Surface de Volatilité et Introduction au Risque de Crédit

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1 Modèles de Taux, Surface de Volailié e Inroducion au Risque de Crédi Alexis Fauh Universié Lille I Maser 2 Mahémaiques e Finance Spécialiés Mahémaiques du Risque & Finance Compuaionelle 214/215 spread 1Y ( France, Ialie, US) Allemagne membre associé de l universié Paris I - Panheon Sorbonne, laboraoire SAMM. [email protected], hp://samm.univ-paris1.fr/-alexis-fauh-

2 Table des maières 1 Présenaion des marchés financiers Marché financier Organisé De gré à fré Aceurs Coûs de ransacions Produis financiers Acion Indice Maière Première Taux de change Tracker Conras forward e fuure Opion Obligaion Dérivé de crédi Comié de Bâle Risques Risque de aux d inérê Risque de crédi Risque d inflaion Risque de aux de change Risque de axe Taux d inérê Zoologie Obligaion zéro-coupon Srucure par ermes Taux d inérê forward Taux d inérê cour erme Obligaion à coupons fixe Duraion e convexié Swap de aux d inérê Taux Libor Convenion de marché Inérês courus, clean e diry price

3 Cap e floor Swapion Modèle de aux cour Valorisaion d une obligaion Modèle de Vasicek Modèle de Cox-Ingersoll-Ross Généralisaion, modèle de aux cour à un faceur Modèle de Hull and Whie Quelques modèles Modèles mulifacoriels Fondaions Modèle de Vasicek à deux faceurs Quelques modèles Pricing de dérivés de aux Mesure forward Prix d une opion sur une obligaion Pricing de cap e floor Pricing de swapion Pricing dans le cas à deux faceurs Heah-Jarrow-Moron Framework Condiion de non-arbirage Formulaion des aux cour avec HJM Taux forward de Vasicek Courbe des aux Inerpolaion Boosraping Familles de polynôme exponeniel Méhodes uilisées par pays Valorisaion sur acion Modèle à volailié consane Modèle de Black and Scholes Grecques e hedging Surface de volailié Définiion e problème de calibraion Volailié implicie forward Modèle à volailié locale Diffusion de Dupire

4 3.3.2 Volailié implicie dans le modèle de Dupire Problème de calibraion Modèle shifed-lognormal Modèle CEV Volailié sochasique Lien avec la volailié implicie Modèle de Heson Modèle de Wu e Zhang Modèle SABR Dérivées sur volailié Swap de variance Opion sur volailié VIX Calcul de Malliavin Elémens de héorie Chaos de Wiener Inégrale muliple sochasique Dérivée de Malliavin Inégrale de Skorohod Applicaion à la finance Calcul des sensibiliés Sensibilié pour opion asiaique Raffinemen du hedging Inroducion au risque de crédi Processus poncuel Obligaion en cas de défau Modèle de firme Modèle de Meron Modèle de Black e Cox Credi Defau Swap Credi Valuaion Adjusmen Mesure de risque Value A Risk Expeced Shorfall Backesing Drawdown

5 6 Appendix Equaion différenielle Equaion du premier ordre Equaion d ordre n Equaion de Riccai Calcul sochasique e applicaions Théorème de Girsanov Changemen de numéraire Théorème de Feynman-Kac Pricing d opion par ransformée de Fourier Approximaion d inégrale Opimisaion non linéaire Descene de gradien Algorihme généique Références 173

6 1 Présenaion des marchés financiers 1.1 Marché financier Organisé Un marché organisé, ou bourse, es une plaeforme permean aux acheeurs e aux vendeurs de produis financiers d effecuer des ransacions, d exécuer des ordres de bourses, via un inermédiaire qui ransme l ordre à un membre officiel de la bourse. La chambre de compensaion es un pilier cenral dans la bourse, elle inervien comme conreparie enre acheeurs e vendeurs en garanissan la bonne fin des opéraions. Il ne s agi ni plus ni moins que de l acheeur de ous les vendeurs e du vendeur de ous les acheeurs. L éablissemen Clearne s occupe du bon foncionnemen de l ensemble des bourses européennes (Euronex) De gré à fré Un marché de gré à gré ou Oher-The-Couner (OTC) es un marché sur lequel les ransacions se fon direcemen enre un acheeur e un vendeur. La principale différence avec la bourse es donc qu il n exise pas de chambre de compensaion permean d évier le risque de conreparie. Les raisons de l exisence de cee place son muliples. Noons déjà qu une parie des sociéés qui y son présenes le son car elles son rop peies, ne remplissen pas les crières pour êre coées sur les marchés organisés. De plus, comme les conras son éablis direcemen enre les deux paries, cela perme d acheer (ou vendre) un produi correspondan bien plus à ses besoins, comme par exemple pour couvrir un risque de change. Par consrucion, ce marché es moins ransparen que la bourse Aceurs (Presque) n impore qui peu inervenir sur les marchés financiers, nous pouvons ou de même classifier les inervenans en 3 grandes caégories, les hedgers, les spéculaeurs e les marke makers. Pour les deux premières caégories, sans grandes surprises, il s agi de gesionnaires inervenan respecivemen pour se couvrir d un cerain risque e, pour irer un profi suie à une ransacion. Les marke makers son présens pour assurer la liquidié du marché. Ils offren une conreparie à ou acheeur ou vendeur sur cerains ires souven illiquides. Ces agens son en général rémunérés par les bourses qui souhaien offrir à leur clien le plus de liquidié possible. Alexis Fauh 6

7 1.1.4 Coûs de ransacions Si l on achèe ou vend un produi financier, quel qu il soi, il fau rémunérer les inermédiaires, personne ne ravaille grauiemen! On ne peu pas donner ici de pourcenage précis de coû, cela dépend du volume, du monan du produi financier que l on raie e égalemen de vore broker, plus on achèe, plus le pourcenage va êre avanageux. Il fau donc bien se renseigner sur les monans demandés par vore broker e les prendre en compe dans vore sraégie. 1.2 Produis financiers Acion Une acion (share, ou sock) es un ire de propriéé d une enreprise confèran à son déeneur (l acionnaire) un droi de voe dans la poliique de gesion de l enreprise ainsi que des dividendes. Il s agi donc d une fracion du capial social de l enreprise émise afin de se financer sur les marchés. La valeur iniiale de l acion es déerminée par la sociéé, ensuie, elle évolue sur les marchés en foncion de l offre e de la demande. Il exise deux ypes d acion, ordinaire ou préférenielle. Le déeneur d une acion préférenielle a un droi de priorié par rappor au déeneur d une acion ordinaire, une sociéé n a pas le droi de verser des dividendes aux acionnaires ordinaires an que les privilégiés n on pas éé rémunérés. La deuxième priorié inervien en cas de liquidaion de l enreprise, le déeneur bénéficiera d un remboursemen prioriaire pour la valeur de chacune de ses acions. Enormémen de faceurs renren en compe dans la formaion des prix, en premier lieu les fondamenaux de l enreprise, noons les variaions de aux de changes, les annonces économiques/macroéconomiques, les décisions gouvernemenales ainsi que les mouvemens puremen spéculaifs. Un simple ordre passé sur le marché, disons de vene, quelle qu en soi la raison, s il es relaivemen imporan, peu enraîner à lui seul un effe de panique e conduire à une vene de la par des aures déeneurs de la même acion, on parle alors de price impac Indice Un indice es un indicaeur proposé par une bourse pour évaluer les performances d un pays, d un seceur. Cions quelques exemples parisiens. Le CAC 4 es le principal indice de la bourse de Paris (Euronex Paris), iniialemen, l acronyme CAC signifiai Compa- Alexis Fauh 7

8 gnie des Agens de Change, aujourd hui Coaion Assisée en Coninu. La valeur de l indice es une pondéraion de chacun des 4 ires de sociéés en foncion de leur capialisaion floane. Sa composiion es mise à jour ous les rimesres. Quand une sociéé n es plus coée, elle es remplacée par une des valeurs du CAC Nex 2 en foncion de la liquidié de son ire, capialisaion boursière, volumes échangés, ec. Enfin, noons que sa coaion es réacualisée oues les 15 secondes. Le CAC Nex 2 regroupe les ving valeurs don l imporance sui celle des valeurs composan le CAC 4. Le SBF 12 (Sociéé des Bourses Françaises) es composé du CAC 4 e des 8 valeurs les plus liquides à Paris parmi les 2 premières capialisaions boursières françaises. Il exise égalemen le SBF 25 don on comprend facilemen la composiion. Noons ou de même que le SBF 8 es quan à lui les 8 valeurs suivan le CAC 4, donc hors CAC 4. Parmi les indices inernaionaux nous pouvons égalemen noer le S&P 5 (Sandard & Poors, filiale de McGraw-Hill), composé des 5 plus grandes capialisaions boursières des bourses américaines. Comme précédemmen, il exise des varianes, S&P 1, 4 e 6. E oujours comme précédemmen, il es pondéré par la capialisaion boursière de chacune des ses composanes. Pour une plus grande diversié sur les marchés américains on pourra regarder le Russell 1, 2, 3 ou le Wilshire 5. Pour voyager un peu dans différens pays, noons que l indice principal en Allemagne es le DAX (3 valeurs), à Londres le FTSE 1 ( Foosie ), Hong-Kong le Hang Seng Index, Taiwan le TSEC e le SSE Composie Index pour Shangai. Les indices son donc donnés par, N I() = C α i x i, (1.1) i=1 où N es le nombre de valeurs composan l indice, x i, la valeur de l acion i à l insan, α i le nombre d acions i en circulaion e C es une consane de normalisaion à une valeur de référence (par exemple 1) à une dae bien précise. On peu conclure cee coure présenaion en noan que le DJIA (Dow Jones Indusrial Average), indice des 3 plus grosses valeurs du NYSE e du NASDAQ, ou comme le Nikkéi 225 à Tokyo ne son pas pondérés par la capialisaion boursière de leurs composanes, mais par la valeur des acions. Le DJIA es le plus vieil indice boursier au monde, 1896, il éai calculé à la main oues les heures, on peu donc comprendre en parie pourquoi il es pondéré ainsi. Alexis Fauh 8

