Files d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little.

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1 Cours de Tronc Commun Scienifique Recherche Opéraionnelle Les files d aene () Les files d aene () Frédéric Sur École des Mines de Nancy sur/enseignemen/ro/ 5 /8 /8 Exemples de files d aene () Exemples de files d aene () Noah s ark, Edward Hicks, 86. /8 /8

2 Exemples de files d aene () Exemples de files d aene () e : Trafic aérien Télécommunicaions (éléphonie, call-ceners) Serveurs informaiques... Objecif : dimensionnemen, organisaion par l esimaion de mesures de performance comme : emps moyen d aene nombre moyen de cliens dans la file S Pancras Saion, Londres, AFP, dec.. nombre de serveurs occupés probabilié que la file soi vide / pleine File d aene?... 5/8 6/8 Les files d aene () d un sysème d aene File d aene "Cliens" loi d arrivée des cliens? loi de la durée des services? S S... Sn "Serveurs" combien de serveurs? 5 quelle es la aille de la file? commen s organise la file? 7/8 8/8

3 Les noaions de Kendall (95) La loi de Lile () File (sysème) d aene décrie par : où : A/B/m/N/S A es la disribuion des arrivées : sochasique ou déerminise ; B es la disribuion des emps de service : idem ; m es le nombre de serveurs ; N es le nombre maximum de cliens dans le sysème ; S es la discipline de service (FIFO, LIFO, RAND...) Nombre d arrivées / dépars Arrivées Dépars emps A() nombre d arrivées pendan [, ] D() nombre de dépars pendan [, ] N() = A() D() nombre de cliens au emps T i : emps de séjour (aene + service) du i-ème clien 9/8 Quesion : sous quelles condiions peu-on faire des calculs? /8 Remarque : N(u)du = A() T i R() i= La loi de Lile () Nombre d arrivées / dépars Arrivées Dépars emps A() nombre d arrivées pendan [, ] D() nombre de dépars pendan [, ] N() = A() D() nombre de cliens au emps T i : emps de séjour (aene + service) du i-ème clien La loi de Lile () Donc : N(u)du = N(u)du = A() Hypohèses : lorsque + A() T i R() i= A() A() i= T i R() N(u) N (nombre moyen de cliens présens) A() (nombre moyen d arrivées par unié de emps) ) /A() T (emps de séjour moyen) ( A() i= T i /8 Remarque : N(u)du = A() T i R() i= /8 R() (hypo.,, : régime permanen ; hypo. : pas de cumul)

4 La loi de Lile () Exemple Proposiion - loi de Lile (96) Aure version : N = T N f = T f avec : N f : nombre moyen de cliens dans la file d aene T f : emps d aene moyen (dans la file). (i.e. sans comper les cliens en cours de service.) Remarque : résula général! pas d hypohèse sur la disribuion des arrivées ou des emps de services, ni sur la discipline de service. Un serveur informaique à 5 processeurs reçoi en moyenne requêes par seconde. L adminisraeur du serveur se rend compe que le serveur es occupé à %, e qu en moyenne 8 requêes son en aene. Quesion : quel es le emps moyen d aene d une requêe? (aenion au ime-ou) loi de Lile : T f = N f / = 8/ sec. Quesion : quel es le emps moyen de raiemen d une requêe? T T f = (N N f )/ = ( 8)/ = 5/ sec. /8 /8 Les files d aene () 5 Les cliens n on pas de mémoire Hypohèses sur le nombre d arrivées A() pendan [, ] : les nombres d arrivées pendan des inervalles de emps disjoins son indépendans (phénomène sans mémoire ) Pr(A( + h) A() = ) = h h + o(h) Pr(A( + h) A() > ) = h o(h) : aux d arrivée (nombre par unié de emps). Alors on peu monrer que, A() sui une loi de Poisson de paramère : ()k k, Pr(A() = k) = e k! le emps T arr enre deux arrivées consécuives sui une loi exponenielle :, Pr(T arr = ) = e On di que A() es un processus de Poisson. /8 5/8

5 Les serveurs n on pas davanage de mémoire... A() Hypohèse : la durée d un service sui une loi exponenielle., Pr(T serv = ) = e De manière équivalene, si S() es le nombre de services possibles pendan [, ],, S() sui une loi de Poisson : (exemple avec =.) Propriéés : E(A()) =, E(T arr ) = / ()k k, Pr(S() = k) = e k! Ici es le aux de service (ou nombre moyen de services par unié de emps) d un serveur donné. (/ es la durée moyenne d un service.) 6/8 7/8 8/8 Exemple canonique : un serveur, file non-bornée. Arrivées = processus de Poisson, aux d arrivée Durée des services exponenielle, aux de service hypohèse Markovienne (M) dans les deux cas + proba d arrivée e service pendan [, h] es o(h) Si m < n : Pr(N +h = n N = m) = Pr(A(+h) A() = n m N = m) +o(h) donc (cf déf processus de Poisson) si m < n : Pr(N +h = n N = m) = o(h) e : Pr(N +h = n N = n ) = h + o(h) De même (raisonnemen sur les dépars D()) : si m > n + : Pr(N +h = n N = m) = o(h) e : Pr(N +h = n N = n + ) = h + o(h) : N = processus de Markov à emps coninu. 9/8 : vue comme une chaîne de Markov Pr(N +h = n) = h Pr(N = n ) + ( h h) Pr(N = n) D où la représenaion : +h Pr(N = n + ) + o(h) (si n... ) Remarque : chaîne ergodique?... Formule des coupes (régime permanen) + + n= p n = : p = p p = p ( ) n (... = n, p n = ) p n = p n sous la condiion τ = / < τ : nombre moyen d arrivées pendan la durée de service.

6 : propriéés Sous condiion : τ = / < En régime permanen : p n = τ n ( τ) Nombre moyen de cliens dans le sysème : N = + n= np n = τ τ Nombre moyen de cliens dans la file d aene : N f = + n= (n )p n = τ τ Temps de séjour moyen dans le sysème : (loi de Lile) T = N/ = τ τ Temps d aene moyen dans la file : (loi de Lile) τ T f = N f / = τ markoviennes (convenion : on ne représene pas les boucles du graphe) M/M/ M/M// formule des coupes. cf formulaire dans le polycopié. aenion, la formule de Lile di : T = N/ où es le aux d enrée effecif. E dans le cas M/M/n/K? T = N/ ( ( p(k)) )... /8 /8 Loi des dépars hors du sysème Les files d aene () Aenion : la loi des dépars D() n a pas de raison d êre la loi de S(). c es le cas si les serveurs son occupés en permanence sinon le aux de dépar es inférieur au aux de service. Exemple : cas de s serveurs, aux de service individuel. Taux de service lorsque n serveurs son occupés : n. Jusificaion : Si X E(α) e Y E(β) son indépendanes, alors : min(x, Y ) E(α + β) Conséquence sur la loi des dépars : si n s cliens dans le sysème, aux s si n < s cliens dans le sysème : aux n < s. 5 /8 /8

7 Comparaison de différenes sraégies Comparaison de différenes sraégies Des requêes son envoyées sur un serveur, aux d arrivée. Arbirage enre rois ypes de serveurs : (ou rois ypes d organisaion de la file d aene dans une adminisraion recevan du public) processeur unique rès puissan de aux de service m, file M/M/ ; m processeurs légers indépendans de aux de service, file M/M/m commune ; m processeurs légers indépendans de aux de service, chacun possédan une file M/M/ dans laquelle un nouveau service enre au hasard (proba uniforme) Quesion : emps de raiemen moyen d une requêe? M/M/, aux de service m, aux d arrivée T = /(m) /(m) M/M/m, aux de service, aux d arrivée T donné par les formules du polycopié p. 6. cf formule Erlang-C. équivau à m files M/M/ de aux de service e aux d arrivée /m T = m /(m) /(m) /8 5/8 Comparaison de différenes sraégies Exemple : m =, = emps d aene cas cas cas Les files d aene () /8 Remarque : <. Explicaion inuiive? 7/8 5

8 Deux cas vus aujourd hui : File d aene générale : formules de Lile. File d aene Markovienne : les calculs en régime permanen / saionnaire son faciles. Prochaine séance : Généralisaion du cadre M/M (processus de naissance e de mor) M/M X (Markov par lo) M/G (loi de service générale) réseaux de files d aene. 8/8

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