Commande prédictive des systèmes non linéaires dynamiques

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1 Rébliqe Algérienne Démocratiqe et olaire Ministère de l Enseignement Sérier et de la Recherche Scientifiqe Université Molod Mammeri de Tizi-Ozo Faclté de Génie Electriqe et Informatiqe Déartement Atomatiqe MEMOIRE DE MAGISTER En Atomatiqe Otion : Atomatiqe des systèmes contins et rodctiqe résenté ar IDIRI Ghania Thème : Commande rédictive des systèmes non linéaires dynamiqes Mémoire soten le 06 /07/ 0 devant le ry d examen comosé de : Président : DJEOUE Saïd Professer à l UMMTO Raorter : HAMMOUCHE Kamal Maître de conférences A à l'ummto Examinater : OUAES Mohand Maître de conférences A à l'ummto Examinater : MASOURI Rachid Maître de conférences A à l'ummto Examinater : DJAMAH Tonsia Maître de conférences B à l'ummto

2 Sommaire Chaitre 0. Introdction Générale 0 Chaitre. Généralités sr la Commande Prédictive 05. Introdction 05. Princie de la commande rédictive 06.3 Eléments d ne commande rédictive Modèle d système Prédiction Critère de erformance (fonction obectif) Contraintes.3.5 Loi de commande.4 Algorithme DMC 3.4. Modèle de rédiction 3.4. Synthèse d n correcter DMC Evalation des erformances de l algorithme DMC Etde de l inflence des aramètres de réglage d ne commande rédictive 9.5 Stabilité de la commande rédictive.6 Etat de l art sr la commande rédictive 4.7 Conclsion 5

3 Chaitre. Otimisation Globale dans R 6. Introdction 6. Formlation mathématiqe d n roblème d otimisation 7.3 Classification des roblèmes d otimisation dans R 8.4 Conditions or n minimm 9.5 Méthodes de résoltion des roblèmes d otimisation 30.6 Classifications des méthodes d otimisation 3.7 Intérêt des méthodes globales 34.8 Méthodes d otimisation globales et commande rédictive 37.9 Conclsion 38 Chaitre 3. Méthodes d otimisation globale : Alienor et Essaim de Particles Introdction Méthode d Alienor Méthode d essaim de articles Princie de la méthode d essaim de articles Algorithme de la méthode d essaim de articles Alication à l identification d n système non linéaire Méthode d modèle Modèle d système non linéaire à identifier Conclsion 56 Chaitre 4. Commande Prédictive on linéaire Basée sr l Otimisation Globale Introdction Etat de l art de la commande rédictive non linéaire Commande rédictive non linéaire Commande rédictive basée sr la méthode d Alienor Commande rédictive basée sr la méthode d essaim de articles Conclsion 69 Chaitre 0. Conclsion Générale 74

4 Liste des figres. Princie de la commande rédictive 07. Stratégie de commande rédictive 08.3 Réonse indicielle d système 7.4 Porsite et reet de ertrbation 8.5 Evoltion de la commande 8.6 Inflence de l horizon de commande 0.7 Inflence de l horizon de rédiction. Evoltion de la fonction obectif d roblème d otimisation (.4) 36. Evoltion de la fonction obectif d roblème d otimisation (.5) 36.3 Fonction obectif et son enveloe convexe Exloration globale d lan aramétrée ar α (sirale d Archimède) 4 3. Schéma de rincie d délacement d ne article Princie de la méthode d modèle Strctre générale de la commande rédictive non linéaire 6 4. Méthode d Alienor : cas sans contrainte sr la variable de commande ( ) Méthode d Alienor : cas avec contrainte sr la variable de commande (,5) ( ) ( ) Méthode d essaim de articles : cas sans contrainte sr la variable de commande ( ) Méthode d essaim de articles : cas avec contrainte sr la variable de commande ( ) 73

5 Liste des tableax. Version commercialisés des correcters rédictifs 3. Classification des roblèmes d otimisation 8 4. Tems moyen or le calcl de la commande 68

