Intégrales dépendant d un paramètre

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Intégrales dépendant d un paramètre"

Transcription

1 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4 a x dx b) v = dx x + e x Exercice [ 38 ] [correcio] Eudier la limie éveuelle, quad ed vers, de la suie Exercice 6 [ 97 ] [correcio] Eablir que ( ) + d Exercice 7 [ 568 ] [correcio] Morer que es défiie pour. Calculer u = ( ) d ( + 3 ) d lim ( + 3 ) E déduire la aure de la série de erme gééral u. e d I = x dx + x+ Exercice 3 [ 746 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : Exercice 8 [ 394 ] [correcio] Morer lim e x dx = e x x dx a) u = si x x dx x dx b) u = x + + Exercice 4 [ 77 ] [correcio] Vérifier que la suie de erme gééral u = es bie défiie e éudier sa covergece. Exercice 5 [ 96 ] [correcio] Calculer lim si() + d e si () d c) u = x dx x + Exercice 9 [ 387 ] [correcio] Morer que la focio f doée par f (x) = l( + x/) x( + x ) es iégrable sur R +. Morer que la suie de erme gééral u = f (x) dx coverge vers ue limie à préciser. Exercice [ 567 ] [correcio] Soi f : [, [ C coiue. O suppose que la focio f coverge e vers ue limie fiie l. Déermier la limie quad de µ = f() d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

2 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Exercice [ 435 ] [correcio] Eudier la limie de où f : [, ] R es coiue. f( ) d Exercice 7 [ 93 ] [correcio] Déermier u équivale de + ( x ) dx Exercice [ 5 ] [correcio] Soi f C (R +, R + ) borée. O pose, pour N, I = Déermier la limie de I quad. Exercice 3 [ 94 ] [correcio] Soi f : R + R coiue e borée. Déermier la limie quad de f()e d f(x) + x dx Exercice 4 [ 365 ] [correcio] Soi f : R + R de classe C iégrable aisi que sa dérivée. a) Déermier pour x > lim b) Préciser le mode de covergece. Exercice 5 [ 479 ] [correcio] Eudier lim Exercice 6 [ 9 ] [correcio] Eudier lim cos (si ) f(x) d ( ) d ( + x ) e x dx Exercice 8 [ 98 ] [correcio] Déermier lim Exercice 9 [ 95 ] [correcio] Soi f : R + R + coiue e iégrable. Déermier la limie quad de Exercice [ 86 ] [correcio] Calculer lim ( cos x ) dx f() + d! dx (k + x) k= Exercice [ 359 ] [correcio] Soi F ue applicaio coiue décroissae de R das R, eda vers e e vers e. Soie deux réels h e δ vérifia < h < δ. a) Déermier la limie éveuelle de b) O pose I = S = F k= F ( (δ h) ) d ( ( δ k + )) h Déermier u équivale de S lorsque ed vers. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

3 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 3 Exercice [ 336 ] [correcio] Pour N e x ], [, o pose f (x) = x+ l x x a) Morer que f es iégrable sur ], [. O pose J = f (x) dx b) Morer que la suie (J ) N es covergee e déermier sa limie. c) Morer que J = 4 k=+ k Exercice 5 [ 33 ] [correcio] Exisece e calcul de l e Idice : uiliser ue suie de focios judicieuse. Iégraio erme à erme Exercice 6 [ 98 ] [correcio] Morer d e d = = Exercice 3 [ 39 ] [correcio] Soi f ue applicaio réelle de classe C sur [a, b] avec < a < < b e f(). Soi (f ) la suie de focios elle que f (x) = a) Déermier la limie simple de (f ). b) Eablir l égalié suivae : c) Morer que b lim a Exercice 4 [ 57 ] [correcio] Pour N e x R, o pose a f(x) + x f () d = a f() d f () d l f() f (x) = ( ) 4 x π Soi g ue focio coiue sur R e ulle e dehors d u segme [a, b]. Morer que lim f (x)g(x)dx = g() R Exercice 7 [ 378 ] [correcio] Prouver l égalié (l x) + x dx = ( ) ( + ) 3 = Exercice 8 [ 99 ] [correcio] Eablir que l + d = ( ) ( + ) = Exercice 9 [ 864 ] [correcio] Exisece e calcul de l d Le résula es à exprimer à l aide de ζ(). Exercice 3 [ 93 ] [correcio] a) Eablir l( + ) d = l + d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

4 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 4 a) E déduire b) Calculer cee somme sacha l( + ) = Exercice 3 [ 93 ] [correcio] a) Eablir arca b) E déduire arca d = = = π 6 d = d = = ( ) l + d ( ) ( + ) Cee valeur es appelée cosae de Caala, elle vau approximaiveme, 96. Exercice 3 [ 94 ] [correcio] Eablir que Exercice 33 [ 65 ] [correcio] Pour, m N, o pose a) Calculer I (). b) E déduire I (m) = si e d = x x dx = = + x (l x) m dx = Exercice 34 [ 93 ] [correcio] Eablir dx x x Exercice 35 [ 869 ] [correcio] Morer = = = = d Exercice 36 [ 57 ] [correcio] Soie p e k eiers aurels, o ul. Soi f p,k : x x p (l x) k. a) Morer que f p,k es iégrable sur ], ]. Soi K p,k = x p (l x) k dx b) Exprimer K p,k e focio de K p,k. c) Exprimer J = (x l x) dx e focio de. d) O pose I = xx dx. Morer I = Exercice 37 [ 934 ] [correcio] Eablir que pour p, Exercice 38 [ 933 ] [correcio] Eablir = ( ) ( + ) + (l x) p x dx = ( )p p! p+ = x x dx = = ( ) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

5 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 5 Exercice 39 [ 379 ] [correcio] Pour ou N e ou x R +, o pose a) Morer que = b) E déduire la valeur de f (x) = x ( x) f (x) dx = = Exercice 4 [ 368 ] [correcio] Morer π Exercice 4 [ 943 ] [correcio] Calculer, pour Z, ( + )( + 3) e cos x dx = I = π Exercice 4 [ 439 ] [correcio] Soie a C, a e Z. Calculer π = x + x dx π (!) e iθ dθ + eiθ e i e i a d Exercice 44 [ 935 ] [correcio] Déermier la limie quad de Exercice 45 [ 939 ] [correcio] Soie α >, N. O pose u (α) = e x/ + cos x dx π/ (si ) α (cos ) d a) Naure de la série de erme gééral u (). b) Plus gééraleme, aure de la série de erme gééral u (α). c) Calculer u (α) pour α =, 3. = Exercice 46 [ 87 ] [correcio] a) Pour (m, ) N, calculer Pour p Z, morer l exisece de S p = x ( x) m dx = p ( ) b) Calculer S e S. c) Si p N, proposer ue méhode de calcul de S p. Exercice 43 [ 34 ] [correcio] Morer que a, b >, e a e b d = = (a + b) Exercice 47 [ 64 ] [correcio] désige u eier aurel o ul. a) Jusifier que l iégrale x ( + x ) dx es défiie. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

6 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 6 b) Soi a. Calculer a E déduire la valeur de puis de = c) Soi a. Morer que la série = coverge uiforméme sur [, a], puis que a = x ( + x ) dx x ( + x ) dx x ( + x ) dx x ( + x ) x ( + x ) dx = = a + a d) E exploia ue comparaiso série-iégrale, déermier e) E déduire que l iégrale lim a = = a + a x ( + x ) dx es covergee e doer sa valeur. Comparer avec le résula obeu e b). Qu e coclure? Exercice 48 [ 438 ] [correcio] a) Démorer la covergece de la série de erme gééral b) Comparer a e a =! e d c) E déduire : = a = Exercice 49 [ 445 ] [correcio] O pose I = pour ou eier >. a) Trouver la limie l de (I ). b) Doer u équivale de (l I ). c) Jusifier l( + y) y e ( e ) d + d dy = k= ( ) k (k + ) d) Doer u développeme asympoique à rois ermes de (I ). Exercice 5 [ 6 ] [correcio] a) Déermier la limie l quad de b) Doer u équivale de c) Jusifier d) E déduire u équivale de I = + d I l l( + ) d = k= l( + ) d ( ) k k(k + ) e doer u développeme asympoique à rois ermes de I. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

7 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 7 Exercice 5 [ 84 ] [correcio] a) Si (s, λ) R + C, quelle es la aure de la série de erme gééral λ s(s + )... (s + ) pour? A λ fixé, o oe λ l esemble des s > els que la série coverge, e o oe F λ (s) la somme de cee série. b) Calculer lim s sup λ F λ (s). c) Doer u équivale de F λ (s) quad s if λ. d) Si, calculer : ( y) s y dy e) E déduire ue expressio iégrale de F λ (s). Exercice 55 [ 387 ] [correcio] Doer la aure de la série de erme gééral u = Exercice 56 [ 583 ] [correcio] Soi N. a) Esemble de défiiio de I (x) = b) Morer que si x >, I (x) diverge. c) Calculer I () pour. e cos d d ( + x ) Exercice 5 [ 866 ] [correcio] Soi (a ) ue suie borée. Calculer lim Exercice 53 [ 87 ] [correcio] Si x >, o pose ζ(x) =. Morer x = Exercice 54 [ 8 ] [correcio] Soi, pour N, u = e ( p= (ζ(x) ) dx = π/ ) p a p d p! = l [ cos ( π si x )] dx a) Eudier la covergece de la suie (u ). b) Quelle es la aure de la série de erme gééral u? Exercice 57 [ 3844 ] [correcio] Doer la limie la suie (u ) de erme gééral u = Quelle es la aure de la série u? d ( + 3 ) Exercice 58 [ ] [correcio] a) Doer les limies éveuelles e des suies de ermes gééraux d U = ( + 3 ) e V d = ( + 3 ) b) Quelle es la aure des séries U e Exercice 59 [ 36 ] [correcio] Pour N, soi f l applicaio défiie par f (x) = { sh(x) e x V? si x ], [ α si x = Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

8 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 8 a) Pour quelle valeurs de α la focio f es-elle coiue? Das la suie, o predra cee valeur de α. b) Morer que f es borée. c) Morer que f (x) dx exise pour. d) Exprimer f (x) dx comme la somme d ue série. Exercice 6 [ 69 ] [correcio] Pour, o pose I = a) Déermier la limie de la suie (I ). b) Eablir que pour ou eier, d ( + 3 ) I + = 3 3 I c) Déermier α R el qu il y ai covergece de la suie de erme gééral d) E déduire la covergece de la série u = l( α I ) I e exprimer sa somme à l aide d ue iégrale. Iégraio erme à erme par les sommes parielles Exercice 6 [ 936 ] [correcio] Morer que, pour a > Exercice 6 [ 94 ] [correcio] Pour ou α >, éablir que d + a = ( ) a + = x α + x dx = ( ) + α = Exercice 63 [ 863 ] [correcio] a) Eablir pour a, b > l égalié b) Calculer a + b d = ( ) a + b = = ( ) 3 + Exercice 64 [ 437 ] [correcio] Morer ( ) + d = π ( ) = = Exercice 65 [ 867 ] [correcio] Soi (a ) ue suie croissae de réels > elle que a. Jusifier ( ) e ax ( ) dx = = Eude de focios cocrèes = Exercice 66 [ 534 ] [correcio] a) Jusifier que l iégrale suivae es défiie pour ou x > f(x) = x + d b) Jusifier la coiuié de f sur so domaie de défiiio. c) Calculer f(x) + f(x + ) pour x >. d) Doer u équivale de f(x) quad x + e la limie de f e. Exercice 67 [ 3658 ] [correcio] O pose F (x) = e + x d a Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

9 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 9 a) Morer que F (x) es bie défiie pour ou x. b) Morer que F es de classe C sur [, [. c) Calculer F () () pour ou N. Exercice 68 [ 538 ] [correcio] Soi F : x e x + d Morer que F es soluio sur R + de limie ulle e de l équaio différeielle y + y = x Exercice 69 [ 537 ] [correcio] Soi f : x e x + d a) Morer que f es défiie e coiue sur R +. b) Morer que f es dérivable sur R + e soluio de l équaio différeielle π y y = x Exercice 7 [ 53 ] [correcio] Soi g(x) = e x d + 3 a) Calculer g() e réalisa le chageme de variable = /u. b) Eudier les variaios de g sur so domaie de défiiio. c) Eudier la limie de g e. Exercice 7 [ 53 ] [correcio] Soi f : x d + x a) Morer que f es défiie sur R +. b) A l aide du chageme de variable u = /, calculer f(). c) Morer que f es coiue e décroissae. d) Déermier lim f. Exercice 7 [ 333 ] [correcio] Soi f : x π π cos(x si θ) dθ a) Morer que f es défiie e de classe C sur R. b) Déermier ue équaio différeielle liéaire d ordre do f es soluio. c) Morer que f es développable e série eière sur R. d) Exploier l équaio différeielle précédee pour former ce développeme. Exercice 73 [ 533 ] [correcio] Soi f : x π/ cos + x d a) Morer que f es défiie, coiue sur R +. Eudier les variaios de f. b) Déermier les limies de f e + e. c) Déermier u équivale de f e + e. Exercice 74 [ 536 ] [correcio] Soi f la focio doée par f(x) = π/ si x ()d a) Morer que f es défiie e posiive sur ], [. b) Morer que f es de classe C e préciser sa moooie. c) Former ue relaio ere f(x + ) e f(x) pour ou x >. d) O pose pour x >, ϕ(x) = xf(x)f(x ) Morer que x >, ϕ(x + ) = ϕ(x) Calculer ϕ() pour N. e) Déermier u équivale à f e +. Exercice 75 [ 878 ] [correcio] a) Pour quels x de R l iégrale π/ (si ) x d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

