Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés"

Transcription

1 Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre Exercice 3 : schéma de Bernoulli d ordre Exercice 4 : représentation d un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré Exercice 5 : loi binomiale de paramètres et Exercice 6 : coefficient binomial et nombre de chemins d un arbre Exercice 7 : propriétés des coefficients binomiaux et formule du triangle de Pascal Exercice 8 : calcul de probabilité avec la loi binomiale Exercice 9 : espérance de la loi binomiale Exercice 10 : variance de la loi binomiale Exercice 11 : algorithme de simulation d une expérience aléatoire (tirage d une boule avec remise) 1

2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Dans chacune des quatre situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli en définissant le la probabilité associée. et Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le nombre obtenu est un multiple de 3. Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as. Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée. Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur. Correction de l exercice 1 Rappel : Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l une appelée (notée ) et l autre appelée (notée ou plus communément ). Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le nombre obtenu est un multiple de 3. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «le nombre obtenu est un multiple de 3» et pour l événement «le nombre obtenu n est pas un multiple de 3». Le dé cubique a pour faces les numéros 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Or, seuls les nombres 3 et 6 sont multiples de 3. Autrement dit, 2 faces parmi les 6 faces du dé affichent un multiple de 3. Comme le dé est équilibré, la situation est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. La probabilité d obtenir un multiple de 3 est égale à, c est-à-dire à. On a donc. Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour «la carte tirée est un as» et pour l événement «la carte tirée n est pas un as». l événement Un jeu de 32 cartes comporte 4 as (l as de pique, l as de cœur, l as de carreau et l as de trèfle). Le tirage de la carte se fait de manière aléatoire donc la situation est équiprobable et chaque carte a 1 chance sur 32 d être tirée. La probabilité d obtenir un des 4 as parmi les 32 cartes est donc donnée par. 2

3 Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour «on obtient Pile» et pour l événement «on obtient Face» (ou vice versa). l événement La pièce de monnaie n étant pas truquée, la situation est équiprobable et chaque face de la pièce a la même probabilité d apparaître. La probabilité d obtenir Pile est alors donnée par. Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «on obtient une boule verte» et pour l événement «on obtient une boule rouge» (ou vice versa). Les 7 boules sont toutes indiscernables au toucher donc la situation est celle de l équiprobabilité ; chaque boule a 1 chance sur 7 d être extraite de l urne. La probabilité d obtenir une des 5 boules vertes parmi les 7 boules de l urne est donc donnée par. 3

4 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile On lance deux dés tétraédriques parfaits et on regarde si la somme des dés est supérieure ou égale à 5. Donner la loi de probabilité associée à cette expérience. Correction de l exercice 2 Rappel : Loi de Bernoulli Une loi de Bernoulli de paramètre est une loi de probabilité définie sur l ensemble des issues d une épreuve de Bernoulli, associant la probabilité au et la probabilité à l. Issue Probabilité On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «la somme des dés est supérieure ou égale à 5» et pour l événement «la somme des dés est strictement inférieure à 5». Le jet de 2 dés tétraédriques parfaits conduit à issues. Parmi ces 16 issues, 10 correspondent à une somme supérieure ou égale à 5. Par conséquent, dé dé 2 Il vient alors que. Issue D où la loi de probabilité ci-contre : Probabilité 4

5 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Une urne contient 3 boules blanches et 12 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise 3 boules de l urne. Quelle est la probabilité d obtenir 3 boules blanches au terme des 3 tirages? Correction de l exercice 3 Rappel : Schéma de Bernoulli Un schéma de Bernoulli d ordre est une répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. L expérience aléatoire qui consiste à tirer une boule de l urne et à observer si la boule tirée est blanche peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «la boule extraite de l urne est blanche» et pour l événement «la boule extraite de l urne est noire». Comme les 3 boules blanches et les 12 boules noires ne sont pas discernables au toucher, la situation est équiprobable et chaque boule a 1 chance sur 15 d être tirée de l urne. On dénombre 3 boules blanches parmi le lot de 15 boules donc la probabilité d obtenir une boule blanche est donnée par. On tire successivement et avec remise 3 boules de l urne. Cette expérience aléatoire est la répétition de 3 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre. Autrement dit, l expérience est un schéma de Bernoulli d ordre. Par conséquent, la probabilité d obtenir 3 boules blanches au terme des 3 tirages est égale à. Remarque importante : Si les tirages ont lieu sans remise, il ne s agit plus d un schéma de Bernoulli car les expériences répétées ne sont plus ni identiques, ni indépendantes. 5

