est une surmartingale En particulier si (X n ) est une martingale, X n et X 2 n sont des sous-martingales. (v) Si (X n ) est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale), il en est de même du processus stoppé X ν n = X n ν, où ν est un temps d arrêt de la filtration {F n } n.

2 Martingales à temps discret 26 Preuve: (i), (ii) et (iii) résultent directement des propriétés de l espérance conditionnelle. (iv) résulte de l inégalité de Jensen. Pour (v), on note que d après la définition d un temps d arrêt, on a {ν n + 1} = {ν n} c F n et donc IE(X ν n+1 X ν n F n ) = IE((X n+1 X n )1 {ν n+1} F n ) = = 1 {ν n+1} IE(X n+1 X n F n ). (4.1) Introduisons une notion importante. Définition 4.4. On dit qu un processus adapté ( n ) est un processus croissant prévisible si 0 = 0, n n+1 et si n+1 est F n mesurable. On a alors l important résultat suivant. Proposition 4.5. (Décomposition de Doob).Toute sous-martingale intégrable X n s écrit, de façon unique, sous la forme X n = M n + n avec (M n ) martingale intégrable et ( n ) processus croissant prévisible intégrable. Le processus croissant ( n ) s appelle le compensateur de la sousmartingale (X n ). Preuve: Soit (X n ) une sous-martingale intégrable. On définit 0 = 0, n+1 = n + IE(X n+1 X n F n ). Par construction, ( n ) n est un processus croissant prévisible intégrable et M n = X n n vérifie IE(M n+1 M n F n ) = 0 (puisque n+1 est F n mesurable!). La décomposition est de plus unique car si X n = M n + n = M n + n, on a 0 = 0 = 0 et n+1 n = X n+1 X n (M n+1 M n ) d où, en conditionnant par F n, n+1 n = IE(X n+1 F n )) X n = n+1 n d où n = n puis M n+1 = M n Théorème d arrêt. Soit (X n ) une surmartingale. On a donc, pour m < n, IE(X n F m ) X m p.s. On va s intéresser à cette propriété si l on remplace m et n par des temps d arrêt. Théorème 4.6. Soient (X n ) une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) intégrable ou positive et ν 1 et ν 2 deux temps d arrêt bornés avec ν 1 ν 2 ; alors on a IE(X ν2 F ν1 ) = X ν1, (resp., ). Preuve: Supposons d abord que ν 1 ν 2 = k N. Soit F ν1. Vu que {ν 1 = j} F j, on a, pour j k, {ν 1 =j} X j dip = {ν=j} X k dip. Sommant en j, on obtient, X ν1 dip = k j=0 {ν 1 =j} X j dip = k j=0 {ν 1 =j} X k dip = X ν2 dip Supposons maintenant que ν 1 ν 2 k N. lors, pour F ν1, comme X ν 2 est une martingale, X ν1 dip = X ν 2 ν 1 dip = dip = X ν2 dip. Prenant l espérance, on obtient le résultat suivant. Corollaire 4.7. Soient (X n ) une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) intégrable ou positive et ν un temps d arrêt borné, alors IE(X ν ) = IE(X 0 ), (resp., ). Dans ces énoncés, la condition ν borné est essentielle et ne peut être levée sans hypothèses plémentaires. X ν 2 k

3 Martingales à temps discret 27 Exemple 4.8. Considérons par exemple la marche aléatoire S 0 = 0, S n = X 1 + X X n où les (X n ) sont des v.a. indépendantes telles que IP (X k = 1) = IP (X k = 1) = 1 2. On montrera plus loin (voir Exercice 4.30)que ν = inf(n; S n = 1) vérifie IP (ν < + ) = 1. Par ailleurs (S n ) est une martingale. On a d une part IE(S 0 ) = IE(S n ) = 0 et d autre part S ν = 1 p.s. et donc IE(S ν ) = 1. La conclusion du Corollaire 4.7 n est donc pas satisfaite; ν n est pas borné car IP (ν > n) ( 1 2 )n > Inégalités maximales. Ce sont des inégalités concernant les v.a. max X k, 0 k n Théorème 4.9. On a, pour a > 0, max X k, 0 k n X n, n X n. n (i) si (X n ) est une surmartingale positive, IP ( k X k > a) 1 a IE(X 0); (ii) si (X n ) est une sous-martingale positive, IP ( max X k > a) 1 0 k n a {max 0 k n X k >a} X n dip 1 a IE(X n). Preuve: (i) Posons, pour a > 0, ν = inf(x n > a). Rappelons que ν = + si ( ) =. On a alors { k X k > a} = {ν < + } et X ν > a sur {ν < + } et donc X n ν a1 {ν n}. On en déduit IE(X 0 ) IE(X n ν ) aip (ν n) et, faisant tendre n vers +, aip (ν < + ) IE(X 0 ). (ii) Si (X n ) est une sous-martingale positive, on a (avec le même ν), {max 0 k n X k > a} = {ν n}. Pour k n, X k dip X n dip, d où On a alors, {ν=k} aip (ν n) n k=0 X ν dip = {ν n} X n dip = {ν=k} {ν=k} n k=0 X k dip {ν=k} X n dip IE(X n ). {ν n} Corollaire (Inégalité de Doob) Soient p > 1 et X n une martingale telle que n IE X n p < +. lors n X n p est intégrable et, X n p p n p 1 X n p. n Preuve: Supposons que X n soit une sous-martingale positive (cas auquel on se ramène en prenant X n si X n est une martingale). Posons Y n = max k n X k. D après la proposition précédente, P (Y n > a) 1 a E(X n1 Yn>a) d où l on déduit pa p 1 P (Y n > a) pa p 2 E(X n 1 Yn>a) et en intégrant et utilisant Fubini (tout est positif) E( pa p 1 1 Yn>ada) E(X n pa p 2 1 Yn>ada) i.e. E(Yn p ) p p 1 E(X nyn p 1 ) p p 1 E(Xp n) 1 p E(Yn p ) p 1 p en appliquant l inégalité de Hölder. De ce fait, E(Yn p ) 1 p p p 1 E(Xp n) 1 p p p 1 E(X p k ) 1 p d où le résultat en faisant tendre n vers l infini. Le cas le plus important est p = 2 pour lequel on a E[ n X 2 n] 4 n IE(X 2 n). 0 k 0 (4.2)

