Etude de la fonction ζ de Riemann

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1 Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque. Pour z complexe et aturel o ul doés, z = Re(z) e terme gééral coverge absolumet si et seulemet si Re(z) >. z ) La foctio f : x f(x) = = ( ) x = iim(z) l =. Par suite, la série de Re(z) Pour x réel et etier aturel o ul doés, posos u (x) = ( ) x. Si x 0, la suite (u (x)) e ted pas vers 0 quad ted vers et la série de terme gééral u (x) diverge grossièremet. Si x > 0, la suite (( ) u (x)) est de sige costat et ted vers 0 e décroissat. La série de terme gééral u (x) coverge doc e vertu du critère spécial aux séries alterées. La série de terme gééral ( ) x,, coverge si et seulemet si x > 0. 3) Ue relatio etre ζ et f. Soit x u réel strictemet supérieur à. et f(x) existet et f(x) = = Doc, f(x) = ( x ) ou ecore ( ) x = = ( )p (p) x = x p x = x. p= p= ( x > ), = f(x). x 4) Cotiuité de ζ sur ], [. Soit a u réel strictemet supérieur à doé. Pour doé, la foctio x est cotiue sur [a, [. De plus, pour tout réel x de [a, [, x x = x avec égalité pour x = a ou ecore { } sup x, x [a, [ = a. Puisque la série umérique de terme gééral coverge (série de Riema d exposat a > ), la série de foctios de a terme gééral x,, est ormalemet covergete et doc uiformémet covergete sur [a, [. La somme x ζ est doc cotiue sur [a, [ e tat que ite uiforme sur [a, [ d ue suite de foctios cotiues sur [a, [. Ceci état vrai pour tout réel a de ], [, o a motré que la foctio ζ est cotiue sur ], [. http :// c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés. a

2 5) Cotiuité de f sur ]0, [. L égalité du 3) et la cotiuité de ζ sur ], [ motre déjà que f est cotiue sur ], [. Motros que f est cotiue sur ]0, [. Soit a u réel strictemet positif doé. Pour x réel supérieur ou égal à a et etier aturel o ul doés, posos R (x) = f(x) O rappelle que la série de terme gééral ( )p p x p= ( ) p p x = p=+ ( ) p p x. est alterée et d?après ue majoratio classique du reste d?ordre d?ue série alterée (à savoir que la valeur absolue du reste est majorée par la valeur absolue de so premier terme) o a R (x) ( ) ( + ) x = ( + ) x ( + ) a. Doc, la foctio R est borée sur [a, [ et pour tout aturel o ul, Comme a > 0, o a doc sup{ R (x), x [a, [} ( + ) a. sup{ R (x), x [a, [}0. O a aisi motré que la série de foctios de terme gééral x ( ),, est uiformémet covergete sur [a, [. Comme chacue de ces foctios est cotiue sur x [a, [, la somme f est cotiue sur [a, [. Ceci état vrai pour tout réel a de ]0, [, o a motré que f est cotiue sur ]0, [. 6) Ses de variatio de la foctio ζ. Chacue des foctios x est décroissate sur ], [. Doc, la foctio ζ est décroissate sur ], [ e tat que x somme de foctios décroissates sur ] + [. La foctio ζ est décroissate sur ], [. 7) Covexité de la foctio ζ. Chacue des foctios x est covexe sur ], [ (e effet, pour etier aturel o ul doé, la foctio x x ( ) x ( l ) est deux fois dérivable sur ], [ et de plus x = x 0). Doc ζ est covexe sur ], [ e tat que somme de foctios covexes sur ], [. ζ est covexe sur ], [. Remarque. O sait qu ue foctio covexe sur u itervalle ouvert est cotiue sur cet itervalle et o retrouve la cotiuité de ζ sas recours à ue covergece uiforme. 8) Etude de la foctio ζ au voisiage de. a) Limite de quad x ted vers. D après 4), la série de foctios de somme ζ coverge uiformémet vers ζ sur [, [. De plus, chacue des foctios x admet ue ite réelle quad x ted vers à savoir x { si = x = 0 si. Le théorème d iterversio des ites permet alors d affirmer que la foctio ζ a ue ite réelle quad x ted vers et que = x = =. = http :// c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

