dénombrement, loi binomiale

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1 dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert Jeux et dénombrements Différents tirages dans une urne II) Combinaisons 3 1. Notion Proriétés des combinaisons Formule du binôme III)Loi binomiale 8 1. Raels Éreuve de Bernoulli Loi binomiale IV)Pool d exercices 10 Extrait du rogramme Pour les dénombrements intervenant dans les roblèmes, on en restera à des situations élémentaires résolubles à l aide d arbres, de diagrammes ou de combinaisons. Cours largement insiré des sites de Melusine, Abida et Téhessin La section I, le théorème du triangle de Pascal et les raels de la section sur la loi binomiale figurent dans la fiche à distribuer TS roba3-fiche.df. I) Introduction au dénombrement Cette section est dans la fiche à distribuer TS roba3-fiche.df. Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 1/12

2 1. Problème ouvert Considèrons un ensemble E ayant n éléments, n N. On dresse la liste de toutes les arties de E, y comris la artie vide n ayant aucun élément et on note chacune de ces arties sur un carton que l on lace dans une urne, chaque carton étant suosé indiscernable au toucher. On tire alors au hasard deux cartons simultanément de l urne. La question est de savoir quelle est la robabilité que la réunion de ces deux cartons soit égale à E. 1 Résoudre le roblème si n 1 uis n 2. 2 Résoudre le roblème dans le cas général. 3 Rerendre le roblème si l on suose que l on tire au hasard les deux cartons successivement et avec remise du remier carton tiré. Ce chaitre exose quelques éléments qui ermettront de résoudre ce roblème. 2. Jeux et dénombrements Nous allons évoquer et décrire trois jeux qui vont nous ermettre de dénombrer les différents tirages ossibles de éléments d un ensemble à n éléments. 1 Joer Il s agit de choisir successivement 7 chiffres au hasard armi les dix chiffres de 0 à 9. On obtient alors un nombre de set chiffres, un même chiffre ouvant être choisi lusieurs fois. 2 Le quinté Lors d une course de 20 chevaux, on s intéresse à l arrivée, dans l ordre, des 5 remiers chevaux, en admettant qu il ne eut y avoir d ex aequo et que le joueur n a aucune connaissance hiique lui ermettant de jouer autrement qu au hasard. 3 Le loto Le jeu du loto consiste à choisir au hasard 6 nombres armi les 49 remiers entiers naturels non nuls, un même nombre ne ouvant être choisi lusieur fois et l ordre d aarition des nombres n étant as ris en comte. Quelle est la robabilité de gagner our chacun des jeux? Arès avoir remarqué que les trois jeux se modèlisent ar une loi équiréartie (il y a équirobabilité : chaque évènement élémentaire a la même robabilité) déterminer dans chacun des cas évoqués la robabilité de gagner, c est-à-dire de trouver les bons numéros. 3. Différents tirages dans une urne De nombreuses exériences aléatoires euvent s assimiler à des tirages de boules dans une urne U et se modélisent ar une loi équiréartie comme suit. Tirages successifs avec remise On tire une boule de l urne U, on note son numéro, uis on la remet dans l urne. On effectue de la sorte tirages (dits successifs avec remise). Un résultat ossible est une suite ordonnée ou liste de éléments choisis dans un ensemble à n éléments. Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 2/12

