Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1"

Transcription

1 Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u =, etd =,9. Le rendement non-risqué sur chaque période est r = %. a. Décrire la dynamique de S à l aide d un arbre et donner la probabilité de martingale. b. Un trader vend un put européen de prix d exercice K = C et commence ses opérations de couverture delta-neutre. Déterminer le prix du put à la date t =. c. On suppose que l actif sous-acent subit deux baisses consécutives puis une hausse : détailler les opérations e ectuées par le trader sur son portefeuille de couverture. d. S il s agissait d un put américain, l acheteur aurait-il intérêt à exercer son put de manière anticipée? a. et b. On reproduit dans la figure ci-dessous la dynamique du sous-acent et les prix du put européen aux di érents nœuds de l arbre CRR. Ces prix peuvent s obtenir comme les espérances actualisées du pay-o. Les espérances sont calculées avec la probabilité de martingale q : et la prime à t =est q =,,9,,9 = 3 5 p =,985 C. 6,6 4,,985,3353 8,8393 9,8,8549 6, 3,478,78 7,8,8 4,58 5,4 Précisons un peu les calculs pour le put. Les probabilités des di érents chemins issus des nœuds de l arbre et aboutissant au pay-o sont données par des lois binomiales B(n, q) avecn =, ou 3. Àladatet =: p = Àladatet =, en cas de hausse (nœud S = ) : et en cas de baisse (nœud S = 8) : p d = (,) 3 3q( q),8 + ( q) 3 5,4 =,985 C. p u = (,) ( q),8 =,3353 C (,) q( q),8 + ( q) 5,4 =,8393 C - michel miniconi version du 5 février

2 Àladatet = et en cas de double hausse (au nœud S = 4,), le prix du put est évidemment nul. En cas d un mouvement hausse-baisse ou baisse-hausse (au nœud S = 9,8), le put vaut p ud = ( q),8 =,8549 C, et en cas de double baisse (nœud S = 6,) la valeur du put est : p dd =, q,8 + ( q) 5,4 =3,478 C c. Le trader est vendeur, il couvre donc sa position en achetant le portefeuille de réplication. À t =:ledeltaduputest,3353,8393 ' = =, Le trader vend (short),376 parts de sous-acent qui vaut à cette date C. Il encaisse donc la prime du put, p =,985 C, augmentée de,376 C, soit au total 8,4387 C qu il place sur le marché monétaire au taux r. À t = : le sous-acent a subi une baisse, il vaut maintenant 8 C ;ledeltaduputest ' =,8549 3,478 9,8 6, =,79. Le trader vend donc à nouveau (à découvert),79,376 =,333 parts de sous-acent ; il encaisse pour cette vente,333 8 = 5,9965 C qu il raoute à la somme déà investie à t = et actualisée à t =. Il possède désormais sur son compte monétaire 8,4387 ( + r)+ 5,9965 = 4,64 C. À t = : le sous-acent a subi une nouvelle baisse, il vaut maintenant 6, C ;ledeltaduputest ' 3 =,8 5,4 7,8 4,58 =. Le trader vend encore,79 =,98 parts de sous-acent au prix du marché, ce qui lui permet d encaisser,98 6, = 4,78 C qu il raoute à la somme totale actualisée investie à la date précédente. Il a maintenant sur son compte monétaire 4,64 ( + r)+ 4,78 = 9,678 C À t = 3 : le sous-acent est remonté, il vaut maintenant 7,8 C et il est dans la monnaie, l acheteur exerce le put. Le trader liquide son portefeuille qui vaut maintenant 9,678 ( + r)+( ) 7,8 =,8 C ce qui représente exactement le pay-o qu il doit verser à l acheteur. d. Examinons le cas du put américain, résumé sur la figure ci-dessous :,985 4,,3353 9,8 B, A (,993) 6, 3,8 (3,478) 6,6,78 7,8,8 4,58 5,4

