IUT Béthune Génie Civil Année Spéciale RDM COURS : STATIQUE

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1 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD CURS : STTIQUE I) Gééralités :.) Itrodctio : La statiqe et la écaiqe des Strctres ot por bt d epliqer les phéomèes régissat le dimesioemet des costrctios. Ces matières sot a dimesioemet ce qe les tables d additios et de mltiplicatios sot a mathématiqes : commet compredre e démostratio, calcl si o e coaît pas l additio?!? La statiqe et la écaiqe des Strctres permettet d appréheder la rptre o la déformatio d e costrctio appelée strctre (bâtimet, pot ). La statiqe est la sciece de base de la écaiqe des Strctres. La écaiqe des Strctres est elle-même la sciece de base d calcl béto armé, charpete métalliqe, béto précotrait, bois Ue strctre reçoit des charges, elle est doc sollicitée. Sos ces charges, des déformatios et fissres se prodiset a sei d matéria. Il est doc primordial d étdier, por des raisos évidetes de sécrité, ces strctres. L étde de ces strctres, appelées solides, pet se décomposer e trois domaies : - la statiqe : étde des solides idépedammet d movemet ; - la ciématiqe : étde d movemet d solide idépedammet de ses cases ; - la damiqe : étde des relatios liat le movemet d solide et sa case. Ue strctre sbit des actios (eemple : l effort d e table sr le placher). Cette actio agit de so poit d applicatio à so (o ses) poit(s) de trasfert à e atre strctre (gééralemet le sol). Tot a log de so parcors, l actio agit sr la strctre, et pet egedrer des désordres. L étde d parcors de ces efforts s appelle descete de charge. Elle écessite l tilisatio de lois phsiqes : la statiqe..) La Statiqe : La statiqe étdie les coditios d éqilibre des forces appliqées a solides cosidérés idéformables. Ue relatio etre les forces etérieres appliqées à sstème matériel immobile est doé par le théorème de la Statiqe : le torser de l esemble des forces etérieres est costammet l.. 3) Processs d étde d e strctre : Strctre dessiée par l architecte ; odélisatio de cette strctre (o spprime les élémets qi e participet pas à la résistace de la strctre, eemple : revêtemet de sol, fa plafods, cloisos ) ; Evalatio des charges agissat sr la strctre ; Etde des sollicitatios de chaqe élémet (chemiemet des efforts das la strctre portese) ; Dimesioemet de la strctre portese ; II) ctios : Les actios qe sbisset les strctres sot de de atres. distige de tpes de vecters : Page /5

2 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD - les forces ; - les momets. Ces actios sot caractérisées par : - ler poit d applicatio o poit de trasfert : les actios agisset sr le solide e so poit d applicatio ; - ler itesité o orme; - ler directio (ae spport, droite d actio) - ler ses. Das le mode d géie civil, o distige des atres d actios différetes : - les charges permaetes (poids propre des ovrages et de ses éqipemets ) ; - les charges variables (das le temps et/o das l espace) : les charges d eploitatio (persoes et élémets povat boger) ; les charges climatiqes (actio d vet, de la eige ) ; les charges accidetelles (camio veat percter bâtimet, séisme actio qi a pe de chace de se réaliser mais qi doit qad même être étdiée)..) Les forces : Si l o cosidère e gre et so câble élastiqe. Le poids d élémet préfabriqé attaché sr ce câble etraîe, sos so poids propre (e force), déplacemet de traslatio vertical, d hat vers le bas : Gre Elémet préfabriqé Gre Poids de l élémet Ue force tradit l actio qi est de à e case (par eemple la force représetée ci-desss tradit l actio de l élémet préfabriqé sr la gre). Elle est provoqée par qelqe Remarqe : o dessie soit la force, soit la case (soit l élémet préfabriqé, soit la flèche) mais JIS les e même temps...) Déplacemet associé : Ue force ( ) provoqe e traslatio ( ) de l objet (déplacemet o déformatio). Das la réalité, à chaqe fois qe l o appliqe e force, il a traslatio (même égligeable). Le déplacemet provoqé doit être égligeable por qe l o pisse traiter le problème grâce à la statiqe...) Représetatio : représete la force par e flèche de loger proportioelle à so itesité. Page /5