6 Exercice 4 (1 question) Niveau : facile On fait tourner deux fois de suite la roue ci-contre, parfaitement équilibrée, et dont les secteurs colorés sont représentés par une même aire. Représenter l expérience à l aide d un arbre pondéré. Correction de l exercice 4 L expérience aléatoire qui consiste à faire tourner la roue ci-dessus et à observer la couleur du segment obtenu peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «le segment est vert» et pour l événement «le segment est gris». Les 8 secteurs colorés sont tous de même aire et la roue est parfaitement équilibrée. Par conséquent, on a une situation d équiprobabilité : chaque segment a 1 chance sur 8 d apparaître. On dénombre 3 secteurs verts parmi les 8 secteurs colorés, donc la probabilité vert est donnée par. d obtenir un segment de roue. En outre, la probabilité d obtenir un segment de couleur grise est donnée par On fait tourner deux fois de suite cette roue, ce qui correspond à la répétition de deux épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. Ce schéma de Bernoulli d ordre 2 et de paramètre l arbre de probabilité suivant : peut être représenté par 6

7 Exercice 5 (1 question) Niveau : facile Un questionnaire à choix multiples (QCM) comporte 10 questions. Pour chacune d elles, quatre réponses sont proposées dont une seule correcte. Un élève répond au hasard à chaque question du QCM. On note le nombre de réponses correctes qu il a données. Préciser la loi de probabilité suivie par. Correction de l exercice 5 Rappel : Loi binomiale de paramètres et Soit un schéma de Bernoulli d ordre, répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de même paramètre, et soit la variable aléatoire qui associe à cette répétition de épreuves le nombre de. La loi de probabilité de est alors appelée loi binomiale de paramètres et et est notée. Le choix aléatoire d une réponse à une question peut être modélisé par une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «la réponse choisie est la réponse correcte» et pour l événement «la réponse choisie est une réponse erronée». A chaque question sont proposées 4 réponses, dont une seule correcte. Ainsi,. L élève répond au hasard à chacune des 10 questions du QCM donc il y a répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Autrement dit, l expérience décrite est un schéma de Bernoulli d ordre. La variable aléatoire prend pour valeur le nombre de réponses correctes, c est-à-dire comptabilise le nombre de ; suit donc la loi binomiale de paramètres et. 7

8 Exercice 6 (1 question) Niveau : facile A l aide d un arbre, calculer les quatre nombres suivants : Correction de l exercice 6 Rappel : Coefficient binomial On représente à l aide d un arbre un schéma de Bernoulli, répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Pour tout entier tel que, le nombre de chemins réalisant est noté et appelé coefficient binomial. En considérant l arbre ci-contre, correspondant à la répétition de 3 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on dénombre chemins. Ces chemins sont : «--», «--», «--», «--», «--», «--», «--», «--». Un seul chemin réalise 3 ; il s agit du chemin «--». On a donc. 8

9 Trois chemins réalisent 2 ; il s agit des chemins «--», «--» et «--». On a donc. Trois chemins réalisent 1 ; il s agit des chemins «--», «--» et «--». On a donc. Un seul chemin réalise 0 ; il s agit du chemin «--». On a donc. 9

10 Exercice 7 (3 questions) Niveau : moyen Par convention, on pose. De plus, pour tous entiers et tels que et, on a : 1) Montrer que, pour tout entier non nul, on a : 2) Montrer que, pour tous entiers et tels que et, on a : 3) Calculer la somme suivante : Correction de l exercice 7 1) Remarque (autre démonstration) : Il y a en effet un seul chemin qui ne réalise aucun. Remarque (autre démonstration) : Il y a en effet un seul chemin qui ne réalise que des. 2) Remarque (autre démonstration) : Il y a autant de chemins qui réalisent réalisent s, c est-à-dire. que de chemins qui Autre remarque : On dit que les coefficients binomiaux sont symétriques. 10

