Introduction à la théorie des options financières

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1 Introduction à la théorie des options financières Christophe Chorro ESC REIMS Le 16 Janvier 2008 hristophe Chorro (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

2 Références principales John HULL: Options, Futures and Other Derivatives, Sixth edition, Pearson Prentice Hall 2006 Paul WILMOTT: Paul Wilmott on Quantitative Finance, Second edition, John Wiley and Sons 2006 Les slides de ce cours et d autres documents pédagogiques sont disponibles à l adresse Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

3 Plan de la Présentation Chapitre 1: Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants Chapitre 2: Les options Vocabulaire des options simples Un mot sur les options exotiques Exemple d utilisation des options par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques Chapitre 3: L absence d opportunité d arbitrage (AOA) Prêt à la banque, vente à découvert L AOA et le théorème fondamental Conséquence pour le prix des options vanilles hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

4 Plan de la Présentation Chapitre 4: Stratégies complexes faisant intervenir les options Chapitre 5: Modèles d évaluation des options Modèles en temps discret (Binomial) Modèles en temps continu (Black, Scholes et Merton) Chapitre 6: Applications hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

5 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

6 Les marchés financiers Au commencement de l économie libérale: La loi de l offre et de la demande Comment concilier de manière pacifique les intérets apparamment contradictoires entre offreurs et demandeurs de manière à optimiser la vente et l achat des quantités disponibles fondée sur deux hypothèses Homo oeconomicus (agent rationel parfaitement informé) Concurrence parfaite Théoriciens: Adam Smith (main invisible), Ricardo (modélisation), Walras (concurrence parfaite) hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

7 Les marchés financiers Un exemple historique: En 1848 à Chicago création d un marché au grain pour confronter offre et demande. De nos jours les marchés classiques d actions (part du capital d une entreprise), de change, de taux d intérêt ou de matières premières reprennent ce fonctionnement originel. Exemples européens Forex (change) : Euronext (actions): Autres exemples New York Stock Exchange (actions) : NASDAQ (actions) : hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

8 Les marchés financiers Depuis 30 ans les volumes échangés sur les marchés financiers ont fortement progressé 400,000 Volume de transaction sur les marchés financiers 350,000 Principal Amount USD Billions 300, , , , ,000 50, Markets OTC Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

9 Les marchés financiers Cet envol autour des années 80 peut s expliquer par La fin des accords de Bretton Woods, taux de change flottants en 1973 Le financement du déficit budgetaire américain Le choix de la retraite par capitalisation aux USA Plus recemment leur dévellopement est amplifié par Le financement des déficits budgetaires européens et japonais Le besoin d épargne retraite dû aux Baby Boomer hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

10 Les marchés financiers Un exemple: Le problème du taux de change flottant Taux de change euro/dollar Question: Comment une entreprise (par exemple EADS) peut se prémunir contre ces fluctuations difficilement prévisibles? Les produits dérivés... hristophe Chorro (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

11 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

12 Les produits dérivés Définition Un produit dérivé est un actif financier dépendant d autres variables plus fondamentales (appelées sous jacent) comme une action, un taux de change ou une matière première. Exemple 1: Les contrats forward Exemple 2: Les options hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

13 Les produits dérivés Définition Un contrat forward est un engagement ferme (une obligation) à acheter ou vendre un actif à une date future donnée et à un prix convenu. Définition Une option donne le droit (et non l obligation) d acheter ou de vendre un actif à une date future donnée et à un prix convenu. Remarque: Contrairement aux contrats forward, une option a un prix. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

14 Les produits dérivés Les produits dérivés s achétent et se vendent sur deux types de marchés Les marchés organisés: Contrats standardisés, procédures de contrôle stricts, garanties... - Chicago Board of options exchange (1973) qui porte sur 1200 sous jacents - MONEP (1987) qui porte sur 100 sous jacents Les marchés OTC: Produits sur mesure (mais risque de défaut...) hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

15 Comparaison des marchés Notional amount billions US$ OTC Derivatives - Foreign exchanges contracts - Interest rate contracts - Equity-linked contracts - Commodity contracts -Other Organized Exchanges - IR Futures - IR Options - Currency Futures - Currency Options - Equity Index Futures - Equity Index Options Dec ,177 24, ,991 3,787 1,040 25,510 36,739 13,123 20, ,197 Dec ,288 29, ,340 4,385 1,439 25,549 46,592 18,165 24, ,024 Dec ,819 31, ,237 5,057 3,608 29,308 57,816 20,709 31, ,542 hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

16 Les produits dérivés Les marchés dérivés ne sont plus véritablement des lieux physiques (transactions téléphoniques ou informatiques) hristophe Chorro (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

17 Les produits dérivés Un exemple historique instructif: Le marché de la tulipe en Hollande au 17ème siècle Premier exemple de Krash spéculatif (Tulipomania) dû à une sous évaluation du prix de certains produits dérivés. Moral de l histoire: Nécessité de proposer un juste prix pour les produits dérivés!!! hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

18 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

19 Les intervenants Les intervenants directs du marché sont de trois types: Les hedgers: Utilisent les produits pour réduire l exposition à un risque donné (risque de change, risque climatique, etc...). Approche prudente, historique. Les spéculateurs: Font des paris souvent risqués sur l évolution du cours d un sous jacent. Approche risqué et parfois controversée. Rôle indirect: Assurer le liquidité des marchés hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

20 Les intervenants Les arbitragistes: Détectent et profitent des incohérences du marché (arbitrages) qui sont des mises en défaut de la main invisible. Approche opportuniste. Un exemple pédagogique d arbitrage: un produit est coté à deux prix différents sur deux marchés différents. Rôle fondamental: Leur existence assure que les opportunités d arbitrage (O.A) sont rares et surtout éphémeres car ils rétablissent par leur action la loi de l offre et de la demande. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

21 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

22 Vocabulaire On parle ici d options simples (ou vanilles) sur actions, qui ne distribuent pas de dividendes et cotés sur des marchés organisés. Définition Une option vanille donne le droit (et non l obligation) d acheter ou de vendre une ou plusieurs actions à une date future donnée et à un prix convenu. Pour une option d achat on parle de call, position longue Pour une option de vente on parle de put, position courte hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

23 Vocabulaire Caractéristiques d une option d achat Date d échéance du contrat T Actif sous jacent dont le cours est noté (S t) t [0,T ] Prix d exercice (strike) K auquel on peut acheter une unité (en général plusieurs) de sous jacent. Une option est dite européenne lorsque le contrat ne peut être exécuté qu à T. Une option est dite américaine lorsque le contrat peut être exécuté à toute date entre 0 et T. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

24 Vocabulaire Une option d achat est dite dans la monnaie si S T > K à la monnaie si S T = K en dehors de la monnaie si S T < K Explication Si S T > K, le detenteur de l option a intérêt à l exercer, en effet, il peut acheter une action au prix K et la revendre immédiatement. Le bénéfice est S T K. Si S T = K, on fait ce que l on veut. Le bénéfice est 0. Si S T < K, le détenteur de l option a intérêt à ne pas l exercer. Le bénéfice est 0. Au final, le flux de trésorerie en T (appelé le payoff) est Max(S T K, 0) = Not (S T K ) +. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

25 Vocabulaire Profit ZONE D'EXERCICE Gains potentiellement illimités K S T - C 0 Perte limitée à la prime PROFIT LIE A l'achat D'UN CALL EU À T hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

26 Vocabulaire En résumé pour les options européennes vanilles Stratégie Anticipation des cours Gain Potentiel Perte Potentielle Profit ACHAT de CALL HAUSSE Illimité (mais le prix ne monte pas à l infini) Limitée ACHAT de PUT BAISSE Limité Limitée VENTE de CALL STABILITE ou LEGERE BAISSE Limité Illimitée (mais le prix ne monte pas à l infini) VENTE de PUT STABILITE ou LEGERE HAUSSE Limité Limité Source: Rémi Bachelet hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

27 Vocabulaire Modèle de contrat européen EURONEXT ( Christophe Chorro (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

28 Vocabulaire Modèle de contrat américain EURONEXT ( Christophe Chorro (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

29 Vocabulaire Exemple de cotation sur le NYSE (source Christophe Chorro (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

30 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

31 Les options exotiques Sur les marchés OTC des options moins classiques peuvent s échanger: Les options asiatiques (dépendant de la moyenne des cours). Ex N K ) +. ( 1 N k=1 S Tk N Les options lookback (dépendant du max des cours). Ex (MaxS k K ) +. k Les options barrière (qui se désactivent si on franchit un seuil). Les options d échange. En finance, il n y a aucune limite de créativité à partir du moment où un vendeur et un acheteur se rencontrent sur un marché OTC. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

32 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

33 Exemple d utilisation Pour un Hedger: Un investisseur détient 1000 titres Lafarge cotés 73 euros / titre. Il craint qu un ralentissement économique pénalise le cours à T. Sur le marché est disponible un put EU d échéance T et de strike 65 euros au prix de 2, 5 euros. Il achète 1000 put. Si S T > K, pas d exercice. Le profit est 1000S T Si S T < K, il exerce. Le profit est = Dans ce cas le put est une assurance. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

34 Exemple d utilisation Pour un spéculateur: Un titre FT vaut actuellement 20 euros. Un spéculateur pense que le cours de cette action va augmenter dans les deux prochains mois. Sur le marché est disponible un call EU d échéance 2 mois, de strike 25 euros au prix de 1 euros. Il dispose de 4000 euros. Deux stratégies sont possibles: Acheter 200 actions (S 1 ) Acheter 4000 options (S 2 ) Si le cours passe à 15 euros, S 1 rapporte 1000 euros et S 2 rapporte 4000 euros. Si le cours passe à 35 euros, S 1 rapporte 3000 euros et S 2 rapporte euros. Ce phénomène est appelé effet levier. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

35 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

36 Les mathématiques Appréhender le hasard Théorie des probabilités (processus stochastiques, statistique) Travaux pionniers (et ignorés!) de Louis Bachelier (Théorie de la spéculation 1900). La modélisation mathématique s articule toujours de la manière suivante: Etape 1: Modélisation du sous-jacent en respectant les deux préceptes antagonistes: Raffinement du modèle pour coller au mieux à la réalité (complexe!) Simplicité pour pouvoir exploiter le modèle Etape 2: Proposer un prix pour les actifs et utiliser le marché pour générer de la valeur. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

37 Les mathématiques Actuellement deux modèles (et leurs nombreuses extensions) tiennent le haut du pavé: Modèle de Black-Merton et Scholes datant de 1973 (Prix Nobel d économie en 1997). Modèle en temps continu qui a immédiatement révolutionné la pratique financière: Les opérateurs savent maintenant utiliser la formule et les variantes. Ils l utilisent tellement bien que les prix de marché sont généralement proches de ceux donnés par la formule, même lorsqu il devrait exister un écart important... (F. Black) Modèle de Cox Ross Rubinstein datant de Modèle en temps discret qui est une approximation simple du précédent. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

38 Les mathématiques Malgré leur technicité, les modèles mathématiques d évalution ne sont qu une aide à la prise de décision (Les probabilités ne sont pas une nouvelle main invisible!). Une anecdote à mediter: Le hedge fund Long Term Capital Management fondé en 1994 (notamment par Scholes et Merton) fit quasi-faillite en 1998 (4,2 milliards de dollars de perte) entraînant des perturbations très importantes sur les marchés financiers... Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

39 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

40 Prêt et vente à découvert Comment intervenir sur les marchés sans apports de fonds? Emprunt à la banque à un taux annuel r supposé constant sur [0, T ] (T en années). Il faut préciser la convention utilisée pour le taux d intéret. Si la composition est annuelle: 100 euros à t = 0 deviennent 100(1 + r) T à T. Si la composition est semestrielle: 100 euros à t = 0 deviennent 100(1 + r 2 )2T à T. Si la composition est journalière: 100 euros à t = 0 deviennent 100(1 + r 365 )365T à T. Si la composition est en temps continu: 100 euros à t = 0 deviennent 100e rt à T. On se placera désormais sous cette dernière convention. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

41 Prêt et vente à découvert Vente à découvert d actifs risqués: Il s agit d un mécanisme entre 3 parties permettant de vendre des actifs que l on ne possède pas: Un investisseur C 1 passe auprès de son broker (opérateur de marché) un ordre de vente à découvert de n titres. Le Broker trouve un autre client C 2 qui accepte de lui préter les titres. Le Broker les vend et remet l argent à C 1. A un moment donné C 1 va clore sa position en achetant n titres qui seront remis à C 2 via le Broker. Intéret: C 1 peut profiter d une baisse des cours. Règles: C 2 et le Broker sont rémunérés, C 2 empoche les dividendes éventuels, C 2 peut clore le deal à tout instant. Même si cette procédure est très controlée (parfois interdite), nous supposerons qu elle est toujours possible. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

42 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

43 A.O.A HYP: On suppose dorénavant (sauf mention contraire) qu il n y a pas de coûts de transactions. Définition On dit qu il existe une opportunité d arbitrage (O.A) lorsqu il est possible de réaliser un profit sans risque et sans apports de fonds par une combinaison de plusieurs transactions Ex: 1 produit coté à 2 prix différents sur deux marchés. HYP: L existence des arbitragistes fait que nous supposerons toujours A.O.A. Conséquence: On peut mettre en place des raisonnement par A.O.A: pour montrer qu un actif a un certain prix, on suppose le contraire et on montre qu alors un arbitrage est possible. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

44 A.O.A Théorème Soient A et B deux portefeuilles financiers tels que V A (T ) = ( ) V B (T ). Alors 0 t T, V A (t) = ( ) V B (t). Preuve: Supposons V B (t) > V A (t) (autre cas en exercice): A la date t (et pour un coût nul) on vend à découvert B on achète A on place à la banque V B (t) V A (t) A la date T (pour un bénéfice de (V B (t) V A (t))e r(t t) > 0) on rembourse B on vend A on encaisse les intérets place à la banque (V B (t) V A (t))e r(t t) > 0 Contradiction avec A.O.A hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

45 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

46 Relation de Parité Call-Put Notations Pour 0 t T, on note S t la valeur à t d un certain actif risqué ne versant pas de dividendes. C t la valeur à t d un call européen sur l actif risqué, de strike K et d échéance T P t la valeur à t d un put européen sur l actif risqué, de strike K et d échéance T Théorème t [0, T ], C t + Ke r(t t) = P t + S t. Preuve: Considérer le portefeuille A : 1 Call+ Ke rt euros et le portefeuille B: 1 Put+ 1 sous jacent, puis appliquer le théorème précédent. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

47 Relation de Parité Call-Put Remarques: Cette relation est fondamentale, elle permet de déduire la valeur du put de celle du call. Cela permet aussi de construire des options synthétiques. Lorsque le sous jacent reverse des dividendes la relation de parité call put devient C t + De rt + Ke r(t t) = P t + S t où D est la valeur actualisée à t = 0 des dividendes reversés. Cette relation n est pas vérifiée en général pour les options américaines. Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

48 Propriétés des prix d options Exercice: En utilisant l A.O.A, démontrer les propositions suivantes, t [0, T ]: C t S t et P t Ke r(t t). C t Max(S t Ke r(t t), 0) et P t Max(Ke r(t t) S t, 0). Le prix à t du call est une fonction décroissante du strike. Le prix à t du put est une fonction croissante du strike. Les prix à t du call et du put sont des fonctions convexes du strike (cf Butterfly spread). Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

49 Concernant les américaines On suppose que le sous jacent ne verse pas de dividende et que r > 0. Théorème t [0, T ], C am t = C t. Lemme Le prix d un call europpéen est une fonction croissante de l échéance. Lemme t [0, T ], S t K C am t P am t S t Ke r(t t). hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

50 Stratégies complexes Nous étudions dans cette partie certaines stratégies faisant intervenir plusieurs options de même type (Bull spread, Butterfly spread) ou de type différent (straddle, strangle). Pour plus d exemples ou de détails on pourra consulter le site de la bourse de Toronto ou l adresse On supposera ici que r = 0 pour ne pas se préoccuper des problèmes d actualisation (représentation sur le même graphique de grandeurs correspondant à des instants différents). Pour étudier une stratégie on en représentera le profit associé à l échéance en examinant certains critères parmi le coût les gains et les pertes (limités, illimités) le régime d utilisation (marché haussier, baissier, stable) Le risque associé hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

51 Bull Spread Profit Position longue sur le call de strike K 1 Bénéficier d'une hausse dans une certaine mesure Pertes limitées C 0 K2 Si les strikes sont grands la stratégie est agressive C 0 K2 - C 0 K1 K 1 K K 2 2 S T Réduire le coût d'achat du premier call -C 0 K1 Utile si l'on pense que le cours va monter mais pas trop Position courte sur le call de strike K 2 Profit d'un Bull spread Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

52 Butterfly Spread Profit Profit d'un Butterfly spread (2K 2 =K 1 +K 3 ) Pertes limitées 2C 0 K2 Achat Call strike K 1 Intérêt si l'on pense que le cours reste proche de K 2 Achat Call strike K 3 Si K 1 et K 3 sont proches le coût est peu élevé (mais agressif) 2C 0 K2-C 0 K1- C 0 K3 0 K 1 K 2 K 3 S T Permet de reconstruire tous les payoffs par combinaison linéaire -C 0 K3 -C 0 K1 Vente 2 Calls strike K 2 Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

53 Straddle Profit Achat d'un Put Profit d'un straddle Achat d'un call On anticipe une grosse variation des cours sans en connaître le sens On peut rentre un straddle asymétrique en y ajoutant un call (strap) ou un put (strip) Pertes limitées K S T -C 0 -P 0 -(C 0 + P 0 ) Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

54 Strangle Profit Achat Put strike K 1 Profit d'un Strangle Paris sur une variation des cours plus forte que pour le straddle Moins cher qu'un straddle La vente d'un tel produit est très risqué K 1 K 2 Achat Call strike K 2 S T Souvent les strikes sont out of the money pour minimiser les coûts -C K2 0 -P K1 0 -(C 0 K2+ P 0 K1 ) Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

55 Exercice Exercice: Etudier les stratégies suivantes (portant sur des options sur le même sous jacent et de même échéance T ): Condor: On suppose K 1 > K 2 > K 3 > K 4 On achète deux put (call) de strike K 1 et K 4 On vend deux put (call) de strike K 2 et K 3 Iron Condor: On suppose K 1 > K 2 > K 3 > K 4 On achète un put de strike K 3 et un call de strike K 2 On vend un put de strike K 4 et un call de strike K 1 hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

56 Modèles d évaluation Pour toute précision technique sur ce sujet on pourra par exemple consulter hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

57 Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

58 Modèle binomial 1 Le Modèle Binomial 1 période. On considère un marché à deux dates (t = 0 et t = 1) et deux états du monde w u et w d. A ces deux états du monde est associée une probabilité, P(w u ) = p et P(W d ) = 1 p avec 0 < p < 1. Sur ce marché sont présents deux actifs: Un actif sans risque dont la valeur est donnée par S 0 0 = 1, S 0 1 = e r. Un actif risqué dont la valeur (S 1 t ) t {0,1} est donnée par l arbre suivant: hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

59 Modèle binomial 1 s t = 0 t = 1 S 1(w 1 u) = su S1(w 1 d ) = sd Dynamique de l actif risqué avec s > 0 et u > d. Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

60 Modèle binomial 1 Nous allons supposer que le marché est sans frictions Il n y a pas de coût de transactions ni de taxes (extension possible) Il y a possibilité de vendre à découvert l actif risqué Les biens sont parfaitement divisibles L actif risqué ne verse pas de dividendes (extension possible) Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98

61 Modèle binomial 1 Définition Un portefeuille financier est un vecteur (Φ 0, Φ 1 ) de R 2 où Φ 0 (resp. Φ 1 ) représente la quantité d actif sans risque (resp. risqué) que l on possède. En notant x R le capital de départ on supposera qu il n y a pas d entrée ou de sortie d argent (autofinancement) i.e: x = Φ 0 + Φ 1 s. Dans ce cas la valeur à t = 1 du portefeuille est donnée par V 1 = Φ 0 e r + Φ 1 S 1 1 = xe r + Φ 1 1(S 1 1 se r ). hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier / 98