3 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD REPRESENTTIN DE L RCE : lèche RCE : Vecter Loger de la flèche échelle Itesité de la force Ses de la flèche repère Ses de la force Poit origie de la flèche poit d applicatio de la Remarqe : Le sige de la composate sera obte e orietat le spport, c'est-à-dire e doat repère covetioel...3) Deième loi de Newto : L ité de force est le ewto [N]. Elle est dérivée des ités d SI selo la deième loi de Newto : r r = m a avec : force [N] / m : masse [kg] / a : accélératio [m/s²] (o [N/kg]) Sr terre, o appliqe pls particlièremet la loi : r r = m g (g : accélératio de pesater : Remarqe : os predros tojors g = 0m/s² (ce qi provoqe e eagératio de % «précis, mais pas ridicle!»). E vérité, ewto [N] est doc éqivalet à [kg.m/s²] e ité Eemple : e persoe de 80 kg eerce e force de 800 N sr le spport où il marche (0,8 kn) Eemple : e machie de 0 toes eerce e force de 00 kn Eemple 3 : e masse de kg doe e force de dan ; Norme = = Poit d Remarqe : attetio à la précisio des calcls. ettre «8» chiffres après la virgle e sert à rie! Tojors eprimer le résltat avec 3 chiffres sigificatifs...4) Tpes de fores : La force qe os veos de caractériser agit poctellemet. C est e force cocetrée (comme l actio d e topie sr so spport). Il eiste assi des forces : - liéiqes (comme l actio d clidre a sol) ; - srfaciqes (comme l actio d e caisse sr so spport, la pressio de l ea) ; - volmiqes (comme le poids propre agissat sr chaqe élémet de matière). Ses Directio : droite d actio..5) Composates cartésiee d e force : Défiir le sige de la composate d e force est pas des pls aisée. C est porqoi o décompose l espace par l itermédiaire de 3 aes : Page 3/5

4 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD z = cos( ϕ ) si( θ) = si(ϕ) = cos( ϕ ) cos( θ) = + + z Les repères tilisés sot tojors des repères orthoormés (aes perpediclaires) direct (ses des aes selo la règle des 3 doigts de la mai droite). Q o soit e D o e 3D, la relatio vectorielle sivate doit se vérifier : r r r r Σ Des forces = (Soit e 3D : + + z = ).) Les momets :..) Notio de omets : Lorsqe l o essae d ovrir e porte, il e os viet pas à l idée de posser a ivea de la charière. aites l essai, vos verrez qe por l ovrir vos effecterez des efforts bie pls importats qe si vos possez sr la poigée (qi est éloigée de la charière). De même, si l o tire das l ae de la porte, la rotatio e se prodira pas : Lorsqe vos dévissez bolo, avec e clef, c est pls facile. θ ù l opérater doit-il positioer sa mai por être le pls efficace? Das qel ses doit se faire l actio de l opérater sr la clef? Page 4/5

5 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD..) Déplacemet associé : Cette fois ci, ce est pls e traslatio qi est provoqée par e force, mais e rotatio egedrée par momet. /z ω omet e par rapport à l ae z..3) Défiitio : U momet est vecter torat. Rotatio e par rapport à l ae z représete le momet par e force torate (por rappeler q elle provoqe e rotatio) :..4) Représetatio et ses positif : Directio : droite d actio z / z /z défiit ses positif («règle d tire bocho» o de la «mai droite fermée») : Ses d actio d momet positif Ses positif et égatif das repère (,0, ) r r..5) omet d e force par rapport à poit : ormle : De maière géérale, momet est egedré par e force ecetrée d poit, cetre de rotatio. Soit e force et poit : θ Page 5/5

6 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD Le momet egedré par e est vecter qi est perpediclaire a pla formé par la droite d actio et B et tel qe le vecter B tore das le ses trigoométriqe ator de. Le momet egedré par e est : r r r = B (B «vectoriel» ) r = = B si( α) = d Défiitios : La droite (HB) est appelée droite d actio de la force. d est appelé «bras de levier». C est la distace la pls corte etre la droite d actio de la force et le poit de calcl d momet. Cette distace est la loger d segmet perpediclaire à la droite d actio passat par le poit de calcl Remarqes : Pls le bras de levier [d] est importat, pls le momet egedré l est assi (eemple de la porte). De même, pls la force est importate, pls le momet l est assi. Si le bras de levier est l, qelqe soit l itesité de la force, le momet est l (eemple : si o tire das l ae de la porte, elle e tore pas!). L ité d momet est doc le Newto mètre [N.m] (ttetio, e pas cofodre avec Newto par mètre [N/m])..6) Composate cartésiee d e force géérat momet Théorème de Varigo : r r r r r r, alors { } = { U} + { V} Si = U+ V z z z d = U d + V dv pet doc e dédire la relatio sivate : r r r = + = + r r r, alors { } { } { } si z z z..8) Cople de forces : U cople de forces est, par eemple, l effort qe le pilote d e atomobile doe sr le volat por torer (lorsq il tiet le volat à de mais), o ecore celi por faire torer tire bocho : ( d ) + ( d ) z = 0 = d Remarqes : qelqe soit le poit, le momet est le même. Z d Page 6/5