3 Ces prix sont calculés de manière récursive descendante à partir du pay-o en utilisant à chaque étape [t, t + t] la formule : t = max (K S t ) +, B t E q(p t+ t S t ) où B t désigne le facteur d actualisation sur l intervalle temporel t. On recalcule les prix lorsque l option est dans la monnaie. Au noeud A l exercice anticipé est envisageable puisqu il rapporte 3,8 C alors que le prix risque-neutre du put n est que de 3,478 C. On a donc A = max(3,8; 3,478) = 3,8 C. Cependant, l exercice est aussi envisageable au noeud B. En e et, avec le prix américain en A le prix risqueneutre en B serait maintenant égal à (3/5), (/5) 3,8 /, =,993 C qui est inférieur aux deux euros que rapporterait l exercice. Le prix du put américain en B est donc B = max( ;,993) = C. La stratégie optimale consiste à exercer le put américain à la première occasion où l exercice est favorable. Le put américain sera donc exercé à t = si le sous-acent a subi une baisse, et il rapportera C. La prime du put est = (3/5), (/5) =,985 C., En revanche, si le sous-acent commence par une hausse, le put ne sera amais exercé avant l échéance. 9. Un trader a acheté le put européen précédent et le finance en vendant le portefeuille de couverture. À la dernière étape la volatilité du sous-acent a soudain augmenté à l insu du marché : le facteur de hausse est maintenant u =,4 et le facteur de baisse d =,6. Ce mouvement de volatilité est-il favorable à l acheteur du put? La couverture a été constituée sous la volatilité initiale, le portefeuille correspondant est vendu. La position du trader à la date t = et selon les di érentes valeurs de S est résumée dans le tableau ci-dessous : À la date t = 3 le bilan est le suivant : S put parts sous-acent position en C 4, 9,8,555 -,7549 6, -9,678 S S 3 put acheté ptf vendu bilan 4, 9,8 6, 33,88 4,5 5,48 5,48 7,7 3,7 3,7,88 8, -5,45,67,68,68,68 9,7,8 -,8 Si la volatilité n avait pas augmenté, le bilan aurait été nul dans toutes les éventualités. Le mouvement de hausse de volatilité est donc favorable au trader. On pourra vérifier que la conclusion aurait été la même pour un call acheté et couvert. En cas de baisse de volatilité, la conclusion est inversée (put ou call). 3

4 Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 3 Dans ces exercices, W désignera touours un processus de Wiener (brownien standard). Montrer que pour tout s>leprocessus(w t+s W s ) t est un brownien standard indépendant du processus (W t ) appletapples. Pour l indépendance, il s agit donc de montrer que pour des ensembles de dates t,t,...,t m > et < s,s,...,s n apple s quelconques, les vecteurs aléatoires (W t+s W s,w t+s W s,...,w tm+s W s ) et (W s,w s,...,w sn ) sont indépendants.. Soit X une variable normale N (; ) et une variable qui prend les deux valeurs et avec probabilité / pour chacune. On suppose que X et sont indépendantes. On pose Y = X. a. Montrer que Y N(; ). b. Montrer que les variables X et Y sont non-corrélées. c. Montrer que X et Y ne sont pas indépendantes. Le vecteur aléatoire (X, Y ) est-il gaussien? a. On cherche à déterminer la fonction de répartition de Y, F Y.Ona F Y (y) =P(Y apple y) =P( =,Y apple y)+p( =,Y apple y) =P( =,X apple y)+p( =, X apple y) et puisque et X sont indépendantes : F Y (y) = P(X apple y)+ P(X y). Par symétrie de la loi normale centrée, P(X y) =P(X apple y) donc F Y (y) =P(X apple y) =F X (y). Ainsi Y et X ont même répartition donc elles suivent la même loi, la loi normale N (; ). b. Comme les variables sont centrées on a Cov(X, Y )=E(XY )=E( X ) donc, en raison de l indépendance de ces deux variables : Cov(X, Y )=E( )E(X )= puisque est centrée. c. Il su t de trouver deux événements, l un associé à X, l autre à Y, qui ne sont pas indépendants. On va montrer que P(X apple,y apple ) 6= P(X apple )P(Y apple ). On conditionne à nouveau par la variable : donc P(X apple,y apple ) = P(X apple,y apple, = ) + P(X apple,y apple, = ) P(X apple,y apple ) = P(X apple,x apple, = )+P(X apple,x, = ) = P(X apple )+ P( apple X apple ). Or P( apple X apple ) = P(X apple ) donc si l égalité d indépendance était vérifiée, on aurait, en notant = P(X apple ) : + ( ) = i.e. 3 +=. - michel miniconi version du février

