Intégrales dépendant d un paramètre

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1 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4 a x dx b) v = dx x + e x Exercice [ 38 ] [correcio] Eudier la limie éveuelle, quad ed vers, de la suie Exercice 6 [ 97 ] [correcio] Eablir que ( ) + d Exercice 7 [ 568 ] [correcio] Morer que es défiie pour. Calculer u = ( ) d ( + 3 ) d lim ( + 3 ) E déduire la aure de la série de erme gééral u. e d I = x dx + x+ Exercice 3 [ 746 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : Exercice 8 [ 394 ] [correcio] Morer lim e x dx = e x x dx a) u = si x x dx x dx b) u = x + + Exercice 4 [ 77 ] [correcio] Vérifier que la suie de erme gééral u = es bie défiie e éudier sa covergece. Exercice 5 [ 96 ] [correcio] Calculer lim si() + d e si () d c) u = x dx x + Exercice 9 [ 387 ] [correcio] Morer que la focio f doée par f (x) = l( + x/) x( + x ) es iégrable sur R +. Morer que la suie de erme gééral u = f (x) dx coverge vers ue limie à préciser. Exercice [ 567 ] [correcio] Soi f : [, [ C coiue. O suppose que la focio f coverge e vers ue limie fiie l. Déermier la limie quad de µ = f() d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

2 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Exercice [ 435 ] [correcio] Eudier la limie de où f : [, ] R es coiue. f( ) d Exercice 7 [ 93 ] [correcio] Déermier u équivale de + ( x ) dx Exercice [ 5 ] [correcio] Soi f C (R +, R + ) borée. O pose, pour N, I = Déermier la limie de I quad. Exercice 3 [ 94 ] [correcio] Soi f : R + R coiue e borée. Déermier la limie quad de f()e d f(x) + x dx Exercice 4 [ 365 ] [correcio] Soi f : R + R de classe C iégrable aisi que sa dérivée. a) Déermier pour x > lim b) Préciser le mode de covergece. Exercice 5 [ 479 ] [correcio] Eudier lim Exercice 6 [ 9 ] [correcio] Eudier lim cos (si ) f(x) d ( ) d ( + x ) e x dx Exercice 8 [ 98 ] [correcio] Déermier lim Exercice 9 [ 95 ] [correcio] Soi f : R + R + coiue e iégrable. Déermier la limie quad de Exercice [ 86 ] [correcio] Calculer lim ( cos x ) dx f() + d! dx (k + x) k= Exercice [ 359 ] [correcio] Soi F ue applicaio coiue décroissae de R das R, eda vers e e vers e. Soie deux réels h e δ vérifia < h < δ. a) Déermier la limie éveuelle de b) O pose I = S = F k= F ( (δ h) ) d ( ( δ k + )) h Déermier u équivale de S lorsque ed vers. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

3 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 3 Exercice [ 336 ] [correcio] Pour N e x ], [, o pose f (x) = x+ l x x a) Morer que f es iégrable sur ], [. O pose J = f (x) dx b) Morer que la suie (J ) N es covergee e déermier sa limie. c) Morer que J = 4 k=+ k Exercice 5 [ 33 ] [correcio] Exisece e calcul de l e Idice : uiliser ue suie de focios judicieuse. Iégraio erme à erme Exercice 6 [ 98 ] [correcio] Morer d e d = = Exercice 3 [ 39 ] [correcio] Soi f ue applicaio réelle de classe C sur [a, b] avec < a < < b e f(). Soi (f ) la suie de focios elle que f (x) = a) Déermier la limie simple de (f ). b) Eablir l égalié suivae : c) Morer que b lim a Exercice 4 [ 57 ] [correcio] Pour N e x R, o pose a f(x) + x f () d = a f() d f () d l f() f (x) = ( ) 4 x π Soi g ue focio coiue sur R e ulle e dehors d u segme [a, b]. Morer que lim f (x)g(x)dx = g() R Exercice 7 [ 378 ] [correcio] Prouver l égalié (l x) + x dx = ( ) ( + ) 3 = Exercice 8 [ 99 ] [correcio] Eablir que l + d = ( ) ( + ) = Exercice 9 [ 864 ] [correcio] Exisece e calcul de l d Le résula es à exprimer à l aide de ζ(). Exercice 3 [ 93 ] [correcio] a) Eablir l( + ) d = l + d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

4 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 4 a) E déduire b) Calculer cee somme sacha l( + ) = Exercice 3 [ 93 ] [correcio] a) Eablir arca b) E déduire arca d = = = π 6 d = d = = ( ) l + d ( ) ( + ) Cee valeur es appelée cosae de Caala, elle vau approximaiveme, 96. Exercice 3 [ 94 ] [correcio] Eablir que Exercice 33 [ 65 ] [correcio] Pour, m N, o pose a) Calculer I (). b) E déduire I (m) = si e d = x x dx = = + x (l x) m dx = Exercice 34 [ 93 ] [correcio] Eablir dx x x Exercice 35 [ 869 ] [correcio] Morer = = = = d Exercice 36 [ 57 ] [correcio] Soie p e k eiers aurels, o ul. Soi f p,k : x x p (l x) k. a) Morer que f p,k es iégrable sur ], ]. Soi K p,k = x p (l x) k dx b) Exprimer K p,k e focio de K p,k. c) Exprimer J = (x l x) dx e focio de. d) O pose I = xx dx. Morer I = Exercice 37 [ 934 ] [correcio] Eablir que pour p, Exercice 38 [ 933 ] [correcio] Eablir = ( ) ( + ) + (l x) p x dx = ( )p p! p+ = x x dx = = ( ) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

5 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 5 Exercice 39 [ 379 ] [correcio] Pour ou N e ou x R +, o pose a) Morer que = b) E déduire la valeur de f (x) = x ( x) f (x) dx = = Exercice 4 [ 368 ] [correcio] Morer π Exercice 4 [ 943 ] [correcio] Calculer, pour Z, ( + )( + 3) e cos x dx = I = π Exercice 4 [ 439 ] [correcio] Soie a C, a e Z. Calculer π = x + x dx π (!) e iθ dθ + eiθ e i e i a d Exercice 44 [ 935 ] [correcio] Déermier la limie quad de Exercice 45 [ 939 ] [correcio] Soie α >, N. O pose u (α) = e x/ + cos x dx π/ (si ) α (cos ) d a) Naure de la série de erme gééral u (). b) Plus gééraleme, aure de la série de erme gééral u (α). c) Calculer u (α) pour α =, 3. = Exercice 46 [ 87 ] [correcio] a) Pour (m, ) N, calculer Pour p Z, morer l exisece de S p = x ( x) m dx = p ( ) b) Calculer S e S. c) Si p N, proposer ue méhode de calcul de S p. Exercice 43 [ 34 ] [correcio] Morer que a, b >, e a e b d = = (a + b) Exercice 47 [ 64 ] [correcio] désige u eier aurel o ul. a) Jusifier que l iégrale x ( + x ) dx es défiie. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

6 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 6 b) Soi a. Calculer a E déduire la valeur de puis de = c) Soi a. Morer que la série = coverge uiforméme sur [, a], puis que a = x ( + x ) dx x ( + x ) dx x ( + x ) dx x ( + x ) x ( + x ) dx = = a + a d) E exploia ue comparaiso série-iégrale, déermier e) E déduire que l iégrale lim a = = a + a x ( + x ) dx es covergee e doer sa valeur. Comparer avec le résula obeu e b). Qu e coclure? Exercice 48 [ 438 ] [correcio] a) Démorer la covergece de la série de erme gééral b) Comparer a e a =! e d c) E déduire : = a = Exercice 49 [ 445 ] [correcio] O pose I = pour ou eier >. a) Trouver la limie l de (I ). b) Doer u équivale de (l I ). c) Jusifier l( + y) y e ( e ) d + d dy = k= ( ) k (k + ) d) Doer u développeme asympoique à rois ermes de (I ). Exercice 5 [ 6 ] [correcio] a) Déermier la limie l quad de b) Doer u équivale de c) Jusifier d) E déduire u équivale de I = + d I l l( + ) d = k= l( + ) d ( ) k k(k + ) e doer u développeme asympoique à rois ermes de I. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

7 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 7 Exercice 5 [ 84 ] [correcio] a) Si (s, λ) R + C, quelle es la aure de la série de erme gééral λ s(s + )... (s + ) pour? A λ fixé, o oe λ l esemble des s > els que la série coverge, e o oe F λ (s) la somme de cee série. b) Calculer lim s sup λ F λ (s). c) Doer u équivale de F λ (s) quad s if λ. d) Si, calculer : ( y) s y dy e) E déduire ue expressio iégrale de F λ (s). Exercice 55 [ 387 ] [correcio] Doer la aure de la série de erme gééral u = Exercice 56 [ 583 ] [correcio] Soi N. a) Esemble de défiiio de I (x) = b) Morer que si x >, I (x) diverge. c) Calculer I () pour. e cos d d ( + x ) Exercice 5 [ 866 ] [correcio] Soi (a ) ue suie borée. Calculer lim Exercice 53 [ 87 ] [correcio] Si x >, o pose ζ(x) =. Morer x = Exercice 54 [ 8 ] [correcio] Soi, pour N, u = e ( p= (ζ(x) ) dx = π/ ) p a p d p! = l [ cos ( π si x )] dx a) Eudier la covergece de la suie (u ). b) Quelle es la aure de la série de erme gééral u? Exercice 57 [ 3844 ] [correcio] Doer la limie la suie (u ) de erme gééral u = Quelle es la aure de la série u? d ( + 3 ) Exercice 58 [ ] [correcio] a) Doer les limies éveuelles e des suies de ermes gééraux d U = ( + 3 ) e V d = ( + 3 ) b) Quelle es la aure des séries U e Exercice 59 [ 36 ] [correcio] Pour N, soi f l applicaio défiie par f (x) = { sh(x) e x V? si x ], [ α si x = Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

8 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 8 a) Pour quelle valeurs de α la focio f es-elle coiue? Das la suie, o predra cee valeur de α. b) Morer que f es borée. c) Morer que f (x) dx exise pour. d) Exprimer f (x) dx comme la somme d ue série. Exercice 6 [ 69 ] [correcio] Pour, o pose I = a) Déermier la limie de la suie (I ). b) Eablir que pour ou eier, d ( + 3 ) I + = 3 3 I c) Déermier α R el qu il y ai covergece de la suie de erme gééral d) E déduire la covergece de la série u = l( α I ) I e exprimer sa somme à l aide d ue iégrale. Iégraio erme à erme par les sommes parielles Exercice 6 [ 936 ] [correcio] Morer que, pour a > Exercice 6 [ 94 ] [correcio] Pour ou α >, éablir que d + a = ( ) a + = x α + x dx = ( ) + α = Exercice 63 [ 863 ] [correcio] a) Eablir pour a, b > l égalié b) Calculer a + b d = ( ) a + b = = ( ) 3 + Exercice 64 [ 437 ] [correcio] Morer ( ) + d = π ( ) = = Exercice 65 [ 867 ] [correcio] Soi (a ) ue suie croissae de réels > elle que a. Jusifier ( ) e ax ( ) dx = = Eude de focios cocrèes = Exercice 66 [ 534 ] [correcio] a) Jusifier que l iégrale suivae es défiie pour ou x > f(x) = x + d b) Jusifier la coiuié de f sur so domaie de défiiio. c) Calculer f(x) + f(x + ) pour x >. d) Doer u équivale de f(x) quad x + e la limie de f e. Exercice 67 [ 3658 ] [correcio] O pose F (x) = e + x d a Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