7 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD III) Rédctio et éqilibre : 3.) Rédctio : 3..) Défiitio : La rédctio d sstème de forces cosiste à le remplacer par sstème statiqemet éqivalet, por simplifier le Remarqe : statiqemet éqivalet, c'est-à-dire qi prodit les même effets sr la strctre e STTIQUE, mais il pet être différet e ECNIQUE DES STRUCTURES. E défiitio : Soit R la résltate des forces et R le momet résltat R = i = i d + R i 3..) éthode graphiqe : pet aisi rédire de forces appliqées e poit d e strctre par e force égale à la somme vectorielle des de premières : avec : r r r r r = + r r r Strctre schéma Strctre schéma Polgoe des Remarqe : Nos veos de réaliser de maière graphiqe e rédctio. Das le cas de pls de forces, o met assi bot à bot les vecters por trover la résltate (relatio de Remarqe : Si ces forces e sot pas appliqées a même poit, la droite d actio de la résltate passe par l itersectio des droites d actio des de forces. Le vecter résltat est vecter libre (qi est pas attaché à poit, mais se ballade sr la droite d actio) : r r r r r r r = + r Strctre schéma Strctre schéma Polgoe des forces 3..3) éthode aaltiqe rédctio e poit : De maière aaltiqe, il est possible de remplacer sstème de forces e atre (gééralemet e force et momet). Page 7/5

8 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD Rédctio d e force : vet rédire e force e poit. La force sera doc remplacée par e atre force, et momet tel qe : = d (avec le sige : Très importat Schéma epliqat si le omet est positif o égatif)) r d r >0 <0 r r Rédctio d momet : vet rédire momet e poit. L itesité d momet e chagera pas : ' = Rédctio d e force et d momet : vet rédire sstème (force + momet) e poit. La force sera doc remplacée par e atre force, et momet tel qe : ' = d + tilise le pricipe de sperpositio. r d r Pricipe de sperpositio : Si l o sohaite rédire plsiers forces et momets e poit, o effecte la somme des rédctio : Poids propre ctio d vet Poids propre ctio d Remarqe : o pet vérifier le pricipe de sperpositio sr la rédctio d e force et d momet. Page 8/5

9 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD 3.) Défiitio de l éqilibre : U sstème de forces (et/o de momets) est dit e éqilibre si, appliqé à solide, il e modifie pas l état de repos (e statiqe) de ce solide. Por étdier l état d éqilibre d solide, il est écessaire de l isoler, c'est-à-dire de le cosidérer comme dissocié de tot atre élémet e faisat pas partie de la strctre étdiée (le sol par eemple por bâtimet ; receser les efforts qi agisset sr le solide). E géie civil, totes les strctres doivet être e éqilibre (o vet q elles soiet et restet immobiles). 3.3) Eqilibre d sstème simple : Por q élémet somis à de forces soit e éqilibre, il fat qe ces de forces soiet opposées (et appliqées a même solide), c'est-à-dire : - de même itesité ; - de même droite d actio ; - de ses Remarqe : E effet, si l e de ces coditios est pas respectée, momet o e force résidelle eiste, doc déplacemet o e rotatio assi. L éqilibre est alors pas obte. 3.4) Eqilibre Pricipe fodametal de la statiqe : Théorème : U sstème de forces d solide isolé est e éqilibre si ses résltates sot lles. E effet, si la force résltate est pas lle, e traslatio se prodit. De même, si momet résltat sbsiste, le solide torera. Par coséqet, o pet écrire l éqilibre de maière aaltiqe : G =- Por les problèmes D Por les problèmes 3D (3éme loi de Newto) i = 0 i = 0 i = 0 La somme des forces et lle i = 0 i z = 0 z= 0 i e poit bie précis i = 0 i = 0 i z = Remarqe : si l o recherche le sstème de forces à appliqer e de maière à éqilibrer le solide S, il sffit de rédire e les forces qe ce solide sbit. Le sstème à appliqer est égal a sstème iverse de la rédctio. Page 9/5