10 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés exise--elle? Das ce cas, soi f(x) sa valeur. b) Morer que f es de classe C sur so iervalle de défiiio. c) Que dire de la focio x (x + )f(x)f(x + )? Exercice 76 [ 88 ] [correcio] Morer que, pour ou x réel posiif, arca(x/) x l + d = d Exercice 77 [ 875 ] [correcio] Soi Ω = {z C/Rez > }. Si z Ω, o pose f(z) = z + d a) Morer que f es défiie e coiue sur Ω. b) Doer u équivale de f(x) quad x ed vers. c) Doer u équivale de f(z) quad Re(z). Exercice 78 [ 87 ] [correcio] Pour x R, o pose f(x) = a) Défiiio de f. b) Coiuié e dérivabilié de f. c) Ecrire f() comme somme de série. Exercice 79 [ 88 ] [correcio] O pose, pour x >, f(x) = x si(x) e d e x + d Morer que f es de classe C sur ], [ e rouver des équivales simples de f e e e. Exercice 8 [ 334 ] [correcio] Pour x >, o pose f(x) = x x a) Morer que f es défiie e coiue. b) Déermier les limies de f e + e. Exercice 8 [ 36 ] [correcio] a) Déermier le domaie de défiiio de f(x) = d + x x cos b) Doer u équivale de f e e e. Exercice 8 [ 376 ] [correcio] a) Déermier l esemble de défiiio de f(x) = b) Doer la limie de f e x =. Exercice 83 [ 3736 ] [correcio] O pose f(α) = d d ( )( x ) dx x α ( + x) a) Eudier l esemble de défiiio de f. b) Doer u équivale de f e. c) Morer que le graphe de f adme ue symérie d axe x = /. d) Morer que f es coiue sur so esemble de défiiio. e) Calculer la bore iférieure de f. Eocé fouri par le cocours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Exercice 84 [ 556 ] [correcio] Pour x >, o pose F (x) = l + x d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

11 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés a) Morer que F es de classe C sur ], [. b) Calculer F (x) e e déduire l expressio de c) Soi θ R. Calculer G(x) = F (x) + F (/x) l + + ch(θ) + d Exercice 85 [ 3887 ] [correcio] a) Morer la coiuié de l applicaio défiie sur ], [ par g(x) = b) Préciser ses limies e e. Exercice 86 [ 3889 ] [correcio] Soi g : x x si() x + d e x + d Moros que g es soluio sur R + de l équaio différeielle y + y = x Calcul de focio iégrale Exercice 87 [ 545 ] [correcio] O cosidère la focio g : x ], [ l x d a) Morer que la focio g es bie défiie. b) Jusifier que la focio es de classe C e exprimer g (x). c) E déduire ue expressio de g(x) à l aide des focios usuelles Exercice 88 [ 874 ] [correcio] Eudier f : x l x d Exercice 89 [ 3888 ] [correcio] a) Morer que l applicaio g : x x l d es défiie sur ], [. b) Jusifier que g es de classe C e calculer g (x). c) E déduire ue expressio simple de g(x) pour x >. Exercice 9 [ 546 ] [correcio] a) Jusifier l exisece e calculer Soi F : x cos(x)e d si(x) e d b) Jusifier que F es défiie e de classe C sur R. Calculer F (x). c) E déduire ue expressio simplifiée de F (x). Exercice 9 [ 873 ] [correcio] Pour ou x réel, o pose f(x) = cos(x) e d e g(x) = Exisece e calcul de ces deux iégrales. Exercice 9 [ 553 ] [correcio] Soi F (x, y) = si(x) e d e x e y d avec x, y > Pour y >, morer que x F (x, y) es de classe C sur R + e calculer E déduire la valeur de F (x, y). F (x, y) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

12 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Exercice 93 [ 6 ] [correcio] O pose F (x) = e e cos(x) d a) Quel es le domaie de défiiio réel I de la focio F? b) Jusifier que la focio F es de classe C sur I. c) Exprimer F (x) à l aide des focios usuelles. Exercice 94 [ 33 ] [correcio] Soie a, b deux réels sriceme posiifs. a) Jusifier l exisece pour ou x R de F (x) = e a e b cos(x) d b) Jusifier que F es de classe C sur R e calculer F (x). c) Exprimer F (x) Exercice 95 [ 548 ] [correcio] O pose z : x e ( +ix) e o doe e d = π/. a) Jusifier e calculer z(). b) Morer que z es défiie, de classe C sur R e z (x) = c) E déduire l expressio de z(x). (x + i) z(x) Exercice 96 [ 3655 ] [correcio] E dériva la focio déermier l expressio de la focio g(x) = e e x d d Exercice 97 [ 3656 ] [correcio] a) Exisece de F (x) = e ch(x) d b) Calculer F (x) e iroduisa ue équaio différeielle vérifiée par F. c) Calculer F (x) direceme par ue iégraio erme à erme. Exercice 98 [ 555 ] [correcio] Esemble de défiiio, dérivée e valeur de f : x Exercice 99 [ 366 ] [correcio] Pour x >, o pose F (x) = π/ l( + x ) + d. l ( cos () + x si () ) d a) Jusifier que F es défiie e de classe C sur ], [. b) Calculer F (x) e e déduire u expressio de F (x). Exercice [ 88 ] [correcio] Exisece e calcul de π Exercice [ 556 ] [correcio] Soi F (x) = π/ l( + x cos ) cos d l( + x si ) d sur [, [ a) Jusifier que F es bie défiie e coiue. b) Eudier la dérivabilié sur [, [ e doer l expressio de sa dérivée via le chageme de variable u = a. c) Eablir que F (x) = π(l( + + x) l ) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

13 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 3 Exercice [ 876 ] [correcio] Exisece e calcul de f(x) = Exercice 3 [ 55 ] [correcio] Soi F (x) = l(x + ) + d l( + cos x + ) d a) Jusifier que F es défiie e de classe C sur [, π/] b) Calculer F (x) sur [, π/] c) Doer la valeur de F () puis celle de F (x) sacha k= Exercice 4 [ 55 ] [correcio] Pour N e x >, o pose I (x) = ( ) k k = π d (x + ) a) Jusifier l exisece de I (x). b) Calculer I (x). c) Jusifier que I (x) es de classe C e exprimer I (x). d) Exprimer I (x). Exercice 5 [ 333 ] [correcio] Pour ou x R, o pose F (x) = ( )) exp ( + x d a) Morer que F es défiie e coiue sur R. b) Morer que F es de classe C sur ], [. c) Former ue équaio différeielle vérifiée par F sur ], [. d) E déduire ue expressio simple de F sur R. Exercice 6 [ 369 ] [correcio] Soi F la focio défiie par : F (x) = arca(x) ( + ) d a) Morer que F es défiie e de classe C sur R +. O adme l ideié valable pour ou x e das R b) Déermier l expressio de F (x). Eude héorique x ( + x )( + ) = x + x + Exercice 7 [ 54 ] [correcio] Soi f ue applicaio coiue de R [a, b] das R. Expliquer pourquoi f es uiforméme coiue sur S [a, b] pour ou segme S de R. E déduire que F : x b f(x, ) d es coiue sur R. a Pour x R, o pose g(x) = ex d. A l aide de la quesio précédee, éudier la coiuié de g. Rerouver le résula e calcula g(x). Exercice 8 [ 544 ] [correcio] Soie f : I R R e u, v : I R coiues. Morer la coiuié de la focio x v(x) u(x) f(x, )d Exercice 9 [ 3756 ] [correcio] Soi f : R R de classe C vérifia f() =. Morer que la focio g : x f(x) x se prologe e ue focio de classe C sur R e exprimer ses dérivées successives e e focio de celles de f. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

14 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 4 Exercice [ 94 ] [correcio] Soie f : I R ue focio de classe C e a R els que a) Morer qu o a pour ou x I f(a) = f (a) = = f (α ) (a) = f(x) = x a (x ) α f (α) ()d (α )! b) E déduire qu o peu écrire f(x) = (x a) α g(x) avec g de classe C sur R. Trasformée de Fourier e iégrales appareées Exercice [ 547 ] [correcio] O pose z : x e ( +ix) d a) Morer que z es défiie, de classe C sur R e vérifie z (x) = (x + i) z(x) b) E déduire l expressio de z(x) sacha z() = π/. Exercice [ 549 ] [correcio] E dériva la focio déermier l expressio de la focio g(x) = Exercice 3 [ 3 ] [correcio] O cosidère ϕ : x e e ix d e ix + d a) Morer la défiie e la coiuié de ϕ sur R. b) Morer que ϕ es de classe C sur R e morer que ϕ e ix (x) = i + d c) Morer que pour x >, ϕ ue iu (x) = i x + u du e déermier u équivale de ϕ (x) quad x +. d) La focio ϕ es-elle dérivable e? Exercice 4 [ 499 ] [correcio] O éudie f(x) = e cos(x) d a) Doer le domaie de défiiio de f. b) Calculer f e forma ue équaio différeielle. c) Calculer f e exploia le développeme e série eière de la focio cosius. Exercice 5 [ 554 ] [correcio] Exisece e calcul de sacha g() = π/. Focio d Euler g(x) = Exercice 6 [ 56 ] [correcio] Démorer que la focio Γ : x es défiie e de classe C sur ], [. Exercice 7 [ 56 ] [correcio] a) Démorer que la focio Γ doée par Γ(x) = e cos(x)d x e d x e d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

15 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 5 es défiie e coiue sur ], [. b) Démorer que la focio Γ es de classe C sur ], [. c) E exploia l iégalié de Cauchy Schwarz, éablir que la focio x l Γ(x) es covexe. Exercice 8 [ 56 ] [correcio] L objecif de ce exercice es de calculer a) Morer que pour ou [, ], b) Eablir que c) Observer que d) Coclure que lim l()e d ( ) e.e ( l() ) d = l()e d ( l() ) ( u) d = l + du u où γ désige la cosae d Euler. Exercice 9 [ 635 ] [correcio] O rappelle e d = π. Pour x >, o pose Γ(x) = l()e d = γ e x d a) Morer que cee focio es défiie e idéfiime dérivable sur ], [. O éudiera la régularié e se resreiga à x [a, b] ], [. b) Calculer Γ( + ) pour N. c) E réalisa le chageme de variable = + y, rasformer l iégrale Γ( + ) e e f (y)dy où f (y) = pour y x, f (y) e y / pour < y e f (y) ( + y)e y pour y > e. d) E appliqua le héorème de covergece domiée éablir la formule de Sirlig :! π e Exercice [ 537 ] [correcio] a) Doer le domaie de défiiio de la focio b) Calculer l iégrale Γ : x I (x) = x e d x ( ) d c) Expliquer rapideme pourquoi ( ) coverge vers e e morer que Γ(x) = Exercice [ 94 ] [correcio] Eablir que pour ou x > lim x e d = x! x(x + )... (x + ) = ( )!(x + ) Applicaios au calcul d iégrales Exercice [ 535 ] [correcio] Soi f : [, [ R défiie par f(x) = e x(+ ) + d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

16 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 6 a) Morer que f es dérivable sur [, [ e exprimer f (x). b) Calculer f() e lim f. c) O oe g l applicaio défiie par g(x) = f(x ). Morer d) Coclure ( x ) g(x) + e d = π 4 Exercice 3 [ 3654 ] [correcio] L objecif de ce suje es de calculer Pour x, o pose I = F (x) = π e d = e d e x ( + ) d a) Jusifier que la focio F es bie défiie b) Déermier ue équaio liéaire d ordre do F es soluio sur ], [. c) Calculer F () e la limie de F e. d) E déduire la valeur de I. Exercice 4 [ 638 ] [correcio] O pose, pour x, F (x) = x cos e d a) Morer que F es coiue sur [, [ e ed vers e. b) Morer que F es deux fois dérivable sur ], [ e calculer F (x). c) E déduire la valeur de F () puis la valeur de l iégrale covergee si d Exercice 5 [ 54 ] [correcio] a) Jusifier la covergece de l iégrale b) Pour ou x, o pose I = F (x) = si d e x si Déermier la limie de F e. c) Jusifier que F es dérivable sur ], [ e calculer F d) E admea la coiuié de F e déermier la valeur de I. Exercice 6 [ 543 ] [correcio] Pour x R + e, o pose f(x, ) = e x sic où sic (lire sius cardial) es la focio si prologée par coiuié e. Pour N, o pose u (x) = (+)π π d f(x, )d a) Morer que u (x) = ( ) π g (x, u) du avec g (x, u) qu o expliciera. b) Morer que la série de focios de erme gééral u coverge uiforméme sur R +. c) O pose U(x) = u (x). Jusifier que U es coiue e explicier U sous la = forme d ue iégrale covergee. d) Morer que U es de classe C sur ], [ e calculer U (x). e) Explicier U(x) pour x > puis la valeur de U() = Exercice 7 [ 87 ] [correcio] Pour x R +, soi f(x) = si d si e x d a) Jusifier la défiiio de f(x). b) Morer que f es classe C sur R +. c) Calculer f(x) si x R +. d) Morer que f es coiue e. Qu e dédui-o? Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

17 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés 7 Exercice 8 [ 54 ] [correcio] O cosidère les focios f e g défiies sur R + par : f(x) = e x si d e g(x) = + x + d a) Morer que f e g so de classe C sur R + e qu elles vérifie l équaio différeielle y + y = x b) Morer que f e g so coiues e c) E déduire que si d = π Exercice 9 [ 55 ] [correcio] Soi F la focio défiie par : F (x) = arca(x) ( + ) d a) Morer que F es défiie e de classe C sur R +. b) Déermier l expressio de F (x). c) Calculer arca d Exercice 3 [ 33 ] [correcio] a) Morer que pour ou x > l( + x) + d = l arca x + π x 8 l( + l( + ) x ) + d b) E déduire la valeur de l( + ) + d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

18 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 8 Correcios Exercice : [éocé] A chaque fois, o vérifie que les focios egagées so coiues par morceaux. a) Sur [, π/4[, a x CV S a x = ϕ(x) iégrable sur [, π/4[ doc u π/4 dx = CV S b) Sur [, [, x +e f(x) avec f(x) = e x sur [, [ e f(x) = sur x ], [. De plus x +e e x = ϕ(x) avec ϕ iégrable sur [, [ doc x Exercice : [éocé] E découpa l iégrale I = v e x dx = e e x x dx + dx + x+ + x+ E appliqua le héorème de covergece domiée aux deux iégrales, o obie I dx x = Exercice 3 : [éocé] A chaque fois, o vérifie que les focios egagées so coiues par morceaux. a) Ici, o e peu appliquer le héorème de covergece domiée sur [, [ après ue majoraio de si x par car la focio domiae ϕ(x) = /x e sera pas iégrable sur ], [. Pour coourer cee difficulé, o découpe l iégrale. O a u = si x x si x si x si x x dx = x dx + x dx dx si (x) dx car si x x Sas difficulés, par le héorème de covergece domiée e doc Aussi Or si x x De plus CS puis u. b) O écri O a si (x) dx si x x si x x dx dx si x dx f(x) avec f(x) = pour ou x π/ [π]. si x x x = ϕ(x) avec ϕ iégrable sur [, [ doc u = e si x dx x x f(x) dx = x dx x x dx x + + x dx x + + x dx = + x dx x + + dx x = e veru du héorème de covergece domiée e via la domiaio sur [, [. Aisi u. c) O écri O a u = x dx x + + x dx x + x dx x + e x dx x + x dx = + dx x = x x + + x Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

19 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 9 doc u. O peu aussi appliquer le héorème de covergece domiée mais c es mois efficace. Exercice 4 : [éocé] Posos f : si() + La focio f es défiie e coiue par morceaux sur ], [. Quad +, f () +. Quad ; f () = O ( ). O peu doc affirmer que f es iégrable sur ], [. Pour ], [. Quad, f () = O ( ) doc la suie (f ) coverge simpleme vers la focio ulle. De plus, pour π/, o a, sacha si u u, e pour π/, Aisi f ϕ avec ϕ : f () + f () + { si [, π/] / si ]π/, [ La focio ϕ éa iégrable sur ], [, o peu appliquer le héorème de covergece domiée e affirmer u d = Exercice 5 : [éocé] La focio iégrée e coverge pas simpleme e les = π/ + π coourer cee difficulé o raisoe à l aide de valeurs absolues. e si () d e si d O a f () = e si () CS f() [π]. Pour avec { si π/ [π] f() = e sio Les focios f e f so coiues par morceaux e f () e = ϕ() avec ϕ coiue par morceaux iégrable sur [, [ doc par covergece domiée : lim Exercice 6 : [éocé] Les focios doées par e si () d = f () = ( + / ) f() d = so défiies e coiues par morceaux sur R. La suie de focios (f ) coverge simpleme vers f avec f() = e défiie e coiue par morceaux sur R. Soi R fixé e cosidéros ϕ : x x l( + /x) défiie sur [, [. E éudia le sige de ϕ, o démore ϕ es croissae. Or lim ϕ = e doc ϕ es égaive. La focio ϕ es doc décroissae e par coséque, pour ou N f () ( ) + = exp(ϕ()) exp(ϕ()) = + La focio /( + ) es iégrable sur R. Par covergece domiée ( ) + d Exercice 7 : [éocé] La focio (+ 3 ) e d es coiue par morceaux sur [, [ e o observe ( + 3 ) 3 Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

20 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios avec 3 > doc l iégrale d (+ 3 ) es bie défiie pour. Par applicaio du héorème de covergece domiée (e prea ϕ() = + 3 pour domiarice), o obie d lim ( + 3 ) = La décroissace de ( u ) e la posiivié de l iégrale éa des propriéés immédiaes, o peu appliquer le crière spécial e affirmer que u coverge. Exercice 8 : [éocé] Soi N. La focio x e x es défiie e coiue par morceaux sur [, [. Ea de plus égligeable deva /x quad x, o peu affirmer qu elle es iégrable e o peu doc iroduire e x dx Par le chageme de variable C sriceme moooe doé par la relaio = x, o obie Posos alors e x dx = e / d f : e / Les focios f so défiies e coiues par morceaux sur [, [. La suie de focios (f ) coverge simpleme vers la focio e pour ou N f : e f () e = ϕ() avec ϕ focio coiue par morceaux e iégrable puisque ϕ(). O peu alors appliquer le héorème de covergece domiée e affirmer e x dx = e / d e d Exercice 9 : [éocé] f es défiie e coiue par morceaux sur ], [. Quad x +, f (x), o peu doc la prologer par coiuié. Quad x, f (x) = o ( ) x. Par suie f es iégrable sur ], [. Posos u = g (x) = l( + x/) x( + x ) l( + x/) x( + x ) dx = f (x) Pour x >, quad, g (x) +x. De plus, sacha l( + u) u, o a g (x) +x = ϕ(x) avec ϕ iégrable. Par covergece domiée, Exercice : [éocé] Par chageme de variable Par covergece domiée u µ = dx + x = π µ l f(s) ds Exercice : [éocé] Cosidéros la suie des focios u : [, ] R déermiée par u () = f( ). Les focios u so coiues par morceaux e par coiuié de f u () u() = déf { f() si [, [ f() si = La suie de focios (u ) coverge simpleme sur [, ] vers la focio u coiue par morceaux. Efi, la focio f éa coiue sur u segme, elle y borée ce qui perme d iroduire M = sup f() [,] Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

21 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios Puisque [, ], u () M avec M iégrable sur [, ], o peu appliquer le héorème de covergece domiée e affirmer f( ) d u() d = f() Exercice : [éocé] Par le chageme de variable u = I = Par covergece domiée, sacha avec ϕ iégrable, o obie f(u/)e u du f(u/) f e u = ϕ(u) I Exercice 3 : [éocé] Par le chageme de variable u = x, f(x) + x dx = f()e u du = f() Posos alors f : u f(u/) +u défiie sur R +. La suie de focios (f ) coverge simpleme vers f : u f() + u f(u/) + u du Les focios f e f so coiues par morceaux sur R +. avec ϕ iégrable sur R +. Par covergece domiée, f (u) f + u = ϕ(u) f(x) + dx x f() πf() du = + u Exercice 4 : [éocé] a) Pour x >, posos u (x) = cos (si ) f(x) d L iégrabilié de f assure que u (x) es bie défiie. Puisque f es iégrable, la focio f coverge e e, puisque f es aussi iégrable, f ed vers e. Par iégraio par paries, o obie alors u (x) = + (si ) + xf (x) d Posos g (x) = si + xf (x) d. Chaque focio g es coiue par morceaux. La suie de focios (g ) coverge simpleme vers ue focio coiue par morceaux, ulle e chaque x π/ + kπ. La focio limie simple es coiue par morceaux. Efi o a la domiaio avec la focio ϕ iégrable. Par covergece domiée e par comparaiso g (x) xf (x) = ϕ() g () d u (x) b) O vie déjà d obeir ue covergece simple de la suie de focios (u ) vers la focio ulle. Moros qu e fai il s agi d ue covergece uiforme. Par chageme de variable u (x) = + (si(u/x)) + f (u) du Soi ε >. Puisque la focio f es iégrable, il exise A R + el que e alors u (x) M A A f (u) du ε si(u/x) + du + ε avec M = max u [,A] f (u) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

22 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios Pour x 4A/π, o a e doc u [, A], u x A x π 4 A si(u/x) + du Pour x 4A/π, o a par chageme de variable A si(u/x) + du = x Pour k eier el que kπ < A/x (k + )π. A si(u/x) + du x (k+)π Or x(k + )π A + xπ 5A doc Fialeme, pour ou x >, A A/x A + si + d si + d = x(k + ) si(u/x) + du 5A u (x) 5AM + AM + + ε e doc pour assez grad, o a pour ou x >. u (x) ε π (si ) + d e ce que [, ] ou o. La focio ϕ es iégrable sur [, [. Par applicaio du héorème de covergece domiée, Exercice 6 : [éocé] Posos lim ( ) d = { ( + x/) f (x) = e d si x [, ] sio Pour x [, [, à parir d u cerai rag x e ( f (x) = + ) x ( ( e x = exp l + x ) ) x e x Aisi, la suie (f ) coverge simpleme vers f : x e x. E veru de l iégalié l( + u) u, o obie f (x) e x = ϕ(x) e ce que x [, ] ou o. La focio ϕ es iégrable sur [, [. Par applicaio du héorème de covergece domiée, lim ( + x ) e x dx = e x dx = Exercice 5 : [éocé] Posos { ( f () = / ) si [, [ sio Pour [, [, à parir d u cerai rag > e ( ) ( ( )) f () = = exp l e Aisi, la suie (f ) coverge simpleme vers f : e. E veru de l iégalié l( + u) u, o obie f () e = ϕ() Exercice 7 : [éocé] Par chageme de variable ( + ) x dxñ = u= x/ Par le héorème de covergece domiée doc u du + ( x ) dx u du Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

23 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 3 Exercice 8 : [éocé] Posos f (x) = ( cos x ) si x [, ] e f (x) = si x ], [. Pour x R +, quad, f (x) = ( cos x ) = exp ( l ( x / + o(/ ) )) e x / CS Aisi f f avec f : x e x /. [,[ Les focios f e f so coiues par morceaux. Soi ψ : [, ] R défiie par ψ() = /4 cos. Par éude des variaios, x [, ], ψ(x) O e dédui que, pour x [, ], ( l cos x ) ) l ( x 4 x 4 puis f (x) e x /4 Cee iégalié vau aussi pour x ], [ e puisque la focio x e x /4 es iégrable, o peu appliquer le héorème de covergece domiée pour affirmer ( lim cos x ) π dx = e x / dx = Exercice 9 : [éocé] O a avec f() + d = u= f (u) = f(u) + u/ du = { f(u) +u/ si u [, ] si u ], [ f (u)du CV S O a f f avec f e f coiues e f f = ϕ avec ϕ coiue par morceaux iégrable sur [, [ idépeda de. Par covergece domiée f (u) du f(u) du Exercice : [éocé] O a! (k + x) (x + )(x + ) = ϕ(x) k= avec ϕ iégrable sur [, [. Quad, k= l! = ( l + x ) k (k + x) k= car l ( + x/k) x/k erme gééral d ue série à ermes posiifs divergee. Par suie! (k + x) k= puis par le héorème de covergece domiée lim! dx = (k + x) k= Exercice : [éocé] a) Appliquos le héorème de covergece domiée. Posos f : [, ] R défiie par f () = F ( (δ h) ) Pour [, h/δ[, o a f (). Pour ]h/δ, ], o a f (). Efi, pour = h/δ, f () = F () F (). Aisi la suie de focios (f ) coverge simpleme sur [, ] vers f défiie par si [, h/δ[ f() = F () si = h/δ si ]h/δ, ] Les focios f so coiues e la limie simple f es coiue par morceaux. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

24 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 4 Efi [, ], f () = ϕ() avec ϕ coiue par morceaux e iégrable. Par covergece domiée, I f() d = b) Par la décroissace de F, o peu écrire (k+)/ (k+)/ h/δ d = h δ F ( (δ h) ) d ( ( F δ k + )) h E somma ces iégaliés (k+)/ k/ F ( (δ h) ) d b) La suie de focios f coverge simpleme vers la focio ulle e es domiée par la focio iégrable ϕ doc par covergece domiée c) O a J k J k+ = Réalisos ue iégraio par paries a ε Quad ε + e a, o obie J x k+ l(x) dx [ ] x x k+ k+ a l(x) dx = k + l x + ε a ε x k+ dx e (+)/ / (+)/ / F ( (δ h) ) d = F ( (δ h) ) d S I F ( (δ( + /) h) ) d Par covergece domiée, o obie de faço aalogue à ce qui précède, la limie de ce erme e o coclu Exercice : [éocé] a) Cosidéros la focio S h δ ϕ : x x l x x La focio ϕ es défiie e coiue par morceaux sur ], [. Quad x +, ϕ(x) e quad x, ϕ(x) = x l x x + x Puisque ϕ se prologe par coiuié e e e, ϕ es iégrable sur ], [. Or f (x) = x ϕ(x) ϕ(x) doc, par domiaio, la focio f es elle aussi iégrable sur ], [. e doc J = lim Efi par raslaio d idice N k= J = J k J k+ = k= (k + ) (J k J k+ ) = (k + ) = 4 k= k=+ (k + ) k Exercice 3 : [éocé] a) (f ) coverge simpleme vers la focio f doée par f(x) si x [a, [ f(x) = f()/ si x = si x ], b] b) Sacha f (x) f(x) avec f iégrable sur [a, b], o peu appliquer le héorème de covergece domiée e o obie direceme le résula proposé. c) Par ue iégraio par paries a f () d = [ ] l( + )f() a a l( + )f () d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