3 Proriété 1. Le nombre de suites ordonnées ou listes de éléments choisis dans un ensemble à n éléments est n. Illustrer avec un arbre. Cette méthode est à relier au Joer. Tirages successifs sans remise On tire une boule de l urne U, on note son numéro et on ne la remet as dans l urne. On effectue de la sorte tirages, avec n (dits successifs sans remise). Un résultat ossible est une liste ou suite ordonnée d éléments tous distincts d un ensemble à n éléments. Cas articulier : lorsque n, toutes les boules sont tirées une à une, une telle liste est aelée ermutation. Proriété 2. Le nombre de listes ou de suites ordonnées formées de numéros distincts ris dans U est égal à n(n 1)...(n 1). Le nombre de ermutations formées des n numéros de U est égal à n(n 1) Illustrer avec un arbre. Cette méthode est à relier au Quinté. Tirages simultanés On tire simultanément boules de l urne U ( n). On obtient ainsi un ensemble de numéros ris armi n, que l on aelle combinaison. Cette méthode est à relier au Loto, les nombres de combinaisons sont étudiés dans la suite de ce chaitre... Fin de la section dans la fiche distribuée. II) Combinaisons 1. Notion Exemle. Exercice Pour n N, n 2, le nombre n(n 1) est noté n! et se lit factorielle n. Par convention : 1! 1 et 0! 1. On revient sur les suites ordonnées et les ermutations. Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 3/12

4 Proriété 3. Le nombre de suites ordonnées de éléments, tous distincts, d un ensemble à n éléments est n! (n )!. Le nombre de ermutations d un ensemble à n éléments est n!. Ceci se déduit de la roriété des tirages successifs sans remise. Exercices 1 Combien y a-t-il d anagrammes du mot ZOÉ? 2 Il y a 28 chaises dans une salle our 28 élèves. Dénombrer toutes les manières ossibles our les élèves d occuer les chaises de la salle. 3 Il y a 28 chaises dans une salle our 25 élèves. Dénombrer toutes les manières ossibles our les élèves de s installer dans la salle (on se réoccue ici de qui va sur quelle chaise). 4 Il y a 28 chaises dans une salle our 25 élèves. Dénombrer toutes les manières ossibles our les élèves de s installer dans la salle (on ne se réoccue lus ici de qui va sur quelle chaise mais simlement de quelles chaises sont occuées). Théorème 1. Si 0 n, le nombre de combinaisons de objets ris armi n, noté armi n», est égal à n(n 1)...(n 1)! n!!(n )!., aussi aelé «Preuve. Faisons d abord le raisonnement sur un exemle : Quel est le nombre de combinaisons de trois éléments ris dans un ensemble de 5 éléments? On sait que le 5! nombre de listes de trois éléments distincts d un ensemble à cinq éléments est égal à (5 3)!. Choisissons une combinaison de trois éléments, que l on note {a; b; c}. Combien de listes ordonnées d éléments distincts eut-on constituer avec cette combinaison? Il y a 63! fois lus de listes que de combinaisons, d où : ( ) 5 3 3! et ( ) 5 3 5! (5 3)! 5! (5 3)!3!. Considérons maintenant le cas général (: soit ) un ensemble E à n éléments. n On choisit une combinaison armi les ossibles de E. Pour cette combinaison, on a! ermutations ossibles. Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 4/12

5 Donc nous ouvons en déduire que le nombre de suites ordonnées de éléments, tous distincts, de E, que n! l on sait égal à est aussi, d arès ce qui récéde, égal à (n )!. Ce qui ermet d obtenir :! n! (n )! n! (n )!!. 2. Proriétés des combinaisons Proriété 4. Pour tout entier naturel n : 1, 0 1, n n. 1 Théorème 2. Pour tous entiers naturels n et tels que n :. n En effet choisir de rendre objets non ordonnés armi n revient au même que de rendre n objets non ordonnés armi n. Exercice 20, Le théorème qui suit, sa démonstration et le triangle de Pascal figurent dans la fiche à distribuer TS roba3- fiche.df. Théorème 3. Pour tous entiers naturels n et tels que 1 n : ( ) ( ) n 1 n 1 1. Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 5/12

6 Cette égalité est arfois aelée relation de Pascal même si les mathématiciens chinois l avaient mise en évidence avant lui. Preuve. ROC ossible. 1 Démonstration 1 E est un ensemble à n éléments, on note a un élément fixé de E. Pour dénombrer les arties à éléments de E, on eut distinguer : celles qui ne contiennent as a : ce sont les arties à éléments choisis armi les n 1 éléments restants; elles sont au nombre de 1 celles qui contiennent a : il reste à choisir 1 éléments armi les n 1 éléments restants; on en comte : 1 Or il y a 1 arties à éléments de E, donc ( ) ( ) n 1 n Démonstration ( ) ( 2 ) n 1 n (n 1)! ( 1)!(n 1 ( 1))! (n 1)!!(n 1 )! (n 1)! (n )(n 1)!!(n )!!(n )! n(n 1)!!(n )! n!!(n )! Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 6/12

7 D où le triangle de Pascal n ( ) 0 ( 0)( ) 1 1 ( 0)( 1)( ) ( 0)( 1)( 2)( ) ( 0)( 1)( 2)( 3)( ) ( 0)( 1)( 2)( 3)( 4)( ) Fin de cette artie figurant sur la fiche TS roba3-fiche.df. On lace des 1 sur la ligne corresondant à n 0 ( et n ) 1 et sur la diagonale, uis on calcule les n de roche en roche en utilisant le théorème récédent. ( ) ( ) ( ) Exemle : n Formule du binôme Théorème 4. Formule du binôme (de Newton) Pour tous nombres comlexes a et b, et our tout entier n 1, ( n (a b) n a n 1 ( n 0 ) a n 1 b 1... ) a b n. ( n ) a b n... b n Tenter de le faire sentir en termes de combinaisons. Preuve. Par récurrence (facile) en remarquant que (a b) 1 a(a b) b(a b) et en utilisant la relation de Pascal au bon moment... Exercices Alications de la formule du binôme 1 Quelques roduits remarquables (17 239)... 2 Démontrer que our tout entier n 1, 2 n. 0 3 En déduire le nombre de toutes les arties d un ensemble à n éléments 1 (ce résultat se retrouve avec un arbre...) (voir le roblème ouvert du début de chaitre) Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 7/12

8 Solutions : D arès la formule du binôme : (1 1) n n donc 2 n 0. 3 Le nombre de toutes les arties d un ensemble à n éléments est la somme du nombre de arties à 0 élément, à 1 éléments, à 2 éléments,..., à n éléments. Le nombre total est donc, c est à dire 2 n d arès la question 1. 0 III) Loi binomiale 1. Raels Ces raels figurent dans la fiche à distribuer TS roba3-fiche.df. On aelle variable aléatoire toute fonction de l univers Ω dans R. Si l image de Ω ar X est un ensemble de valeurs isolées de R on dit que la variable X est discrète. L esérance mathématique ou moyenne d une variable aléatoire discrète renant n valeurs x i avec les robabilités P(X x i ) i avec 1 i n est le réel La variance de X : V (X) E(X) x i i. i1 (x i E(x)) 2 i ou V (X) i1 Écart tye de X : σ(x) V (X). Fin de la fiche distribuée. 2. Éreuve de Bernoulli x 2 i i (E(X)) 2. i1 Lorsqu une exérience aléatoire n a que deux issues (généralement aelées succès et échec), on la nomme éreuve de Bernoulli. On note la robabilité du succès et q 1 la robabilité de l échec. q S E (Jacques ou Jaob Bernoulli (27 décembre 1654, Bâle - 16 août 1705) était un mathématicien et hysicien suisse.) Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 8/12

9 Définir une loi de Bernoulli de aramètre, c est associer à l exérience aléatoire une loi de robabilité x discrète définie ar i S E i q que l on note aussi x i 1 0 i Loi binomiale Lors de la réétition de n éreuves de Bernoulli, identiques et indéendantes, on s intéresse à la variable aléatoire X qui à chaque exérience aléatoire associe le nombre de succès. On obtient comme univers, ensemble des résultats ossibles, les entiers comris entre 0 et n (Ω {0; 1; 2;...; n}). On cherche à déterminer la loi de robabilité suivie ar la variable aléatoire X sur l univers Ω Cette loi de robabilité sur cet ensemble Ω est nommée loi binomiale de aramètres n et, notée B(n; ) où est la robabilité de succès et n le nombre d éreuves. Vocabulaire : on aelle aussi arfois shéma de Bernoulli une telle réétition d éreuves identiques et indéendantes. Proriété 5. P(X ), la robabilité d obtenir succès et n échecs est q n. X 0 ( ) 1 ( ) 2... ( ) n n n n Probabilité i q n q n 1 2 q n 2 q n n 1 2 Preuve. Lire la age 230 du livre our la rochaine fois et me oser des questions si des difficultés sont rencontrées (raisonner avec un arbre). Exercices A choisir armi 25 à Conjecturons la valeur de l esérance de X. Proriété 6. On a l esérance de X : E(X) n et l écart tye de X : σ(x) nq Admise (eut se démontrer en considérant la fonction f définie ar f(x) x(a x) n et sa dérivée, voir la trame de la méthode dans l exercice ). Exercices Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 9/12

10 (solution à rojeter avec le fichier exo50242.xls). Faire la remarque que our 1/2, une loi binomiale est une lecture directe du triangle de Pascal et que our n très grand, on retrouve une «courbe en cloche»(montrer le fichier Binom-Cloche.xls). IV) Pool d exercices 1 Diabète insulino-déendant dit de tye 1. Une étude de l OMS affirme que 2,8% de la oulation mondiale est atteinte de diabète de Tye 1. Dans un lycée, on interroge au hasard N 10 élèves our vérifier s ils souffrent ou non de diabète de tye 1. Le nombre d élèves est suffisamment imortant our que l on uisse assimiler ce rélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire X qui à chaque tirage de N élèves associe le nombre d élèves souffrant de diabète de tye 1. 1 Justifier que la loi X suit une loi binomiale dont on récisera les aramètres. 2 Calculer la robabilité qu un élève exactement, souffre de diabète de tye 1. 3 Calculer la robabilité qu un élève au moins, souffre de diabète de tye 1. Correction 1 La variable aléatoire X suit la loi binomiale de aramètres B(N, 2, 8%) car : X comtabilise le nombre de ersonnes diabétiques; deux issues contraires, diabétiques ou as 2, 8% et q 97, 2%; on réète N fois la même exérience aléatoire; les exériences sont indéendantes car le tirage est assimilé à un tirage avec remise. ( ) 10 2 P(X 1) 0, , , P(X 1) 1 P(X 1) 0, 25 2 Un etit artisan emloie trois ouvriers, la robabilité our que l un d entre eux soit absent un jour donné est de 0,05. On suose que les trois ouvriers s absentent indéendamment les uns des autres. Soit X la variable aléatoire qui à une journée associe le nombre d ouvriers absents. 1 Justifier que X suit une loi binomiale dont on récisera les aramètres. 2 Donner la loi de robabilité de X. 3 Calculer la robabilité d avoir au moins un ouvrier résent. 3 Un tireur à la carabine touche le centre de la cible avec une robabilité égale à 0,7. 1 Quelle est la robabilité our que sur 5 tirs il touche au moins une fois le centre de la cible? 2 Combien de tirs doit-il effectuer our que la robabilité d atteindre la cible soit suérieur à 0,95? 4 Une machine roduit, en grande série, des objets de masse théorique 180 grammes. Un objet est conforme si sa masse est comrise entre 178 g et 182 g. On admet que 96, 8% des objets de la roduction sont conformes. Les objets sont stocés ar boites de vingt. On désigne ar Y la variable aléatoire qui associe à une boite rise au hasard le nombre d objets conformes de cette boite. Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 10/12

11 1 Donner les aramètres de la loi binomiale suivie ar Y. 2 On choisit une boite au hasard dans la roduction. Calculer la robabilité des événements suivants : tous les objets sont conformes; au moins dix-huit objets sont conformes. 5 Coefficients binomiaux 1 Donnez une exression simle de ( ) 20 our calculer à la main. 3 2 On donne ( ) et 5, de 0, de 1 ( ) Calculez alors à la main 6 ( ) ( ) n n, de. Utilisez des simlifications n n 1 ( ) 13 et 8 ( ) Une vieille connaissance Donnez une nouvelle démonstration très raide de la formule bien connue : (1 x) n > 1 nx 7 Nombre de arties Combien y a-t-il de arties d un ensemble ayant n éléments? 8 Tye Bac avec ROC 1 Démonstration de cours. Démontrer que, our tous entiers naturels n et tels que 1 < n, on a : En déduire que our tous entiers naturels n et tels que 2 < n 1, on a : ( ) ( ) ( ) ( ) n 2 n 2 n 2 n On considère deux entiers naturels n et tels que 2 < n 1. On disose d une urne contenant n boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches. On tire au hasard et simultanément boules de l urne. On aelle A l évènement «au moins une boule rouge a été tirée». a) Exrimer en fonction de n et de la robabilité de l évènement A, contraire de A. En déduire la robabilité de A. b) Exrimer d une autre manière la robabilité de l évènement A et montrer, à l aide la formule obtenue à la question 2., que l on retrouve le même résultat. 9 Calculez π 3 π 6 sin 5 t dt. 10 Périclès est gouteur d olives dans une usine grecque. Un matin, il goutte cent olives au hasard et les relace dans le réservoir. L arès-midi, l ouzo de l aéritif lui a fait erdre la mémoire. Il goutte à nouveau cent olives dans le même réservoir. Douze d entre elles avaient déjà été machées. Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 11/12

12 On note A l événement «il y a douze olives machées armi les cent choisies» et B n l événement «il y a n olives dans le réservoir». On considère la fonction f définie our les entiers suérieurs à cent ar f(n) Bn (A) et la suite (u n ) définie our les entiers suérieurs à 100 ar 1 Comarer u n à 1. u n f(n 1)/f(n) 2 Montrer que la fonction f atteint un maximum sur [100, [. ) ) )(n1 100 )( n 100 (100)(n (100)(n On aelle maximum de vraisemblance m la valeur de n corresondant à ce maximum. Déterminez m. Réonse : m 833 u n 11 Le oer Une main au oer est constituée de 5 cartes tirées d un jeu de 52 cartes. Combien y a-t-il de mains contenant des carrés (XXXXY)? des fulls (XXXYY)? des brelans (XXXYZ)? des doubles aires (XXYYZ)? des aires (XXYZA)? Deux lettres identiques (ar exemle XX) corresondent à deux cartes de même hauteur (ar exemle deux dames). Réonse : 624 carrés, 3744 fulls, brelans doubles aires, aires. 12 L âge du caitaine Le caitaine des omiers de New-Yor réside à l angle de la 7 e rue et de la 33 e avenue. La caserne se trouve à l angle de la 15 e rue et de la 40 e avenue. Il s y rend tous les jours à ied et sans erdre de tems (i.e. dans le sens des numéros croissants aussi bien our les rues que our les avenues). Sachant qu il a commencé à travailler le jour de ses 18 ans, et sachant qu il n est jamais assé deux fois ar le même chemin, quel est l âge maximum du caitaine? Réonse : maximum 35 ans. 13 Calcul de coefficients binomiaux On considère 7 boules numérotées de 1 à 7. 1 On en tire simultanément 3. Combien y a-t-il de tirages ossibles? 2 Soit un entier vérifiant 3 7. Combien y a-t-il de tirages de 3 boules dont le lus grand numéro est? 7 ( ) x 1 3 En déduire une exression de sous forme d un unique coefficient binomial. 2 3 Alain Gauchet (Livre : Indice Maths TS (rogramme 2002) - Bordas) age 12/12