10 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD IV) Statiqe appliqée : Le bt de la statiqe est de détermier l itesité des icoes de liaisos des strctres isostatiqes (étde des efforts das e strctre doée). Por cela, - o modélise la strctre, c'est-à-dire qe l éclate la strctre de maière à ameer le mois d icoes possibles (décompositio miimale de la strctre) ; - o remplace les icoes de liaisos (iteres et eteres) par les actios de liaisos e les ommat ; - o résot le PS jsq à obtetio de totes les icoes. 4.) odélisatio de la strctre : 4..) Pricipe : Comme motré a paragraphe.6 la modélisatio cosiste à remplacer le solide par des barres o corbes o Remarqe : os os boreros à étdier les strctres D qi pevet être décomposées e barres et dot les forces sot appliqées das le même pla qe celi de la strctre. c.f ) Eemple : 4.) Dessier la strctre isolée: 4..) Pricipe de la copre : défiitio : Il est fréqemmet itéressat de coaître les efforts qi passet à l itérier de la matière de la strctre e poit doé. Ces efforts sot appelés les forces de cohésio. Elles s eercet sr les de demi solides aisi créés, et sot opposées (si o «recolle» la strctre, ces efforts s alet). Si le solide d origie est e éqilibre, les de demi solides doivet rester e assi e éqilibre. Eemple : sohaite effecter la cope de cette potre a poit. 8 kn m 3 m 45 m 3 m kn.m 3 m Page 0/5

11 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD 4..) Pricipe des actios mtelles : Ce pricipe viet d être évoqé : «Lorsqe e copre est réalisée, les actios de cohésio libérées sot opposées de à de» ( ére loi de ise e évidece sr eemple simple : la barre e compressio Bie évidemmet, les de parties de la barre sot e Eemple précédet : m 3 m kn.m kn.m 3 m 4..3) Poids propre des matéria : Le poids propre des strctres doit être représeté car les strctres modélisées sot o pesates. partir de la coaissace des poids volmiqes des matéria et des formes géométriqes des barres, cette étape est possible. Bois Bois atéria cier l B.. feills résie asse volmiqe [kg/m 3 ] ) Détermiatio de la atre de la strctre vat de détermier la atre de la strctre, il fat coaître les liaisos iteres et eteres de la strctre. 4.3.) Les appis Liaisos etérieres : Lorsqe os modélisos la strctre, il est écessaire de défiir les appis. Ils représetet la liaiso avec e strctre etériere o déformable (o étdiée eemple : la terre). Ces liaisos permettet d avoir problème de STTIQUE, c'est-à-dire solide eempt de tot movemet (pas comme e voitre qi boge, d mois si o e met pas le frei). Page /5

12 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD Tpe de liaiso Schéma L appi simple : eemple : la rolette de chariot L articlatio : eemple : balais d essie glace de la voitre o ovemet empêché Traslatio selo : Selo la positio de l appi Traslatio selo : Traslatio selo : L ecastremet : Traslatio selo : eemple : bâto scellé das le sol Traslatio selo : Rotatio selo z : ω z ovemet atorisé (ddl) Traslatio selo : Rotatio selo z : ω Rotatio selo z : ω z z Réactio d appis (ombre d icoes) icoe degré de liberté (rotatio). icoes Pas de degré de liberté (ddl). 3 Remarqe : por les strctres 3D, se rattacher a appis ci-desss das les différets Remarqe : de maière géérale, lorsq o modélise e strctre, o cosidère les liaisos comme parfaites : rotle sas Remarqe 3 : les fodatios sot les appis de la costrctio. Selo ler ferraillage, o obtiedra e articlatio o ecastremet. 4.3.) Les Liaisos iteres : l itérier d e strctre, des relâchemets pevet être observés. Par eemple, e barre pet torer ator d e atre (si e barre est assemblée à e atre par sel bolo). Tpe de liaiso Schéma L articlatio : ovemet empêché Traslatio selo : Traslatio selo : L ecastremet : Traslatio selo : Traslatio selo : Rotatio selo z : Remarqe : le pricipe est le même qe por les appis. z ovemet atorisé (ddl) Rotatio selo z : ω z degré de liberté (rotatio). Pas de degré de liberté (ddl). ctios de cohésio (ombre d icoes) icoes 3 icoes Page /5

13 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD 4.3.3) Natre de la strctre : Défiitio : Certaies strctres pevet être résoles à l aide de la statiqe (e appliqat le pricipe fodametal de la statiqe). D atres e pevet pas être résoles de cette maière. pose : - e : le ombre d éqatios obtees e appliqat le PS ; - : le ombre d icoes obtees lorsqe l o «éclate» la strctre (c.f. les de tablea ci-desss) ; distige doc : Natre Résoltio Eqatio qi pevet être résoles à Les strctres isostatiqes l aide de la statiqe. = e Les strctres hpostatiqes Les strctres hperstatiqes qi e pevet pas être résoles, car ce sot des mécaismes (ces strctres s écrolet). qi sot des strctres trop difficiles à résodre (d mois a débt «hper» Remarqe : La atre d e strctre est pas foctio de so chargemet. < e > e Eemple : Por détermier la strctre, il fat doc l éclater : - le ombre d icoes correspod a ombre d actios de cohésio et de liaiso libérées ; - le ombre d éqatios correspod a ombre de fois où o appliqe e éqatio d PS, soit3 ombre de barres. Strctre «Eplosio» de la strctre Détermiatio de la atre = + = 3 e = 3 = 3 => isostatiqe = 4 = 8 e = 3 3 = 9 => hpostatiqe de degré (mécaisme évidet!) 3 = = 9 e = 3 3 = 9 => isostatiqe = 3 4 = e = 3 3 = 9 => hperstatiqe de degré 3 Page 3/5

14 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD = = 9 e = 6 3 = 8 => hperstatiqe de degré = = e = 4 3 = => isostatiqe = 3 = e = 3 => Remarqe : il est possible d eploser les strctres de maière différetes (c.f. les deriers eemples). La atre de la strctre e sera pas chagée (décompositio miimale) stce : por vérifier le résltat, si o obtiet e strctre isostatiqe, e elevat e icoe de liaiso o doit obteir mécaisme. Si la strctre est hpostatiqe de degré, e ajotat blocages jdiciesemet placés, o doit obteir e strctre iso. Si la strctre est hperstatiqe de degré, e retirat + icoes de liaisos, la strctre doit deveir Eplicatios : cas des liaisos iteres : le ombre d icoes a œd est tel qe : Errers à e pas commettre : Il est importat d être rigore qad à la modélisatio : Si l o dessie e liaiso o appis, il e fat pas dessier les efforts de cohésio, car ils e sot libérés qe s il a copre! P q C Strctre d origie : B P Y C X C XC Y C C q P Y C XC C q P C q B B Y X Y B B X B Errers P X C Y C Y C XC q P C q P X C Y C Y C XC q B Y X Y B XB Y X Y B XB Soltios Cas particliers de certais mécaismes : Page 4/5

15 IUT Béthe Géie Civil ée Spéciale RD Il pet arriver qe les strctres soiet des mécaismes alors qe le ombre d éqatios et d icoes sot éga. Voici eemple. Il est doc impératif d imagier les déplacemets possibles des œds avat de coclre q e strctre est bel et bie isostatiqe, voire hperstatiqe et o pas hpostatiqe. tres eemples de mécaisme : Strctres ressemblates, mais différetes : Il arrive qe les modélisatios de de strctres différetes soiet très proches. Il fat doc faire etrêmemet attetio à la lectre : = 4.4) Ecritre et résoltio d PS appliqe le PS c.f fr et à mesre de la pratiqe, os porros os passer de l écritre d PS. E effet, jste e représetat la strctre éclatée avec so chargemet, les icoes de liaiso serot facilemet ititées. 4.5) Schéma Bila la fi de la résoltio, il est écessaire de dessier la strctre avec les actios de liaisos et lers itesités. 4.6) rgaigramme de résoltio odéliser la strctre [barres, liaisos, chargemet, repère global (,, +)] ; Dessier la strctre isolée (Remplacer les liaisos (iteres et eteres) par lers actios e ommat les vecters) ; Détermier la atre de la strctre, et porsivre si elle est isostatiqe ; Ecrire le PS ; Résodre le PS (et doc trover les valers des actios de liaiso) ; Dessier la strctre avec les actios de liaiso et lers itesités (strctre isolée e éqilibre). Page 5/5