5 Cependant les solutions de cette dernière équation sont =/ et = : la première racine correspond à = P(X apple ), la seconde à = P(X apple). En particulier, cette égalité n est pas vérifiée par P(X apple ) ce qui entraîne que les variables X et Y ne sont pas indépendantes. Les variables X et Y sont normales, non-corrélées mais non-indépendantes. Si elles formaient un couple gaussien, elles seraient indépendantes. Le vecteur aléatoire (X, Y ) n est donc pas gaussien. 3. Soit T> un réel fixé. Pour tout entier positif n on considère une subdivision n = { =t n <t n <t n <...<t n N = T } de l intervalle [,T](l entiern dépend de la subdivision donc aussi de n). On suppose que le pas de la subdivision, n = max appleapplen (t n + t n ), tend vers lorsque n tend vers l infini. On rappelle que la somme P N = ( W + t n ) converge dans L vers la limite T. a. On considère les limites dans L et I =lim n S n avec S n = J =lim n T n avec T n = Calculer J I et I + J. En déduire la valeur de I et J. b. Vérifier que la suite de fonctions simples définie par approche f(t) =W t dans M T. En déduire la valeur de l intégrale f n (t) = = Z T = = ( + ) + ( + ). [t n,t n + [ (t) W s dw s. Redémontrons d abord le rappel sur la variation quadratique du brownien cité dans l énoncé. Par un calcul direct, en remarquant que T = P N = (tn + t n ): X n o ( + ) T = ( + ) (t n + t n ) N = = = n o + Xn on = ( + ) (t n + t n ) ( + ) (t n + t n ) ( k+ <k o ) (t n k k+ t n k). Posons =( + ) (t n + t n ), on a : X ( + ) T = N = = + X <k k. Les accroissements du brownien étant indépendants, centrés et de variance l accroissement temporel correspondant, on a E( k) =E( )E( k) =.

6 Par ailleurs E( ) =E ( + ) 4 (t n + t n )E ( + ) +(t n + t n ) et puisque les accroissements sont gaussiens, le moment d ordre 4 vaut 3(t n + t n ) et l on a E( ) = (t n + t n ). Finalement X ( + ) T = (t n + t n ) apple n (t n + t n )= n T!. N E = = = a. On a T n S n = ( + )! T = (convergence dans L )et S n + T n = (Wt n + = W t n )=W T. pour tout n. Ainsi J I = T et J + I = W T donc J = W T + T et I = W T T. b. Soit t fixé dans l intervalle [,T], il existe un indice tel que t [t,t + [. Alors D après la question a E (f n (t) W t ) = E ( W t ) = t t n apple n!. S n = Z T f n (s) dw s! I donc Z T W s dw s = I = W T T. 3

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 1. a. On considère un modèle de marché (B, S) à une étape. On suppose que S = 5 C et qu à la date t = 1 on a (S u 1 = 51, S d 1 = 48).

Plus en détail

EXAMEN 14 janvier 2009 Finance 1

EXAMEN 14 janvier 2009 Finance 1 EXAMEN 14 janvier 2009 Durée 2h30 heures Exercice 1 On considère un modèle de marché de type arbre binomial à trois étapes avec un actif risqué S et un actif non risqué. On suppose S 0 = 1000$ et à chaque

Plus en détail

IAE Master 2 Gestion de Portefeuille Année 2011 2012. Feuille 3 Pricing et couverture Modèles discret

IAE Master 2 Gestion de Portefeuille Année 2011 2012. Feuille 3 Pricing et couverture Modèles discret Université de Paris Est Créteil Mathématiques financières IAE Master 2 Gestion de Portefeuille Année 2011 2012 1. Le problème des partis 1 Feuille 3 Pricing et couverture Modèles discret Le chevalier de

Plus en détail

Principes de Finance

Principes de Finance Principes de Finance 13. Théorie des options II Daniel Andrei Semestre de printemps 2011 Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2011 1 / 34 Plan I Stratégie de réplication dynamique

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

Principes de Finance

Principes de Finance Principes de Finance 12. Théorie des options I Daniel Andrei Semestre de printemps 211 Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 211 1 / 43 Plan I Introduction II Comprendre les options

Plus en détail

Propriétés des options sur actions

Propriétés des options sur actions Propriétés des options sur actions Bornes supérieure et inférieure du premium / Parité call put 1 / 1 Taux d intérêt, capitalisation, actualisation Taux d intéret composés Du point de vue de l investisseur,

Plus en détail

Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines

Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Anne-Victoire Auriault Plan de la présentation Introduction. Le problème des options 2. Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein 3. Les