6 Introdction Générale La commande rédictive constite actellement l aroche de commande la ls indiqée or la commande des systèmes comlexes dans le milie indstriel. L'intérêt est qe des sécifications de fonctionnement ainsi qe des contraintes d'exloitation (sécrité de fonctionnement des biens, des ersonnels et de l environnement, qalité des rodits), inévitables or la lart des systèmes, event être conointement traitées dans l'élaboration de la loi de commande (Flas, 994 ; Camacho et Bordons, 008 ; Findeisen et al. 007). De ls, la mise en œvre d ne commande rédictive est relativement simle et il en va de même or les otils théoriqes nécessaires à ler étde, ce qi stifie sa olarité en tilisation indstrielle (Henson, 998). Assi, l évoltion de l informatiqe sr le lan matériel et logiciel a rolsé la commande rédictive or occer ne lace réondérante dans les miliex académiqe et indstriel (Martinsen, 00). La commande rédictive est ne commande basée sr le modèle, ar conséqent avoir de bonnes erformances est lié directement à la récision et la comlexité d modèle tilisé dans l algorithme de commande or la rédiction des sorties ftres d système (Hang, 008; Magni et al. 009). Sr ce lan, l existence des calclaters nmériqes avec des vitesses de traitement vertigineses, et des caacités de stocage énormes a largement contribé a sccès de la commande rédictive. Dans ne stratégie de commande rédictive, les obectifs de commande sont sécifiés ar n critère à minimiser et des contraintes à imoser sr les variables d'état, de commandes et de sorties (Flas, 994 ; Hang et Kadali, 008 ; Camacho et Bordons, 008). Par conséqent, la commande à aliqer, à chaqe instant d échantillonnage, est obtene en résolvant n

7 roblème d otimisation avec contraintes en n tems inférier à la ériode d échantillonnage (Cannon, 004 ; Tatewsi, 007). La natre d roblème d otimisation déend généralement d tye d modèle tilisé or la rédiction isqe le critère est généralement qadratiqe et exrime des obectifs de orsite et de minimisation d énergie (Hang et Kadali, 008 ; Camacho et Bordons, 008). Lorsqe le modèle est linéaire, la soltion analytiqe d roblème d otimisation existe et simle à calcler et les erformances seront meilleres isqe l otimm global est atteint (Ctler, 979 ; Clare, 987 ; Flas, 994 ; Hang et Kadali, 008). Par contre l tilisation d n modèle non linéaire, bien qe les rédictions seront récises, mais la natre d roblème d otimisation est non linéaire dont la comlexité est lié directement à la récision d modèle. Avoir n roblème d otimisation non linéaire, à résodre à chaqe ériode d échantillonnage, constite ne tâche arde et emêche l alication de la commande rédictive à des systèmes non linéaires (Cannon, 004 ; Findeisen, 007 ; Magni et al., 009). En effet, dans ne stratégie de commande rédictive, les erformances seront meilleres si l otimm global d critère est atteint avec ne très grande récision, et la convergence est assrée en n tems inférier à la ériode d échantillonnage (Long et al., 006). Par conséqent, l algorithme d otimisation doit osséder les roriétés de convergence et de raidité (Cannon, 004). La théorie de l otimisation offre ne anolie de méthodes d otimisation locales et globales (Horst et Pardalos, 995). Dans ne commande rédictive, or avoir de bonnes erformances, les méthodes d otimisation intéressantes sont les méthodes globales, c est-àdire les méthodes ermettant de localiser l otimm global d critère contrairement ax méthodes locales qi localise l otimm local (Cannon, 004 ; Long et al., 006). Les méthodes d otimisation globale, roosées dans la littératre, sont scindées en trois classes (Berthia et Siarry, 00): les méthodes exactes or lesqelles la convergence vers l otimm globale est assrée a rix d n tems de calcl imortant, les méthodes heristiqes caractérisées ar ne convergence asymtotiqe et raide, et les méthodes hybrides qi combinent des algorithmes exactes et heristiqes or fsionner lers avantages et avoir des algorithmes raides. Parmi les méthodes d otimisation globale qi ont rové lers efficacités, on retrove la méthode d Alienor (Cherralt, 99; Ziadi et al. 00 ; Cherralt and Mora, 005), qi est ne méthode exacte, et la méthode d essaim de articles qi est ne méthode heristiqe (Van Den Bergh, 00 ; Poli et al. 007). La méthode d Alienor ermet de ramener, à l aide