11 Remarque importante (autre démonstration) : Cette égalité est également connue sous le nom de «formule du triangle de Pascal», dont voici une autre démonstration (au programme). On suppose et on considère l arbre à répétitions d une épreuve de Bernoulli. Les chemins qui indiquent sont de deux types. D une part, ceux qui indiquent lors des premières répétitions ; il y en a donc. D autre part, ceux qui indiquent les lors des premières répétitions ; il y en a donc. chemins donnent en répétitions, c est-à-dire. 3) correspond au nombre de chemins réalisant 0 dans un schéma de Bernoulli d ordre. De même, correspond au nombre de chemins réalisant 1 dans un schéma de Bernoulli d ordre etc. Par conséquent, la somme considérée correspond au nombre de chemins réalisant 0, 1, et, soit toutes les branches de l arbre 1 fois et 1 seule chacune. Comme l arbre dispose de branches, la somme considérée vaut. Autrement dit,. Remarque importante (autre démonstration) : On peut également montrer cette égalité en utilisant la formule du binôme de Newton. En effet, on a : Rappel : Formule du binôme de Newton Pour tous réels et et pour tout entier naturel non nul, on a : 11

12 Exercice 8 (3 questions) Niveau : facile Une usine fabrique des composants électroniques dont 5% présentent des défauts. On considère un échantillon de 200 objets. 1) Quelle est la probabilité qu aucun objet ne soit défectueux? 2) Quelle est la probabilité qu un seul objet soit défectueux? 3) Quelle est la probabilité qu au plus 3 objets soient défectueux? Correction de l exercice 8 Rappel : Probabilité d un événement avec la loi binomiale Si est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et, alors, pour tout entier tel que,. Soit la variable aléatoire égale au nombre d objets défectueux dans l échantillon considéré. suit alors la loi binomiale de paramètres et. 1) Calculons la probabilité qu aucun objet ne soit défectueux. 2) Calculons la probabilité qu un seul objet soit défectueux. 3) Calculons la probabilité qu au plus 3 objets soient défectueux. 12

13 Exercice 9 (3 questions) Niveau : moyen Un fabricant produit et vend 400 consoles de jeux par mois. Le coût de fabrication est de 160 par machine. Le fabricant fait réaliser un test de conformité, dans les mêmes conditions, sur chacun de ses objets fabriqués. Le test est positif dans 93% des cas et une console de jeux reconnue conforme peut alors être vendue 290. Si le test est en revanche négatif, la console de jeux est bradée au prix de ) On note la variable aléatoire qui indique le nombre de consoles de jeux conformes parmi les 400 produites. Calculer l espérance de. 2) On note la variable aléatoire qui indique le bénéfice mensuel, exprimé en euros. Calculer l espérance de et interpréter le résultat. Correction de l exercice 9 Rappel : Espérance mathématique de la loi binomiale Si est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et, alors l espérance mathématique de, notée, est donnée par. 1) Calculons l espérance de. Le test de conformité est une épreuve de Bernoulli dont le est l issue «la console de jeux est conforme». Le test est positif dans 93% des cas donc. On répète 400 fois cette épreuve de Bernoulli dans les mêmes conditions d indépendance. On définit ainsi un schéma de Bernoulli d ordre 400. La variable aléatoire indique le nombre de consoles de jeux conformes parmi les 400, c est-à-dire le nombre de au test de conformité. suit donc la loi binomiale de paramètres et. Il vient alors que. 2) Calculons l espérance de. indique le nombre de consoles de jeux conformes. Par conséquent, le nombre de consoles de jeux non conformes est donné par. Le prix de vente en euros est alors égal à, c est-àdire à. En outre, le prix de revient des 400 consoles est égal à, c est-à-dire à euros. On en déduit le bénéfice mensuel en euros :. En définitive,. Le fabricant peut donc espérer un bénéfice mensuel de euros pour consoles de jeux. Rappel : Linéarité de l espérance mathématique Soient et deux variables aléatoires définies sur le même univers et soit une probabilité sur. Pour tous réels et, on a : 13

14 Exercice 10 (1 question) Niveau : moyen On lance 50 fois un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, truqué de telle sorte que la probabilité de faire apparaître la face numérotée 6 soit supérieure à. On compte le nombre de 6 obtenus. Quelle doit être la valeur de pour que la variance de la loi de probabilité du nombre de 6 obtenus soit égale à 10? Correction de l exercice 10 Rappel : Variance de la loi binomiale Si est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et, alors la variance de, notée, est donnée par. Notons la variable aléatoire égale au nombre de 6 obtenus lors des 50 lancers du dé cubique. Les lancers étant réalisés dans des conditions identiques et indépendantes, suit la loi binomiale de paramètres et. On cherche ainsi à résoudre l équation Or,. Posons le discriminant du trinôme du second degré, d inconnue. Alors. donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes : Or, et donc. Le dé doit donc être truqué de telle sorte que la probabilité d obtenir 6 soit égale à. 14