Plus en détail

Valorisation d es des options Novembre 2007

Valorisation d es des options Novembre 2007 Valorisation des options Novembre 2007 Plan Rappels Relations de prix Le modèle binomial Le modèle de Black-Scholes Les grecques Page 2 Rappels (1) Définition Une option est un contrat financier qui confère

Plus en détail

3. Evaluer la valeur d une option. 1. Arbres binomiaux 2. Modèle de Black, Scholes et Merton

3. Evaluer la valeur d une option. 1. Arbres binomiaux 2. Modèle de Black, Scholes et Merton 3. Evaluer la valeur d une option 1. Arbres binomiaux. Modèle de Black, choles et Merton 1 Les arbres binomiaux ; évaluation des options sur actions Cox, Ross, Rubinstein 1979 Hypothèse absence opportunité

Plus en détail

Les mathématiques appliquées de la finance

Les mathématiques appliquées de la finance Les mathématiques appliquées de la finance Utiliser le hasard pour annuler le risque Emmanuel Temam Université Paris 7 19 mars 2007 Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Les mathématiques de la finance Université d été de Sourdun Olivier Bardou olivier.bardou@gdfsuez.com 28 août 2012 De quoi allons nous parler? des principales hypothèses de modélisation des marchés, des

Plus en détail

3- Valorisation d'options

3- Valorisation d'options 3- Valorisation d'options Valorisation des options classiques : options d'achat (call) options de vente (put) Une pierre angulaire de la finance moderne : décisions d'investissement (options réelles) conditions

Plus en détail

Prix d options européennes

Prix d options européennes Page n 1. Prix d options européennes Une société française tient sa comptabilité en euros et signe un contrat avec une entreprise américaine qu elle devra payer en dollars à la livraison. Entre aujourd

Plus en détail

Les options : Lien entre les paramètres de pricing et les grecs

Les options : Lien entre les paramètres de pricing et les grecs Cette page est soutenue par ALGOFI Cabinet de conseil, d ingénierie financière et dépositaire de systèmes d information financiers. Par Ingefi, le Pôle Métier Ingénierie Financière d Algofi. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

Dérivés Financiers Options

Dérivés Financiers Options Stratégies à base d options Dérivés Financiers Options 1) Supposons que vous vendiez un put avec un prix d exercice de 40 et une date d expiration dans 3 mois. Le prix actuel de l action est 41 et le contrat

Plus en détail

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce

Plus en détail

Le Modèle de taux de Ho-Lee - Pricing d obligation

Le Modèle de taux de Ho-Lee - Pricing d obligation Le Modèle de taux de Ho-Lee - Pricing d obligation Le modèle de Thomas S. Y. Ho et Sang-bin Lee [1] est un modèle simple de fluctuation de taux d intérêts. Il est utilisé sous l hypothèse d absence d opportunité

Plus en détail

Cours Produits dérivés M1 IM Université Nice Sophia-Antipolis. François Delarue

Cours Produits dérivés M1 IM Université Nice Sophia-Antipolis. François Delarue Cours Produits dérivés M1 IM Université Nice Sophia-Antipolis François Delarue CHAPITRE 1 Actifs et exemples de dérivés Dans ce chapitre, nous discutons de la notion d actif financier et d actif dérivé

Plus en détail

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09 IAE Gustave Eiffel Master 2 Gestion de Portefeuille Université Paris xii Val de Marne Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09 Épreuve du 15 juillet 2009 Durée : 1 heure 30 Calculatrices

Plus en détail

Chapitre 9 Le modèle Cox-Ross-Rubinstein

Chapitre 9 Le modèle Cox-Ross-Rubinstein Chapitre 9 Le modèle Cox-Ross-Rubinstein Considérons un actif valant S 0 à la période initiale et qui, à chaque période, peut être haussier (et avoir un rendement u) avec une probabilité p ou baissier

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université de Franche-Comté)

Plus en détail

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème. I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous

Plus en détail

1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein

1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein 1 Examen 1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein On considère une option à 90 jours sur un actif ne distribuant pas de dividende de nominal 100 francs, et dont le prix

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

Évaluation des options américaines par méthodes de Monte-Carlo. Jacky Mochel

Évaluation des options américaines par méthodes de Monte-Carlo. Jacky Mochel Évaluation des options américaines par méthodes de Monte-Carlo Jacky Mochel 3 décembre 2002 1 2 TABLE DES MATIÈRES Table des matières 1 Introduction 3 1.1 Définitions et notations..............................

Plus en détail

TD 4 : HEC 2001 épreuve II

TD 4 : HEC 2001 épreuve II TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,,

Plus en détail

Chapitre 17 Le modèle de Black et Scholes

Chapitre 17 Le modèle de Black et Scholes Chapitre 17 Le modèle de Black et Scholes Introduction Au début des 70 s, Black, Scholes et Merton ont opéré une avancée majeure en matière d évaluation d options Ces contributions et leurs développements

Plus en détail

Mathématiques financières

Mathématiques financières Mathématiques financières Arnaud Triay Table des matières 1 Introduction Position du problème.1 Pricing des options........................................... Formalisme..............................................

Plus en détail

Chapitre 2 : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale.

Chapitre 2 : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale. Aix Marseille Université. Algorithmes Stochastiques. M MIS. Fabienne Castell... Chapitre : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale. Le but de ce chapitre

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Options. Brochure destinée aux investisseurs particuliers BASIC. Société du groupe KBC. Publié par KBC Securities en collaboration avec Euronext

Options. Brochure destinée aux investisseurs particuliers BASIC. Société du groupe KBC. Publié par KBC Securities en collaboration avec Euronext Brochure destinée aux investisseurs particuliers Publié par KBC Securities en collaboration avec Euronext p. 2 Index 1. Options call et put 3 2. Acheteur et vendeur 4 3. Standardisation 5 Valeur sous-jacente

Plus en détail

Théorie Financière 8 P. rod i u t its dé dérivés

Théorie Financière 8 P. rod i u t its dé dérivés Théorie Financière 8P 8. Produits dit dérivés déié Objectifsdelasession session 1. Définir les produits dérivés (forward, futures et options (calls et puts) 2. Analyser les flux financiers terminaux 3.

Plus en détail

VALORISATION DES PRODUITS DE CHANGE :

VALORISATION DES PRODUITS DE CHANGE : VALORISATION DES PRODUITS DE CHANGE : TERMES, SWAPS & OPTIONS LIVRE BLANC I 2 Table des Matières Introduction... 3 Les produits non optionnels... 3 La méthode des flux projetés... 3 Les options de change

Plus en détail

Calcul stochastique appliqué à la finance. Romuald ELIE & Idris KHARROUBI

Calcul stochastique appliqué à la finance. Romuald ELIE & Idris KHARROUBI Calcul stochastique appliqué à la finance Romuald ELIE & Idris KHARROUBI . Table des matières 1 Notion d arbitrage 5 1.1 Hypothèses sur le marché............................ 5 1.2 Arbitrage....................................

Plus en détail

TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE. Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines

TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE. Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Ensimag - 2éme année Mai 2010 TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Anne-Victoire AURIAULT 1/48 2/48 Cadre de l Étude Cette étude a été

Plus en détail

Simulations de Monte Carlo

Simulations de Monte Carlo Simulations de Monte Carlo 2 février 261 CNAM GFN 26 Gestion d actifs et des risques Gréory Taillard GFN 26 Gestion d actifs et des risques 2 Biblioraphie Hayat, Sere, Patrice Poncet et Roland Portait,

Plus en détail

Probabilités II Étude de quelques lois. Master Gestion de Portefeuille IAE Gustave Eiffel Jacques Printems printems@u-pec.

Probabilités II Étude de quelques lois. Master Gestion de Portefeuille IAE Gustave Eiffel Jacques Printems printems@u-pec. Probabilités II Étude de quelques lois Master Gestion de Portefeuille IAE Gustave Eiffel Jacques Printems printems@u-pec.fr 2012 2013 1 1 Lois discrètes. On considère des v.a. ne prenant que des valeurs

Plus en détail

Introduction aux modèles financiers

Introduction aux modèles financiers Notes pour le module spécifique Introduction aux modèles financiers Ecole Centrale de Lyon Option Mathématiques 1 2 Introduction Quelques références Pour comprendre les marchés financiers, avoir un apreçu

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009

Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009 Projets scilab L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 2 Avril 29 REMARQUE: quelques résultats importants concernant le théorème central limite et les intervalles de confiance sont rappelés dans la

Plus en détail

1 La formule de Black et Scholes en t discret

1 La formule de Black et Scholes en t discret Université de Provence Préparation Agrégation Epreuve de Modélisation, Option Proba. Texte : La formule de Black Scholes en Finance Étienne Pardoux 1 La formule de Black et Scholes en t discret On suppose

Plus en détail

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option

Plus en détail

Actuariat I ACT2121. huitième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.

Actuariat I ACT2121. huitième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free. Actuariat I ACT2121 huitième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité

Plus en détail

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

Exercices de simulation 1

Exercices de simulation 1 Licence MIA 2ème année Année universitaire 2009-2010 Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab.

Plus en détail

Pratique des options Grecs et stratégies de trading. F. Wellers

Pratique des options Grecs et stratégies de trading. F. Wellers Pratique des options Grecs et stratégies de trading F. Wellers Plan de la conférence 0 Philosophie et structure du cours 1 Définitions des grecs 2 Propriétés des grecs 3 Qu est ce que la volatilité? 4

Plus en détail

Hedging delta et gamma neutre d un option digitale

Hedging delta et gamma neutre d un option digitale Hedging delta et gamma neutre d un option digitale Daniel Herlemont 1 Introduction L objectif de ce projet est d examiner la couverture delta-gamma neutre d un portefeuille d options digitales Asset-Or-Nothing

Plus en détail

Modèles en temps continu pour la Finance

Modèles en temps continu pour la Finance Modèles en temps continu pour la Finance ENSTA ParisTech/Laboratoire de Mathématiques Appliquées 23 avril 2014 Evaluation et couverture pour les options européennes de la forme H = h(s 1 T ) Proposition

Plus en détail

Portefeuille - Probabilité risque neutre

Portefeuille - Probabilité risque neutre Portefeuille - Probabilité risque neutre Marché complet sans opportunité d arbitrage ½/ Actifs risqué et non risqué Constitution du portefeuille On notera F n l information dont on dispose à l instant

Plus en détail

Les options classiques

Les options classiques Les options classiques Les options classiques Options sur futures court terme et long terme Mécanismes et Utilisations Valorisation Sensibilités Options sur marché OTC CAP/FLOOR Swaptions Options sur obligations

Plus en détail

Master ISIFAR 2ème année Exercices pour le cours Mathématiques Financières

Master ISIFAR 2ème année Exercices pour le cours Mathématiques Financières Master ISIFAR 2ème année Exercices pour le cours Mathématiques Financières Chapitre 1 Exercice 1. * Calculer le prix à terme d échéance T d une obligation de nominal N, qui verse un coupon C à la date

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

Etude de Cas de Structuration Magistère d Economie et de Statistiques

Etude de Cas de Structuration Magistère d Economie et de Statistiques Etude de Cas de Structuration Magistère d Economie et de Statistiques David DUMONT - TEAM CALYON 22 avril 2008 Dans 2 ans, si l EURODOL est inférieur à 1,40 touchez 116% du nominal investi en euros, sinon

Plus en détail

Processus aléatoires avec application en finance

Processus aléatoires avec application en finance Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et

Plus en détail

Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010

Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010 27 octobre 2010 Outline 1 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Portefeuille auto-finançant Objectif de BS 2 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique

Plus en détail

2- Comment les traders gèrent les risques

2- Comment les traders gèrent les risques 2- Comment les traders gèrent les risques front office middle office back office trading échange d'actifs financiers contrôle des risques, calcul du capital requis enregistrement des opérations traitement

Plus en détail

COMPRENDRE LA BOURSE

COMPRENDRE LA BOURSE COMPRENDRE LA BOURSE Les positions vendeuses sur les options, ou vente d options Ce document pédagogique n est pas un document de conseils pour investir en bourse. Les informations données dans ce document

Plus en détail

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies 0.1. LES GRECQUES 1 Simulations des Grecques : iavin vs Différences finies Christophe Chorro Ce petit document vise à illustrer de manière numérique les techniques présentées lors du mini cours sur le

Plus en détail

Ecole Nationale des Ponts et Chaussées Option Adjusted Spread

Ecole Nationale des Ponts et Chaussées Option Adjusted Spread Ecole Nationale des Ponts et Chaussées Option Adjusted Spread Dimitri Kassatkine, Sofiane Maayoufi IMI Finance Mars 2006 1 INTRODUCTION 1.1 Présentation des produits obligataires Une obligation est un

