Valorisation d es des options Novembre 2007

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Denis Auger
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1 Valorisation des options Novembre 2007

2 Plan Rappels Relations de prix Le modèle binomial Le modèle de Black-Scholes Les grecques Page 2

3 Rappels (1) Définition Une option est un contrat financier qui confère à son détenteur le droit (mais non l obligation) d acheter ou de vendre une quantité déterminée d un actif «sousjacent», à un prix convenu à l avance, à ou jusqu à une date déterminée au préalable (échéance) Sous-jacents possibles Actions, paniers d actions, obligations, devises, matières premières, etc. Page 3

à un prix convenu à l avance, à ou jusqu à une date déterminée au préalable (échéance)

4 Rappels (2) Terminologie Call (achat) / put (vente) «plain-vanilla» Exercice d une option: livraison effective du sous-jacent ou règlement en espèces Prix d exercice ou strike: le cours auquel l option donne le droit d acheter ou de vendre le sous-jacent Option américaine: peut être exercée à tout moment jusqu à l échéance Option européenne: ne peut être exercée qu à l échéance Prime: prix de transaction de l option Page 4

le droit d acheter ou de vendre le sous-jacent Option américaine: peut être exercée à tout moment jusqu à

5 Rappels (3) Déterminants de la prime d une option Le cours du sous-jacent, le strike, l échéance, les taux d intérêt, les éventuels dividendes versés par le sous-jacent, la volatilité du sous-jacent Impact de la hausse d un paramètre Option Call Option Put Cours du sous-jacent Strike Échéance Taux d'intérêt Dividendes Volatilité Page 5

sous-jacent, la volatilité du sous-jacent Impact de la hausse d un paramètre Option

6 Relations de primes (1) Bornes de call européen (sans dividende) 0 < call <= cours du sous-jacent call > cours du sous-jacent-(strike actualisé) Bornes de put européen (sans dividende) 0 < put <= (strike actualisé) put > (strike actualisé)-cours du sous-jacent Européen et Américain Européen <= américain Page 6

put européen (sans dividende) 0 < put <= (strike actualisé) put > (strike

7 Relations de primes (2) Parité put-call (options européennes, sans dividende) Call + (strike actualisé) = put + sous-jacent Illustration + = Preuve Page 7

8 Modèle binomial (1) Arbre binomial à une période La période considérée est comprise entre les instants t=0 et t=1 Le cours du sous-jacent en t=0 est connu et égal à S Deux états possibles peuvent se présenter à l instant t=1: soit une hausse du cours du sous-jacent de h% avec une probabilité p, soit une baisse du cours du sous-jacent de b% avec une probabilité 1-p S p us u=1+h% d=1-b% 1-p ds t=0 t=1 Page 8

présenter à l instant t=1: soit une hausse du cours du sous-jacent de h% avec une probabilité p, soit

9 Modèle binomial (2) Arbre binomial à une période (suite) On suppose qu il existe un titre sans risque avec un rendement r sur la période On suppose enfin que le marché est parfait (pas d opportunité d arbitrage, pas de frais, pas de taxe, ) Cette dernière hypothèse implique que d <= 1+r <= u Valorisation sur l arbre binomial à une période On considère une option call européenne de strike K qui arrive à échéance à l échéance en t=1 Valorisation du call: quel est la valeur de cette option en t=0? Page 9

dernière hypothèse implique que d <= 1+r <= u Valorisation sur l arbre binomial à une période On considère une option call

10 Modèle binomial (3) Valorisation sur l arbre binomial à une période On considère une option call européenne de strike K qui arrive à échéance à l échéance en t=1 Valorisation du call: quel est la valeur de cette option en t=0? Ab Arbre du sous-jacent Arbre de l'option call p us p C u =Max(uS-K,0) S C=? 1-p 1-p ds C d =Max(uS-K,0) Page 10

Valorisation du call: quel est la valeur de cette option en t=0?

11 Modèle binomial (4) Valorisation sur l arbre binomial à une période (suite) Idée fondamentale: construire un portefeuille qui réplique exactement l option en t=1. L absence d opportunité d arbitrage impliquera alors que la valeur de ce portefeuille sera égale à celle de l option call Candidat: prendre x unités du sous-jacent et y unités du titre sans risque. L arbre binomial d ce portefeuille se présente comme suit: Arbre du portefeuille de réplique p x*us+y*(1+r) x*s+y 1-p x*ds+y*(1+r) Page 11

L absence d opportunité d arbitrage impliquera alors que la valeur de ce portefeuille sera égale à celle de l option call

12 Modèle binomial (5) Valorisation sur l arbre binomial à une période (suite) En identifiant le payoff en t=1 du portefeuille de réplique à celui de l option call, on obtient un système de deux équations à deux inconnues dont les solutions sont x = C u C d ( u d ) S ( 1+ r )( u d ) y u C = d d C u On en déduit que la valeur de l option call en t=0 est: C 1 = r [ q C + ( q) ] u C d q r d = 1+ u d Remarque fondamentale: la formule ne dépend pas de p Page 12

les solutions sont x = C u C d ( u d ) S ( 1+ r )( u d ) y u C = d d C u On en déduit que la valeur de l option

13 Modèle binomial (6) Valorisation sur l arbre binomial à une période (suite et fin) Règle de calcul: Inputs: r, u, d, S, K Etape 1 Calculer q Etape 2 Calculer C u et C d Etape 3 Calculer C Comment choisir les paramètres u et d? Page 13

d, S, K Etape 1 Calculer q Etape 2 Calculer C u et C d

14 Modèle binomial (7) Extension à plusieurs périodes (Cox, Ross & Rubinstein) Input: cours du sous-jacent, strike, échéance, taux d intérêt sans risque (continu), la volatilité du sous-jacent Subdiviser la durée de vie de l option T en N périodes de même longueur. Poser u=exp(volatilité*racine(t/n)), d=1/u et calculer le paramètre q (probabilité risque-neutre) Partir du cours initial du sous-jacent pour construire un arbre binomial à N périodes modéliser l évolution du sous-jacent Partir le payoff final de l option et remonter l arbre en procédant comme dans le cas à une période dans chaque noeud. Page 14

Poser u=exp(volatilité*racine(t/n)), d=1/u et calculer le paramètre q (probabilité risque-neutre) Partir du cours initial du sous-jacent pour construire

15 Modèle binomial (8) Illustration p uus S p 1p 1-p us ds 1-p p uds 1-p dds t=0 t=1 t=2 Page 15

16 Modèle binomial (9) Exemple numérique Cours spot 100 Taux 2% Strike 100 Arbre du sous-jacent Arbre du call C=? u 1.05 d q 0.70 C 3.43 Page 16

17 Black-Scholes (1) Formule de Black-Scholes (sans dividende) Call Put Avec (...) = S N = K exp ( d1 ) K exp( r T ) N( d 2 ) ( r T ) N( d ) S N( d ) S =Prix du sous-jacent K =Prix d exercice 2 r =Taux d intérêt sans risque (en continu et annuel) T =Durée jusqu à l expiration (exprimée en années) d 1 = Ln 2 ( S K ) + r + σ T σ T σ représente la volatilité du sous-jacent N est la fonction de répartition de la loi normale, d d σ T 2 = 1 Page 17

2 r =Taux d intérêt sans risque (en continu et annuel) T =Durée jusqu à l expiration (exprimée en années) d 1 =

18 Black-Scholes (2) Illustration numérique Sous-jacent SMI Cours spot 8230 Strike 8250 Échéance (31 jours ouvrés) Taux 1.78% Volatilité 13.36% d N(d1) d N(d2) Call Page 18

1240 (31 jours ouvrés) Taux 1.78% Volatilité 13.

19 Black-Scholes (3) La volatilité historique Calculée à partir des cours historiques du sous-jacent La volatilité implicite Permet de retrouver le prix côté par le marché à l aide de la formule de Black-Scholes Surface de volatilité, smile de volatilité Page 19

de retrouver le prix côté par le marché à l aide de la formule

20 Grecques (1) Variation du... Grec Prix du sousjacent Delta Gamma Volatilité Vega Prix de Temps Theta Taux d intérêt Rho Page 20

21 Grecques (2) Call Put Delta N ( d ) ( ) 1 N d 1 1 Gamma N' ( d ) ( S ) 1 σ S τ N' ( d ) ( σ SS τ ) 1 Vega S τ N' ( d ) ( ) 1 S τ N' d 1 Theta cf références Cf références Rho K τ ( r τ ) N ( ) K τ ( r τ ) N( ) exp d 2 exp d 2 Page 21

22 Grecques (3) Utilisation des grecques Mesure de risque de portefeuilles d options Couverture en delta neutre Réplication synthétique d options Page 22

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