15 Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen Une urne contient boules numérotées de 1 à. On tire au hasard, successivement et avec remise, boules de l urne, et on observe si, à chaque tirage, la boule tirée est numérotée ( entier compris entre 1 et ). Ecrire un algorithme permettant de simuler cette expérience aléatoire. Correction de l exercice 11 1 VARIABLES 2 nb_boules_dans_urne EST_DU_TYPE NOMBRE 3 numero_boule_a_tirer EST_DU_TYPE NOMBRE 4 numero_boule_tiree EST_DU_TYPE NOMBRE 5 occurrence_boule_a_tirer EST_DU_TYPE NOMBRE 6 compteur EST_DU_TYPE NOMBRE 7 nb_tirages EST_DU_TYPE NOMBRE 8 DEBUT_ALGORITHME 9 AFFICHER "Nombre de boules contenues dans l'urne : " 10 LIRE nb_boules_dans_urne (On demande à l utilisateur de préciser le nombre de boules contenues dans l urne.) 11 AFFICHER nb_boules_dans_urne 12 AFFICHER "Nombre de tirages : " 13 LIRE nb_tirages (On demande à l utilisateur de préciser le nombre de tirages à effectuer.) 14 AFFICHER nb_tirages 15 AFFICHER "Numéro de la boule à tirer : " 16 numero_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR floor(random()*nb_boules_dans_urne+1) (On lance un calcul automatique et aléatoire afin d obtenir un numéro de boule compris entre 1 et le nombre de boules contenues dans l urne ; la fonction random() renvoie un nombre réel entre 0 et 1 et la fonction floor renvoie la partie entière d un nombre.) 17 AFFICHER numero_boule_a_tirer 18 occurrence_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR 0 19 AFFICHER "Tirages obtenus : " 20 POUR compteur ALLANT_DE 1 A nb_tirages 21 DEBUT_POUR 22 numero_boule_tiree PREND_LA_VALEUR floor(random()*nb_boules_dans_urne+1) ) (A chaque tour de boucle, on effectue un tirage aléatoire d une boule dont le numéro est compris entre 1 et le nombre de boules contenues dans l urne ) 23 AFFICHER numero_boule_tiree 24 SI (numero_boule_tiree==numero_boule_a_tirer) ALORS (Si le numéro de la boule tirée correspond au numéro de la boule à tirer, alors on augmente d une unité le nombre d occurrences d affichages de cette boule.) 25 DEBUT_SI 26 occurrence_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR occurrence_boule_a_tirer+1 27 FIN_SI 28 FIN_POUR 29 AFFICHER "Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro " 30 AFFICHER numero_boule_a_tirer 31 AFFICHER " parmi les " 15

16 32 AFFICHER nb_tirages 33 AFFICHER " tirages : " 34 AFFICHER occurrence_boule_a_tirer 35 FIN_ALGORITHME Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox ***Algorithme lancé*** Nombre de boules contenues dans l'urne : 10 Nombre de tirages : 5 Numéro de la boule à tirer : 6 Tirages obtenus : Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro 6 parmi les 5 tirages : 0 ***Algorithme terminé*** ***Algorithme lancé*** Nombre de boules contenues dans l'urne : 15 Nombre de tirages : 7 Numéro de la boule à tirer : 13 Tirages obtenus : Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro 13 parmi les 7 tirages : 2 ***Algorithme terminé*** ***Algorithme lancé*** Nombre de boules contenues dans l'urne : 5 Nombre de tirages : 8 Numéro de la boule à tirer : 1 Tirages obtenus : Nombre d'occurrences de la boule numéro 1 parmi les 8 tirages : 2 ***Algorithme terminé*** 16

Ch.12 : Loi binomiale

Ch.12 : Loi binomiale 4 e - programme 2007 - mathématiques ch.12 - cours Page 1 sur 5 1 RÉPÉTITION D'EXPÉRIENCES INDÉPENDANTES Lancer plusieurs fois un dé et noter les résultats successifs. Ch.12 : Loi binomiale Prélever des

Plus en détail

Notes de cours de Mathématiques en première ES/L

Notes de cours de Mathématiques en première ES/L Notes de cours de Mathématiques en première ES/L O. Lader 1 Table des matières 1 Pourcentages, taux d évolution (4S) 3 1.1 Évolution........................................... 3 2 Fonctions du second degré

Plus en détail

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12 Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont

Plus en détail

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille

Plus en détail

Exercices : Probabilités

Exercices : Probabilités Exercices : Probabilités Partie : Probabilités Exercice Dans un univers, on donne deux événements et incompatibles tels que =0, et =0,7. Calculer,, et. Exercice Un dé (à faces) est truqué de la façon suivante

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

Corrigé, bac S, mathématiques

Corrigé, bac S, mathématiques Corrigé, bac S, mathématiques jeudi juin 0 Eercice 4 points Le plan est muni d un repère orthonormé (O; ı ; j) On considère une fonction f dérivable sur l intervalle [ 3; ] On dispose des informations

Plus en détail

PROBABILITÉS. I) Introduction, aperçu historique. Loi de probabilité

PROBABILITÉS. I) Introduction, aperçu historique. Loi de probabilité Table des matières PROBABILITÉS Résumé de cours I) Introduction, aperçu historique 1 II) Loi de probabilité 1 III)Probabilité d évènement 2 1. Le vocabulaire des probabilités................................

Plus en détail

Probabilités, cours pour la classe de Terminale STG

Probabilités, cours pour la classe de Terminale STG Probabilités, cours pour la classe de Terminale STG F.Gaudon 16 février 2008 Table des matières 1 Probabilités (rappels) 2 2 Événements 3 3 Calculs de probabilités 4 4 Probabilités conditionnelles 5 4.1

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS

EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS Exercice 1 Dans un univers Ω, on donne deux événements A et B incompatibles tels que p(a) = 0,2 et p(b) = 0,7. Calculer p(a B), p(a B), p ( A ) et p ( B ). Exercice 2 Un

Plus en détail

8 Probabilités. Les notions étudiées dans ce chapitre CHAPITRE. 1. Expérience aléatoire 2. Loi de probabilité 3. Probabilité d'un événement

8 Probabilités. Les notions étudiées dans ce chapitre CHAPITRE. 1. Expérience aléatoire 2. Loi de probabilité 3. Probabilité d'un événement CHAPITRE Probabilités Les notions étudiées dans ce chapitre Le mot hasard vient de l'arabe al zhar qui désigne un dé à jouer. Les jeux de hasard sont connus depuis la plus haute Antiquité. Déjà les romains

Plus en détail

Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Chapitre Ce que dit le programme : Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Objectifs visés par l enseignement des statistiques et probabilités à l occasion de résolutions de problèmes dans

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

4. Exercices et corrigés

4. Exercices et corrigés 4. Exercices et corrigés. N 28p.304 Dans une classe de 3 élèves, le club théâtre (T) compte 0 élèves et la chorale (C) 2 élèves. Dix-huit élèves ne participent à aucune de ces activités. On interroge au

Plus en détail

2010 My Maths Space Page 1/6

2010 My Maths Space Page 1/6 A. Des statistiques aux probabilités 1. Statistiques descriptives, analyse de données. Vocabulaire des statistiques : Population : c'est l'ensemble étudié. Individu : c'est un élément de la population.

Plus en détail

Terminale S-SI Probabilités conditionnelles

Terminale S-SI Probabilités conditionnelles robabilités conditionnelles Table des matières 1 Introduction 2 2 Définitions 2 3 Formule des probabilités totales 3 4 Indépendance et principe du produit 5 5 Exercices 5 1 1 Introduction Lorsque 7 élèves

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année Lycée assini BTS GO 4-5 Exercice Test de début d année Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration

Plus en détail

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS ONDITIONNELLES Exercice 01 On considère une roue partagée en 15 secteurs angulaires numérotés de 1 à 15. es secteurs sont de différentes couleurs. On fait tourner la roue qui s'arrête sur

Plus en détail

PROBABILITÉS. I Vocabulaire des événements 2 I.1 Vocabulaire... 2 I.2 Intersection et réunion d événements... 2 I.3 Représentation des évenements...

PROBABILITÉS. I Vocabulaire des événements 2 I.1 Vocabulaire... 2 I.2 Intersection et réunion d événements... 2 I.3 Représentation des évenements... PROBABILITÉS Table des matières I Vocabulaire des événements 2 I.1 Vocabulaire.............................................. 2 I.2 Intersection et réunion d événements................................ 2

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Séance de travaux pratiques n 1 Quelques éléments de correction

Séance de travaux pratiques n 1 Quelques éléments de correction Master Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques, spécialité Enseignement des mathématiques Algorithmique et graphes, thèmes du second degré Séance de travaux pratiques n 1 Quelques éléments

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Loi binomiale

Exercices supplémentaires : Loi binomiale Exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Dans une région pétrolifère, la probabilité qu un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. 1) Justifier que la réalisation d un