9 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 9 a) Morer que F (x) es bie défiie pour ou x. b) Morer que F es de classe C sur [, [. c) Calculer F () () pour ou N. Exercice 68 [ 538 ] [correcio] Soi F : x e x + d Morer que F es soluio sur R + de limie ulle e de l équaio différeielle y + y = x Exercice 69 [ 537 ] [correcio] Soi f : x e x + d a) Morer que f es défiie e coiue sur R +. b) Morer que f es dérivable sur R + e soluio de l équaio différeielle π y y = x Exercice 7 [ 53 ] [correcio] Soi g(x) = e x d + 3 a) Calculer g() e réalisa le chageme de variable = /u. b) Eudier les variaios de g sur so domaie de défiiio. c) Eudier la limie de g e. Exercice 7 [ 53 ] [correcio] Soi f : x d + x a) Morer que f es défiie sur R +. b) A l aide du chageme de variable u = /, calculer f(). c) Morer que f es coiue e décroissae. d) Déermier lim f. Exercice 7 [ 333 ] [correcio] Soi f : x π π cos(x si θ) dθ a) Morer que f es défiie e de classe C sur R. b) Déermier ue équaio différeielle liéaire d ordre do f es soluio. c) Morer que f es développable e série eière sur R. d) Exploier l équaio différeielle précédee pour former ce développeme. Exercice 73 [ 533 ] [correcio] Soi f : x π/ cos + x d a) Morer que f es défiie, coiue sur R +. Eudier les variaios de f. b) Déermier les limies de f e + e. c) Déermier u équivale de f e + e. Exercice 74 [ 536 ] [correcio] Soi f la focio doée par f(x) = π/ si x ()d a) Morer que f es défiie e posiive sur ], [. b) Morer que f es de classe C e préciser sa moooie. c) Former ue relaio ere f(x + ) e f(x) pour ou x >. d) O pose pour x >, ϕ(x) = xf(x)f(x ) Morer que x >, ϕ(x + ) = ϕ(x) Calculer ϕ() pour N. e) Déermier u équivale à f e +. Exercice 75 [ 878 ] [correcio] a) Pour quels x de R l iégrale π/ (si ) x d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

10 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés exise--elle? Das ce cas, soi f(x) sa valeur. b) Morer que f es de classe C sur so iervalle de défiiio. c) Que dire de la focio x (x + )f(x)f(x + )? Exercice 76 [ 88 ] [correcio] Morer que, pour ou x réel posiif, arca(x/) x l + d = d Exercice 77 [ 875 ] [correcio] Soi Ω = {z C/Rez > }. Si z Ω, o pose f(z) = z + d a) Morer que f es défiie e coiue sur Ω. b) Doer u équivale de f(x) quad x ed vers. c) Doer u équivale de f(z) quad Re(z). Exercice 78 [ 87 ] [correcio] Pour x R, o pose f(x) = a) Défiiio de f. b) Coiuié e dérivabilié de f. c) Ecrire f() comme somme de série. Exercice 79 [ 88 ] [correcio] O pose, pour x >, f(x) = x si(x) e d e x + d Morer que f es de classe C sur ], [ e rouver des équivales simples de f e e e. Exercice 8 [ 334 ] [correcio] Pour x >, o pose f(x) = x x a) Morer que f es défiie e coiue. b) Déermier les limies de f e + e. Exercice 8 [ 36 ] [correcio] a) Déermier le domaie de défiiio de f(x) = d + x x cos b) Doer u équivale de f e e e. Exercice 8 [ 376 ] [correcio] a) Déermier l esemble de défiiio de f(x) = b) Doer la limie de f e x =. Exercice 83 [ 3736 ] [correcio] O pose f(α) = d d ( )( x ) dx x α ( + x) a) Eudier l esemble de défiiio de f. b) Doer u équivale de f e. c) Morer que le graphe de f adme ue symérie d axe x = /. d) Morer que f es coiue sur so esemble de défiiio. e) Calculer la bore iférieure de f. Eocé fouri par le cocours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Exercice 84 [ 556 ] [correcio] Pour x >, o pose F (x) = l + x d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

11 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés a) Morer que F es de classe C sur ], [. b) Calculer F (x) e e déduire l expressio de c) Soi θ R. Calculer G(x) = F (x) + F (/x) l + + ch(θ) + d Exercice 85 [ 3887 ] [correcio] a) Morer la coiuié de l applicaio défiie sur ], [ par g(x) = b) Préciser ses limies e e. Exercice 86 [ 3889 ] [correcio] Soi g : x x si() x + d e x + d Moros que g es soluio sur R + de l équaio différeielle y + y = x Calcul de focio iégrale Exercice 87 [ 545 ] [correcio] O cosidère la focio g : x ], [ l x d a) Morer que la focio g es bie défiie. b) Jusifier que la focio es de classe C e exprimer g (x). c) E déduire ue expressio de g(x) à l aide des focios usuelles Exercice 88 [ 874 ] [correcio] Eudier f : x l x d Exercice 89 [ 3888 ] [correcio] a) Morer que l applicaio g : x x l d es défiie sur ], [. b) Jusifier que g es de classe C e calculer g (x). c) E déduire ue expressio simple de g(x) pour x >. Exercice 9 [ 546 ] [correcio] a) Jusifier l exisece e calculer Soi F : x cos(x)e d si(x) e d b) Jusifier que F es défiie e de classe C sur R. Calculer F (x). c) E déduire ue expressio simplifiée de F (x). Exercice 9 [ 873 ] [correcio] Pour ou x réel, o pose f(x) = cos(x) e d e g(x) = Exisece e calcul de ces deux iégrales. Exercice 9 [ 553 ] [correcio] Soi F (x, y) = si(x) e d e x e y d avec x, y > Pour y >, morer que x F (x, y) es de classe C sur R + e calculer E déduire la valeur de F (x, y). F (x, y) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

12 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Exercice 93 [ 6 ] [correcio] O pose F (x) = e e cos(x) d a) Quel es le domaie de défiiio réel I de la focio F? b) Jusifier que la focio F es de classe C sur I. c) Exprimer F (x) à l aide des focios usuelles. Exercice 94 [ 33 ] [correcio] Soie a, b deux réels sriceme posiifs. a) Jusifier l exisece pour ou x R de F (x) = e a e b cos(x) d b) Jusifier que F es de classe C sur R e calculer F (x). c) Exprimer F (x) Exercice 95 [ 548 ] [correcio] O pose z : x e ( +ix) e o doe e d = π/. a) Jusifier e calculer z(). b) Morer que z es défiie, de classe C sur R e z (x) = c) E déduire l expressio de z(x). (x + i) z(x) Exercice 96 [ 3655 ] [correcio] E dériva la focio déermier l expressio de la focio g(x) = e e x d d Exercice 97 [ 3656 ] [correcio] a) Exisece de F (x) = e ch(x) d b) Calculer F (x) e iroduisa ue équaio différeielle vérifiée par F. c) Calculer F (x) direceme par ue iégraio erme à erme. Exercice 98 [ 555 ] [correcio] Esemble de défiiio, dérivée e valeur de f : x Exercice 99 [ 366 ] [correcio] Pour x >, o pose F (x) = π/ l( + x ) + d. l ( cos () + x si () ) d a) Jusifier que F es défiie e de classe C sur ], [. b) Calculer F (x) e e déduire u expressio de F (x). Exercice [ 88 ] [correcio] Exisece e calcul de π Exercice [ 556 ] [correcio] Soi F (x) = π/ l( + x cos ) cos d l( + x si ) d sur [, [ a) Jusifier que F es bie défiie e coiue. b) Eudier la dérivabilié sur [, [ e doer l expressio de sa dérivée via le chageme de variable u = a. c) Eablir que F (x) = π(l( + + x) l ) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

13 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 3 Exercice [ 876 ] [correcio] Exisece e calcul de f(x) = Exercice 3 [ 55 ] [correcio] Soi F (x) = l(x + ) + d l( + cos x + ) d a) Jusifier que F es défiie e de classe C sur [, π/] b) Calculer F (x) sur [, π/] c) Doer la valeur de F () puis celle de F (x) sacha k= Exercice 4 [ 55 ] [correcio] Pour N e x >, o pose I (x) = ( ) k k = π d (x + ) a) Jusifier l exisece de I (x). b) Calculer I (x). c) Jusifier que I (x) es de classe C e exprimer I (x). d) Exprimer I (x). Exercice 5 [ 333 ] [correcio] Pour ou x R, o pose F (x) = ( )) exp ( + x d a) Morer que F es défiie e coiue sur R. b) Morer que F es de classe C sur ], [. c) Former ue équaio différeielle vérifiée par F sur ], [. d) E déduire ue expressio simple de F sur R. Exercice 6 [ 369 ] [correcio] Soi F la focio défiie par : F (x) = arca(x) ( + ) d a) Morer que F es défiie e de classe C sur R +. O adme l ideié valable pour ou x e das R b) Déermier l expressio de F (x). Eude héorique x ( + x )( + ) = x + x + Exercice 7 [ 54 ] [correcio] Soi f ue applicaio coiue de R [a, b] das R. Expliquer pourquoi f es uiforméme coiue sur S [a, b] pour ou segme S de R. E déduire que F : x b f(x, ) d es coiue sur R. a Pour x R, o pose g(x) = ex d. A l aide de la quesio précédee, éudier la coiuié de g. Rerouver le résula e calcula g(x). Exercice 8 [ 544 ] [correcio] Soie f : I R R e u, v : I R coiues. Morer la coiuié de la focio x v(x) u(x) f(x, )d Exercice 9 [ 3756 ] [correcio] Soi f : R R de classe C vérifia f() =. Morer que la focio g : x f(x) x se prologe e ue focio de classe C sur R e exprimer ses dérivées successives e e focio de celles de f. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

14 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 4 Exercice [ 94 ] [correcio] Soie f : I R ue focio de classe C e a R els que a) Morer qu o a pour ou x I f(a) = f (a) = = f (α ) (a) = f(x) = x a (x ) α f (α) ()d (α )! b) E déduire qu o peu écrire f(x) = (x a) α g(x) avec g de classe C sur R. Trasformée de Fourier e iégrales appareées Exercice [ 547 ] [correcio] O pose z : x e ( +ix) d a) Morer que z es défiie, de classe C sur R e vérifie z (x) = (x + i) z(x) b) E déduire l expressio de z(x) sacha z() = π/. Exercice [ 549 ] [correcio] E dériva la focio déermier l expressio de la focio g(x) = Exercice 3 [ 3 ] [correcio] O cosidère ϕ : x e e ix d e ix + d a) Morer la défiie e la coiuié de ϕ sur R. b) Morer que ϕ es de classe C sur R e morer que ϕ e ix (x) = i + d c) Morer que pour x >, ϕ ue iu (x) = i x + u du e déermier u équivale de ϕ (x) quad x +. d) La focio ϕ es-elle dérivable e? Exercice 4 [ 499 ] [correcio] O éudie f(x) = e cos(x) d a) Doer le domaie de défiiio de f. b) Calculer f e forma ue équaio différeielle. c) Calculer f e exploia le développeme e série eière de la focio cosius. Exercice 5 [ 554 ] [correcio] Exisece e calcul de sacha g() = π/. Focio d Euler g(x) = Exercice 6 [ 56 ] [correcio] Démorer que la focio Γ : x es défiie e de classe C sur ], [. Exercice 7 [ 56 ] [correcio] a) Démorer que la focio Γ doée par Γ(x) = e cos(x)d x e d x e d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

15 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 5 es défiie e coiue sur ], [. b) Démorer que la focio Γ es de classe C sur ], [. c) E exploia l iégalié de Cauchy Schwarz, éablir que la focio x l Γ(x) es covexe. Exercice 8 [ 56 ] [correcio] L objecif de ce exercice es de calculer a) Morer que pour ou [, ], b) Eablir que c) Observer que d) Coclure que lim l()e d ( ) e.e ( l() ) d = l()e d ( l() ) ( u) d = l + du u où γ désige la cosae d Euler. Exercice 9 [ 635 ] [correcio] O rappelle e d = π. Pour x >, o pose Γ(x) = l()e d = γ e x d a) Morer que cee focio es défiie e idéfiime dérivable sur ], [. O éudiera la régularié e se resreiga à x [a, b] ], [. b) Calculer Γ( + ) pour N. c) E réalisa le chageme de variable = + y, rasformer l iégrale Γ( + ) e e f (y)dy où f (y) = pour y x, f (y) e y / pour < y e f (y) ( + y)e y pour y > e. d) E appliqua le héorème de covergece domiée éablir la formule de Sirlig :! π e Exercice [ 537 ] [correcio] a) Doer le domaie de défiiio de la focio b) Calculer l iégrale Γ : x I (x) = x e d x ( ) d c) Expliquer rapideme pourquoi ( ) coverge vers e e morer que Γ(x) = Exercice [ 94 ] [correcio] Eablir que pour ou x > lim x e d = x! x(x + )... (x + ) = ( )!(x + ) Applicaios au calcul d iégrales Exercice [ 535 ] [correcio] Soi f : [, [ R défiie par f(x) = e x(+ ) + d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

16 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 6 a) Morer que f es dérivable sur [, [ e exprimer f (x). b) Calculer f() e lim f. c) O oe g l applicaio défiie par g(x) = f(x ). Morer d) Coclure ( x ) g(x) + e d = π 4 Exercice 3 [ 3654 ] [correcio] L objecif de ce suje es de calculer Pour x, o pose I = F (x) = π e d = e d e x ( + ) d a) Jusifier que la focio F es bie défiie b) Déermier ue équaio liéaire d ordre do F es soluio sur ], [. c) Calculer F () e la limie de F e. d) E déduire la valeur de I. Exercice 4 [ 638 ] [correcio] O pose, pour x, F (x) = x cos e d a) Morer que F es coiue sur [, [ e ed vers e. b) Morer que F es deux fois dérivable sur ], [ e calculer F (x). c) E déduire la valeur de F () puis la valeur de l iégrale covergee si d Exercice 5 [ 54 ] [correcio] a) Jusifier la covergece de l iégrale b) Pour ou x, o pose I = F (x) = si d e x si Déermier la limie de F e. c) Jusifier que F es dérivable sur ], [ e calculer F d) E admea la coiuié de F e déermier la valeur de I. Exercice 6 [ 543 ] [correcio] Pour x R + e, o pose f(x, ) = e x sic où sic (lire sius cardial) es la focio si prologée par coiuié e. Pour N, o pose u (x) = (+)π π d f(x, )d a) Morer que u (x) = ( ) π g (x, u) du avec g (x, u) qu o expliciera. b) Morer que la série de focios de erme gééral u coverge uiforméme sur R +. c) O pose U(x) = u (x). Jusifier que U es coiue e explicier U sous la = forme d ue iégrale covergee. d) Morer que U es de classe C sur ], [ e calculer U (x). e) Explicier U(x) pour x > puis la valeur de U() = Exercice 7 [ 87 ] [correcio] Pour x R +, soi f(x) = si d si e x d a) Jusifier la défiiio de f(x). b) Morer que f es classe C sur R +. c) Calculer f(x) si x R +. d) Morer que f es coiue e. Qu e dédui-o? Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

17 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 7 Exercice 8 [ 54 ] [correcio] O cosidère les focios f e g défiies sur R + par : f(x) = e x si d e g(x) = + x + d a) Morer que f e g so de classe C sur R + e qu elles vérifie l équaio différeielle y + y = x b) Morer que f e g so coiues e c) E déduire que si d = π Exercice 9 [ 55 ] [correcio] Soi F la focio défiie par : F (x) = arca(x) ( + ) d a) Morer que F es défiie e de classe C sur R +. b) Déermier l expressio de F (x). c) Calculer arca d Exercice 3 [ 33 ] [correcio] a) Morer que pour ou x > l( + x) + d = l arca x + π x 8 l( + l( + ) x ) + d b) E déduire la valeur de l( + ) + d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

18 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 8 Correcios Exercice : [éocé] A chaque fois, o vérifie que les focios egagées so coiues par morceaux. a) Sur [, π/4[, a x CV S a x = ϕ(x) iégrable sur [, π/4[ doc u π/4 dx = CV S b) Sur [, [, x +e f(x) avec f(x) = e x sur [, [ e f(x) = sur x ], [. De plus x +e e x = ϕ(x) avec ϕ iégrable sur [, [ doc x Exercice : [éocé] E découpa l iégrale I = v e x dx = e e x x dx + dx + x+ + x+ E appliqua le héorème de covergece domiée aux deux iégrales, o obie I dx x = Exercice 3 : [éocé] A chaque fois, o vérifie que les focios egagées so coiues par morceaux. a) Ici, o e peu appliquer le héorème de covergece domiée sur [, [ après ue majoraio de si x par car la focio domiae ϕ(x) = /x e sera pas iégrable sur ], [. Pour coourer cee difficulé, o découpe l iégrale. O a u = si x x si x si x si x x dx = x dx + x dx dx si (x) dx car si x x Sas difficulés, par le héorème de covergece domiée e doc Aussi Or si x x De plus CS puis u. b) O écri O a si (x) dx si x x si x x dx dx si x dx f(x) avec f(x) = pour ou x π/ [π]. si x x x = ϕ(x) avec ϕ iégrable sur [, [ doc u = e si x dx x x f(x) dx = x dx x x dx x + + x dx x + + x dx = + x dx x + + dx x = e veru du héorème de covergece domiée e via la domiaio sur [, [. Aisi u. c) O écri O a u = x dx x + + x dx x + x dx x + e x dx x + x dx = + dx x = x x + + x Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

19 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 9 doc u. O peu aussi appliquer le héorème de covergece domiée mais c es mois efficace. Exercice 4 : [éocé] Posos f : si() + La focio f es défiie e coiue par morceaux sur ], [. Quad +, f () +. Quad ; f () = O ( ). O peu doc affirmer que f es iégrable sur ], [. Pour ], [. Quad, f () = O ( ) doc la suie (f ) coverge simpleme vers la focio ulle. De plus, pour π/, o a, sacha si u u, e pour π/, Aisi f ϕ avec ϕ : f () + f () + { si [, π/] / si ]π/, [ La focio ϕ éa iégrable sur ], [, o peu appliquer le héorème de covergece domiée e affirmer u d = Exercice 5 : [éocé] La focio iégrée e coverge pas simpleme e les = π/ + π coourer cee difficulé o raisoe à l aide de valeurs absolues. e si () d e si d O a f () = e si () CS f() [π]. Pour avec { si π/ [π] f() = e sio Les focios f e f so coiues par morceaux e f () e = ϕ() avec ϕ coiue par morceaux iégrable sur [, [ doc par covergece domiée : lim Exercice 6 : [éocé] Les focios doées par e si () d = f () = ( + / ) f() d = so défiies e coiues par morceaux sur R. La suie de focios (f ) coverge simpleme vers f avec f() = e défiie e coiue par morceaux sur R. Soi R fixé e cosidéros ϕ : x x l( + /x) défiie sur [, [. E éudia le sige de ϕ, o démore ϕ es croissae. Or lim ϕ = e doc ϕ es égaive. La focio ϕ es doc décroissae e par coséque, pour ou N f () ( ) + = exp(ϕ()) exp(ϕ()) = + La focio /( + ) es iégrable sur R. Par covergece domiée ( ) + d Exercice 7 : [éocé] La focio (+ 3 ) e d es coiue par morceaux sur [, [ e o observe ( + 3 ) 3 Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

20 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios avec 3 > doc l iégrale d (+ 3 ) es bie défiie pour. Par applicaio du héorème de covergece domiée (e prea ϕ() = + 3 pour domiarice), o obie d lim ( + 3 ) = La décroissace de ( u ) e la posiivié de l iégrale éa des propriéés immédiaes, o peu appliquer le crière spécial e affirmer que u coverge. Exercice 8 : [éocé] Soi N. La focio x e x es défiie e coiue par morceaux sur [, [. Ea de plus égligeable deva /x quad x, o peu affirmer qu elle es iégrable e o peu doc iroduire e x dx Par le chageme de variable C sriceme moooe doé par la relaio = x, o obie Posos alors e x dx = e / d f : e / Les focios f so défiies e coiues par morceaux sur [, [. La suie de focios (f ) coverge simpleme vers la focio e pour ou N f : e f () e = ϕ() avec ϕ focio coiue par morceaux e iégrable puisque ϕ(). O peu alors appliquer le héorème de covergece domiée e affirmer e x dx = e / d e d Exercice 9 : [éocé] f es défiie e coiue par morceaux sur ], [. Quad x +, f (x), o peu doc la prologer par coiuié. Quad x, f (x) = o ( ) x. Par suie f es iégrable sur ], [. Posos u = g (x) = l( + x/) x( + x ) l( + x/) x( + x ) dx = f (x) Pour x >, quad, g (x) +x. De plus, sacha l( + u) u, o a g (x) +x = ϕ(x) avec ϕ iégrable. Par covergece domiée, Exercice : [éocé] Par chageme de variable Par covergece domiée u µ = dx + x = π µ l f(s) ds Exercice : [éocé] Cosidéros la suie des focios u : [, ] R déermiée par u () = f( ). Les focios u so coiues par morceaux e par coiuié de f u () u() = déf { f() si [, [ f() si = La suie de focios (u ) coverge simpleme sur [, ] vers la focio u coiue par morceaux. Efi, la focio f éa coiue sur u segme, elle y borée ce qui perme d iroduire M = sup f() [,] Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

21 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios Puisque [, ], u () M avec M iégrable sur [, ], o peu appliquer le héorème de covergece domiée e affirmer f( ) d u() d = f() Exercice : [éocé] Par le chageme de variable u = I = Par covergece domiée, sacha avec ϕ iégrable, o obie f(u/)e u du f(u/) f e u = ϕ(u) I Exercice 3 : [éocé] Par le chageme de variable u = x, f(x) + x dx = f()e u du = f() Posos alors f : u f(u/) +u défiie sur R +. La suie de focios (f ) coverge simpleme vers f : u f() + u f(u/) + u du Les focios f e f so coiues par morceaux sur R +. avec ϕ iégrable sur R +. Par covergece domiée, f (u) f + u = ϕ(u) f(x) + dx x f() πf() du = + u Exercice 4 : [éocé] a) Pour x >, posos u (x) = cos (si ) f(x) d L iégrabilié de f assure que u (x) es bie défiie. Puisque f es iégrable, la focio f coverge e e, puisque f es aussi iégrable, f ed vers e. Par iégraio par paries, o obie alors u (x) = + (si ) + xf (x) d Posos g (x) = si + xf (x) d. Chaque focio g es coiue par morceaux. La suie de focios (g ) coverge simpleme vers ue focio coiue par morceaux, ulle e chaque x π/ + kπ. La focio limie simple es coiue par morceaux. Efi o a la domiaio avec la focio ϕ iégrable. Par covergece domiée e par comparaiso g (x) xf (x) = ϕ() g () d u (x) b) O vie déjà d obeir ue covergece simple de la suie de focios (u ) vers la focio ulle. Moros qu e fai il s agi d ue covergece uiforme. Par chageme de variable u (x) = + (si(u/x)) + f (u) du Soi ε >. Puisque la focio f es iégrable, il exise A R + el que e alors u (x) M A A f (u) du ε si(u/x) + du + ε avec M = max u [,A] f (u) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