8 d ne transformation rédctrice, n roblème d otimisation à lsiers variables de décision à n roblème d otimisation à ne sele variable de décision ce qi ermet de localiser facilement l otimm globale et avec ne récision sohaitée (Cherralt and Mora, 005). La méthode d essaim de articles est caractérisée ar n algorithme simle à comrendre et à rogrammer. Le rincie de la méthode reose sr n ensemble de articles qi rerésente n ensemble de soltion admissibles a roblème d otimisation (Poli, et al. 007). Les articles sont initialement disosées de manière aléatoire et vont se délacer dans le domaine de soltions. Chaqe article disose d ne mémoire concernant sa meillere soltion visitée ainsi qe la caacité de commniqer avec les articles de son voisinage. A artir de ces informations, la article va sivre ne tendance faite, d ne art, de sa volonté à retorner vers sa soltion otimale, et d atre art, de son mimétisme ar raort ax soltions trovées dans son voisinage. A artir des soltions initiales, l ensemble des articles va converger vers l otimm global. Dans ce mémoire, on s intéresse à étdier l aort des méthodes d otimisation globale dans ne stratégie de commande rédictive d n système non linéaire. L obectif d travail consiste à aliqer les méthodes d otimisation globale d Alienor et d essaim de articles or la résoltion d roblème d otimisation non linéaire d ne commande rédictive non linéaire, is de comarer lers erformances. L étde se limite a système non linéaire caractérisé ar ne dynamiqe lente, et à la orsite de consigne en résence des contraintes, de tye boîtes, sr la variable de commande. otons qe la commande des systèmes raides constite n domaine de recherche overt, c est orqoi la commande rédictive a fait ses reves dans le cas des systèmes caractérisés ar ne très grande inertie, ar exemle les rocédés chimiqes et thermiqes. L'organisation de ce mémoire est la sivante : Le remier chaitre est consacré à la commande rédictive dans leqel nos allons résenter le rincie d n algorithme de commande rédictive, ses différents éléments, et son réglage, is or illstrer le rincie d n algorithme rédictif, nos abordons de manière détaillée l algorithme Dynamic Matrix Control (DMC) et on résente n exemle d alication avec des résltats de simlation or montrer l inflence des aramètres de réglage sr les erformances obtenes. Le chaitre se termine ar n état de l art sr la commande rédictive. Dans le dexième chaitre, on s intéresse à l otimisation globale dans l ensemble des nombres réels. Le chaitre commence ar des notions de base de la théorie de l otimisation. 3

9 Dans la remière artie, arès avoir introdit la formlation mathématiqe d n roblème d otimisation, nos résentons la classification des roblèmes d otimisation sivie des conditions or n minimm. Dans la dexième artie, on résente les différentes classes de méthodes d otimisation, et on indiqe l intérêt des méthodes globales. Dans la fin d chaitre, on mentionne le lien fort existant entre l otimisation globale et la commande rédictive non linéaire. Le troisième chaitre est réservé ax méthodes d otimisation globale. Dans ce chaitre, on résente articlièrement la méthode exacte d Alienor et la méthode heristiqe d essaim de articles. Por illstrer et comarer ces dex méthodes, ne alication concernant l identification des aramètres d n système non linéaire en tilisant la méthode d modèle est résentée. A qatrième chaitre, arès avoir résenté n état de l art sr la commande rédictive non linéaire, les méthodes d Alienor et d essaim de articles seront adotées dans ne stratégie de commande rédictive d n système non linéaire monovariable. Les sécifications exigées imosent d assrer la orsite de consigne en résence des contraintes, d tye boîtes, sr la variable de commande. L obectif rincial est d évaler l aort de chaqe méthode d otimisation, is de comarer lers erformances en résence et en absence de la contrainte sr la variable de commande. La fin d mémoire est réservée à la conclsion sr l ensemble des alications réalisées et ax ersectives de continité. 4