4 Martingales à temps discret Martingales de carré intégrable. L importance de la notion de martingale se justifie par un certain nombre de résultats de convergence. Dans ce paragraphe, nous commençons par regarder le cas le plus fort. Théorème Soit M n une martingale telle que n IE(M 2 n) < +. lors M n converge p.s. et dans L 2. Preuve: Remarquons que (M 2 n) est une sous-martingale et donc IE(M 2 n) est croissante. Puisque IE(M n+p M n ) = IE(M n IE(M n+p F n )) = IE(M 2 n), on a IE((M n+p M n ) 2 ) = IE(M 2 n+p) IE(M 2 n) (4.3) Supposons que la martingale (M n ) n soit bornée dans L 2 i.e. que n IE(M n) 2 < +. En fait, vu que IE(M n) 2 est croissante, IE(M n) 2 m. On a alors, d après (4.3), IE(M n+p M n ) 2 m IE(M n) 2 d où p IE(M n+p M n ) 2 n 0, ce qui montre que (M n ) est une suite de Cauchy dans L 2 et donc converge dans L 2. Montrons que (M n ) converge p.s.. Soit V n = i,j n M i M j. Evidemment V n V et il suffit de montrer que V = 0 p.s. car, alors, M n est p.s une suite de Cauchy et donc converge p.s.. Utilisant le Théorème 4.9, on a, pour tout ρ > 0, IP (V > ρ) IP (V n > ρ) = IP ( IP i n M i M n 2 > ρ2 ) 4 Ceci implique IP (V > 0) = 0. ( M i M j > ρ i,j n ) ( IP 4 ρ 2 E( (M i M n ) 2 ) 16 i n i n M i M n > ρ ) 2 ρ 2 IE(M i M n ) Théorèmes de convergence. Le Théorème 4.11 fournit un premier résultat de convergence. En particulier, il implique la convergence p.s. de toute martingale bornée. Le lemme suivant étend ce résultat aux sous-martingales bornées. Lemme Soit (X n ) une sous-martingale bornée par un réel K. lors (X n ) converge p.s. Preuve: Ecrivons X n = M n + n la décomposition de Doob de la sous-martingale X n. On a alors E( n ) = E(X n ) E(M n ) = E(X n ) E(M 0 ) 2K puisque 0 = 0 et donc (limite monotone) E( ) 2K d où < + p.s. Posons τ p = inf{n > 0, n+1 > p}. τ p est un temps d arrêt et M τp n = X τp n τp n K + p. De ce fait, (M τp n) est une martingale bornée qui converge donc p.s. Comme τp n converge naturellement p.s., on en déduit la convergence p.s. de X τp n, et donc celle de (X n ) sur l événement (τ p = + ). Comme ( < + ) p.s., on a P ( p 1 (τ p = + )) = 1 d où le résultat cherché. On a alors un premier théorème très agréable à utiliser car ses hypothèses sont très simples à vérifier. vant de l énoncer, rappelons qu on s autorise un abus de langage en cela qu une v.a positive peut prendre pour valeur + avec une probabilité non nulle. Théorème Soit (X n ) une surmartingale positive. lors elle converge p.s. vers une v.a. X et l on a X n IE(X F n ). De plus, si IP (X 0 < + ) = 1, IP (X < + ) = 1. Preuve: Remarquons que puisque x e x est une fonction convexe décroissante, Y n = e Xn est une sous-martingale telle que 0 Y n 1. De ce fait, d après le Lemme 4.12, Y n converge p.s. vers une variable positive Y. On pose X = ln Y. Par ailleurs, pour p n, on a E(X p /F n ) X n, et donc, appliquant le lemme de Fatou, E(X /F n ) X n. En particulier, E(X /F 0 ) X 0. Prenant M > 0, on obtient E(X 1 X0 M/F 0 ) X 0 1 X0 M M d où X < + p.s. sur l événement (X 0 < M). D où le résultat cherché puique M>0 (X 0 < M) = Ω. Bien entendu, une martingale positive est une surmartingale positive et le théorème précédent donne également la convergence dans ce cas. i n

5 Martingales à temps discret 29 Le théorème suivant traite le cas des sous-martingales bornées dans L 1. Théorème Soit (X n ) une sous-martingale telle que n IE X n < +. converge p.s. lors (X n ) Preuve: Notons que (X n + ) est une sous-martingale. Considérons X n + = M n + n sa décomposition de Doob. lors E( ) = E( n ) E( M 0 ) + E( X n ) < +. Posons Y n = M n + E( /F n ). On a Y n X n + X n et donc Y n est une martingale positive et Z n = Y n X n est une surmartingale positive, qui de ce fait convergent p.s. toutes les deux. Comme Y 0 et Z 0 sont clairement finies p.s., le Théorème 4.13 donne X < + et Z < + p.s. et donc la convergence p.s. de X n = Y n Z n. Il faut noter que, contrairement au cas L 2, la condition n IE X n < + n implique pas la convergence dans L 1 comme le montre l exemple suivant. Ceci est naturellement à rapprocher de l équiintégrabilité (voir Exercice 2.5). Exemple On choisit Ω = [0, 1], F = B(R), P = mesure de Lebesgue, F n = σ([k2 n, (k + 1)2 n [, k = 0,..., 2 n 1), X n = 2 n 1 [0,2 n [. On vérifie facilement que X n est une F n martingale, que X n converge vers 0, que IE X n = IE(X n ) = 1 et donc que X n ne converge pas vers 0 dans L Martingales régulières. Notre premier exemple de martingale mérite d être étudié spécifiquement. Définition Une martingale de la forme X n = IE(X F n ), X L 1, est dite régulière. On a le résultat de convergence suivant. Théorème Soit X L 1. La martingale régulière X n = IE(X F n ) converge p.s. et dans L 1 vers IE(X F ). Preuve: IE X n = IE IE(X F n ) IE(IE( X F n ) = IE(IE( X ) = IE X. Donc (Th. 4.14) X n X p.s. Etudions la convergence dans L 1. Ecrivant X = X + X, on peut poser X 0. Soit a > 0. D après le théorème de convergence dominée X X a 1 0 lorsque a +. On vient de voir que IE(X a F n ) converge p.s. mais, étant borné, IE(X a F n ) converge aussi dans L 1. Il suffit alors d écrire que IE(X F n ) IE(X F m ) 1 IE(X F n ) IE(X a F n ) 1 + IE(X a F n ) IE(X a F m ) IE(X a F m ) IE(X F m ) 1 2 X X a 1 + IE(X a F n ) IE(X a F m ) 1 pour en déduire que IE(X F n ) est une suite de Cauchy dans L 1 et donc converge dans L 1. Par définition de X n, pour tout F n, X n dip = X dip, d où, puisque X n converge dans L 1, pour tout F n, X dip = X dip. (4.4) Il est facile de voir par un argument classique que (4.3) est valable pour tout F = σ( F n). Ce qui montre que X = IE(X F ). En fait, la réciproque du Théorème 4.17 est aussi valable, et on a donc: Théorème Une martingale est régulière si et seulement si elle converge dans L 1.

6 Martingales à temps discret 30 Preuve: Soit X n une martingale convergeant dans L 1 vers une v.a. X. Puisque X n X + X X n, on a n IE X n < +. Donc (Th. 4.14), X n converge p.s. vers X. On a alors, pour tout p, pour tout F n, X n+p dip = X n dip, et, faisant tendre p vers +, vu que X n+p converge dans L 1, pour tout F n, X dip = ce qui signifie que X n = IE(X F n ). X n dip, Un intérêt majeur des martingales régulières est que pour elles le théorème d arrêt prend une forme particulièrement agréable. Notons d abord que si X n est une martingale régulière de limite X, la martingale est fermée en ce sens que (X n, n N) est une martingale i.e. vérifie la définition pour tout m n +. lors, si ν est un temps d arrêt à valeurs N, X ν est parfaitement définie par X ν = X sur {ν = + }. Proposition Soit X n = IE(X F n ), X L 1, une martingale régulière. lors, (i) si ν est un temps d arrêt, X ν est intégrable et X ν = IE(X F ν ), (ii) si ν 1 ν 2 sont deux temps d arrêt, IE(X ν2 F ν1 ) = X ν1. Preuve: On sait que IE(X F ν ) = IE(X F n ) = X n sur {ν = n}, n N et donc X ν = IE(X F ν ) L 1. Quant à (ii), vu que F ν1 F ν2, on a IE(X ν2 F ν1 ) = IE(IE(X F ν2 ) F ν1 ) = IE(X F ν1 ) = X ν1. Ci-après sont reproduits les exercices et problèmes concernant les martingales à temps discret dont la correction peut être trouvée dans le livre Martingales et Chaines de Markov de P.Baldi,L.Mazliak et P.Priouret, Editions Hermann, vademecum indispensable et économique de l étudiant de DE (!). Exercice a) Soit X = (X n ) une surmartingale telle que IE(X n ) soit constante. Montrer que (X n ) est une martingale. b ) Soit (X n ) un processus intégrable adapté à la filtration (F n ). Montrer que (X n ) est une (F n ) -martingale si et seulement si, pour tout temps d arrêt borné τ de (F n ), on a IE(X τ ) = IE(X 0 ). Exercice Soit (Ω, F, (F n ), IP ) un espace de probabilité filtré sur lequel on considère deux martingales (X n ) et (Y n ) de carré intégrable. a ) Montrer que, pour m n, on a IE(X m Y n F m ) = X m Y m p.s. b ) Montrer que IE(X n Y n ) IE(X 0 Y 0 ) = n k=1 IE((X k X k 1 )(Y k Y k 1 )). Exercice Soit (Ω, F, (F n ), IP ) un espace de probabilité filtré sur lequel on considère une martingale réelle (M n ) telle que, pour tout n 0, M n K. On pose n 1 X n = k (M k M k 1 ). Montrer que (X n ) n 1 est une (F n ) -martingale qui converge p.s. et dans L 2. k=1 Exercice Soit (Y n ) n 1 une suite de v.a. indépendantes de même loi normale N(0, σ 2 ), où σ > 0. On pose F n = σ(y 1,..., Y n ) et X n = Y Y n. On rappelle que IE(e uy 1 ) = e u2 σ 2 /2. (4.5) 1 ) Soit Z u n = exp(ux n nu 2 σ 2 /2). Montrer que, pour tout u R, (Z u n) n 1 est une (F n ) n 1 -martingale. 2 ) Montrer que, pour tout u R, (Z u n) n 1 converge p.s. vers une v.a. Z u finie. Que vaut cette limite? Pour quelles valeurs de u R, (Z u n) n 1 est-elle une martingale régulière?

7 Martingales à temps discret 31 Exercice On dit qu un processus (M n ) est à accroissements indépendants si, pour tout n, la v.a. M n+1 M n est indépendante de la tribu F n = σ(m 0,..., M n ). 1 ) Soit (M n ) une martingale de carré intégrable et à accroissements indépendants. On pose σ 2 0 = Var(M 0) et, pour n 1, σ k = Var(M k M k 1 ). 1a ) Montrer que Var(M n ) = n k=0 σ2 k. 1b ) Soit ( M n ) le processus croissant associé à (M n ). Calculer M n. 2 ) Soit (M n ) une martingale gaussienne (on rappelle que le processus (M n ) est gaussien si, pour tout n, le vecteur (M 0,..., M n ) est gaussien). 2a ) Montrer que (M n ) est à accroissements indépendants. 2b ) Montrer que, pour tout θ R fixé, le processus est une martingale. Cette martingale converge-t-elle p.s.? Z θ n = e θmn θ2 2 M n (4.6) Exercice Soit (X n ) une suite de v.a. à valeurs [0, 1]. On pose F n = σ(x 0,..., X n ). On pose que X 0 = a [0, 1] et que ( IP X n+1 = X ) ( n F n = 1 X n, IP X n+1 = 1 + X ) n F n = X n ) Montrer que (X n ) est une martingale qui converge p.s. et dans L 2 vers une v.a. Z. 2 ) Montrer que IE((X n+1 X n ) 2 ) = 1 4 IE(X n(1 X n )). 3 ) Calculer IE(Z(1 Z)). Quelle est la loi de Z? Exercice l instant 1 une urne contient une boule blanche et une boule rouge. On tire une boule et on la remplace par deux boules de la même couleur que celle tirée, ce qui donne la nouvelle composition de l urne à l instant 2, et ainsi de suite suivant le même procédé. On note Y n et X n = Y n /(n + 1) le nombre et la proportion de boules blanches dans l urne à l instant n. On pose F n = σ(y 1,..., Y n ). 1 ) Montrer que (X n ) n 1 est une martingale qui converge p.s. vers une v.a. U et que l on a, pour tout k 1, lim n + IE(Xk n) = IE(U k ). 2 ) On fixe k 1. On pose, pour n 1, Z n = Y n(y n + 1)...(Y n + k 1) (n + 1)(n + 2)...(n + k) Montrer que (Z n ) n 1 est une martingale. Quelle est sa limite? En déduire la valeur de IE(U k ). 3 ) Soit X une v.a. réelle telle que X M < + p.s. Montrer que sa fonction caractéristique se développe en série entière φ (k) (0) φ(t) = t k (4.7) k! pour tout t R. 4 ) Quelle est la loi de U? k=0 Exercice (Une preuve de la loi 0-1 de Kolmogorov par les martingales) Soit (Y n ) n 1 une suite de v.a. indépendantes. On définit ( ) F n = σ(y 1,..., Y n ), F = σ F n n 1 F n = σ(y n, Y n+1,... ), F = n 1 F n.