22 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios Pour x 4A/π, o a e doc u [, A], u x A x π 4 A si(u/x) + du Pour x 4A/π, o a par chageme de variable A si(u/x) + du = x Pour k eier el que kπ < A/x (k + )π. A si(u/x) + du x (k+)π Or x(k + )π A + xπ 5A doc Fialeme, pour ou x >, A A/x A + si + d si + d = x(k + ) si(u/x) + du 5A u (x) 5AM + AM + + ε e doc pour assez grad, o a pour ou x >. u (x) ε π (si ) + d e ce que [, ] ou o. La focio ϕ es iégrable sur [, [. Par applicaio du héorème de covergece domiée, Exercice 6 : [éocé] Posos lim ( ) d = { ( + x/) f (x) = e d si x [, ] sio Pour x [, [, à parir d u cerai rag x e ( f (x) = + ) x ( ( e x = exp l + x ) ) x e x Aisi, la suie (f ) coverge simpleme vers f : x e x. E veru de l iégalié l( + u) u, o obie f (x) e x = ϕ(x) e ce que x [, ] ou o. La focio ϕ es iégrable sur [, [. Par applicaio du héorème de covergece domiée, lim ( + x ) e x dx = e x dx = Exercice 5 : [éocé] Posos { ( f () = / ) si [, [ sio Pour [, [, à parir d u cerai rag > e ( ) ( ( )) f () = = exp l e Aisi, la suie (f ) coverge simpleme vers f : e. E veru de l iégalié l( + u) u, o obie f () e = ϕ() Exercice 7 : [éocé] Par chageme de variable ( + ) x dxñ = u= x/ Par le héorème de covergece domiée doc u du + ( x ) dx u du Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

23 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 3 Exercice 8 : [éocé] Posos f (x) = ( cos x ) si x [, ] e f (x) = si x ], [. Pour x R +, quad, f (x) = ( cos x ) = exp ( l ( x / + o(/ ) )) e x / CS Aisi f f avec f : x e x /. [,[ Les focios f e f so coiues par morceaux. Soi ψ : [, ] R défiie par ψ() = /4 cos. Par éude des variaios, x [, ], ψ(x) O e dédui que, pour x [, ], ( l cos x ) ) l ( x 4 x 4 puis f (x) e x /4 Cee iégalié vau aussi pour x ], [ e puisque la focio x e x /4 es iégrable, o peu appliquer le héorème de covergece domiée pour affirmer ( lim cos x ) π dx = e x / dx = Exercice 9 : [éocé] O a avec f() + d = u= f (u) = f(u) + u/ du = { f(u) +u/ si u [, ] si u ], [ f (u)du CV S O a f f avec f e f coiues e f f = ϕ avec ϕ coiue par morceaux iégrable sur [, [ idépeda de. Par covergece domiée f (u) du f(u) du Exercice : [éocé] O a! (k + x) (x + )(x + ) = ϕ(x) k= avec ϕ iégrable sur [, [. Quad, k= l! = ( l + x ) k (k + x) k= car l ( + x/k) x/k erme gééral d ue série à ermes posiifs divergee. Par suie! (k + x) k= puis par le héorème de covergece domiée lim! dx = (k + x) k= Exercice : [éocé] a) Appliquos le héorème de covergece domiée. Posos f : [, ] R défiie par f () = F ( (δ h) ) Pour [, h/δ[, o a f (). Pour ]h/δ, ], o a f (). Efi, pour = h/δ, f () = F () F (). Aisi la suie de focios (f ) coverge simpleme sur [, ] vers f défiie par si [, h/δ[ f() = F () si = h/δ si ]h/δ, ] Les focios f so coiues e la limie simple f es coiue par morceaux. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

24 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 4 Efi [, ], f () = ϕ() avec ϕ coiue par morceaux e iégrable. Par covergece domiée, I f() d = b) Par la décroissace de F, o peu écrire (k+)/ (k+)/ h/δ d = h δ F ( (δ h) ) d ( ( F δ k + )) h E somma ces iégaliés (k+)/ k/ F ( (δ h) ) d b) La suie de focios f coverge simpleme vers la focio ulle e es domiée par la focio iégrable ϕ doc par covergece domiée c) O a J k J k+ = Réalisos ue iégraio par paries a ε Quad ε + e a, o obie J x k+ l(x) dx [ ] x x k+ k+ a l(x) dx = k + l x + ε a ε x k+ dx e (+)/ / (+)/ / F ( (δ h) ) d = F ( (δ h) ) d S I F ( (δ( + /) h) ) d Par covergece domiée, o obie de faço aalogue à ce qui précède, la limie de ce erme e o coclu Exercice : [éocé] a) Cosidéros la focio S h δ ϕ : x x l x x La focio ϕ es défiie e coiue par morceaux sur ], [. Quad x +, ϕ(x) e quad x, ϕ(x) = x l x x + x Puisque ϕ se prologe par coiuié e e e, ϕ es iégrable sur ], [. Or f (x) = x ϕ(x) ϕ(x) doc, par domiaio, la focio f es elle aussi iégrable sur ], [. e doc J = lim Efi par raslaio d idice N k= J = J k J k+ = k= (k + ) (J k J k+ ) = (k + ) = 4 k= k=+ (k + ) k Exercice 3 : [éocé] a) (f ) coverge simpleme vers la focio f doée par f(x) si x [a, [ f(x) = f()/ si x = si x ], b] b) Sacha f (x) f(x) avec f iégrable sur [a, b], o peu appliquer le héorème de covergece domiée e o obie direceme le résula proposé. c) Par ue iégraio par paries a f () d = [ ] l( + )f() a a l( + )f () d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

25 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 5 D ue par [ ] l( + )f() = l a a f() + l( + a ) car l( + a ). D aure par l( + )f () d f sacha l( + u) u. Au fial, o obie Exercice 4 : [éocé] L iégrale a R f(a) = l f() + o ( ) d = O = o f () d = l ( ) f() + o f (x)g(x)dx = b a f (x)g(x)dx es bie défiie. Par le chageme de variable x = u/ bijecif de classe C avec R f (x)g(x)dx = b a ( ) 4 u π 4 g(u/)du = h (u) = ( ) 4 u π 4 g(u/)χ [a,b] ( ) ( ) h (u)du h es coiue par morceaux, (h ) coverge simpleme vers h coiue par morceaux avec h(u) = e u g() π Pour assez grad de sore que a/, b/ o a pour ou u [a, b], u / 4 / <, h (u) = π e 4 l( u / 4) π e u = ϕ(u) e cee iégalié vau aussi pour u / [a, b]. La focio ϕ éa coiue par morceaux e iégrable sur R, o peu appliquer le héorème de covergece domiée e coclure sacha e u du = π Exercice 5 : [éocé] L iégrale l e d es défiie car la focio l()e es coiue e iégrable sur ], [ puisque l()e e l()e + Pour ou R +, e es la limie de ( u () = ) χ [,] () Le de l exposa es pas usuel e peu rès bie êre remplacé par u. Néamois pour alléger les calculs à veir, le es préférable... O a l()u () l()e e doc par covergece domie O a l()u () e l()e l e d = lim ( ) l() d = avec ( u) l(u) du = l + e par iégraio par paries ( ) l() d ( u) l(u) du l(u)( u) du = [l(u)( ( u) )] + l(u)( u) du ( u) u O oera qu o a choisi ( ( u) ) pour primiive de ( u) car celle-ci s aule e de sore que l iégraio par paries egage que des iégrales covergees. du Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

26 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 6 Efi puis ( u) u ( u) u v du = v = du = Fialeme Exercice 6 : [éocé] Pour ou >, o a doc e = l e k= v k dv k= = l γ + o() k d = γ e e = e e = e = = = = f () Les focios f so coiues par morceaux sur ], [ e, e veru de l éude qui précède, la série f coverge simpleme e sa somme es coiue par morceaux sur ], [ Les focios f so iégrables sur ], [ e f () d = e d = qui es sommable. O e dédui que la focio ], [ e e d = Exercice 7 : [éocé] Pour x [, [, o peu écrire = + x = ( ) x = e es iégrable sur e pour x ], [, o a (l x) + x = ( ) x (l x) = Cosidéros alors la série des focios u (x) = ( ) x (l x) Par covergece des séries précédees, la série des focios u coverge simpleme vers la focio x (l x) /( + x ). Les focios u e la focio somme so coiues par morceaux. Chaque focio u es iégrable e u (x) dx = Par iégraio par paries, o more x (l x) dx = x (l x) dx ( + ) 3 O peu alors appliquer le héorème d iégraio erme à erme e affirmer Exercice 8 : [éocé] Sur ], [, (l x) + x dx = ( ) ( + ) 3 = l + = ( ) (l ) = Posos f () = ( ) l. Les f : ], [ R so coiues par morceaux e la série de focios f coverge simpleme vers l + elle-même coiue par morceaux sur ], [. f () d = ( + ) e la série (+) coverge doc o peu iégrer erme à erme la série de focios e o obie l + d = = ( ) l d = = ( ) ( + ) Ce derier calcul es o rivial e fai référece à la cosae de Caala. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

27 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 7 Exercice 9 : [éocé] Pour ], [, o peu écrire l = l = c) E sépara les ermes pairs e les ermes impairs (ce qui se jusifie e rasia par les sommes parielles) = ( ) = p= (p + ) p= (p) = p= p= (p) = = = π Or l d = ( + ) Sacha que la série des iégrales des valeurs absolues coverge, le héorème d iégraio erme à erme de Fubii doe l d = ( + ) = 3ζ() 4 = avec e subsace la covergece de l iégrale éudiée. Exercice 3 : [éocé] a) Par iégraio par paries, ε l( + ) e quad ε, o obie b) Sur ], [, d = [l( + ) l()] ε l( + ) l d = + d l + = ( ) (l ) = ε l + d Posos f () = ( ) l. Les f : ], [ R so coiues par morceaux e la série de focios f coverge simpleme vers l + elle-même coiue par morceaux sur ], [. O a f () d = ( + ) e la série (+) focios e doc l + d = coverge doc o peu iégrer erme à erme la série de = ( ) l d = = ( ) ( + ) = = ( ) Exercice 3 : [éocé] a) Par ue iégraio par paries ε arca d = [l() arca()] ε Sacha arca, o obie quad ε arca avec covergece des iégrales proposées b) Pour ou éléme de ], [, l d = + d l + = ( ) (l ) = ε l + d Posos f () = ( ) l. Les f : ], [ R so coiues par morceaux e la série de focios f coverge simpleme vers l + elle-même coiue par morceaux sur ], [. e la série (+) focios e doc f () d = ( + ) coverge doc o peu iégrer erme à erme la série de l + d = = ( ) l d = Rq : o aurai aussi pu exploier arca = = = ( ) + +. ( ) ( + ) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

28 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 8 Exercice 3 : [éocé] Pour >, o peu écrire si e = si.e = La focio si.e es iégrable sur ], [ e si e d e d = es le erme gééral d ue série covergee doc par le héorème de Fubii d iégraio erme à erme si e es iégrable sur ], [ e si e d = avec si.e d = Im Fialeme = si.e d si e d = + Exercice 33 : [éocé] Les iégrales cosidérées so bie défiies. Par iégraio par paries, Aisi E pariculier b) x x = = [ x + I (m) = ( )! (x l x). (l x)m + I (m) = I () = ] e ( +i) d = + = ( )m m! ( + ) m+ ( )! ( + ) + m + I (m ) Par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, x x dx = = ( ) I () =! = ( + ) + Exercice 34 : [éocé] O a doc avec x x = e x l x ( ) (x l x) =! = dx x x = f ],] = f (x) = ( ) (x l x)! Les f so coiues par morceaux, f CS vers ue focio coiue par morceaux sur ], ]. Les f so iégrables e ( ) x (l x) f = dx! Or x (l x) dx = ε doc quad ε Aisi ],] ],] ],] ],[ [ ] + x+ (l x) x (l x) dx = + ε ],] x (l x) dx = ( ) Par suie f dx = e ( + ) + + ε x (l x) dx x (l x) dx x dx = ( )! ( + ) + f coverge Par le héorème d iégraio erme à erme de Fubii, o obie que l iégrale éudiée e défiie e puis le résula voulu. dx x x = = f (x) dx = = ( + ) + Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

29 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 9 Exercice 35 : [éocé] Par la série expoeielle, o peu écrire pour >, = exp( l ) = = ( l ) ( )! Pour procéder à ue iégraio erme à erme, posos u () = ( ) ( l ) /! pour ], ]. Les focios u so coiues par morceaux e la série de focios u coverge simpleme sur ], ] vers la focio elle-même coiue par morceaux. Les focios u so iégrables sur ], ] car o peu les prologer par coiuié e e u () d = ( ) u () d Par iégraio par paries ε [ ( l ) + d = (l ) + E passa à la limie quad ε, o obie E iéra le procédé o obie e aisi ] ( l ) d = + ε + ( l ) d = ( )! ( + ) + u () d = ε (l ) d ( ) ( + ) + = o (l ) d La série u éa covergee, o peu iégrer erme à erme e l o obie dx = ( + ) (+) = avec exisece de l iégrale e premier membre. Exercice 36 : [éocé] a) f p,k es défiie e coiue par morceaux sur ], ]. Quad x +, xf p,k (x) = x p+/ (l x) k doc f p,k (x) = o (/ x). Par suie f p,k es iégrable sur ], ]. b) Par iégraio par paries c) e doc d) x x = = K p,k = k p + K p,k K p,k = ( )k k! (p + ) k K p, = ( )k k! (p + ) k+ (x l x)! pour ou x ], ]. J = K, = ( )! ( + ) + Posos f : x! (x l x). Les focios f so coiues par morceaux e iégrables sur ], ]. La série f coverge simpleme sur ], ] e sa somme, qui es x x x, es coiue par morceaux sur ], ]. Efi ( ) f (x) dx = ( + ) + = o es erme gééral d ue série covergee. Par héorème d iégraio erme à erme, x x x es iégrable sur ], ] e I = Exercice 37 : [éocé] Pour x ], [, o a x x dx = = f (x) dx = (l x) p x = x (l x) p = = = = ( ) ( + ) + f (x) avec f (x) = x (l x) p sur ], [. Les focios f so coiues par morceaux e la somme = f l es aussi. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

30 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 3 Les focios f so iégrables sur ], [ e par iégraio par paries, f = ( ) p x (l x) p p! dx = ( + ) p+ Puisque la série f coverge, le héorème d iégraio erme à erme de Fubii doe (l x) p x dx = = f (x) dx =( ) p p! p+ = avec e subsace exisece de l iégrale e de la série ioduie. Par suie f dx = ( + ) + e il y a covergece de la série f Par le héorème d iégraio erme à erme, o obie que l iégrale ],] xx dx es défiie e x x ( ) dx = f (x) dx = ( + ) + puis le résula voulu. = = Exercice 38 : [éocé] Pour x >, doc avec x x = e x l x = x x dx = = (x l x)! f ],] = (x l x) f (x) =! Les focios f so coiues par morceaux, f coverge simpleme vers ue focio coiue par morceaux sur ], ]. Les focios f so iégrables e ( ) x (l x) f = dx! ],] Or x (l x) dx = ε doc quad ε Aisi ],] ],] ],[ [ ] + x+ (l x) x (l x) dx = + ε ],] x (l x) dx = ( ) ε x (l x) dx x (l x) dx x dx = ( )! ( + ) + Exercice 39 : [éocé] a) Sur [, [, la série de focio f coverge simpleme e sa somme es = f (x) = x x ( x x) = + x Cee focio somme es coiue par morceaux sur [, [. Les focio f so iégrables sur [, [ e f (x) dx = f (x) dx = u= x ( + )( + 3) Ce erme es sommable e l o peu doc iégrer erme à erme ce qui doe b) Aisi = = Exercice 4 : [éocé] Pour x [, π], o peu écrire f (x) dx = x + x dx ( + )( + 3) = x + x dx = 5 u= x 3 l e cos x = = cos x! Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

31 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 3 Posos f : x [, π] cos x! Les focios f so coiues e la série de focios f coverge ormaleme sur [, π] puisque ( ) f! = o O peu doc iégrer erme à erme pour obeir π e cos x dx = =! π Par iégraio par paries (cf. iégrale de Wallis) Sacha o obie e doc π π π (cos x) dx = (cos x) dx = π e π π (cos x) p dx = π (p)! p (p!) e π Exercice 4 : [éocé] e cos x dx = I = p= (cos x) dx (cos x) dx (cos x) dx = π (cos x) p+ dx = p (p)! (p)! p (p!) π = π (p!) π e iθ k= ( ) k k e ikθ dθ Par covergece ormale de la série de focios sous-jacee sur [, π] I = k= ( ) k k+ π e i(+k)θ dθ p= Or π e ipθ dθ = si p e π e ipθ dθ = π si p =. Par coséque I = ( ) π si e I = si > Exercice 4 : [éocé] Si a < alors π e i π e i a d = e i( ) π d = ae i Par covergece ormale de la série π e i e i a d = k= Si a > alors π e i e i a d = π a Exercice 43 : [éocé] Par sommaio géomérique Posos f : R + R défiie par π a k e i( (k+)) d = e i e i /a d = k= e a >, e b = = a k+ f () = e (a+b) k= a k e i( (k+)) d { πa si sio π e (a+b) e i(+k) d = { πa si sio Les focios f so coiues par morceaux, la série de focios f coverge simpleme sur ], [ e sa somme es coiue par morceaux puisque c es la focio e a e b Les focios f so iégrables sur ], [ e par iégraio par paries ( ) f = f = (a + b) = O [,[ Puisque la série f coverge, o peu appliquer le héorème d iégraio erme à erme de Fubii e o obie e a d = f e b = f [,[ = [,[ (a + b) = Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

32 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 3 Exercice 44 : [éocé] La covergece de l iégrale proposée es facile. E découpa l iégrale : e x/ + cos x dx = (k+)π e x/ k= kπ + cos x dx = k= e kπ/ π e x/ + cos x dx Das la somme proposée, le erme iégrale e déped de l idice sommaio doc ( e x/ ) + cos x dx = π e kπ/ k= Quad, e π e x/ + cos x dx = π e π/ e π/ π e x/ π + cos x dx dx + cos x par applicaio du héorème de covergece domiée. Par le chageme de variable = a x ispiré des règles de Bioche, Au fial π Exercice 45 : [éocé] a) O a u () = dx π/ + cos x = π/ dx + cos x = e x/ + cos dx x si (cos ) d = La série de erme gééral u () es divergee. b) Pour α, ], π/], (si ) α si d + = π [ ] π/ + cos+ = + e doc u (α) u (). O e dédui que la série de erme gééral u (α) es alors divergee. e x/ + cos x dx Pour α >. La série des u (α) es ue série à ermes posiifs e doc u k (α) = k= π/ u k (α) k= α (cos )+ (si ) d cos π/ (si ) α cos d avec l iégrale majorae qui es covergee puisque (si ) α cos α = quad + α Puisque la série à ermes posiifs u (α) a ses sommes parielles majorées, elle es covergee. c) Par ce qui précède, o peu iégrer erme à erme car il y a covergece de la série des iégrales des valeurs absolues des focios. O peu alors écrire π/ = Pour α = π/ Pour α = 3 π/ si α cos d = si cos d = si 3 cos d = π/ π/ π/ si α cos d + cos d = π + si ( + cos ) d = 3 Exercice 46 : [éocé] a) Par iégraio par paries o obie ue relaio de récurrece qui codui à x ( x) m dx =!m! ( + m + )! E posa u le erme gééral de la série éudiée, o observe u+ u 4 ce qui assure la covergece de la série. b) S = x ( x) dx. Par covergece de la série des iégrales des = valeurs absolues, o peu permuer e obeir S = xdx x( x) = π 3 3 Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

33 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 33 Puisque o observe ( ) + + = ( ) 4 ( ) ( ) = ( ) ( ) E somma pour alla de à, o obie ( 4 S ) ( S ) = S puis S = + S 3 c) O muliplie la relaio ( ) par ( + ) p e o développe le ( + ) p du secod membre e e somma comme ci-dessus, o saura exprimer 3S p e focio des S q avec q < p. Exercice 47 : [éocé] a) f : x x ( +x ) es défiie, coiue sur [, [ e f(x) x x f(x)dx es défiie. b) a x a ( + x ) dx = a + x dx x ( + x ) dx e doc a x ( + x ) dx = [ x + x a Par suie f(x)dx = La série = ] a + x ( + x ) dx = a + a lim a a a f(x)dx = + x dx x ( +x ) dx es covergee e de somme ulle. doc c) Pour x [, a], x ( + x ) + a 4 e doc suie = = + a 4 < x ( +x ) coverge ormaleme, e doc uiforméme sur [, a]. Par a = x ( + x ) dx = = a x ( + x ) dx = a + a d) La focio x a x +a es décroissae e iégrable sur [, [ doc par comparaiso série-iégrale Or e doc e) Ci-dessus : doc l iégrale a x + a dx = a + a = a x + a dx a [arca x + a dx = x ] = π a arca a a [arca x + a dx = x ] = π a lim a = a lim a = = a + a = π x ( + x ) dx = π x ( + x ) dx es covergee e vau π/. Le résula diffère de celui obeu e b). Il es doc faux ici de permuer somme e iégrale. Docume7 Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

34 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 34 Exercice 48 : [éocé] a) a + /a /e <. b) Posos I = e α d Par iégraio par paries, o obie I =! α + c) O a e la série = a = a = = d où e d e d e d = a coverge doc o peu iégrer erme à erme e o obie avec d où la coclusio. = a = ( e ) e = = = = e d e = e e Exercice 49 : [éocé] a) Posos u () = /( + ) sur ], ]. La suie de focios (u ) coverge simpleme vers la focio u :. Les focios u e la focio u so coiue par morceaux. Efi ], ], u () = ϕ() avec ϕ : ], ] R + iégrable. Par covergece domiée b) O a I = l I = u () d + d = u () d = = l + d Par iégraio par paries, Puisque l I = l o peu affirmer l I l. c) Pour y ], [, l( + )d l( + y) y = k= l( + ) d d = + ( ) k y k k + Par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, l( + y) y dy = k= ( ) k (k + ) Sas peie, ( ) k (k+) = π sacha = π 6. k= = d) Par le chageme de variable C sriceme croissa y = l( + ) d = l( + y) dy y Par covergece domiée (domiaio par sa limie simple), Aisi, puis Exercice 5 : [éocé] a) O a I = l( + y) dy y l( + y) y l I = l ( ) π + o I = l ( ) + π + o + d dy = π d = + Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

35 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 35 doc I l =. b) Par iégraio par paries Or doc b) O a I = l + l( + ) d I = l l( + ) = k= + o l( + ) d d ( ) ( ) k Par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, o obie la relaio proposée. c) O a avec doc avec car o sai Fialeme k= ( ) k k(k + ) k= k= ( ) k k (k + ) l( + ) d k= k k ( ) k k = k= ( ) k k= k k= k= k = π 6 = π k ( ) k k I = l ( ) + π + o ( ) k k (k + ) Exercice 5 : [éocé] a) Par la règle de d Alember la série coverge pour ou (s, λ) R + C. λ : ]; [. b) ( ) F λ (s) = λ + s (s + )... (s + ) Or doc F λ (s) s. c) Puisque + = = λ (s + )... (s + ) = λ (s + )... (s + ) λ! λ! = e λ il y a coverge ormale sur R + de la série des focios coiues s. Ceci perme d affirmer e doc λ (s+)...(s+) + = λ (s + )... (s + ) λ s! = eλ = e F λ (s) λ s + s d) Par iégraios par paries successives : e) ( y) s y dy = F λ (s) = = λ!! s(s + )... (s + ) ( y) s y dy Par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, o peu échager somme e iégrale : F λ (s) = e λy ( y) s dy Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

36 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 36 Exercice 5 : [éocé] La série a p p p! es covergee car a p p p! (a p ) p! De plus sa somme es coiue car o peu aiséme éablir la covergece ormale sur ou segme. Efi p a p p! (a ) e p= perme d assurer l exisece de l iégrale éudiée. Posos f p () = a p p p! e La série de focio f p covergece simpleme. Les focios f p e f p so coiues par morceaux. p= Les focios f p so iégrables sur [, [ e f p () d = a ( ) p p+ = O p+ es erme géérale d ue série covergee. Par le héorème d iégraio erme à erme de Fubii, o obie ( ) e p a p a p d = p! p+ p= Efi, cee expressio ed vers e a que rese d ue série covergee. Exercice 53 : [éocé] O sai que la focio ζ es coiue. (ζ(x) ) dx = avec p= dx x = l = x dx La covergece de la série des iégrales des valeurs absolues assure la covergece de l iégrale du premier membre e perme de permuer iégrale e somme. O obie alors Exercice 54 : [éocé] a) Posos (ζ(x) ) dx = f (x) = = l ( ( π )) cos si x Les focios f so coiues par morceaux e la suie de focios (f ) coverge simpleme vers la focio ulle sur [, π/[, elle-même coiue par morceaux. Efi, o a la domiaio f (x) = ϕ(x) avec ϕ évidemme iégrable sur [, π/[. Par covergece domiée, o obie u b) Par l absurde, si u coverge alors, o peu appliquer u héorème d iégraio erme à erme à la série de focios f. E effe, les focios f so coiues par morceaux, la série de focios f coverge simpleme sur [, π/[ vers la focio f : x cos ( π si x) elle-même coiue par morceaux. Efi les focios f so iégrables sur [, π/[ e l hypohèse de ravail absurde sigifie la covergece de la série [,π/[ f. Par héorème d iégraio erme à erme, o obie = u = π/ cos ( π dx si x) avec covergece de l iégrale. Or, quad x + cos ( 8 π si x) π x e doc l iégrale iroduie diverge. C es absurde. O e dédui que la série u diverge. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

37 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 37 Exercice 55 : [éocé] O a u v = π/ e cos d. Si la série umérique u coverge alors, par comparaiso de série à ermes posiifs, la série v coverge aussi. Par le héorème d iégraio erme à erme de Fubii, il y a alors iégrabilié sur ], π/] de la focio = e cos = e cos = e si Or quad + e si qui es pas iégrable sur ], π/]. C es absurde, o e coclu que la série u diverge. doc O e dédui I + () = I () I + () = ()! π (!) car I () = π/. Noos que par le chageme de variable = a u, o pouvai aussi rasformer I () e ue iégrale de Wallis. Exercice 57 : [éocé] a) Posos f () = /( + 3 ) défiie sur [, ]. Les focios f so coiues par morceaux e la suie (f ) coverge simpleme sur ], ] vers la focio ulle, elle-même coiue par morceaux. De plus Exercice 56 : [éocé] a) La focio (+ x ) es défiie e coiue par morceaux sur ], [. Cas x < : (+ x ) doc la focio es pas iégrable. Cas x = : (+ x ). Même coclusio. Cas x > : Quad +, (+ x ) e quad, (+ x ) x iégrable sur ], [ si, e seuleme si, x >. b) Pour >, o remarque que = ( + x ) = x doc la focio es Par l absurde, si I (x)coverge, o peu appliquer u héorème d ierversio somme e iégrale assura que es iégrable sur ], [. C es absurde. x O coclu que I (x) diverge. Par iégraio par paries avec deux covergeces I () = Or [ d ( + ) = ( + ) ] I () I + () = + ( + d = ) + d ( + ) + ( + ) + d, ], ], f () ϕ() avec ϕ : /( + 3 ) iégrable sur ], ]. Par applicaio du héorème de covergece domiée, o obie u b) Les focios f so coiues par morceaux e la série de focios f coverge simpleme sur ], ] vers la focio S coiue par morceaux doée par S() = ( + 3 ) = = = Si, par l absurde, la série u coverge, o es das la siuaio où la série de erme gééral ],] f () d coverge e l o peu appliquer u héorème d iégraio erme à erme affirma : S es iégrable sur ], ] e ],] S() d = = Or ceci es absurde car la focio S es pas iégrable sur ], ]! O e dédui que la série u diverge. f () d Exercice 58 : [éocé] a) Posos u () = /( + 3 ) défiie sur ], [. Les focios u so coiues par morceaux e la suie (u ) coverge simpleme vers la focio ulle sur ], [, elle-même coiue par morceaux. De plus, ], [, u () ϕ() Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

38 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 38 avec ϕ : /( + 3 ) iégrable sur [, [ e doc aussi sur ], [. Par applicaio du héorème de covergece domiée sur ], ] e sur [, [, o obie U e V b) Les focios u so coiues par morceaux e la série de focios u coverge simpleme sur ], ] vers la focio U coiue par morceaux doée par U() = ( + 3 ) = + 3 = = Si, par l absurde, la série U coverge, o es das la siuaio où la série de erme gééral ],] u () d coverge e l o peu appliquer u héorème d iégraio erme à erme affirma : U es iégrable sur ], ] e ],] U() d = = Or ceci es absurde car la focio U es pas iégrable sur ], ]! O e dédui que la série U diverge. E revache, la série V es à ermes posiifs e V k k= k= ( + 3 ) d d 3 = u () d Les sommes parielles de la série à ermes posiifs V éa majorées, o peu affirmer que la série V coverge. Exercice 59 : [éocé] a) Quad x +, f (x) x x doc α = es l uique valeur pour laquelle f es coiue e. b) f es coiue sur [, [ e quad x, f (x) ex e doc f x es borée sur R +. O peu evisager ue argumeaio plus déaillée : - puisque f coverge e, il exise A el que f es borée sur [A, [ ; - puisque f es coiue, f es borée sur [, A] ; - e fialeme f es borée sur la réuio de ces deux iervalles par la plus grade des deux bores. c) f es défiie e coiue sur [, [ e quad x, x f (x) x e ( )x doc f (x) = o ( /x ) e doc f es iégrable sur [, [. d) Pour x >, shx e x = shx e kx = k= k= (e (k )x e (k+)x) e (k )x e (k+)x dx = k ( ) k + = k = O k Par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, o peu sommer erme à erme e affirmer shx e x dx = k= Pour =, la somme es facile à calculer. ( e (k )x e (k+)x) dx = k k + Exercice 6 : [éocé] a) Par covergece domiée I. b) Par iégraio par paries avec covergece du croche [ I = ( + 3 ) avec ] k= ( + 3 ) d 3 ( + 3 ) d = I I + O e dédui la relaio demadée. c) La suie (u ) a la aure de la série de erme gééral v = u + u. Or ( v = α l + ) ( + l ) = α /3 ( ) + O 3 La série de erme gééral v coverge si, e seuleme si, α = /3. d) Puisque l ( /3 I ) l, o obie e doc Par suie I coverge. I el 3 ( ) I = O 4/3 Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

39 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 39 O a = I = = f () d avec f () = ( + 3 ) Les focios f so coiues par morceaux sur ], [, la série f coverge simpleme sur ], [ e sa somme = f = = ( ( + 3 ) = l ) + 3 es coiue par morceaux. Efi, la série de erme gééral f coverge. O peu doc permuer somme e iégrale pour obeir = I = ( l ) + 3 d = π 3 la derière iégrale éa calculer par iégraio par paries puis Exercice 6 : [éocé] O a avec f () = ( ) a sur ], [. d + 3 = π a = ( ) a = = f () d = = a + f () e a+ diverge, le héorème d iégraio erme à erme de Fubii e s applique pas. De plus la série de focios e coverge par uiforméme sur [, ] car elle e coverge pas simpleme e... Trasios alors par les sommes parielles e le héorème de covergece domiée. Posos S : ( ) k ka = ( )+ (+)a + a k= Les focios S so coiues par morceaux e la suie (S ) coverge simpleme sur [, [ vers la focio elle-même coiue par morceaux. De plus S : + a S () + a = ϕ() avec ϕ iégrable sur [, [. Par le héorème de covergece domiée, o obie Or doc S () d = = S () d k= d + a ( ) k ka d = ( ) a + = d + a avec, e subsace, la covergece de la série iroduie. Exercice 6 : [éocé] Noos que l iégrale éudiée es bie défiie. Pour ou x ], [, x α + x = ( ) x +α = k= ( ) k ka + Le héorème d iégraio erme à erme e pourra pas s appliquer car ici f = ],[ + α diverge Nous allos alors iégrer erme à erme e exploia les sommes parielles. Posos S : x ( ) k x k+α = x α ( )+ x + + x k= Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

40 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 4 Les focios S so coiues par morceaux e coverge simpleme sur ], [ vers la focio S : x xα + x elle-même coiue par morceaux. De plus S (x) xα + x = ϕ(x) avec ϕ focio iégrable sur ], [. Par le héorème de covergece domiée, o obie Or S (x) dx = e o peu doc coclure = S (x) dx k= x α + x dx ( ) k x k+α dx = ( ) + α = x α + x dx avec e subsace la covergece de la série iroduie. Exercice 63 : [éocé] a) Pour ], [, o peu écrire Posos S : k= a + b = = ( ) a+b k= ( ) k k + α ( ) k a+kb = a ( )+ (+)b + b Les focios S so coiues par morceaux e la suie (S ) coverge simpleme sur ], [ vers la focio elle-même coiue par morceaux. S : a + b De plus S () a + b = ϕ() avec ϕ iégrable sur ], [. Par covergece domiée, o obie S () d a + b d avec covergece de l iégrale iroduie. Or S () d = ( ) k a+kb = doc = = k= ( ) a + b = a + b d k= avec covergece de la série iroduie.. b) Après calculs ( ) 3 + = d + 3 = 3 l + π 3 3 Exercice 64 : [éocé] Soi f : [, [ R la focio défiie par f () = ( ) + ( ) k a + kb O observe f = / e doc la série des focios f coverge ormaleme, doc uiforméme sur [, [. Puisque chaque f es coiue, o peu affirmer que la focio ( ) S : + = es défiie e coiue sur [, [. Les focios f so iégrables sur R + e f () d = π d + = π Puisque la série f diverge, o e peu iégrer erme à erme par le héorème de Fubii. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

41 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 4 Raisoos alors par les sommes parielles e exploia le héorème de covergece domiée. Posos ( ) k S : k + k= Les focios S so coiues par morceaux sur [, [ e coverge simpleme vers la focio S elle-même coiue par morceaux. De plus, le crière spécial des séries alerées s appliqua, o a S () + = ϕ() avec ϕ iégrable sur [, [. Par le héorème de covergece domiée, o obie Or S () d = S () d k= doc π ( ) = = avec covergece de la série iroduie. Exercice 65 : [éocé] Posos = ( ) + ( ) + d = π = f : x ( ) e ax ( ) + d ( ) Les focios f so coiues e e veru du crière spécial des séries alerées, o peu affirmer que la série f coverge simpleme sur ], [. De plus, par le crière spécial des séries alerées, o a R (x) = ( ) k e a kx e a+x k=+ ce qui perme d éablir que la série f coverge uiforméme sur ou segme de ], [. O e dédui que la focio S : x = ( ) e ax k= d es défiie e coiue sur ], [. Pour iégrer erme à erme, ous allos exploier les sommes parielles e le héorème de covergece domiée. Posos S : x ( ) k e a kx Les focios S so coiues par morceaux e la suie (S ) coverge simpleme vers S elle-même coiue par morceaux. E veru du crière spécial des séries alerées, o a avec ϕ iégrable. Par covergece domiée, o obie k= S (x) S (x) = e ax = ϕ(x) S (x) dx S(x) dx avec covergece de l iégrale iroduie. Or S (x) dx = ( ) k e akx dx = doc = k= ( ) = a = avec e subsace covergece de la série écrie. ( ) e ax dx ( ) k Exercice 66 : [éocé] a) La focio x + es défiie e coiue par morceaux sur ], ]. Quad +, x + x = avec x < x doc x + es iégrable sur ], ]. b) Posos g(x, ) = x + sur ], [ ], ]. g(x, ) es coiue par morceaux sur ], ], x g(x, ) es coiue sur ], [. Soi [a, b] R +, k= (x, ) [a, b] ], ], g(x, ) a + a = ϕ a () a k Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

42 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 4 avec ϕ a iégrable sur ], ]. Par domiaio sur ou segme de ], [, o peu affirmer que f es coiue sur ], [. c) Pour x > f(x) + f(x + ) = x d = x d) Quad x +, f(x + ) f() doc f(x + ) = o(/x) puis f(x) /x. Quad x, doc f(x) x. f(x) Exercice 67 : [éocé] a) Posos f : [, [ [, [ R défiie par f(x, ) = x d = x e + x Pour chaque x [, [, la focio f(x, ) es coiue par morceaux sur [, [ e iégrable car f(x, ) O e dédui la covergece de l iégrale impropre défiissa F (x). b) Pour chaque [, [, la focio x f(x, ) es idéfiime dérivable e f (x, ) = ( )! ( + x) + e La focio x f (x, ) es coiue, la focio f (x, ) es coiue par morceaux e (x, ) [, [ [, [, f (x, )! e = ϕ () avec ϕ : [, [ R coiue par morceaux e iégrable. Par domiaio, o peu alors affirmer que F es de classe C sur [, [ e c) E pariculier N, x [, [, F () (x) = ( )! F () () = ( ) (!) e d Exercice 68 : [éocé] Cosidéros f : (x, ) e x + défiie sur ], [ [, [ Pour ou x ], [, f(x, ) es coiue par morceaux sur [, [ e iégrable car f(x, ) + Pour [, [, la focio x f(x, ) es de classe C sur ], [ e e x (x, y) = + e f e x (x, ) = + Pour ou x ], [, la focios (x, ) es coiue par morceaux e iégrable. La focio f es coiue e x, coiue par morceaux e. Soi [a, b] ], [. Sur[a, [ [, [, o a f (x, ) e a avec ϕ : e a coiue par morceaux e iégrable sur [, [. Par domiaio sur ou compac, la focio F es de classe C sur R + e F (x) + F (x) = Efi F car f(x) Exercice 69 : [éocé] e x + d + e x + d e x + d = e x d = x x e x d = x a) g : (x, ) e x + es défiie coiue e x e coiue par morceaux e sur R + [, [ avec g(x, ) + = ϕ() e ϕ iégrable sur [, [. Par domiaio, o peu affirmer que f es défiie e coiue sur R +. b) g exise e es coiue e x e coiue par morceaux e sur R+ [, [. Pour x [a, b] R + o a g (x, ) = + e x = ψ() e a Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

43 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 43 avec ψ iégrable sur R +. Par domiaio sur ou segme de R +, o peu affirmer que f es de classe C sur ], [ avec f e x (x) = + d Efi, f(x) f (x) = e x d = u= x e u du = x Exercice 7 : [éocé] a) + es iégrable sur R + doc g() exise. 3 u /u es ue bijecio C ere R + e R +. O peu réaliser le chageme de variable = /u qui doe Doc puis g() = d + 3 = udu + u 3 π x [ d + = 3 arca ] = 4π g() = π 3 3 b) La focio g es paire. Pour x x, o a pour ou, e x e x doc g es décroissae sur R +. c) Pour x >, doc lim g(x) =. x Exercice 7 : [éocé] a) Posos g(x) g(x, ) = e x d = x + x Pour ou x R +, la focio g(x, ) es défiie, coiue sur R + e g(x, ) / 3 doc f(x) exise. b) u /u es u C difféomorphisme ere R + e R +. O peu réaliser le chageme de variable = /u qui doe Doc puis f() = d + 3 = udu + u 3 [ d + = 3 arca ] = 4π f() = π 3 3 c) x g(x, ) es coiue sur R +, g(x, ) es coiue par morceaux sur [, [ avec g(x, ) + 3 = ϕ() e ϕ iégrable sur [, [ doc f es coiue. Si x y alors [, [, g(y, ) g(x, ) doc f(y) f(x). Aisi f es décroissae. Rq : O peu aussi morer f de classe C mais cela alourdi la démosraio d) f ed vers e car f(x) d du = x =xu x + u 3 x Exercice 7 : [éocé] a) Posos u : R [, π] R la focio défiie par u(x, θ) = cos(x si θ) La focio u adme des dérivées parielles u (x, θ) = si θ si(x si θ) e u (x, θ) = si θ cos(x si θ) Pour chaque x R, θ u(x, θ) e θ u (x, θ) so coiues par morceaux sur [, π] doc iégrable. De plus u es coiue e x e coiue par morceaux e θe x R, θ [, π], u (x, θ) = ϕ(θ) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

44 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 44 L applicaio ϕ éa iégrable sur [, π], o peu affirmer par domiaio sur ou segme que la focio f es de classe C avec f (x) = π b) O remarque e doc π si θ cos(x si θ) dθ e f (x) = π f (x) = π π x(f (x) + f(x)) = π π (cos θ ) cos(x si θ) dθ π Par iégraio par paries, o obie cos θ. (x cos θ cos(x si θ)) dθ x(f (x) + f(x)) = f (x) si θ cos(x si θ) dθ O e dédui que f es soluio de l équaio différeielle liéaire d ordre c) Pour ou x R, o peu écrire f(x) = π xy (x) + y (x) + xy(x) = π = ( ) ()! (si θ) x dθ Puisque la série x ()! es covergee, u argume de covergece ormale perme ue iégraio erme à erme e doc f(x) = = a x avec a = ( ) ()!π π (si θ) dθ d) Nous pourrios calculer l iégrale défiissa a car c es ue iégrale de Wallis, mais puisqu o ous demade d exploier l équaio différeielle... Pour ou x R, par dérivaio d ue série eière f (x) = = ( + )a + x + e f (x) = = L équaio xf (x) + f (x) + xf(x) = doe alors = ( ( + ) a + + a ) x + = ( + )( + )a + x Par uicié des coefficies d u développeme e série eière de rayo de covergece >, o obie Sacha a =, o coclu ( + ) a + + a = a = ( ) (!) Exercice 73 : [éocé] a) Iroduisos g(x, ) = cos +x défiie sur R+ [, π/]. La focio g es coiue e x e coiue par morceaux e. Pour [a, b] R +, o a (x, ) [a, b] [, π/], g(x, ) + a = ϕ() La focio ϕ es iégrable sur [, π/]. Par domiaio sur ou segme, o peu affirmer que f es coiue sur R +. Aussi, pour < x x, o a [, π/], g(x, ) g(x, ) E iégra, o obie f(x ) f(x). La focio f es doc décroissae. O aurai pu aussi éablir que f es de classe C e éudier le sige de sa dérivée. b) Quad x, π/ f(x) x + d Quad x + c) doc O sai : f(x) π/4 cos + x d x + π/4 [l( + x)]π/4 = l x x + π/ π/ cos d f(x) x f(x) x x π/ π/, cos cos d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

45 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 45 doc π/ Or π/ e doc d + x π/ π/ d π/ + x f(x) d x + π/ = l l x + x x d + x π/ f(x) x l x d = C = o(l x) d + x Exercice 74 : [éocé] a) La focio (si ) x es défiie, coiue e posiive sur ], π/]. Quad +, (si ) x x avec x > doc (si ) x es iégrable sur ], π/]. Aisi f es défiie e posiive sur ], [ b) La focio g (x, ) = l(si )(si )x es défiie, coiue e x e coiue par morceaux e. Soi [a, b] ], [. Sur [a, b] ], π/] g (x, ) l(si )(si )a = ϕ() avec ϕ es iégrable sur ], π/] car pour α el que a < α <, α ϕ() a+α l() Par domiaio sur ou segme, f es de classe C sur ], [ e f (x) = π/ Aisi la focio f es décroissae. c) E iégra par paries f(x+) = π/ l(si )(si ) x d [ ] (si ) (si ) x ( cos x+ π/ )d = f(x) cos x + x + f(x+) e doc d) O a e doc par récurrece f(x + ) = x + x + f(x) ϕ(x + ) = (x + )f(x + )f(x) = xf(x )f(x) = ϕ(x) e) ϕ es coiue e quad x, Or quad x, doc quad x, ϕ() = f()f() = π/ N, ϕ() = π/ ϕ(x) = ϕ( + x) ϕ() = π/ f(x) = f(x) f() = π/ ϕ(x + ) (x + )f(x + ) x + Rq : E fai o peu morer que ϕ es ue focio cosae. Exercice 75 : [éocé] a) Posos u(x, ) = (si ) x défiie sur R ], π/]. Pour ou x R, u(x, ) es coiue par morceaux sur ], π/]. O a u(x, ) + x doc u(x, ) es iégrable sur ], π/] si, e seuleme si, x >. De plus, la focio u(x, ) es posiive e doc la covergece de l iégrale équivau à l iégrabilié de la focio. E coclusio, l iégrale exise si, e seuleme si, x >. b) u adme ue dérivée parielle u (x, ) = l(si )(si )x Celle-ci es coiue e x e coiue par morceaux e. Pour [a, b] ], [, o a (x, ) [a, b] ], π/], u (x, ) l(si ) (si )a = ϕ() Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

46 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 46 La focio ϕ es iégrable car ϕ() l a = o ( α ) avec α ], a[ + Par domiaio sur ou segme, o obie f de classe C avec c) Posos f (x) = Ue iégraio par paries avec doe π/ O e dédui π/ l(si )(si ) x d ϕ(x) = (x + )f(x)f(x + ) u () = si e v() = (si ) x ( π/ (si ) x d = (x ) (si ) x d ϕ(x + ) = ϕ(x) Moros que cee focio es e fai cosae. Soi a ], [. Pour ou N, ϕ(a + ) = ϕ(a). E posa p = a, la décroissace de f doe Or e doc π/ ϕ(a) = ϕ(a + ) (a + + )f(p + )f(p + + ) (p + + )f(p + )f(p + + ) = ϕ(p + ) = ϕ() (si ) x d (a + + )f(p + )f(p + + ) = a + + ϕ() p + + ϕ() De faço semblable, ϕ(a) peu êre miorée par ue suie de limie ϕ(). O peu doc affirmer que ϕ es cosae. Exercice 76 : [éocé] Eudios la focio doée par f(x) = arca(x/) + ) Noos u(x, ) = arca(x/) + défiie sur R + ], [ u(x, ) es coiue par morceaux sur], [ pour chaque x R + x u(x, ) es coiue sur R + pour chaque ], [ e u(x, ) π/ + = ϕ() avec ϕ focio iégrable sur ], [. O e dédui que la focio f es défiie e coiue sur R +. x u(x, ) es dérivable sur R + pour chaque ], [ e u (x, ) = ( + x )( + ) x u (x, ) es coiue sur R+ pour chaque ], [ u (x, ) es coiue par morceaux sur ], [ pour chaque x R+ e u (x, ) = x ( + ) car x x +. Soi [a, b] ], [ (x, ) [a, b] ], [, u (x, ) = a ( + ) = ψ() avec ψ focio iégrable. Par domiaio sur ou segme, o obie f de classe C sur ], [ avec f (x) = ( + x )( + ) d Pour x, o peu décomposer la fracio raioelle défiissa l iégrade e o obie alors ( + )(x + ) = (x )( + ) (x )(x + ) f (x) = x [ ( )] + l x + = l x (x ) Cee ideié se prologe e x = par u argume de coiuié. O a alors x l x l ( d = lim ) ε ε ( d = lim f(x) f(ε) ) ε Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

47 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 47 Or f() = e par coiuié o parvie à x l ( d = f(x) ) Exercice 77 : [éocé] a) Pour a >, o oe Ω a = {z C/Re(z) a}. z z + es coiue par morceaux sur ], ], z + es coiue sur Ω e pour z Ω a, z + a + = ϕ() avec ϕ iégrable sur ], ] car ϕ() a quad +. Par domiaio, o peu affirmer que f es défiie e coiue sur Ω a. Ceci vala pour ou a >, o peu ecore affirmer que f es défiie e coiue sur Ω. b) O observe f(x) + f(x + ) = x d = x + e par coiuié doc c) Par iégraio par paries Or avec f(x + ) x f() f(x) x x + (z + )f(z) = + z+ ( + ) d z+ ( + ) d z+ d z+ = exp((z + ) l = exp ((Re(z) + ) l ) = Re(z)+ car les expoeielles imagiaires so de module. O a alors z+ ( + ) d Re(z)+ d = Re(z) + Re(z) Aisi puis (z + )f(z) Re(z) f(z) Re(z) Exercice 78 : [éocé] a) Pour x R, si(x) e es coiue par morceaux sur ], [, ( ) si(x) e = si(x) O() e = e o doc f(x) es bie défiie pour ou x R. b) Posos g(x, ) = si(x) e. g adme ue dérivée parielle g avec z g (x, ) = e cos(x) x g g (x, ) es coiue sur R, (x, ) es coiue par morceaux sur ], [. Efi g (x, ) e = ϕ() avec ϕ iégrable sur ], [. Par domiaio, o peu affirmer que f es de classe C, a foriori coiue e dérivable. c) La décomposiio e = e perme d écrire f() = = = Par la majoraio si(u) u, o obie si()e d si()e e d = La série [,[ si()e d coverge, o peu iégrer erme à erme f() = = si()e d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

48 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 48 O calcule l iégrale sommée e cosidéra la parie imagiaire de O obie à erme f() = e i e d = Exercice 79 : [éocé] La focio f es bie défiie sur ], [ e Posos défiie sur ], [ [, [. u adme deux dérivées parielles xf(x) = π + u(x, ) = e x + e x + d u (x, ) = + e x e u (x, ) = + e x Pour chaque x >, les focios u e u so iégrables e pour ou [a, b] ], [, o a la domiaio u (x, ) e a = ϕ() avec ϕ iégrable. O e dédui que la focio x e x + d es défiie e de classe C sur ], [. Il e es de même pour f par opéraios sur de elles focios. Quad x, e x + d doc xf(x) π puis π f(x) x + x e x d = x Eudios maiea f(x) quad x +. Par le chageme de variable u = x, avec f(x) = Par iégraio par paries, f(x) = Pour x ], ], e la focio e u x + u du = u e u x + u du u ϕ : u e u u [ ] l(x + u )ϕ(u) l(x + u ) l(u ) + l( + u ) u ( l(u ) + l( + u ) ) ϕ (u) l(x + u )ϕ (u) du es iégrable sur ], [ car ϕ peu êre prologée par coiuié e e O e dédui ϕ (u) u e u u f(x) = l x + O() l x x + Exercice 8 : [éocé] a) Par le chageme de variable = ux (bijecio de classe C ) o obie f(x) = Posos g : ], [ ], [ R défiie par g(x, u) = du + x u u + x u u La focio g es coiue sur ], [ ], [ e g(x, u) u = ϕ(u) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

49 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 49 avec ϕ iégrable sur ], [. O e dédui que f es défiie e coiue sur ], [. b) Quad x + g(x, u) = Par la domiaio précédee De même, o obie Exercice 8 : [éocé] a) Puisque f(x) x + + x u u u f(x) x cos du u = [arcsi u] = π du = quad + o peu affirmer, par équivalece de focios posiives, que l iégrale diverge e. O peu alors coclure que f es défiie sur ], [ (car l iégrale sur u segme d ue focio coiue coverge) mais e peu pas êre défiie sur u domaie plus grad. b) Posos x si g(x) = d Cee fois-ci si quad + e doc la focio g es défiie e coiue e. Puisque o peu coclure Aussi f(x) = x f(x) + g(x) = x d = l x f(x) l x quad x + + cos() d = l x + x cos() d Comme la ouvelle iégrale coverge e (cela s obie par ue iégraio par paries) o coclu f(x) l x quad x Exercice 8 : [éocé] a) Pour que la racie carrée soi défiie pour ], [, il es écessaire que x [, ]. Pour x ], [, l iégrale défiissa f coverge par les argumes d iégrabilié suiva ( )( x ) + e Pour x = ±, l iégrale défiissa f diverge car ( )( x ) ( )( ) + C e L esemble de défiiio de f es doc ], [. b) Sur [, [, la focio f es croissae e adme doc ue limie e. Par l absurde, si celle-ci es fiie égale à l R alors a [, [, a d ( )( x ) l Par iégraio sur u segme, la focio de x déermiée par le premier membre es coiue e x =, o e dédui a d ( ) l Or ceci es absurde car par o iégrabilié d ue focio posiive a d ( ) a Exercice 83 : [éocé] a) La focio x /x α ( + x) es défiie e coiue par morceaux sur ], [ avec x α ( + x) x + x α e x α ( + x) x x α+ Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

50 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 5 Cee focio es doc iégrable si, e seuleme si, α ], [. La focio iégrée éa de surcroî posiive, l iégrale défiissa f(α) coverge si, e seuleme si, α ], [. b) O a Or e pour α / O a doc f(α) f(α) = dx x α+ = dx x α ( + x) dx x α+ ( + x) dx x( + x) = C dx x α ( + x) dx = C x( + x) dx x α+ ( + x) dx x α+ + O() = α + O() α c) Par le chageme de variable C bijecif x = /, o obie f(α) = f( α) d où la symérie affirmée. d) Posos u(α, x) = x α ( + x) Pour chaque x ], [, la focio α u(α, x) es coiue e pour chaque α ], [ la focio x u(α, x) es coiue par morceaux. Efi pour α [a, b] ], [ (avec a > ), o a e Aisi u(x, α) u(x, α) x a ( + x) x b ( + x) si x [, [ si x ], ] u(x, α) ϕ a,b (x) pour x ], [ e posa ϕ a (x) = u(a, x) + u(b, x) qui es iégrable. Par domiaio sur ou segme, o peu affirmer que f es coiue sur ], [. e) Par le chageme de variable x = /, o peu écrire dx x α ( + x) = d α ( + ) e alors f(α) = x α + x α x( + x) dx O vérifie que pour x, la focio α x α + x α es décroissae sur ], /] puis croissae sur [/, [. La focio f a doc la même moooie e so miimum es doc d f(/) = = π ( + ) via le chageme de variable u =. Exercice 84 : [éocé] a) Posos f(x, ) = l +x. f es défiie e coiue sur ], [ ], ]. Pour x >, f(x, ) x l doc f(x, ) puis f(x, ) es + iégrable sur ], ]. Aisi F es défiie sur ], [. f adme ue dérivée parielle Soi [a, b] ], [. Pour x [a, b], (x, ) + coiue avec l a = ϕ() (x, ) = l (+x). avec ϕ iégrable sur ], ]. Par domiaio sur ou segme, o peu affirmer que F es de classe C e F (x) = b) Par iégraio par paries, [ ( F (x) = l + x )] x l ( + x) d ( + x ) d x où la primiive de +x es choisie de sore de s auler e pour que l iégraio par paries présee deux covergeces. Aisi F d l(x + ) l x (x) = = ( + x) x Par opéraios G (x) = l(x + ) l x x l( + /x) + l x x = x l x Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

51 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 5 puis Or G() = F () avec F () = G(x) = G() (l x) l + d = k= ( ) k k l() d Or k l() d = (k+) doc par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, F () = ( ). Sacha = π π 6, o obie F () = = = puis G(x) = (l x) π 6 c) Par décomposiio e élémes simples La même echique e s applique par pour l éude e. O va alors rasformer l écriure de l iégrale. Par iégraio par paries g(x) = [ cos() ] x x cos() x + (x + ) d Le erme ere croche ed vers quad x e le erme iégrale aussi car x cos() (x + ) d x d x = x Aisi g(x) x Doc ( + )( + chθ + ) = chθ + chθ ( + chθ) + chθ + l + + ch(θ) + d = chθ (F () G(eθ )) = θ 4(ch(θ) ) Exercice 85 : [éocé] a) Par le chageme de variable = xu, g(x) = x si + x d = si(xu) + u du L applicaio f : (x, u) si(xu) +u es défiie e coiue sur ], [ [, ] e f(x, u) = ϕ(u) avec ϕ iégrable sur [, ]. Par domiaio, o peu coclure que g es défiie e coiue sur ], [. b) Puisque u [, ], si(xu) + u x + o peu affirmer, oujours par domiaio, que g(x) x + du = Exercice 86 : [éocé] Cosidéros f : (x, ) e x + défiie sur ], [ [, [ Pour [, [, la focio x f(x, ) es fois dérivable sur ], [ f adme ue dérivée parielle e x (x, ) = + Pour ou x ], [, f(x, ) es coiue par morceaux e iégrable sur [, [ car f(x, ) De plus x ], [, (x, ) es coiue par morceaux. [, [, x (x, ) es coiue. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd