Exemples de résolutions d équations différentielles

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1 Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple Avec second membre 3.1 Exemple Exemple Exemple Exemple Exemple Exemple Sans second membre, avec condiion iniiale Exemple Exemple Avec second membre e condiion iniiale Exemple Exemple Exemples de recollemens Exemple Exemple Exemple Exemple Exemple Fichier à uiliser : equ diffs. 1 Définiions Soien I un inervalle de R non rédui à un poin. Les foncions a (e, au bseoin, b) son coninues sur I, à valeurs réelles. Alors y () + a()y() = 0 une équaion différenielle linéaire, homogène, du premier ordre; e y ()+a()y() = b() es une équaion complèe. Noons A une primiive sur I de a ; les soluions de l équaion proposée son les foncions I λ exp ( A() ). Sans second membre.1 Exemple Résolvons l équaion différenielle y () + y() = 0 : ici, a() =, donc A() = udu =. La soluion générale de cee équaion es donc R λe. 1

2 3 Avec second membre 3.1 Exemple Résolvons l équaion différenielle y () + y() = + 3. Nous avons a() =, donc A() = udu =. Les soluions de l équaion homogène son les foncions R λe. Il nous rese à déerminer une soluion pariculière ; celle-ci es de la forme h() = a + b + c; donc h () = a + b. Il vien : h () + h() = a + b + a + b + c = a + (a + b) + b + c Ceci nous amène au sysème échelonné, formé des rois équaions a = 1, (a + b) = e b + c = 3. La résoluion nous donne a = 1/, b = 3/ e c = 9/4. La forme générale d une soluion es donc R λe Exemple Résolvons l équaion différenielle y + y =, avec la condiion iniiale y(0) =. Nous avons a() =, donc A() = udu =. La soluion générale de l équaion homogène y + y = 0 es donc la foncion R λe. Nous rouvons facilemen une soluion pariculière de l équaion complèe : il suffi de prendre R 1. La soluion de l équaion complèe es donc R 1 + λe. 3.3 Exemple Résolvons l équaion différenielle y () + y() = e. Ici, nous avons a() = 1, donc A() = 1d =. La soluion générale de l équaion homogène es visiblemen la foncion R λe. Il nous fau mainenan déerminer une soluion pariculière de l équaion complèe ; la méhode de variaion de la consane nous donne λ () = e 1 + e, donc λ() = ln(1 + e ). La soluion complèe es donc R λe + e ln(1 + e ). 3.4 Exemple Résolvons l équaion différenielle y () y() = ( 1)e. Ici, nous avons a() =, donc A() = du =. Les soluions de l équaion homogène son visiblemen de la forme R λe. Il rese à déerminer une soluion pariculière ; celle-ci sera de la forme e P(), avec P polynomiale, de degré. Noons P() = a + b + c e P () = a + b; alors : ( P () + ( 1)P() ) e = ( 1)e P () + ( 1)P() = 1 a + b + ( 1)(a + b + c) = 1 a + (b a) + a b = 1

3 Ceci nous mène à a = 1 e b = 1. Finalemen, la soluion générale de cee équaion es R λe + (1 + )e. 3.5 Exemple Nous résolvons l équaion différenielle y () + y() = e. La soluion générale de l équaion homogène es R λe. La méhode de variaion de la consane s applique, ici : y() = λ()e donne λ () = e + k, où k R. La soluion de l équaion complèe es donc λe + e, avec λ R. 3.6 Exemple Nous résolvons l équaion différenielle y () y() = sh() ch(). L équaion différenielle se rédui à y () y() = 0. Nous avons a() =, donc A() = udu =. La soluion générale de l équaion homogène es R λe. À FAIRE! Il rese à déerminer une soluion pariculière de l équaion complèe. 4 Sans second membre, avec condiion iniiale 4.1 Exemple Résolvons l équaion différenielle y () + 3y() = 0, avec la condiion iniiale y(0) =. Nous avons a() = 3, donc A() = 3d = 3. La forme générale des soluions es donc R λe 3. La condiion iniiale y(0) = impose y : R e Exemple Résolvons l équaion différenielle (1 + )y () y() = 0, avec la condiion iniiale y(1) = π. L équaion es mise sous la forme plus agréable y () 1 u 1 + u du = Les soluions son donc de la forme R λ Avec second membre e condiion iniiale 5.1 Exemple y() = 0 ; ici, a() =, donc A() = Résolvons l équaion différenielle y () + y() = + 1, avec la condiion iniiale y(0) = 3. Observons l équaion homogène y () + y() = 0 : ici, a() =, donc A() = udu =. Les soluions son les foncions R λe /. Si nous cherchons une soluion pariculière, nous obenons facilemen la soluion R. Sinon, la condiion iniiale y(0) = 3 impose comme soluion la foncion R λ exp( /). 3

4 5. Exemple Résolvons l équaion différenielle y () y() = sh() ch(), avec la condiion iniiale y(0) = 1. La soluion générale de l équaion homogène es R λe. Il rese à déerminer une soluion pariculière de I équaion complèe ; elle sera de la forme α sh() + β sh(). 6 Exemples de recollemens 6.1 Exemple Résolvons l équaion différenielle y () y() = 3. Nous nous ramenons à la résoluion des équaions y () y() =, avec < 0, puis avec > 0. La soluion de l équaion homogène nous donne a() =, donc A() = du = ln(). Nous disinguerons u désormais deux cas de figure. Si y ],+ [, alors y() = λ exp ( A() ) = λ exp ( ln() ) = λ. De la même façon, nous obenons pour ]0,+ [ la soluion y() = µexp ( A() ) = µexp ( ln() ) = µ. Nous consaons que y() 0, puis que y () 0. Donc la resricion de y à ]0,+ [ es prolongeable à droie de 0 ; nous obenons y(0) = 0 e y (0) = 0. La foncion, ainsi prolongée, es dérivable sur R +. Un argumen analogue nous monre que la resricion de y à ], 0[ es prolongeable par coninuié à gauche de 0. La foncion, ainsi prolongée, es dérivable à gauche de 0. Finalemen, y, ainsi prolongée, es coninue e dérivable sur R. Les soluions de l équaion proposée son de la forme suivane : < 0 µ, > 0 λ e 0 0. Il exise une double infinié de soluions obenues par recollemen. 6. Exemple Résolvons l équaion différenielle y () y() =. Observons que l équaion n es pas définie sur R ; en revanche, elle es définie sur R e sur R +. Si < 0, la soluion générale es y() = λ ; de même, si > 0, la soluion générale es y() = µ. Une soluion pariculière es obenue facilemen : c es la soluion y() =. Finalemen, la soluion générale de l équaion différenielle es définie comme sui : si < 0, alors y() = λ+ ; si > 0, alors y() = µ +. Voyons si les deux morceaux peuven êre raccordés. Les soluions que nous venons de définir son coninues, respecivemen à gauche e à droie de 0 ; donc nous pouvons prolonger y par coninuié, en posan y(0) = 0. Il rese à obenir la dérivabilié à gauche e à droie de 0 : or celle-ci es obenue en imposan λ = µ. Concluons : il exise des soluions sur R, de la forme y() = λ Exemple Résolvons l équaion différenielle y () y() =. Observons que l équaion es définie sur ]0,+ [. La condiion > 0 nous es imposée. L équaion homogène s écri y y = 0 ; sa soluion générale es > 0 λ. Pour obenir une soluion pariculière, il es raisonnable, au vu de l équaion, de prendre y() = α. Alors y () = α e y() = α ; donc α α = 1, soi α = 3. La soluion générale es λ 3. 4

5 Observons que la soluion proposée end vers 0 + avec, donc y es prolongeable par coninuié à droie de 0, y() y(0) en posan y(0) = 0. Mais = λ 0 3 end vers lorsque end vers 0+. Donc il n exise pas de soluion sur R Exemple Résolvons l équaion différenielle y ()sin() y()cos() = 1. Nous consaons que cee équaion ne peu êre résolue que sur chaque inervalle I n = ]nπ,(n + 1)π[. Limions-nous au cas où l inervalle es I p = ]pπ,(p + 1)π[. Ici, A() = co() = cos() ; donc A() = sin() cos(u) sin(u) du = ln( sin() ). La soluion générale de l équaion homogène es donc λ exp ( ln(sin() ) = λ sin(). Observons que la foncion y() 0 e y() 0 ; Il rese à rouver une soluion pariculière de pπ + (p+1)π l équaion complèe. Si nous avons l œil, la foncion 1 convien! Sinon, nous savons qu une soluion sera de la forme I n α sin() + β cos() ; le rese es une quesion d idenificaion. 6.5 Exemple Résolvons l équaion différenielle y + y = 1. Nous nous ramenons à l équaion y + y = 0. Les soluions son : si < 0, alors y() = λe 1/ ; si > 0, alors y() = µe 1/. Une soluion pariculière évidene es la foncion y() = 1. La soluion générale es donc : si < 0, alors y() = 1 + λe 1/ ; si > 0, alors y() = 1 + µe 1/. La coninuié de y à gauche e à droie de 0 es claire, donc nous pouvons prolonger y en imposan y(0) = 0. Monrons enfin que la dérivée peu à son our êre prolongée : si < 0, alors y() = λe 1/, avec λ R, y(0) = 1 e y (0) = 0 ; si > 0, alors y() = 1. 5

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