8 1 ) Soit F. Montrer que IP () = 0 ou 1. (Suggestion: Z n = IE Fn (1 ) est une martingale... ). 2 ) Montrer que, si X est une v.a.r. F -mesurable, X = a p.s. Martingales à temps discret 32 Exercice (Une preuve par les martingales inverses de la loi forte des grands nombres) Soit (Y n ) n 1 une suite de v.a. réelles, indépendantes, de même loi et intégrables. On pose S 0 = 0, S n = Y Y n et G n = σ(y Y n, Y n+1, Y n+2,... ). 1 ) Montrer que, pour 1 m n, IE Gn (Y m ) = IE Gn (Y 1 ) p.s. et en déduire que IE Gn (Y 1 ) = S n /n p.s. 2 ) Que peut-on dire de la convergence de Z n = IE Gn (Y 1 )? 3 ) Montrer que X = IE(Y 1 ) p.s. Exercice Soit (Ω, F, (F n ), (M n ), IP ) une martingale de carré intégrable. On note n = M n le processus croissant associé et = lim n n. On a vu que cette martingale converge p.s. sur l événement { < + }. Dans cet exercice, on précise ce qui se passe sur { = + }. On pose n M k M k 1 X 0 = 0, X n =, n k 1 ) Montrer que (X n ) est une martingale de carré intégrable et que k=1 IE F n 1 [(X n X n 1 ) 2 ] n n En déduire que X n 1 pour tout n et que (X n ) converge p.s. 2a ) Soient (a n ) une suite de nombres strictement positifs telle que une suite de nombres réels convergeant vers u. Montrer que 1 n (a k a k 1 )u k a n k=1 n u. lim n + a n = + et (u n ) 2b ) (Lemme de Kronecker). Soient (a n ) une suite de nombres strictement positifs telle que lim a n = + et (x n ) une suite de nombres réels. On pose s n = x x n. Montrer que n + si la série de terme général x n /s n converge, alors lim n + s n a n = 0. 3 ) Montrer que, sur { = }, M n / n n 0 p.s. Exercice Soit (Z n ) n 1 une suite de v.a. indépendantes telles que IP (Z i = 1) = IP (Z i = 1) = 1 2 pour i = 1, 2,... On pose S 0 = 0, S n = Z Z n, F 0 = {Ω, } et F n = σ(z 1,..., Z n ). Soient a un entier > 0 et τ = inf{n 0, S n = a} le premier temps de passage par a. a ) Montrer que X θ n = eθsn (cosh θ) n est une (F n ) -martingale. Montrer que, si θ 0, (X θ n τ ) est une (F n ) -martingale bornée. b1 ) Montrer que, pour tout θ > 0, (X θ n τ ) converge p.s. et dans L 2 vers la v.a. W θ = b2 ) Montrer que IP {τ < + } = 1 et que, pour tout θ 0, e θa (cosh θ) τ 1 {τ<+ } (4.8) IE[(cosh θ) τ ] = e θa.

9 Martingales à temps discret 33 Exercice Soit, comme dans l Exercice 4.30, (Z n ) n 1 une suite de v.a. indépendantes telles que IP (Z i = 1) = IP (Z i = 1) = 1 2 pour i = 1, 2,... On pose S 0 = 0, S n = Z Z n, F 0 = {Ω, } et F n = σ(z 1,..., Z n ). Soient a un entier > 0 et λ un réel tel que 0 < λ < π/(2a). Soit τ = inf{n 0, S n = a} le temps de sortie de ] a, a[. a ) Montrer que X n = (cos λ) n cos(λs n ) est une (F n ) -martingale. b ) Montrer que 1 = IE(X n τ ) cos(λa)ie((cos λ) n τ ). c ) En déduire que IE((cos λ) τ ) (cos(λa)) 1 puis que τ est p.s. fini et que la martingale (X n τ ) est régulière. d ) Que vaut IE((cos λ) τ )? -t-on τ L p, p 1? Exercice Soit (S n ) une marche aléatoire simple sur Z: S 0 = 0, S n = U 1 + +U n, où les v.a. U i sont indépendantes et de même loi et telles que 0 < IP {U i = 1} = p < 1, IP {U i = 1} = 1 p := q. a ) Soit Z n = ( q p )Sn. Montrer que (Z n ) est une martingale positive. b ) Déduire d une inégalité maximale appliquée à la martingale (Z n ) que { } ( p ) k IP S n k q et que, lorsque q > p, ( IE ) S n p q p Exercice On considère une suite (X n ) n 1 de v.a. réelles indépendantes de même loi normale N(m, σ 2 ) avec m < 0 et on pose S 0 = 0, S n = X X n et B n = σ(s 0,..., S n ) W = S n. Le but de cet exercice est de montrer certaines propriétés de la v.a. W. 1 ) Montrer que IP (W < + ) = 1. 2 ) On rappelle que, pour λ réel, IE(e λx 1 ) = e λ2 σ 2 /2 e λm. Que vaut IE(e λs n+1 B n )? 3 ) Montrer qu il existe un λ 0 > 0 unique tel que (e λ 0S n ) soit une martingale. 4 ) Montrer que, pour tout a > 1, on a et que, pour t > 0, IP (W > t) e λ 0t. 5 ) Montrer que IE(e λw ) = 1 + λ IP (e λ 0W > a) 1 a + 0 e λt IP(W > t) dt (4.9) et en déduire que, pour tout λ < λ 0, IE(e λw ) < +. En particulier la v.a. W a des moments de tous les ordres. Exercice Soit (Ω, F, (F n ), (X n ), IP ) une sous-martingale telle que IE X n < +. 1 ) Montrer que, n étant fixé, la suite (IE Fn (X + p )) p n est croissante en p. 2 ) On pose M n = lim p IE Fn (X + p ). Montrer que (M n ) est une martingale positive intégrable. 3 ) On pose Y n = M n X n. Montrer que (Y n ) est une surmartingale positive intégrable.

10 Martingales à temps discret 34 Remarque: On conclut donc que toute sous-martingale bornée dans L 1 s écrit comme la différence d une martingale et d une surmartingale positives intégrables (décomposition de Krickeberg). Exercice Soit (Y n ) une suite de v.a. indépendantes et de même loi telles que IP (Y k = 1) = IP (Y k = 1) = 1 2. On pose B 0 = {, Ω}, B n = σ(y 1,..., Y n ) et S 0 = 0, S n = Y Y n, n 1. On considère le processus défini par n M 0 = 0, M n = sign(s k 1 )Y k, n = 1, 2,... k=1 1 ) Quel est le compensateur de la sous-martingale (S 2 n)? 2 ) Montrer que (M n ) est une martingale et calculer le compensateur de (M 2 n). 3 ) Quelle est la décomposition de Doob de ( S n )? En déduire que M n est mesurable par rapport à la tribu σ( S 1,..., S n ). Exercice Soient p et q deux probabilités sur un espace discret E telles que p q et q(x) > 0 pour tout x E. Soit (X n ) n 1 une suite de v.a. indépendantes à valeurs E et de même loi q. Montrer que la suite n p(x k ) Y n = q(x k ) k=1 est une martingale positive dont la limite p.s. est 0. La martingale est-elle régulière? (Suggestion: calculer la moyenne de Y n.) Exercice Soit (Y n ) n 1 une suite de v.a. positives indépendantes d esperance 1 et F 0 = {, Ω}, F n = σ(y k ; k n). On pose X 0 = 1 et X n = n k=1 Y k. 1 ) Montrer que (X n ) est une martingale pour la filtration (F n ) et en déduire que ( X n ) est une surmartingale. 2 ) On pose que k=1 IE( Y k ) = 0. Étudier la convergence et la limite de ( X n ) et puis de (X n ). La martingale (X n ) est-elle régulière? 3 ) On pose que k=1 IE( Y k ) > 0. Montrer que ( X n ) est une suite de Cauchy dans L 2 et en déduire que la martingale (X n ) est régulière. Exercice Le but de cet exercice est de fournir une version du Lemme de Borel-Cantelli pour une famille de v.a. non nécessairement indépendantes, ce qui est souvent utile. On rappelle que, pour une martingale (M n ), les trois conditions sont équivalentes. IE( M n ) < +, IE(M n + ) < +, IE(M n ) < + Soient (Ω, F, (F n ), IP ) un espace de probabilités filtré et (Y n ) n 1 une suite de v.a. positives, intégrables, adaptées (pas nécessairement indépendantes). 1a ) On pose X 0 = 0, X n = Y 1 + +Y n. Montrer que (X n ) est une sous-martingale et déterminer le processus croissant associé ( n ) n 1. 1b ) Montrer que, pour tout a > 0, τ a = inf{n, n+1 > a} est un temps d arrêt. 1c ) On pose Z n = X n n. Montrer que, pour tout n, Z n τ a a. En déduire que (Z n τa ) converge p.s. 1d ) Montrer que {lim n n < + } {lim n X n < + } p.s. (suggestion: se placer sur {τ a = + }). 2 ) On pose, de plus, que n 1 Y n L 1. Montrer que { lim n X n < + } = { lim n n < + } p.s.

11 Martingales à temps discret 35 (on pourra introduire le temps d arrêt σ a = inf( n, X n > a) et considérer Z + n σ a ). 3 ) Soit (B n ) n 1 une suite d événements adaptés. Montrer que { } { } IP F n 1 (B n ) < + = 1 Bn < + n 1 Exercice Soit (X n ) n 1 une suite de v.a. réelles, de carré intégrable, adaptées, définies sur (Ω, F, (F n ), IP ), et (σ 2 n) une suite de nombres positifs. On pose que p.s., pour tout n 1, n 1 IE F n 1 (X n ) = 0, IE F n 1 (X 2 n) = σ 2 n p.s. (cette condition est satisfaite, par exemple, si les v.a. (X n ) n 1 sont indépendantes centrées et de variance finie). On pose S 0 = 0, 0 = 0 et, pour n 1, S n = X X n, n = σ σ2 n, V n = Sn 2 n. 1 ) Montrer que (S n ) et (V n ) sont des martingales intégrables. 2 ) Montrer que, si k=1 σ2 k < +, (S n) converge p.s. et dans L 2. 3 ) On pose que (S n ) converge p.s. et qu il existe une constante M telle que, pour tout n 1, X n M p.s. Pour a > 0, on pose τ a = inf{n 0; S n > a}. 3a ) Montrer que, pour tout n, IE(S 2 n τ a ) = IE( n τa ). 3b ) Montrer qu il existe a > 0 tel que IP (τ a = + ) > 0. 3c ) En déduire que k=1 σ2 k < +. Remarque: Soit (X n ) n 1 une suite de v.a. réelles, centrées, indépendantes, de carré intégrable. Il est clair qu une telle suite vérifie les hypothèses de cet exercice. On a donc retrouvé les résultats classiques: (i ) si k=1 Var(X k) < +, alors k=1 X k converge p.s., (ii ) si les v.a. X k sont uniformément bornées, alors k=1 X k converge p.s. si et seulement si k=1 Var(X k) < +. Exercice Soit (Ω, F, (F n ), (M n ), IP ) une martingale de carré intégrable et notons n = M n le processus croissant associé. On pose τ a = inf{n 0; n+1 > a 2 }. 1 ) Montrer que τ a est un temps d arrêt. 2 ) Montrer que IP ( M n τa > a) a 2 IE( a 2 ). 3 ) Montrer que ( IP ) ( M n > a IP ( > a 2 ) + IP p.s.. ) M n τa > a. (4.10) 4 ) Soit X une v.a. positive. Montrer, en appliquant le théorème de Fubini, les deux relations λ 0 0 IP (X > t) dt = IE(X λ) pour tout λ [0, + ], a 2 IE(X a 2 ) da = 2IE( X). 5 ) Montrer que IE( M n ) 3IE( ), (on pourra intégrer (4.10) par rapport à a de 0 à +... ). 6 ) Soit (Y n ) n 1 une suite v.a. centrées, indépendantes, de même loi et de carré intégrable. On pose S 0 = 0, F 0 = {Ω, } et, pour n 1, S n = Y Y n, F n = σ(y 1,..., Y n ). Montrer que si τ est un temps d arrêt tel que IE( τ) < +, alors IE(S τ ) = 0. Remarque: Il est interessant de comparer le résultat de la question 6) avec celui de la partie de l Exercice 4.42 pour m = 0. On en déduit que le temps de passage τ de la partie 4) de l Exercice 4.42 est de plus tel que IE( τ) = +.

12 Martingales à temps discret 36 Exercice Sur un espace de probabilité (Ω, F, IP ) on considère des v.a. Xn, i n = 1, 2,..., i = 1, 2, indépendantes et de Bernoulli B(1, 1 2 ). On pose Si n = n k=1 Xi k, ν i = inf{n; Sn i = a} où a est un entier 1. On pose ν = ν 1 ν 2. 1 ) Montrer que IP (ν i < + ) = 1, i = 1, 2. 2 ) On pose, pour i = 1, 2 et tout n 0, M i n = 2S i n n, M i,j n = (2S i n n)(2s j n n) nδ i,j où δ i,j = 1 si i = j et = 0 sinon. Montrer que (Mn) i n et (Mn i,j ) n sont des martingales par rapport à la filtration F n = σ(xk i, i = 1, 2, k n). 3 ) Montrer que IE(ν) 2a. 4 ) Montrer que IE(M i,j ν ) = 0. 5 ) Montrer que IE( S 1 ν S 2 ν ) a (suggestion: considérer la martingale M 1,1 n 2M 1,2 n + M 2,2 n ). Exercice (Identités de Wald) Soit (Y n ) n 1 une suite de v.a.r. indépendantes, intégrables, de même loi. On pose m = IE(Y 1 ), S 0 = 0, F 0 = {Ω, } et, pour n 1, S n = Y Y n, F n = σ(y 1,..., Y n ). Soit ν un temps d arrêt intégrable. 1 ) On pose X n = S n nm. Montrer que (X n ) est une martingale. 2 ) Montrer que, pour tout n, IE(S n ν ) = mie(n ν). 3 ) Montrer que S ν est intégrable et que IE(S ν ) = mie(ν) (considérer d abord le cas Y n 0). 4 ) Supposons IP (Y n = 1) = IP (Y n = 1) = 1 2, pour tout n et τ = inf{n; S n a}, où a est un entier 1. Dans l Exercice 4.30, on a montré que τ < + p.s. Montrer que τ n est pas intégrable. B ) On pose de plus que IE(Y 2 1 ) < + et on note σ2 = Var(Y 1 ). On pose d abord que m = 0 et on pose Z n = S 2 n nσ 2. B1 ) Montrer que (Z n ) est une F n -martingale. B2 ) Montrer que, pour tout j < k, IE[Y j 1 {j ν} Y k 1 {k ν} ] = 0 puis que IE[ (suggestion: on utilise )). k=1 Y 2 k 1 {k ν}] < + B3 ) Montrer que (S n ν ) est une suite de Cauchy dans L 2. En déduire que S n ν n S ν dans L 2. B4 ) Montrer que IE(S 2 ν) = σ 2 IE(ν). B5 ) On ne pose plus m = 0. Montrer que IE((S ν mν) 2 ) = σ 2 IE(ν). Exercice Soit (Ω, F, (F n ), IP ) un espace de probabilité filtré et ν une mesure finie sur F = F. On pose que, pour tout n 0, IP domine ν sur F n et on note X n la densité de Radon-Nikodym: X n est donc F n -mesurable et ν() = X n dip pour tout F n (en particulier X n 0). a ) Montrer que (X n ) est une martingale. b ) Montrer que (X n ) converge p.s. vers une variable intégrable X. c ) Montrer que si IP domine ν sur F, X est la densité de Radon-Nikodym correspondante. d ) On pose que les deux mesures ν et IP sont étrangères sur F, c est à dire qu il existe S F tel que IP (S) = 1 et ν(s) = 0. Montrer qu alors X = 0 p.s.

13 Martingales à temps discret 37 Exercice Soit (X n ) une martingale intégrable définie sur un espace (Ω, F, (F n ), IP ) et soit ν un temps d arrêt vérifiant IP (ν < + ) = 1, IE( X ν ) < +, X n dip 0. n 1 ) Montrer que X ν dip {ν>n} n 0 2 ) Montrer que IE( X ν n X ν ) 0. 3 ) En déduire que IE(X ν ) = IE(X 0 ). {ν>n} Exercice (Un résultat d arrêt pour un temps d arrêt non borné) On considère une surmartingale intégrable (Ω, F, (F n ), (X n ), IP ). On pose qu il existe une constante M telle que, pour tout n 1, IE F n 1 ( X n X n 1 ) M p.s. 1 ) Montrer que, si (V n ) n 1 est un processus positif tel que, pour tout n 0, V n soit F n 1 -mesurable, on a ( ) ( IE V n X n X n 1 MIE V n ). n=1 2 ) Soit ν un temps d arrêt intégrable. On rappelle que IE(ν) = n 1 IP {ν n}. 2a ) Déduire de 1) que IE( n 1 1 {ν n} X n X n 1 ) < +. 2b ) Que vaut n 1 1 {ν n}(x n X n 1 )? En déduire que X ν est intégrable. 3 ) Montrer que (X ν p ) p 0 tend vers X ν dans L 1 lorsque p 4 ) En déduire que, si ν 1 ν 2 sont deux temps d arrêt avec ν 2 intégrable, on a IE(X ν2 F ν1 ) X ν1 (on peut se servir du fait suivant: si F ν1, alors {ν 1 k} F ν1 k, après l avoir prouvé... ). Exercice ) Montrer qu une martingale est régulière si et seulement si elle est équiintégrable (Voir Exercice 2.5). 2 ) Soit (X n ) une martingale verifiant Montrer que (X n ) est une martingale régulière. n=1 IE[ X n log + X n ] < +. (4.11) Remarque:Le résultat le plus important de cet exercice est le suivant: une martingale est régulière si et seulement si elle elle est équi-intégrable, c est-à-dire vérifie la condition X n dip 0. a + { X n >a} Exercice Soit (Ω, F, IP ) un espace de probabilité. On pose que la tribu F est séparable i.e. qu il existe une famille dénombrable (F n ) n 1 d événements tels que F = σ(f n, n 1). Soit Q une probabilité sur (Ω, F) absolument continue par rapport à IP, i.e. vérifiant Q() = 0 si IP () = 0. 1a ) Soit ( n ) n 1 une suite d événements tels que n=1 IP ( n) < + et vérifiant, pour tout n, Q( n ) α > 0. Soit = lim n n. Montrer que IP () = 0 et Q() α. 1b ) En déduire que, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que IP () < η implique Q() < ε. 2 ) Montrer qu il existe une famille dénombrable P n = (G n,k ) 1 k r(n) de partitions finies de Ω telle que F n = σ(f 1,..., F n ) = σ(p n ).

14 3 ) Soit I n = {k {1,..., r(n)}, IP (G n,k ) > 0}. On pose Martingales à temps discret 38 X n = k I n Q(G n,k ) IP (G n,k ) 1 G n,k. Montrer que (X n ) n 1 est une (F n ) -martingale qui converge p.s. 4 ) Montrer que la martingale (X n ) n 1 est équi-intégrable (utiliser 1b)) et en conclure qu elle converge dans L 1. 5 ) Montrer que, pour tout F, Q() = X dip, où X = lim n + X n. Remarque: Cet exercice présente une démonstration du théorème de Radon-Nikodym pour une tribu séparable. On peut, mais c est assez technique, étendre cette démonstration aux tribus quelconques. Exercice Sur l espace de probabilité filtré (Ω, F, (F n ), IP ) on considère une sous-martingale (X n ) telle que X 0 = 0. Soit ( n ) son compensateur. On a déjà vu comment déduire des informations sur la convergence d une martingale, à partir du comportement du processus croissant associé. Dans ce problème on va plus à fond sur cette question. 1 ) On pose que X n 0 pour tout n et on pose, pour a > 0, σ a = inf(n 1, n+1 > a). 1a ) Montrer que σ a est un temps d arrêt. 1b ) Montrer que IE[X n σa ] a. 1c ) En déduire que (X n ) converge p.s. sur {σ a = + }. 1d ) Montrer que, p.s., { { < + } {X n converge} } X n < +. On pose, pour a > 0, τ a = inf(n 1, X n > a). On dit que (X n ) est de classe C + si, pour tout a > 0, IE[( τa ) + 1 {τa<+ }] = C a < + où n = X n X n 1, n 1 (en particulier (X n ) est de classe C + si IE( X n X n 1 ) M < + pour tout n 0). 2 ) On pose que (X n ) est de classe C + (on ne pose plus X n 0). 2a ) Montrer que IE[X + τ a 1 {τa<+ }] a + C a, puis que IE[X + n τ a ] 2a + C a. 2b ) En déduire que IE X n τa < +, puis que (X n ) converge p.s. sur {τ a = + } (utiliser l égalité x = 2x + x). 2c ) En déduire que p.s. {X n converge} = { X n < + }. 2d ) Montrer que IE[ n τa ] = IE[X n τa ] 2a + C a. En déduire que IE[ τa ] < + et que, p.s., {τ a = + } { < + }. 2e ) Montrer que p.s. { X n < + } { < + }. 2f ) On pose de plus que X n 0 pour tout n; montrer que { } {X n converge} = X n < + = { < + } p.s.. 3 ) On pose que (X n ) est une martingale satisfaisant à la relation IE( n ) < +. Montrer que p.s. { } Ω = {X n converge} lim X n = +, lim inf X n =. n n 4 ) Soit (B n ) n 1 une suite d événements adaptés. Montrer que p.s. { } { } IP F n 1 (B n ) < + = 1 Bn < +. n=1 n=1

