Des familles de deux enfants

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Des familles de deux enfants"

Transcription

1 Des familles de deux enfants Claudine Schwartz, IREM de Grenoble Professeur, Université Joseh Fourier Les questions et sont osées dans le dernier numéro de «Pour la Science» (n 336, octobre 2005, article de JP Delahaye, age 92-9). Ce texte rerend les questions de cet article, en les réorganisant et en commentant quelques résultats. ) Une famille a 2 enfants, dont une fille. Quelle est la robabilité que l autre enfant soit une fille? 2) On va dans la maison d une famille de 2 enfants. C est une fille qui ouvre la orte. Quelle est la robabilité 2 que l autre enfant soit une fille? 3) Une famille a 2 enfants, dont une fille née un remier setembre. Quelle est la robabilité 3 que l autre enfant soit une fille? ) Une famille a 2 enfants, dont une fille qui se nomme Sohie. Quelle est la robabilité que l autre enfant soit une fille? 5) Une famille a 2 enfants, dont un qui se nomme Dominique. Quelle est la robabilité 5 que l autre enfant soit une fille? 6) Une famille a 2 enfants, dont un enfant qui se nomme Dominique. Quelle est la robabilité 6 que cette famille ait deux filles? Selon une enquête micro-trottoir, les biologistes et les hysiciens refusent de réondre à ces questions : ils ne voient as où on veut en venir, la question leur araît tro absurde. Les mathématiciens accetent lus fréquemment de réondre, soit en donnant des réonses immédiates (et c est souvent la même valeur our toutes les questions osées), soit en donnant des réonses qui, sous des résentations diverses, sont celles roosées cidessous. Probabilistes ou non, nous sommes beaucou à enser que ces questions sont de nature à en écarter lus d un des robabilités, surtout si celui qui les ose finit ar imoser une solution comme étant «la solution juste». On demande ici «quelle est la robabilité» : c est donc qu on traite d un modèle ou d une exérience aléatoire et as d une seule famille à 2 enfants vivant sur une île déserte. Plusieurs exériences et modèles euvent alors être roosés, d où lusieurs réonses envisageables. On choisit, sauf mention contraire dans la artie -2, les contraintes suivantes : le sexe du remier et du deuxième enfant sont indéendants et à chaque naissance, garçons et filles sont équirobables.

2 ) Deux enfants dont une fille. Distinguons l aîné et le second enfant. On note (F,G) une famille dont l aîné est une fille et le cadet un garçon. Les quatre ossibilités (F,F), (F,G), (G,F) et (F,F) étant toutes de robabilité /, on eut écrire : = Prob [ (F,F) / {(F,F),(F,G),(G,F)} ] = / 3/ On a donc une chance sur 3 que l autre enfant soit une fille. = 3 2) Une fille ouvre la orte. 2-. Etre accueilli ar une fille rouve qu il y a au moins une fille dans cette famille. Si on en reste là, on est ramené à la situation de la question. Mais on eut aussi se oser la question de la règle d ouverture de la orte ar un des deux enfants. D où une nouvelle étude ossible On note OF l événement «une fille ouvre la orte». Soit α la robabilité de OF, sachant que la famille comorte une fille et un garçon. Les robabilités qui nous intéressent sont : Prob ((F,G) et OF) ) = α/ Prob ((G,F) et OF)) = α/ Prob ((F,F)) = Prob ((F,F) et OF)) = / 2 = Prob [ {(F,F)} / {{(F,F),(F,G),(G,F)} et OF} ] = Soit 2 =. + 2α Le cas 2- coïncide avec α =, c est-à-dire au cas où, s il n y a qu une seule fille, c est elle qui ouvre. Si on ne sait rien des règles d ouverture de orte, on eut rendre α = 0,5, et la robabilité cherchée vaut 0, On ourrait aussi aramétrer en notant β la robabilité que ce soit l aîné qui ouvre : Prob ((F,G) et OF)) = β/ Prob ((G,F) et OF)) = ( β)/ Prob ((F,F) et OF)) = / Dans ce cas, la robabilité que l autre enfant soit une fille est : 2 = Prob [ {(F,F) et OF} / {{(F,F),(F,G),(G,F)} et OF} ] = /2 La robabilité que l autre enfant soit une fille vaut ici /2, quelle que soit la valeur de β. 2

3 3) Une fille née un remier setembre. Soit π la robabilité qu une fille soit née un remier setembre. Soient : - S l événement «une fille née un er setembre» ; - F* l événement «une fille qui n est as née un remier setembre». On a (voir arbre de robabilité ci-dessous) : Prob ((S,G)) = π/ Prob ((G,S)) = π/ Prob ((S,F)) = Prob ({ (S,S),(S,F*) }) = π/ et Prob ((F*,S)) = (-π)π/ D où : 3 = Prob [ {(F*,S),(S,F) } / {(F*,S),(S,F),(S,G),(G,S)} ] = 2 π π On remarque que : /2. Comme la robabilité de naître un remier setembre est etite, 3 est roche de ) Une fille qui se nomme Sohie. -. Dans l article de Delahaye de «our la Science», il est écrit : «Notons E l enfant qui s aelle Sohie (on eut introduire cette notation uisque cet enfant est unique) et E 2 l enfant qui ne s aelle as Sohie. Deux cas sont ossibles, et de même robabilité : E 2 est un garçon, E 2 est une fille. Donc = /2.» Détaillons cet argument. Notons : - A l événement «l enfant qui ne s aelle as Sohie est une fille» ; - S l événement «l aîné des deux enfants est une fille qui s aelle Sohie» ; - S 2 l événement «le lus jeune des deux enfants est une fille qui s aelle Sohie». 3

4 On suose que deux enfants ne euvent avoir le même rénom ; on eut écrire : Prob (S ou S 2 ) = Prob (S ) + Prob (S 2 ) Prob ((A et S ) ou (Aet S 2 )) = Prob (A et S ) + Prob (A et S 2 ) On a : = Prob (A / (S ou S 2 ) = [ Prob (A et S ) + Prob(A et S 2 ) ] / Prob (S ou S 2 ) La robabilité que le second enfant soit une fille, sachant que l aîné est une fille, ou alors sachant qu elle s aelle Sohie (ou Dominique, voir question 5), est 0,5. D où : Prob (A et S ) = Prob (A / S ) Prob (S ) = 0,5 Prob (S ) De même : Prob (A et S 2 ) = Prob (A / S 2 ) Prob (S 2 ) = 0,5 Prob (S 2 ) Finalement : = /2 La seule hyothèse dont on se sert ici à roos du rénom est que deux enfants de la même famille n ont jamais le même rénom. -2. Delahaye roose une exérience our mieux comrendre : on tire au hasard deux cartons armi 00, dont 50 sont étiquetés G et 50 sont étiquetés F, et armi les cartons F, un est étiqueté S (avec une telle exérience, on oublie qui est l aîné des enfants). Cette exérience revient à considérer un modèle dans lequel la robabilité, our une famille 99 de 2 enfants, d avoir une Sohie est = 0, 02. La robabilité d avoir deux filles (00 99) / 2 9 dont une Sohie est et la robabilité d avoir deux filles sachant qu on a une (00 99 / 2) Sohie est : = 9/99 0,95 La robabilité est voisine de 0,5. La réartition des comositions des familles avec ce modèle vérifie : Prob (deux filles) = Prob (deux garçons) = (50 9/2)/(00 99/2) = 9/98 0,27 Prob (une fille et un garçon) = 50 50/(00 99/2) = 50/99 0,505. La question traitée avec ce modèle donne : Cette robabilité est roche de /3. = (25 9)/( ) = 9/9. Ce modèle est tout à fait accetable our la comosition des familles ; il n est as lus éloigné de la réalité que celui qu on a considéré (car l égalité des sexes à la naissance n est as tout à fait resectée, le modèle avec 05 garçons our 00 filles est lus ertinent que l équirobabilité des sexes à la naissance). Le résultat trouvé déend du nombre de cartons. Regardons ce qui se asse si on augmente le nombre de cartons.

5 Pour N cartons G et N cartons F, la robabilité d avoir deux cartons F sachant qu on a au moins un carton F est : (N-)/(3N-) Elle tend vers /3 quand N tend vers l infini. La robabilité d avoir deux filles est (N-)/2(2N-) et tend vers / lorsque N tend vers l infini, ainsi que celle d avoir deux garçons. Si armi les N cartons F, un seul est étiqueté Sohie, (ce qui exclut la ossibilité d avoir deux fois le rénom de Sohie), la robabilité d avoir deux filles sachant qu on a une Sohie est : (N-)/(2N-) Quand N tend vers l infini, elle tend vers /2, mais faire tendre N vers l infini n est as ertinent ici, car la robabilité qu une fille se nomme Sohie est /N et tend alors vers 0. Dans l article de «Pour la Science», Delahaye roose de simuler l exérience des tirages de cartons. Sur un grand nombre de simulations, on trouvera, armi les familles avec une Sohie, une fréquence voisine de 0,5 our les familles de deux filles. On eut alors construire des intervalles de confiance our la robabilité ; on ne trouvera as la valeur exacte, ni celle de, mais on saura qu elles ne sont as /3 de 5) Un enfant qui se nomme Dominique. L information aortée ar un rénom est utilisée our distinguer un enfant des autres. Pour le sexe de l autre enfant, eu imorte que ce rénom soit rare ou non, que ce soit celui d une fille ou d un garçon. On eut faire le même calcul que dans la artie -, dans lequel le fait que Sohie soit une fille n intervient as. Donc, s il y a un enfant qui s aelle Dominique, la robabilité que l autre soit une fille est aussi /2. Soit : 5 = 0,5 En fait, our mieux comrendre que dans la question on trouve /3 alors qu en rajoutant la connaissance d un rénom on trouve /2, on eut imaginer le modèle suivant : On a k articules, numérotées de à k, qui euvent être dans l état codé ou dans l état codé 2, avec équirobabilité de chaque état et indéendance des états de chacune d elles. Ces articules sont ar ailleurs lacées dans des boîtes : il y a N boîtes, N > k ; une boîte contient au lus une articule. Le lacement des articules est indéendant de leur état. La loi des lacements est une loi de robabilité, équiréartie ou non, sur l ensemble E des sous-ensembles de k boîtes armi N. (a) Quelle est la robabilité, sachant qu il y a au moins une articule dans l état, que toutes les autres soient aussi dans l état? (b) Quelle est la robabilité, sachant que la remière boîte est occuée, que les articules dans les autres boîtes soient rouges? 5

6 (a) Il y a 2 k réartitions ossibles des états, dont 2 k - our lesquelles au moins une articule est dans l état. La robabilité cherchée est donc / (2 k - ). En effet, avec les hyothèses faites, les 2 k réartitions sont équirobables et la robabilité conditionnelle cherchée est le quotient de la robabilité que toutes les articules soient dans l état ar la robabilité qu au moins une soit dans l état, soit : (2 k / 2 k ) / 2 k = / (2 k -) Si k = 2, on trouve /3. (b) Comme il y a indéendance de l état d une articule et de la boîte où elle se trouve, les 2 k- réartitions des k- articules qui ne sont as dans la remière boîte sont équirobables, et la robabilité cherchée est : / 2 k- Si k = 2, on trouve /2. On ourrait faire une analogie avec des familles de k enfants, la boîte étant codée ar un rénom. Ce eu ertinent : tous les rénoms ne sont as mixtes. De lus, dans le cas des familles, la liste des rénoms n est à l heure actuelle as fixée Mais cet exemle des articules, où on donne exlicitement le modèle, eut aider à mieux comrendre comment dans ce genre de roblème, on eut asser de la robabilité /3 à /2. 6) Un enfant qui se nomme Dominique. On cherche maintenant la robabilité que cette famille ait deux filles. Notons : - D l événement «un enfant s aelle Dominique» ; - DF l événement «un enfant s aelle Dominique et c est une fille» ; - DG l événement «un enfant s aelle Dominique et c est un garçon». On suose toujours qu un seul enfant de la famille eut s aeler Dominique. Soit x la robabilité, sachant qu un enfant s aelle Dominique, que ce soit une fille : x = Prob (DF)/Prob (D). D arès la question, la robabilité d avoir deux filles sachant DF est égale à, soit à /2. D où : 6 = Prob (Deuxfilles/D) = Pr ob( 2 filles et DF) + Pr ob( 2filles et DG) Pr ob( 2filles / DF)Pr ob(df) + 0 = Pr ob(d) Pr ob(d) La robabilité cherchée est donc x/2 et vaut / our x = /2. 6

7 Conclusion Une morale de cette histoire de famille ourrait être que dans une situation de modélisation, et c est le cas ici, il convient d analyser avec soin l information dont on disose, quitte à envisager lusieurs modèles. Le contexte choisi l est our que les résultats, notamment entre les questions et, aaraissent articulièrement aradoxaux : arécier ou non ce tye de aradoxe est une question de goût. Une autre morale est qu en édagogie, s auyer sur des exemles ayant trait à la vie courante n est as systématiquement heureux, ou favorable à la comréhension du domaine enseigné. 7

Théorie des ensembles et combinatoire

Théorie des ensembles et combinatoire Théorie des ensembles et combinatoire Valentin Vinoles 24 janvier 2012 Table des matières 1 Introduction 2 2 Théorie des ensembles 3 2.1 Définition............................................ 3 2.2 Aartenance

Plus en détail

dénombrement, loi binomiale

dénombrement, loi binomiale dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert....................................... 2 2. Jeux et dénombrements...................................

Plus en détail

1. Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité.

1. Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité. Pondichéry Avril 2008 - Exercice Une agence de voyages roose exclusivement trois destinations : la destination A, la destination G et la destination M. 50 % des clients choisissent la destination A. 0

Plus en détail

PROBABILITÉS. I Épreuve de Bernoulli - Loi binomiale. Exemple. Exercice 01 (voir réponses et correction) Exercice 02 (voir réponses et correction)

PROBABILITÉS. I Épreuve de Bernoulli - Loi binomiale. Exemple. Exercice 01 (voir réponses et correction) Exercice 02 (voir réponses et correction) PRBABILITÉ Loi binomiale - Échantillonnage I Éreuve de Bernoulli - Loi binomiale xemle n lance deux fois une ièce de monnaie arfaitement équilibrée. Les deux lancers sont indéendants (c'est-à-dire que

Plus en détail

Loi binomiale-cours. La loi binomiale

Loi binomiale-cours. La loi binomiale 1 La loi binomiale Les robabilités en général - et la loi binomiale en articulier - doivent beaucou à la famille Bernoulli. Cette dynastie de scientifiques comte, entre autres, dans ses rangs, Jacob (165-175)

Plus en détail

L2-S4 : 2014-2015. Support de cours. Statistique & Probabilités Chapitre 1 : Analyse combinatoire

L2-S4 : 2014-2015. Support de cours. Statistique & Probabilités Chapitre 1 : Analyse combinatoire L2-S4 : 2014-2015 Suort de cours Statistique & Probabilités Chaitre 1 : Analyse combinatoire R. Abdesselam UFR de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière Lyon 2, Camus Berges du Rhône Rafik.abdesselam@univ-lyon2.fr

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 17 février 2015 Enoncés 1. On pose. Vérifier que T est une tribu sur Ω.

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 17 février 2015 Enoncés 1. On pose. Vérifier que T est une tribu sur Ω. [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 17 février 2015 Enoncés 1 Probabilités Tribu Exercice 5 [ 04006 ] [correction] Soit Ω un ensemble infini et une famille de arties de Ω vérifiant n m A m = et = Ω Exercice

Plus en détail

Cahier de Vacances: de la Tes à la ece1...

Cahier de Vacances: de la Tes à la ece1... Cahier de Vacances: de la Tes à la ece... Recommandations Vous venez de terminer votre terminale et d obtenir le Baccalauréat (bravo!) et vous avez choisi de oursuivre vos études ar la voie des classes

Plus en détail

La probabilité conditionnelle de l évènement B sachant que l évènement A est réalisé se note p A (B) et on a :

La probabilité conditionnelle de l évènement B sachant que l évènement A est réalisé se note p A (B) et on a : Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E I PROBABILITÉ CONDITIONNELLE La notion de robabilité conditionnelle intervient uand endant le déroulement d une exérience aléatoire, une

Plus en détail

Boucle à verrouillage de phase

Boucle à verrouillage de phase Chaitre 2 Boucle à verrouillage de hase Introduction La boucle à verrouillage de hase, que l on désignera ar la suite ar l acronyme anglais PLL (Phase Locked Loo), est un disositif largement utilisé dans

Plus en détail

Module 6: Chaînes de Markov à temps discret

Module 6: Chaînes de Markov à temps discret Module 6: Chaînes de Markov à tems discret Patrick Thiran 1 Définition Un rocessus stochastique est dit markovien (d ordre 1) si l évolution future du rocessus ne déend que de sa valeur actuelle et non

Plus en détail

1 Raisonnement. Vocabulaire ensembliste CHAPITRE

1 Raisonnement. Vocabulaire ensembliste CHAPITRE CHAPITRE 1 Raisonnement Vocabulaire ensembliste A. Éléments de logique.......................... 12 1. Construction de roositions....................... 12 2. Quantificateurs.............................

Plus en détail

LES FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET ET

LES FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET ET ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER LES FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET ET LES ATTENTES SUR LE TRAVAIL DES ÉLÈVES Abstract. Forums of Mathematical Questions on Internet and Exectations about

Plus en détail

1-p. 1-p. 1-p. 1-p. On se propose d'utiliser ce canal pour transmettre le contenu d'une source binaire S.

1-p. 1-p. 1-p. 1-p. On se propose d'utiliser ce canal pour transmettre le contenu d'une source binaire S. EXERCICES EXERCICE On considère le canal à uatre entrées et cin sorties: A B C D - - - - A B E C D. Montrer ue ce canal est symétriue. 2. Calculer sa caacité. On se roose d'utiliser ce canal our transmettre

Plus en détail

Pédaler en danseuse P2 P1

Pédaler en danseuse P2 P1 Pédaler en danseuse Pédaler en danseuse consiste à ne as s asseoir sur la selle et à se dresser sur les édales. Le mouvement de édalage s écarte alors notablement du édalage assis. Notre roos est d analyser

Plus en détail

MODE D EMPLOI DE «L ESPACE ADHERENTS» p SITE INTERNET ARIA MIDI-PYRENEES

MODE D EMPLOI DE «L ESPACE ADHERENTS» p SITE INTERNET ARIA MIDI-PYRENEES MODE D EMPLOI DE «L ESPACE ADHERENTS» SITE INTERNET ARIA MIDI-PYRENEES Table des matières : 1- Mon Esace 2- Mon Comte 3- Mes Actualités 4- Ma Fiche Entrerise 4.1- Imorter votre logo 4.2- Imorter une image

Plus en détail

35 personnes 40,0% 360 jours 18 jours 150 80. 270 personnes 18,0%

35 personnes 40,0% 360 jours 18 jours 150 80. 270 personnes 18,0% POURCENTAGES Exercice n. Comléter ce tableau, en indiquant dans chaque case l'oération effectuée et son résultat (arrondir à décimale en cas de besoin) Ensemble de référence Part en nombre en ourcentage

Plus en détail

M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER

M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER 1. Euclide, relation de Bézout, gcd Exercice 1. [DKM94,.14] Montrer que 6 n 3 n our tout entier n ositif. Exercice 2. [DKM94,.15]

Plus en détail

L information sera transmise selon des signaux de nature et de fréquences différentes (sons, ultrasons, électromagnétiques, électriques).

L information sera transmise selon des signaux de nature et de fréquences différentes (sons, ultrasons, électromagnétiques, électriques). CHAINE DE TRANSMISSION Nous avons une information que nous voulons transmettre (signal, images, sons ). Nous avons besoin d une chaîne de transmission comosée de trois éléments rinciaux : 1. L émetteur

Plus en détail

Les objectifs des étapes Situations proposées Num? Page

Les objectifs des étapes Situations proposées Num? Page Par étae et ar objectifs ou thèmes : LIST DS SITUATIONS v 4.0 Nécessité de raeler l utilisation cohérente des situations d ael avec les situations d arentissage Les objectifs des étaes Situations roosées

Plus en détail

Expériences aléatoires indépendantes Expériences aléatoires répétées. 1 ère S. II. Expériences aléatoires successives

Expériences aléatoires indépendantes Expériences aléatoires répétées. 1 ère S. II. Expériences aléatoires successives 1 ère Objectifs : Exériences aléatoires indéendantes Exériences aléatoires réétées II. Exériences aléatoires successives 1 ) Écriture des résultats our des exériences successives Pour des exériences aléatoires

Plus en détail

I. Cas de l équiprobabilité

I. Cas de l équiprobabilité I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus

Plus en détail

1 heure Épreuve scientifique et Technique Coef. 1 Page 1/6 Sous-épreuve E1C : Mathématiques Unité 13

1 heure Épreuve scientifique et Technique Coef. 1 Page 1/6 Sous-épreuve E1C : Mathématiques Unité 13 EXAMEN : BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL Session 009 Éreuve scientifique et Technique Coef. 1 Page 1/6 Ce sujet comorte 6 ages numérotées de 1 à 6. Assurez-vous que cet exemlaire est comlet. S il est incomlet,

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

LOGICIEL D AIDE A LA PLANIFICATION POUR L ELECTRIFICATION RURALE (LAPER)

LOGICIEL D AIDE A LA PLANIFICATION POUR L ELECTRIFICATION RURALE (LAPER) LOGICIEL D AIDE A LA PLANIFICATION POUR L ELECTRIFICATION RURALE (LAPER) FRANCE Valérie Lévy Franck Thomas - Rainer Fronius Marc Gratton Electricité de France Recherche et Déveloement Résumé Les bienfaits

Plus en détail

CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS

CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS CHAPITRE 2 MODÉLISATION DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS TRANSFORMÉE DE LAPLACE TRAVAIL DIRIGÉ Robot Ericc Le robot

Plus en détail

Chapitre 5 : Les lentilles et les instruments d optique

Chapitre 5 : Les lentilles et les instruments d optique Exercices Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otique E. (a) On a n,33, n 2,0cm et R 20 cm. En utilisant l équation 5.2, on obtient,33 0 cm + q,33 20 cm q 8,58 cm Le chat voit le oisson à 8,58

Plus en détail

Calculs de probabilités conditionelles

Calculs de probabilités conditionelles Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile

Plus en détail

Session 2010 Examen : BEP Tertiaire 1 Spécialités du Secteur 6 : Métiers de la comptabilité. Durée : 1 heure Epreuve : Mathématiques Page : 1/5

Session 2010 Examen : BEP Tertiaire 1 Spécialités du Secteur 6 : Métiers de la comptabilité. Durée : 1 heure Epreuve : Mathématiques Page : 1/5 SUJET 2010 Examen : BEP Tertiaire 1 Sécialités du Secteur 6 : Métiers de la comtabilité Coeff : Selon sécialité Logistique et commercialisation Vente action marchande Durée : 1 heure Ereuve : Mathématiques

Plus en détail

Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS

Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Aée 2012-2013 LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Secode aée - Semestre 3 PROBABILITÉS Feuille d exercices N 3 : Variables aléatoires - Lois discrètes 1. Calculez 3 2 + 2 5 Exercice I (

Plus en détail

Chapitre 6. La demande d assurance

Chapitre 6. La demande d assurance Chaitre 6 Introduction Réduire le risque Plusieurs manière de réduire le risque: a diversification Une firme eut réduire son risque en diversifiant ses activités dans des domaines eu liés entre eux Ventes

Plus en détail

Dénombrement. I Ensemble fini et cardinal. Plan de cours. A Cardinal d un ensemble fini

Dénombrement. I Ensemble fini et cardinal. Plan de cours. A Cardinal d un ensemble fini A Dénombrement Plan de cours «Il n y a rien de lus triste qu une vie sans hasard.» Honoré de Balzac I Ensemble fini et cardinal............................................... 1 A Cardinal d un ensemble

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Chapitre 2: Algorithmes de tris par comparaisons

Chapitre 2: Algorithmes de tris par comparaisons MP{931, 93}, PC{933, 934} Chaitre : Algorithmes de tris ar comaraisons Introduction Dans ce chaitre, on étudie les algorithmes de tris ar comaraisons. Un algorithme de tri est un algorithme qui ermet d

Plus en détail

Statistique Classique et Statistique Bayesienne

Statistique Classique et Statistique Bayesienne Statistique Classique et Statistique Bayesienne Plaçons-nous dans les conditions du cas Guilde du Livre. Vous avez une décision à rendre (acheter les ouvrages ou non) et les conséquences de cette décision

Plus en détail

Théorèmes d échange de limites

Théorèmes d échange de limites Théorèmes d échange de limites ) Convergence uniforme et limites Théorème de continuité our les suites de fonctions. Pour E et F deux esaces vectoriels normés, on considère une suite d alications f n :

Plus en détail

MICRO-ECONOMIE. Concepteur du cours: Ridha saâdallah. Université Virtuelle de Tunis

MICRO-ECONOMIE. Concepteur du cours: Ridha saâdallah. Université Virtuelle de Tunis MICR-ECNMIE Conceteur du cours: Ridha saâdallah Université Virtuelle de Tunis 006 Introduction Générale Dans l'attente d'une définition formelle et récise à laquelle nous aboutirons à la fin de cette artie

Plus en détail

Titre : Quels indicateurs optimaux pour cibler les pauvres? : une approche basée sur la

Titre : Quels indicateurs optimaux pour cibler les pauvres? : une approche basée sur la Titre : Quels indicateurs otimaux our cibler les auvres? : une aroche basée sur la minimisation des erreurs de ciblage au Burina Faso. Tambi Samuel KABORE UFR-SEG, CEDRES, 01 BP 6693 Ouaga 01 Université

Plus en détail

Exercices Chapitre 1 3-851-84 Microéconomie

Exercices Chapitre 1 3-851-84 Microéconomie Eercices Chaitre 3-85-84 Microéconomie QUESTION Soit trois consommateurs aant les fonctions d'utilité suivantes: 3 4 u (, )= 8 3 u (, )= (, ) = 3 /6 u3 Chacun d'eu disose d'un revenu R et fait face au

Plus en détail

Terminale S-SI Probabilités conditionnelles

Terminale S-SI Probabilités conditionnelles robabilités conditionnelles Table des matières 1 Introduction 2 2 Définitions 2 3 Formule des probabilités totales 3 4 Indépendance et principe du produit 5 5 Exercices 5 1 1 Introduction Lorsque 7 élèves

Plus en détail

LA DEMANDE D'ETUDES MARKETING PAR LES ENTREPRISES DE TRANSPORT ROUTIER

LA DEMANDE D'ETUDES MARKETING PAR LES ENTREPRISES DE TRANSPORT ROUTIER Octobre 1991 LA DEMANDE D'ETUDES MARKETING PAR LES ENTREPRISES DE TRANSPORT ROUTIER Etude réalisée ar Dominique BRUN et Alexis THELEMAQUE Sous la direction de Pierre SELOSSE MINISTERE DE L'EQUIPEMENT,

Plus en détail

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini.

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. 1 Introduction Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d un jeu, observer la durée de vie d une ampoule électrique, etc...sont

Plus en détail

I/ LES CODEURS OPTIQUES

I/ LES CODEURS OPTIQUES Sciences Industrielles our l Ingénieur Centre d Intérêt 2 : ACQUERIR l'information Cométences : ANALYSER, CONCEVOIR CAPTEURS NUMERIQUES DE POSITION Les codeurs otiques Comment choisir le bon cateur our

Plus en détail

TP : Outils de simulation. March 13, 2015

TP : Outils de simulation. March 13, 2015 TP : Outils de simulation March 13, 2015 Chater 1 Initialisation Scilab Calculatrice matricielle Exercice 1. Système Unix Créer sous Unix un réertoire de travail outil_simulation dans votre home réertoire.

Plus en détail

Accès optiques : la nouvelle montée en débit

Accès optiques : la nouvelle montée en débit Internet FTR&D Dossier du mois d'octobre 2005 Accès otiques : la nouvelle montée en débit Dans le domaine du haut débit, les accès en France sont our le moment très majoritairement basés sur les technologies

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) Arcs paramétrés

Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) Arcs paramétrés Synthèse de cors PanaMaths (CPG Arcs aramétrés Préamble Certains aters réfèrent à «arc aramétré» la dénomination de «corbe aramétrée» ans ce docment, nos tiliserons la remière dénomination éfinitions Arc

Plus en détail

Exercices : Probabilités

Exercices : Probabilités Exercices : Probabilités Partie : Probabilités Exercice Dans un univers, on donne deux événements et incompatibles tels que =0, et =0,7. Calculer,, et. Exercice Un dé (à faces) est truqué de la façon suivante

Plus en détail

A. Notion d intégrale double

A. Notion d intégrale double UT ORSAY Mesures Physiques ntégrales doubles Calcul d aires et de volumes Cours du ème semestre A Notion d intégrale double A- omaine quarrable On suose que le lan est muni d un reère orthonormé ( O; i;

Plus en détail

Feuille d exercices 1

Feuille d exercices 1 Université Paris 7 - Denis Diderot L2 - Probabilités PS4 Année 2014-2015 Feuille d exercices 1 Exercice 1 Combien y a-t-il de paires d entiers non consécutifs compris entre 1 et n (n 1)? Exercice 2 1.

Plus en détail

LOI BINOMIALE ÉCHANTILLONNAGE

LOI BINOMIALE ÉCHANTILLONNAGE LOI BINOMIAL ÉCHANTILLONNAG Activité de recherche : On aelle "exérience" le fait de jeter 15 fois un dé cubique arfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On s intéresse au nombre d

Plus en détail

Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Chapitre Ce que dit le programme : Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Objectifs visés par l enseignement des statistiques et probabilités à l occasion de résolutions de problèmes dans

Plus en détail

EPREUVE COMMUNE DE TIPE PARTIE D

EPREUVE COMMUNE DE TIPE PARTIE D EPREUVE COMMUNE DE TIPE PARTIE D TITRE : MODELISATION DU SYSTEME ARTERIEL Tems de réaration : 2 h 15 Tems de résentation devant le jury : 1 minutes Entretien avec le jury : 1 minutes GUIDE POUR LE CANDIDAT

Plus en détail

PUBLICATIONS L OBSERVATOIRE D E L É C O N O M I E S O C I A L E E T S O L I D A I R E L Économie Sociale et Solidaire est multiforme,

PUBLICATIONS L OBSERVATOIRE D E L É C O N O M I E S O C I A L E E T S O L I D A I R E L Économie Sociale et Solidaire est multiforme, L Économie Sociale et Solidaire est multiforme, et rofondément ancrée dans son territoire. C est ourquoi le travail réalisé ar le laboratoire Carta, Unité mixte du CNRS et de l Université d Angers a retenu

Plus en détail

PROBABILITÉS. I) Introduction, aperçu historique. Loi de probabilité

PROBABILITÉS. I) Introduction, aperçu historique. Loi de probabilité Table des matières PROBABILITÉS Résumé de cours I) Introduction, aperçu historique 1 II) Loi de probabilité 1 III)Probabilité d évènement 2 1. Le vocabulaire des probabilités................................

Plus en détail

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4 1 Déombremet Table des matières 1 Déombrer des listes 2 1.1 Permutatio................................ 2 1.2 Arragemet............................... 3 1.3 -liste.................................... 4

Plus en détail

Licence Science de la Mer et de l Environnement. Physique Générale

Licence Science de la Mer et de l Environnement. Physique Générale icence Science de la Mer et de l Environnement Pysiue Générale Caitre 3 :entilles et Instruments d Otiue - es diérentes lentilles Nous traiterons ici de lentilles mines, c est à dire d éaisseur négligeable.

Plus en détail

prix par consommateur identiques différents prix par identiques classique 3 unité différents 2 1

prix par consommateur identiques différents prix par identiques classique 3 unité différents 2 1 3- LE MONOOLE DISCRIMINANT Le monoole eut vendre ertaines unités de roduit à des rix différents. On arle de disrimination ar les rix. Selon une terminologie due à igou (The Eonomis of Welfare, 1920), on

Plus en détail

Découvrez les bâtiments* modulaires démontables

Découvrez les bâtiments* modulaires démontables Découvrez les bâtiments* modulaires démontables w Industrie w Distribution * le terme «bâtiment» est utilisé our la bonne comréhension de l activité de Locabri. Il s agit de structures modulaires démontables

Plus en détail

DATA MINING Arbres de décision

DATA MINING Arbres de décision DATA MINING Arbres de décision Juan Manuel Torres juan-manuel.torres@univ-avignon.fr www.lia.univ-avignon.fr/chercheurs/torres/cours/dm LIA / Université d'avignon Octobre 2006 Généralités Arbres de décision

Plus en détail

Mécanique des fluides compressibles

Mécanique des fluides compressibles écanique des fluides comressibles I Raels Nous restreindrons l étude au cas du fluide idéal, non visqueux, en écoulement ermanent unidimensionnel. Précisons : - Fluide idéal gaz arfait (vr) à constant

Plus en détail

ANALYSE DE DONNEES DE PRECIPITATIONS PAR APPROCHE MARKOVIENNE

ANALYSE DE DONNEES DE PRECIPITATIONS PAR APPROCHE MARKOVIENNE Larhyss Journal, ISSN 1112-3680, n 06, Décembre 2007,. 7-20 2007 Tous droits réservés ANALYSE DE DONNEES DE PRECIPITATIONS PAR APPROCHE MARKOVIENNE LAZRI M. 1, AMEUR S. 1, HADDAD B. 2 1 laboratoire d analyse

Plus en détail

La part des salaires dans la valeur ajoutée en France : une approche macroéconomique

La part des salaires dans la valeur ajoutée en France : une approche macroéconomique PARTAGE DU REVENU La art des salaires dans la valeur ajoutée en France : une aroche macroéconomique Céline Prigent * * Céline Prigent aartient à la division Croissance et olitiques macroéconomiques de

Plus en détail

ROBUROC 6 : PLATEFORME D EXPLORATION TOUS TERRAINS

ROBUROC 6 : PLATEFORME D EXPLORATION TOUS TERRAINS PS/MP ROBUROC 6 Lycée Paul Valéry ROBUROC 6 : PLATEFORME D EXPLORATON TOUS TERRANS Le RobuROC 6 (hotograhie ci-dessous) est un robot mobile déveloé ar la société ROBOSOFT. Cette late-forme robotisée a

Plus en détail

Objectifs pédagogiques. Analyse multivariée ou multifactorielle. Rappel facteurs de confusion Exemple

Objectifs pédagogiques. Analyse multivariée ou multifactorielle. Rappel facteurs de confusion Exemple Objectifs édagogiques Analyse multivariée ou multifactorielle Exliquer le rincie des modèles multivariés Exliquer le rincie de la régression logistique Exliquer le rincie de la régression linéaire multile

Plus en détail

SORTIE NATIONALE LE 27 NOVEMBRE www.lesmaths-lefilm.com. #WTFmaths

SORTIE NATIONALE LE 27 NOVEMBRE www.lesmaths-lefilm.com. #WTFmaths SORTIE NATIONALE LE 27 NOVEMBRE www.lesmaths-lefilm.com #WTFmaths Les maths vous ont toujours barbé, vous avez toujours ensé qu être nul en maths était une fatalité, bref vous les avez toujours détestées!

Plus en détail

Probabilité mathématique et distributions théoriques

Probabilité mathématique et distributions théoriques Probabilité mathématique et distributions théoriques 3 3.1 Notion de probabilité 3.1.1 classique de la probabilité s Une expérience ou une épreuve est dite aléatoire lorsqu on ne peut en prévoir exactement

Plus en détail

Recyclage du verre : Dossier. le sitom fait toute la transparence. des Vallées du Mont-Blanc

Recyclage du verre : Dossier. le sitom fait toute la transparence. des Vallées du Mont-Blanc des Vallées du Mont-Blanc N 24 Hiver 2013 Journal de la collecte et du traitement des déchets ménagers Dossier Recyclage du verre : le sitom fait toute la transarence 3 4 7 8 SOMMAIRE ACTUALITÉ Centre

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Ce document a été numérisé par le CRDP de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel

Ce document a été numérisé par le CRDP de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel Ce document a été numérisé ar le CRDP de Montellier our la Base Nationale des Sujets d Eamens de l enseignement rofessionnel Ce fichier numérique ne eut être reroduit, rerésenté, adaté ou traduit sans

Plus en détail

Santé et hygiène bucco-dentaire des salariés de la RATP

Santé et hygiène bucco-dentaire des salariés de la RATP Santé et hygiène bucco-dentaire des salariés de la RATP Percetion des salariés et examen clinique du raticien Période 2006-2009 14 juin 2012 Dominique MANE-VALETTE, Docteur en Chirurgie dentaire dominique.mane-valette@rat.fr

Plus en détail

OFFICE REGIONAL CULTUREL DE CHAMPAGNE-ARDENNE. les guides de l'orcca / 2007 Concevoir, organiser et animer une programmation d'expositions

OFFICE REGIONAL CULTUREL DE CHAMPAGNE-ARDENNE. les guides de l'orcca / 2007 Concevoir, organiser et animer une programmation d'expositions OFFICE REGIONAL CULTUREL DE CHAMPAGNE-ARDENNE les guides de l'orcca / 2007 Concevoir, organiser et animer une rogrammation d'exositions Lancée en 2006, la collection des guides ratiques de l Orcca entend

Plus en détail

Les réseaux bayésiens

Les réseaux bayésiens Les réseaux bayésiens Un outil de modélisation des connaissances incertaines par apprentissage à partir des données par modélisation interactive 2/1/23 SAMOS - BAYESIA 1 etit exemple contre-intuitif La

Plus en détail

Zagatub, une sélection de produits et de services innovants pour le confort de tous

Zagatub, une sélection de produits et de services innovants pour le confort de tous Zagatub, une sélection de roduits et de services innovants our le confort de tous Octobre 2015 DOSSIER DE PRESSE 1 SOMMAIRE 4 Zagatub, une démarche audacieuse, au service du confort à la maison et du quotidien

Plus en détail

Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance

Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance Cours de mathématiques Terminale S Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance Année scolaire 008-009 mise à jour 6 janvier 009 Fig. Andreï Kolmogorov Un précurseur de la formalisation de la théorie des probabilités

Plus en détail

Analyse de comportements de la clientèle de particuliers et leur impact sur le risque actif-passif bancaire

Analyse de comportements de la clientèle de particuliers et leur impact sur le risque actif-passif bancaire International Journal of Innovation and Scientific Research ISSN 2351-8014 Vol. 23 No. 1 May 2016,. 64-77 2015 Innovative Sace of Scientific Research Journals htt://www.ijisr.issr-journals.org/ Analyse

Plus en détail

Cours d introduction à la micro-économie corrigé de l examen

Cours d introduction à la micro-économie corrigé de l examen Annexe A Cours d introduction à la micro-économie corrigé de l examen 1. Consommation avec des bons d'achat Cet exercice roose une version modifiée du modèle standard du consommateur en considérant des

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités Chapitre II : Espaces probabilisés 1 Notions d événements 1.1 Expérience

Plus en détail

Dénombrement. Le nombre de p-listes d éléments distincts d un ensemble à n éléments est Le nombre d injections de E p dans F n : (n p) :

Dénombrement. Le nombre de p-listes d éléments distincts d un ensemble à n éléments est Le nombre d injections de E p dans F n : (n p) : Filière E Deis Pasquigo Résumé du cours : 1. Esembles fiis Déombremet Défiitios E et F sot équiotets si il existe ue bijectio de E sur F. E est déombrable si E est équiotet à N. E est u esemble fii si

Plus en détail

Chapitre I. Probabilités. Bcpst 1 2 novembre 2015. I Exemples d expériences aléatoires

Chapitre I. Probabilités. Bcpst 1 2 novembre 2015. I Exemples d expériences aléatoires Chapitre I Probabilités Bcpst 1 2 novembre 2015 I Exemples d expériences aléatoires Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat avant de l avoir réalisée... ce qui

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce

Plus en détail

Afin de dégager une tendance générale, on élimine les fluctuations les plus grandes en lissant la série.

Afin de dégager une tendance générale, on élimine les fluctuations les plus grandes en lissant la série. I MOYEES MOBILES 1 Série chronologique Définition Une série chronologique orte sur des observations réalisées dans le tems, usuellement à intervalles égaux. EXEMPLE : On a relevé les réciitations, en mm/m,

Plus en détail

RAPPEL. F em = BlI. 4. La loi de la dynamique : si la vitesse v est constante, elle implique :

RAPPEL. F em = BlI. 4. La loi de la dynamique : si la vitesse v est constante, elle implique : RAEL Quatre lois déterminent le système électromécanique : 1. La loi de Faraday : si la vitesse du conducteur est v Il aaraît une f.é.m. E : E = Blv 2. La loi de Lalace : si le courant dans le conducteur

Plus en détail

Automatismes et SED. Simulation - Validation

Automatismes et SED. Simulation - Validation Automatismes et SED Simulation - Validation Validation Pourquoi? Validation, roriétés OK Cahier des charges Modélisation Modèle du système Nécessité de validation our : Détecter les erreurs éventuelles

Plus en détail

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI Chapitre 6 Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI (P) problème de PL. On restreint les variables à être entières : on a un problème de PLI (ILP en anglais). On restreint certaines variables à

Plus en détail

L hebdo Finance de la MACS

L hebdo Finance de la MACS - DU 2 AU 9 OCTOBRE 2006 - Numéro DÉFINITION DE LA SEMAINE : Stock otio Idice boursier DOSSIER DE LA SEMAINE : Simulatio d u rêt immobilier 2 LES COURS DU JOUR Le jeudi 2 octobre 7 L hebdo Fiace de la

Plus en détail

Petits jeux de probabilités (Solutions)

Petits jeux de probabilités (Solutions) Petits jeux de probabilités (Solutions) Christophe Lalanne En famille 1. Mon voisin a deux enfants dont l un est une fille, quelle est la probabilité pour que l autre soit un garçon? Une famille de deux

Plus en détail

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS ONDITIONNELLES Exercice 01 On considère une roue partagée en 15 secteurs angulaires numérotés de 1 à 15. es secteurs sont de différentes couleurs. On fait tourner la roue qui s'arrête sur

Plus en détail

Laser hélium néon. Source spectrale lumière blanche

Laser hélium néon. Source spectrale lumière blanche ITERFÉRECE LUMIEUE ETRE ODE MUTUELLEMET COHÉRETE ITRODUCTIO AUX ITERFÉRECE LUMIEUE ETRE ODE MUTUELLEMET COHÉRETE I Raels sur le modèle ondulatoire de la lumière ) Les idées de base du modèle ondulatoire

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

Réussir son projet de crowdfunding de bande dessinée

Réussir son projet de crowdfunding de bande dessinée Réussir son rojet de crowdfunding de bande dessinée Table des matières IntroduCtion...4 Ce guide eut être commandé en version aier sur Amazon htt://goo.gl/ov4les Contact : info@sandawe.com htt://www.sandawe.com

Plus en détail

SUR QUELQUES REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET p-adiques DE GL 2 (Q p ) I. par. Christophe Breuil

SUR QUELQUES REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET p-adiques DE GL 2 (Q p ) I. par. Christophe Breuil SUR QUELQUES REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL 2 (Q ) I ar Christohe Breuil Résumé. Soit un nombre remier et F un cors local comlet de cors résiduel fini de caractéristique. En 993, Barthel

Plus en détail

Corrigé du TD n 1 L'origine de la microéconomie

Corrigé du TD n 1 L'origine de la microéconomie Corrigé du TD n L'origine de la microéconomie Question : Qui était Robert Anne Turgot? Robert Anne Jacques Turgot est né le 0 mai 77 à Paris où il mourra le 0 mars 78. Turgot est d'abord connu comme un

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

CH1 : Introduction à l Analyse Des Données (ADD) B- Les données et leurs caractéristiques C- Grandeurs associées aux données

CH1 : Introduction à l Analyse Des Données (ADD) B- Les données et leurs caractéristiques C- Grandeurs associées aux données CH1 : Introduction à l Analyse Des Données (ADD) A- Introduction A- Introduction B- Les données et leurs caractéristiques C- Grandeurs associées aux données A-1 Les méthodes Lors de toute étude statistique,

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole 12 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole 12 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES/L Métropole 12 septembre 2014 orrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 6 points ommun à tous les candidats Avant de réaliser une opération marketing en début de saison, un revendeur de piscines

Plus en détail

Les chaînes de Markov

Les chaînes de Markov Les chaînes de Markov Dernière mise à jour : 25 août 2000 Exercices 4 Lorsue vous modélisez une situation, assurez-vous ue toutes les variables ue vous utilisez sont clairement dé nies. A n de vous faciliter

Plus en détail

Un modèle de composition automatique et distribuée de services web par planification

Un modèle de composition automatique et distribuée de services web par planification Un modèle de comosition automatique et distribuée de services web ar lanification Damien Pellier * Humbert Fiorino ** * Centre de Recherche en Informatique de Paris 5 Université Paris Descartes 45, rue

Plus en détail

Module : réponse d un système linéaire

Module : réponse d un système linéaire BSEL - Physique aliquée Module : réonse d un système linéaire Diaoramas () : diagrammes de Bode, réonse Résumé de cours - Caractérisation d un système hysique - Calcul de la réonse our une entrée donnée

Plus en détail