3 =. b) U équivalet de quad x ted vers. Pour x ], [, x ( ) = x [, [ et 0 < ( ) x ( ) = 4, = ( ) x. Maiteat, pour ( ) x 4 Comme la série de terme gééral,, coverge, la série de foctios de terme gééral x coverge ( ) x ormalemet et doc uiformémet sur [, [. Puisque chaque fotio x a ue ite réelle quad x ted vers, le théorème d iterversio des ites permet d affirmer que x ( ) = = O a motré que quad x ted vers, x ou ecore que = + x + o( x ). ( ) x = =. 9) Etude au voisiage de. a) Limite de ζ quad x ted vers par valeurs supérieures. D après 6), la foctio ζ est décroissate sur ], [. Par suite, quad x ted vers par valeurs supérieures, ζ admet ue ite l élémet de ], ]. Détermios alors l. Soit N u etier aturel o ul doé. Pour tout réel x ], [, o a Mais alors, quad x ted vers, o obtiet l déduit que O a motré que = N = l = N x x. =, cette iégalité état vraie pour tout aturel o ul N. O e N N = =. =. x x> b) Equivalet de ζ quad x ted vers. Première solutio (comparaiso avec ue itégrale). Soit x ], [. La foctio t est cotiue et décroissate sur ], [. tx Doc, E sommat ces iégalités, o obtiet + t x dt x et, x t x dt. et = x = + t x dt = [ ] t x+ t x dt = = x + x, http :// 3 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

4 = x + = t x dt = + t x dt = x +, Aisi, x >, x x +. Le théorème des gedarmes motre alors que (x ) ted vers quad x ted vers et doc que x,x> x. Deuxième solutio (utilisatio de la foctio f). O a vu au 3) que pour x >, = cotiue sur ]0, [ et doc e. Par suite, f(x). D?après 5), f est x f(x) = f() = x x> = ( ) = l. D autre part, quad x ted vers, x = e ( x)l? ( x)l = (x )l, et doc x,x> l l (x ). et o retrouve x,x> x. 0) Dérivées successives. Soit a u réel strictemet plus grad que doé. Chaque foctio f : x x,, est de classe C sur [a, [ et pour x a, et k De plus, pour tout x [a, [, tout k et tout, f (k) ( l )k (x) = x. f (k) (l )k (x) a. Motros que la série umérique de terme gééral (l )k coverge. Quad ted vers a et doc, quad ted vers, gééral (l )k a coverge. (l )k a (l ) k (+a)/ = a ( ) = o (a+)/ (l )k (a )/ avec a + O e déduit que, pour k, la série de foctios de terme gééral f (k) [a, [. E résumé, 0, > + =. Aisi, la série umérique de terme coverge ormalemet et doc uifomémet sur la série de foctios de terme gééral f coverge simplemet vers ζ sur [a, [, chaque f,, est de classe C sur [a, [ pour tout aturel o ul k, la série de foctios de terme gééral f (k) coverge uiformémet sur [a, [. http :// 4 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

5 D après ue gééralisatio du théorème de dérivatio terme à terme, la foctio ζ est de classe C sur [a, [ et les dérivées successives s obtieet par dérivatio terme à terme. Ceci état vrai pour tout a élémet de ], [, o a motré que la foctio ζ est de classe C sur ], [ et x ], [, k N, ζ (k) (x) = = ( ) k lk x. Remarques. ) La foctio ζ est de classe C sur ], [ et pour tout réel x de ], [, ζ?(x) = fait que ζ est décroissate sur ], [. ) La foctio ζ est de classe C sur ], [ et pour tout réel x de ], [, ζ? (x) = fait que ζ est covexe sur ], [. ) Graphe. = = l x < 0 et o retrouve le l x > 0 et o retrouve le π /6 y = http :// 5 c Jea-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.