15 Martingales à temps discret 39 5 ) Soit (M n ) une martingale de carré intégrable, nulle en 0, et ( M n ) le processus croissant associé. On pose n = M n. 5a ) Montrer que la sous-martingale X n = (M n + 1) 2 a pour compensateur ( n ). 5b ) En déduire (utiliser 1)) que p.s. { < + } {M n converge}. 5c ) On pose de plus que IE( M n+1 M n 2 ) < +. Montrer que p.s. { < + } = {M n converge} } { = + } = {lim n + M n = +, lim n + M n =. (une inégalité utile: y 2 x 2 y x x y x ). Exercice Dans ce problème on montre, avec une méthode probabiliste, que toute fonction Lipschitzienne est primitive d une fonction mesurable bornée. Soient f : [0, 1] R, une fonction Lipschitzienne de constante de Lipschitz L > 0 et X une v.a. à valeurs [0, 1], de loi uniforme. On pose X n = [2n X] 2 n et Z n = 2 n (f(x n ) f(x n n )) où [x] désigne la partie entière du réel x. a ) Etudier la convergence de (X n ). b ) Montrer l égalité de tribus σ(x n, X n+1,... ) = σ(x). c ) Déterminer la loi conditionnelle de X n+1 sachant (X k ) k n. En déduire que (Z n ) est une martingale bornée. On note Z sa limite p.s. et dans L 1. d ) Montrer qu il existe une fonction g borélienne telle que Z = g(x). e ) Calculer la loi conditionnelle de X sachant X n et montrer que p.s., Z n = 2 n Xn+ 1 2 n f ) Déduire que pour tout k, n, 0 k 2 n 1, et conclure que pour tout x [0, 1], X n f( k 2 n n ) f( k 2 n ) = f(x) f(0) = x 0 g(u)du. k+1 2 n g(u)du k 2 n g(u)du. (4.12) Exercice Soit (Y n ) n 1 une suite de v.a. à valeurs dans Z, indépendantes et de même loi µ. On pose que IE(Y i ) = m < 0 et IP (Y i = 1) > 0, IP (Y i 2) = 0. On pose X 0 = 0, X n = Y Y n et Le but de ce problème est de trouver la loi de W. a ) Montrer que W < + p.s. W = X n. b1 ) Soit X une v.a. réelle. On note M(λ) = IE(e λx ) sa transformée de Laplace (éventuellement M(λ) = + ) et ψ(λ) = log M(λ). Montrer que ψ est une fonction convexe (suggestion: on utilise l inégalite de Hölder).

16 Martingales à temps discret 40 b2 ) On pose M(λ) = IE(e λy 1 ) et ψ(λ) = log M(λ). Montrer que ψ(λ) < + pour tout λ 0. Que vaut ψ (0+)? Montrer que ψ(λ) + pour λ + et qu il existe un λ 0 > 0 unique tel que ψ(λ 0 ) = 0 et que de plus ψ (λ 0 ) > 0. c ) On considère la mesure sur Z ν(k) = e λ 0k µ(k). Montrer que ν est une probabilité. Soit (Ỹn) n 1 une suite de v.a. indépendantes et de même loi ν et X0 = 0, X n = Ỹ1 + + Ỹn. Montrer que IE(Ỹn) > 0. Montrer que, si Y n = (Y 1,..., Y n ) et Ỹ n = (Ỹ1,..., Ỹn), on a, pour tout borélien R n, IP (Y n ) = IE(1 { Ỹ } e λ 0 X n ). (4.13) d ) Montrer que (e λ 0X n ) (resp. (e λ 0 X n ) ) sont des martingales par rapport à la filtration F n = σ(y 1,..., Y n ) (resp. Fn = σ(ỹ1,..., Ỹn)). e ) On pose τ k = inf{n; X n k}, τ k = inf{n; X n k}. Montrer que IP (τ k n) = IE(1 { τk n}e λ 0 X n ) = IE(1 { τk n}e λ 0 X τk ) = = e λ 0k IP( τ k n). (4.14) f ) Montrer que IP ( τ k < + ) = 1 et que W a une loi géométrique de paramètre 1 e λ 0. Déterminer λ 0 dans le cas IP (Y i = 1) = q, IP (Y i = 1) = p, avec 0 < p < q < 1. Exercice Sur (Ω, F, (F n ), IP ), on considère une probabilité Q dominée localement par IP : pour tout n 0, il existe une variable aléatoire ξ n 0, F n -mesurable telle que pour tout F n, Q() = IE(ξ n 1 ). On a vu dans l Exercice 4.43 que (ξ n ) est une martingale, d espérance 1. Le but de cet exercice est de déterminer certaines transformations qui changent les martingales par rapport à IP en des martingales par rapport à Q. On notera IE I P et IE Q les espérances par rapport à IP et Q respectivement. On pose α n = ξ n ξn {ξ n 1 >0}. On pose que pour tout n, les variables ξ n et α n sont bornées IP -p.s. Ceci implique en particulier que toute variables aléatoire Y F n -mesurable et IP -intégrable est également Q-intégrable. Soit (M n ) une IP -martingale. On pose M n = M n n IE I P F p 1 (α p (M p M p 1 )) (cette expression a un sens en vertu des hypothèses précédentes). a ) Montrer que, pour tout n N, {ξ n = 0} {ξ n+1 = 0} IP -p.s. p=1 b ) Soit Y une v.a. positive F n -mesurable. Calculer IE F n 1 Q (Y ). En déduire IE F n 1 Q (Y ) si Y est IP -intégrable et F n -mesurable. c ) Montrer que (M n) est une Q-martingale. d ) On reprend la martingale de l Exercice 4.30, ξ θ n = eθsn (cosh θ) n, où (S n ) est la marche aléatoire symétrique simple (S n = n i=1 U i, où les (U i ) i 1 forment une suite de variables indépendantes à valeurs +1 ou 1 avec probabilité 1 2 ). Soit Q une probabilité sur Ω telle que sa restriction à F n, notée Q Fn, satisfait à Q Fn = ξ θ n.ip Fn. Expliciter la Q-martingale (S n) associée à (S n ).

17 Martingales à temps discret 41 Exercice Dans ce problème on applique un résultat de convergence de surmartingales positives à l étude d un algorithme stochastique. Soit (Ω, F, (F n ), IP ) un espace de probabilité filtré. ) (lemme de Robbins-Siegmund) On considère (Z n, β n, ξ n, η n ), des v.a. positives, adaptées, finies p.s. On pose que, pour tout n 0, IE Fn (Z n+1 ) (1 + β n )Z n + ξ n η n On va établir un critère de convergence p.s. pour la suite (Z n ). 1 ) On pose α 1 = 1, α n = n (1 + β k ) 1, k=0 p.s. Z n = α n 1 Z n, ξ n = α n ξ n, η n = α n η n. Montrer que IE Fn (Z n+1) Z n + ξ n η n et que U n = Z n n 1 k=1 (ξ k η k ) est une surmartingale. 2 ) Soit a > 0. On considère le temps d arrêt n 1 τ a = inf{n 1, (ξ k η k ) > a}. Montrer que, sur {τ a = + }, (U n ) converge p.s. vers une v.a. finie. k=0 3 ) Soit Γ = { n=1 β n < +, n=1 ξ n < +, }. i ) Montrer que, sur Γ, α n converge vers α > 0 et que n=1 ξ n < +. ii ) Montrer que, sur Γ, (Z n ) converge p.s. vers une v.a. Z finie et que n=1 η n < + p.s. B ) (lgorithmes de Robbins-Monro) On considère maintenant une suite adaptée de vecteurs aléatoires (X n, Y n ) à valeurs R d R d et une suite (γ n ) de v.a. positives, adaptées telles que X n+1 = X n + γ n Y n+1. On pose qu il existent une fonction borélienne f : R d R d, une constante K < + et x 0 R d tels que IE Fn (Y n+1 ) = f(x n ), IE Fn ( Y n+1 2 ) K(1 + X n 2 ), et que, (i ) n=1 γ n = +, n=1 γ2 n < +. (ii ) f est continue, f(x 0 ) = 0 et x x 0, f(x) < 0 pour x x 0. B1 ) On pose Z n = X n x 0 2. Montrer qu il existe une constante K telle que IE Fn (Z n+1 ) (1 + Kγ 2 n)z n + Kγ 2 n + 2γ n X n x 0, f(x n ). B2 ) Déduire de ) que (Z n ) converge p.s. vers une v.a. Z et que la série n=1 γ n X n x 0, f(x n ) converge p.s. B3 ) Montrer que Z = 0 p.s. i.e. que X n n + x 0 p.s.

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 0 et l échéance N. Définition 5.1. Une option américaine est définie par une suite (h n ) n=0..n,

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Remise à niveau en processus stochastiques

Remise à niveau en processus stochastiques M2IR Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 212-213 Remise à niveau en processus stochastiques F. Bienvenüe-Duheille Le but de ce poly est de vous mettre à niveau sur les processus stochastiques

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

3.8 Introduction aux files d attente

3.8 Introduction aux files d attente 3.8 Introduction aux files d attente 70 3.8 Introduction aux files d attente On va étudier un modèle très général de problème de gestion : stocks, temps de service, travail partagé...pour cela on considère

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

Examen du cours de Mesures de risque en finance

Examen du cours de Mesures de risque en finance Examen du cours de Mesures de risque en finance Mercredi 15 Décembre 21 (9h-11h) Seul document autorisé: une feuille A4 manuscrite recto-verso. Important : rédiger sur une même copie les exercices 1 et

Plus en détail

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006 ESSEC M B A CONCOURS D ADMISSION Option économique MATHEMATIQUES III Année 2006 La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront

Plus en détail

TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales

TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales 2009 - Université Paris VI Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance (MM054) TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales 1. Questions basiques sur les filtrations 1. Une union

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0 cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x

Plus en détail

Prix d options européennes

Prix d options européennes Page n 1. Prix d options européennes Une société française tient sa comptabilité en euros et signe un contrat avec une entreprise américaine qu elle devra payer en dollars à la livraison. Entre aujourd

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

1 Définition, existence, unicité.

1 Définition, existence, unicité. Université Denis Diderot Paris 7 Espérance conditionnelle Ces rappels et compléments de cours sont inspirés de [1], [2], [3]. Il va de soi que pour une bonne connaissance des notions qui suivent, il est

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université de Franche-Comté)

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS Cours de Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2013 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 7 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire........ 8 1.1.1 Un exemple

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Mesure quantitative de l information - Chapitre 2 - Information propre et mutuelle Quantité d information propre d un événement Soit A un événement de probabilité P (A)

Plus en détail

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève 30-1- 2013 J.F.C. p. 1 F 1 F 2 F 3 Assez simple ou proche du cours. Demande du travail. Délicat. EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005 Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 X est une variable aléatoire de

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

Master 2 IMOI - Mathématiques Financières

Master 2 IMOI - Mathématiques Financières Master 2 IMOI - Mathématiques Financières Exercices - Liste 1 1 Comportement d un investisseur face au risque Exercice 1 Soit K la matrice définie par 1 2 [ 3 1 1 3 1.1 Montrer que K est la matrice de

Plus en détail

Logique informatique 2013-2014. Examen

Logique informatique 2013-2014. Examen Logique informatique 2013-2014. Examen 30 mai 2013. Durée 3h. Tous les documents sont autorisés. Seuls les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Le barême et la longueur des solutions

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2013-2014. TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé

Intégration et probabilités ENS Paris, 2013-2014. TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé Intégration et probabilités NS Paris, 23-24 TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé xercices à préparer du TD 4 xercice. (Partiel 27 Soit (,,µ un espace mesuré et f : + une fonction mesurable.. On suppose

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Cours de Probabilités : Modèles et Applications.

Cours de Probabilités : Modèles et Applications. Cours de Probabilités : Modèles et Applications. Anne Philippe & Marie-Claude Viano 2 Niveau Master Université de Nantes Année 2009-200. Anne.Philippe@univ-nantes.fr 2. Marie-Claude.Viano@univ-lille.fr

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

Mouvement brownien et calcul stochastique

Mouvement brownien et calcul stochastique Université Pierre et Marie Curie 27-28 Master de Mathématiques Spécialité: Probabilités et Applications Mouvement brownien et calcul stochastique Jean Jacod Chapitre 1 Le mouvement brownien 1.1 Processus

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Probabilités et Statistiques Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Année 2005-2006 2 Table des matières 1 Rappels de théorie des ensembles 5 1.1 Opérations sur les ensembles................... 5 1.2 Applications

Plus en détail

Espérances et variances

Espérances et variances [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 201 Enoncés 1 Espérances et variances Exercice 1 [ 04018 ] [Correction] Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [a ; b]. a Montrer que

Plus en détail

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières.

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières. Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M Hadamard 25-26 TD7 Exercice Sous-espaces fermés de C ([,] formé de fonctions régulières. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de C ([,] muni de la convergence

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles Variables aléatoires réelles Table des matières 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles. 3 1.1 Rappels sur les σ-algèbres ou tribus d événements................................. 3 1.2 σ-algèbre

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Modèles stochastiques et applications à la finance

Modèles stochastiques et applications à la finance 1 Université Pierre et Marie Curie Master M1 de Mathématiques, 2010-2011 Modèles stochastiques et applications à la finance Partiel 25 Février 2011, Durée 2 heures Exercice 1 (3 points) On considère une

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Le polycopié de cours, les notes manuscrites, et les calculatrices sont autorisés.

Le polycopié de cours, les notes manuscrites, et les calculatrices sont autorisés. Université d Orléans Deug MASS, MIAS et SM Unité MA. Probabilités et Graphes Examen partiel du 5 décembre durée: h Le polycopié de cours, les notes manuscrites, et les calculatrices sont autorisés. Le

Plus en détail

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Université d Avignon Fichier dispo sur http://fredericnaud.perso.sfr.fr/ Une étude statistique dans la population montre que le Q.I. est

Plus en détail

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure.

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure. Université d Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Analyse Fonctionnelle (Licence 3 Mathématiques-Informatique Daniel Li Construction de la mesure de Lebesgue 28 janvier 2008 Dans ce chapitre, nous allons

Plus en détail

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Céline Lacaux École des Mines de Nancy IECL 27 avril 2015 1 / 25 Plan 1 Méthodes de Monte-Carlo 2 3 4 2 / 25 Estimation d intégrales Fiabilité d un système

Plus en détail

Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres

Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres 1 Introduction Le nombre de piles obtenus au cours d une série de n lancers de pile ou face ou plus généralement dans

Plus en détail

Rappels de théorie de l intégration et des probabilités

Rappels de théorie de l intégration et des probabilités CHAPITRE 26 Rappels de théorie de l intégration et des probabilités 26.1 Résultats de théorie de l intégration 26.1.1 Théorème de dérivation des intégrales à paramètre On en énonce une version lisible

Plus en détail