Plus en détail

Algorithmique en classe de terminale avec AlgoBox. (programme obligatoire)

Algorithmique en classe de terminale avec AlgoBox. (programme obligatoire) Algorithmique en classe de terminale avec AlgoBox (programme obligatoire) Version 1.0 - Mai 2013 Cette œuvre est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d utilisation

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006 ESSEC M B A CONCOURS D ADMISSION Option économique MATHEMATIQUES III Année 2006 La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce

Plus en détail

Exercices de dénombrement

Exercices de dénombrement Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de Terminale ES 2 Table des matières 1 Équations de droites. Second degré 7 1.1 Équation de droite.................................. 7 1.2 Polynôme du second degré..............................

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Probabilités»

Exercices sur le chapitre «Probabilités» Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS Session 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Durée : 2 heures Coefficient : 2

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS Session 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Durée : 2 heures Coefficient : 2 BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS Session 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures Coefficient : 2 SUJET Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY. LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESTION. Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS. Cours de M. J.

UNIVERSITÉ DE CERGY. LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESTION. Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS. Cours de M. J. Année 2013-2014 UNIVERSIÉ DE CERGY LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESION Seconde année - Semestre 3 PROBABILIÉS Cours de M. J. Stéphan ravaux Dirigés de Mme M. Barrié, M. J-M. Chauvet et M. J.

Plus en détail

Entrer par les problèmes en probabilités et en statistique. Équipe Académique Mathématiques - 2009

Entrer par les problèmes en probabilités et en statistique. Équipe Académique Mathématiques - 2009 Entrer par les problèmes en probabilités et en statistique Équipe Académique Mathématiques - 2009 Quelle valeur ajoutée peut-on espérer d une entrée par les problèmes en probabilités? Donner du sens aux

Plus en détail

I. Cas de l équiprobabilité

I. Cas de l équiprobabilité I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus

Plus en détail

Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc

Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc Terminale ES Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc EXERCICE ( points). Commun à tous les candidats On considère une fonction f : définie, continue et doublement dérivable sur l

Plus en détail

Probabilités sur un univers ni

Probabilités sur un univers ni POIRET Aurélien TD n o 21 MPSI Probabilités sur un univers ni 1 Événements et probabilités Exercice N o 1 : Dans un centre de loisirs, une personne peut pratiquer trois activités. On considère les événements

Plus en détail

Qu est-ce qu une probabilité?

Qu est-ce qu une probabilité? Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban EXERCICE 1 : 4 Points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une

Plus en détail

Séquence 3. Probabilité : conditionnement. Sommaire

Séquence 3. Probabilité : conditionnement. Sommaire Séquence 3 Probabilité : conditionnement Objectifs de la séquence Dans cette première séquence sur les probabilités, on complète les connaissances des années précédentes en introduisant une notion nouvelle

Plus en détail

Exercices de simulation 1

Exercices de simulation 1 Licence MIA 2ème année Année universitaire 2009-2010 Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab.

Plus en détail

Correction des exemples. Mathieu EMILY

Correction des exemples. Mathieu EMILY Correction des exemples Mathieu EMILY Novembre 2005 Table des Matières Exemple_Exercice 1 Page 2 Exemple_Exercice 2 Page 3 Exemple_Exercice 3 Page 5 Exemple_Exercice 4 Page 6 Exemple_Exercice 5 Page 7

Plus en détail

5 Bogues connus 9. Résumé des différences entre le pseudo-code utilisé par AlgoBox et celui que l on peut rencontrer dans les manuels. Entrer...

5 Bogues connus 9. Résumé des différences entre le pseudo-code utilisé par AlgoBox et celui que l on peut rencontrer dans les manuels. Entrer... MÉMENTO ALGOBOX 0.6 POUR LES PROFESSEURS Table des matières 1 Équivalence entre «pseudo-codes» 1 1.1 Entrée des données................................................... 1 1.2 Affichage des données.................................................

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

Le jeu du Sèbi ou Craps

Le jeu du Sèbi ou Craps Le jeu du Sèbi ou Craps Professeur : Christian CYRILLE 7 mars 04 Le jeu du craps "Dieu ne joue pas aux dés! " (Lettre d Albert Einstein à Max Born à propos de la mécanique quantique). Etude du jet simultané

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilités Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilités Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. 1 ère - 3 Chap.9 : Loi binomiale. Échantillonnage. 1 ère - Chapitre 9 : LOI BINOMIALE. ÉCHANTILLONNAGE. Textes officiels (30 septembre 2010) : CONTENU CAPACITÉ ATTENDUE COMMENTAIRE Probabilités Épreuve

Plus en détail

Il y a trois branches avec un seul pile pour un total de 8 branches donc la probabilité d avoir exactement une fois pile est de 3/8 = 0,375

Il y a trois branches avec un seul pile pour un total de 8 branches donc la probabilité d avoir exactement une fois pile est de 3/8 = 0,375 OILITES Un arbre permet de modéliser une situation et de déterminer une probabilité dans le cas où on étudie plusieurs événements. Il est particulièrement bien adapté à la répétition d expériences, aux

Plus en détail

L E Ç O N. Marches aléatoires. Niveau : Terminale S Prérequis : aucun

L E Ç O N. Marches aléatoires. Niveau : Terminale S Prérequis : aucun 9 L E Ç O N Marches aléatoires Niveau : Terminale S Prérequis : aucun 1 Chaînes de Markov Définition 9.1 Chaîne de Markov I Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (X n, n N) qui permet

Plus en détail

Séquence 3. Probabilité : conditionnement et indépendance

Séquence 3. Probabilité : conditionnement et indépendance Séquence 3 Probabilité : conditionnement et indépendance Sommaire. Pré-requis. Conditionnement par un événement de probabilité non nulle 3. Indépendance 4. Synthèse Dans cette première séquence sur les

Plus en détail

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements

Plus en détail

Chapitre I. Probabilités. Bcpst 1 2 novembre 2015. I Exemples d expériences aléatoires

Chapitre I. Probabilités. Bcpst 1 2 novembre 2015. I Exemples d expériences aléatoires Chapitre I Probabilités Bcpst 1 2 novembre 2015 I Exemples d expériences aléatoires Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat avant de l avoir réalisée... ce qui

Plus en détail

Baccalauréat S Probabilités Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Probabilités Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Probabilités Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire

Plus en détail

Calcul d un terme de rang donné

Calcul d un terme de rang donné Calcul d un terme de rang donné Suite arithmétique Un petit village de Chine surveille avec inquiétude l avancée d une dune de sable de plusieurs km de long. Elle n est plus aujourd hui en 2011 qu à 200m

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un

Plus en détail

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher. Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini.

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. 1 Introduction Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d un jeu, observer la durée de vie d une ampoule électrique, etc...sont

Plus en détail

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème.

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

Niveau. Situation étudiée. Type d activité. Durée. Objectifs. Seconde.

Niveau. Situation étudiée. Type d activité. Durée. Objectifs. Seconde. Simuler des expériences aléatoires avec une calculatrice Niveau Seconde. Situation étudiée Différentes selon les séances : Séance 1 : Jeu de pile ou face, tirages de boule dans une urne avec des proportions

Plus en détail

Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance

Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance Cours de mathématiques Terminale S Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance Année scolaire 008-009 mise à jour 6 janvier 009 Fig. Andreï Kolmogorov Un précurseur de la formalisation de la théorie des probabilités

Plus en détail

TD 4 : HEC 2001 épreuve II

TD 4 : HEC 2001 épreuve II TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,,

Plus en détail

Cours de mathématiques Première ES/L

Cours de mathématiques Première ES/L Cours de mathématiques Première ES/L Chapitre 1 Pourcentages...3 I Proportions...3 II Taux d'évolution...3 a) Détermination d'un taux d'évolution...3 b) Appliquer un taux d'évolution...4 III Taux réciproque...4

Plus en détail

Algorithmique. De la seconde à la terminale

Algorithmique. De la seconde à la terminale Algorithmique De la seconde à la terminale Le calendrier Rentrée 2009 : o En seconde : nouveau programme pour tous Rentrée 2010 : o En première : aménagements en ES et S Rentrée 2011 : o En première :

Plus en détail

Probabilités discrètes : exercices

Probabilités discrètes : exercices Université de Strasbourg Probabilités Département de mathématiques Agreg interne 2015-2016 Probabilités discrètes : exercices Vous pouvez me contacter à l adresse nicolas.juilletatmath.unistra.fr. J ai

Plus en détail

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé Baccalauréat ES Centres étrangers 1 juin 14 - Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats 1. On prend un candidat au hasard et on note : l évènement «le candidat a un dossier

Plus en détail

les probabilités en Terminale Bac Pro

les probabilités en Terminale Bac Pro les probabilités en Terminale Bac Pro stéphane GARNUNG Domaine Public : http://creativecommons.org/licenses/publicdomain/2.0/fr/ juin 2012 1.0 Table des matières I - Langage probabiliste 3 1. Expérience

Plus en détail

Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 22 avril 2014 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. obligatoire SÉRIE S

Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 22 avril 2014 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. obligatoire SÉRIE S Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi avril 014 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Durée de l épreuve : 4 HEURES Les calculatrices sont AUTRISÉES obligatoire Coefficient : 7 Le

Plus en détail

Première STMG1 2014-2015 progression. - 1. Séquence : Proportion d une sous population dans une population.

