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1 Universié Libre de Bruxelles Solvay Business School La valeur acuelle André Farber Novembre Inroducion Supposons d abord que le emps soi limié à une période e que les cash flows fuurs (les flux monéaires) soien cerains. Dans ce conexe, la formule de calcul de la valeur acuelle d un cash flow fuur C éan donné le aux d inérê r en vigueur sur le marché es : Cee formule peu s écrire : C VA + r VA(r) C Cee expression monre que la valeur acuelle es le monan à placer aujourd hui pour obenir C en fin de période si le aux d inérê par période es r. Une aure présenaion de la même formule peu êre donnée : VA C v dans laquelle v /(r) es le faceur d acualisaion. Ce faceur d acualisaion es le prix de marché d un zéro-coupon de valeur faciale uniaire. Une zéro-coupon es une obligaion élémenaire qui ne verse pas d inérês inermédiaires (les coupons) e donne lieu à un paiemen unique à l échéance d un monan appelé la valeur faciale. Un zéro-coupon de valeur faciale uniaire verse donc à l échéance. Dans cee noe, nous relâchons l hypohèse d un avenir limié à une seule période. Nous monrons commen calculer la valeur acuelle d une chronique quelconque de cash flows fuurs. Nous mainenons cependan l hypohèse de ceriude. Ceraines des formules présenées dans cee noe son d applicaion dans une siuaion plus réalise d inceriude mais nous coninuons à assimiler le aux d acualisaion uniquemen à un aux d inérê. Dans un conexe d inceriude, nous devrons ajouer au aux d inérê une prime de risque pour obenir le aux d acualisaion. 2. Formule générale VALEUR ACTUELLE ET FACTEUR D ACTUALISATION L analyse présenée dans l inroducion condui naurellemen à une définiion générale de la valeur acuelle. La valeur acuelle d un flux de résorerie (ou cash flow) fuur es le prix (ou la valeur) sur les marchés financiers de ce flux. Elle es calculée en muliplian ce flux (C ) par un faceur d acualisaion (v ). Celui-ci correspond au prix de marché aujourd hui (emps 0) d une unié monéaire disponible à la dae fuure (emps ). La valeur acuelle heorie v de 7

2 VA C v De manière similaire, la valeur acuelle d un échéancier de cash flows : C, C 2,, C T es la somme des valeurs acuelles des cash flows individuels. VA C v + C2 v2 + + CT vt Lorsque les cash flows fuurs son connus avec ceriude, les faceurs d acualisaion peuven êre obenus direcemen en observan les prix de zéro-coupons basés sur des obligaions d Ea. En effe, il exise des insrumens financiers raiés sur les marchés don le prix aujourd hui correspond exacemen au droi à recevoir un monan de dans n années, ce qui équivau à nore faceur d acualisaion pour l année n. Ces obligaions son connues sous le nom de STRIPS («Separae Trading of Regisered Ineres and Principal of Securiies»). Une obligaion d Ea radiionnelle comprend des coupons (les inérês payés périodiquemen) e le principal (le remboursemen à l échéance de la valeur nominale). Une série de STRIPS es créée en scindan une obligaion en plusieurs morceaux, chacun d eux correspondan à un seul encaissemen. Le faceur d acualisaion es égalemen lié à un aux d acualisaion, le aux d inérê correspondan à l échéance, par la formule : v ( + r ) Cee formule peu aussi s écrire : v ( + r). Cee présenaion indique que la valeur fuure d un monan v placé pendan années à un aux annuel moyen r avec réinvesissemen annuel des inérês es égal à l unié. Le aux d inérê r es aussi appelé aux compan («spo rae») quand on veu préciser qu il es applicable à ou emprun ou prê démarran aujourd hui. L ensemble des aux au compan e de leur échéance ulime donne la srucure par erme des aux d inérê. Si l on fai l hypohèse que le aux d inérê es indépendan de l échéance, c es-à-dire que la srucure par erme des aux es plae, la formule du faceur d acualisaion s écri : v v ( + r) où v. ( + r) A ire d illusraion, nous présenons deux applicaions-ype du principe d acualisaion : les projes d invesissemen e le calcul obligaaire. PROJETS D INVESTISSEMENT La valeur acuelle nee d un proje d invesissemen es la somme des valeurs acuelles de ous les cash flows associés à ce proje : La valeur acuelle heorie v 2 de 7

3 VAN C0 + C v + C2 v2 + + CT vt Le aux d acualisaion r uilisé dans l expression de «v» es le aux correspondan aux exigences de renabilié des apporeurs de capiaux. Pour un proje don les cash flows fuurs son risqués, le aux d acualisaion es égale au aux sans risque auquel l on rajoue une prime de risque. Le aux de renabilié inerne («Inernal Rae of Reurn») d un proje d invesissemen es le aux d acualisaion qui annule la valeur acuelle nee. Il es la soluion de : C C C C ( + TRI) ( + TRI) ( + TRI) 2 T T Pour les projes caracérisés par des flux de résorerie négaifs suivis de flux de résorerie posiifs: VAN > 0 TRI > r Noons que la déerminaion d un TRI n es pas un calcul simple. Vous rouverez plus loin la foncion Excel qui vous permera de réaliser ce calcul sans douleur. CALCUL OBLIGATAIRE Le prix P au emps 0 d une obligaion d éa venan à échéance dans T années, de valeur nominale égale à 00 e versan un coupon annuel C es : P0 C v ( 00) + C v2 + + C+ vt Dans le cas présen, il es imporan de préciser l échéance de «v». En effe, en maière de produis sensibles au aux d inérê, il es irréalise d oublier le fai que la courbe des aux d inérê n es généralemen pas plae : le aux annuel dépend de l échéance à laquelle il es applicable. Le rendemen à l échéance (ou aux de rendemen acuariel «yield o mauriy») es le aux d acualisaion qui égalise le prix de l obligaion avec la valeur acuelle des coupons fuurs e du remboursemen final. Par analogie, il peu êre vu comme éan le aux de renabilié inerne d un proje consisan à acheer l obligaion pour recevoir ensuie les flux monéaires aachés. Il es la soluion de : C C C+ F ( + y) ( + y) ( + y) T P INFERENCE DES TAUX D INTERET Sur les marchés financiers, les «raders» son plus enclins à raier des «prix» qu à raier direcemen des «aux». Par conséquen, c es indirecemen que les agens rerouven (ou infèren) les aux implicies conenus dans ces prix. La valeur acuelle heorie v 3 de 7

4 Supposons que nous observions les prix de n obligaions. Soi P i le prix de l obligaion i e C i son coupon. Les n faceurs d acualisaion peuven êre calculés en résolvan le sysème de N équaions linéaires à n inconnues : P ( 00) i Ci v + Ci v2 + + Ci + vn i, 2,.., n Les produis financiers reenus pour l esimaion implicie de cee courbe peuven êre rès variés. En général, les analyses von essayer de se baser sur les prix des insrumens les plus liquides du marché dans leur caégorie. Aujourd hui, la majorié des raders uilisen : les prix des aux de dépôs inerbancaires pour esimer les aux à échéance < an les aux de «Floaing-Rae Agreemen» (FRA) pour les aux > an mais < 5 ans les aux «swap» pour esimer impliciemen les aux allan de 5 à 30 ans. 3. Formules simplificarices Quelques formules permeen de simplifier les calculs : Toues les séries de flux menionnées dans les poins ci-dessous ne débuen qu à la période, la valeur acuelle éan calculée au emps 0. () Valeur acuelle d une rene («perpéuié») consane, c es-à-dire une suie infinie de cash flows consans : C C 2 C C C VA r (2) Valeur acuelle d une rene («perpéuié») croissane, c es-à-dire une suie infinie de cash flows croissans : C, C 2 C (g),, C C - (g) C (g) -, NB : g < r VA (3) Valeur acuelle d une annuié consane, c es-à-dire une suie finie de cash flows consans : C C 2 C n C C r-g VA C - n r ( r) Faceur d'annuié La valeur acuelle heorie v 4 de 7

5 où VA C - v r n Faceur d'annuié e le faceur d annuié v +v v n. (4) Valeur acuelle d une annuié croissane, c es-à-dire une suie finie de cash flows croissans : C, C 2 C (g),, C C (g) -. VA C g - r-g r LES FORMULES DANS EXCEL Si vous praiquez l acualisaion à ire professionnel, vous effecuerez probablemen une parie imporane de vos calculs en Excel. Nous reprenons donc ci-dessous les foncions en Excel qui corresponden aux formules présenées ci-dessus. Nous vous donnons les formules pour la version française e la version anglaise. Excel français Excel anglais Commenaire Formule général VAN(r, Val. Val.n) NPV(r, Val. Val.n) La foncion VAN/NPV donne la VA e non la VAN. La formule es basée sur un aux d acualisaion unique. Perpéuié consane VA C/r Perpéuié croissane VA C /(r-g) Annuié consane VA (C/r)[-(r) -n ] Néan Néan La formule es rop simple pour jusifier une foncion Néan Néan A nouveau, rop simple pour une foncion -VA(r,n,C) ou VA(r,n,-C) -PV(r,n,C) ou PV(r,n,-C) Aenion : si C>0, la formule donne un résula négaif Calcul du TRI TRI(Val.,,Val.n) IRR(Val.,,Val.n) Foncionne sans problème si les cash flows son négaifs d abord puis posiifs COMPOSITION D INTERETS Lorsque les inérês son réinvesis plusieurs fois par an, le faceur d acualisaion s écri : La valeur acuelle heorie v 5 de 7

6 r + n v n où r es le aux annuel nominal, n es le nombre de réinvesissemen d inérês par an e n es le nombre de période de réinvesissemens enre 0 e. Le aux d inérê annuel équivalen («r ae») es lié au aux annuel nominal par la formule : + rae + r n n Lorsque la périodicié es infinie, on parle de aux coninu. Dans ce cas, le faceur d acualisaion -( r ) devien : v exp. TAUX D INTERET REEL ET INFLATION Le aux d inérê réel es le aux d inérê réalisé sur un placemen à pouvoir d acha consan. La relaion enre le aux d inérê réel e le aux d inérê nominal es : aux d'inérê nominal aux d'inérê réel aux d'inflaion En première approximaion : aux d'inérê réel aux d'inérê nominal- aux d' inflaion Résumé La valeur acuelle d une série de cash flows es la somme des valeurs acuelles des flux de résorerie individuels : VA C v + C v + + C 2 2 T vt Le faceur d acualisaion peu êre mesuré par : v ( + r ) Quelques formules simplificarices rès praiques : Valeur acuelle d une rene de coupon C : C PV r d une rene de coupon C avec croissance infinie g (avec g< r ): VA C r-g La valeur acuelle heorie v 6 de 7

7 Valeur acuelle d une annuié consane : VA C - n r ( r) Faceur d'annuié d une annuié croissane : VA C g - r-g r NOTES Les noions de base de calcul de valeurs acuelles son exposées dans ous les manuels de finance, par exemple Brealey Myers Allen (2005) Chapire 3. Nous nous différencions quelque peu des présenaions usuelles en basan la formule de calcul de la valeur acuelle sur l exisence de prix de marché (les faceurs d acualisaion) pluô que sur un aux d acualisaion unique idenique pour oues les échéances. Ceci nous perme de mere en évidence l imporance de la srucure par erme des aux pour ous les calculs de valeurs acuelles pour des cash flows fuurs cerains. La «boosrap mehod» uilisée pour exraire les faceurs d acualisaion de coaions d obligaions d Ea es décrie noammen dans Garbade (998), Tuckman (995) ou Van Devener e Imai (997). Pour les amaeurs d hisoire, il es inéressan de rappeler que les calculs de valeurs acuelles e de valeurs fuures remonen à la nui des emps. Mais les moyens de calculs éaien limiés avan l arrivée des calcularices élecroniques e des ordinaeurs. Imaginez devoir calculer (/,0435) 35 manuellemen! Un cauchemar. Ce n es qu au débu des années 950, avec l arrivée des ordinaeurs, que la valeur acuelle a fini par s imposer dans oues les enreprises. La difficulé de calcul es, mainenan, de l hisoire ancienne. Poiras (2000) présene les origines des calculs acuariels. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES Brealey, R., S. Myers and F. Allen, Principles of Corporae Finance, McGrawHill 2005 Garbade, Kenneh D., Fixed Income Analyics, MIT Press, 998 Poiras, G., The Early Hisory of Financial Economics, , Edward Elgar, 2000 Ross, Weserfield and Jaffe, Corporae Finance, McGrawHill 2005 Tuckman, Bruce, Fixed Income Securiies, Wiley 995 Van Devener, Donald R. and Kenji Imai, Financial Risk Analyics, Irwin, 997 La valeur acuelle heorie v 7 de 7

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