CHAPITRE 13. EXERCICES a) 20,32 ± 0,055 b) 97,75 ± 0,4535 c) 1953,125 ± 23, ±0,36π cm 3

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1 Chapire Eercices de snhèse 6 CHAPITRE EXERCICES..a), ±,55 b) 97,75 ±,455 c) 95,5 ±,475.±,6π cm.a) 44,, erreur absolue de,5 e erreur relaive de, % b) 5,56, erreur absolue de,5 e erreur relaive de,9 % 4.a) Il fau mere 6 µ dans la première fille, 5 µ dans la deuième e µ dans la roisième. Puis, il fau prendre 8 µl de la soluion mère pour mere dans la première fille, 5 µ pour la deuième e µ pour la roisième. Puis, il fau prendre 5 µl de la soluion mère pour mere dans la première fille, 75 µ de la première pour mere dans la deuième e 8 µ de la deuième pour mere dans la roisième. b) Il fau mere 9 µ dans la première fille, 95 µ dans la deuième e 98 µ dans la roisième. Puis, il fau prendre 8 µl de la soluion mère pour mere dans la première fille, 5 µ de la première pour mere dans la deuième e µ de la deuième pour mere dans la roisième. EXERCICES.4 4. a) ln( + ) = 4. En prenan le logarihme des deu membres : ln( + ) =. En epriman sous forme eponenielle : + = e 4/ e = e 4/ =, On rouve donc =, b) z log 5 log 4 = z lg 4, d où z log 5 z lg 4 = log 4 e z(log 5 lg 4) = log 4 qui donne : log 4 log 4 z = = = 6, 5... log 5 log 4 log 54 On rouve donc = 6,5... c) + = 7, d où ln + ( + ) ln = ln 7 e ln + ln + ln = ln 7 En regroupan : ln ln 7 = ln ln Par mise en évidence : (ln ln 7) = (ln + ln ) ln 6 Par propriéé des logarihmes : ln (/7) = (ln 6) e = =, 4... ln ( 7) On rouve donc =,4... d) c + 5(c 4) = 5( c ), d où c + 5c = 5 c e 6c = 5 qui donne c = 5/6. e) ( + ) = 4, d où + = 4 e = 4 =, On rouve donc =, f) log ( + 4) = + log ( ), d où : log ( + 4) log ( ) =. Par les propriéés des logarihmes, on obien : log + 4 = + 4 En epriman sous forme eponenielle : 4 = = Cela donne + 4 = 4( ) e, en disribuan : + 4 = 8 8. En regroupan : 5 = e = /5. On rouve donc =,4. g) n n = 4, d où n n = 6 e n n 6 =. On obien alors : n = ± + 64 n = 5... e n = 4,5... h) 6 e 5 e 5 e = +, d où 6 e =.. Cela donne :

2 64 Chapire Eercices de snhèse Par mise au même déniminaeur, on obien : e 5 e = e 7 e Tempéraure ( C) Tempéraure ( C) Viesse (milliers de /min) Viesse (milliers de /min) =, d où e = =. 7 7 En prenan le logarihme des deu membres : = ln e = ln 7 7 =,46... On rouve donc =,46... i) + = 8, d où 8 + = e ( 8 + ) =. Par l inégrié des nombres réels, on a : = e =. Cee dernière égalié donne : n = ± e on obien =,45... e =,5... On rouve donc {;,45;,5}. C I CI C,5,78,89,5.a) e modèle obenu par régression es :,5 9,6,89,5 I(C) = 5,569C +,986,5 5, 7,85 6,5 e coefficien de corrélaion es,9997. b) On cherche C el que 5,569C +,986 = 7,5. En isolan C, on rouve :,5,49 7,75,5 C = 4, ,5 5,6 5,5,5 On peu esimer la conenraion à 4,76 mmol/. 5,5,87 75,85,5.a) Pour l huile A, la représenaion graphique 8, 6,6 45,94 7,5 sur papier à échelle bilinéaire log donne une courbe croissane e concave vers le hau. On peu faire l h- 6, 5 5, pohèse d un lien de puissance avec un eposan plus grand que ou 4, d un lien eponeniel. 5, a représenaion graphique des couples (v; ln T) donne une droie, on reien donc l hpohèse d un lien eponeniel e on obien, par la méhode des moindres carrés : ln T =, v +, e, sous forme eponenielle : T =,7 e,v, où T es la empéraure du moeur e v, sa viesse. b) Pour l huile B, la représenaion graphique sur papier à échelle bilinéaire donne une courbe croissane e concave vers le bas. On peu faire l hpohèse d un lien de puissance avec un eposan compris enre e ou d un lien logarihmique. a représenaion graphique des couples (ln v; ln T) donne une droie, on reien donc l hpohèse d un lien de puissance e on obien, par la méhode des moindres carrés : ln T =,7 ln v +,986 Ce qui donne :T = 9,7 v,7 En considéran un lien de puissance on a un coefficien de corrélaion de, alorsqu en considéran un lien logarihmique, on obien un coefficien de corrélaion de,9966. c) huile A a une meilleure performance à basse viesse e l huile B a une ogarihme de la empéraure ogarihme de la empéraure log 6, 5, 4,,,, log ogarihme de la viesse Tempéraure ( C),, Éude comparaive du rendemen des huiles Viesse (milliers de /min) Viesse (milliers de /min)

3 Chapire Eercices de snhèse 65 meilleure performance à haue viesse. Dans l inervalle de 5 5 à 7 /min, elles son assez équivalenes. e pri de ces huiles pourrai êre considéré dans la prise de décision. d) 85 C, 58 C 4.a) N() = 5 e N(6) = 7 4 b) N() = (,) e N(6) < 5.a) es foncions son respecivemen : C () = e C () = 4 +, où es le nombre de demi-heures. b) Pour un ravail de,5 h, on a = 5 demi-heures e on rouve : C (5) = = 5 e C (5) = =. e premier plombier demande 5 $ e le deuième $. c) On cherche la valeur de pour laquelle C = C, c es-à-dire : = 4 +, d où = 6 e =. e coû es le même pour un ravail de,5 h. Coû du ravail ($) C (,5; 7) Durée du ravail (h) 6.a) e nombre iniial de bacéries es donné par : N() = 4 e = 4, soi 4 bacéries. b) On cherche le emps pour lequel : N() = 4 e,549 = 4, soi 4 bacéries. Cela donne : e,549 =. En prenan le logarihme en base e, on obien :,549 = ln e =,... e nombre de bacéries riple donc en heures. c) On doi eprimer e,549 en base, soi rouver a el que a = e,549. En prenan le logarihme en bas e, on obien : a ln = ln e,549 e a ln =,549 ln e. Puisque ln e =, on a : a =,549/ln =, a relaion s écri donc N() = 4,4997. d) On doi eprimer e,549 en base, soi rouver c el que c = e,549. En prenan le logarihme en base, on obien : c log =,549 log e. Puisque log =, on a : c =,549 log e =,549,84... a relaion s écri donc N() = 4,84. e) On a N() = 4,44 = 4 (,44 ) = 4 (,75) = 4 ( +,75). Par conséquen, i =,75. Cela nous perme de voir que l augmenaion es de 7% par heure. f) On cherche pour lequel e,549 =, e en résolvan on rouve que le emps de dédoublemen es,6 h 7.a) On cherche E, sachan que log E = 4,4 +,5 8,. Cela donne log E = 6,7 e E = 6,7 = 5,9 6 J. E b) En isolan M dans la relaion log E = 4,4 +,5M, on obien : M = log 44,, d où M = log E, 9. 5, Si l énergie es mulipliée par, on a alors : M = log E, 9 = ( log + log E), 9 = ( + E) = E + log, 9 log, 9 inensié es donc agmenée de / d unié. c) Si l inensié es augmenée de, on a : M = E 9+ = E 9+ = log, log, + log E, 9 / = ( + E) 9 = / log log, ( log E), 9 inensié es donc mulipliée par / =,6. e plus violen libère,6 fois plus d énergie. E d) En isolan M dans la relaion log E = 4,4 +,5M, on obien : M = log 44,, d où M = log E, 9. 5, Il s agi d une relaion logarihmique. e) En isolan E, on obien : E = e 4,4 +,5M = e 4,4 e,5m =8,45e,5M. On obien donc une relaion eponenielle. 8.a) Soi, le nombre d échanillons raiés e, le emps en heures. a relaion es direcemen proporionnelle e les données son ( ; ) = (,75; 6) e ( ; ) = (,5; ). Puisque la variaion es direcemen proporionnelle, on a : =, soi,75 =,5 6 En isolan, on rouve = 8. es echniciens raieron 8 échanillons.

4 66 Chapire Eercices de snhèse b) Soi, le emps en minues e n, le nombre de echniciens. a relaion es inversemen proporionnelle e les données son (n ; ) = (; 45) e (n ; ) = (5; ). Puisque la variaion es inversemen proporionnelle, on a : n = n, soi 5 = 45 En isolan n, on rouve n = 7. es cinq echniciens raieron les 6 échanillons en 7 minues. log 9. = 5 log + 4= 5 + = + = + 4 log 4 9, 56 log 4, e = 4,5 ln + 4 log, log 5, Une relaion logarihmique peu oujours se définir à l aide d un mécanisme logarihmique de base ou de base e.. a) e modèle es V() = (,) = (,9), où V es la valeur en dollars e, le emps en années. Au bou de 5 ans, la valeur sera V(5) = (,9) 5 = 89,8, soi environ 89 $. b) Si la valeur diminuai de par année, le modèle serai V() =, où V es la valeur en dollars e, le emps en années. Au bou de 5 ans, la valeur serai V(5) = 5 =. amachinerie vaudrai alors $.. a) Affine, =,5 +,8 b) Puissance, =,7/ c) Eponenielle, =,7. a) a représenaion graphique sur papier à échelle bilinéaire donne une courbe décroissane e concave vers le hau. a représenaion graphique des couples (; ln N) donne une droie, on peu faire l hpohèse d un lien eponeniel e on obien, par la méhode des moindres carrés : ln N =, ,55 Ce qui donne : N = 4 9 e,54487 Remarque : a courbure des données peu sembler légère. On peu, pour confirmer la validié de nore choi, appliquer la méhode des moindres carrés au couples (; ) pour obenir un modèle affine e comparer les mesures de précision. On obien alors le modèle affine = 85, + 5. Cependan le coefficien de corrélaion du modèle affine es,987 e celui du modèle eponeniel es, De plus, le calcul des résidus donne 764 dans le cas du modèle affine e 7 dans le cas du modèle eponeniel. b) a populaion iniiale es de 49 inseces. c) On cherche pour lequel 4 9 e,54487 = 5. En isolan, on obien :, e =, d où, 5448= ln e = ln 4, , = Il faudra 4, heures pour qu il ne rese que 5 inseces N. a) e modèle es Q() = Q e a, où Q es la quanié iniiale,, le emps en années e Q(), la quanié au emps. En subsiuan les données, on obien : Q e 44a =,5Q, d où e 44a =,5. En prenan le logarihme en base e, on obien : 44a = ln,5, d où a =,56... a relaion peu s écrire Q() = Q e,56. Dans un déeceur de ans, la quanié es : Q() = Q e,56 =,984...Q. Il conien donc 98% de la quanié iniiale. b) On cherche el que Q e,56 =,8 Q, d où e,56 =,8 e,56 = ln,8. En isolan e en effecuan le calcul, on obien : = 4,4.... e déeceur sera foncionnel duran 4 ans soi jusqu en l an. c) Selon le modèle héorique, il en resera oujours, mais en réalié on ne pourra déecer de radioacivié. 4. e modèle es N() = N, où N es le nombre iniial de cellules,, le emps en années e N(), le nombre de cellules au emps. Puisque N =, on a : N() =. Au bou de si heures, on a 4 périodes de 5 minues e : N(4) = 4 = cellules. 8, 7,8 7,4 7, log N 6,6

5 Chapire Eercices de snhèse En représenan graphiquemen les données, on consae que le modèle pourrai êre une variaion direcemen proporionnelle ou une variaion direcemen proporionnelle au carré. e graphique ne perme pas de dire si la siuaion es décrie par une droie ou une courbe. Cependan, le crière algébrique es rès convaincan. En calculan les rappors d/v e d/v pour les différenes correspondances, on obien le ableau ci-conre: Disance d arrê (m) 9 6 es rappors d/v éan consans, la variaion es direcemen proporionnelle au carré, soi de la forme d = kv où k =,. e modèle algébrique es donc : d =,v On rouve par subsiuion les correspondances suivanes : Viesse (km/h) 7 8 Disance d arrê (m) a) a masse éan proporionnelle au volume, on a: M m kg = 84,6 kg/m V m m où M m e V m son respecivemen la masse e le volume de la maquee. a masse éan de,5 kg, on rouve :,5 kg V m = =, 47 m = 47 cm 84,6 kg m b) e rappor des volumes de figures semblables es égal au cube du rappor des lignes homologues. Dans ce cas, le rappor des volumes es donc égal au cube du rappor des haueurs, on a donc : V h s s = Vm h = 7 m 5 où V m es le volume de la maquee e V s es le volume de la sculpure. On a donc : Vs = 7 V m = 7 5 5, 47 =5, m c) a masse es proporionnelle au volume, la consane de proporionnalié éan la masse volumique, on a: d où P m kg = 85 kg m 5, m = 44 kg. P m m kg = 85 kg m V m Viesse (km/h) V d d/v d/v d) a relaion es décrie par C= k λh où λ es la largeur, h l épaisseur e d la disance enre les suppors. Puisque la d consane es k = 6 kg/cm que la largeur prévue es de cm, que la disance enre les suppors es de,8 m, e que la charge es de 44 kg, on a donc : cm h 44 = 6 kg cm 8 cm En isolan : h 44 8 cm = = 5 cm d où h = 5 cm 6 kg cm cm a poure devrai donc avoir 5 cm d épaisseur ,,6,5,65,8,95 v,,,,,,

6 68 Chapire Eercices de snhèse 8. a) a représenaion graphique sur papier à échelle bilinéaire donne un assez bon alignemen. On peu faire l hpohèse d un lien affine e la méhode des moindres carrés donne : =,8 +,4 Cependan, la représenaion graphique des couples (ln ; ln ) donne égalemen un rès bon alignemen des poins. On peu donc égalemen faire l hpohèse d un lien de puuissance e la méhode des moindres carrés donne : ln =,7997 ln +,6959 D où : ln = ln,7997 +,6959 e = e,6959,7997 =,7997,8. Pour choisir enre ces deu modèles, il faudrai comparer leur mesure de rpécision. e coefficien de corrélaion du modèle affine es,9985 e celui du modèle de puissance es, De plus, le calcul des résidus donne,596 dans le cas du modèle affine e,7 dans le cas du modèle de puissance. On opera donc pour l empodèle de puissance. Il fau êre conscien que dans le cas de données epérimenales, un plus grand évenail de données pourrai nous amener à modifier ce choi. b) a représenaion graphique sur papier à échelle bilinéaire suggère l hpohèse d un lien quadraique = a + b + c. e modèle a rois paramères, il suffi de rois couples pour les déerminer. En forman rois groupemens à parir des neuf couples de données e en calculan les valeurs moennes, on obien : (; ), (; ) e (4; ) En subsiun dans le modèle quadraique, on obien le ssème d équaions : a+ b+ c= 4a+ b+ c= 6a+ 4b+ c=, En sousraan la premère équaion de la deuième e de la roisième, il rese :, 4 6 a+ b= { 5a+ b= En sousraan fois la première équaion de la deuième, il rese alors 6a = 4, d où a = /. E, par subsiuion, on rouve b = 4 e c 7/. 7 e modèle es donc = + 4. c) a représenaion graphique sur papier à échelle bilinéaire donne une courbe croissane log e concave vers le hau. On peu faire l hpohèse d un lien de puissance avec un 8,,5 eposan plus grand que ou d un lien eponeniel. 6,, a représenaion graphique des couples (; ln ) donne une droie, on reien donc l hpohèse d un lien eponeniel e on obien, par la méhode des moindres carrés : ln =,47 +,55 Ce qui donne : =,77 e,6, 8, 4,, ,,, 4,5,, 4 Remarque : a courbure des données peu sembler rès légère. On peu alors appliquer la méhode des moindres carrés au couples (; ) pour obenir un modèle affine. On obien alors le modèle =,98 +,8. Cependan le coefficien de corrélaion du modèle affine es,975 e celui du modèle eponeniel es,998. De plus, le calcul des résidus donne,8547 dans le cas du modèle affine e,68 dans le cas du modèle eponeniel. 6, 4,,5,,5, log,,5,,5, log

7 Chapire Eercices de snhèse a) =,9,8 b) =,9, c) =, ln +,87 d) a noion de emps de dédoublemen ne s applique qu à une eponenielle croissane. Pour a, on obien TD = ln /, =,7 EXERCICES.6.a) θ = arcsin,5 =,49 ou 59,5 ou,58 rad e,768 rad. b) an θ =, e an θ =,6, d où θ = arcan(,6) = e ou 5,7 rad e,9 rad. c) sec θ = 4, d où sec θ = ± e cos θ = ±/. On rouve alors θ {,47;,94; 4,89; 5,6}. d) ln(cos + ) =,8, d où ln(cos + ) =,9 e cos + = e,9 ou cos = e,9. Cela donne : = arccos (e,9 ). On rouve alors θ {,9; 5,9}. sin e), =, d où sin = 4,8 e sin = log 4,8 =, e = arcsin(,684...). 4 On rouve alors θ {,749;,9}. f) log sec θ = log sec θ, d où log sec θ = e log sec θ = qui donne : sec θ = = 4. On a déjà résolue en c e on a obenu θ {,47;,94; 4,89; 5,6}. g) cos θ cos θ =, d où cos θ= ± 9 = ±. Cela donne cos θ = ou cos θ = /. 4 4 De cos θ =, on ire θ = e 6 ou θ = rad e π rad. De cos θ = /, on ire θ = 6 e ou θ = π/ rad e π/ rad..a) Par la loi des cosinus, on a : R = A + B A B cos ( 8 5 ) = cos 75 = 89,... D où R = 89,... = 5, Soi R = 5, Par la loi des sinus, on a : sin α sin 75,..., sin 5 sin 75 = d où α = , B 45 A 4 α= arcsin 5 sin 75,... = 65, angle avec l horizonale es donc de 5,45. c) A = 5(cos 4 ; sin 4 ) = ( 6, 8;, 5) B = 5(cos 45 ; sin 45 ) = ( 4, 96; 8, 68) R = 5(cos 4 ; sin 4 ) + 5(cos 45 ; sin 45 ) = ( 4, 5; 5, 8) = ( a; b) b) B 5 75 α A 4 R = a + b = 5, β= arcan b = 74 a, 55, d où θ = 8 + β = 5,45 d) A R= ( 6, 8;, 5) ( 4, 5; 5, 8) = 77, 8695 e) α= arccos 77, 8695 = 77, arccos,... = 65, 45 A R r v = R R = ( 4, 5; 5, 8) 5 = (, 5;, 9), B 45 β A 4

8 7 Chapire Eercices de snhèse.a) R = (cos 5 ; sin 5 ) + 6(cos 4 ; sin 4 ) + (cos 98 : sin 98 ) = (, ;, 89...) = ( a; b) b) R = a + b =, 4. a force résulane es de,4 N c) α= arcan b = 85 a, 6 Puisque la résulane es dans le deuième quadran, on a q = 8 + a = 94,74. a force résulane es de,4 N e fai un angle de 94,74 avec l horizonale. 4.a) OM = OB+ BC = OB+ ( OC OB) = ( ; ; 5) + [( 4; 6; ) ( ; ; 5)] = ( ; ; 5) + ( ; ; ) = ( ; ; ) 6 N N N,4 N 94,74 b) AM = OM OA = ( ; ; ) ( ; ; 4) = ( 4; 4; ) es composanes son respecivemen 4, 4, e. c) AB = ( ; ; ) e AC =( 7; 7; ). On a alors : cos α= α e = arccos, 7 7 = 5 d) a longueur de la projecion de AB = ( ; ; ) sur AC = ( 7; 7; ) es donnée par : AB AC AB ( AC) = = =, 64..., soi environ,6 unié de longueur. AC 7 e) e veceur perpendiculaire es donné par le produi vecoriel, soi : r r r i j k r r r r r r AB AC = = i( 7) j( + 7) + k( 7+ 7) = i j + k 7 7 e veceur es donc ( ; ; ) f) e module du veceur perpendiculaire donne l aire du parallélogramme consrui sur les veceurs AB e AC. En divisan cee aire par la longueur du veceur AC, on obien la haueur abaissée du somme B sur le côé AC. Ce qui donne : h = AB AC AC = =,..., 7 unié a période de ce mouvemen es de /5 de seconde, son ampliude es de 5 m, sa fréquence es de 5 ccles par seconde e il es déphasé de π/4 rad. Il se défini par h() = 5 sin(5π + π/4). Posiion (m) f(),,,,4 Temps (s) 6. a période de ce mouvemen es de / d heure, soi minues, son ampliude es de 5 m, sa fréquence es de ccles par heure e il es déphasé de π/ rad, soi 9 secondes. Posiion (m) g(),5,4 6 Temps (h)

9 Chapire Eercices de snhèse 7 7. Par le héorème de Chasles, on a : AE = AO + OB + BE Or, AO = OA = (; ; ), OB = (; ; ) e BE = OD = (; cos 6 ; sin 6 ) = (; ; ) On a donc : AE = ( ; ; ) + ( ; ; ) + (; ; ) = ( ; + ; ) D où : AE = ( ) + ( + ) + ( ) = On a donc AC = =, 6... a disance cherchée es de,6 uniés. A (; ; ) (; cos6 ; sin 6 ) z D C B 6 O (; ; ) E 8.a) OM = r cos θ, d où, = 4,4 cos θe cos θ=, 4,4, On obien alors : α = arccos 4,4 = 4, 55 Puisque le raon veceur es dans le deuième quadran, on a θ = α = 4,55. On peu déerminer les rappors des foncions rigonomériques en uilisan direcemen la calcularice, ou en uilisan les ideniés rigonomériques ou en déerminan la longueur MP e en uilisan les riangles semblables pour calculer les rappors des segmens. Dans ce dernier cas, on rouve d abord : MP = 44, (, ) = 46,, puis : R P M r O B θ A Q MP 46, OM, sin θ= = =, ; cos θ= = =, OP 44, OP 44, AQ MP 46, BR OM, an θ= = = =, ; co θ= = = =, OA OM, OB MP 46, OQ OP 44, OR OP sec θ= = = =,... ; csc θ= = OA MP 46, 689 OB OM = 44, =, 44..., b) OQ = rsec θ = 4, 4, = 6, BR = r co θ = 4, 4, = 5, OR = r csc θ = 4, 4, = 5, AQ = r an θ = 4, 4, =, a) B r b) OB = OA + AB = ( cos( ) + 7cos ; sin( ) + 7sin ) = (, ; 4,759...) =( ab ; ) = r θ 6 r= a + b = 4, O 7 km km A b an α= α b e = arcan, a a = 65 9, θ = 8 + α = 4, On a donc : OB = 457, 4, a direcion de la droie suppor es 4,. e sens es nord-oues.. a) A B + C = (; ; 4) (; ; 5) + ( ; ; ) = ( ; ; ) b) A B = (; ; 4) (; ; 5) = = r r r i j k r r r r r r A B= 4 = ( 5 + ) i ( 8) j + ( 6 + 6) k = i j + k 5 e veceur es ( ; ; ).

10 7 Chapire Eercices de snhèse c) cos θ= A D ( ; ; 4) ( ; ; ) 6 = = θ 6 e = arccos,... A D + ( ) = d) En appliquan la règle de la main droie, on consae qu il sera dans la parie posiive de l ae des z. e) A + D = (; ; 4) + (; ; ) = (5; ; 4) f) e veceur ( ; ; ) obenu en b es perpendiculaire à A e à B. g) aire es donnée par le module du produi vecoriel, soi : A B = ( ) + ( ) + = =, aire es donc d environ,6 uniés. h) u r = A = = 4 ( ; ; 4) ; ; A + ( ) i) es veceurs son perpendiculaires si e seulemen si leur produi scalaire es nul. On a alors : A F = (; ; 4) (4; 5; s) = s =, d où l on ire s = 7/4.. a)es veceurs algébriques décrivan la siuaion son donnés ci-conre. e ravail es le produi scalaire de ces veceurs. On obien : T = d F= (cos 8, 4 ; sin 8, 4 ) ( ; ) = (cos 8, 4 ; sin 8, 4 ) ( ; ) =, =5 94, On effecue donc un ravail de 5,9 kj. b) es veceurs algébriques décrivan la siuaion son donnés ci-conre. e ravail es le produi scalaire de ces veceurs. On obien : T = d F= 5(cos 8, 4 ; sin 8, 4 ) ( ; ) = 5 (cos 8, 4 ; sin 8, 4 ) ( ; ) = 5, =7 95,69 On effecue donc un ravail de 7,9 kj. (cos 8,4 ; sin 8,4 ) F d (; ) 5(cos 8,4 ; sin 8,4 ) d F (; ). a) AQ = ran θe BR = rco θ, d où AQ BR = ( ran θ)( rco θ) = r an θ co θ= r On obien alors : r = AQ BR = 7,4 8, 6= 5, , 4, Cela donne : an α= α 7 4 e = arcan,... 5, 5 5, 5 = 5 67 Puisque le raon veceur es dans le roisième quadran, on a : θ = 8 + α =,67. M θ r B O R Q A b) OM = r cos θ= 5, 5 cos θ=, 8... MP = rsin θ= 5, 5 sin θ= 4, OR = r csc θ= 5, 5 csc θ= 65, OQ = rsec θ= 5, 5 sec θ= 88, P. Pour que le ssème soi en équilibre de roaion, il fau que M A =. r r r r r r r r r r r r i j k i j k i j k i j k A A + 9, + 58, , Tcos 45 Tsin 45 = A A T 5,9 m,9 m D où : ,8T sin 45 = P P

11 Chapire Eercices de snhèse 7 e : 5,8T sin 45 = 9 qui donne T = 484, N On a alors : T = T sin 45 = 99, N T = T cos 45 = 47, N A + T = d où A = T = 47 N A + T + P + P = d où : A = e A = 6 N. 4 Pour que le ssème soi en équilibre de roaion, il fau que M A = e, puisque T =, on a : r r r r r r r r r r r r i j k i j k i j k i j k +, cos 5, sin 5 + 4, cos 5 4, sin 5 + 4, cos 5 4, sin 5 = A A 4 8 T B D où 94 cos cos 5 4, sin 5 T =, cela donne : T = 775, N De plus, A + T =, d où A = T = 776 N A P P = d où A = 5 N. T = T A P 4, m,8 kn 5. es composanes doiven s annuler puisque le ssème es en équilibre, on a donc le ssème d équaions suivan : T cos 9 + T cos 9 = T sin 9 + T sin 9 8 = T cos 9 a première équaion donne : T = cos 9 En subsiuan dans la deuième, on obien : T ( cos 9 an 9 + sin 9 ) = 8 8 T = 675, 5... ( cos 9 an 9 + sin 9 ) = 675, 5... cos 9 e : T = = 445, cos 9 On a donc T = 445 N e T = 675 N. θ,4 kn P ;;;;;; A ;;;;; kn;;;; 49 T ;;;;;;;;;; T 6 ;;;;;,8 T 9 T 9,8 kn 6, a) es équaions des plans son obenues par le produi mie des veceurs. Pour le plan GHI, on a z J ( ; 4; 5) 8 z 7 =. qui donne + + 4z 6 =. es aures équaions son : Pour le plan ABC: + + 4z + 9 = Pour le plan ABIG: z 8 = ou z 7 = Pour le plan ACHG: z + = Pour le plan BCHI: + z + = Pour le plan : + + 4z = (; ; 4) M ( ; 4; ) B ( ; ; ) C A (; 5; ) F I (; 8; 7) E H (; 9; 6) D G (; 7; 5) K ( ; ; ) (5; 6; )

12 74 Chapire Eercices de snhèse b) Pour rouver les équaions du riangle défini par l inersecion du prisme e du plan e les poins D, E e F, on peu rouver l inersecion des arêes du prisme avec le plan sécan e déer miner les équaions des droies par la suie. équaion de la droie passan par les poins B e I es = + BI : = 4+ 4 z= + inersecion avec le plan sécan es obenue en subsiuan la descripion paramérique des poins de la droie dans l équaion du plan, ce qui donne ( + ) + ( 4 + 4) + 4( + ) = d où = e en subsiuan dans l équaion de la droie, on rouve les coordonnées du poin d inersecion, soi E ( ; 4; 5). De la même façon, on rouve les équaions de la droie passan par A e G : AG : = + = 5+ 4 z= + e de la droie passan par C e H : CH : = + = + 4 z= + es poins d inersecion avec le plan sécan son D (; 5; 4) e F (; ; ). es droies son définies par : = + : ; EF = + : ED ; = = 4 = 4 + FD: = + z= 5 z= 5 z= + c) a longueur du prisme es la disance enre les plans ABC e GHI. e veceur normal de ces plans es N = (; ; 4) e le veceur AG = (; ; 6) es formé d un poin de chacun des plans. a disance es alors : N d(abc, GHI) = AG (; 6 ;) (;; 4) 45 = =, uniés. N d) Pour rouver l aire des faces du prisme, on uilise le produi vecoriel. aire des bases es égale à la moiié du module du produi vecoriel des veceurs impliqués e l aire des parallélogrammes es égale au module du produi vecoriel. Pour la base ABC, le produi vecoriel donne : r r r i j k r r r AB AC = = i j 4k 6 e l aire es : A ABC = AB AC =,55 uniés d aire. aire de GHI es égalemen de 6,55 uniés d aire. Pour la face ABGI, le produi vecoriel es : r r r i j k r r r AB AG = = 8i + 4 j 9k 6 e l aire es 4 uniés d aire. aire de la face ACGH es 4 uniés d aire e l aire de la face BCHI es 486 uniés d aire. aire oale es la somme des aires des faces, ce qui donne : ,89 uniés d aire e) e volume du prisme es la moiié du volume du parallélépipède consrui sur les veceurs AB, AC e AG. Ce volume es donné par la valeur absolue du produi mie des veceurs. e produi mie es 6 AG ( AB AC) = = 45 e volume du prisme es donc de 45/ uniés de volume.

13 Chapire Eercices de snhèse 75 f) aire du riangle d inersecion devrai êre égale à l aire des bases riangulaires du prisme puisque le plan sécan es parallèle au bases (le veceur normal es le même, voir les équaions). On peu en faire la vérificaion en calculan : r r r i j k r r r 6 FE FD = = i j 4k, d où ADEF = FE FD =,55 uniés d aire g) Pour calculer l angle enre les plans, on uilise les veceurs normau. e veceur normal du plan es N = (; ; 4) e le veceur normal du plan BCHI es N = (; ; ). angle es alors : N N θ= = (;; 4) (; ;) arccos arccos = 9 arccos 4, 9 N N ( 4 ; ; ) ( ; ; ) 6 9 h) Pour calculer l angle enre une droie e un plan, on a besoin du veceur direceur de la droie e du veceur normal au plan. Pour calculer l angle enre la droie CG e le plan, le veceur direceur choisi es D = (5; ; 5) e le veceur normal es N = (; ; 4). On a alors : N D θ= = (;; 4) (; 5;) 5 arccos arccos = 45 arccos 4, 9 N D (;; 4) (; 5;) e α = 46,. i) Pour calculer la disance d un poin à un plan, on a besoin du veceur normal au plan e d un poin du plan. e veceur normal au plan es N = (; ; 4) e le poin (5; 6; ) es un poin du plan. On déermine le veceur B = (8; ; ) e la disance es donnée par : B N 8; ) (;; 4) d(b, Π ) = = =, uniés N (;; 4) a) En effecuan le produi mie, on a : r r r u ( v w) = 4 = ( + ) ( ) ( 9+ 5) = e volume du parallélépipède es 48 lorsque 7 4 = 48 ou 7 4 = 48. De 7 4 = 48, on ire = 6/7. De 7 4 = 48, on ire = 4/7. b) es rois veceurs son coplanaires lorsque le déerminan es nul. Soi lorsque 7 4 =, d où l on ire =. 8. a) es coordonnées des poins son : P (/; /4; /), P (/4; /; /4), P (/4; ; /4), P 4 (/4; ; /4), P 5 (; /4; ) = b) PP = = 4+ = c) Oui, pour = /4 e = /. = d) = PP = 4+ 4 = 4 e), 6, 8 ( PP P P ) = 4 z z 9. a) es coordonnées des poins son : P (/; ; /), P (/; /4; ), P (/; /; /4), P 4 (/4; /4; /), P 5 (; /4; /4) b) 4 + = /4 c) Non d),45 e), 65, 9 ( PP P P ) = 4

14 76 Chapire Eercices de snhèse. a) ( 6,, )( 4,, ) ( 6,, )( 6,, )=( 46,, 4) e ( 4, 6, 4) ( ) =,, alors = ( z,, ) R + + z= (,,)( 6,,) b) = {(; ; z) R + = } { } c) Voir le graphique de gauche ci-bas. d) Voir la représenaion graphique de droie ci-bas. e) Π (, Π)= 46, 69 f) Pour déerminer l équaion de la droie à l inersecion des plans e, il fau résoudre le ssème d équaions + + z= suivan : + z= { } On obien = ( z ; ; ) R = λ, =, z= λ. Représener graphiquemenº: voir le graphique ci-bas. g) équaion de la droie à l inersecion des plans e es : { } = ( z ; ; ) R = λ, = λ, z= 4 Représener graphiquemenº: voir le graphique ci-bas. h) Pour déerminer les coordonnées du poin d inersecion enre les droies e, il fau résoudre le ssème d équa- λ = ions suivan =. On obien que = (-; ; 4). λ = 4 angle enre les droies e es d environ 5,96. i) angle enre la droie e le plan es de 45. Ce résula peu se déduire de la représenaion graphique. k) Représenaion graphique le poin (5,6,4)º: Voir la représenaion graphique ci-bas l) Q : (7/7; /7; /7) m) a disance enre le poin P e la droie es d( P, ) 58,. a disance enre le poin P e le plan es d( P, ) 58, d( P, ) d( P, ) bien que la différence soi minime. n) a disance enre le poin P e le plan es. o) d(, )= z z P P

15 Chapire Eercices de snhèse 77 EXERCICES.8.a) ( 6) ensemble-soluion es {( ; 7; 5)} b) ensemble-soluion es {(; ; z; w) = 4 s 6, = s, z = /, w = } c) e ssème es incompaible, il n a aucune soluion d) e ssème es incompaible, il n a aucune soluion. 8 8 e) ensemble-soluion es {( ; ; z) =, =, z= 4 8 }. f) e ssème es incompaible, il n a aucune soluion a) a marice donnan la proporion de chacune des subsances dans les alliages es : 8,,, 5 5,, 5, 5, 5, Par la muliplicaion des marices, on obien : 8,,, 5 7 5,, = 5, 5, 5, e nouvel alliage coniendra 7 kg de cuivre, kg de zinc e kg d éain. 7 b) On obien la somme en kg par le produi suivan : ( ) 6 = ( ) On a donc 6 kg dèalliage. Pour rouver la proporion de chacune des composanes dans l alliage, il fau muliplier par le scalaire /6 la marice donnan le volume de chacune des subsances. On obien :

16 78 Chapire Eercices de snhèse 7 45,, =, 8... alliage conien donc 45% de cuivre, 6,7% de zinc e 8,% d éain. c) On veu avoir un mélange de 5 conenan 59% de cuivre, 5% de zinc e 6% d éain. On obien la quanié en kilogramme de chacune des composanes par la muliplicaion suivane : 59, , 5 = 6, 8 e mélange de 5 devra conenir 95 ml de cuivre, 5 ml de zinc e 8 ml d éain. Soi, le nombre de kg de l alliage A,, le nombre de kg de l alliage B, e z, le nombre de kg de l alliage C. es conraines sur la quanié en kg de chacun des méau donnen :,8 +, +,5z = 95 pour le cuivre;,5 +, + z = 5 pour le zinc;,5 +,5 +,5z = 8 pour l éain. Par la méhode de Gauss, on obien : 8,, 5, ,, , 5, 5, e nouvel alliage sera consiué de kg de l alliage A, 5 kg de B e 5 kg de C..a) Soi, le nombre de kg d éain dans le lingo, e, le nombre de kg de plomb dans le lingo. es conraines son alors : e. e polgone des conraines es donné ci-conre. Si le plomb coûe 5 $ le kilo e l éain $ le kilo, la foncion économique es f(; ) = 5 +. évaluaion des coûs au poins sommes du polgone des conraines donne : (; ) (; 7) (; ) (; ) (5; ) (; 6) z e lingo le moins coûeu conien kg de plomb e 6 kg d éain e coûe 65$. e plus coûeu conien kg de plomb e kg d éain. Il coûe 85$. b) Si le plomb coûe 8 $ le kilo e l éain $ le kilo, la foncion économique es f(; ) = 5 +. évaluaion des coûs au poins sommes du polgone des conraines donne : (; ) (; 7) (; ) (; ) (5; ) (; 6) z e lingo le moins coûeu conien kg de plomb e 7 kg d éain e coûe $. e plus coûeu conien 5 kg de plomb e kg d éain. Il coûe $. (; 5) = (; ) (; 9) (; 7) (; ) (; ) (; 6) = (5; ) + = 9 = + = 5 (; ) (5; )

17 Chapire Eercices de snhèse 79 4.a) On cherche une soluion enière (; ; z; u) elle que l équaion suivane es équilibrée : Ca (PO 4 ) + H SO 4 zh PO 4 + ucaso 4 es équaions de conraine son : Pour Ca : = u; pour P : = z; pour O, = 4z + 4u; pour H, = z. Considérons = comme variable libre, on a alors u = =, e z = =. En subsiuan cee dernière epression dans la conraine pour H, on obien : = z = () = 6, d où =. a conraine pour O perme de vérifier que la soluion es correce. ensemble soluion es donc : {(; ; z; u) =, =, z = e u = } On obien une soluion pariculière don oues les composanes son des nombres eniers en posan =. C es la soluion (; ; ; ) Cela donne la soluion équilibrée : Ca (PO 4 ) + H SO 4 H PO 4 + CaSO 4 b) On cherche une soluion enière (; ; z; u) elle que l équaion suivane es équilibrée : KMnO 4 + HC zmncl + ukcl + vcl + wh O es équaions de conraine son : Pour K : = u; pour Mn : = z; pour O, 4 = w; pour H, = w; pour Cl, = z + u + v. Considérons = comme variable libre, on a alors u = =, z = = e w = /4 = /4. En subsiuan dans la conraine pour H, on obien : = w = 8. a conraine pour Cl donne alors 8 = + + v, d où v = 5/. ensemble soluion es donc : {(; ; z; u; v; w) =, = 8, z =, u =, v = 5/, w = 4} On obien une soluion pariculière don oues les composanes son des nombres eniers en posan =. C es la soluion (; 6; ; ; 5; 8) Cela donne la soluion équilibrée : KMnO 4 + 6HC MnCl + KCl + 5Cl + 8H O 5.a) Soi, le nombre de jours de producion à l usine A,, le nombre de jours de producion à l usine A, e z, le nombre de jours de producion à l usine A. es conraines sur les quaniés à produire : + + z = pour le hau indice d ocane; + + z = pour le moen indice d ocane; z = 4 pour le bas indice d ocane. Par la méhode de Gauss, on obien : ( ) 6 6 Il faudra 5 jours de producion à l usine A, jours de producion à l usine B e jours de producion à l usine C b) 8 = a compagnie a produi 7 barils à hau indice d ocane, 8 barils à moen indice d ocane e 9 barils à bas indice d ocane.

18 = 6 8 Chapire Eercices de snhèse 6. Soi, le monan invesi dans le placemen risqué e, le monan invesi dans le placemen sécuriaire. es conraines son : 6 + e polgone des conraines es donné ci-conre. a foncion économique es f(; ) =, +,7 évaluaion du revenu au poins sommes du polgone des conraines donne : (; ) (; ) (; ) (6; ) (6; 4) z Il devrai invesir 6 $ dans le placemen risqué e 4 $ dans le placemen sécuriaire. Invesissemen sécuriaire (milliers de $) (; ) (; ) + = (6; ) (6; 4) = (; ) (; ) Invesissemen risqué (milliers de $) 7. Soi, le nombre de lires du liquide A,, le nombre de lires du liquide B, e z, le nombre de lires du liquide C. es conraines sur la quanié en kg de chacun des méau donnen : + + z = pour le nombre de lires du mélange;,8 +, +,z =,6 pour la proporion d alcool; + + z = pour la roisième conraine. Par la méhode de Gauss, on obien : 8,,, 6, ( ) a) =, soi 9 kg d arachides, 9 kg de raisins e 8 kg de noi de cajou. 8 5, b) (, 4, 6, ) 5, 7, 69, 66, = ( ) c) (,7,69,66) + (,8,8,8) = (,9,87,84) d),8 (,9,87,84) = (,6,57,5) e) a marice augmenée es : En résolvan, on a : 4. Il a une variable libre, c es le nombre de mélanges Croc. En posan z =, on a : {(; ; z) = ; = 4 e z = }. e marchand a le choi parmi différenes possibiliés don ceraines son énumérées dans le ableau ci-conre.

19 Chapire Eercices de snhèse 8 f) es coûs pour g de chaque ingrédien son donnés par la marice (,,4,6). a marice du coû des maières premières de chaque pe de mélange es alors : 4, 5 (, 4, 6, ) 7, 7, 8, = ( ) 5, g) Marice des coûs : (,7,7,8) + (,8,8,8) = (,88,9,98) Marice des pri :,8 (,88,9,98) = (,58,6,76) = 45 soi 8,5 kg d arachides, 5 kg de raisins e 4,5 kg de noi de cajou. 9.a) Sous forme maricielle, le ssème d équaions s écri : b) Par Gauss-Jordan, on rouve : =. z ( 6) a soluion es donc =, = 5 e z = 9..a) e veceur D = PP = (; ; ) (; ; ) = (; 5; ) es un veceur direceur du plan cherché. Puisque ce plan es parallèle à la droie, le veceur direceur de la droie es égalemen un veceur direceur du plan. e veceur direceur de la droie es obenu par le produi vecoriel des veceurs normau des plans don la droie es l inersecion. es veceurs normau son : N = (4; ; ) e N = (; 5; ). e produi vecoriel es alors : r r r i j k r r r D = N N = 4 = i( 6 5) j( 8+ ) + k( 9). On a donc D = (; ; 9) 5 Un poin P(; ; z) es dans le plan cherché si e seulemen si les veceurs PP, D e D son coplanaires. C esà-dire si e seulemen si de( PP, D, D ) =. On a donc : z+ PP ( D D ( ) ( ) ( z ) )= 5 = = 9 D où l équaion du plan es z 8 =. b) e veceur D = PP = (4; ; ) (; ; ) = (; ; ) es un veceur direceur du plan cherché. Puisque ce plan es parallèle à la droie, le veceur direceur de la droie es égalemen un veceur direceur du plan. e veceur direceur de la droie es obenu par le produi vecoriel des veceurs normau des plans don la droie es l inersecion. es veceurs normau son : N = (; ; ) e N = ( ; ; 4). e produi vecoriel es alors :

20 8 Chapire Eercices de snhèse. a) r r r i j k r r r D = N N = = i( 4 ) j( 8+ ) + k( 4 ). On a donc D = ( 6; ; ) 4 Un poin P(; ; z) es dans le plan cherché si e seulemen si les veceurs PP, D e D son coplanaires. C esà-dire si e seulemen si de( PP, D, D ) =. On a donc : + z PP ( D D ( ) ( ) ( z ) )= = =. 6 D où l équaion du plan es 7 5z = , 5, 5, 4 8 = 8, 6,, 88 a compagnie doi commander 648 mères linéaires de bois, 8 m de conreplaqué e 88 m de panneau d aggloméré. 6 4 b) ( 45, 5, 5, ) 5, 5, 5, 4, 5 89, 5 6, 5 = ( ) 8, 6,, c) 8,5 (6 5 4) = (5 4,5 4) d) (4,5 89,5 6,5) + (5 4,5 4) = (94,5,75 95,5) e),5 (94,5,75 95,5) = (9,8 47,6 9,88) f),4 (9,8 47,6 9,88) = (47,9 486,68 4,) 6 4 g) a marice augmenée es 5, 5, 5, 44 e en résolvan, on rouve 8. 8, 6,, 44 6 e plan de producion doi êre de bureau du modèle colonial, 8 du modèle espagnol e 6 du modèle canadien h) a marice augmenée es 5, 5, 5, 76 e en résolvan, on rouve. 8, 6,, 86 e plan de producion doi êre de bureau du modèle colonial, du modèle espagnol e du modèle canadien a) a marice augmenée du ssème es don la soluion es (; ; 5). enreprise peu donc produire chaises du premier modèle, du deuième e 5 du roisième. b) En enan compe des emps qui s ajouen suie à la suspension de la producion des deu anciens modèles, la marice augmenée du ssème devien : don la soluion es (8; 5; ). enreprise peu mainenan produire 8 chaises du premier modèle, 5 du deuième e du roisième,,,,. a) P I = 8 8, ( P I) =, M,, 8 6 =,, , 6, e poin invarian es 6, 4, 8, 4, = ( 7 47).

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