10 Chaitre Généralités sr la Commande Prédictive. Introdction Ces dernières années la commande rédictive est largement tilisée dans le domaine indstriel et a été aliqée avec sccès or différentes alications. Le terme commande rédictive ne désigne as ne stratégie de commande sécifiqe mais n ensemble d algorithmes qi tilisent exlicitement le modèle d système dans n roblème d otimisation, à résodre, or déterminer la commande à aliqer. Le modèle d système est essentiellement tilisé or dex tâches (Hang, et al. 008) : la rédiction d comortement dynamiqe ftre d système et le calcl de l action correctrice aroriée or assrer la orsite de la consigne imosée. La commande rédictive basée sr le modèle résente des avantages qi ont fait d elle ne aroche de commande attractive. Parmi ces avantages, on et citer (Flas 994 ; Hang et al. 008) : elle ermet de resecter les différentes contraintes sr les états, les commandes et les sorties, 5

11 elle ermet d assrer la orsite or certaines consignes tot en maintenant d atres dans des coloirs bien sécifiés, elle évite les variations excessives or les variables de commandes, elle et s aliqer à des systèmes avec o sans retard, son réglage est aisé et son rincie est intitif, elle est assez robste ax errers de modèle. L intérêt de la commande rédictive est mltile : comarés ax techniqes classiqes, elle est extrêmement erformante si le rocédé réagit avec n certain retard o si les changements de consignes sont conns à l avance, comarés ax techniqes ls sohistiqées réalisant la minimisation d n critère à n as, les techniqes rédictives sont nettement robstes, en articlier lorsqe la strctre d modèle tilisée or décrire le rocédé est mal conne. elle et être tilisée en conservant n sel aramètre libre or le réglage. Ce chaitre est consacré à la commande rédictive basée sr le modèle où il sera résenté le rincie de la commande rédictive, la commande rédictive linéaire et non linéaire et n état de l art sr les techniqes de commande rédictives.. Princie de la commande rédictive La commande rédictive est basée sr le rincie de la Figre., elle est décrite ar la stratégie sivante :. A chaqe instant d échantillonnage, les sorties ftres d système sont rédites sr n horizon de tems, aelé horizon de rédiction, qi est relativement long ar raort à la vitesse d évoltion d rocédé. Les rédictions y ( / ) ˆ, or =, K,, sont réalisées en tilisant le modèle d système et déendent non selement d assé d système (les commandes et les sorties avant l instant ), mais assi des commandes ftres ( i), or i 0, K,, à déterminer et aliqer a système. Par conséqent, le = modèle d système fait artie de l algorithme de commande. Ainsi la rédiction ne va as déendre niqement des sorties récédentes mais assi de l évoltion envisagée dans le tems ftr or la variable de commande. otons qe lsiers évoltions sont ossibles or la variable de commande. 6

12 y d ( ) ( ) Prédiction y ˆ / Horizon de commande Horizon de rédiction Tems ( ) ( ) / ( / ), = 0,, K Tems Figre. Princie de la commande rédictive.. La séqence de commande est déterminée en minimisant n critère de erformances qi ermet d assrer la orsite de la consigne désirée. Le critère est ne fonction qadratiqe des errers entre les sorties rédites et la traectoire de référence. L effort de commande est généralement incls dans le critère à minimiser. Ainsi, ne soltion exlicite et être facilement obtene dans le cas où le critère est qadratiqe et le modèle d système ainsi qe les contraintes sont linéaires, sinon ne méthode d otimisation nmériqe doit être aliqée. otons qe or la strctre de la loi de commande, certaines hyothèses event être considérées, ar exemle la commande reste constante arès n certain instant d échantillonnage. 3. La soltion déterminée ar otimisation sera ensite aliqée a système réel, mais sele sa valer à l instant résent est réellement tilisée. A l instant sivant, la rocédre comlète est réétée. Ceci ermet d obtenir ne valer réactalisée or la 7

13 commande, en fonction des mesres les ls récentes en tilisant le concet de l horizon glissant..3 Eléments d ne commande rédictive Tos les algorithmes de la commande rédictive ossèdent les mêmes éléments (Figre.), et différentes otions event être considérées or chaqe élément, ce qi donne ne mltitde d algorithmes. Ces éléments sont :. le modèle d système (or la rédiction),. le critère de erformances et 3. l algorithme d otimisation (or déterminer la séqence de commande)..3. Modèle d système La ierre anglaire d ne stratégie de commande rédictive est le modèle d système. Le modèle d système comrend généralement dex arties : le modèle d système et le modèle de ertrbation. Le remier rerésente les relations entrée-sortie d système et le dexième est sovent tilisé or rerésenter les ertrbations o simlement or aroximer les errers de modélisation. Il existe différentes formes or le modèle tilisé dans ne commande rédictive, mais ils doivent être toors de natre discrète isqe la commande rédictive est ne commande nmériqe. Les formes coramment tilisées sont d tye entrée-sortie, elles sont résentées ci-arès. y d ( ) Critère Contraintes Algorithme d otimisation Modèle (Prédiction) ( ) Système à commander y ( ) - Réonse imlsionnelle Dans ce cas, la réonse d système est : Figre. Stratégie de commande rédictive. 8

14 ( ) = r( i) ( i) i= y (.) où r ( i) rerésentent les coefficients de la réonse imlsionnelle (les valers de la sortie, ax instants d échantillonnage, lorsqe l entrée est ne imlsion de Dirac). Sovent cette somme est tronqée et seles les valers sont considérées isqe à artir de l instant la s s sortie est nlle. T rerésente le tems de réonse d système. s e - Réonse indicielle Dans ce cas, la réonse d système est : ( ) = s( i) ( i) i= y (.) où s ( i) rerésentent les coefficients de la réonse indicielle or ne entrée échelon nité, et ( ) = ( ) ( ). Por n système stable, les coefficients s ( i) sont constants arès l instant s. rerésente le tems de réonse d système. T Comme les coefficients de la réonse imlsionnelle event être considérés comme la différence entre dex coefficients sccessifs de la réonse indicielle, alors les relations sivantes sont vérifiées : - Eqation ax différences Dans ce cas, la sortie d système est : y ( i) = s( i) s( i ) r (.3) = s ( i) = r( ) (.4) ( ) = F( y( ),, y( n ), ( ), K, ( )) K (.5) y n où n y et n sont des entiers natrels. La fonction F (.) et être linéaire o non linéaire selon la natre d système. s e Remarqe. D atres formes d modèle event être assi tilisées armi lesqels on et citer la fonction de transfert discrète, le modèle d état discret, modèle de Volterra, modèle neronal, modèle flo. Dans ce mémoire, l étde est limitée ax modèles résentés dans cette sossection. 9

15 .3. Prédiction Dans la commande rédictive, n modèle d système n est as tilisé or la concetion de la loi de commande, mais il est tilisé or la rédiction des sorties ftres d système. Ces rédictions seront tilisées ar la site or la détermination de la séqence de la variable de commande en résolvant n roblème d otimisation. Comme exemle, considérons le modèle sivant : ( ) = a y( ) b ( ) y (.6) Les dex remières rédictions ftres de la sortie sont données comme sit : yˆ yˆ ( / ) = ay ( ) b ( ) yˆ (.7) ( / ) = a yˆ ( / ) b ( ) ( / ) = a( a y( ) b ( ) ) b ( ) ( / ) = a y( ) a b ( ) b ( ) y ˆ (.8) Les atres rédictions sont déterminées de la même manière en tilisant le modèle (.6). Sos forme matricielle, les dex remières rédictions sont données comme sit : yˆ yˆ ( / ) ( / ) a = y a ( ) b ab 0 ( ) b ( ) (.9) Les rédictions (.9) sont comosées de dex termes. Le second terme d côté droit de l éqation (.9) déend des entrées ftres. Par contre le remier terme déend selement des sorties récédentes o également des entrées récédentes selon le système. Ainsi, les rédictions event être décomosées en général en dex arties : La réonse libre, y ˆ ( ) libre ( / ) = yˆ ( ) yˆ libre ( ) y ˆ (.0) forcée est maintene constante à sa valer actelle ( ) contre la réonse forée, y ˆ ( ) forcée ftres ( ) =, K,.,, corresond à la rédiction de la sortie lorsqe la commande le long de l horizon de rédiction. Par, corresond à la rédiction de la sortie de ax actions.3.3 Critère de erformance (fonction obectif) Por déterminer la loi de commande, les algorithmes de la commande rédictive tilisent différentes formes or le critère. Généralement, le bt recherché est d assrer la orsite de 0

16 la consigne désirée y d ( ) avec n minimm d effort ( ) ls sovent rend la forme qadratiqe car différentiable : J = = = 0 d T d [ y ( ) yˆ ( / )] Q y ( ) yˆ ( / ) r T ( ) R ( ) [ ]. Ainsi, le critère tilisé le (.) où les matrices Q et R sont symétriqes et définies ositives. Ler choix caractérise l imortance relative qe nos sohaitons donner ax diverses comosantes d critère à minimiser. Elles event assi être constantes. Les aramètres r, et sont les aramètres de réglage d correcter rédictif et rerésentent resectivement l instant d débt de la rédiction, l horizon de rédiction maximal et l horizon de commande. L horizon de rédiction rerésente la longer de l intervalle de tems ftr sr leqel on cherche à minimiser le critère. L horizon de commande rerésente le nombre de variations de la commande qe l on atorise dans le ftr avant q elle ne soit maintene à ne valer constante. Por les algorithmes qi tilisent n modèle de convoltion tronqé, on tilise n atre aramètre s qi rerésente la longer de la réonse indicielle o imlsionnelle. Il fat assi choisir convenablement la ériode d échantillonnage T e isqe le correcter rédictif est de tye discret. Ceendant ce roblème n est as sécifiqe à la commande rédictive, mais à tote commande nmériqe. Le sel asect ar leqel le choix de la ériode d échantillonnage et être lié de façon étroite à la synthèse d correcter rédictif est celi de la longer s d modèle de convoltion. Si on définit le tems de réonse t r comme le tems à artir dqel la réonse d système a atteint 99% de la valer finale, on doit vérifier : T = t (.) s or tenir comte de la dynamiqe d système. Dans le cas où la ériode d échantillonnage T e a été choisie etite (cas d n système raide), la longer d modèle de convoltion et devenir excessive et entraîner des calcls imortants. e L inflence de ces différents aramètres sr les erformances d système sera abordée dans le cas de l algorithme Dynamic Matrix Control (DMC), qi fera l obectif de la Section.4.4, et sera illstré ar n exemle d alication. otons qe les conclsions concernant l inflence des différents aramètres orront facilement être transosées or n atre algorithme même dans le cas de la commande rédictive non linéaire. r

17 .3.4 Contraintes Les contraintes caractérisent en général les limitations hysiqes sr la commande, sr l état o sr la sortie d système. Elles sont introdites or éviter des changements brsqes or la commande. Por certains systèmes, des contraintes sr les sorties (rédites) doivent être resectées or des raisons économiqes o de sécrité. Généralement, les contraintes sont instantanées et s exriment ar des inégalités de la forme : min ( ) max (.3) ( / ) y,, y yˆ min max (.4) Dans ce mémoire, on considère qe les contraintes sr la commande de tye (.3). r.3.5 Loi de commande Les actions de commande, ( i), sont calclées en minimisant le critère (.). Ainsi, on commence d abord ar la détermination des rédictions en tilisant le modèle d système (voir l exemle de la sos-section.3.). Ces dernières seront forcément fonction des actions de commande ( i). Ainsi, en sbstitant ces rédictions dans le critère J à minimiser, donnée ar la relation (.), et en résolvant le système d éqations algébriqes obten en imosant le gradient J ar raort ax actions de commande ( i) égale à zéro, c est-àdire : ( ( ) ( ),, ( )) J ( ), ( ), K, ( ) ( ( ), ( ), K, ( )) ( ) ( ( ), ( ), K, ( )) ( ) J J ( ) K = 0 (.5) M J ( ( ), ( ), K, ( )) ( ), = on détermine les actions de commandes ( i) rincie de la commande rédictive sel l action de commande ( ) système, et la rocédre sera réétée à l instant d échantillonnage sivant. otimales. Raelons qe d arès le sera aliqée a Annler le gradient d critère J est ne rocédre d otimisation. Por le système d éqations algébriqes (.5) ne soltion analytiqe et être obtene, dans le cas contraire ne méthode nmériqe (itérative) doit être tilisée dont le tems de convergence ne doit as