Première STMG1 2014-2015 progression. - 1. Séquence : Proportion d une sous population dans une population. Première STMG1 2014-2015 progression. - 1 Table des matières Fil rouge. 3 Axes du programme. 3 Séquence : Proportion d une sous population dans une population. 3 Information chiffrée : connaître et exploiter

Plus en détail

Les probabilités. Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée Les probabilités produite par TFO.

Les probabilités. Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée Les probabilités produite par TFO. Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée produite par TFO. Le guide Édition 1988 Rédacteur (version anglaise) : Ron Carr Traduction : Translatec Conseil Ltée

Plus en détail

Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres

Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres 1 Introduction Le nombre de piles obtenus au cours d une série de n lancers de pile ou face ou plus généralement dans

Plus en détail

CHAPITRES 5 et 6 PROBABILITÉS ET DÉNOMBREMENTS

CHAPITRES 5 et 6 PROBABILITÉS ET DÉNOMBREMENTS 1 re EFG hapitres et Probabilités et dénombrements HAPITRES et PROBABILITÉS ET DÉNOMBREMENTS Exercice 1 Dans un magasin les modes de paiement et les montants des achats sont répartis de la façon suivante

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,

Plus en détail

Exemple On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois pile.

Exemple On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois pile. Probabilités Définition intuitive Exemple On lance un dé. Quelle est la probabilité d obtenir un multiple de 3? Comme il y a deux multiples de 3 parmi les six issues possibles, on a chances sur 6 d obtenir

Plus en détail

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé L2 d économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Nom : Prénom : Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L utilisation de documents, calculatrices,

Plus en détail

Probabilités (méthodes et objectifs)

Probabilités (méthodes et objectifs) Probabilités (méthodes et objectifs) G. Petitjean Lycée de Toucy 10 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Probabilités (méthodes et objectifs) 10 juin 2007 1 / 19 1 Déterminer la loi de probabilité d

Plus en détail

Calculer la probabilité d un événement

Calculer la probabilité d un événement THEME : CORRIGE DES EXERCICES PROBABILITES Calculer la probabilité d un événement Exercice n : Un sachet contient bonbons à la menthe, à l orange et au citron. On tire, au hasard, un bonbon du sachet et

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

Les trois sortes de tirages

Les trois sortes de tirages DERNIÈRE IMPRESSION LE 29 juin 2015 à 19:20 Les trois sortes de tirages Introduction Comme nous l avons vu, dans une loi équirépartie, il est nécessaire de dénombrer les cas favorables et les cas possibles.

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie... 1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................

Plus en détail

Chaînes de Markov au lycée

Chaînes de Markov au lycée Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat

Plus en détail

MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE

MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE Annexe MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE L enseignement des mathématiques au collège et au lycée a pour but de donner à chaque

Plus en détail

1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes.

1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. Corrigé du Prétest 1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. a) Obtenir un nombre inférieur à 3 lors du lancer d un dé. U= { 1, 2,

Plus en détail

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2.1 Probabilité conditionnelle Soient A et B deux événements tels que P(B) > 0. Soit alors P(A B), la probabilité que A se réalise, B étant réalisé.

Plus en détail

Le sujet est composé de 6 pages dont une annexe à rendre avec la copie. Formulaire

Le sujet est composé de 6 pages dont une annexe à rendre avec la copie. Formulaire Année universitaire 2013-2014 Diplôme de D.A.E.U Option A 1 ère session Juin 2014 Intitulé de la matière : Nom de l enseignant : Mathématiques Mme Baulon Date de l épreuve : Mercredi 11 juin 2014 13.30-16.30

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé

Plus en détail

Sommaire de la séquence 1

Sommaire de la séquence 1 Sommaire de la séquence 1 t t t t t t t t t Séance 1...................................................................................................... 7 Je découvre la notion de probabilité.....................................................................

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail