LISTE D EXERCICES 2 (à la maison)

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1 Université de Lorraine Faculté des Sciences et Technologies MASTER 2 IMOI, parcours AD et MF Année 2013/2014 Ecole des Mines de Nancy LISTE D EXERCICES 2 (à la maison) 2.1 Un particulier place 500 euros à 10% annuels sur une durée de 3 mois. 1. Calculer le rendement et les intérêts perçus à l échéance. 2. Même question lorsque que le taux actuariel est de 10% 2.2 On considère deux produits financiers notés 1 et 2 et qui ont un taux actuariel constant sur la période [0, T ]. On notera r 1 et r 2 ces deux taux actuariels. Montrer que si r 1 > r 2, alors le produit financier 1 est plus attractif que le produit financier 2. Montrer qu une conclusion similaire a lieu avec un taux proportionnel. 2.3 On considère un placement monétaire à deux mois, in fine, de 50 Keuros à 10%, avec un départ le 22 décembre 2002 et à terme le 22 février Calculer les intérêts perçus et le rendement de ce placement. 2.4 En 2002, trois produits financiers A, B et C sont mis sur le marché. Ils libéreront les flux comme indiqué dans le tableau suivant : Actifs Total A B C Compléter la dernière colonne. 2. On suppose que les flux précédents sont versés en fin d année et que l investisseur prend connaissance des données début On fait l hypothèse qu il existe un taux constant r sur la période considérée. Comparer ces trois produits financiers lorsque r [0, 5.7%] puis r [5.7%, 7.8%]. 2.5 Un investisseur souscrit un emprunt d un million d euros. Cet emprunt porte un intérêt annuel de 10% pendant trois ans et est remboursé par deux versements d un montant chacun de euros chacune, les deuxième et troisième années. Les valeurs seront actualisées à 8 % (i.e. il existe une courbe des taux constante). 1

2 Date Capital remboursé intérêt flux total VAN fin année 1 fin année 2 fin année 3 1. Compléter le tableau précédent. 2. En déduire le coût de ce crédit. 2.6 Une personne souhaitant financer un achat de 1000 euros décide d emprunter cette somme sur 4 ans, au taux annuel de 5 %. L établissement financier auquel s est adressée la personne lui propose de verser une somme S constante tous les ans. 1. Calculer S. On pourra considérer, plus généralement, le cas où la durée de l emprunt est de n années. 2. Étudier plus généralement le cas d une personne empruntant une somme de N euros sur n années, au taux r et avec des traites annuelles constantes valant S. 3. Remplir le tableau d amortissement : Années annuité intérêts capital restant dû Année 1 Année (Pour s entrainer) On étudie les flux financiers associés aux prêts et aux emprunts. Les versements effectués par l emprunteur sont appelés les annuités. Ce sont des sommes payables à des intervalles de temps constants. L intervalle séparant deux annuités est la période. Les annuités de placement sont destinées à constituer un capital. En revanche, les annuités de remboursement ont pour but de rembourser une dette contractée à la date 0. Les annuités peuvent être versées au début ou à la fin de la période. Dans le premier cas on dit qu il s agit de terme à échoir, la première annuité est versée dès la signature du contrat, c est à dire à la date 0 qui est le début de la première période ; la n-ième et dernière annuité est versée à la date n 1, c est à dire au début de la n-ième période. Dans le second cas, on dit qu il s agit de terme échu. La première annuité est versée à la fin de la première période (date 1), la n-ième et dernière annuité est donc versée à la date n, c est à dire à la fin de la n-ième période (date n). On note a 1,, a n les n annuités. Elles peuvent être : 1. constantes, lorsque a 1 = = a n = a ; 2. en progression arithmétique, lorsque a k+1 = a k + r pour tout 1 k n 1 ; 2

3 3. en progression géométique, lorsque a k+1 = qa k pour tout 1 k n 1 ; On désigne par i le rendement (actuariel) du loyer de l argent sur une période. 1. On s intéresse à V n la valeur acquise par le versement de n annuités à terme échu. (a) Exprimer V n à l aide de a 1,, a n et i. (b) Montrer que, dans le cas d annuités constantes, on a : V n = a (1 + i)n 1. i 2. Un particulier décide d ouvrir un compte d épargne le premier février 2009, et de verser une somme de 2000 euros à la fin de chaque année et ceci pendant 5 années consécutives. La banque choisie rémunère son compte au taux de 4, 5% par an. (a) De quelle somme ce particulier disposera-t-il au premier février 2014? (b) On suppose qu il existe un taux actuariel R (constant sur les 5 ans) correspondant à un placement d une durée de 3 mois. Exprimer R en fonction du taux annuel de 4, 5%. La banque propose également à ce particulier d effectuer des versements trimestriels de 500 euros à terme échu, sur le même laps de temps de 5 ans. Quelle est la solution la plus avantageuse pour le particulier? (c) Soit R 0 > 0 et R 1 > 0 tels que (1+R 1 ) 4 = 1+R 0. Montrer que 4R 1 < R 0 Expliquer le résultat précédent. 3. On s intéresse à présent à la capitalisation V n résultant du versement de n annuités à échoir, en progression arithmétique. (a) Montrer [ (a1 V n = + r )(1 + i) n 1 i i nr ] (1 + i). i (b) Une entreprise fait le choix de déposer une partie de ses bénéfices dans un établissement bancaire qui lui garantit un taux annuel de 3.7% par an. Le premier dépôt de euros a lieu le premier janvier La société a souhaité que ce dépôt annuel soit augmenté à chaque fois de 1000 euros supplémentaires les trois années qui suivent le premier versement. Détailler les flux financiers. Calculer le capital disponible au premier janvier On s intéresse à présent aux rentes viagères, c est à dire lorsque le terme n n est plus fixé à l avance. Dans ce cas on notera T cette échéance que l on supposera aléatoire. On supposera que les annuités sont constantes et sont payées en fin de période et que la v.a. T suit la loi géométrique de paramètre p (i.e. P (T = k) = p(1 p) k 1 pour tout k 1). Calculer la valeur moyenne du capital libéré à la date T en fonction de a, i et p. 2.8 (Exercice à faire en binôme) Un emprunt indivis est le prêt d un capital C par un individu (le prêteur) à une seule personne (l emprunteur). Lorsque le capital est remboursé en une seule fois au terme du contrat, l emprunt est dit in fine. Lorsque le remboursement a lieu en plusieurs fois, les parts remboursées du capital le sont à des intervalles de temps constants appelés périodes. Ces parts sont appelés des amortissements ; elles peuvent être fixes ou variables et sont versées à la fin de chaque période. Lorsque l emprunteur effectue le dernier versement, noté n, le capital est remboursé, on dit que la dette est éteinte. La somme versée par l emprunteur à la fin de chaque période est appelée annuité. Cette somme est composée de 3

4 1. l amortissement du capital, 2. la rémunération du prêteur sous la forme d intérêts. On notera a k la k-ième annuité, m k le k-ième amortissement et I k le k-ième intérêt. Ainsi : C = m m n, a k = m k + I k, 1 k n, Le tableau d amortissement récapitule les sommes mises en jeu et les dates de versements des annuités. On note C k le capital dû au début de la période k. Par définition : C k = C (m m k 1 ) = m k + + m n, I k = ic k, où i désigne l intérêt calculé sur une période. 1. (a) Montrer : puis C n = m n, a n = m n (1 + i) a k = m k + (m k + + m n )i, 1 k n. (b) Déduire de la dernière identité la relation : Interpréter le résultat précédent. C = a i + + a n (1 + i) n. (c) Calculer a k+1 a k en fonction de m k+1, m k et i. 2. On étudie le cas des annuités constantes : a 1 = = a n = a. Déterminer : (a) la valeur de m k en fonction de i, C, k et n ; (b) la valeur de m 1 en fonction de a, i et n ; (c) la valeur de C k en fonction de a, i, k et n. 3. Application. Un particulier contracte un prêt de euros, remboursable en 60 mensualités au taux annuel proportionnel de 3% par an. (a) Calculer le taux mensuel i. On supposera, pour simplifier, que tous les mois ont le même nombre de jours. (b) Déterminer la valeur de l annuité versée par l emprunteur à la fin de chaque mois. (c) Ce particulier souhaite rembourser sa dette à la fin de la 28-ième annuité. Quelle somme devra-t-il verser au prêteur? 2.9 Considérons une obligation de caractéristiques ( P, t 1,, t k, C t1,, C tk, R ). On suppose que P < C t1 + C t2 + + C tk + R. Montrer qu il existe un unique r > 0 tel que : P = C t 1 (1 + r) t 1 + C t 2 (1 + r) t C t k 1 (1 + r) t k 1 + C t k + R (1 + r) t k On considère une obligation d échéance T, à coupons annuels constants C, de valeur de remboursement le prix l émission P. Montrer que r = τ = C/P, où r désigne le taux actuariel de l obligation et τ son taux facial. 4

5 2.11 Soit O une obligation de durée 7 ans, de prix à l émission 1500 euros, de valeur de remboursement le prix l émission et de coupons annuels constants valant 100 euros. On étudie deux possibilités : (a) Les taux restent constants et égaux à 4% sur la période considérée. (b) Il y a une hausse des taux : le taux du marché passe brutalement à la fin de la deuxième année de 4 à 5%. On considère un investisseur détenteur de O. On suppose que l investisseur adopte la stratégie suivante : le coupon une fois perçu est placé au taux du marché. 1. Calculer les gains G a et G b réalisés par l investisseur à la fin de la quatrième année lorsque respectivement les taux restent constants (cas (a)) ou les taux subissent une hausse des taux (cas (b)). 2. L investisseur décide de vendre O à la fin de la quatrième année. Calculer les prix de ventes V a et V b Montrer qu une courbe des taux croissante anticipe une hausse future des taux. Il s agit de montrer que si r 0,t2 > r 0,t1 alors r 0,t1,t 2 > r 0,t2 où (r 0,t ) désigne la famille des taux actuariels et r 0,t1,t 2 le taux (actuariel) forward entre t 1 et t 2 avec t 1 < t Le temps t sera toujours exprimé en fraction d année. Les échéances que nous considérerons dans la suite : six mois, un an, dix-huit mois, deux ans correspondent donc aux instants 1/2, 1, 3/2, 2. R 0,t désigne le taux actuariel annuel du zéro-coupon, calculé aujourd hui et d échéance t. On désigne par ρ t le facteur d actualisation au temps t. On suppose que la courbe des taux est la suivante : R 0,1/2 = 4%, R 0,1 = 4.2%, R 0,3/2 = 3.9%, R 0,2 = 4.1%. 1. On place 100 euros sur deux ans, au taux du marché, quel est le rendement de ce placement? Le résultat sera exprimé en pourcentage, avec deux décimales. 2. Quel est le prix d un produit financier distribuant les flux F t avec : F 1/2 = 100, F 1 = 110, F 3/2 = 120, F 2 = On considère une obligation de prix à l émission 340 euros, de taux actuariel 4.15%, de maturité 2 ans, distribuant deux coupons annuels de même valeur, et de valeur de rembousement le prix à l émission. Ce produit est-il attractif? 4. Calculer ρ 0,1/2 et ρ 0,1. 5. Calculer le taux actuariel forward s appliquant dans six mois et d échéance six mois. 6. On suppose qu il existe sur le marché une obligation de prix 544, 17 euros et délivrant les coupons : C 1 = 100, C 2 = 200 et C 3 = 300 les années 1, 2 et 3. On suppose que la valeur de remboursement est nulle. Montrer que l on peut compléter la courbe des taux, i.e. calculer le taux actuariel R 0, (Exercice à rédiger par binôme) On désigne par (R 0,t ) la courbe des taux. On rappelle que R 0,t désigne un taux actuariel annuel. On note (ρ 0,t ) les facteurs d actualisation asssociés. On suppose qu il existe sur le marché une obligation O de caractéristiques : 5

6 1. le prix à l émission est P = 1000 euros ; 2. la maturité est de deux ans ; 3. le rendement actuariel est de 3% ; 4. deux coupons C 1 et C 2 sont délivrés les années 1 et 2 ; 5. C 1 = 100 euros et C 2 = 500 euros. 1. On note R la valeur de remboursement de cette obligation. Que vaut R? 2. On suppose qu il existe un zéro-coupon de maturité un an et côté aujourd hui (a) Déterminer R 0,1 puis R 0,2. (b) En déduire ρ 0,1 et ρ 0,2. (c) Calculer le taux forward R 0,1,2. 3. On suppose qu il existe sur le marché une obligation de caratéristiques : (a) son prix de vente est P = 90 euros ; (b) sa maturité est de deux ans ; (c) deux coupons C 1 et C 2 sont délivrés les années 1 et 2 ; (d) C 1 = C 2 = 50 euros. (e) sa valeur de remboursement est nulle. Montrer qu il semble exister une opportunité d arbitrage. Expliquer le résultat Un société mère A implantée au Japon décide de contracter un swap de devises avec une banque B japonaise. Le but de l opération est de financer la filiale F de A qui est située aux USA. Les conditions de ce swap sont les suivantes : 1. A est emprunteur en dollars d une somme de 10 millions de $ et prêteur d une somme de 1200 millions de yens. 2. Le paiement des intérêts est annuel. L intérêt en dollars est constant au cours du temps et vaut 8%. Similairement l intérêt en yens est constant et égal à 5%. 3. La durée du swap est de 3 ans. On suppose qu à la signature du swap, la parité dollar/yen est : 1 dollar = 120 yens. Dans la suite, on adopte le point de vue de A. 1. Décrire les flux en dollars puis en yens et faire un schéma. 2. Pour valoriser cet actif il faut une courbe des taux. On suppose qu à la signature du swap la courbe des taux aux USA est constante et égale à r = 6.944%. Calculer, dans ces conditions, la valeur actuelle nette associée aux flux en dollars. 3. On suppose qu à la signature du swap, il existe au Japon une courbe des taux constante de 4%. Déterminer la valeur actuelle nette associée aux flux en yens. 4. Conclure (D après le livre de Hull, Edition française p148) Un swap entre Microsoft et Intel a eu lieu le 5 mars Microsoft s est engagé à payer le taux fixe de 5% sur un principal de 100 millions de dollars. En retour, Intel paye les intérêts variables tous les 6 mois au taux Libor. La durée de ce swap est de 3 ans. 6

7 1. Compléter le tableau suivant : Date Taux Libor 6 mois en % flux variables flux fixes flux nets 5 mars ,20 5 septembre ,80 5 mars septembre mars ,60 5 septembre ,90 5 mars ,40 2. On suppose que Microsoft a contacté par ailleurs une dette de 100 millions de dollars au taux Libor + 10 points de base (un point de base vaut 0.01%). Supposons de plus que le swap précédent soit réalisé. Montrer que Microsoft a ainsi réussi à convertir sa dette à taux variable en une dette à taux fixe Soit (r u,v ) une courbe des taux (proportionnels). Notons (ρ 0,t ) la famille des facteurs d actualisation et r 0,u,v le taux forward entre u et v, avec 0 < u < v 1. Montrer : (v u)r 0,u,v = ρ 0,u ρ 0,v Exercice à rédiger par binôme Un swap de taux standard S a été contracté le premier janvier 2007 entre deux contreparties A et B. La maturité de ce swap est de deux ans et le nominal de euros. A est le payeur du swap, il reçoit tous les 6 mois des intérêts calculés avec le taux Euribor 6 mois. Il paye le premier janvier 2008 des intérêts au taux fixe r et la fréquence de paiment est annuelle. On a observé les taux Euribor 6 mois suivant leur date de cotation : premier janvier 2007 premier juillet 2007 premier janvier 2008 premier juillet % 4.5% 4.6% 4.6% On rappelle qu il s agit de taux annuels proportionnels. On note : ρ 0,t le facteur d actualisation calculé aujourd hui et s appliquant à l échéance t. ρ 0,s,t le facteur d actualisation forward, calculé aujourd hui, et s appliquant entre les instants s et t, avec 0 s t. 1. Détailler les flux variables effectivement perçus par A. 2. Calculer ρ 0,1/2. 7

8 3. Au premier janvier 2007, le taux futur s appliquant sur la période premier juillet décembre 2007 a été estimé à : ρ 0,1/2,1 = 0, Commenter cette prévision. Calculer ρ 0,1. 4. On revient au swap S. On donne : ρ 0,2 = 0, Déterminer le taux fixe r de telle sorte qu à la signature du contrat il n y ait aucun échange d argent, i.e. la valeur de S soit nulle On considère un actif qui a une valeur de 1000 euros aujourd hui et que cet actif peut prendre à la date T deux valeurs : 1200 euros ou 700 euros. On fait l hypothèse qu il existe sur le marché des options d achat portant sur ce sous-jacent, de prix d exercice 1000 euros, de maturité T et de valeur 100 euros l option. Comparer les deux portefeuilles : 1. portefeuille 1 : détenir un actif ; 2. portefeuille 2 : acquérir 10 options d achat ; et mettre en évidence l effet de levier Le but de l exercice est de montrer qu une option de vente peut être utilisée pour se prémunir contre une baisse des taux. On considère une entreprise française qui fabrique des produits pour les Etats-Unis. Une commande a été réalisée aujoud hui pour un montant de X 0 euros. Toutefois, cette entreprise doit être payée en dollars, dans 3 mois à la livraison de la commande. On suppose qu à la date t = 0, le taux de change dollar/euro est le suivant : 1$ = 0, 77. Ce taux de change peut varier dans trois mois. On envisage les deux possibilités suivantes : cas (a) : 1$ = 0, 7 et le cas (b) : 1$ = 0, 87. On note S t le taux de change dollar/euro à la date t, i.e. un dollar vaut S t euro. 1. Calculer le montant X en dollars de la commande. Envisager ce qu il peut se passer pour l entreprise dans les cas (a) et (b) précédents. 2. On suppose à présent que l entreprise achète une quantité X d options de vente avec pour sous-jacent le taux dollar/euro. La maturité de cette option est de trois mois et le prix d exercice est S 0. Montrer que grâce à cette option de vente, l entreprise est parfaitement couverte pour faire face à une baisse du taux dollar/euro On considére un premier portefeuille appelé bull spread et un second spread butterfly. 1. Un investisseur constitue un portefeuille en adoptant : - une position longue sur un call de prix d exercice K ; - une position courte sur un call de prix d exercice K. On supposera : K > K et que les options considérées portent sur le même sous-jacent et ont la même maturité T. Montrer que la valeur V T de ce portefeuille est égale à f(s T ), où S T désigne la valeur du sous-jacent à la maturité des options. (a) Tracer f. (b) Montrer que ce type d investissement anticipe une hausse du sous-jacent mais en évitant l effet de levier. 8

9 2. Même question pour le second portefeuille composite : - une position longue sur un call de prix d exercice K 1 et sur un call de prix d exercice K 2 ; - une position courte sur deux calls de prix d exercice K 3. On supposera : K 1 < K 3 < K 2 et K 1 + K 2 < 2K 3 et que les options considérées portent sur le même sous-jacent et ont la même maturité T Exercice à faire en binôme. On suppose le marché sans opportunité d arbitrage et est observé à des instants discrets : 0, 1, T. Dans la suite les portefeuilles considérés seront toujours supposés à valeurs positives ou nulles. On s intéresse aux deux propriétés : (H1) pour tous portefeuilles de valeurs (Vt 1 ) et (Vt 2 ), la condition VT 1 = V T 2 implique Vt 1 = Vt 2 pour tout t T. (H2) pour tous portefeuilles de valeurs (Vt 1 ) et (Vt 2 ), la condition VT 2 V T 1 implique Vt 2 Vt 1 pour tout t T. 1. Montrer que (H2) implique (H1). On va donc s attacher à montrer dans la suite que (H2) a lieu. 2. On se donne deux portefeuilles nommés P 1 et P 2, dont les valeurs au temps t sont Vt 1 et Vt 2. On suppose que VT 2 V T 1. On raisonne par l absurde, on suppose que { VT 2 1 < VT 1 1} est un ensemble non-vide. On va construire un portefeuille entre les instants T 1 et T. On décide que le portefeuille ne contient aucun actif lorsque VT 2 1 V T 1 1. (a) Plaçons nous sur l ensemble { 0 < V 2 T 1 < V 1 T 1}. Soit : V 2 T 1 V 1 T 1 < α < 1, et θ := (1 α)v 1 T 1V 2 T 1. Montrer que le portefeuille consitué d une quantité ( V 2 T 1 ) de P 1, d une quantité (αv 1 T 1 ) de P 2 et d une quantité θ de numéraire. (b) Sur l ensemble { 0 = VT 2 1 < V T 1 1}, on prend ( 1) part de P1, une part de P 2 et VT 1 1 d actif non-risqué. Montrer que ce nouveau portefeuille consitue une opportunité d arbitrage. 3. Démontrer que (H2) a lieu Exercice à faire en binôme. On se place dans un marché sans opportunité d arbitrage. On considère une option d achat et une option de vente portant sur une quantité unité d actif, de même maturité T et de même prix d exercice K. On note : S t la valeur du sous-jacent à la date t ; C t la valeur au temps t du call ; P t la valeur du put. r le taux exponentiel (annuel) constant (on suppose que le modèle est à temps continu). 9

10 1. Montrer la relation de parité call-put : C t P t = S t Ke r(t t), t [0, T ]. On constitue deux portefeuilles, le premier formé d une option d achat et le placement d une somme Ke rt sur la période T au taux du marché r. Le second portefeuille est formé d une option de vente et d une quantité unité d actif sous-jacent. En comparant ces deux portefeuilles montrer la relation de parité call-put. 2. Que devient la relation de parité call-put lorque le taux exponentiel n est plus constant et dans le cas où le temps est discret. 3. Montrer d une manière analogue la double inégalité : S t Ke r(t t) C t S t, t [0, T ] On conserve les notations de l exercice précédent. 1. Montrer que le prix du call est à tout instant t [0, T ] supérieur à son prix intrinsèque (S t K) On note C (K) t le prix du call de prix d exercice K à la date t [0, T ] avec maturité T. Montrer que si K K alors C (K ) t C (K) t pour tout 0 t T. Etudier d une façon similaire comment varie le prix du put en fonction du prix d exercice. 10

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