25 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 5 D ue par [ ] l( + )f() = l a a f() + l( + a ) car l( + a ). D aure par l( + )f () d f sacha l( + u) u. Au fial, o obie Exercice 4 : [éocé] L iégrale a R f(a) = l f() + o ( ) d = O = o f () d = l ( ) f() + o f (x)g(x)dx = b a f (x)g(x)dx es bie défiie. Par le chageme de variable x = u/ bijecif de classe C avec R f (x)g(x)dx = b a ( ) 4 u π 4 g(u/)du = h (u) = ( ) 4 u π 4 g(u/)χ [a,b] ( ) ( ) h (u)du h es coiue par morceaux, (h ) coverge simpleme vers h coiue par morceaux avec h(u) = e u g() π Pour assez grad de sore que a/, b/ o a pour ou u [a, b], u / 4 / <, h (u) = π e 4 l( u / 4) π e u = ϕ(u) e cee iégalié vau aussi pour u / [a, b]. La focio ϕ éa coiue par morceaux e iégrable sur R, o peu appliquer le héorème de covergece domiée e coclure sacha e u du = π Exercice 5 : [éocé] L iégrale l e d es défiie car la focio l()e es coiue e iégrable sur ], [ puisque l()e e l()e + Pour ou R +, e es la limie de ( u () = ) χ [,] () Le de l exposa es pas usuel e peu rès bie êre remplacé par u. Néamois pour alléger les calculs à veir, le es préférable... O a l()u () l()e e doc par covergece domie O a l()u () e l()e l e d = lim ( ) l() d = avec ( u) l(u) du = l + e par iégraio par paries ( ) l() d ( u) l(u) du l(u)( u) du = [l(u)( ( u) )] + l(u)( u) du ( u) u O oera qu o a choisi ( ( u) ) pour primiive de ( u) car celle-ci s aule e de sore que l iégraio par paries egage que des iégrales covergees. du Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

26 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 6 Efi puis ( u) u ( u) u v du = v = du = Fialeme Exercice 6 : [éocé] Pour ou >, o a doc e = l e k= v k dv k= = l γ + o() k d = γ e e = e e = e = = = = f () Les focios f so coiues par morceaux sur ], [ e, e veru de l éude qui précède, la série f coverge simpleme e sa somme es coiue par morceaux sur ], [ Les focios f so iégrables sur ], [ e f () d = e d = qui es sommable. O e dédui que la focio ], [ e e d = Exercice 7 : [éocé] Pour x [, [, o peu écrire = + x = ( ) x = e es iégrable sur e pour x ], [, o a (l x) + x = ( ) x (l x) = Cosidéros alors la série des focios u (x) = ( ) x (l x) Par covergece des séries précédees, la série des focios u coverge simpleme vers la focio x (l x) /( + x ). Les focios u e la focio somme so coiues par morceaux. Chaque focio u es iégrable e u (x) dx = Par iégraio par paries, o more x (l x) dx = x (l x) dx ( + ) 3 O peu alors appliquer le héorème d iégraio erme à erme e affirmer Exercice 8 : [éocé] Sur ], [, (l x) + x dx = ( ) ( + ) 3 = l + = ( ) (l ) = Posos f () = ( ) l. Les f : ], [ R so coiues par morceaux e la série de focios f coverge simpleme vers l + elle-même coiue par morceaux sur ], [. f () d = ( + ) e la série (+) coverge doc o peu iégrer erme à erme la série de focios e o obie l + d = = ( ) l d = = ( ) ( + ) Ce derier calcul es o rivial e fai référece à la cosae de Caala. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

27 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 7 Exercice 9 : [éocé] Pour ], [, o peu écrire l = l = c) E sépara les ermes pairs e les ermes impairs (ce qui se jusifie e rasia par les sommes parielles) = ( ) = p= (p + ) p= (p) = p= p= (p) = = = π Or l d = ( + ) Sacha que la série des iégrales des valeurs absolues coverge, le héorème d iégraio erme à erme de Fubii doe l d = ( + ) = 3ζ() 4 = avec e subsace la covergece de l iégrale éudiée. Exercice 3 : [éocé] a) Par iégraio par paries, ε l( + ) e quad ε, o obie b) Sur ], [, d = [l( + ) l()] ε l( + ) l d = + d l + = ( ) (l ) = ε l + d Posos f () = ( ) l. Les f : ], [ R so coiues par morceaux e la série de focios f coverge simpleme vers l + elle-même coiue par morceaux sur ], [. O a f () d = ( + ) e la série (+) focios e doc l + d = coverge doc o peu iégrer erme à erme la série de = ( ) l d = = ( ) ( + ) = = ( ) Exercice 3 : [éocé] a) Par ue iégraio par paries ε arca d = [l() arca()] ε Sacha arca, o obie quad ε arca avec covergece des iégrales proposées b) Pour ou éléme de ], [, l d = + d l + = ( ) (l ) = ε l + d Posos f () = ( ) l. Les f : ], [ R so coiues par morceaux e la série de focios f coverge simpleme vers l + elle-même coiue par morceaux sur ], [. e la série (+) focios e doc f () d = ( + ) coverge doc o peu iégrer erme à erme la série de l + d = = ( ) l d = Rq : o aurai aussi pu exploier arca = = = ( ) + +. ( ) ( + ) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

28 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 8 Exercice 3 : [éocé] Pour >, o peu écrire si e = si.e = La focio si.e es iégrable sur ], [ e si e d e d = es le erme gééral d ue série covergee doc par le héorème de Fubii d iégraio erme à erme si e es iégrable sur ], [ e si e d = avec si.e d = Im Fialeme = si.e d si e d = + Exercice 33 : [éocé] Les iégrales cosidérées so bie défiies. Par iégraio par paries, Aisi E pariculier b) x x = = [ x + I (m) = ( )! (x l x). (l x)m + I (m) = I () = ] e ( +i) d = + = ( )m m! ( + ) m+ ( )! ( + ) + m + I (m ) Par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, x x dx = = ( ) I () =! = ( + ) + Exercice 34 : [éocé] O a doc avec x x = e x l x ( ) (x l x) =! = dx x x = f ],] = f (x) = ( ) (x l x)! Les f so coiues par morceaux, f CS vers ue focio coiue par morceaux sur ], ]. Les f so iégrables e ( ) x (l x) f = dx! Or x (l x) dx = ε doc quad ε Aisi ],] ],] ],] ],[ [ ] + x+ (l x) x (l x) dx = + ε ],] x (l x) dx = ( ) Par suie f dx = e ( + ) + + ε x (l x) dx x (l x) dx x dx = ( )! ( + ) + f coverge Par le héorème d iégraio erme à erme de Fubii, o obie que l iégrale éudiée e défiie e puis le résula voulu. dx x x = = f (x) dx = = ( + ) + Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

29 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 9 Exercice 35 : [éocé] Par la série expoeielle, o peu écrire pour >, = exp( l ) = = ( l ) ( )! Pour procéder à ue iégraio erme à erme, posos u () = ( ) ( l ) /! pour ], ]. Les focios u so coiues par morceaux e la série de focios u coverge simpleme sur ], ] vers la focio elle-même coiue par morceaux. Les focios u so iégrables sur ], ] car o peu les prologer par coiuié e e u () d = ( ) u () d Par iégraio par paries ε [ ( l ) + d = (l ) + E passa à la limie quad ε, o obie E iéra le procédé o obie e aisi ] ( l ) d = + ε + ( l ) d = ( )! ( + ) + u () d = ε (l ) d ( ) ( + ) + = o (l ) d La série u éa covergee, o peu iégrer erme à erme e l o obie dx = ( + ) (+) = avec exisece de l iégrale e premier membre. Exercice 36 : [éocé] a) f p,k es défiie e coiue par morceaux sur ], ]. Quad x +, xf p,k (x) = x p+/ (l x) k doc f p,k (x) = o (/ x). Par suie f p,k es iégrable sur ], ]. b) Par iégraio par paries c) e doc d) x x = = K p,k = k p + K p,k K p,k = ( )k k! (p + ) k K p, = ( )k k! (p + ) k+ (x l x)! pour ou x ], ]. J = K, = ( )! ( + ) + Posos f : x! (x l x). Les focios f so coiues par morceaux e iégrables sur ], ]. La série f coverge simpleme sur ], ] e sa somme, qui es x x x, es coiue par morceaux sur ], ]. Efi ( ) f (x) dx = ( + ) + = o es erme gééral d ue série covergee. Par héorème d iégraio erme à erme, x x x es iégrable sur ], ] e I = Exercice 37 : [éocé] Pour x ], [, o a x x dx = = f (x) dx = (l x) p x = x (l x) p = = = = ( ) ( + ) + f (x) avec f (x) = x (l x) p sur ], [. Les focios f so coiues par morceaux e la somme = f l es aussi. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

30 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 3 Les focios f so iégrables sur ], [ e par iégraio par paries, f = ( ) p x (l x) p p! dx = ( + ) p+ Puisque la série f coverge, le héorème d iégraio erme à erme de Fubii doe (l x) p x dx = = f (x) dx =( ) p p! p+ = avec e subsace exisece de l iégrale e de la série ioduie. Par suie f dx = ( + ) + e il y a covergece de la série f Par le héorème d iégraio erme à erme, o obie que l iégrale ],] xx dx es défiie e x x ( ) dx = f (x) dx = ( + ) + puis le résula voulu. = = Exercice 38 : [éocé] Pour x >, doc avec x x = e x l x = x x dx = = (x l x)! f ],] = (x l x) f (x) =! Les focios f so coiues par morceaux, f coverge simpleme vers ue focio coiue par morceaux sur ], ]. Les focios f so iégrables e ( ) x (l x) f = dx! ],] Or x (l x) dx = ε doc quad ε Aisi ],] ],] ],[ [ ] + x+ (l x) x (l x) dx = + ε ],] x (l x) dx = ( ) ε x (l x) dx x (l x) dx x dx = ( )! ( + ) + Exercice 39 : [éocé] a) Sur [, [, la série de focio f coverge simpleme e sa somme es = f (x) = x x ( x x) = + x Cee focio somme es coiue par morceaux sur [, [. Les focio f so iégrables sur [, [ e f (x) dx = f (x) dx = u= x ( + )( + 3) Ce erme es sommable e l o peu doc iégrer erme à erme ce qui doe b) Aisi = = Exercice 4 : [éocé] Pour x [, π], o peu écrire f (x) dx = x + x dx ( + )( + 3) = x + x dx = 5 u= x 3 l e cos x = = cos x! Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

31 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 3 Posos f : x [, π] cos x! Les focios f so coiues e la série de focios f coverge ormaleme sur [, π] puisque ( ) f! = o O peu doc iégrer erme à erme pour obeir π e cos x dx = =! π Par iégraio par paries (cf. iégrale de Wallis) Sacha o obie e doc π π π (cos x) dx = (cos x) dx = π e π π (cos x) p dx = π (p)! p (p!) e π Exercice 4 : [éocé] e cos x dx = I = p= (cos x) dx (cos x) dx (cos x) dx = π (cos x) p+ dx = p (p)! (p)! p (p!) π = π (p!) π e iθ k= ( ) k k e ikθ dθ Par covergece ormale de la série de focios sous-jacee sur [, π] I = k= ( ) k k+ π e i(+k)θ dθ p= Or π e ipθ dθ = si p e π e ipθ dθ = π si p =. Par coséque I = ( ) π si e I = si > Exercice 4 : [éocé] Si a < alors π e i π e i a d = e i( ) π d = ae i Par covergece ormale de la série π e i e i a d = k= Si a > alors π e i e i a d = π a Exercice 43 : [éocé] Par sommaio géomérique Posos f : R + R défiie par π a k e i( (k+)) d = e i e i /a d = k= e a >, e b = = a k+ f () = e (a+b) k= a k e i( (k+)) d { πa si sio π e (a+b) e i(+k) d = { πa si sio Les focios f so coiues par morceaux, la série de focios f coverge simpleme sur ], [ e sa somme es coiue par morceaux puisque c es la focio e a e b Les focios f so iégrables sur ], [ e par iégraio par paries ( ) f = f = (a + b) = O [,[ Puisque la série f coverge, o peu appliquer le héorème d iégraio erme à erme de Fubii e o obie e a d = f e b = f [,[ = [,[ (a + b) = Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