18 déasser ne ériode d échantillonnage or qe l action otimale ( ) soit disonible à l instant. Lorsq ne méthode nmériqe est tilisée, l obtention de la soltion d roblème d otimisation sivant : min ( ), ( ), K, ( ) J ( ( ), ( ), K, ( )) (.6) n est as nécessairement garantie srtot si le roblème d otimisation est non linéaire, et la difficlté s accente davantage en résence des contraintes sr la commande o/et sr la sortie commandée. De ls, assrer la convergence en n tems inférier à T e rerésente ne atre contrainte à rendre en considération, et la lart des méthodes nmériqes event être iégées dans n minimm local or (.6) a lie de minimm global, d où la nécessité d tiliser des algorithmes d otimisation globale raides. otons qe la soltion analytiqe et être obtene selement dans le cas d modèle linéaire avec contraintes linéaires, ar exemle dans le cas de l algorithme Dynamic Matrix Conrtol (cet algorithme sera étdié dans la section sivante). Por les atres cas, la soltion nmériqe est inélctable, ar conséqent le choix de la méthode d otimisation oe n rôle d remier lan dans ne stratégie de commande rédictive. Le chaitre s inscrit dans cette otiqe, il sera consacré à l otimisation globale. Dans la section sivante, nos résenterons n des algorithmes de la commande rédictive or illstrer le rincie de cette dernière. Il s agit de l algorithme DMC (Dynamic Matrix Control)..4 Algorithme DMC L algorithme DMC a été initialement déveloé ar Ctler et Ramaer (979) de la société Shell Oil Co vers la fin des années 70. Cet algorithme est largement acceté et tilisé ar les indstriels, en articlier dans le secter des hydrocarbres et de la étrochimie. Dans cette section, nos résentons ne version simlifiée de cet algorithme dans le cas où le modèle est forni sos forme de réonse à n échelon. Cette formlation est généralement la ls choisie car elle ermet la comréhension intitive d fonctionnement de la commande rédictive. éanmoins des déveloements éqivalents event être condits or le modèle de réonse imlsionnelle où fonction de transfert condisant resectivement a Model Algorithmic Control (MAC) et a Generalized Predictive Control (GPC). 3

19 .4. Modèle de rédiction Le modèle tilisé or la rédiction dans l algorithme de commande rédictive DMC est le modèle réonse indicielle. Considérons la réonse indicielle d système q on et mettre sos la forme sivante : ( ) = s ( i) i= y (.7) i s ( ) = s ( i) s ( i) y (.8) i i i= i= s y s = i i= Réonse indicielle finie ( ) s ( i) Z( ) (.9) Ainsi, on remarqe bien qe la réonse indicielle infinie (.8) d système fait intervenir ne réonse indicielle finie q on et exloiter or l étae de rédiction, c est-à-dire : s ( / ) = s ( i) Z( ) yˆ i (.0) i= Comme cela a été indiqé récédemment, la réonse d système rédite ar le modèle et être divisée en dex arties : libre et forcée. Ainsi, l éqation (.0) et être décomosée en dex termes : le remier terme contient les actions de commande ftres ( ( ), ( ),K), et le second terme contient les actions de commande assées ( ( ), ( ),K) donne ( / ) = s ( i) s ( i) Z( ) s, ce qi yˆ i i (.) i= i= Cette dernière éqation et être arrangée or faire aaraître les dex termes de la sortie (forcée et libre) comme sit : où le terme ( / ) = s ( i) y ( ) yˆ i (.) i= y s ( ) = s ( i) Z( ) i i= (.3) rerésente le terme libre : ( ) = y ( ) y ˆ (.4) libre Le terme restant rerésente le terme forcé qi est l évoltion de la réonse d système à artir de l instant dû à l alication des actions de commande ftres. Ainsi, 4

20 5 ( ) ( ) = = i i i s y forcée ˆ (.5) Le critère considéré dans n algorithme DMC consiste à minimiser la différence entre la consigne désirée et la sortie rédite ar le modèle le long de l horizon de rédiction. Les sorties rédites sont données comme sit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ˆ / ˆ 3 3/ ˆ / ˆ / ˆ 3 = = = = = s s s y y s s s y y s s s y y s s y y s y y L M L L (.6) otons qe ( ) ( ) ( ) 0 = = = = L car l action de commande est maintene constante à artir de l instant =. Les rédictions (.6) event être écrites sos la forme matricielle comme sit : M y y = ˆ (.7) Avec : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = =,, / ˆ / ˆ / ˆ ˆ y y y y y y y y M M M et la matrice = s s s s s s s s s s s M L M M M M M L M M M M M L L est aelée matrice dynamiqe (Dynamic Matrix).

21 .4. Synthèse d n correcter DMC Raelons qe l obectif consiste à orsivre ne traectoire, le long de l horizon de rédiction, donnée comme sit : y d y y = d y d d ( ) ( ) M ( ) Ainsi, or déterminer la séqence des commandes à aliqer, il sffit de résodre, à chaqe instant, le roblème d otimisation sivant : set à : min J d T d ( ) = ( y yˆ ) Q ( y yˆ ) (.8) yˆ = y M En sbstitant ŷ dans le critère J, il vient : min J d T d ( ) = ( y y M ) Q ( y y M ) La soltion otimale est obtene comme sit : (.9) Ce qi donne T T d ( ) = M Q ( y y M ) = 0 J (.30) = T T T T d ( M Q M ) M Q ( y y ) (.3).4.3 Evalation des erformances de l algorithme DMC Por illstrer et évaler les erformances de l algorithme DMC, nos roosons d étdier la commande d n système de dexième ordre avec n retard imortant. Considérons le rocédé décrit ar la fonction de transfert : G ( s) 8s = e (.3) ( 7s)( 5s) La réonse indicielle de ce système est donnée ar la Figre.3. D arès cette dernière, nos ovons rendre la longer s d modèle de convoltion sériere à 80. Dans notre cas on a ris le doble, c est-à-dire =60. Por déterminer la matrice dynamiqe M, cette s 6

22 réonse est échantillonnée avec ne ériode d échantillonnage égale à s. Por les aramètres de réglage de l algorithme DMC, on considère qe la rédiction commence arès 8 ériodes d échantillonnage ( = 8), l horizon de commande =, et l horizon de rédiction r = 30. Por le critère à minimiser, la matrice de ondération Q = I. Por le roblème de orsite, la consigne désirée d y est sosée constante et égale à 60. Por le test de réglation (reet de ertrbation), on considère ne ertrbation d bornée qi affecte la sortie d système avec ne dynamiqe d n système d remier ordre c est-à-dire : Par conséqent la sortie d système, en bocle overte est : y G d ( s) = (.33) 0. s ( s) G( s) ( s) G ( s) d( s) = (.34) Por le test concernant le reet de ertrbation, on a aliqé ne ertrbation d amlitde d = 0, à l instant 50 s. Les Figres.4, et.5 résentent les résltats de simlation obtens. On constate qe l algorithme DMC assre la orsite de la consigne et reette arfaitement l effet de la ertrbation (Fig..4). L évoltion de la commande (Fig..5) est hysiqement accetable. d Figre.3 Réonse indicielle d système. 7