TRANSLATION ET VECTEURS

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1 TRNSLTION ET VETEURS 1 sr 17 ctivité conseillée ctivités de grope La Translation (Partie1) http//www.maths-et-tiqes.fr/telech/trans_gr1.pdf La Translation (Partie2) http//www.maths-et-tiqes.fr/telech/trans_gr2.pdf p150 activité1 ttention, ça glisse! ctivité conseillée p148 activité1 ttention, ça glisse! ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014 I. Translation Exemple T 80m Une translation est n glissement - avec ne direction donnée câble d téléphériqe, la droite (), - avec n sens donné le téléphériqe monte de vers, - avec ne longer donnée T 80m, longer On dit qe Le téléphériqe T est l image d téléphériqe T par la translation qi transforme en. Définition Soit P et P dex points distincts d plan. On appelle translation qi envoie P sr P la transformation dont l image F d ne figre F est obtene en faisant glisser la figre F - selon la direction de la droite (PP ), - dans le sens de P vers P, - d ne longer égale à PP. F P F P

2 2 sr 17 Méthode onstrire l image d ne figre par ne translation Soit t la translation qi transforme en. onstrire l image D E d trapèze DE par la translation t. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p171 n 1 à 3 p171 n 4 p166 n 1 à 4 p166 n 5 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014 II. Vecters 1. Définition Définition Soit t la translation qi envoie sr, sr et sr. Les coples de points ( ; ), ( ; ) et ( ; ) définissent n vecter caractérisé par - ne direction celle de la droite ( ), - n sens de vers, - ne longer la longer.

3 3 sr 17 On note ce vecter et on écrit '. est n représentant de. On dit qe ' ' et ' sont également des représentants de. Remarqe La longer d n vecter est assi appelée la norme d vecter. «vecter» vient d latin «vehere» (condire, transporter) Le mot a été introdit en 1925 et la notation en l origine des vecters, n italien, Gisto ellavitis ( ) qi les désignait comme segments éqipollents. ctivités de grope http//www.maths-et-tiqes.fr/telech/ct_vect.pdf TP info onhommes et dromadaires http//www.maths-et-tiqes.fr/telech/bonhom.pdf http//www.maths-et-tiqes.fr/telech/droma.pdf 2. Egalité de vecters Définition Les vecters même longer. On note D. et D sont égax lorsq ils ont même direction, même sens et Exemple i-dessos, on pet poser D. et D sont des représentants d vecter. D D

4 4 sr 17 Propriété d parallélogramme Soit,, et D qatre points dex à dex distincts. Dire qe les vecters et D sont égax revient à dire qe le qadrilatère D est n parallélogramme, éventellement aplati. D D Démonstration - Si D, la translation de vecter transforme le point en D. Les segments [] et [D] ont donc même longer et même direction. Le qadrilatère non croisé D est donc n parallélogramme éventellement aplati. - Réciproqement Les côtés opposés d n parallélogramme sont parallèles et de même longer donc les vecters et D, définis à l aide des segments [] et [D] d n parallélogramme D, sont égax. Méthode partir d parallélogramme D, constrire les points E, F, G et H tels qe DE F D G H D H G D F E Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir -p171 n 5, 6 Ex 1 et 2 (page15) -p177 n 77 Ex 4 à 6 (page15) Ex 3 (page15) -p166 n 5 Ex 1 et 2 (page15) -p170 n 58 Ex 4 à 6 (page15) Ex 3 (page15) ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014

5 5 sr 17 Propriété d milie Dire qe est le milie d segment [] revient à dire qe et sont égax. 3. Vecter nl Définition Un vecter est nl lorsqe les points et sont confonds. On note 0. Remarqe Por tot point M, on a MM Vecters opposés Il ne fat pas confondre sens et direction! Une droite définit ne direction, ci-dessos la direction de la droite (). ependant ne direction possède dex sens, ici de «vers» o de «vers». Définition Dex vecters sont opposés lorsq ils ont la même direction, la même longer et q ils sont de sens contraire. et sont des vecters opposés. - On note Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p172 n 8 et 9 p171 n 7 p178 n 90 p178 n 87 p173 n 67, 68 p176 n 111* p176 n 108 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014

6 III. Somme de vecters 1. Définition Exemple Soit t 1 la translation de vecter et t 2 est la translation de vecter v. 6 sr 17 ppliqer la translation t 1 pis la translation t 2 t 1 t 2 M M 1 M 2 revient à appliqer la translation t de vecter w t M M 2 Propriété La composée (o l enchaînement) de dex translations est ne translation. Définition et v sont dex vecters qelconqes. On appelle somme des vecters et v, notée + v, le vecter w associé à la translation composée des translations de vecters et v. 2. Une relation fondamentale La relation de hasles Por tos points, et d plan, on a +. Remarqe Dans le triangle, on a également les relations + +.

7 7 sr 17 Michel hasles (Fr, ) La relation n est pas de li, mais nommée ainsi en hommage à ses travax sr les vecters. Homme naïf, on raconte q il ft riné en achetant de fasses lettres (Jeanne d arc à sa mère, Vercingétorix à ésar, )! Méthode Simplifier les écritres a) M + MN d) MN + NM a) M + MN N d) MN + NM MM 0 b) MP + M e) MO + PM b) MP M P + M + MP e) MO + PM + OP MO + OP + PM MP + PM MM 0 + OP c) OP + KO + NK f) KN ON + OK c) OP + KO KO + OP KP + NK NK + KP f) KN KN KO KK ON + NK + NK NP + OK + NO + OK + OK 0 Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 7 à 9 (page15 et 16) p172 n 21 p172 n 20 p167 n 18, 19, 21 p173 n 77 p174 n 79, 80 p167 n 20 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014 TP conseillé TP Tice2 p163 Démontrer avec les vecters TP Tice3 p163 Somme nlle TP conseillé p162 TP5 Démontrer avec les vecters p163 TP6 Somme nlle ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition onséqence Propriété caractéristiqe d parallélogramme Dire qe D est n parallélogramme revient à dire qe + D, D

8 8 sr 17 Démonstration D après la relation de hasles, l égalité D + D + D soit D, soit encore D est n parallélogramme. + D pet s écrire 4. Différence de dex vecters Définition et v sont dex vecters qelconqes. On appelle différence d vecter avec le vecter v, le vecter noté qe - v + (- v ). - v, tel Méthode onstrire n point défini à partir d ne somme de vecters Soit n triangle. onstrire le point F tel qe F + F F

9 On constrit à partir de (origine de F ) le vecter bot» les vecters et. On a ainsi constrit n vecter F et donc le point F. + 9 sr 17 en mettant «bot à ctivité de grope orse d orientation http//www.maths-et-tiqes.fr/telech/orse_vect.pdf Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 10 à 12 p166 n 9 p167 n 13 (page16) ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014 IV. Prodit d n vecter par n réel 1. Définition Exemple Soit n vecter d plan. ppliqer 5 fois la translation de vecter revient à appliqer la translation de vecter w Remarqes - Les vecters 5 et ont la même direction et le même sens. - La norme d vecter 5 est égale à 5 fois la norme d vecter. Définition est n vecter qelconqe différent de 0 et k n nombre réel non nl. On appelle prodit d vecter par le réel k, le vecter noté k - de même direction qe, - de même sens qe si k > 0 et de sens contraire si k < 0, - de norme égale à k fois la norme de si k > 0, -k fois norme de si k < 0. k k > 0 k < 0 k

10 Remarqe Si 0 o k 0 alors k sr 17 Exemples 1,5-3 Les vecters, 1,5 et 1,5 et -3 et -3 sont de même sens. ont la même direction. sont de sens contraire. La norme d vecter 1,5 est égale à 1,5 fois la norme de. La norme d vecter -3 est égale à 3 fois la norme de. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 13 et 14 (page16) p172 n 18, 19 p167 n 16 p173 n 75, 76 p167 n 17 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014 Méthode Représenter n vecter défini comme prodit et somme de vecters 1) Soit dex vecters et v. Représenter les vecters sivants 2, - v, 2 v. v 2) Soit trois points, et. Représenter le vecter 3. 1)

11 11 sr 17 Por représenter le vecter 2, on place bot à bot dex vecters. Por représenter le vecter v, on représente n vecter de même direction et même longer qe v mais de sens opposé. Por représenter le vecter 2 - v o 2 +(- v ), on place bot à bot les vecters 2 et v. Dans «le chemin» de vecters ainsi constrit, le vecter 2 - v a por origine l origine d vecter 2 et por extrémité l extrémité d vecter v. On obtiendrait le même résltat en commençant par placer le vecter v et ensite le vecter 2. 2) -3-3 Por représenter le vecter les vecters et o + (-3 ), on place bot à bot Exercices conseillés Ex 15 à 17 (page16) p172 n 10 à 12 Exercices conseillés p166 n 6, 7, 8 p173 n 69 p166 n 10 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014 Méthode onstrire n point vérifiant ne égalité vectorielle 1) Soit dex vecters et v et n point O d plan. onstrire le point tel qe O 3 - v. O v 2) Soit trois points,, d plan. onstrire le point M tel qe M

12 12 sr 17 1) Por représenter le vecter O O les vecters 3 et - v. 3 - v, on place bot à bot à partir d point Le point se trove à l extrémité d vecter - v dans «le chemin» de vecters ainsi constrit. 2) M - M Por représenter le vecter M - + 3, on place bot à bot à partir de les vecters - et 3. Le point M se trove à l extrémité d vecter 3 dans «le chemin» de vecters ainsi constrit. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir - Ex 18 à 20 (page17) p172 n 14, 15* - Ex 21 et 22 p172 n 13 p167 n 14 p173 n 70, 71, 72 p167 n 15 (page17) ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014

13 Méthode Exprimer par lectre graphiqe n vecter en fonction d atres vecters Par lectre graphiqe, exprimer le vecter en fonction des vecters a 13 sr 17 et b. b a On constrit «n chemin» de vecters a et l extrémité d vecter. On compte ainsi le nombre de vecters a 3 a + 3 b. Exercices conseillés Ex 23, 24 (page17) p172 n 16 et 17 et b et b mis bot à bot reliant l origine formant «le chemin». Exercices conseillés p167 n 11 p173 n 73, 74 p167 n 12 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition olinéarité Définition Dex vecters non nls et v sont colinéaires signifie q ils ont même direction c est à dire q il existe n nombre réel k tel qe k v. Remarqe Le vecter nl est colinéaire à tot vecter d plan. Exemple v -3 et v sont colinéaires. v -3

14 14 sr 17 Méthode Démontrer qe des vecters sont colinéaires On donne n vecter d plan. Soit n vecter v tel qe v 0. Démontrer qe les vecters et v sont colinéaires v -3 v v 0 Il existe n nombre réel k 4 3 tel qe v k. Donc et v sont donc colinéaires. Propriétés 1),, et D étant qatre points dex à dex distincts d plan. Dire qe les droites () et (D) sont parallèles revient à dire qe les vecters et D sont colinéaires. 2) Dire qe les points distincts, et sont alignés revient à dire qe les vecters et sont colinéaires. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p173 n 28 à 34 p173 n 35 p167 n 22 à 24 p170 n 60, 61 p174 n 86, 88, 89 p167 n 25 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014 TP conseillé TP conseillé p168 TP1, 2 et 3 p178 n 117, 118, 119 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HTIER Edition 2014 Hors d cadre de la classe, acne reprodction, même partielle, atres qe celles préves à l'article L d code de la propriété intellectelle, ne pet être faite de ce site sans l'atorisation expresse de l'ater.

15 Exercice 1 Soit n triangle. a) onstrire le point M tel qe M. b) onstrire le point N tel qe N. c) onstrire le point P tel qe P. 15 sr 17 Exercice 2 Soit n carré D. a) onstrire le point R tel qe R. b) onstrire le point S tel qe DS. c) onstrire le point T tel qe T. Exercice 3 Soit n triangle MNP rectangle en M. a) onstrire le point tel qe M MP. b) onstrire le point tel qe M PN. a) onstrire le point tel qe P NM. Exercice 4 Soit dex parallélogrammes D et DEF. a) Donner dex vecters égax a vecter. b) Qel est la natre d qadrilatère FE? Jstifier. Exercice 5 Soit n parallélogramme D. a) onstrire le point E tel qe E. b) Qel est la natre d qadrilatère ED? Jstifier. Exercice 6 Soit n rectangle D. a) onstrire le point M tel qe M D. b) Qel est la natre d qadrilatère MD? Jstifier. Exercice 7 Dans chaqe cas, appliqer la relation de hasles por exprimer le pls simplement possible les sommes de vecters a) + b) + c) + + D Exercice 8 Dans chaqe cas, appliqer la relation de hasles por exprimer le pls simplement possible les sommes de vecters a) b) c) D D

16 16 sr 17 Exercice 9 Dans chaqe cas, appliqer la relation de hasles por exprimer le pls simplement possible les sommes de vecters a) MP NP b) MN + MP PN c) NP MP + MN Exercice 10 Soit n triangle. a) onstrire le point D tel qe D +. b) onstrire le point E tel qe E +. Exercice 11 Soit n triangle. a) onstrire le point D tel qe D +. b) onstrire le point E tel qe E +. Exercice 12 Soit n carré D. a) onstrire le point E tel qe E D + D. b) onstrire le point F tel qe F D +. Exercice 13 Dans chaqe cas, exprimer le pls simplement possible les sommes de vecters a) b) c) Exercice 14 Dans chaqe cas, exprimer le pls simplement possible les sommes de vecters a) 7a 3a 9a b) 4b 3b b ( ) c) 1 2 c 3 2 c + c Exercice 15 a) Reprodire sr n qadrillage les dex points et. b) Représenter les vecters a et b tels qe a 2 et b Exercice 16 a) Reprodire sr n qadrillage les trois points, et. b) Représenter les vecters a et b tels qe a + et b Exercice 17 a) Reprodire sr n qadrillage les trois points, et. b) Représenter les vecters a et b tels qe a 2 + et b 2

17 17 sr 17 Exercice 18 Soit, et trois points d plan. Reprodire la figre ci-dessos en respectant le qadrillage pis constrire le point M tel qe M +. Exercice 19 Soit, et trois points d plan. Reprodire la figre ci-dessos en respectant le qadrillage pis constrire le point N tel qe N 2 +. Exercice 20 Soit, et trois points d plan. Reprodire la figre ci-dessos en respectant le qadrillage pis constrire le point P tel qe P 3. Exercice 21 Dans chaqe cas, appliqer la relation de hasles por exprimer le pls simplement possible les sommes de vecters a) b) 2D + D 3D c) + D D Exercice 22 Soit, et qatre points d plan. Démontrer les égalités sivantes. a) b) + 0 c) Exercice 23 Dans chaqe cas, exprimer le vecter en fonction des vecters a et b. a) b) Exercice 24 Dans chaqe cas, exprimer le vecter en fonction des vecters a et b. a) b)

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