32 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 3 Exercice 44 : [éocé] La covergece de l iégrale proposée es facile. E découpa l iégrale : e x/ + cos x dx = (k+)π e x/ k= kπ + cos x dx = k= e kπ/ π e x/ + cos x dx Das la somme proposée, le erme iégrale e déped de l idice sommaio doc ( e x/ ) + cos x dx = π e kπ/ k= Quad, e π e x/ + cos x dx = π e π/ e π/ π e x/ π + cos x dx dx + cos x par applicaio du héorème de covergece domiée. Par le chageme de variable = a x ispiré des règles de Bioche, Au fial π Exercice 45 : [éocé] a) O a u () = dx π/ + cos x = π/ dx + cos x = e x/ + cos dx x si (cos ) d = La série de erme gééral u () es divergee. b) Pour α, ], π/], (si ) α si d + = π [ ] π/ + cos+ = + e doc u (α) u (). O e dédui que la série de erme gééral u (α) es alors divergee. e x/ + cos x dx Pour α >. La série des u (α) es ue série à ermes posiifs e doc u k (α) = k= π/ u k (α) k= α (cos )+ (si ) d cos π/ (si ) α cos d avec l iégrale majorae qui es covergee puisque (si ) α cos α = quad + α Puisque la série à ermes posiifs u (α) a ses sommes parielles majorées, elle es covergee. c) Par ce qui précède, o peu iégrer erme à erme car il y a covergece de la série des iégrales des valeurs absolues des focios. O peu alors écrire π/ = Pour α = π/ Pour α = 3 π/ si α cos d = si cos d = si 3 cos d = π/ π/ π/ si α cos d + cos d = π + si ( + cos ) d = 3 Exercice 46 : [éocé] a) Par iégraio par paries o obie ue relaio de récurrece qui codui à x ( x) m dx =!m! ( + m + )! E posa u le erme gééral de la série éudiée, o observe u+ u 4 ce qui assure la covergece de la série. b) S = x ( x) dx. Par covergece de la série des iégrales des = valeurs absolues, o peu permuer e obeir S = xdx x( x) = π 3 3 Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

33 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 33 Puisque o observe ( ) + + = ( ) 4 ( ) ( ) = ( ) ( ) E somma pour alla de à, o obie ( 4 S ) ( S ) = S puis S = + S 3 c) O muliplie la relaio ( ) par ( + ) p e o développe le ( + ) p du secod membre e e somma comme ci-dessus, o saura exprimer 3S p e focio des S q avec q < p. Exercice 47 : [éocé] a) f : x x ( +x ) es défiie, coiue sur [, [ e f(x) x x f(x)dx es défiie. b) a x a ( + x ) dx = a + x dx x ( + x ) dx e doc a x ( + x ) dx = [ x + x a Par suie f(x)dx = La série = ] a + x ( + x ) dx = a + a lim a a a f(x)dx = + x dx x ( +x ) dx es covergee e de somme ulle. doc c) Pour x [, a], x ( + x ) + a 4 e doc suie = = + a 4 < x ( +x ) coverge ormaleme, e doc uiforméme sur [, a]. Par a = x ( + x ) dx = = a x ( + x ) dx = a + a d) La focio x a x +a es décroissae e iégrable sur [, [ doc par comparaiso série-iégrale Or e doc e) Ci-dessus : doc l iégrale a x + a dx = a + a = a x + a dx a [arca x + a dx = x ] = π a arca a a [arca x + a dx = x ] = π a lim a = a lim a = = a + a = π x ( + x ) dx = π x ( + x ) dx es covergee e vau π/. Le résula diffère de celui obeu e b). Il es doc faux ici de permuer somme e iégrale. Docume7 Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

34 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 34 Exercice 48 : [éocé] a) a + /a /e <. b) Posos I = e α d Par iégraio par paries, o obie I =! α + c) O a e la série = a = a = = d où e d e d e d = a coverge doc o peu iégrer erme à erme e o obie avec d où la coclusio. = a = ( e ) e = = = = e d e = e e Exercice 49 : [éocé] a) Posos u () = /( + ) sur ], ]. La suie de focios (u ) coverge simpleme vers la focio u :. Les focios u e la focio u so coiue par morceaux. Efi ], ], u () = ϕ() avec ϕ : ], ] R + iégrable. Par covergece domiée b) O a I = l I = u () d + d = u () d = = l + d Par iégraio par paries, Puisque l I = l o peu affirmer l I l. c) Pour y ], [, l( + )d l( + y) y = k= l( + ) d d = + ( ) k y k k + Par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, l( + y) y dy = k= ( ) k (k + ) Sas peie, ( ) k (k+) = π sacha = π 6. k= = d) Par le chageme de variable C sriceme croissa y = l( + ) d = l( + y) dy y Par covergece domiée (domiaio par sa limie simple), Aisi, puis Exercice 5 : [éocé] a) O a I = l( + y) dy y l( + y) y l I = l ( ) π + o I = l ( ) + π + o + d dy = π d = + Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

35 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 35 doc I l =. b) Par iégraio par paries Or doc b) O a I = l + l( + ) d I = l l( + ) = k= + o l( + ) d d ( ) ( ) k Par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, o obie la relaio proposée. c) O a avec doc avec car o sai Fialeme k= ( ) k k(k + ) k= k= ( ) k k (k + ) l( + ) d k= k k ( ) k k = k= ( ) k k= k k= k= k = π 6 = π k ( ) k k I = l ( ) + π + o ( ) k k (k + ) Exercice 5 : [éocé] a) Par la règle de d Alember la série coverge pour ou (s, λ) R + C. λ : ]; [. b) ( ) F λ (s) = λ + s (s + )... (s + ) Or doc F λ (s) s. c) Puisque + = = λ (s + )... (s + ) = λ (s + )... (s + ) λ! λ! = e λ il y a coverge ormale sur R + de la série des focios coiues s. Ceci perme d affirmer e doc λ (s+)...(s+) + = λ (s + )... (s + ) λ s! = eλ = e F λ (s) λ s + s d) Par iégraios par paries successives : e) ( y) s y dy = F λ (s) = = λ!! s(s + )... (s + ) ( y) s y dy Par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, o peu échager somme e iégrale : F λ (s) = e λy ( y) s dy Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

36 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 36 Exercice 5 : [éocé] La série a p p p! es covergee car a p p p! (a p ) p! De plus sa somme es coiue car o peu aiséme éablir la covergece ormale sur ou segme. Efi p a p p! (a ) e p= perme d assurer l exisece de l iégrale éudiée. Posos f p () = a p p p! e La série de focio f p covergece simpleme. Les focios f p e f p so coiues par morceaux. p= Les focios f p so iégrables sur [, [ e f p () d = a ( ) p p+ = O p+ es erme géérale d ue série covergee. Par le héorème d iégraio erme à erme de Fubii, o obie ( ) e p a p a p d = p! p+ p= Efi, cee expressio ed vers e a que rese d ue série covergee. Exercice 53 : [éocé] O sai que la focio ζ es coiue. (ζ(x) ) dx = avec p= dx x = l = x dx La covergece de la série des iégrales des valeurs absolues assure la covergece de l iégrale du premier membre e perme de permuer iégrale e somme. O obie alors Exercice 54 : [éocé] a) Posos (ζ(x) ) dx = f (x) = = l ( ( π )) cos si x Les focios f so coiues par morceaux e la suie de focios (f ) coverge simpleme vers la focio ulle sur [, π/[, elle-même coiue par morceaux. Efi, o a la domiaio f (x) = ϕ(x) avec ϕ évidemme iégrable sur [, π/[. Par covergece domiée, o obie u b) Par l absurde, si u coverge alors, o peu appliquer u héorème d iégraio erme à erme à la série de focios f. E effe, les focios f so coiues par morceaux, la série de focios f coverge simpleme sur [, π/[ vers la focio f : x cos ( π si x) elle-même coiue par morceaux. Efi les focios f so iégrables sur [, π/[ e l hypohèse de ravail absurde sigifie la covergece de la série [,π/[ f. Par héorème d iégraio erme à erme, o obie = u = π/ cos ( π dx si x) avec covergece de l iégrale. Or, quad x + cos ( 8 π si x) π x e doc l iégrale iroduie diverge. C es absurde. O e dédui que la série u diverge. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

37 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 37 Exercice 55 : [éocé] O a u v = π/ e cos d. Si la série umérique u coverge alors, par comparaiso de série à ermes posiifs, la série v coverge aussi. Par le héorème d iégraio erme à erme de Fubii, il y a alors iégrabilié sur ], π/] de la focio = e cos = e cos = e si Or quad + e si qui es pas iégrable sur ], π/]. C es absurde, o e coclu que la série u diverge. doc O e dédui I + () = I () I + () = ()! π (!) car I () = π/. Noos que par le chageme de variable = a u, o pouvai aussi rasformer I () e ue iégrale de Wallis. Exercice 57 : [éocé] a) Posos f () = /( + 3 ) défiie sur [, ]. Les focios f so coiues par morceaux e la suie (f ) coverge simpleme sur ], ] vers la focio ulle, elle-même coiue par morceaux. De plus Exercice 56 : [éocé] a) La focio (+ x ) es défiie e coiue par morceaux sur ], [. Cas x < : (+ x ) doc la focio es pas iégrable. Cas x = : (+ x ). Même coclusio. Cas x > : Quad +, (+ x ) e quad, (+ x ) x iégrable sur ], [ si, e seuleme si, x >. b) Pour >, o remarque que = ( + x ) = x doc la focio es Par l absurde, si I (x)coverge, o peu appliquer u héorème d ierversio somme e iégrale assura que es iégrable sur ], [. C es absurde. x O coclu que I (x) diverge. Par iégraio par paries avec deux covergeces I () = Or [ d ( + ) = ( + ) ] I () I + () = + ( + d = ) + d ( + ) + ( + ) + d, ], ], f () ϕ() avec ϕ : /( + 3 ) iégrable sur ], ]. Par applicaio du héorème de covergece domiée, o obie u b) Les focios f so coiues par morceaux e la série de focios f coverge simpleme sur ], ] vers la focio S coiue par morceaux doée par S() = ( + 3 ) = = = Si, par l absurde, la série u coverge, o es das la siuaio où la série de erme gééral ],] f () d coverge e l o peu appliquer u héorème d iégraio erme à erme affirma : S es iégrable sur ], ] e ],] S() d = = Or ceci es absurde car la focio S es pas iégrable sur ], ]! O e dédui que la série u diverge. f () d Exercice 58 : [éocé] a) Posos u () = /( + 3 ) défiie sur ], [. Les focios u so coiues par morceaux e la suie (u ) coverge simpleme vers la focio ulle sur ], [, elle-même coiue par morceaux. De plus, ], [, u () ϕ() Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

38 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 38 avec ϕ : /( + 3 ) iégrable sur [, [ e doc aussi sur ], [. Par applicaio du héorème de covergece domiée sur ], ] e sur [, [, o obie U e V b) Les focios u so coiues par morceaux e la série de focios u coverge simpleme sur ], ] vers la focio U coiue par morceaux doée par U() = ( + 3 ) = + 3 = = Si, par l absurde, la série U coverge, o es das la siuaio où la série de erme gééral ],] u () d coverge e l o peu appliquer u héorème d iégraio erme à erme affirma : U es iégrable sur ], ] e ],] U() d = = Or ceci es absurde car la focio U es pas iégrable sur ], ]! O e dédui que la série U diverge. E revache, la série V es à ermes posiifs e V k k= k= ( + 3 ) d d 3 = u () d Les sommes parielles de la série à ermes posiifs V éa majorées, o peu affirmer que la série V coverge. Exercice 59 : [éocé] a) Quad x +, f (x) x x doc α = es l uique valeur pour laquelle f es coiue e. b) f es coiue sur [, [ e quad x, f (x) ex e doc f x es borée sur R +. O peu evisager ue argumeaio plus déaillée : - puisque f coverge e, il exise A el que f es borée sur [A, [ ; - puisque f es coiue, f es borée sur [, A] ; - e fialeme f es borée sur la réuio de ces deux iervalles par la plus grade des deux bores. c) f es défiie e coiue sur [, [ e quad x, x f (x) x e ( )x doc f (x) = o ( /x ) e doc f es iégrable sur [, [. d) Pour x >, shx e x = shx e kx = k= k= (e (k )x e (k+)x) e (k )x e (k+)x dx = k ( ) k + = k = O k Par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, o peu sommer erme à erme e affirmer shx e x dx = k= Pour =, la somme es facile à calculer. ( e (k )x e (k+)x) dx = k k + Exercice 6 : [éocé] a) Par covergece domiée I. b) Par iégraio par paries avec covergece du croche [ I = ( + 3 ) avec ] k= ( + 3 ) d 3 ( + 3 ) d = I I + O e dédui la relaio demadée. c) La suie (u ) a la aure de la série de erme gééral v = u + u. Or ( v = α l + ) ( + l ) = α /3 ( ) + O 3 La série de erme gééral v coverge si, e seuleme si, α = /3. d) Puisque l ( /3 I ) l, o obie e doc Par suie I coverge. I el 3 ( ) I = O 4/3 Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

39 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 39 O a = I = = f () d avec f () = ( + 3 ) Les focios f so coiues par morceaux sur ], [, la série f coverge simpleme sur ], [ e sa somme = f = = ( ( + 3 ) = l ) + 3 es coiue par morceaux. Efi, la série de erme gééral f coverge. O peu doc permuer somme e iégrale pour obeir = I = ( l ) + 3 d = π 3 la derière iégrale éa calculer par iégraio par paries puis Exercice 6 : [éocé] O a avec f () = ( ) a sur ], [. d + 3 = π a = ( ) a = = f () d = = a + f () e a+ diverge, le héorème d iégraio erme à erme de Fubii e s applique pas. De plus la série de focios e coverge par uiforméme sur [, ] car elle e coverge pas simpleme e... Trasios alors par les sommes parielles e le héorème de covergece domiée. Posos S : ( ) k ka = ( )+ (+)a + a k= Les focios S so coiues par morceaux e la suie (S ) coverge simpleme sur [, [ vers la focio elle-même coiue par morceaux. De plus S : + a S () + a = ϕ() avec ϕ iégrable sur [, [. Par le héorème de covergece domiée, o obie Or doc S () d = = S () d k= d + a ( ) k ka d = ( ) a + = d + a avec, e subsace, la covergece de la série iroduie. Exercice 6 : [éocé] Noos que l iégrale éudiée es bie défiie. Pour ou x ], [, x α + x = ( ) x +α = k= ( ) k ka + Le héorème d iégraio erme à erme e pourra pas s appliquer car ici f = ],[ + α diverge Nous allos alors iégrer erme à erme e exploia les sommes parielles. Posos S : x ( ) k x k+α = x α ( )+ x + + x k= Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

40 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 4 Les focios S so coiues par morceaux e coverge simpleme sur ], [ vers la focio S : x xα + x elle-même coiue par morceaux. De plus S (x) xα + x = ϕ(x) avec ϕ focio iégrable sur ], [. Par le héorème de covergece domiée, o obie Or S (x) dx = e o peu doc coclure = S (x) dx k= x α + x dx ( ) k x k+α dx = ( ) + α = x α + x dx avec e subsace la covergece de la série iroduie. Exercice 63 : [éocé] a) Pour ], [, o peu écrire Posos S : k= a + b = = ( ) a+b k= ( ) k k + α ( ) k a+kb = a ( )+ (+)b + b Les focios S so coiues par morceaux e la suie (S ) coverge simpleme sur ], [ vers la focio elle-même coiue par morceaux. S : a + b De plus S () a + b = ϕ() avec ϕ iégrable sur ], [. Par covergece domiée, o obie S () d a + b d avec covergece de l iégrale iroduie. Or S () d = ( ) k a+kb = doc = = k= ( ) a + b = a + b d k= avec covergece de la série iroduie.. b) Après calculs ( ) 3 + = d + 3 = 3 l + π 3 3 Exercice 64 : [éocé] Soi f : [, [ R la focio défiie par f () = ( ) + ( ) k a + kb O observe f = / e doc la série des focios f coverge ormaleme, doc uiforméme sur [, [. Puisque chaque f es coiue, o peu affirmer que la focio ( ) S : + = es défiie e coiue sur [, [. Les focios f so iégrables sur R + e f () d = π d + = π Puisque la série f diverge, o e peu iégrer erme à erme par le héorème de Fubii. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

41 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 4 Raisoos alors par les sommes parielles e exploia le héorème de covergece domiée. Posos ( ) k S : k + k= Les focios S so coiues par morceaux sur [, [ e coverge simpleme vers la focio S elle-même coiue par morceaux. De plus, le crière spécial des séries alerées s appliqua, o a S () + = ϕ() avec ϕ iégrable sur [, [. Par le héorème de covergece domiée, o obie Or S () d = S () d k= doc π ( ) = = avec covergece de la série iroduie. Exercice 65 : [éocé] Posos = ( ) + ( ) + d = π = f : x ( ) e ax ( ) + d ( ) Les focios f so coiues e e veru du crière spécial des séries alerées, o peu affirmer que la série f coverge simpleme sur ], [. De plus, par le crière spécial des séries alerées, o a R (x) = ( ) k e a kx e a+x k=+ ce qui perme d éablir que la série f coverge uiforméme sur ou segme de ], [. O e dédui que la focio S : x = ( ) e ax k= d es défiie e coiue sur ], [. Pour iégrer erme à erme, ous allos exploier les sommes parielles e le héorème de covergece domiée. Posos S : x ( ) k e a kx Les focios S so coiues par morceaux e la suie (S ) coverge simpleme vers S elle-même coiue par morceaux. E veru du crière spécial des séries alerées, o a avec ϕ iégrable. Par covergece domiée, o obie k= S (x) S (x) = e ax = ϕ(x) S (x) dx S(x) dx avec covergece de l iégrale iroduie. Or S (x) dx = ( ) k e akx dx = doc = k= ( ) = a = avec e subsace covergece de la série écrie. ( ) e ax dx ( ) k Exercice 66 : [éocé] a) La focio x + es défiie e coiue par morceaux sur ], ]. Quad +, x + x = avec x < x doc x + es iégrable sur ], ]. b) Posos g(x, ) = x + sur ], [ ], ]. g(x, ) es coiue par morceaux sur ], ], x g(x, ) es coiue sur ], [. Soi [a, b] R +, k= (x, ) [a, b] ], ], g(x, ) a + a = ϕ a () a k Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

42 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 4 avec ϕ a iégrable sur ], ]. Par domiaio sur ou segme de ], [, o peu affirmer que f es coiue sur ], [. c) Pour x > f(x) + f(x + ) = x d = x d) Quad x +, f(x + ) f() doc f(x + ) = o(/x) puis f(x) /x. Quad x, doc f(x) x. f(x) Exercice 67 : [éocé] a) Posos f : [, [ [, [ R défiie par f(x, ) = x d = x e + x Pour chaque x [, [, la focio f(x, ) es coiue par morceaux sur [, [ e iégrable car f(x, ) O e dédui la covergece de l iégrale impropre défiissa F (x). b) Pour chaque [, [, la focio x f(x, ) es idéfiime dérivable e f (x, ) = ( )! ( + x) + e La focio x f (x, ) es coiue, la focio f (x, ) es coiue par morceaux e (x, ) [, [ [, [, f (x, )! e = ϕ () avec ϕ : [, [ R coiue par morceaux e iégrable. Par domiaio, o peu alors affirmer que F es de classe C sur [, [ e c) E pariculier N, x [, [, F () (x) = ( )! F () () = ( ) (!) e d Exercice 68 : [éocé] Cosidéros f : (x, ) e x + défiie sur ], [ [, [ Pour ou x ], [, f(x, ) es coiue par morceaux sur [, [ e iégrable car f(x, ) + Pour [, [, la focio x f(x, ) es de classe C sur ], [ e e x (x, y) = + e f e x (x, ) = + Pour ou x ], [, la focios (x, ) es coiue par morceaux e iégrable. La focio f es coiue e x, coiue par morceaux e. Soi [a, b] ], [. Sur[a, [ [, [, o a f (x, ) e a avec ϕ : e a coiue par morceaux e iégrable sur [, [. Par domiaio sur ou compac, la focio F es de classe C sur R + e F (x) + F (x) = Efi F car f(x) Exercice 69 : [éocé] e x + d + e x + d e x + d = e x d = x x e x d = x a) g : (x, ) e x + es défiie coiue e x e coiue par morceaux e sur R + [, [ avec g(x, ) + = ϕ() e ϕ iégrable sur [, [. Par domiaio, o peu affirmer que f es défiie e coiue sur R +. b) g exise e es coiue e x e coiue par morceaux e sur R+ [, [. Pour x [a, b] R + o a g (x, ) = + e x = ψ() e a Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

43 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 43 avec ψ iégrable sur R +. Par domiaio sur ou segme de R +, o peu affirmer que f es de classe C sur ], [ avec f e x (x) = + d Efi, f(x) f (x) = e x d = u= x e u du = x Exercice 7 : [éocé] a) + es iégrable sur R + doc g() exise. 3 u /u es ue bijecio C ere R + e R +. O peu réaliser le chageme de variable = /u qui doe Doc puis g() = d + 3 = udu + u 3 π x [ d + = 3 arca ] = 4π g() = π 3 3 b) La focio g es paire. Pour x x, o a pour ou, e x e x doc g es décroissae sur R +. c) Pour x >, doc lim g(x) =. x Exercice 7 : [éocé] a) Posos g(x) g(x, ) = e x d = x + x Pour ou x R +, la focio g(x, ) es défiie, coiue sur R + e g(x, ) / 3 doc f(x) exise. b) u /u es u C difféomorphisme ere R + e R +. O peu réaliser le chageme de variable = /u qui doe Doc puis f() = d + 3 = udu + u 3 [ d + = 3 arca ] = 4π f() = π 3 3 c) x g(x, ) es coiue sur R +, g(x, ) es coiue par morceaux sur [, [ avec g(x, ) + 3 = ϕ() e ϕ iégrable sur [, [ doc f es coiue. Si x y alors [, [, g(y, ) g(x, ) doc f(y) f(x). Aisi f es décroissae. Rq : O peu aussi morer f de classe C mais cela alourdi la démosraio d) f ed vers e car f(x) d du = x =xu x + u 3 x Exercice 7 : [éocé] a) Posos u : R [, π] R la focio défiie par u(x, θ) = cos(x si θ) La focio u adme des dérivées parielles u (x, θ) = si θ si(x si θ) e u (x, θ) = si θ cos(x si θ) Pour chaque x R, θ u(x, θ) e θ u (x, θ) so coiues par morceaux sur [, π] doc iégrable. De plus u es coiue e x e coiue par morceaux e θe x R, θ [, π], u (x, θ) = ϕ(θ) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

44 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 44 L applicaio ϕ éa iégrable sur [, π], o peu affirmer par domiaio sur ou segme que la focio f es de classe C avec f (x) = π b) O remarque e doc π si θ cos(x si θ) dθ e f (x) = π f (x) = π π x(f (x) + f(x)) = π π (cos θ ) cos(x si θ) dθ π Par iégraio par paries, o obie cos θ. (x cos θ cos(x si θ)) dθ x(f (x) + f(x)) = f (x) si θ cos(x si θ) dθ O e dédui que f es soluio de l équaio différeielle liéaire d ordre c) Pour ou x R, o peu écrire f(x) = π xy (x) + y (x) + xy(x) = π = ( ) ()! (si θ) x dθ Puisque la série x ()! es covergee, u argume de covergece ormale perme ue iégraio erme à erme e doc f(x) = = a x avec a = ( ) ()!π π (si θ) dθ d) Nous pourrios calculer l iégrale défiissa a car c es ue iégrale de Wallis, mais puisqu o ous demade d exploier l équaio différeielle... Pour ou x R, par dérivaio d ue série eière f (x) = = ( + )a + x + e f (x) = = L équaio xf (x) + f (x) + xf(x) = doe alors = ( ( + ) a + + a ) x + = ( + )( + )a + x Par uicié des coefficies d u développeme e série eière de rayo de covergece >, o obie Sacha a =, o coclu ( + ) a + + a = a = ( ) (!) Exercice 73 : [éocé] a) Iroduisos g(x, ) = cos +x défiie sur R+ [, π/]. La focio g es coiue e x e coiue par morceaux e. Pour [a, b] R +, o a (x, ) [a, b] [, π/], g(x, ) + a = ϕ() La focio ϕ es iégrable sur [, π/]. Par domiaio sur ou segme, o peu affirmer que f es coiue sur R +. Aussi, pour < x x, o a [, π/], g(x, ) g(x, ) E iégra, o obie f(x ) f(x). La focio f es doc décroissae. O aurai pu aussi éablir que f es de classe C e éudier le sige de sa dérivée. b) Quad x, π/ f(x) x + d Quad x + c) doc O sai : f(x) π/4 cos + x d x + π/4 [l( + x)]π/4 = l x x + π/ π/ cos d f(x) x f(x) x x π/ π/, cos cos d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

45 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 45 doc π/ Or π/ e doc d + x π/ π/ d π/ + x f(x) d x + π/ = l l x + x x d + x π/ f(x) x l x d = C = o(l x) d + x Exercice 74 : [éocé] a) La focio (si ) x es défiie, coiue e posiive sur ], π/]. Quad +, (si ) x x avec x > doc (si ) x es iégrable sur ], π/]. Aisi f es défiie e posiive sur ], [ b) La focio g (x, ) = l(si )(si )x es défiie, coiue e x e coiue par morceaux e. Soi [a, b] ], [. Sur [a, b] ], π/] g (x, ) l(si )(si )a = ϕ() avec ϕ es iégrable sur ], π/] car pour α el que a < α <, α ϕ() a+α l() Par domiaio sur ou segme, f es de classe C sur ], [ e f (x) = π/ Aisi la focio f es décroissae. c) E iégra par paries f(x+) = π/ l(si )(si ) x d [ ] (si ) (si ) x ( cos x+ π/ )d = f(x) cos x + x + f(x+) e doc d) O a e doc par récurrece f(x + ) = x + x + f(x) ϕ(x + ) = (x + )f(x + )f(x) = xf(x )f(x) = ϕ(x) e) ϕ es coiue e quad x, Or quad x, doc quad x, ϕ() = f()f() = π/ N, ϕ() = π/ ϕ(x) = ϕ( + x) ϕ() = π/ f(x) = f(x) f() = π/ ϕ(x + ) (x + )f(x + ) x + Rq : E fai o peu morer que ϕ es ue focio cosae. Exercice 75 : [éocé] a) Posos u(x, ) = (si ) x défiie sur R ], π/]. Pour ou x R, u(x, ) es coiue par morceaux sur ], π/]. O a u(x, ) + x doc u(x, ) es iégrable sur ], π/] si, e seuleme si, x >. De plus, la focio u(x, ) es posiive e doc la covergece de l iégrale équivau à l iégrabilié de la focio. E coclusio, l iégrale exise si, e seuleme si, x >. b) u adme ue dérivée parielle u (x, ) = l(si )(si )x Celle-ci es coiue e x e coiue par morceaux e. Pour [a, b] ], [, o a (x, ) [a, b] ], π/], u (x, ) l(si ) (si )a = ϕ() Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

46 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 46 La focio ϕ es iégrable car ϕ() l a = o ( α ) avec α ], a[ + Par domiaio sur ou segme, o obie f de classe C avec c) Posos f (x) = Ue iégraio par paries avec doe π/ O e dédui π/ l(si )(si ) x d ϕ(x) = (x + )f(x)f(x + ) u () = si e v() = (si ) x ( π/ (si ) x d = (x ) (si ) x d ϕ(x + ) = ϕ(x) Moros que cee focio es e fai cosae. Soi a ], [. Pour ou N, ϕ(a + ) = ϕ(a). E posa p = a, la décroissace de f doe Or e doc π/ ϕ(a) = ϕ(a + ) (a + + )f(p + )f(p + + ) (p + + )f(p + )f(p + + ) = ϕ(p + ) = ϕ() (si ) x d (a + + )f(p + )f(p + + ) = a + + ϕ() p + + ϕ() De faço semblable, ϕ(a) peu êre miorée par ue suie de limie ϕ(). O peu doc affirmer que ϕ es cosae. Exercice 76 : [éocé] Eudios la focio doée par f(x) = arca(x/) + ) Noos u(x, ) = arca(x/) + défiie sur R + ], [ u(x, ) es coiue par morceaux sur], [ pour chaque x R + x u(x, ) es coiue sur R + pour chaque ], [ e u(x, ) π/ + = ϕ() avec ϕ focio iégrable sur ], [. O e dédui que la focio f es défiie e coiue sur R +. x u(x, ) es dérivable sur R + pour chaque ], [ e u (x, ) = ( + x )( + ) x u (x, ) es coiue sur R+ pour chaque ], [ u (x, ) es coiue par morceaux sur ], [ pour chaque x R+ e u (x, ) = x ( + ) car x x +. Soi [a, b] ], [ (x, ) [a, b] ], [, u (x, ) = a ( + ) = ψ() avec ψ focio iégrable. Par domiaio sur ou segme, o obie f de classe C sur ], [ avec f (x) = ( + x )( + ) d Pour x, o peu décomposer la fracio raioelle défiissa l iégrade e o obie alors ( + )(x + ) = (x )( + ) (x )(x + ) f (x) = x [ ( )] + l x + = l x (x ) Cee ideié se prologe e x = par u argume de coiuié. O a alors x l x l ( d = lim ) ε ε ( d = lim f(x) f(ε) ) ε Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

47 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 47 Or f() = e par coiuié o parvie à x l ( d = f(x) ) Exercice 77 : [éocé] a) Pour a >, o oe Ω a = {z C/Re(z) a}. z z + es coiue par morceaux sur ], ], z + es coiue sur Ω e pour z Ω a, z + a + = ϕ() avec ϕ iégrable sur ], ] car ϕ() a quad +. Par domiaio, o peu affirmer que f es défiie e coiue sur Ω a. Ceci vala pour ou a >, o peu ecore affirmer que f es défiie e coiue sur Ω. b) O observe f(x) + f(x + ) = x d = x + e par coiuié doc c) Par iégraio par paries Or avec f(x + ) x f() f(x) x x + (z + )f(z) = + z+ ( + ) d z+ ( + ) d z+ d z+ = exp((z + ) l = exp ((Re(z) + ) l ) = Re(z)+ car les expoeielles imagiaires so de module. O a alors z+ ( + ) d Re(z)+ d = Re(z) + Re(z) Aisi puis (z + )f(z) Re(z) f(z) Re(z) Exercice 78 : [éocé] a) Pour x R, si(x) e es coiue par morceaux sur ], [, ( ) si(x) e = si(x) O() e = e o doc f(x) es bie défiie pour ou x R. b) Posos g(x, ) = si(x) e. g adme ue dérivée parielle g avec z g (x, ) = e cos(x) x g g (x, ) es coiue sur R, (x, ) es coiue par morceaux sur ], [. Efi g (x, ) e = ϕ() avec ϕ iégrable sur ], [. Par domiaio, o peu affirmer que f es de classe C, a foriori coiue e dérivable. c) La décomposiio e = e perme d écrire f() = = = Par la majoraio si(u) u, o obie si()e d si()e e d = La série [,[ si()e d coverge, o peu iégrer erme à erme f() = = si()e d Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

48 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 48 O calcule l iégrale sommée e cosidéra la parie imagiaire de O obie à erme f() = e i e d = Exercice 79 : [éocé] La focio f es bie défiie sur ], [ e Posos défiie sur ], [ [, [. u adme deux dérivées parielles xf(x) = π + u(x, ) = e x + e x + d u (x, ) = + e x e u (x, ) = + e x Pour chaque x >, les focios u e u so iégrables e pour ou [a, b] ], [, o a la domiaio u (x, ) e a = ϕ() avec ϕ iégrable. O e dédui que la focio x e x + d es défiie e de classe C sur ], [. Il e es de même pour f par opéraios sur de elles focios. Quad x, e x + d doc xf(x) π puis π f(x) x + x e x d = x Eudios maiea f(x) quad x +. Par le chageme de variable u = x, avec f(x) = Par iégraio par paries, f(x) = Pour x ], ], e la focio e u x + u du = u e u x + u du u ϕ : u e u u [ ] l(x + u )ϕ(u) l(x + u ) l(u ) + l( + u ) u ( l(u ) + l( + u ) ) ϕ (u) l(x + u )ϕ (u) du es iégrable sur ], [ car ϕ peu êre prologée par coiuié e e O e dédui ϕ (u) u e u u f(x) = l x + O() l x x + Exercice 8 : [éocé] a) Par le chageme de variable = ux (bijecio de classe C ) o obie f(x) = Posos g : ], [ ], [ R défiie par g(x, u) = du + x u u + x u u La focio g es coiue sur ], [ ], [ e g(x, u) u = ϕ(u) Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

49 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 49 avec ϕ iégrable sur ], [. O e dédui que f es défiie e coiue sur ], [. b) Quad x + g(x, u) = Par la domiaio précédee De même, o obie Exercice 8 : [éocé] a) Puisque f(x) x + + x u u u f(x) x cos du u = [arcsi u] = π du = quad + o peu affirmer, par équivalece de focios posiives, que l iégrale diverge e. O peu alors coclure que f es défiie sur ], [ (car l iégrale sur u segme d ue focio coiue coverge) mais e peu pas êre défiie sur u domaie plus grad. b) Posos x si g(x) = d Cee fois-ci si quad + e doc la focio g es défiie e coiue e. Puisque o peu coclure Aussi f(x) = x f(x) + g(x) = x d = l x f(x) l x quad x + + cos() d = l x + x cos() d Comme la ouvelle iégrale coverge e (cela s obie par ue iégraio par paries) o coclu f(x) l x quad x Exercice 8 : [éocé] a) Pour que la racie carrée soi défiie pour ], [, il es écessaire que x [, ]. Pour x ], [, l iégrale défiissa f coverge par les argumes d iégrabilié suiva ( )( x ) + e Pour x = ±, l iégrale défiissa f diverge car ( )( x ) ( )( ) + C e L esemble de défiiio de f es doc ], [. b) Sur [, [, la focio f es croissae e adme doc ue limie e. Par l absurde, si celle-ci es fiie égale à l R alors a [, [, a d ( )( x ) l Par iégraio sur u segme, la focio de x déermiée par le premier membre es coiue e x =, o e dédui a d ( ) l Or ceci es absurde car par o iégrabilié d ue focio posiive a d ( ) a Exercice 83 : [éocé] a) La focio x /x α ( + x) es défiie e coiue par morceaux sur ], [ avec x α ( + x) x + x α e x α ( + x) x x α+ Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

50 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 5 Cee focio es doc iégrable si, e seuleme si, α ], [. La focio iégrée éa de surcroî posiive, l iégrale défiissa f(α) coverge si, e seuleme si, α ], [. b) O a Or e pour α / O a doc f(α) f(α) = dx x α+ = dx x α ( + x) dx x α+ ( + x) dx x( + x) = C dx x α ( + x) dx = C x( + x) dx x α+ ( + x) dx x α+ + O() = α + O() α c) Par le chageme de variable C bijecif x = /, o obie f(α) = f( α) d où la symérie affirmée. d) Posos u(α, x) = x α ( + x) Pour chaque x ], [, la focio α u(α, x) es coiue e pour chaque α ], [ la focio x u(α, x) es coiue par morceaux. Efi pour α [a, b] ], [ (avec a > ), o a e Aisi u(x, α) u(x, α) x a ( + x) x b ( + x) si x [, [ si x ], ] u(x, α) ϕ a,b (x) pour x ], [ e posa ϕ a (x) = u(a, x) + u(b, x) qui es iégrable. Par domiaio sur ou segme, o peu affirmer que f es coiue sur ], [. e) Par le chageme de variable x = /, o peu écrire dx x α ( + x) = d α ( + ) e alors f(α) = x α + x α x( + x) dx O vérifie que pour x, la focio α x α + x α es décroissae sur ], /] puis croissae sur [/, [. La focio f a doc la même moooie e so miimum es doc d f(/) = = π ( + ) via le chageme de variable u =. Exercice 84 : [éocé] a) Posos f(x, ) = l +x. f es défiie e coiue sur ], [ ], ]. Pour x >, f(x, ) x l doc f(x, ) puis f(x, ) es + iégrable sur ], ]. Aisi F es défiie sur ], [. f adme ue dérivée parielle Soi [a, b] ], [. Pour x [a, b], (x, ) + coiue avec l a = ϕ() (x, ) = l (+x). avec ϕ iégrable sur ], ]. Par domiaio sur ou segme, o peu affirmer que F es de classe C e F (x) = b) Par iégraio par paries, [ ( F (x) = l + x )] x l ( + x) d ( + x ) d x où la primiive de +x es choisie de sore de s auler e pour que l iégraio par paries présee deux covergeces. Aisi F d l(x + ) l x (x) = = ( + x) x Par opéraios G (x) = l(x + ) l x x l( + /x) + l x x = x l x Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

51 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Correcios 5 puis Or G() = F () avec F () = G(x) = G() (l x) l + d = k= ( ) k k l() d Or k l() d = (k+) doc par covergece de la série des iégrales des valeurs absolues, F () = ( ). Sacha = π π 6, o obie F () = = = puis G(x) = (l x) π 6 c) Par décomposiio e élémes simples La même echique e s applique par pour l éude e. O va alors rasformer l écriure de l iégrale. Par iégraio par paries g(x) = [ cos() ] x x cos() x + (x + ) d Le erme ere croche ed vers quad x e le erme iégrale aussi car x cos() (x + ) d x d x = x Aisi g(x) x Doc ( + )( + chθ + ) = chθ + chθ ( + chθ) + chθ + l + + ch(θ) + d = chθ (F () G(eθ )) = θ 4(ch(θ) ) Exercice 85 : [éocé] a) Par le chageme de variable = xu, g(x) = x si + x d = si(xu) + u du L applicaio f : (x, u) si(xu) +u es défiie e coiue sur ], [ [, ] e f(x, u) = ϕ(u) avec ϕ iégrable sur [, ]. Par domiaio, o peu coclure que g es défiie e coiue sur ], [. b) Puisque u [, ], si(xu) + u x + o peu affirmer, oujours par domiaio, que g(x) x + du = Exercice 86 : [éocé] Cosidéros f : (x, ) e x + défiie sur ], [ [, [ Pour [, [, la focio x f(x, ) es fois dérivable sur ], [ f adme ue dérivée parielle e x (x, ) = + Pour ou x ], [, f(x, ) es coiue par morceaux e iégrable sur [, [ car f(x, ) De plus x ], [, (x, ) es coiue par morceaux. [, [, x (x, ) es coiue. Diffusio auorisée à ire eièreme graui uiqueme - dd

Concours des Grandes Ecoles INTEGRALES-Correction. PARTIE A. SUJET INTEGRAL Année universitaire 2009/2010

Concours des Grandes Ecoles INTEGRALES-Correction. PARTIE A. SUJET INTEGRAL Année universitaire 2009/2010 SUJET NTEGRAL Aée uiversiaire 9/ PARTE A. Cocours des Grades Ecoles NTEGRALES-Correcio..La focio f défiie par f : f ( ) ( )cos( ) es bie coiue sur l iervalle fermé boré [ ; ]. Les focios si( ) so de classe

Plus en détail

Intégration SUP/ESC MPSI/PCSI/ESC. x dx C

Intégration SUP/ESC MPSI/PCSI/ESC. x dx C MPS/PCS/ESC égraio SUP/ESC Méhodes d iégraio - : égrale immédiae - : Somme ou différece de focios - : Composée de focio -4 : Décomposiio e fracios raioelles -5 : Par subsiuio (chageme de variable) -6 :

Plus en détail

Intégrales généralisées

Intégrales généralisées 3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie. Mardi 19 Mars 2013 Durée : 3 heures DTL N 4

Lycée Fénelon Sainte-Marie. Mardi 19 Mars 2013 Durée : 3 heures DTL N 4 Lycée Féelo Saie-Marie Termiale ES Aée 0-0 Mahémaiques Mardi 9 Mars 0 Durée : heures DTL N La calcularice es auorisée. Le suje compore u oal de exercices. Le barème es fouri à ire idicaif. EXERCICE (6

Plus en détail

CAPES EXTERNE. Partie I : Première approche de la constante d Euler

CAPES EXTERNE. Partie I : Première approche de la constante d Euler SESSION 2 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Prie I : Preière roche de l cose d Euler Soi N L focio es coiue e décroisse sur ],+ [ e doc sur [,+] Doc our ou réel de [,+], o + D rès l iéglié, o O e dédui que +

Plus en détail

Développement en Série de Fourier

Développement en Série de Fourier F-IRIS-5.ex Développeme e Série de Fourier Développer e série de Fourier les focios de période T défiies aisi : a b { f impaire T = f = si ] ; { f paire T = f = si ; ] Faire das chaque cas ue représeaio

Plus en détail

Exercices de révision

Exercices de révision Exercices de révisio Exercice U ivesisseur souscri à l émissio d u bille de résorerie do les caracérisiques so les suivaes : - Nomial : 5 M - Taux facial : 3,2% - Durée de vie : 9 mois L ivesisseur doi

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

10 Chapitre 10. Alfred Logarithme, un arrondi catastrophique

10 Chapitre 10. Alfred Logarithme, un arrondi catastrophique Chapire 0 Chapire 0. Alfred Logarihme, u arrodi caasrophique Das cerais calculs, les erreurs d'arrodis peuve deveir si imporaes qu'elles ôe ou ses aux résulas obeus : cela ie à la représeaio des ombres-machie

Plus en détail

S euls les flux de fonds (dépenses et recettes) définis s ent l investissement.

