La fonction de production dans l analyse néo-classique

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1 La oncion de producion dans l analyse néo-classique Jean-Marie Harribey La oncion de producion es une relaion mahémaique éablie enre la quanié produie e le ou les aceurs de producion uilisés, ou encore enre l oupu e les inpus. A- Rappels sur quelques ouils mahémaiques 1. Signiicaion de la noion de coninuié d une oncion. On di qu une oncion es coninue en x 0 si e seulemen si (x) end vers (x 0 ) quand x end vers x 0 ; i.e. la oncion es déinie au voisinage de x 0 e au poin x 0. (x) (x) (x 0 ) x 0 x x 0 x en x 0 la oncion n es pas déinie En économie, la coninuié es une hypohèse irréalise car la producion se mesure en uniés enières: par exemple, le nombre d auomobiles. Mais on adme que lorsqu on raisonne sur de grandes quaniés, l hypohèse de coninuié devien accepable. 2. Signiicaion de la noion de dérivée. Une oncion déinie au voisinage d un poin a pour dérivée la lim Δ/Δx quand Δx 0. Ou encore: lim (x + Δx) (x) Δx noée ' (x) ou d dx ou ḟ quand es oncion du emps. B Soi une oncion concave sur l inervalle (x, x+δx). Quand Δx 0, le segmen AB end vers la angene en A à la courbe. En ce poin, la pene de cee angene es égale à A la valeur de la oncion dérivée en ce poin. x x+δx

2 2 Soi (x). Si dans un inervalle de valeurs de x: (x) > 0, (x) croissan sur ce inervalle si (x) > 0, (x) croissan à aux croissan (1) si (x) < 0, (x) croissan à aux décroissan (2) (x) < 0, (x) décroissan sur ce inervalle si (x) < 0, (x) décroissan à aux décroissan (3) si (x) > 0, (x) décroissan à aux croissan (4) D où: si (x) 0 e (x) < 0, (x) passe par un maximum si (x) 0 e (x) > 0, (x) passe par un minimum. 3. Signiicaion de la noion d homogénéié des oncions. Soi une oncion à deux variables (x, y). La oncion es die homogène de degré h si pour ou nombre enier > 0, la oncion es mulipliée par h quand on muliplie chaque variable par : (x, y) h (x, y). Si h 1, (x, y) (x, y); si la oncion es une oncion de producion, elle es à rendemens consans. Exemple: (x, y) xy x 1/2 y 1/2 : (x, y) 1/2 x 1/2 1/2 y 1/2 x 1/2 y 1/2. Si h > 1, la oncion es mulipliée par plus que : rendemens croissans. Exemple: (x,y) 3 xy : (x, y) 3 x y 2 3 xy. Si h < 1, la oncion es à rendemens décroissans. Exemple: (x,y) x 1/3 y 1/2 : (x, y) 1/3 x 1/3 1/2 y 1/2 5/6 x 1/3 y 1/2. Les oncions homogènes saison le héorème d Euler: x (x) + y (y) h (x,y). Economiquemen, si h 1, la valeur de la producion es égale à la somme des quaniés de chaque aceur uilisé mulipliés par la producivié marginale de chacun d eux. Auremen di, sous l hypohèse que chaque aceur soi rémunéré à haueur de sa producivié marginale, la producion es inégralemen réparie enre salaires e prois. 4. Signiicaion de la noion d élasicié. Elle désigne le rappor des variaions relaives de deux grandeurs e x.

3 3 e / x Par exemple: Δ Δx x Δ Δx x e D / p e D / R ΔD D Δp p ΔD D ΔR R ΔD Δp ΔD ΔR p D généralemen < 0 R D généralemen > 0 Si on raisonne sur des accroissemens rès peis: e / x lim Δ x Δx 0 Δx ' x x ' On peu ransormer ce résula. Rappel: soi une oncion à valeurs posiives e dérivable. Prenons son Log népérien Log. On a aaire à une oncion composée (la oncion Log e la oncion ). La dérivée de Log (die dérivée logarihmique) es: dlog dlog. d dx d dx en veru de la règle de dérivaion des oncions composées: [u(v(x))] u v. v x ; donc: dlog 1 dx. ' ' aux de croissance insanané de en x. D où: e / x x. dlog qu on peu encore ransormer car: dx d Log (diérenielle de Log variaion ininiésimale) dlog d e d Log x 1/x. dx d où dx x. dlog x. D où: dlog dlog x 1 d dx dx 1 x dx d dx x '. x x. ' e / x.d 1 d 1. d dx dx B- La oncion de producion néo-classique à l échelle macro-économique Dans l opique néo-classique, il es possible d agréger, i.e. d addiionner les comporemens individuels des produceurs à parir de leurs oncions de producion individuelles pour obenir une de oncion de producion globale don la oncion de Cobb-Douglas es un exemple. 1. L agrégaion pose des problèmes imporans

4 4 a) N y a--il pas d aures aceurs que le capial e le ravail inluençan la producion? Quid du progrès echnique? b) La relaion es-elle exprimée en quaniés physiques ou en monnaie? Dans ce dernier cas, elle inègre l ee des prix sur les combinaisons producives. c) Les aceurs de producion son-ils homogènes? (Problème diéren de Ricardo dans l analyse de la rene). Si el n es pas le cas, il au mesurer les aceurs en monnaie. Prenons le capial. Sa valeur es oncion du aux d inérê acualisan les producions uures qu il permera de réaliser e acualisan la valeur d équipemens mis en oeuvre à des daes diérenes. Or le aux d inérê es la rémunéraion du égale à la producivié marginale du. Calculer la producivié marginale du suppose de connaîre la valeur du. Raisonnemen circulaire. d) L hypohèse de subsiuabilié paraie des aceurs es indispensable pour raisonner à la marge e appliquer le calcul diéreniel. Mais elle correspond peu à la réalié économique car celle-ci ne peu êre représenée par une oncion coninue. On ne peu pas passer d une machine avec 10 personnes à une machine avec 20 personnes. Le e le T ne peuven pas prendre n impore quelle valeur posiive. e) Les oncions de producion macro-économiques adopen l hypohèse des rendemens consans pour pouvoir rémunérer les aceurs de producion à leur producivié marginale, alors que les oncions de producion micro-économiques reposen sur la croissance du coû marginal, i.e. corresponden à la parie croissane de la courbe de coû marginal où les rendemens son décroissans. 2. La oncion de producion Cobb-Douglas. Elle es de la orme : Q A α L β où A es un coeicien de dimension caracérisique de l économie e des uniés de mesure uilisées ; quanié de capial uilisée ; L quanié de ravail uilisée ; α par de la producion qui rémunère ; β par de la producion qui rémunère L ; avec α + β 1. a) La oncion es homogène de degré 1. Les rendemens son supposés consans. Si on muliplie e L par : Q(, L) A ( ) α (L) β A α + β α L β A α L β Q b) Applicaion du héorème d Euler. Q α A α 1 L β Q L β A α L β 1 Euler: Q + L Q L α A α 1 L β + L β A α L β 1 α A α L β + β A α L β α A α L β + (1 α) A α L β α Q + (1 α) Q Q

5 5 D où: α Q rémunéraion du, (1 α) Q β Q rémunéraion du ravail. Cee oncion de producion es une oncion ad hoc, consruie pour saisaire à l hypohèse de rémunéraion des aceurs à leur producivié marginale. c) Elasiciés parielles de la producion par rappor aux aceurs. e Q / dq d Q Q' Q αaα 1 L β A α L α β e Q / L β 1 α si α + β 1 d) Elasicié de subsiuion enre les aceurs. d L σ L d p L p p L p Numéraeur: d L L L d + L L dl L 1 L d L dl 2 L 1 d 1 L dl Dénominaeur: d p L p p L p d w i w i w w i d + i L dl i w on sai que wl βq w β Q L e que i αq i α Q donc w i β α L w e les dérivées parielles i w β αl e i L αβ α 2 L 2 β αl 2 D où le dénominaeur: β β d αl αl dl 2 αl β 1 d 1 L dl

6 6 D où σ 1. Cela signiie que la combinaison producive varie dans la même proporion que le prix relai des aceurs : si le prix du ravail augmene de 10% par rappor au prix du capial, l inensié capialisique, i.e. la subsiuion de à L va augmener de 10%. Deux remarques : - Il es possible de consruire des oncions à rendemens non consans, i.e. don la somme des exposans des variables 1. On parlera alors de oncion de ype Cobb-Douglas. - On a consrui égalemen des oncions à rendemens consans mais don l élasicié de subsiuion enre aceurs es 1. Ce son les oncions CES (Conan Elasiciy o subsiuion) qui son une généralisaion de la oncion Cobb-Douglas. e) Complémen sur producivié moyenne e producivié marginale Dans le cas d une oncion de ype Cobb-Douglas, la producivié marginale du capial es égale à la dérivée première de la producivié moyenne du ravail par rappor à l inensié capialisique. Démonsraion : Q α L β Producivié marginale du capial : Q α α-1 L β α Q/ Producivié moyenne du ravail : Q L α L β L α L ( 1 β L ) α 1 L k α 1 α β L 1 α β Sa dérivée par rappor à k : ' Q α kα 1 L L α ( 1 α β L ) α 1 1 L α 1 α β k α 1 α 1 L α 1 1 α β α L L β a α 1 L β Ce qui es bien la producivié marginale du, e cela même si a + b 1. Ce résula rouve une applicaion dans le modèle de croissance de Solow. Il correspond au ai que la producivié moyenne du ravail augmene quand l inensié capialisique augmene. 3. L incorporaion du progrès echnique dans la oncion de producion Les modèles de croissance néo-classiques coniennen en iligrane l idée que si le aux de croissance de la populaion (qui commande celui de la populaion acive) n 0, i.e. si la populaion acive rese sable, il n y a pas de croissance économique (g n 0), e il n y a pas de variaion du capial puisque L e /L ne varian pas, non plus. Or cela es conredi par la réalié. On a consaé qu il y a croissance économique même en l absence d augmenaion de la populaion. Ce ai d observaion a éé conirmé par l analyse néo-classique elle-même. Avec une oncion Cobb-Douglas, Q a L b, prenons la diérenielle de Q :

7 7 dq Q Q d + L dl Q ' ' d + Q L dl a a 1 L b d + b a L b 1 dl dq Q a d + b dl L. Ou bien: Log Q a Log + b Log L dlog Q a dlog + b dlog L a d/ + b dl/l dq/q (par déiniion, la diérenielle de Log Q dq/q). Le aux de croissance économique devrai donc êre égal à la somme des aux de croissance de e de L pondérés respecivemen par la par des prois e des salaires dans le revenu naional. Or, on s es aperçu que le aux de croissance économique dépassai de beaucoup la somme de ces deux élémens pendan les 30 Glorieuses, i.e. à l époque où uren élaborés les modèles de croissance. Une par imporane de la croissance, appelée résidu, resai inexpliquée sinon par un ensemble d élémens bapisé progrès echnique. Il a donc allu inroduire dans l analyse un aceur expliquan la croissance en l absence de variaion des quaniés de aceurs radiionnels uilisés ou en plus de celle-ci. Cependan, pour ne pas perurber le bon oncionnemen de leurs modèles, les néo-classiques von supposer que le progrès echnique ne modiie pas la répariion des revenus. Or, le héorème d Euler sipule qu avec une oncion de producion à rendemens consans, le revenu naional iré de la producion es aecé en oalié aux salaires e aux prois. Donc il ne peu y avoir de rémunéraion pour un roisième aceur appelé progrès echnique. Les économises néo-classiques se son alors ournés vers les mahémaiciens pour qu ils leur ournissen une oncion de producion qui donnerai une décomposiion du aux de croissance inégran la par de croissance expliquée par le progrès echnique e inexpliquée par la variaion de la quanié de e de L uilisée, i.e. elle que : dq Q λ d + a d + b dl L. Le miracle eu lieu : aussiô les mahémaiciens répondiren qu il allai concevoir le progrès echnique comme un rend consan dans le emps à parir d un cerain niveau de dépar. A la dae, le progrès echnique H serai donc: H H 0 e λ. Il s ensui que : Q H a L b H 0 e λ a L b. A--on la propriéé recherchée? dq Q d + Q d + Q L dl λ H 0 e λ a L b d + a H 0 e λ a-1 b L d + b H 0 e λ a L b-1 dl dq Q λ H 0 eλ a b L H 0 e λ a L d + a H 0 eλ a 1 b L d + b H 0 eλ a b 1 L dl b H 0 e λ a b L H 0 e λ a b L λ d + a d + b dl L. Ou bien : Log Q Log H 0 + λ Log e + a Log + b Log L dlog Q dlog H 0 + λ d + a dlog + b dlog L 0 + λ d + a 1/ d + b 1/L dl λ d + a d/ + b dl/l dq/q

8 8 On a donc une décomposiion du aux de croissance économique aisan apparaîre les conribuions respecives à la croissance de chaque aceur don le progrès echnique sans qu il soi besoin sur sa rémunéraion, quesion qui es ainsi éviée. Cee analyse a éé illusrée par les ravaux de Denison aux Eas-Unis e de Carré, Dubois e Malinvaud en France pour la croissance d après-guerre. Les modèles de croissance prenan en compe le progrès echnique considèren celui-ci comme auonome, i.e. se maniesan même si les aceurs radiionnels e L ne varien pas. Mais rese une dernière quesion : le progrès echnique même auonome aece--il les relaions enre les aures aceurs? Auremen di, le progrès echnique, auonome, es-il neure? Trois açons de répondre : - La première es celle de Hicks : le progrès echnique es neure si /L (inensié capialisique) ne change pas e donc w/i; on a donc une répariion inchangée ; c es le cas avec une Cobb-Douglas. - La deuxième es celle de Garrod : le progrès echnique es neure si /Y (coeicien de capial) ne change pas quand le aux d inérê ne change pas lui non plus e que L varie. - La roisième es celle de Solow : le progrès echnique es neure si L/Y ne change pas quand le aux de salaire rese consan e que varie. Par la suie, des modèles à progrès echnique incorporé, en premier lieu incorporé au capial, uren consruis, en considéran que le progrès echnique ne pouvai s exercer que s il se raduisai par un invesissemen. C- La criique cambridgienne Avan de présener la criique cambridgienne, il es nécessaire de rappeler rapidemen ce qui perme de dire que la héorie néo-classique n a pas de héorie de la valeur, ni a oriori de héorie du proi 1. La héorie enseigne que l opimum du consommaeur es el que les rappors des prix son égaux aux rappors des uiliés marginales ou encore aux aux marginaux de subsiuion enre les biens. Quand bien même cee égalié serai correce, elle ne pourrai êre enue comme ondemen de l échange puisqu elle en es un résula. C es ce qui ai dire à Jacques Sapir 2 : «La vision radiionnelle de l équilibre, elle qu elle es propagée par la TEG [héorie de l équilibre général], es en ee un discours circulaire (l équilibre se caracérise par des échanges aux bons prix, mais ces prix doiven êre connus avan l échange ou en en résulan), e une vision de l économie qui end à abolir les insiuions.» Cee circularié du raisonnemen es due au ai que la héorie néoclassique n a jamais réussi à dépasser le dilemme insurmonable suivan : ou bien on raisonne en ermes de préérences ordinales e alors oue comparaison inerpersonnelle e oue agrégaion son impossibles ; ou bien on raisonne en ermes de préérences cardinales, ce qui rendrai possible la comparaison inerpersonnelle, mais à condiion que l uilié soi mesurable, ce qui es impossible, e dès lors les oncions d uilié son inopéranes. Déachan la ixaion des prix des condiions maérielles e sociales de producion, la héorie néo-classique ne peu concevoir de ondemen aux prix avan l échange. Or, e c es une conradicion qu avai relevée aldor, les prix doiven êre 1. Sur ce dernier poin, voir une synhèse dans J.M. Harribey «Reour sur la "source" du proi», Documens pour l Enseignemen Economique e Social, C.N.D.P., n 119, p J. Sapir, Les rous noirs de la science économique, Essai sur l impossibilié de penser le emps e l argen, Paris, Albin Michel, 2000, p. 73.

9 9 connus avan celui-ci pour que le marché puisse jouer le rôle d équilibre que lui assigne la héorie. Consciens de cee conradicion, les néo-classiques oscillen enre ce raisonnemen e un aure : ils supposen les prix donnés pour expliquer les choix des consommaeurs, mais, alors, la consrucion de l équilibre général s eondre puisque, les prix éan donnés, le modèle ne peu plus les expliquer : «De ai, le commissaire-priseur walrasien n es que la personniicaion symbolique d une hypohèse cruciale pour la cohérence du modèle : l exériorié des prix» écri Huber Brochier La criique de la noion de capial dans la oncion de producion Joan Robinson 4 a souligné la diiculé d addiionner les diérens ypes de capial echnique dans une oncion de producion agrégée, diiculé qu avai déjà repérée Wicksel. Le capial éan héérogène, d auan plus qu il es mis en service à des périodes diérenes, il ne peu êre évalué physiquemen e son inroducion dans la oncion de producion ne peu se aire que par l inermédiaire des prix. Mais pour le mesurer monéairemen, il audrai pouvoir appliquer un aux d acualisaion aux diérens élémens du sock de capial, donc connaîre le aux de proi que l on se proposai jusemen d expliquer. Auremen di, la valeur du capial es oncion des prois qu il perme d obenir, or ceux-ci ne peuven êre déduis de la producivié marginale du capial qui suppose de connaîre la valeur du capial inrodui dans la oncion de producion. On ne sor de ce cercle vicieux, selon Gérard Duménil 5, que par «la mise à l écar de la noion de producivié marginale du capial». La conséquence la plus rédhibioire de cee conradicion pour la héorie die de la valeur-uilié es l impossibilié d expliquer simulanémen la valeur du sock de capial e le aux d inérê. Pierre Salama 6 résume ainsi le problème : «Aussi bien au niveau micro que macro, nous sommes devan une conradicion. Soi nous connaissons le aux de proi, auquel cas nous pouvons mesurer le capial e calculer la producivié marginale de ce aceur, mais nous ne pouvons plus calculer le aux de proi, puisque nous nous le sommes donné. Soi nous ne connaissons pas le aux de proi e nous ne pouvons pas calculer la producivié marginale du capial e donc déerminer le aux de proi! [ ] La producivié marginale ne peu déerminer la rémunéraion d un aceur, ce qui, en ermes clairs, signiie ou simplemen que la loi de la valeur néo-classique es oalemen incohérene, même quand on accepe ses hypohèses de dépar!» La héorie de la valeur-uilié peu donc êre inerpréée comme une enaive de donner un soubassemen au «anasme» de la producivié du capial que déjà Arisoe dénonçai e que Marx a démysiié H. Brochier, «A propos de l individualisme méhodologique : l ouverure d un déba», Revue d économie poliique, n 104 (1), janvier-évrier 1994, p J. Robinson [ ], «The Producion Funcion and he Theory o Capial», Review o Economic Sudies, vol. XXI, p G. Duménil [1980], De la valeur aux prix de producion, Une réinerpréaion de la ransormaion, Paris, Economica, p P. Salama [1975], Sur la valeur, Paris, F. Maspero, p Marx [Le Capial, Livre I, 1867, dans Oeuvres, Paris, Gallimard, La Pléiade, ome 1, 1965, p ] avai ironisé à plusieurs reprises sur les verus proliiques du capial : «C es la propriéé naurelle du ravail qu en créan de nouvelles valeurs, il conserve les anciennes. A mesure donc que ses moyens de producion augmenen d eicacié, de masse e de valeur, c es-à-dire à mesure que le mouvemen ascendan de sa puissance producive accélère l accumulaion, le ravail conserve e éernise, sous des ormes oujours nouvelles, une ancienne valeur-capial oujours grossissane. Mais, dans le sysème du salaria, cee aculé naurelle du ravail prend la ausse apparence d une propriéé qui es inhérene au capial e l éernise ; de même les orces collecives du ravail combiné se déguisen en auan de qualiés occules du capial, e l appropriaion coninue de surravail par le capial ourne au miracle, oujours renaissan, de ses verus proliiques.» Voir aussi. Marx Le Capial, Livre II e Livre III, 1885 e 1894, dans Oeuvres, Paris, Gallimard, La Pléiade, ome 2., 1968, p. 383]. De la même açon, J.M. eynes [Théorie générale de l emploi, de l inérê e de la monnaie, 1936, Paris, Payo, 1969, p. 223] reusai d uiliser la noion de capial produci. S. Laouche

10 10 J. Robinson [ , p. 81] concluai que «la oncion de producion a éé un insrumen d abêissemen rès eicace». 8 De oue açon, la oncion de producion uilisée par les néoclassiques es inopérane puisqu elle ne pourrai êre déinie que dans une économie où il n y aurai qu une seule marchandise à la ois inran e exran. La enaive de P.A. Samuelson [1962] d inroduire des biens muliples s es soldée par un échec. E la conroverse sur le reour des echniques s es achevée à son désavanage : la baisse du salaire relaivemen à la rémunéraion du capial ne condui pas nécessairemen à une diminuion de l inensié capialisique e sa hausse ne condui pas nécessairemen à une augmenaion de l inensié capialisique. 9 La oncion de producion néo-classique n a plus de validié scieniique ; en revanche, elle oncionne en an que croyance, ainsi que le reconnaî C.E. Ferguson : «La validié de la criique cambridgienne es inconesable, mais son imporance es une aaire empirique ou économérique qui dépend du degré de subsiuion oléré dans le sysème. Jusqu à ce que les économériciens nous donnen la réponse, aire coniance à la héorie économique néoclassique es une aaire de oi. Personnellemen, j ai la oi.» 10 [Episémologie e économie, Essai sur une anhropologie sociale reudo-marxise, Paris, Ed. Anhropos,1973, p. 319] résume ainsi : «La écondié du capial es un cas pariculier du éichisme de la marchandise.» 8. Elle proposa ulérieuremen dans de nombreuses publicaions de résoudre la quesion de la valeur du capial : pour une présenaion complèe, voir G. Jorland [Les paradoxes du capial, Paris, Odile Jacob, 1995]. Après la publicaion de Producion de marchandises par des marchandises par P. Sraa en 1960, la conroverse resurgi avec la enaive avorée de P.A. Samuelson [«Parable and Realism in Capial Theory : The Surrogae Producion Funcion», Review o Economic Sudies, vol. XXIX, 1962, p ] au suje du reour des echniques. 9. Pour la démonsraion, voir Salama [1975, p ], B. Guerrien [La héorie néo-classique, Bilan e perspecives du modèle d équilibre général, Paris, Economica, 3 ème éd., 1989]. 1989, p ] ou Jorland [1995, p ]. 10. Cié par G. Jorland [1995, p. 448].