Surface de Volatilité et Introduction au Risque de Crédit

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1 Modèles de Taux, Surface de Volailié e Inroducion au Risque de Crédi Alexis Fauh Universié Lille I Maser 2 Mahémaiques e Finance Spécialiés Mahémaiques du Risque & Finance Compuaionelle 214/215 spread 1Y ( France, Ialie, US) Allemagne membre associé de l universié Paris I - Panheon Sorbonne, laboraoire SAMM. hp://samm.univ-paris1.fr/-alexis-fauh-

2 Table des maières 1 Présenaion des marchés financiers Marché financier Organisé De gré à fré Aceurs Coûs de ransacions Produis financiers Acion Indice Maière Première Taux de change Tracker Conras forward e fuure Opion Obligaion Dérivé de crédi Comié de Bâle Risques Risque de aux d inérê Risque de crédi Risque d inflaion Risque de aux de change Risque de axe Taux d inérê Zoologie Obligaion zéro-coupon Srucure par ermes Taux d inérê forward Taux d inérê cour erme Obligaion à coupons fixe Duraion e convexié Swap de aux d inérê Taux Libor Convenion de marché Inérês courus, clean e diry price

3 Cap e floor Swapion Modèle de aux cour Valorisaion d une obligaion Modèle de Vasicek Modèle de Cox-Ingersoll-Ross Généralisaion, modèle de aux cour à un faceur Modèle de Hull and Whie Quelques modèles Modèles mulifacoriels Fondaions Modèle de Vasicek à deux faceurs Quelques modèles Pricing de dérivés de aux Mesure forward Prix d une opion sur une obligaion Pricing de cap e floor Pricing de swapion Pricing dans le cas à deux faceurs Heah-Jarrow-Moron Framework Condiion de non-arbirage Formulaion des aux cour avec HJM Taux forward de Vasicek Courbe des aux Inerpolaion Boosraping Familles de polynôme exponeniel Méhodes uilisées par pays Valorisaion sur acion Modèle à volailié consane Modèle de Black and Scholes Grecques e hedging Surface de volailié Définiion e problème de calibraion Volailié implicie forward Modèle à volailié locale Diffusion de Dupire

4 3.3.2 Volailié implicie dans le modèle de Dupire Problème de calibraion Modèle shifed-lognormal Modèle CEV Volailié sochasique Lien avec la volailié implicie Modèle de Heson Modèle de Wu e Zhang Modèle SABR Dérivées sur volailié Swap de variance Opion sur volailié VIX Calcul de Malliavin Elémens de héorie Chaos de Wiener Inégrale muliple sochasique Dérivée de Malliavin Inégrale de Skorohod Applicaion à la finance Calcul des sensibiliés Sensibilié pour opion asiaique Raffinemen du hedging Inroducion au risque de crédi Processus poncuel Obligaion en cas de défau Modèle de firme Modèle de Meron Modèle de Black e Cox Credi Defau Swap Credi Valuaion Adjusmen Mesure de risque Value A Risk Expeced Shorfall Backesing Drawdown

5 6 Appendix Equaion différenielle Equaion du premier ordre Equaion d ordre n Equaion de Riccai Calcul sochasique e applicaions Théorème de Girsanov Changemen de numéraire Théorème de Feynman-Kac Pricing d opion par ransformée de Fourier Approximaion d inégrale Opimisaion non linéaire Descene de gradien Algorihme généique Références 173

6 1 Présenaion des marchés financiers 1.1 Marché financier Organisé Un marché organisé, ou bourse, es une plaeforme permean aux acheeurs e aux vendeurs de produis financiers d effecuer des ransacions, d exécuer des ordres de bourses, via un inermédiaire qui ransme l ordre à un membre officiel de la bourse. La chambre de compensaion es un pilier cenral dans la bourse, elle inervien comme conreparie enre acheeurs e vendeurs en garanissan la bonne fin des opéraions. Il ne s agi ni plus ni moins que de l acheeur de ous les vendeurs e du vendeur de ous les acheeurs. L éablissemen Clearne s occupe du bon foncionnemen de l ensemble des bourses européennes (Euronex) De gré à fré Un marché de gré à gré ou Oher-The-Couner (OTC) es un marché sur lequel les ransacions se fon direcemen enre un acheeur e un vendeur. La principale différence avec la bourse es donc qu il n exise pas de chambre de compensaion permean d évier le risque de conreparie. Les raisons de l exisence de cee place son muliples. Noons déjà qu une parie des sociéés qui y son présenes le son car elles son rop peies, ne remplissen pas les crières pour êre coées sur les marchés organisés. De plus, comme les conras son éablis direcemen enre les deux paries, cela perme d acheer (ou vendre) un produi correspondan bien plus à ses besoins, comme par exemple pour couvrir un risque de change. Par consrucion, ce marché es moins ransparen que la bourse Aceurs (Presque) n impore qui peu inervenir sur les marchés financiers, nous pouvons ou de même classifier les inervenans en 3 grandes caégories, les hedgers, les spéculaeurs e les marke makers. Pour les deux premières caégories, sans grandes surprises, il s agi de gesionnaires inervenan respecivemen pour se couvrir d un cerain risque e, pour irer un profi suie à une ransacion. Les marke makers son présens pour assurer la liquidié du marché. Ils offren une conreparie à ou acheeur ou vendeur sur cerains ires souven illiquides. Ces agens son en général rémunérés par les bourses qui souhaien offrir à leur clien le plus de liquidié possible. Alexis Fauh 6

7 1.1.4 Coûs de ransacions Si l on achèe ou vend un produi financier, quel qu il soi, il fau rémunérer les inermédiaires, personne ne ravaille grauiemen! On ne peu pas donner ici de pourcenage précis de coû, cela dépend du volume, du monan du produi financier que l on raie e égalemen de vore broker, plus on achèe, plus le pourcenage va êre avanageux. Il fau donc bien se renseigner sur les monans demandés par vore broker e les prendre en compe dans vore sraégie. 1.2 Produis financiers Acion Une acion (share, ou sock) es un ire de propriéé d une enreprise confèran à son déeneur (l acionnaire) un droi de voe dans la poliique de gesion de l enreprise ainsi que des dividendes. Il s agi donc d une fracion du capial social de l enreprise émise afin de se financer sur les marchés. La valeur iniiale de l acion es déerminée par la sociéé, ensuie, elle évolue sur les marchés en foncion de l offre e de la demande. Il exise deux ypes d acion, ordinaire ou préférenielle. Le déeneur d une acion préférenielle a un droi de priorié par rappor au déeneur d une acion ordinaire, une sociéé n a pas le droi de verser des dividendes aux acionnaires ordinaires an que les privilégiés n on pas éé rémunérés. La deuxième priorié inervien en cas de liquidaion de l enreprise, le déeneur bénéficiera d un remboursemen prioriaire pour la valeur de chacune de ses acions. Enormémen de faceurs renren en compe dans la formaion des prix, en premier lieu les fondamenaux de l enreprise, noons les variaions de aux de changes, les annonces économiques/macroéconomiques, les décisions gouvernemenales ainsi que les mouvemens puremen spéculaifs. Un simple ordre passé sur le marché, disons de vene, quelle qu en soi la raison, s il es relaivemen imporan, peu enraîner à lui seul un effe de panique e conduire à une vene de la par des aures déeneurs de la même acion, on parle alors de price impac Indice Un indice es un indicaeur proposé par une bourse pour évaluer les performances d un pays, d un seceur. Cions quelques exemples parisiens. Le CAC 4 es le principal indice de la bourse de Paris (Euronex Paris), iniialemen, l acronyme CAC signifiai Compa- Alexis Fauh 7

8 gnie des Agens de Change, aujourd hui Coaion Assisée en Coninu. La valeur de l indice es une pondéraion de chacun des 4 ires de sociéés en foncion de leur capialisaion floane. Sa composiion es mise à jour ous les rimesres. Quand une sociéé n es plus coée, elle es remplacée par une des valeurs du CAC Nex 2 en foncion de la liquidié de son ire, capialisaion boursière, volumes échangés, ec. Enfin, noons que sa coaion es réacualisée oues les 15 secondes. Le CAC Nex 2 regroupe les ving valeurs don l imporance sui celle des valeurs composan le CAC 4. Le SBF 12 (Sociéé des Bourses Françaises) es composé du CAC 4 e des 8 valeurs les plus liquides à Paris parmi les 2 premières capialisaions boursières françaises. Il exise égalemen le SBF 25 don on comprend facilemen la composiion. Noons ou de même que le SBF 8 es quan à lui les 8 valeurs suivan le CAC 4, donc hors CAC 4. Parmi les indices inernaionaux nous pouvons égalemen noer le S&P 5 (Sandard & Poors, filiale de McGraw-Hill), composé des 5 plus grandes capialisaions boursières des bourses américaines. Comme précédemmen, il exise des varianes, S&P 1, 4 e 6. E oujours comme précédemmen, il es pondéré par la capialisaion boursière de chacune des ses composanes. Pour une plus grande diversié sur les marchés américains on pourra regarder le Russell 1, 2, 3 ou le Wilshire 5. Pour voyager un peu dans différens pays, noons que l indice principal en Allemagne es le DAX (3 valeurs), à Londres le FTSE 1 ( Foosie ), Hong-Kong le Hang Seng Index, Taiwan le TSEC e le SSE Composie Index pour Shangai. Les indices son donc donnés par, N I() = C α i x i, (1.1) i=1 où N es le nombre de valeurs composan l indice, x i, la valeur de l acion i à l insan, α i le nombre d acions i en circulaion e C es une consane de normalisaion à une valeur de référence (par exemple 1) à une dae bien précise. On peu conclure cee coure présenaion en noan que le DJIA (Dow Jones Indusrial Average), indice des 3 plus grosses valeurs du NYSE e du NASDAQ, ou comme le Nikkéi 225 à Tokyo ne son pas pondérés par la capialisaion boursière de leurs composanes, mais par la valeur des acions. Le DJIA es le plus vieil indice boursier au monde, 1896, il éai calculé à la main oues les heures, on peu donc comprendre en parie pourquoi il es pondéré ainsi. Alexis Fauh 8

9 1.3 Maière Première Les commodiies, c es à dire les maières premières, prennen elles aussi une imporane place dans les marchés organisés, an pour les besoins de gesion des risques que pour leur qualié de valeur refuge. Pour le seceur de l énergie on pourra cier le baril de pérole bru, le gaz naurel ou l élecricié ; pour les maériaux précieux ou indusriels, l or, l argen, le plainium, le cuivre ou le palladium ; pour les grains, le maïs, le soja, l avoine, le riz ou le blé ; les viandes comme les bovins vivans, bovins d engraissemen, le porc maigre, ou la poirine de porc ; e aures comme le bois, le coon, le caouchouc, le jus d orange, le sucre, le café, le cacao, le lai, ec Taux de change Nous aurions pu mere cee secion dans le chapire sur les marchés financiers puisque l ensemble des devises qui son échangées les unes conre les aures à un cerain aux de change son coées sur le Forex, conracion de Foreign Exchange. Ce marché mondial es le deuxième marché financier en erme de volume échangé derrière celui des aux d inérês, il es ouver 24h/24h du fai des décalages horaires enre les bourses européenne, américaine, ausralienne e japonaise, ou de même fermées le week-end ; ferman à 22h GMT le vendredi à New-York e ouvran à 22h GMT avec la bourse ausralienne. Deux ypes de devises se disinguen, celle fixée par un Ea, on parle alors d exoique comme le yuan chinois, e celle floane, valorisée par l offre e la demande sur les marchés, comme l euro ou le dollar américain. Un aux de change es oujours exprimé de la manière suivane X/Y=z, en d aures ermes, 1 X vau z Y. La devise de gauche es la devise de base e celle de droie la devise de conreparie. Les aux de changes varien jusqu à la quarième décimale, ce que l on appelle le pip Tracker Un racker a pour bu de répliquer un produi financier bien précis. Il peu porer sur un indice acions, obligaaire ou encore de maières premières. Si l on prend l indice CAC 4, il n es bien sûr pas possible d acheer du CAC 4, on pourrai quand même avoir en porefeuille oues les composanes du CAC 4 en prenan garde de bien réacualiser son porefeuille suie aux sories e renrées dans le CAC, d avoir le même monan que la pondéraion, cela peu s avérer bien compliqué. L acha d un racker sur le CAC 4, par exemple le Lyxor ETF CAC 4 Alexis Fauh 9

10 perme de simplifier ou cela en achean un seul produi, au passage cela diminue forcémen les coûs de commissions, les fees. Le SPDR S&P 5(Sandard & Poor s Deposiary Receips), communémen appelé Spyder S&P 5, es naurellemen le racker sur le S&P 5 e le SPDR Gold Trus qui réplique la performance de l or physique son les deux rackers les plus échangés au monde avec des encours respecifs de 76.5 e 77.5 milliards de dollars au 8/11. Les gérans d un fond indiciel (Exchange raded funds) son enus d avoir en porefeuille oues les composanes de l indice en les pondéran, e pour le cas de l or, de socker l équivalen en or dans leurs coffres Conras forward e fuure Les conras forward e fuure son des conras à ermes, ils s engagen fermemen à acheer ou à vendre à une échéance définie = T, à un prix fixé, une ceraine quanié d un acif financier le sous-jacen, à la dae =. La différence enre un conra forward e un conra fuure es que le premier es OTC andis que le second s échange sur les marchés organisés. Le sûr-mesure proposé par le marché de gré à gré s expose naurellemen au risque de liquidié. Le sous-jacen du conra peu êre physique, or, pérole, ec., une acion, un indice, aux d inérê, devises, obligaions. Il s agi iniialemen d un produi desiné à la gesion des risques Opion Les opions les plus connues son le call e le pu européens, donnan respecivemen le droi d acheer e le droi de vendre un acif sous-jacen à une dae déerminée à l avance, moyennan le versemen d une prime. La différence enre ces deux ypes de produis financiers avec les forward ou fuure es qu ils confèren le droi, e non l obligaion d exercer son conra à maurié. Ces deux premiers exemples son di vanille. Les opions exoiques son plus complexes e la lise complèe serai rop longue à cier ici. Rapidemen, les opions américaines qui donnen le droi d exercer son opion à n impore quelle dae enre le momen d acha e la maurié ; l opion bermuda qui donne le droi d exercer son conra à plusieurs daes bien fixées ; une opion asiaique paye la valeur moyenne du sous jacen duran un cerain inervalle de emps ; opion lookback paye n impore quel prix aein par l acion au cours de la période, on choisira naurellemen celui qui maximise le gain ; opion as-you-like-his, donne le droi de choisir si elle deviendra un call ou un pu. Alexis Fauh 1

11 1.3.5 Obligaion Une obligaion es un ire de créance négociable émis par une sociéé ou une collecivié publique, principalemen échangée sur les marchés de gré à gré. Les paramères renran dans le calcul d une obligaion son la dae d émission, la dae d échéance, le aux d inérê, la devise dans laquelle elle es émise e la périodicié du coupon. Les modaliés de remboursemen e le mode de rémunéraion des prêeurs son fixés conracuellemen, la rémunéraion pouvan êre fixe ou variable, indexée alors sur un aux d inérê e non sur le résula de l enreprise. La valeur nominale perme le calcul des inérês (coupon) que l empruneur s engage à verser à des échéances fixées à l avance. Le marché obligaaire es une des principales raisons jusifian l imporance des agences de raing, don les rois principales son S&P, Moody s e Fich. Le sysème de noaion de S&P va du fameux riple A : AAA pour une fore capacié à rembourser au C pour peu d espoir de recouvremen e D pour défau de paiemen. On peu classifier ces produis en 4 caégories bien disinces : Un Ea dans sa propre devise, emprun d Éa. Un Ea dans une aure devise que la sienne, obligaion souveraine. Une enreprise du seceur public, un organisme public, une collecivié locale, obligaion du seceur public. Une enreprise privée, une associaion, ou ou aure personne morale, obligaion corporae. Nous présenons mainenan un peu plus en déail le cas des obligaions d Ea Américaines. Les obligaions à plus coure échéance son les Treasury Bill (T-Bill) avec une maurié allan de 1 mois à 1 an. De la même manière que les obligaions zéro-coupons, ils ne versen pas d inérês avan l échéance. Les mauriés habiuelles son 1 mois, 3 mois ou 6 mois. Les T-Bills son reconnus comme consiuan les obligaions du résor les moins risquées aux Éas-Unis par les invesisseurs. Les Treasury Noes (T-Noes) son à échéances moyennes 2, 5 e 1 ans e leur rémunéraion es assurée par un coupon payé ous les six mois au souscripeur. La T-Noe à échéance de 1 ans es devenue la valeur la plus fréquemmen ciée dans les éudes des performances du marché obligaaire américain. Enfin, les obligaions avec la plus grande maurié son les Treasury Bond (T- Bond), varian enre 1 e 3 ans ils son égalemen rémunérés par un coupon payé ous les six mois. Le revenu que les déeneurs perçoiven possède en oure l avanage de n êre imposé qu au niveau fédéral. Les équivalens Français des obligaions à coure, moyenne e longue maurié son respecivemen les BTF Alexis Fauh 11

12 (Bons du Trésor à aux Fixe e à inérê précompé), BTAN (Bons du Trésor à inérês ANnuels) e les OAT (Obligaions Assimilables du Trésor) Dérivé de crédi Les dérivés de crédi son raiées sur les marchés OTC e par définiion, écries sur des produis sensibles au crédi (obligaions, ec.). Elles peuven êre uilisées en vue de ransférer un risque de conreparie vers un aure pour conrôler son exposiion. Comme pour les dérivés classiques, il exise deux ype de dérivé de crédi, celle die vanille, e celle die exoique. Pour les vanilles nous pouvons par exemple cier les crédi défau swap (CDS) single name (i.e. ne proégean que sur un seul produi) e les collaeralized deb obligaion (CDO) sur indices. Pour les exoiques, nous avons par exemple les CDS sur zéro-coupons e les CDO 2. Nous reviendrons plus en déail sur les CDS à la fin de ce cours. 1.4 Comié de Bâle La créaion du comié de Bâle se fai en 1974 sous l impulsion des régulaeurs financiers, plus précisémen les direceurs des banques cenrales des principales puissances économiques. Le comié se réuni à la banque des règlemens inernaionaux (BIS) à Bâle, Suisse, souven appelée la banque cenrale des banques cenrales. Le bu affiché es d avoir un framework unifié en erme de régularisaion pour évier d une par les risques d une rop fore exposiion aux marchés émergeans e, d aure par, avoir un cerain pace de non-agression enre les différenes banques cenrales. Le premier rappor imporan se fera en 1988 par la publicaion des accords de Bâle 1 (Basel I) [Ba88]. Cee première publicaion ne concerne uniquemen les produis de risques de crédis ainsi que la méhode à uiliser pour calculer le capial minimum requis en foncion de l exposiion de la banque. Le fameux raio de Cooke y es écri ainsi que le raio asse o capial muliple. Ce dernier doi êre inférieur à 2%, Toal des acifs Capial 2%. Le raio de Cooke, égalemen connu comme éan le raio de risque capial es la somme des acifs déenus par l enié divisée par leurs faceurs de risques respecifs, il doi êre au moins supérieur à 8% Capial faceurs de risque des acifs 8%. Alexis Fauh 12

13 Les acifs non risqués son par exemple l or, les obligaions émisen par les plus grandes puissances économiques (e les plus saines!), leurs poids son fixés à. Les banques des pays les puissans économiquemen on un risque de 2%, ec. L une des raisons de l essor du risque managemen provien du comié de Bâle lui même. En effe, en 1996, l expansion des aciviés de rading au sein des firmes on poussé le comié à publier un amendemen [Ba96] proposan aux banques de soi, uiliser un modèle de conrôle de risque proposé par le rappor (méhode de mesure sandardisé) soi, de développer en inerne un modèle. Bien enendu, ce modèle doi se plier à ceraines règles. Les méhodes sandardisées son différenes selon la classe d acif regardé, aux d inérê, equiy, commodiies ou Forex. Les obligaions on un risque prédéfini selon la maurié e le pays, les ETF sur indice un risque de 2%, une ceraine méhodologie pour la couverure en dela e en gamma es proposée, ec. Pour que le modèle inerne soi éligible, il fau naurellemen qu une équipe de risk managemen soi mise en place. Un back es robuse doi êre implémené, au minimum sur un an. Les sress ess doiven êre suffisammen comples pour couvrir des événemens exrêmes, ils doiven êre à la fois quaniaifs e qualiaifs, incorporer les risques marché ainsi que de liquidié. Des calculs de Var avec un indice de confiance de 99% doiven êre fai quoidiennemen, ec. Il es possible d avoir quelque chose de bien moins conraignan en faisan soi même son modèle, ou en respecan les recommandaions du rappor que d uiliser l approche sandardisée, c es pourquoi les équipes de risk managemen on considérablemen gonflé depuis lors. Le comié de Bâle publiera un nouveau rappor en 24 [Ba5] pour répondre aux imperfecions du premier rappor ainsi que pour s adaper à l évoluion des marchés. Bâle II repose sur rois piliers. Le premier éan l exigence de fonds propres, le deuxième pilier les procédures de surveillance e enfin, le roisième un effor de ransparence e de discipline. En ce qui concerne le pilier I, la méhode de calcul des risques a éé modifiée. Par exemple, pour le risque de crédi, nous avons l approche sandardisée, l approche IRBA (Foundaion Inernal Raings Based Approach) e l IRBA avancé. Conformémen à ces approches, les banques doiven en plus uiliser les raing fournis par les agences de raing. Sous IRBA avancé, les calculs de LGD (Loss Given Defaul) e EAD (Exposure A Defau) son calculés en inerne. La crise depuis 27 a mis en avan la non-adéquaion de la réforme Bâle II en cas d événemens exrêmes. Bâle III es en fai composé de deux amendemens [Ba11] e [Ba13] le premier poran sur le capial e l aure, poran sur la liquidié. Alexis Fauh 13

14 Hormis les exigences accrues, nous pouvons noer l inroducion d un raio de levier devan êre supérieur à 6%, Capiaux propres Dee > 6%. En plus des provisions en cas de risque de défau d une conreparie, les banques doiven pouvoir couvrir le risque de pere mark-o-marke sur le risque de conreparie aendu d un dérivé OTC. Il s agi des peres CVA (Credi Value Adjusmens). Le deuxième amendemen pore sur le risque de liquidié. Le bu annoncé du raio de couverure en liquidié (LCR) es de permere une résisance à cour erme du risque de liquidié des banques. Il s agi d avoir un sock d acifs non gelé e suffisammen liquide pour pouvoir êre converi insananémen en cash pour couvrir une pere nee de résorerie duran 3 jours. Le NSFR (aux ne de financemen sable) es le rappor enre le monan de financemen sable par rappor au monan de financemen sable requis sur un 1 an, il doi êre supérieur à Risques Tou comme les acions, l acha d une obligaion d Ea ou d enreprise compore des risques. Nous pouvons liser cerains de ces différens risques : Risque de aux d inérê Risque de crédis Risque d inflaion Risque de crédi Risque de axe Risque de régulaion Risque de aux d inérê Le risque de aux d inérê es cerainemen le plus éviden e l un des plus imporans. Par définiion, une obligaion es indexée sur les aux d inérês, les cash flows peuven donc êre plus moins ou inéressans selon le niveau du aux sous-jacen e, plus pariculièremen, son sensibles aux variaions insananées des aux. Les produis ypiques de fixed income bougen dans la direcion opposée des variaions de aux, si le aux diminue, le prix du produi de fixed income va moner, e inversemen. Ce risque apparaî dans le cas où l invesisseur ne compe pas aller Alexis Fauh 14

15 à erme du conra, une variaion peu donc amener à une pere de capial. Ce risque de aux d inérê es mesuré par la duraion Risque de crédi Dans les modèles de valorisaions que nous allons éudier, il es sous enendu que les obligaions acheées arriveron à erme e payeron le principal. Cela n es bien enendu pas le cas à chaque fois. En effe, il es ou à fai possible que l émeeur de l obligaion ne puisse pas rembourser en parie ou la oalié de sa dee. Ce risque es appelé risque de crédi e n exise que pour ce ype d insrumens financiers, pas pour les marchés acions ou Forex par exemple. Si l émeeur de la dee ne peu pas rembourser le principal, nous dirons qu il fai défau. Bien enendu, ce ype de risque apparaî minime dans le cas d obligaions émises par le gouvernemen américain ou allemand, e, bien plus imporan pour cerains pays de la zone Euro, de pays émergens ou d enreprises. Néanmoins, la probabilié de défau de Lehman Broher éai noée exrêmemen faible, alors que finalemen, ce n éai pas le cas. Même pour des produis, à priori, à faible risque de crédi, il es imporan de prendre en compe cee noion. En effe, la plupar des insiuions financières comme des insiuions d Ea possèden des produis di oxiques, même si en soi, elles ne son pas sujees à défau, il exise un risque de conagion e donc, une insiuion sans risque le deviendra Risque d inflaion Le risque d inflaion n es pas un risque de pere en soi, c es un risque de voir son cash flow fuur diminuer de valeur. L inflaion es définie en erme de pourcenage de variaion sur un même panier de biens. L indice de référence es le CPI, Consumer Price Index. Pour comprendre ce risque, il suffi de réaliser que si l inflaion augmene de manière imporane, le paiemen du coupon, même s il n a pas changé de valeur par rappor à ce qui es prévu, ne vaudra plus rien. Bien sûr, ce risque augmene pour des obligaions à long-erme, il es peu probable de voir une augmenaion de l inflaion significaive sur 1 mois. Pour se couvrir des risques sur inflaion, il exise des produi dérivés sur inflaion, plus précisémen, le sous-jacen es le CPI. Egalemen, nous pouvons nous prémunir en achean des produis comme des maières premières qui elles, son sensibles à l inflaion. Alexis Fauh 15

16 1.5.4 Risque de aux de change Une obligaion émise en monnaie érangère, va avoir, comme pour n impore quel aure produi financier, un risque de change. L obligaion va émere des cash flow dans une ceraine devise, qu il va falloir ranscrire dans la monnaie domesique. Supposons que nous acheons une obligaion coée en Yen, alors si le Yen se déprécie par rappor à l euro, le monan gagné va êre moindre, voir, négaif en cas de fore dépréciaion. A l inverse, si le Yen s apprécie par rappor à l euro, le monan reçu va êre supérieur. Bien enendu, en plus d êre exposé au risque de change, nous sommes égalemen exposés au risque de variaion du aux éranger Risque de axe Pour la plupar des produis de fixed income, ils son axables par rappor au aux en vigueur dans le pays considéré. De plus, ils son sujes à des variaions de régulaion, d imposiion, menées par le gouvernemen éranger. On peu parler de risque de axe ou comme de risque de poliique. Par exemple, en juin 198, Baery Park Ciy Auhoriy (l auorié supervisan le développemen de Baery Park Ciy, quarier siué à l exrémié sud-oues de l île de Manhaan à New York, Éas-Unis) a émis une dee de $ pour lancer des consrucions immobilières. Au momen de l émission, les auoriés légales on considéré que ces noes seraien exempées d impô fédéral. En novembre 198, l IRS (Inernal Revenue Service), l agence du gouvernemen des Éas-Unis qui collece l impô s oppose à l exonéraion de axe sur les coupons, enraînan une baisse de leur valeur. 2 Taux d inérê 2.1 Zoologie Obligaion zéro-coupon Un dollar d aujourd hui vaudra oujours plus qu un dollar de demain. Un zérocoupon de maurié T, es un ire versan 1 dollar à la dae T. La valeur faciale (ou nominal) de l obligaion es N = 1$. Nous noerons B(, T ) le prix du zéro-coupon de maurié T à l insan, e donc, B(T, T ) = 1. Nous supposerons oue la suie que le prix de l obligaion B(, T ) es processus posiif sricemen e adapé sur un espace de probabilié filré (Ω, F, P). Alexis Fauh 16

17 2.1.2 Srucure par ermes Le rendemen à maurié (yield-o-mauriy) d un zéro-coupon de maurié T es le processus adapé vérifian, R(, T ) = 1 ln B(, T ), T. (2.1) T La srucure par erme des aux, égalemen appelée la courbe des aux (yield curve) es la foncion qui donne les différens aux de la dae en foncion de leur maurié θ, θ R(, θ). Connaissan le rendemen à maurié, le prix de l obligaion es déerminé de manière unique par, B(, T ) = e R(,T )(T ), T. (2.2) En praique, la srucure par ermes des aux d inérês es déduie du prix de plusieurs insrumens financiers rès liquides, comme les T-bills, T-bond, swap e fuure Taux d inérê forward Un conra forward sur aux d inérê es le conra effecué à l insan, d acha à T 1 (>) d une obligaion zéro-coupon de maurié T 2 (>T 1 ). Par un simple argumen de non-arbirage, nous voyons que le prix du conra forward es B(T 1, T 2 ) = B(,T 2). Le aux d inérê forward à l insan, f(, T B(,T 1 ) 1, T 2 ), doi donc inuiivemen vérifier B(, T 2 ) B(, T 1 ) = e f(,t 1,T 2 )(T 2 T 1 ), T 1 T 2. (2.3) En d aures ermes, il es donc donné par f(, T 1, T 2 ) = 1 T 2 T 1 ln B(, T 2) B(, T 1 ). (2.4) Il s agi du aux forward coninu. Non coninu, il s écri naurellemen, f(, T 1, T 2 ) = 1 T 2 T 1 ( ) B(, T1 ) B(, T 2 ) 1, (2.5) Alexis Fauh 17

18 Le aux d inérê forward insanané es la limie du aux forward lorsque T 1 = T e T 2 = T + T, F (, T ) = lim ln B(, T + T ) ln B(, T ) T = 1 B (, T ) (2.6) B(, T ) T Il s agi donc du rendemen marginal obenu en conservan un cour insan supplémenaire l obligaion. En inégran (2.6), nous obenons le prix de l obligaion en foncion du aux forward insanané, B(, T ) = exp Enfin, en uilisan (2.2) e (2.6), nous avons, ( F (, u)du ) (2.7) Soi, F (, T ) = (R(, T )(T )) = R(, T ) + (T ) R(, T ). (2.8) T T R(, T ) = 1 F (, u)du. (2.9) T Nous voyons donc que le prix de l obligaion ainsi que son rendemen peuven êre enièremen déerminés par le aux forward insanané Taux d inérê cour erme Le aux d inérê spo, i.e. le aux d inérê insanané, es défini mahémaiquemen comme la limie du aux coninu moyen quand la maurié end vers, r = lim R(, T ) = R(, ) = F (, ). (2.1) T Nous pouvons réécrire le prix de l obligaion en foncion du aux spo, B(, T ) = exp = exp ( ( = exp [T/ ] i=1 F (, u)du ) F (, u)du (i 1) F (, u)du ) F ((i 1), u)du Alexis Fauh 18

19 en passan à la limie, Ainsi, B(, T ) = exp = exp ( B(, T ) = exp Sous forme différenielle, nous avons, [T/ ] i=1 ( r u du avec comme condiion erminale B(T, T ) = Obligaion à coupons fixe (i 1) ). r u du r i du ). (2.11) db(, T ) B(, T ) = r d, (2.12) Une obligaion à coupons fixes (coupon-bearing bond), de maurié T n, es un acif financier qui paye à son déeneur les monans c 1,, c n aux daes T 1 < < T n. Le prix de ce coupon es donné par la somme des cash flows acualisés, n B n (, T n ) = B(, T i )c i + B(, T n )N, T 1. (2.13) i=1 N es le nominal de l obligaion. La séquence {T 1, T 2,, T n } es appelée le enor Duraion e convexié Rappelons que pour un zéro-coupon B(, T ), le rendemen R(, T ) es donné par, B(, T ) = e R(,T )(T ), T. Soi mainenan B n le prix d un coupon avec pour mauriés T 1 < < T n, de coupons c 1,, c n e de nominal N. Nous supposons que N es compris dans les c i, le prix es alors, n B n () = B(, T i )c i. i=1 Alexis Fauh 19

20 Nous nous plaçons en =, en noan y le rendemen à maurié (YTM) e y(, T i ) = y i, B n () = B n, nous pouvons réécrire le prix de l obligaion pour ou T 1, n B n = c i e y it i. La duraion de Macaulay d un coupon es définie par, D Mac := i=1 ni=1 T i c i e y it i B n. (2.14) Il s agi donc de la moyenne des coupons aux daes T 1,, T n. En d aure erme, la duraion de Macaulay d une obligaion correspond à la période à l issue de laquelle sa renabilié n es pas affecée par les variaions de aux. Nous pouvons égalemen noer que (2.14) nous donne la sensibilié relaive du prix de l obligaion par rappor au YTM, db n dy = d ( n ) c i e y it i = D Mac B n. dy i=1 Nous définissons mainenan la convexié d une obligaion par, C := db2 n dy 2 = n i=1 c i e y it i T 2 i. Il s agi de la sensibilié de la duraion par rappor à une variaion du rendemen y Swap de aux d inérê Un swap de aux d inérê perme d échanger un aux variable (aux floan) conre un aux fixe κ sur une période donnée. La srucure d un swap de aux es donnée par la suie d inervalles [T 1, T 2 ],, [T n 1, T n ] el que T i T i 1 = δ i, δ i une consane connue à l avance, T n la maurié du swap, un aux fixe, κ e, le nominal N. Nous noons δ i, i = 2,, n, e non δ, en effe, bien que les daes de versemen arriven à inervalles réguliers, ous les 6 mois par exemple, nous n avons pas exacemen le même nombre de jours enre le i-ème 6mois e le i + 1-ème 6mois, simplemen du fai du nombre de jours dans un mois (mois de février) ainsi que du nombre de jours fériés. Alexis Fauh 2

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