Plus en détail

Les techniques des marchés financiers

Les techniques des marchés financiers Les techniques des marchés financiers Exercices supplémentaires Christine Lambert éditions Ellipses Exercice 1 : le suivi d une position de change... 2 Exercice 2 : les titres de taux... 3 Exercice 3 :

Plus en détail

Les produits dérivés. Chapitre 2. 2.1 Forwards et futures

Les produits dérivés. Chapitre 2. 2.1 Forwards et futures Chapitre 2 Les produits dérivés Di érents types des taux d intérêt. Formule de valorisation d un forward sur un actif financier (action, obligation). Classification des options et terminologie associée,

Plus en détail

Chapitre 5 : produits dérivés

Chapitre 5 : produits dérivés Chapitre 5 : produits dérivés 11.11.2015 Plan du cours Options définition profil de gain à l échéance d une option déterminants du prix d une option Contrats à terme définition utilisation Bibliographie:

Plus en détail

Les techniques des marche s financiers Exercices supple mentaires

Les techniques des marche s financiers Exercices supple mentaires Les techniques des marche s financiers Exercices supple mentaires Exercice 1 : le suivi d une position de change... 2 Exercice 2 : les titres de taux... 3 Exercice 3 : mathématiques et statistiques...

Plus en détail

Couverture et calcul de Malliavin

Couverture et calcul de Malliavin Couverture et calcul de Malliavin L. Decreusefond TPT L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 1 / 1 Modèle binomial L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 2 / 1 Modèle

Plus en détail

Dérivés Financiers Caractéristiques des contrats d options

Dérivés Financiers Caractéristiques des contrats d options Dérivés Financiers Caractéristiques des contrats d options Owen Williams Grenoble Ecole de Management Accréditations > 2 Introduction Une option donne au détenteur le droit de faire quelque chose dans

Plus en détail

Options exotiques complexes

Options exotiques complexes Options exotiques complexes Cette série d exercices porte sur les options exotiques (chapitre 14 ) avec éventuellement des taux d intérêt stochastiques (chapitres 16 et 17). Les exercices les plus difficiles

Plus en détail

Chapitre 20. Les options

Chapitre 20. Les options Chapitre 20 Les options Introduction Les options financières sont des contrats qui lient deux parties. Les options existent dans leur principe depuis plusieurs millénaires, mais elles connaissent depuis

Plus en détail

Calcul Stochastique pour la finance. Romuald ELIE

Calcul Stochastique pour la finance. Romuald ELIE Calcul Stochastique pour la finance Romuald ELIE 2 Nota : Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis

Plus en détail

Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année)

Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année) Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année) Marches aléatoires et marchés financiers Groupe 4 tuteur : J. Bouttier 8 février 2010 Résumé Depuis la thèse de Bachelier, les marchés nanciers ont constitué un

Plus en détail

PROCESSUS ALEATOIRES :

PROCESSUS ALEATOIRES : EcoledesMinesdeSaint Etienne PROCESSUSALEATOIRES: MARTINGALES,MOUVEMENTBROWNIEN,CALCULSTOCHASTIQUE Exercices Janvier2009 OlivierRoustant Processusaléatoires,calculstochastique:exercicesENSM SE2009 MOUVEMENTBROWNIEN

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

NOTICE MÉTHODOLOGIQUE SUR LES OPTIONS DE CHANGE

NOTICE MÉTHODOLOGIQUE SUR LES OPTIONS DE CHANGE NOTICE MÉTHODOLOGIQUE SUR LES OPTIONS DE CHANGE Avec le développement des produits dérivés, le marché des options de change exerce une influence croissante sur le marché du change au comptant. Cette étude,

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

3.8 Introduction aux files d attente

3.8 Introduction aux files d attente 3.8 Introduction aux files d attente 70 3.8 Introduction aux files d attente On va étudier un modèle très général de problème de gestion : stocks, temps de service, travail partagé...pour cela on considère

Plus en détail

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci «Evaluation et couverture de produits dérivés» Etudiants : Colonna Andrea Pricing d'un Call Lookback par Monte Carlo et Ponts Browniens Rapport de Projet

Plus en détail

CHAMPION Matthieu Modèles de Marché en Visual Basic ESILV S04 S6. Sommaire... 1. Introduction... 2

CHAMPION Matthieu Modèles de Marché en Visual Basic ESILV S04 S6. Sommaire... 1. Introduction... 2 Sommaire Sommaire... 1 Introduction... 2 1 Trois différentes techniques de pricing... 3 1.1 Le modèle de Cox Ross Rubinstein... 3 1.2 Le modèle de Black & Scholes... 8 1.3 Méthode de Monte Carlo.... 1

Plus en détail

La méthode Monte-Carlo. DeriveXperts. 19 mai 2011

La méthode Monte-Carlo. DeriveXperts. 19 mai 2011 19 mai 2011 Outline 1 Introduction Définition Générale Génération de nombre aléatoires Domaines d application 2 Cadre d application Méthodologie générale Remarques Utilisation pratique Introduction Outline

Plus en détail

Stratégies sur options et Pricer d'options

Stratégies sur options et Pricer d'options Stratégies sur options et Pricer d'options Définition Une option (ou Warrant) est un contrat qui confère à son porteur le droit d acheter ou de vendre un sous-jacent (action, obligation, indice synthétique,

Plus en détail

Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options

Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options 1 Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options Semaine «éléments finis», ENSMP 29 novembre 2006 Jean-Didier Garaud (ONERA, DMSE/LCME) 2 Plan Actions et produits dérivés Modèle de Black-Scholes

Plus en détail

Options, Futures, Parité call put

Options, Futures, Parité call put Département de Mathématiques TD Finance / Mathématiques Financières Options, Futures, Parité call put Exercice 1 Quelle est la différence entre (a) prendre une position longue sur un forward avec un prix

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

Variables aléatoires continues

Variables aléatoires continues IUT Aix-en-Provence Année 204-205 DUT Informatique TD Probabilités feuille n 6 Variables aléatoires continues Exercice (La station-service) Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence,

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

Couverture dynamique des produits dérivés de crédit dans les modèles à copules

Couverture dynamique des produits dérivés de crédit dans les modèles à copules Couverture dynamique des produits dérivés de crédit dans les modèles à copules David Kurtz, Groupe de Recherche Opérationnelle Workshop Copula in Finance, 14 mai 2004, ENS Cachan Sommaire 1 Le marché des

Plus en détail

COMPRENDRE LA BOURSE

COMPRENDRE LA BOURSE COMPRENDRE LA BOURSE Les options Ce document pédagogique n est pas un document de conseils pour investir en bourse. Les informations données dans ce document sont à titre informatif. Vous êtes seul responsable

Plus en détail

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci «Pricing d options Monte Carlo dans le modèle Black-Scholes» Etudiant : / Partie A : Prix de Call et Put Européens Partie B : Pricing par Monte Carlo et réduction

Plus en détail

Chapitre 15 Options et actifs conditionnels. Plan

Chapitre 15 Options et actifs conditionnels. Plan Chapitre 15 Options et actifs conditionnels Plan Fonctionnement des options Utilisation des options La parité put-call Volatilité et valeur des options Les modèles de détermination de prix d option Modèle

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Mathématiques Financières

Mathématiques Financières Mathématiques Financières 3 ème partie Marchés financiers en temps discret & instruments financiers dérivés Université de Picardie Jules Verne Amiens Par Jean-Paul FELIX Cours du vendredi 19 février 2010-1

Plus en détail

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx ECRICOME 2004 Voie Eco 1 EXERCICE 1 EXERCICE Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par : x R, f (x = 1 2 et (u n la suite de nombres réels déterminée par : { u 0 = 1 f (x dx 0 n

Plus en détail

ING Turbos. Profitez de la hausse ou de la baisse des cours avec un effet de levier encore plus important!

ING Turbos. Profitez de la hausse ou de la baisse des cours avec un effet de levier encore plus important! ING Turbos 2 Profitez de la hausse ou de la baisse des cours avec un effet de levier encore plus important! @ ING Turbos ING a lancé les Turbos Infinis en France en Janvier 2011. Ceux-ci permettent de

Plus en détail

Chaînes de Markov au lycée

Chaînes de Markov au lycée Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat

Plus en détail

La gestion du risque de change

La gestion du risque de change Chapitre 16 La gestion du risque de change 1 Exercice 16.03 Risque de change Option de change de l importateurl Un importateur français doit régler dans 6 mois un achat libellé en dollars d'un montant

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

Absence d arbitrage et martingales

Absence d arbitrage et martingales ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Travail de diplôme Absence d arbitrage et martingales par Lionel Gomez Sanchez Sous la responsabilité du professeur Robert C. Dalang assisté du Dr. Benjamin Bergé

Plus en détail