S euls les flux de fonds (dépenses et recettes) définis s ent l investissement. Choix d ives i s s eme e cer iude 1 Chapire 1 Choix d ivesissemes e ceriude. Défiiio L es décisios d ivesissemes fo parie des décisios sraégiques de l erepris e. Le choix ere différes projes d ivesisseme

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

n 1 LES GRANDS THÈMES DE L ITB > 2009 Les intérêts simples et les intérêts composés ( ) C T D ( en mois)

n 1 LES GRANDS THÈMES DE L ITB > 2009 Les intérêts simples et les intérêts composés ( ) C T D ( en mois) LES GRANDS THÈMES DE L ITB Les iérês simples e les iérês composés RAPPELS THÉORIQUES Les iérês simples : l'iérê «I» es focio de la durée «D» (jour, quizaie, mois, rimesre, semesre, aée) de l'opéraio (placeme

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Calculer comment se constituer un capitale ; Calculer comment rembourser une dette en effectuant des versements réguliers.

Calculer comment se constituer un capitale ; Calculer comment rembourser une dette en effectuant des versements réguliers. CHAP: 8 Objecifs de ce chpire : Clculer comme se cosiuer u cpile ; Clculer comme rembourser ue dee e effecu des versemes réguliers. RAPPELS : Qu'es-ce qu'ue vleur cquise? Qu'es-ce qu'ue vleur cuelle? Le

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI

Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI UV Cour Répoe emporelle de yème dyamique coiu LI ASI 3 Coeu! Iroducio! Eude de yème du premier ordre " Iégraeur " Syème du er ordre! Eude de yème du ème ordre " Syème du ème ordre avec répoe apériodique

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin 2015. Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 +

Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin 2015. Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 + Universié Pierre e Marie Curie Licence de Mahéaiques Séries e inégrales généralisées - Approfondisseen (2M26) Janvier-Juin 25. Devoir Maison n o Exercice : Convergence e calcul d inégrales. Éudier la naure

Plus en détail

Rentabilité et financement d un investissement

Rentabilité et financement d un investissement REFI01 : Reabilié e fiaceme COURS Jui 2000 Reabilié e fiaceme d u ivesisseme 1 OBJECTIFS O cherche : à assurer la compéiivié de l ereprise sur plusieurs aées ; après avoir examié l opporuié d u ivesisseme

Plus en détail

ISFA Université Lyon 1 β WINTER & Associés γ RÉSUMÉ

ISFA Université Lyon 1 β WINTER & Associés γ RÉSUMÉ Allocaio d acifs selo le crière de maximisaio des fods propres écoomiques e assurace o-vie : préseaio e mise e œuvre das la réglemeaio fraçaise e das u référeiel de ype Solvabilié Frédéric PLANCHET Pierre-E

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Feuille d exercices 5

Feuille d exercices 5 Mathématiques Physique S3, 205/206 Uiversité Blaise Pascal Feuille d exercices 5 Ex.. Tracer le graphe des foctios périodiques suivates, doer leur développemet e série de Fourier et discuter la covergece

Plus en détail

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton) TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel

Plus en détail

Université de Picardie Jules Verne 2013-2014 UFR des Sciences

Université de Picardie Jules Verne 2013-2014 UFR des Sciences Uiversié de Picardie Jles Vere 13-14 UFR des Scieces Licece meio Mahémaiqes - Semesre 3 Saisiqe Exame de ldi 7 javier 14 Drée h To docme ierdi - Calclarices aorisées Exercice 1 1) Das e poplaio doée, o

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Simulation de trajectoires de processus continus

Simulation de trajectoires de processus continus Simulaio de rajecoires de processus coius - Frédéric PLANCHET (Uiversié Lyo, Laboraoire SAF, JWA - Acuaires) - Pierre THEROND (Uiversié Lyo, Laboraoire SAF, JWA - Acuaires) 005.6 (WP 04) Laboraoire SAF

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Chapitre 16 : Espaces vectoriels

Chapitre 16 : Espaces vectoriels PCSI Préparatio des Khôlles -4 Chapitre 6 : Espaces vectoriels Exercice type Soit E=R[X] et F ={P E, P(X)=XP (X)+P()}, motrer que F est u sous-espace vectoriel de E. : O a bie F E. Si P =est le polyôme

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Simulation de trajectoires de processus continus

Simulation de trajectoires de processus continus Simulaio de rajecoires de processus coius F. Plache 1 ad P.-E. Thérod Résumé. Les processus sochasiques coius so des ouils largeme employés e fiace e e assurace, oamme pour modéliser aux d iérês e cours

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

Trading de Volatilité

Trading de Volatilité M émoire moire d Eude d Approfodisseme Tradig de Volailié Chrisia DIDION & Thomas JANNAUD Valdo DURRLEMAN Ecole Polyechique Sommaire Iroducio. Modèle de Blac-Scholes. Iroducio 44. Modèle de Blac & Scholes..5

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

, où E est un espace vectoriel réel de dimension finie et φ une forme bilinéaire symétrique sur E définie positive : φ (i)

, où E est un espace vectoriel réel de dimension finie et φ une forme bilinéaire symétrique sur E définie positive : φ (i) Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS GROUPE ORTHOGONAL Produ scalare Défo O aelle esace euclde ou coule ( E, φ, où E es u esace vecorel réel de dmeso fe e φ ue forme bléare

Plus en détail

SUITES ET FONCTIONS. 1. Espaces vectoriels normés réels ou complexes

SUITES ET FONCTIONS. 1. Espaces vectoriels normés réels ou complexes SUITES ET FONCTIONS. Espaces vectoriels ormés réels ou complexes.. Normes et distaces. Exercice... F Soit E l espace vectoriel des foctios de classe C sur [a, b], o pose Nf = fc + f où c [a, b], f désigat

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

[ Aire ] représente l aire algébrique comprise entre la courbe et l axe des temps sur un intervalle d une période. T : période en secondes (s)

[ Aire ] représente l aire algébrique comprise entre la courbe et l axe des temps sur un intervalle d une période. T : période en secondes (s) AIDE-MEMOIRE REGIME PERIODIQE Grdeur périodique : e grdeur périodique es ue grdeur qui se répèe ideiqueme à elle même e régulièreme ds le emps. Période : durée cose oée, exprimée e secode (s) qui sépre

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

Corrigé CNC MP 2003, Math 1

Corrigé CNC MP 2003, Math 1 Corrigé CNC MP 3, Mah Parie I. a La foncion e es coninue sur ], α] prolongeable par coninuié en, elle es donc inégrable sur ],α] b La foncion e e es coninue sur [,+ [ e. + donc elle es inégrable sur [,

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Table des matières. Aller à la page suivante

Table des matières. Aller à la page suivante CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Chapitre 3 Séries umériques 3. Préparatio Défiitio 3..2 O appelle série de terme gééral u et o ote u (qui se lit «série de terme gééral u»), où (u ) N R N, la suite de terme

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES 74 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 1/6 PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (Sujet commu ENS : ULM et LYON) DURÉE : 6 heures Lc cadidat peut traiter l ue quelcoque des parties

Plus en détail

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien Universié Paris VI Maser : Modèles sochasiques, applicaions à la finance (MM065) TD 20-2 : Modèles de marchés - Mouvemen brownien. Taux de change. Soi (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini non redondan

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet

Plus en détail

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau.

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau. AVANT PROPOS Cet ouvrage propose aux élèves de classes termiales (fraçais) S (spécialité math) des rappels et des complémets de cours assez complet, aisi que des problèmes et des exercices corrigés. Les

Plus en détail

Chapitre I- LA LOGIQUE DU MARCHE FINANCIER & DES INVESTISSEURS

Chapitre I- LA LOGIQUE DU MARCHE FINANCIER & DES INVESTISSEURS Chapire I- LA LOGIQUE DU MARCHE FINANCIER & DES INVESTISSEURS Le calcul de l ivesisseur fiacier es fodé sur l exame de 2 ypes de rémuéraio. D ue par, ue rémuéraio sas risque qui es celle du emps basé sur

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière CORRECTION EXERCICES TS /5 CHAPITRE 3 Correctio des exercices sur la ature odulatoire de la lumière Correctio exercice : idice d u verre et réfractio. La radiatio = 530 m est verte et la radiatio = 680

Plus en détail

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES Sections des sciences économiques et des hautes études commerciales Mathématiques I Cours du professeur D. Royer Recueil d exercices #2 Analyse II Semestre

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL UNE ÉTUDE EMPIRIQUE DE L INTERVENTION DE LA BANQUE CENTRALE SUR LE MARCHÉ DES CHANGES

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL UNE ÉTUDE EMPIRIQUE DE L INTERVENTION DE LA BANQUE CENTRALE SUR LE MARCHÉ DES CHANGES UNIVERSIÉ DU QUÉBEC À MONRÉAL UNE ÉUDE EMPIRIQUE DE L INERVENION DE LA BANQUE CENRALE SUR LE MARCHÉ DES CHANGES MÉMOIRE PRÉSENÉ COMME EXIGENCE PARIELLE DE LA MAIRÎSE EN ÉCONOMIQUE CONCENRAION EN ÉCONOMIE

Plus en détail

Test de validité et d'hypothèse

Test de validité et d'hypothèse Test de validité et d'hypothèse 1 Vocabulaire Problème: Il s'agit à partir de l'étude d'u ou plusieurs échatillos de predre des décisios cocerat l'esemble de la populatio. O est alors ameé à émettre des

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH R O Y A U M E D U M A R O C Miistère de l Educatio Natioale et de la Formatio Professioelle Cetre Régioal des Métiers de l Éducatio et de la Formatio Académie Régioale de l Éducatio et de la Formatio Marrakech-Tesift

Plus en détail

Suites et séries numériques

Suites et séries numériques Maths MP Cours Table des matières Suites et séries umériques Quelques prélimiaires. Les yeux fermés........................................... De quoi parle-t-o?........................................3

Plus en détail

Fiche de révisions de première année pour une rentrée en PSI en toute sérénité!

Fiche de révisions de première année pour une rentrée en PSI en toute sérénité! PSI Septembre 0 MATHEMATIQUES Fiche de révisions de première année pour une rentrée en PSI en toute sérénité! Table des matières Nombres complexes 3. Cours...................................... 3. Exercices

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Texte Ruine d une compagnie d assurance

Texte Ruine d une compagnie d assurance Page n 1. Texe Ruine d une compagnie d assurance Une nouvelle compagnie d assurance veu enrer sur le marché. Elle souhaie évaluer sa probabilié de faillie en foncion du capial iniial invesi. On suppose

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Stock options et gestion du groupe des actionnaires dominants : vers un effet de levier de contrôle?

Stock options et gestion du groupe des actionnaires dominants : vers un effet de levier de contrôle? Soc opios e gesio du groupe des acioaires doias : vers u effe de levier de corôle? JEL : G3/G3/D74 Keywords : Srucure de corôle, soc opios, iciaio des salariés, asyérie d iforaio, alliace, collusio, acioaria.

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Application «Calculs» Application «Graphiques» Application «Tableur et listes» FR

Application «Calculs» Application «Graphiques» Application «Tableur et listes» FR TI Nspire Documet de Formatio T3 Walloie TI-Nspire Le tout e u des mathématiques Suites umériques La loi de Verhulst Applicatio «Calculs» Applicatio «Graphiques» Applicatio «Tableur et listes» FR Formatios

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail