Des familles de deux enfants

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1 Des familles de deux enfants Claudine Schwartz, IREM de Grenoble Professeur, Université Joseh Fourier Les questions et sont osées dans le dernier numéro de «Pour la Science» (n 336, octobre 2005, article de JP Delahaye, age 92-9). Ce texte rerend les questions de cet article, en les réorganisant et en commentant quelques résultats. ) Une famille a 2 enfants, dont une fille. Quelle est la robabilité que l autre enfant soit une fille? 2) On va dans la maison d une famille de 2 enfants. C est une fille qui ouvre la orte. Quelle est la robabilité 2 que l autre enfant soit une fille? 3) Une famille a 2 enfants, dont une fille née un remier setembre. Quelle est la robabilité 3 que l autre enfant soit une fille? ) Une famille a 2 enfants, dont une fille qui se nomme Sohie. Quelle est la robabilité que l autre enfant soit une fille? 5) Une famille a 2 enfants, dont un qui se nomme Dominique. Quelle est la robabilité 5 que l autre enfant soit une fille? 6) Une famille a 2 enfants, dont un enfant qui se nomme Dominique. Quelle est la robabilité 6 que cette famille ait deux filles? Selon une enquête micro-trottoir, les biologistes et les hysiciens refusent de réondre à ces questions : ils ne voient as où on veut en venir, la question leur araît tro absurde. Les mathématiciens accetent lus fréquemment de réondre, soit en donnant des réonses immédiates (et c est souvent la même valeur our toutes les questions osées), soit en donnant des réonses qui, sous des résentations diverses, sont celles roosées cidessous. Probabilistes ou non, nous sommes beaucou à enser que ces questions sont de nature à en écarter lus d un des robabilités, surtout si celui qui les ose finit ar imoser une solution comme étant «la solution juste». On demande ici «quelle est la robabilité» : c est donc qu on traite d un modèle ou d une exérience aléatoire et as d une seule famille à 2 enfants vivant sur une île déserte. Plusieurs exériences et modèles euvent alors être roosés, d où lusieurs réonses envisageables. On choisit, sauf mention contraire dans la artie -2, les contraintes suivantes : le sexe du remier et du deuxième enfant sont indéendants et à chaque naissance, garçons et filles sont équirobables.

2 ) Deux enfants dont une fille. Distinguons l aîné et le second enfant. On note (F,G) une famille dont l aîné est une fille et le cadet un garçon. Les quatre ossibilités (F,F), (F,G), (G,F) et (F,F) étant toutes de robabilité /, on eut écrire : = Prob [ (F,F) / {(F,F),(F,G),(G,F)} ] = / 3/ On a donc une chance sur 3 que l autre enfant soit une fille. = 3 2) Une fille ouvre la orte. 2-. Etre accueilli ar une fille rouve qu il y a au moins une fille dans cette famille. Si on en reste là, on est ramené à la situation de la question. Mais on eut aussi se oser la question de la règle d ouverture de la orte ar un des deux enfants. D où une nouvelle étude ossible On note OF l événement «une fille ouvre la orte». Soit α la robabilité de OF, sachant que la famille comorte une fille et un garçon. Les robabilités qui nous intéressent sont : Prob ((F,G) et OF) ) = α/ Prob ((G,F) et OF)) = α/ Prob ((F,F)) = Prob ((F,F) et OF)) = / 2 = Prob [ {(F,F)} / {{(F,F),(F,G),(G,F)} et OF} ] = Soit 2 =. + 2α Le cas 2- coïncide avec α =, c est-à-dire au cas où, s il n y a qu une seule fille, c est elle qui ouvre. Si on ne sait rien des règles d ouverture de orte, on eut rendre α = 0,5, et la robabilité cherchée vaut 0, On ourrait aussi aramétrer en notant β la robabilité que ce soit l aîné qui ouvre : Prob ((F,G) et OF)) = β/ Prob ((G,F) et OF)) = ( β)/ Prob ((F,F) et OF)) = / Dans ce cas, la robabilité que l autre enfant soit une fille est : 2 = Prob [ {(F,F) et OF} / {{(F,F),(F,G),(G,F)} et OF} ] = /2 La robabilité que l autre enfant soit une fille vaut ici /2, quelle que soit la valeur de β. 2

3 3) Une fille née un remier setembre. Soit π la robabilité qu une fille soit née un remier setembre. Soient : - S l événement «une fille née un er setembre» ; - F* l événement «une fille qui n est as née un remier setembre». On a (voir arbre de robabilité ci-dessous) : Prob ((S,G)) = π/ Prob ((G,S)) = π/ Prob ((S,F)) = Prob ({ (S,S),(S,F*) }) = π/ et Prob ((F*,S)) = (-π)π/ D où : 3 = Prob [ {(F*,S),(S,F) } / {(F*,S),(S,F),(S,G),(G,S)} ] = 2 π π On remarque que : /2. Comme la robabilité de naître un remier setembre est etite, 3 est roche de ) Une fille qui se nomme Sohie. -. Dans l article de Delahaye de «our la Science», il est écrit : «Notons E l enfant qui s aelle Sohie (on eut introduire cette notation uisque cet enfant est unique) et E 2 l enfant qui ne s aelle as Sohie. Deux cas sont ossibles, et de même robabilité : E 2 est un garçon, E 2 est une fille. Donc = /2.» Détaillons cet argument. Notons : - A l événement «l enfant qui ne s aelle as Sohie est une fille» ; - S l événement «l aîné des deux enfants est une fille qui s aelle Sohie» ; - S 2 l événement «le lus jeune des deux enfants est une fille qui s aelle Sohie». 3

4 On suose que deux enfants ne euvent avoir le même rénom ; on eut écrire : Prob (S ou S 2 ) = Prob (S ) + Prob (S 2 ) Prob ((A et S ) ou (Aet S 2 )) = Prob (A et S ) + Prob (A et S 2 ) On a : = Prob (A / (S ou S 2 ) = [ Prob (A et S ) + Prob(A et S 2 ) ] / Prob (S ou S 2 ) La robabilité que le second enfant soit une fille, sachant que l aîné est une fille, ou alors sachant qu elle s aelle Sohie (ou Dominique, voir question 5), est 0,5. D où : Prob (A et S ) = Prob (A / S ) Prob (S ) = 0,5 Prob (S ) De même : Prob (A et S 2 ) = Prob (A / S 2 ) Prob (S 2 ) = 0,5 Prob (S 2 ) Finalement : = /2 La seule hyothèse dont on se sert ici à roos du rénom est que deux enfants de la même famille n ont jamais le même rénom. -2. Delahaye roose une exérience our mieux comrendre : on tire au hasard deux cartons armi 00, dont 50 sont étiquetés G et 50 sont étiquetés F, et armi les cartons F, un est étiqueté S (avec une telle exérience, on oublie qui est l aîné des enfants). Cette exérience revient à considérer un modèle dans lequel la robabilité, our une famille 99 de 2 enfants, d avoir une Sohie est = 0, 02. La robabilité d avoir deux filles (00 99) / 2 9 dont une Sohie est et la robabilité d avoir deux filles sachant qu on a une (00 99 / 2) Sohie est : = 9/99 0,95 La robabilité est voisine de 0,5. La réartition des comositions des familles avec ce modèle vérifie : Prob (deux filles) = Prob (deux garçons) = (50 9/2)/(00 99/2) = 9/98 0,27 Prob (une fille et un garçon) = 50 50/(00 99/2) = 50/99 0,505. La question traitée avec ce modèle donne : Cette robabilité est roche de /3. = (25 9)/( ) = 9/9. Ce modèle est tout à fait accetable our la comosition des familles ; il n est as lus éloigné de la réalité que celui qu on a considéré (car l égalité des sexes à la naissance n est as tout à fait resectée, le modèle avec 05 garçons our 00 filles est lus ertinent que l équirobabilité des sexes à la naissance). Le résultat trouvé déend du nombre de cartons. Regardons ce qui se asse si on augmente le nombre de cartons.

5 Pour N cartons G et N cartons F, la robabilité d avoir deux cartons F sachant qu on a au moins un carton F est : (N-)/(3N-) Elle tend vers /3 quand N tend vers l infini. La robabilité d avoir deux filles est (N-)/2(2N-) et tend vers / lorsque N tend vers l infini, ainsi que celle d avoir deux garçons. Si armi les N cartons F, un seul est étiqueté Sohie, (ce qui exclut la ossibilité d avoir deux fois le rénom de Sohie), la robabilité d avoir deux filles sachant qu on a une Sohie est : (N-)/(2N-) Quand N tend vers l infini, elle tend vers /2, mais faire tendre N vers l infini n est as ertinent ici, car la robabilité qu une fille se nomme Sohie est /N et tend alors vers 0. Dans l article de «Pour la Science», Delahaye roose de simuler l exérience des tirages de cartons. Sur un grand nombre de simulations, on trouvera, armi les familles avec une Sohie, une fréquence voisine de 0,5 our les familles de deux filles. On eut alors construire des intervalles de confiance our la robabilité ; on ne trouvera as la valeur exacte, ni celle de, mais on saura qu elles ne sont as /3 de 5) Un enfant qui se nomme Dominique. L information aortée ar un rénom est utilisée our distinguer un enfant des autres. Pour le sexe de l autre enfant, eu imorte que ce rénom soit rare ou non, que ce soit celui d une fille ou d un garçon. On eut faire le même calcul que dans la artie -, dans lequel le fait que Sohie soit une fille n intervient as. Donc, s il y a un enfant qui s aelle Dominique, la robabilité que l autre soit une fille est aussi /2. Soit : 5 = 0,5 En fait, our mieux comrendre que dans la question on trouve /3 alors qu en rajoutant la connaissance d un rénom on trouve /2, on eut imaginer le modèle suivant : On a k articules, numérotées de à k, qui euvent être dans l état codé ou dans l état codé 2, avec équirobabilité de chaque état et indéendance des états de chacune d elles. Ces articules sont ar ailleurs lacées dans des boîtes : il y a N boîtes, N > k ; une boîte contient au lus une articule. Le lacement des articules est indéendant de leur état. La loi des lacements est une loi de robabilité, équiréartie ou non, sur l ensemble E des sous-ensembles de k boîtes armi N. (a) Quelle est la robabilité, sachant qu il y a au moins une articule dans l état, que toutes les autres soient aussi dans l état? (b) Quelle est la robabilité, sachant que la remière boîte est occuée, que les articules dans les autres boîtes soient rouges? 5

6 (a) Il y a 2 k réartitions ossibles des états, dont 2 k - our lesquelles au moins une articule est dans l état. La robabilité cherchée est donc / (2 k - ). En effet, avec les hyothèses faites, les 2 k réartitions sont équirobables et la robabilité conditionnelle cherchée est le quotient de la robabilité que toutes les articules soient dans l état ar la robabilité qu au moins une soit dans l état, soit : (2 k / 2 k ) / 2 k = / (2 k -) Si k = 2, on trouve /3. (b) Comme il y a indéendance de l état d une articule et de la boîte où elle se trouve, les 2 k- réartitions des k- articules qui ne sont as dans la remière boîte sont équirobables, et la robabilité cherchée est : / 2 k- Si k = 2, on trouve /2. On ourrait faire une analogie avec des familles de k enfants, la boîte étant codée ar un rénom. Ce eu ertinent : tous les rénoms ne sont as mixtes. De lus, dans le cas des familles, la liste des rénoms n est à l heure actuelle as fixée Mais cet exemle des articules, où on donne exlicitement le modèle, eut aider à mieux comrendre comment dans ce genre de roblème, on eut asser de la robabilité /3 à /2. 6) Un enfant qui se nomme Dominique. On cherche maintenant la robabilité que cette famille ait deux filles. Notons : - D l événement «un enfant s aelle Dominique» ; - DF l événement «un enfant s aelle Dominique et c est une fille» ; - DG l événement «un enfant s aelle Dominique et c est un garçon». On suose toujours qu un seul enfant de la famille eut s aeler Dominique. Soit x la robabilité, sachant qu un enfant s aelle Dominique, que ce soit une fille : x = Prob (DF)/Prob (D). D arès la question, la robabilité d avoir deux filles sachant DF est égale à, soit à /2. D où : 6 = Prob (Deuxfilles/D) = Pr ob( 2 filles et DF) + Pr ob( 2filles et DG) Pr ob( 2filles / DF)Pr ob(df) + 0 = Pr ob(d) Pr ob(d) La robabilité cherchée est donc x/2 et vaut / our x = /2. 6

7 Conclusion Une morale de cette histoire de famille ourrait être que dans une situation de modélisation, et c est le cas ici, il convient d analyser avec soin l information dont on disose, quitte à envisager lusieurs modèles. Le contexte choisi l est our que les résultats, notamment entre les questions et, aaraissent articulièrement aradoxaux : arécier ou non ce tye de aradoxe est une question de goût. Une autre morale est qu en édagogie, s auyer sur des exemles ayant trait à la vie courante n est as systématiquement heureux, ou favorable à la comréhension du domaine enseigné. 7

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