9 1.3 Maière Première Les commodiies, c es à dire les maières premières, prennen elles aussi une imporane place dans les marchés organisés, an pour les besoins de gesion des risques que pour leur qualié de valeur refuge. Pour le seceur de l énergie on pourra cier le baril de pérole bru, le gaz naurel ou l élecricié ; pour les maériaux précieux ou indusriels, l or, l argen, le plainium, le cuivre ou le palladium ; pour les grains, le maïs, le soja, l avoine, le riz ou le blé ; les viandes comme les bovins vivans, bovins d engraissemen, le porc maigre, ou la poirine de porc ; e aures comme le bois, le coon, le caouchouc, le jus d orange, le sucre, le café, le cacao, le lai, ec Taux de change Nous aurions pu mere cee secion dans le chapire sur les marchés financiers puisque l ensemble des devises qui son échangées les unes conre les aures à un cerain aux de change son coées sur le Forex, conracion de Foreign Exchange. Ce marché mondial es le deuxième marché financier en erme de volume échangé derrière celui des aux d inérês, il es ouver 24h/24h du fai des décalages horaires enre les bourses européenne, américaine, ausralienne e japonaise, ou de même fermées le week-end ; ferman à 22h GMT le vendredi à New-York e ouvran à 22h GMT avec la bourse ausralienne. Deux ypes de devises se disinguen, celle fixée par un Ea, on parle alors d exoique comme le yuan chinois, e celle floane, valorisée par l offre e la demande sur les marchés, comme l euro ou le dollar américain. Un aux de change es oujours exprimé de la manière suivane X/Y=z, en d aures ermes, 1 X vau z Y. La devise de gauche es la devise de base e celle de droie la devise de conreparie. Les aux de changes varien jusqu à la quarième décimale, ce que l on appelle le pip Tracker Un racker a pour bu de répliquer un produi financier bien précis. Il peu porer sur un indice acions, obligaaire ou encore de maières premières. Si l on prend l indice CAC 4, il n es bien sûr pas possible d acheer du CAC 4, on pourrai quand même avoir en porefeuille oues les composanes du CAC 4 en prenan garde de bien réacualiser son porefeuille suie aux sories e renrées dans le CAC, d avoir le même monan que la pondéraion, cela peu s avérer bien compliqué. L acha d un racker sur le CAC 4, par exemple le Lyxor ETF CAC 4 Alexis Fauh 9

10 perme de simplifier ou cela en achean un seul produi, au passage cela diminue forcémen les coûs de commissions, les fees. Le SPDR S&P 5(Sandard & Poor s Deposiary Receips), communémen appelé Spyder S&P 5, es naurellemen le racker sur le S&P 5 e le SPDR Gold Trus qui réplique la performance de l or physique son les deux rackers les plus échangés au monde avec des encours respecifs de 76.5 e 77.5 milliards de dollars au 8/11. Les gérans d un fond indiciel (Exchange raded funds) son enus d avoir en porefeuille oues les composanes de l indice en les pondéran, e pour le cas de l or, de socker l équivalen en or dans leurs coffres Conras forward e fuure Les conras forward e fuure son des conras à ermes, ils s engagen fermemen à acheer ou à vendre à une échéance définie = T, à un prix fixé, une ceraine quanié d un acif financier le sous-jacen, à la dae =. La différence enre un conra forward e un conra fuure es que le premier es OTC andis que le second s échange sur les marchés organisés. Le sûr-mesure proposé par le marché de gré à gré s expose naurellemen au risque de liquidié. Le sous-jacen du conra peu êre physique, or, pérole, ec., une acion, un indice, aux d inérê, devises, obligaions. Il s agi iniialemen d un produi desiné à la gesion des risques Opion Les opions les plus connues son le call e le pu européens, donnan respecivemen le droi d acheer e le droi de vendre un acif sous-jacen à une dae déerminée à l avance, moyennan le versemen d une prime. La différence enre ces deux ypes de produis financiers avec les forward ou fuure es qu ils confèren le droi, e non l obligaion d exercer son conra à maurié. Ces deux premiers exemples son di vanille. Les opions exoiques son plus complexes e la lise complèe serai rop longue à cier ici. Rapidemen, les opions américaines qui donnen le droi d exercer son opion à n impore quelle dae enre le momen d acha e la maurié ; l opion bermuda qui donne le droi d exercer son conra à plusieurs daes bien fixées ; une opion asiaique paye la valeur moyenne du sous jacen duran un cerain inervalle de emps ; opion lookback paye n impore quel prix aein par l acion au cours de la période, on choisira naurellemen celui qui maximise le gain ; opion as-you-like-his, donne le droi de choisir si elle deviendra un call ou un pu. Alexis Fauh 1

11 1.3.5 Obligaion Une obligaion es un ire de créance négociable émis par une sociéé ou une collecivié publique, principalemen échangée sur les marchés de gré à gré. Les paramères renran dans le calcul d une obligaion son la dae d émission, la dae d échéance, le aux d inérê, la devise dans laquelle elle es émise e la périodicié du coupon. Les modaliés de remboursemen e le mode de rémunéraion des prêeurs son fixés conracuellemen, la rémunéraion pouvan êre fixe ou variable, indexée alors sur un aux d inérê e non sur le résula de l enreprise. La valeur nominale perme le calcul des inérês (coupon) que l empruneur s engage à verser à des échéances fixées à l avance. Le marché obligaaire es une des principales raisons jusifian l imporance des agences de raing, don les rois principales son S&P, Moody s e Fich. Le sysème de noaion de S&P va du fameux riple A : AAA pour une fore capacié à rembourser au C pour peu d espoir de recouvremen e D pour défau de paiemen. On peu classifier ces produis en 4 caégories bien disinces : Un Ea dans sa propre devise, emprun d Éa. Un Ea dans une aure devise que la sienne, obligaion souveraine. Une enreprise du seceur public, un organisme public, une collecivié locale, obligaion du seceur public. Une enreprise privée, une associaion, ou ou aure personne morale, obligaion corporae. Nous présenons mainenan un peu plus en déail le cas des obligaions d Ea Américaines. Les obligaions à plus coure échéance son les Treasury Bill (T-Bill) avec une maurié allan de 1 mois à 1 an. De la même manière que les obligaions zéro-coupons, ils ne versen pas d inérês avan l échéance. Les mauriés habiuelles son 1 mois, 3 mois ou 6 mois. Les T-Bills son reconnus comme consiuan les obligaions du résor les moins risquées aux Éas-Unis par les invesisseurs. Les Treasury Noes (T-Noes) son à échéances moyennes 2, 5 e 1 ans e leur rémunéraion es assurée par un coupon payé ous les six mois au souscripeur. La T-Noe à échéance de 1 ans es devenue la valeur la plus fréquemmen ciée dans les éudes des performances du marché obligaaire américain. Enfin, les obligaions avec la plus grande maurié son les Treasury Bond (T- Bond), varian enre 1 e 3 ans ils son égalemen rémunérés par un coupon payé ous les six mois. Le revenu que les déeneurs perçoiven possède en oure l avanage de n êre imposé qu au niveau fédéral. Les équivalens Français des obligaions à coure, moyenne e longue maurié son respecivemen les BTF Alexis Fauh 11

12 (Bons du Trésor à aux Fixe e à inérê précompé), BTAN (Bons du Trésor à inérês ANnuels) e les OAT (Obligaions Assimilables du Trésor) Dérivé de crédi Les dérivés de crédi son raiées sur les marchés OTC e par définiion, écries sur des produis sensibles au crédi (obligaions, ec.). Elles peuven êre uilisées en vue de ransférer un risque de conreparie vers un aure pour conrôler son exposiion. Comme pour les dérivés classiques, il exise deux ype de dérivé de crédi, celle die vanille, e celle die exoique. Pour les vanilles nous pouvons par exemple cier les crédi défau swap (CDS) single name (i.e. ne proégean que sur un seul produi) e les collaeralized deb obligaion (CDO) sur indices. Pour les exoiques, nous avons par exemple les CDS sur zéro-coupons e les CDO 2. Nous reviendrons plus en déail sur les CDS à la fin de ce cours. 1.4 Comié de Bâle La créaion du comié de Bâle se fai en 1974 sous l impulsion des régulaeurs financiers, plus précisémen les direceurs des banques cenrales des principales puissances économiques. Le comié se réuni à la banque des règlemens inernaionaux (BIS) à Bâle, Suisse, souven appelée la banque cenrale des banques cenrales. Le bu affiché es d avoir un framework unifié en erme de régularisaion pour évier d une par les risques d une rop fore exposiion aux marchés émergeans e, d aure par, avoir un cerain pace de non-agression enre les différenes banques cenrales. Le premier rappor imporan se fera en 1988 par la publicaion des accords de Bâle 1 (Basel I) [Ba88]. Cee première publicaion ne concerne uniquemen les produis de risques de crédis ainsi que la méhode à uiliser pour calculer le capial minimum requis en foncion de l exposiion de la banque. Le fameux raio de Cooke y es écri ainsi que le raio asse o capial muliple. Ce dernier doi êre inférieur à 2%, Toal des acifs Capial 2%. Le raio de Cooke, égalemen connu comme éan le raio de risque capial es la somme des acifs déenus par l enié divisée par leurs faceurs de risques respecifs, il doi êre au moins supérieur à 8% Capial faceurs de risque des acifs 8%. Alexis Fauh 12

13 Les acifs non risqués son par exemple l or, les obligaions émisen par les plus grandes puissances économiques (e les plus saines!), leurs poids son fixés à. Les banques des pays les puissans économiquemen on un risque de 2%, ec. L une des raisons de l essor du risque managemen provien du comié de Bâle lui même. En effe, en 1996, l expansion des aciviés de rading au sein des firmes on poussé le comié à publier un amendemen [Ba96] proposan aux banques de soi, uiliser un modèle de conrôle de risque proposé par le rappor (méhode de mesure sandardisé) soi, de développer en inerne un modèle. Bien enendu, ce modèle doi se plier à ceraines règles. Les méhodes sandardisées son différenes selon la classe d acif regardé, aux d inérê, equiy, commodiies ou Forex. Les obligaions on un risque prédéfini selon la maurié e le pays, les ETF sur indice un risque de 2%, une ceraine méhodologie pour la couverure en dela e en gamma es proposée, ec. Pour que le modèle inerne soi éligible, il fau naurellemen qu une équipe de risk managemen soi mise en place. Un back es robuse doi êre implémené, au minimum sur un an. Les sress ess doiven êre suffisammen comples pour couvrir des événemens exrêmes, ils doiven êre à la fois quaniaifs e qualiaifs, incorporer les risques marché ainsi que de liquidié. Des calculs de Var avec un indice de confiance de 99% doiven êre fai quoidiennemen, ec. Il es possible d avoir quelque chose de bien moins conraignan en faisan soi même son modèle, ou en respecan les recommandaions du rappor que d uiliser l approche sandardisée, c es pourquoi les équipes de risk managemen on considérablemen gonflé depuis lors. Le comié de Bâle publiera un nouveau rappor en 24 [Ba5] pour répondre aux imperfecions du premier rappor ainsi que pour s adaper à l évoluion des marchés. Bâle II repose sur rois piliers. Le premier éan l exigence de fonds propres, le deuxième pilier les procédures de surveillance e enfin, le roisième un effor de ransparence e de discipline. En ce qui concerne le pilier I, la méhode de calcul des risques a éé modifiée. Par exemple, pour le risque de crédi, nous avons l approche sandardisée, l approche IRBA (Foundaion Inernal Raings Based Approach) e l IRBA avancé. Conformémen à ces approches, les banques doiven en plus uiliser les raing fournis par les agences de raing. Sous IRBA avancé, les calculs de LGD (Loss Given Defaul) e EAD (Exposure A Defau) son calculés en inerne. La crise depuis 27 a mis en avan la non-adéquaion de la réforme Bâle II en cas d événemens exrêmes. Bâle III es en fai composé de deux amendemens [Ba11] e [Ba13] le premier poran sur le capial e l aure, poran sur la liquidié. Alexis Fauh 13

14 Hormis les exigences accrues, nous pouvons noer l inroducion d un raio de levier devan êre supérieur à 6%, Capiaux propres Dee > 6%. En plus des provisions en cas de risque de défau d une conreparie, les banques doiven pouvoir couvrir le risque de pere mark-o-marke sur le risque de conreparie aendu d un dérivé OTC. Il s agi des peres CVA (Credi Value Adjusmens). Le deuxième amendemen pore sur le risque de liquidié. Le bu annoncé du raio de couverure en liquidié (LCR) es de permere une résisance à cour erme du risque de liquidié des banques. Il s agi d avoir un sock d acifs non gelé e suffisammen liquide pour pouvoir êre converi insananémen en cash pour couvrir une pere nee de résorerie duran 3 jours. Le NSFR (aux ne de financemen sable) es le rappor enre le monan de financemen sable par rappor au monan de financemen sable requis sur un 1 an, il doi êre supérieur à Risques Tou comme les acions, l acha d une obligaion d Ea ou d enreprise compore des risques. Nous pouvons liser cerains de ces différens risques : Risque de aux d inérê Risque de crédis Risque d inflaion Risque de crédi Risque de axe Risque de régulaion Risque de aux d inérê Le risque de aux d inérê es cerainemen le plus éviden e l un des plus imporans. Par définiion, une obligaion es indexée sur les aux d inérês, les cash flows peuven donc êre plus moins ou inéressans selon le niveau du aux sous-jacen e, plus pariculièremen, son sensibles aux variaions insananées des aux. Les produis ypiques de fixed income bougen dans la direcion opposée des variaions de aux, si le aux diminue, le prix du produi de fixed income va moner, e inversemen. Ce risque apparaî dans le cas où l invesisseur ne compe pas aller Alexis Fauh 14

15 à erme du conra, une variaion peu donc amener à une pere de capial. Ce risque de aux d inérê es mesuré par la duraion Risque de crédi Dans les modèles de valorisaions que nous allons éudier, il es sous enendu que les obligaions acheées arriveron à erme e payeron le principal. Cela n es bien enendu pas le cas à chaque fois. En effe, il es ou à fai possible que l émeeur de l obligaion ne puisse pas rembourser en parie ou la oalié de sa dee. Ce risque es appelé risque de crédi e n exise que pour ce ype d insrumens financiers, pas pour les marchés acions ou Forex par exemple. Si l émeeur de la dee ne peu pas rembourser le principal, nous dirons qu il fai défau. Bien enendu, ce ype de risque apparaî minime dans le cas d obligaions émises par le gouvernemen américain ou allemand, e, bien plus imporan pour cerains pays de la zone Euro, de pays émergens ou d enreprises. Néanmoins, la probabilié de défau de Lehman Broher éai noée exrêmemen faible, alors que finalemen, ce n éai pas le cas. Même pour des produis, à priori, à faible risque de crédi, il es imporan de prendre en compe cee noion. En effe, la plupar des insiuions financières comme des insiuions d Ea possèden des produis di oxiques, même si en soi, elles ne son pas sujees à défau, il exise un risque de conagion e donc, une insiuion sans risque le deviendra Risque d inflaion Le risque d inflaion n es pas un risque de pere en soi, c es un risque de voir son cash flow fuur diminuer de valeur. L inflaion es définie en erme de pourcenage de variaion sur un même panier de biens. L indice de référence es le CPI, Consumer Price Index. Pour comprendre ce risque, il suffi de réaliser que si l inflaion augmene de manière imporane, le paiemen du coupon, même s il n a pas changé de valeur par rappor à ce qui es prévu, ne vaudra plus rien. Bien sûr, ce risque augmene pour des obligaions à long-erme, il es peu probable de voir une augmenaion de l inflaion significaive sur 1 mois. Pour se couvrir des risques sur inflaion, il exise des produi dérivés sur inflaion, plus précisémen, le sous-jacen es le CPI. Egalemen, nous pouvons nous prémunir en achean des produis comme des maières premières qui elles, son sensibles à l inflaion. Alexis Fauh 15

16 1.5.4 Risque de aux de change Une obligaion émise en monnaie érangère, va avoir, comme pour n impore quel aure produi financier, un risque de change. L obligaion va émere des cash flow dans une ceraine devise, qu il va falloir ranscrire dans la monnaie domesique. Supposons que nous acheons une obligaion coée en Yen, alors si le Yen se déprécie par rappor à l euro, le monan gagné va êre moindre, voir, négaif en cas de fore dépréciaion. A l inverse, si le Yen s apprécie par rappor à l euro, le monan reçu va êre supérieur. Bien enendu, en plus d êre exposé au risque de change, nous sommes égalemen exposés au risque de variaion du aux éranger Risque de axe Pour la plupar des produis de fixed income, ils son axables par rappor au aux en vigueur dans le pays considéré. De plus, ils son sujes à des variaions de régulaion, d imposiion, menées par le gouvernemen éranger. On peu parler de risque de axe ou comme de risque de poliique. Par exemple, en juin 198, Baery Park Ciy Auhoriy (l auorié supervisan le développemen de Baery Park Ciy, quarier siué à l exrémié sud-oues de l île de Manhaan à New York, Éas-Unis) a émis une dee de $ pour lancer des consrucions immobilières. Au momen de l émission, les auoriés légales on considéré que ces noes seraien exempées d impô fédéral. En novembre 198, l IRS (Inernal Revenue Service), l agence du gouvernemen des Éas-Unis qui collece l impô s oppose à l exonéraion de axe sur les coupons, enraînan une baisse de leur valeur. 2 Taux d inérê 2.1 Zoologie Obligaion zéro-coupon Un dollar d aujourd hui vaudra oujours plus qu un dollar de demain. Un zérocoupon de maurié T, es un ire versan 1 dollar à la dae T. La valeur faciale (ou nominal) de l obligaion es N = 1$. Nous noerons B(, T ) le prix du zéro-coupon de maurié T à l insan, e donc, B(T, T ) = 1. Nous supposerons oue la suie que le prix de l obligaion B(, T ) es processus posiif sricemen e adapé sur un espace de probabilié filré (Ω, F, P). Alexis Fauh 16

17 2.1.2 Srucure par ermes Le rendemen à maurié (yield-o-mauriy) d un zéro-coupon de maurié T es le processus adapé vérifian, R(, T ) = 1 ln B(, T ), T. (2.1) T La srucure par erme des aux, égalemen appelée la courbe des aux (yield curve) es la foncion qui donne les différens aux de la dae en foncion de leur maurié θ, θ R(, θ). Connaissan le rendemen à maurié, le prix de l obligaion es déerminé de manière unique par, B(, T ) = e R(,T )(T ), T. (2.2) En praique, la srucure par ermes des aux d inérês es déduie du prix de plusieurs insrumens financiers rès liquides, comme les T-bills, T-bond, swap e fuure Taux d inérê forward Un conra forward sur aux d inérê es le conra effecué à l insan, d acha à T 1 (>) d une obligaion zéro-coupon de maurié T 2 (>T 1 ). Par un simple argumen de non-arbirage, nous voyons que le prix du conra forward es B(T 1, T 2 ) = B(,T 2). Le aux d inérê forward à l insan, f(, T B(,T 1 ) 1, T 2 ), doi donc inuiivemen vérifier B(, T 2 ) B(, T 1 ) = e f(,t 1,T 2 )(T 2 T 1 ), T 1 T 2. (2.3) En d aures ermes, il es donc donné par f(, T 1, T 2 ) = 1 T 2 T 1 ln B(, T 2) B(, T 1 ). (2.4) Il s agi du aux forward coninu. Non coninu, il s écri naurellemen, f(, T 1, T 2 ) = 1 T 2 T 1 ( ) B(, T1 ) B(, T 2 ) 1, (2.5) Alexis Fauh 17

18 Le aux d inérê forward insanané es la limie du aux forward lorsque T 1 = T e T 2 = T + T, F (, T ) = lim ln B(, T + T ) ln B(, T ) T = 1 B (, T ) (2.6) B(, T ) T Il s agi donc du rendemen marginal obenu en conservan un cour insan supplémenaire l obligaion. En inégran (2.6), nous obenons le prix de l obligaion en foncion du aux forward insanané, B(, T ) = exp Enfin, en uilisan (2.2) e (2.6), nous avons, ( F (, u)du ) (2.7) Soi, F (, T ) = (R(, T )(T )) = R(, T ) + (T ) R(, T ). (2.8) T T R(, T ) = 1 F (, u)du. (2.9) T Nous voyons donc que le prix de l obligaion ainsi que son rendemen peuven êre enièremen déerminés par le aux forward insanané Taux d inérê cour erme Le aux d inérê spo, i.e. le aux d inérê insanané, es défini mahémaiquemen comme la limie du aux coninu moyen quand la maurié end vers, r = lim R(, T ) = R(, ) = F (, ). (2.1) T Nous pouvons réécrire le prix de l obligaion en foncion du aux spo, B(, T ) = exp = exp ( ( = exp [T/ ] i=1 F (, u)du ) F (, u)du (i 1) F (, u)du ) F ((i 1), u)du Alexis Fauh 18

19 en passan à la limie, Ainsi, B(, T ) = exp = exp ( B(, T ) = exp Sous forme différenielle, nous avons, [T/ ] i=1 ( r u du avec comme condiion erminale B(T, T ) = Obligaion à coupons fixe (i 1) ). r u du r i du ). (2.11) db(, T ) B(, T ) = r d, (2.12) Une obligaion à coupons fixes (coupon-bearing bond), de maurié T n, es un acif financier qui paye à son déeneur les monans c 1,, c n aux daes T 1 < < T n. Le prix de ce coupon es donné par la somme des cash flows acualisés, n B n (, T n ) = B(, T i )c i + B(, T n )N, T 1. (2.13) i=1 N es le nominal de l obligaion. La séquence {T 1, T 2,, T n } es appelée le enor Duraion e convexié Rappelons que pour un zéro-coupon B(, T ), le rendemen R(, T ) es donné par, B(, T ) = e R(,T )(T ), T. Soi mainenan B n le prix d un coupon avec pour mauriés T 1 < < T n, de coupons c 1,, c n e de nominal N. Nous supposons que N es compris dans les c i, le prix es alors, n B n () = B(, T i )c i. i=1 Alexis Fauh 19

20 Nous nous plaçons en =, en noan y le rendemen à maurié (YTM) e y(, T i ) = y i, B n () = B n, nous pouvons réécrire le prix de l obligaion pour ou T 1, n B n = c i e y it i. La duraion de Macaulay d un coupon es définie par, D Mac := i=1 ni=1 T i c i e y it i B n. (2.14) Il s agi donc de la moyenne des coupons aux daes T 1,, T n. En d aure erme, la duraion de Macaulay d une obligaion correspond à la période à l issue de laquelle sa renabilié n es pas affecée par les variaions de aux. Nous pouvons égalemen noer que (2.14) nous donne la sensibilié relaive du prix de l obligaion par rappor au YTM, db n dy = d ( n ) c i e y it i = D Mac B n. dy i=1 Nous définissons mainenan la convexié d une obligaion par, C := db2 n dy 2 = n i=1 c i e y it i T 2 i. Il s agi de la sensibilié de la duraion par rappor à une variaion du rendemen y Swap de aux d inérê Un swap de aux d inérê perme d échanger un aux variable (aux floan) conre un aux fixe κ sur une période donnée. La srucure d un swap de aux es donnée par la suie d inervalles [T 1, T 2 ],, [T n 1, T n ] el que T i T i 1 = δ i, δ i une consane connue à l avance, T n la maurié du swap, un aux fixe, κ e, le nominal N. Nous noons δ i, i = 2,, n, e non δ, en effe, bien que les daes de versemen arriven à inervalles réguliers, ous les 6 mois par exemple, nous n avons pas exacemen le même nombre de jours enre le i-ème 6mois e le i + 1-ème 6mois, simplemen du fai du nombre de jours dans un mois (mois de février) ainsi que du nombre de jours fériés. Alexis Fauh 2

21 A l insan T i, le déeneur du conra paye κδ i N e, reçoi le aux floan f(, T i 1, T i )δ i N. Ce aux floan es généralemen le Libor dollar pour le dollar américain e l Euribor pour l euro, il s agi des deux conras les plus liquides sur le marché des aux. Le cashflow à l insan T i es donc, Ainsi, en uilisan (2.5), nous rouvons, (f(, T i 1, T i ) κ)δ i N, T i 1. N(B(, T i 1 ) B(, T i ) κδ i B(, T i )). (2.15) En faisan la somme cumulée de T à T n, la valeur oale du swap es, S = N(B(, T ) B(, T n ) κδ i n i=1 B(, T i )), T. (2.16) Il rese à savoir commen déerminer la valeur juse (fair value) du aux fixe κ. En supposan que ous les coupons B(, T i ) soien déerminés par le marché, la valeur de κ es donnée par l équilibre de (2.16), S =. Alors, R swap () = B(, T ) B(, T n ) ni=1, T. δ i B(, T i ) R swap () es appelé le aux swap forward. Il es possible d exprimer le payoff d un swap ainsi que la valeur d équilibre de κ, R swap, cela pourra servir pour pricer les swapions. En revenan à (2.15) e en uilisan encore (2.5), nous avons comme cashflow du swap à l insan, La somme cumulée es, Nδ i B(, T i )(f(, T i 1, T i ) κ). n S = N δ i B(, T i )(f(, T i 1, T i ) κ), (2.17) i=1 la valeur d équilibre du aux fixe κ es alors, n R swap() = w i ()f(, T i 1, T i ), i=1 avec comme poids w i () = B(, T i )/ n j=1 B(, T j ). Ces poids son aléaoires, mais les résulas empiriques enden à voire la variabilié de w i peie comparée aux variaions de f(, T i 1, T i ). Alexis Fauh 21

22 2.1.8 Taux Libor Rappelons que le aux forward f(, T, S), T S es donné par la relaion, f(, T, S) = 1 B(, S) ln T S B(, T ). (2.18) Sur le marché Libor, les forward L(, T, S), pour un prê sur [T, S], son donnés à la différence de (2.18) par, Ainsi, L(, T, S) = 1 S T 1 + (S T )L(, T, S) = B(, T ) B(, S). Il s agi en fai de la limie du aux forward insanané, ( ) B(, T ) B(, S) 1, T < S. (2.19) F (, T ) = 1 B(, T ) B(, T ) T = lim S T B(, S) B(, T ) (S T )B(, S) = lim S T L(, T, S). Il convien ou pariculièremen de s aarder quelques secondes sur le aux Libor. Il s agi du London inerbank offered rae, soi, aux inerbancaire praiqué à Londres. C es un aux fondamenal, c es le aux auquel les banques se prêen enre elles, c es pour cela qu il es si imporan. Nous éudierons cerains produis dérivés direcemen sur les aux Libor d ailleurs. Nous présenons sur la figure (1) la courbe de aux forward du 19/8/13. Remarquons que le aux Libor peu s exprimer en foncion du prix forward Y = X /N avec N = B(, S)/(S T ) jouan le rôle de numéraire e X = B(, T ) B(, S). Le aux Libor sous la mesure forward Q es une maringale avec Q définie par, ( ) dq dp = 1 S B(, S) exp r u du. Alexis Fauh 22

23 % Années Figure 1 Taux forward LIBOR T F (, T ) du 19/8/13, maurié de 1 à 25 ans. Source : Bank of England. Le swap de aux sur le Libor saisfai la même relaion que précédemmen (2.17) avec bien enendu le aux forward f(, T 1, T n ) remplacé par le aux Libor L(, T k, T k+1 ), n (T i T i 1 )B(, T i )(L(, T i 1, T i ) S(, T 1, T n )) =, i=2 où nous avons supposé que N = 1. Nous avons donc, S(, T 1, T n ) = = = 1 B(, T 1, T n ) 1 B(, T 1, T n ) 1 B(, T 1, T n ) = B(, T 1) B(, T n ). B(, T 1, T n ) n (T i T i 1 )B(, T i )L(, T i 1, T i ) i=2 ( ) n B(, Ti 1 ) B(, T i ) 1 i=2 B(, T i ) n (B(, T i 1 ) B(, T i )) i=2 (2.2) Noons pour conclure cee secion que le swap de aux LIBOR peu êre vu Alexis Fauh 23

24 comme Y = X /N avec le numéraire N = B(, T 1, n) e X = B(, T 1 ) B(T n ), sous la mesure forward Q el que, Convenion de marché dq dp = B(T ( ) 1, T 1, T n ) B(, T 1, T n ) exp T1 r u du. Si e T son deux daes exprimées en jour, mois, année, il n es pas clair en quoi T doi êre. Le marché évalue la fracion d année enre e T. Il exise une convenion de calcul de jours. Connaissan le nombre de jour enre les deux daes e T, nous avons direcemen, # jours enre e T T =. 365 Insisons bien sur le fai que nous compons ous les jours de l année, e non seulemen les jours ouvrés, sinon, nous aurions dû diviser par 261 e exclure les week-ends e jours fériés du calcul de l inervalle. Pour ne pas à avoir à comper le nombre de jour, en noan T 1 = (d 1, m 1, y 1 ) e T 2 = (d 2, m 2, y 2 ) el que T 1 < T 2, T 2 T 1 = min(d 2, 3) min(d 1, 3) + m 2 m 1 + y 2 y Prenons par exemple T 1 = 25 juille 213 e T 2 le 3 janvier 214, alors, 3 25 T 2 T 1 = = Il s agi ici de la convenion 3E/36. Il en exise beaucoup d aure Inérês courus, clean e diry price Les inérês courus son la fracion de l inérê annuel écoulé sur un ire. A l insan (T i 1, T i ], les inérês courus son, AI(i, ) := c i T i 1 T i T i 1 Le clean price es le prix de l obligaion sans les inérês courus, p clean () := p() AI(i, ), T i 1 < T i. Alexis Fauh 24

25 Auremen di, le clean price es le prix auquel on achèe le coupon à l insan (T i 1, T i ]. Le diry price es le prix incluan les inérês courus, p diry () := p clean () + AI(i, ), T i 1 < T i Cap e floor Un caple verse à l insan T + δ i la différence posiive enre le aux à l insan T e T + δ e le srike κ. Son payoff es, Cpl(, T, T + δ) = δ i (f(t, T, T + δ i ) κ) +, < T. (2.21) Un cap es une bandelee de caple. Pour le enor T < < T n, le payoff d un cap à l insan < T, n Cp = Cpl(, T i 1, T i ). i=2 Le cap garani à son déeneur une proecion conre la hausse des aux d inêres. Le aux à payer ne sera jamais supérieur au srike κ. On peu monrer que les cashflow (2.21) à l insan T i son proporionnels aux cashflow d un pu à l insan T i 1 sur une obligaion de maurié T i e de srike 1/(1 + δ i κ) soi, ( ) 1 + (1 + δ i κ) 1 + δ i κ P (T i 1, T i ). Ce lien es rès imporan puisqu il perme de pricer des caps en uilisan les formules de pricing d obligaion que nous développerons plus ard. De plus, nous voyons bien qu un cap es un pari à la baisse des aux comme évoqué précédemen. Un floor es l inverse d un cap. Comme pour un cap, un floor es une bandelee de floorles, de cashflow à l insan donné par, Fl(, T i 1, T i ) = δ i (κ F (T i 1, T i 1, T i )) +, T. Le prix du floor es alors donné par, n Fl = Fl(, T i 1, T i ), T. i=1 Il exise un équivalen à la relaion de parié call-pu pour les caps e les floors, Alexis Fauh 25

26 Cp Fl = S. où S es la valeur du swap à l insan de aux κ, de nominal 1 e de même discréisaion T < T 1 < T n que le cap e le floor. Enfin, on dira que le cap/floor es à la monnaie (ATM) si, κ = R swap () = B(, T ) B(, T n ) ni=1. δ i B(, T i ) le aux swap forward. On dira que le cap (floor) es à l inérieur de la monnaie si κ < R swap () (κ > R swap ()) e à l exérieur de la monnaie si κ > R swap () (κ < R swap ()) Swapion Une swapion es une opion sur swap donnan le droi de vendre, pu swapion ou d acheer, call swapion, à une maurié fixée T, à un prix κ fixé à l avance, le srike. Rappelons que la valeur d un swap de aux fixe κ commençan en T es, n Π p (T, κ) = N B(T, T i )δ i (f(t, T i 1, T i ) κ). i=1 Ainsi, le payoff d un call swapion de srike κ es, ( n + N B(T, T i )δ i (f(t, T i 1, T i ) κ)) (2.22) i=1 Noons que comme Π p (T, R swap (T )) =, nous pouvons réécrire le payoff (2.22) du call swapion, e du pu swapion, Nδ i (R swap (T ) κ) + n i=1 B(T, T i ), Nδ i (κ R swap (T )) + n i=1 B(T, T i ). Alexis Fauh 26

27 A l insan T, le call (pu) swapion de srike K es di respecivemen ATM, ITM e OTM (A, In, Ou The Monney) si, κ = R swap (), κ > (<)R swap (), κ > (<)R swap (). 2.2 Modèle de aux cour Valorisaion d une obligaion Nous allons proposer deux méhodes pour obenir la formule de valorisaion des zéros-coupons sous forme d une espérance condiionnelle e l EDP des aux. La deuxième reprend l approche fondarice de Vasicek, [Va77], libre au leceur de choisir celle avec laquelle il se sen le plus à l aise. Formellemen, nous allons ravailler sur l espace de probabilié filré (Ω, F, (F, T ), P), la filraion éan celle du mouvemen Brownien sandard. Comme pour les modèles acions, nous allons supposer par hypohèse d absence d opporunié d arbirage l exisence d une probabilié risque-neure Q elle que sous Q, les prix des zéros-coupons acualisés B(, T )/S pour ou T son des maringales. Le numéraire (S ) R+ es pris classiquemen comme le procesus de cash, S = exp ( r s ds ), T. Ainsi, uilisan le fai que B(T, T ) = 1 e la propriéé de maringale nous pouvons écrire, ( ) B(, T ) B(T, T ) = E S Q ST F ( ) 1 = E Q ST F, Il es clair que S es F -mesurable, alors, ( ) B(T, T ) B(, T ) = S E Q ST F ( ) S = E Q ST F ( ) T = E Q (exp r s ds) F. (2.23) Alexis Fauh 27

28 Nous avons une première méhode de pricing des zéros-coupons que nous appellerons l approche par maringale. Comme pour le cas du modèle de Black & Scholes, nous pouvons aussi obenir une EDP relian les prix, donc des zéroscoupons cee fois ci. Supposons pour le momen une dynamique générale du aux spo sous la probabilié hisorique P, dr = µ r (, r)d + σ r (r, )dw (2.24) avec (W ) R+ un mouvemen Brownien sandard e µ r e σ r deux foncions vérifian les condiions de Cauchy-Lipschiz. µ r es classiquemen le drif du processus (r ) R+ e σ r sa volailié. Le prix zéro-coupon à l insan es une foncion de, r e de T, B(, T ) = B(, r, T ). Le prix B es une foncion réelle, supposée suffisammen régulière e de classe C 2 afin de pouvoir appliquer le lemme d Iô, ( B db(, T ) = + µ B r r ) B B 2 σ2 r (, r, T )d + σ r 2 r r (, r, T )dw (2.25) =B(, T )µ B (, r, T )d + B(, T )σ B (, r, T )dw avec, ( 1 B µ B (, r, T ) = B(, r, T ) + µ B r r ) B 2 σ2 r (, r, T ) r 2 1 σ B (, r, T ) = B(, r, T ) σ r(, r) B (2.26) (, r, T ). r Comme précédemmen, nous allons ravailler sous probabilié risque neure Q. D après le héorème de Girsanov, nous supposons alors l exisence de la prime de risque, foncion du emps e du aux spo, (λ(, r)) (,r) R+ R, el que, W = W + λ(s, r)ds soi un mouvemen brownien sous Q. L équaion de diffusion de r sous Q es alors donnée par, dr = (µ r (, r) λ(, r)σ r (, r))d + σ r (, r)d W. La dynamique du prix zéro-coupons sous la mesure risque neure Q es alors, db(, T ) = B(, T )(µ B (, r, T ) λ(, r )σ B (, r, T ))d + B(, T )σ B (, r, T )d W. (2.27) Noons que le prix acualisé B(, T )/S es une maringale sous Q, le erme de endance doi donc ére égal à r, soi, µ B (, r, T ) λ(, r)σ B (, r, T ) = r. (2.28) Alexis Fauh 28

29 En remplaçan avec les valeurs de µ e σ rouvées en (2.26) nous obenons, ( B + µ B r r ) B B 2 σ2 r λσ r 2 r r = rb B + (µ r σ r λ) B r + 1 (2.29) 2 B 2 σ2 r rb =. r2 La condiion erminale de l EDP éan la même que précédemmen, B(T, r, T ) = 1. Noons qu il es possible de rerouver l EDP des aux sans faire inervenir expliciemen la probabilié risque-neure Q. Les aux d inérês n éan pas un ire négocié à propremen parler, nous ne pouvons pas le couvrir avec le ire, comme avec le sous-jacen d une opion sur equiy. Nous allons donc supposer que nous acheons un zéro-coupon de valeur V 1 e de maurié T 1 e que nous shorons un aure zéro-coupon de valeur V 2 de maurié T 2. La valeur du porefeuille es alors, V = V 1 V 2. En conservan la dynamique (2.25), nous avons, dv = (V 1 µ B (, r, T 1 ) V 2 µ B (, r, T 2 ))d + (V 1 σ B (, r, T 1 ) V 2 σ B (, r, T 2 ))dw. L asuce consise à prendre des monans bien pariculiers pour V 1 e V 2 de elle sore que l aléa B disparaisse. Ce choix es, V 1 = σ B (, r, T 2 ) σ B (, r, T 2 ) σ B (, r, T 1 ) V and V 2 = La diffusion de la valeur du porefeuille es alors, σ B (, r, T 1 ) σ B (, r, T 2 ) σ B (, r, T 1 ) V. dv = V µ B(, r, T 1 )σ B (, r, T 2 ) µ B (, r, T 2 )σ B (, r, T 1 ) d. (2.3) σ B (, r, T 2 ) σ B (, r, T 1 ) Le porefeuille es mainenan sans risque, il doi donc rapporer la valeur du aux d inérê, dv/v = r d. En idenifian le erme de (2.3) avec r pour qu il n y ai pas d opporunié d arbirage, nous avons, µ B (, r, T 1 ) r σ B (, r, T 1 ) = µ B(, r, T 2 ) r. σ B (, r, T 2 ) L équaion es valide quelle que soi la maurié T i e nous noerons la quanié λ, Alexis Fauh 29

30 µ B (, r) r σ B (, r) = λ(, r). Pour conclure, nous n avons qu à remplacer les valeurs de µ e σ des équaions (2.26) pour obenir l EDP des aux, B + (µ r σ r λ) B r B 2 σ2 r rb =. r2 Une applicaion direce du héorème de Feyman-Kac (voir Appendix, 6.2.3) avec la condiion erminale de nore prix Φ(X T ) = B(T, r, T ) = 1, nous donne direcemen, B(, T ) = E Q (exp( ) r s ds) F. Nous avons deux méhodes de pricing de zéro coupon avec aux spo, soi en résolvan l EDP des aux, (2.29), soi, par le calcul de l espérance condiionnelle sous Q (2.23) Modèle de Vasicek La première diffusion que nous allons considérer, cerainemen la plus simple, es celle du processus d Ornsein-Uhlenbeck. Le aux spo a la dynamique, dr = κ(θ r )d + σdw. où (W ) R+ es un mouvemen Brownien sandard. Il s agi d un processus ayan la caracérisique d êre mean-revering, en d aure erme, il oscille auour de sa valeur moyenne, ce qui es le cas général des aux spo, n ayan pas de endance bien définie à long erme. κ, θ e σ son des consanes posiives. θ correspond à la valeur d équilibre, la valeur moyenne de r, κ es la force de reour à la moyenne, la viesse à laquelle le processus va revenir à sa valeur d équilibre. Prenons un exemple, supposons que r soi au dessus de sa valeur moyenne, alors, le erme θ r va êre négaif, soi une endance négaive, ce qui paraî logique. κ, va quan à lui donner plus ou moins d imporance à ce drif, plus il sera élevé, plus la convergence se fera rapidemen, e réciproquemen. Si r es à sa valeur d équilibre, le drif es nul, il n y a aucune raison de vouloir voir bouger le prix. σ es la volailié, il va donner plus ou moins d imporance au brui W. On présene Alexis Fauh 3

31 Figure 2 2*3 rajecoires d un processus d Ornsein-Uhlenbeck avec même valeur d équilibre θ =. A gauche, 3 forces de reour à la moyenne différene e a droie, 3 volailiés différenes. quelques réalisaions de ce processus sur la figure (2.2.2). Pour ravailler sous Q, de manière à conserver la même dynamique, nous prenons une prime de risque consane, λ el que dw = d W λd, alors, avec θ = θ σλ/κ. dr = κ(θ r )d + σ(d W λd) = κ(θ σλ/κ r )d + σd W (2.31) = κ( θ r )d + σd W Proposiion 2.1. La soluion de (2.31) es, r = θ + (r θ)e κ + σ e κ( s) d W s (2.32) Preuve 2.1. Posons f(x, ) = e κ r. Il es clair que la foncion es C 2, nous pouvons appliquer le lemme d Iô, df(x, ) = κe κ r d + e κ dr = κ θe κ d + σe κ d W. Alexis Fauh 31

32 En inégran, e κ r = r + θ(1 e κ ) + σ r = θ + (r θ)e κ + σ e κs d W s e κ( s) d W s. (2.33) On remarque que r es alors un processus gaussien sous Q (en supposan que r es gaussien) de moyenne θ + (r θ)e κ e de variance σ2 (1 2κ e 2κ ). De plus, on peu monrer qu il es saionnaire. Pour valoriser un zéro-coupon, nous avons besoin de calculer simple es d inégrer (2.31) dr s = r T r = κ κ( θ r s )ds + σd W s r s ds + κ θ(t ) + σ κ r s ds = r r T + κ θ(t ) + σ En remplaçan r T par sa soluion (2.33) nous obenons d W s d W s r s ds. Un moyen r s ds = (r θ) 1 e κ(t ) κ + θ(t ) + ) 1 e κ(t σ dw s (2.34) κ Il es clair que r s ds es égalemen gaussienne sous Q condiionnellemen à F, on es donc invié à uiliser la ransformée de Laplace. On sai que pour oue variable X N (µ, σ 2 ) E(e zx ) = exp (zµ + 1 ) 2 z2 σ 2. Les deux premiers momens condiionnels son, Alexis Fauh 32

33 E Var ( ( r s ds F ) r s ds ) F = E ) 1 e κ(t = θ(t ) + ( θ r ) κ ( σ = σ 2 E = σ 2 ) κ(t s) 2 1 e d κ B F s ( ) 1 e κ(t s) 2 ds F κ ( ) 1 e κ(t s) 2 ds κ = σ2 ( ) 1 e κ(t ) 2 σ 2 ( ) ) 1 e κ(t + T. 2κ 3 κ 2 κ (2.35) Sous la dynamique d Ornsein-Uhlenbeck (modèle de Vasicek), le prix d un zéro-coupon de maurié T es, { ( B(, T ) = exp E r s ds ) F + 1 ( 2 Var r s ds )} F { ) 1 e κ(t = exp R (T ) + (R r ) σ2 ( ) } 1 e κ(t ) 2, κ 4κ 3 (2.36) où R = θ σ2. La courbe des aux à l insan es quan à elle, 2κ 2 R(, T ) = 1 ln B(, T ) T = R + (R r ) 1 e κ(t ) κ(t ) σ 2 ( ) (2.37) 1 e κ(t ) 2. 4κ 3 (T ) Modèle de Cox-Ingersoll-Ross Nous avons vu sur la figure (2.2.2) que le processus d Ornsein Uhlenbeck pouvai rès bien passer sous le zéro, or, cela n es pas vraimen réalise dans la vraie vie (quoi que...). Le aux spo sous probabilié hisorique dans le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR), [CoInRo85] es donné par, Alexis Fauh 33

34 dr = κ(θ r )d + σ r dw. Il es possible de monrer que si 2κθ > σ 2, alors, la soluion n aein pas, dans ce cas, le drif de l équaion es suffisammen imporan pour conraindre la diffusion d aeindre. Sous probabilié risque neure, en prenan λ = λ r comme prime de risque, soi, d W = dw + λ r d, nous obenons, avec κ = κ + σλ e θ = nous obenons dr = κ( θ r )d + σ r d W κθ. En écrivan l EDP des aux pour cee diffusion, κ+σλ B + κ( θ r) B r σ2 r B2 rb =. r2 Pour pouvoir résoudre cee EDP, on pose l ansaz, B(, T, r) = A(T )e C(T )r. (2.38) Ainsi, en noan τ = T e en remplaçan dans l EDP précédene, A (τ) + A(τ)C (τ)r κ( θ r)a(τ)c(τ) σ2 ra(τ)c 2 (τ) ra(τ) =. En égalisan à zéro les coefficiens du polynôme en r (r es donné par le marché, il n y a donc pas lieu de vouloir modifier sa valeur e de plus nous avons supposé que les foncions A e C ne dépenden que de τ), nous obenons, C (τ) + κc(τ) σ2 C 2 (τ) 1 = A (τ) κ θa(τ)c(τ) = (2.39) La première des deux équaions es une équaion de Riccai, il es donc ou à fai possible de lui rouver une soluion, que l on réinjece dans l équaion 2 pour déerminer A. Noons égalemen que nous avons pour condiion erminale B(T, r, T ) = 1, soi, A() = 1 e C() =. En noan ρ = κ 2 + 2σ 2, la soluion générale es, A(τ) = ( 2ρe τ( κ+ρ)/2 ( κ + ρ)(e ρτ 1) + 2ρ ) 2 κ θ σ 2, C(τ) = 2(e ρτ 1) ( κ + ρ)(e ρτ 1) + 2ρ. Alexis Fauh 34

35 Preuve 2.2. La seconde équaion de (2.39) dépend des foncions A e C, on ne peu donc pas la résoudre pour le momen. La première équaion es quan à elle uniquemen écrie en foncion de C, il s agi d une équaion de Riccai, nous pouvons donc la résoudre. Nous avons donc C = 1 κc 1 2 σ2 C 2. Nous appliquons la méhode classique de ce ype d équaion (voir appendix). Nous obenons u + κu 1 2 σ2 u =. Le polynôme caracérisique associé es avec pour racines z 2 + κz 1 2 σ2 =. r ± = κ ± κ 2 + 2σ 2. 2 La soluion de u es donc du ype u = λ 1 e r 1τ + λ 2 e r 2τ e en dédui uilisan le fai que C = u /(( 1/(2σ 2 )u) C(τ) = λ 1r 1 e r1τ + λ 2 r 2 e r 2τ 1 2 σ2 (λ 1 e r 1τ + λ 2 e r 2τ ). Uilisan la condiion erminale C() =, en dédui que λ 1 λ 2 = r 2 r 1. En injecan cela C(τ) = 2 ( r2 e r1τ + r 2 e r 2τ σ 2 r 2 r 1 e r 1τ + e r 2τ ) = 2 r 2 σ 2 ( e ρτ 1 r 2 r 1 + e ρτ ) Alexis Fauh 35

36 où nous avons posé ρ = κ 2 + 2σ 2. Enfin, après quelques simplificaions, nous avons le résula voulu C(τ) = 2(e ρτ 1) ( κ + ρ)(e ρτ 1) + 2ρ. Pour déerminer A, il fau un peu ravailler pour arriver à une forme du ype f (τ)/f(τ) + cs où f es une foncion que je laisse le leceur déerminer. La courbe des aux dans le modèle CIR, (2.1), es alors, R(, T ) = 1 T ln ( C(,T A(T )e )r) C(T ) ln A(T ) = r. T T Les deux principaux arais de ce modèle son l exisence d une formule fermée, e à la différence du modèle de Vasicek, des aux posiifs Généralisaion, modèle de aux cour à un faceur Il exise une liéraure abondane sur les modèles de aux cour à un faceur. Les modèles de Vasicek e de Cox-Ingersoll-Ross ne son qu une infime parie. La plupar de ces modèles peuven s écrire sous la forme, dr = (α + βr )d + ρr γ dw, où les paramères α, β, ρ e γ son des consanes. Nous pouvons cier quelques uns des principaux modèles à un faceur : Dohan dr = ρr dw Brennan-Schwarz dr = (α + βr )d + ρrdw Cox-Ingersoll-Ross variable rae dr = ρr 3/2 dw Consan elasiciy of variance dr = βr d + ρr γ dw Les éudes empiriques monren généralemen que les modèles avec une sensibilié enre la variaion de la volailié e le niveau du aux r, i.e., γ grand ( 1), capuren mieux la dynamique de r. Formellemen, la volailié des variaions non supposées es ρ 2 r 2γ. Le paramère ρ es un faceur d échelle, andis que γ conrôle le degré d influence du niveau du aux sur la volailié. Ce effe es di effe de niveau. Alexis Fauh 36

37 La relaion enre le niveau de r e sa volailié es plus imporane que la caracérisique de reour à la moyenne dans les modèles de aux cour. De plus, la prise en compe de cee caracérisique augmene la complexié des modèles dans l analyse de la srucure par ermes. Comme son imporance es moindre par rappor à celle de la variance, cee prise en compe n es pas oujours facilemen jusifiable. Hormis la possibilié de voir un aux négaif, le modèle de Vasicek propose un γ =, soi, une mauvaise prise en compe de l effe de niveau. La volailié des variaions es indépendane du niveau de r. Les modèles à un faceur formen une famille assez limiée e ne peuven pas permere de valoriser correcemen n impore quelles obligaions Modèle de Hull and Whie Les processus que nous avons vus précédemmen son invarians en emps. Les paramères son supposés consans. Pour plus de flexibilié, Hull e Whie, [HuWh9], proposen une diffusion du aux plus générale, dr = (θ() α()r )d + σ()r β dw. Ce modèle es égalemen appelé modèle de Vasicek généralisé. les foncions θ(), α() e σ() varien en foncion du emps e peuven êre uilisées pour calibrer exacemen le modèle aux prix du marché. Le prix à payer pour cee calibraion exace es que le prix des obligaions e de leurs opions n es plus obenable analyiquemen. Il es oujours enan de laisser plus de flexibilié aux paramères, donc d écrire α() e σ() au lieu de α e σ. Néanmoins, une conséquence imporane es que la volailié de la courbe des aux devien en général non saionnaire e évolue de manière oalemen imprévisible. Hull e Whie eux-mêmes dans un papier parlen d un risque de sur-paramérisaion du modèle si on laisse rop de liberé. Le modèle de Hull e Whie es en fai, dr = (θ() αr )d + σr β ()dw, où α, σ e β son des consanes, e θ() une foncion déerminise inconnue. Nous considérerons ici le cas où β =, ce qui nous permera d avoir une soluion simplemen. Nous commençons par déerminer le prix du zéro-coupon avec une approche par EDP. Alexis Fauh 37

38 L EDP des aux prend la forme, B + (φ() αr) B r + σ2 2 B 2 rb =, r2 avec φ() = θ() σλ (en d aures ermes nous avons pris λ el que db = d B λd). Comme précédemmen, nous supposerons que le prix du zéro-coupon es de la forme, B(, T, r) = A(T )e C(T )r. En injecan cee équaion dans l EDP des aux, nous obenons comme sysème, dc d αc + 1 = da σ2 φ()ac + d 2 AC2 = avec comme condiion erminale à = T, A(T, T ) = 1 e C(T, T ) =. Il s agi d un sysème d équaions différenielles somme oue classique, e nous rouvons après quelques calculs, C(, T ) = 1 ( ) 1 e α(t α { σ 2 } T A(, T ) = exp C 2 (u, T )du φ(u)c(u, T )du.. 2 (2.4) Il ne nous rese alors qu à déerminer l expression de φ(). En uilisan la deuxième équaion de (2.4) e en uilisan la formulaion du prix d un zéro coupon comme foncion exponenielle, nous obenons, φ(u)c(u, T )du = σ2 2 En différenian le erme de droie, C 2 (u, T )du ln B(r,, T ) rc(, T ). (2.41) T φ(u)c(u, T )du = φ(u)c(u, T ) u=t + = φ(u)e α(t u)du, e en égalisan avec la dérivée du erme de gauche, φ(u) C(u, T )du T Alexis Fauh 38

39 φ(u)e α(t u) du = σ2 α (1 e α(t u) )e α(t u) du T ln B(r,, T ) re α(t ). Il ne rese plus qu à supprimer le erme e α(t u). On injece l équaion (2.41) en la muliplian par α. Après quelques calculs, on obien, φ(u)du = σ2 (1 e 2α(T u) )du 2α T ln B(r,, T ) α ln B(r,, T ) r. En différenian une nouvelle fois l équaion, on arrive au résula voulu, φ(t ) = σ2 2α (1 e 2α(T ) ) 2 T ln B2 (r,, T ) α ln B(r,, T ) T La volailié du prix de l obligaion, donnée par (2.26), dans le cadre du modèle de Hull and Whie es, σ B (, T ) = σ β B r = σc(, T ) = σ α (1 e α(t ) ). Pour déerminer la diffusion du prix de l obligaion, nous n avons plus qu à appliquer le lemme d Iô à (2.38), db(r,, T ) B(r,, T ) = rd σ α (1 e α(t ) )dw. Il es égalemen possible de rouver la soluion par maringale. Rappelons que la diffusion de Hull and Whie es, dr = (θ() αr )d + σdw (2.42) avec (W ) R+ un processus de Wiener. En uilisan la même asuce que pour le modèle de Vasicek, e donc, le processus d Ornsein Uhlenbeck, nous pouvons rouver la soluion de (2.42), Ainsi, dr e α = θ()e α d + σe α dw Alexis Fauh 39

40 α(t ) 1 e r(u)du =r α + u 1 e =r α α(t ) + u σe α(u s) dw s du + σ + α (1 e α(t s) )dw s. Il es clair que la moyenne e variance son données par, θ(s)e α(u s) dsdu ) 1 e α(t θ(s) ds α ( ) T α(t ) 1 e T s) 1 e α(t E r u du = r + θ(s) ds, α α V (e ) T T r udu σ 2 ( = ) 1 e α(t s) 2 ds α 2 La valorisaion du zéro coupon es alors simplemen, B(, T ) =E (e ) T r udu ( = exp E (e ) T r udu + 1 (e )) 2 V T r udu ( α(t ) 1 e T s) 1 e α(t = exp r + θ(s) ds α α + 1 σ 2 ( ) ) 1 e α(t s) 2 ds. 2 α Quelques modèles Pour conclure cee secion, comme nous n avons bien évidemmen pas donné ous les modèles exisans, nous présenons ici quelques unes des diffusions les plus uilisées. Noons qu il n y a pas de consensus sur les modèles ATS, chaque modèle a ses avanages/inconvéniens. Le modèle de Black & Scholes par exemple, bien que les hypohèses de bases soien erronées, le modèle rese largemen uilisé par les praiciens. Plusieurs raisons, il es largemen connu e l on sai que la plupar des agens l uilisen, nous avons donc un effe mouonnier non négligeable. La formule de robusesse es rès inéressane, bien que le modèle soi erroné, l inervalle de confiance rese correc e donne donc une bonne indicaion au rader. Alexis Fauh 4

41 Noons enfin un poin qui peu paraîre secondaire mais finalemen non, le modèle de B&S a une formule fermée pour la pricing d opion, ce qui es loin d êre le cas des principaux modèles concurrens, plus fidèles à la réalié des marchés. Vasicek (77) : R dr = κ(θ r )d + σdw. Longsaff (89) : R + Cox-Ingersoll-Ross (85) : R + dr = κ(θ β r )d + σ r dw dr = κ(θ r )d + σ r dw. Dohan (78) : R + dr = βr d + σr dw. Black-Derman-Toy (9) : R + dr = β()r d + σ()dw. Black - Karasinki (91) : R + d log r = κ()(θ() log r )d + σ()dw. Ho-Lee (86) : R Hull and Whie (9) : R dr = µ()d + σdw. Hull and Whie (9) : R Modèles mulifacoriels Fondaions dr = κ()(θ() r )d + σ()dw. dr = κ()(θ() r )d + σ() r dw. Le problème des modèles monofacoriels, c es-à-dire n ayan qu une seule diffusion pour r es qu il n es pas possible de prendre les corrélaions enre des Alexis Fauh 41

42 1w 1m 6m 12m 5ans 3ans 1w 1 1m, m,96, m,953,952, ans,935,97,943, ans,772,789,797,795,82 1 Table 1 Marice de Corrélaion d obligaions françaises à différenes mauriés. Données journalières du 2/1/12 au 31/7/13. obligaions à différenes mauriés. Il es clair que dans chaque cas, nous avons la corrélaion d un zéro coupon de maurié T e S égale à 1. Sur le ableau (1), la corrélaion enre des obligaions françaises à différenes mauriés. De plus, les modèles à un faceur on fai l obje de plusieurs criiques. Les modèles n arriven pas à reproduire la réalié empirique du marché. D un poin de vue héorique, il semble absurde de vouloir ou expliquer par la simple diffusion du aux cour r. Les surfaces de volailié des aux forward son difficilemen reproducibles sans avoir un modèle rès compliqué pour le aux cour. Afin de pallier à ces différens problèmes, l usage de la seule variable aléaoire r comme exogène a éé de plus en plus abandonné. Les modèles muli-faceurs on éé inroduis. Le choix de ces faceurs es nécessairemen fondamenal. Les condiions de non-arbirage doiven êre égalemen vérifiées. La condiion de nonarbirage es cerainemen l une des hypohèses en finance les plus imporanes, e qui rese vérifiée au fil des années. A l inverse, l hypohèse de normalié des marchés de L. Bachelier apparaî aujourd hui oalemen incohérene avec les fais sylisés. L hypohèse d infinie divisibilié des acifs es bien enendu invalidée par la réalié, ou comme le caracère coninue des données, spécialemen à haue fréquence e pour les données non liquides. Néanmoins, l hypohèse de non-arbirage, c es-à-dire qu il es impossible de faire de l argen de manière ceraine avec une richesse nulle, rese vérifiée. La plupar des grandes banques e des fonds d invesissemen on ou une baerie d arbiragises, leur méier consise donc à repérer oue opporunié d arbirage à des emps microscopiques. Il es donc, pour nous, impossible de pouvoir en bénéficier. La plus simple exension du modèle à un faceur es de considérer le aux cour comme foncion de deux diffusions. Plus généralemen, nous pouvons éendre le Alexis Fauh 42

43 cas à un modèle d-dimensionnel où chaque faceur es du ype n r = x i i=1 dx i = µ i d + σ i dw i. Dans le cas où les W i son des mouvemens Brownien indépendans, nous avons simplemen comme formule de pricing de zéro-coupon B(, T ) = E (e T ) r sds F = E (e T n i=1 xi ds ) s F n = E (e T x i ds ) s F. i= Modèle de Vasicek à deux faceurs Nous considérons le cas à deux faceurs, i.e. r = x + y avec dx = κ x x d + σ x dw x dy = κ y y d + σ y dw y, où (W x, W y ) es un mouvemen Brownien bi-dimensionnel el que (2.43) dw x dw y = ρd avec ρ [ 1, 1]. Nous supposerons enfin que κ x, κ y, σ x e σ y son des consanes posiives. Les processus (x ) R+ e (y ) R+ son deux processus de Ornsein Ulhenbeck. En inégran les équaions (2.43), nous avons pour ou s < r =x s e κx( s) + y s e κy( s) + σ x e κx( u) dwu x + σ y e κy( u) dwu y. s Alexis Fauh 43 s

44 Il es clair que r, condiionnellemen à son hisorique, es gaussien de moyenne e variance E(r F s ) =x s e κx( s) + y s e κy( s) V(r F s ) = σ2 x 2κ x ( 1 e 2κ x( s) ) + (σ y) 2 2κ y ( 1 e 2κ y( s) ) + 2ρ σ xσ y κ x + κ y ( 1 e (κ x+κ y)( s) ). (2.44) Comme pour le cas des modèles à un faceur, le prix d un zéro-coupon B(, T ) es donné sous la probabilié risque-neure par ( ) B(, T ) = E e T r sds F. Nous inroduisons la quanié suivane : I(, T ) := (x u + y u )du. (2.45) Lemme 2.1. Pour ou T, la quanié I(, T ) donnée par (2.45) es gaussien condiionnellemen à F de moyenne M(, T ) e de variance V (, T ) respecivemen données par M(, T ) = 1 e κx(t ) κ x x + 1 e κy(t ) y κ y e [ V (, T ) = σ2 x T + 2 e κx(t ) 1 e 2κx(T ) 3 ] κ 2 x κ x 2κ x 2κ x [ + σ2 y T + 2 e κy(t ) 1 e 2κy(T ) 3 ] κ 2 y κ y 2κ y 2κ y + 2ρ σ [ xσ y T + e κx(t ) 1 + e κy(t ) 1 e (κx+κy)(t ) ] 1 κ x κ y κ x κ y κ x + κ y Preuve 2.3. Il es possible de reprendre les calculs fai pour le cas du modèle à un faceur (2.32). Nous proposons ici une aure preuve du calcul de r s ds e donc des quaniés M e V. Par applicaion de la formule d inégraion par parie sochasique, nous avons x u du = T x T x udx u (2.46) = (T u)dx u + (T )x. Alexis Fauh 44

45 Par définiion de x, la parie droie de (2.46) peu êre réécrie par : avec (T )dx u = κ x (T )x u du + σ x (T )dwu x, u (T )dx u = x (T u)e κx(u ) du + σ x (T u) e κx(u s) dws x du. En calculan les deux inégrales, e, κ x x (T u)e κx(u ) du = x (T ) e κx(t ) 1 x κ x u κ x σ x (T u) e κx(u s) dws x du ( u ) ( u ) = κ x σ x e κxs dws x du (T v)e κxv dv [ ( ) ( T ) T = κ x σ x e κxu dwu x (T v)e κxv dv ( ) ] (T v)e κ xu e κxu dwu x ( T ) T = κ x σ x (T v)e κxv dv e κxu dwu x = σ ( u (T u) + e κx(t u) 1 κ x où pour la dernière éape nous avons uilisé le fai que ) dw x u, u (T u)e κxv dv = (T u)e κxu κ x + e κxt e κxu. κ 2 x Ainsi ) 1 e κx(t x u du = x + σ ( x ) 1 e κ x(t u) dwu x. κ x κ x Nous obenons un résula ou à fai symérique pour y y u du = 1 e κy(t ) κ y y + σ ( y ) 1 e κ y(t u) dwu y. κ x Alexis Fauh 45

46 La variance condiionnelle es Var(I(, T ) F ) =Var + σ y [ σx T κ y κ x (1 e κx(t u) )dwu x ] (1 e κy(t u) )dw y u = σ2 x (1 e κx(t u) ) 2 du + σ2 y κ 2 x κ 2 y + 2ρ σ xσ y κ x κ y (1 e κy(t u) ) 2 du (1 e κx(t u) )(1 e κy(t u) )du Théorème 2.1. Le prix à l insan d un zéro-coupon de maurié T es { ) 1 e κx(t B(, T ) = exp x 1 e κy(t ) y + 1 } κ y 2 V (, T ). κ x Preuve 2.4. Pour oue variable aléaoire réelle Z de moyenne m Z e de variance σz, 2 nous avons Ee Z = e my+ 1 2 σ2 Z. r éan condiionnellemen gaussien par rappor à F, le lemme (2.1) nous perme de conclure. Remarque 2.1. Pour que le modèle à deux faceurs puisse refléer au mieux les données du marché après calibraion, nous inroduisons une foncion déerminise (ϕ()) R+ elle que r = x + y + ϕ(). (2.47) Il es possible de monrer alors que ϕ() = F M (, T ) + σ2 x (1 e κxt ) 2 + σ2 y (1 e κyt ) 2 + ρ σ xσ y (1 e κxt )(1 e κyt ). 2κ 2 x 2κ 2 y κ x κ y Preuve 2.5. voir [BrMe1]. Noons enfin qu il es possible après quelques calculs de monrer que Cor(dF (, T 1 ), df (, T 2 )) d qui es en général différen de 1. = σ2 xe κx(t 1+T 2 2) + σye 2 κy(t 1+T 2 2) σ F (, T 1 )σ F (, T 2 ) ( e κ x(t 1 +T 2 2) + e ) κy(t 1+T 2 2) + ρσ xσ y σ F (, T 1 )σ F (, T 2 ) Alexis Fauh 46,

47 2.3.3 Quelques modèles Comme précédemmen pour le cas mono-facoriel, nous présenons quelques uns des modèles les plus usuels. Richard, 1978, [Ri78]. Le modèle de Richard propose d expliquer la srucure par ermes des aux d inérês par deux faceurs, le aux cour observé (q ) R+ e le aux d inflaion insanané espéré (π ) R+. Les équaions de diffusion son avec (W q ) R+ e (W π ) R+ dq = µ q d + σ q dw q dπ = µ π d + σ π dw π deux mouvemens brownien indépendans. Brennan e Schwarz, 1979, 1982, [BrSc79],[BrSc82]. L idée du modèle de Brennan e Schwarz, es de supposer que le aux long (l ) R+ conien de l informaion sur la valeur fuure du aux cour (r ) R+. La srucure par ermes des aux es ainsi expliquée par la diffusion joine dr = µ r ()d + σ r ()dw r dl = µ l ()d + σ l ()dw l, avec (W r ) R+ e (W l ) R+ deux mouvemens Brownien corrélés e µ r, µ l, σ r e σ l des foncion réelles. Après quelques calculs similaires à ceux des modèles à un faceur, nous obenons B +(µ r λ r σ r ) B r +(µ l λ l σ l ) B l + σ2 r 2 B 2 r + σ2 l 2 B 2 2 l +ρσ 2 B rσ 2 l r l rb = (2.48) avec oujours comme condiion erminale B(T, T ) = 1. Les primes de risque des aux cours e des aux longs, respecivemen λ r e λ l vérifien µ B r B(, T ) = λ r (, r, l)σ B,r + λ l (, r, l)σ B,l. Alexis Fauh 47

48 avec µ B = B + µ B r r + µ B l l + σ2 r 2 B 2 r + σ2 l 2 B 2 2 l + ρσ σr 2 rσ 2 l 2 σ B,r = σ r B r σ B,l = σ l B l. 2 B r l Le problème de ce modèle, es que l équaion (2.48) n adme pas de soluion explicie en an que el, elle doi êre résolue numériquemen. Brennan e Schwarz, [BrSc82], on par la suie choisi une forme spécifique pour le drif e la volailié dr = (a 1 + b 1 (l r ))d + σ 1 r dw 1 dl = l (a 2 + b 2 r + c 2 l )d + σ 2 l()dw 2 Le aux cour es donc direcemen foncion du spread de aux long-aux cour. Néanmoins, ce modèle a éé invalidé par Hogan [Ho93] e Duffie e al. [DuMaYo94], qui on prouvé qu il n y avai pas de soluion réelle à ce sysème d EDS e, qu il éai possible d exhiber un arbirage. Schaefer e Schwarz, 1984, [ScSc84] Schaefer e Schwarz [ScSc84], proposen cee fois de ne plus modéliser direcemen le aux cour (r ) R+ mais le spread de aux cour - aux long (s ) R+ e, le aux long (l ) R+ ds = m(µ s )d + σ 1 dw 1 dl = β(s, l, )d + σ 2 l dw 2. Le spread es un processus d Ornsein-Uhlenbeck, i.e. mean-revering, le aux long a une variance proporionnelle à ses propres variaions. Les aueurs n arriven pas à obenir de formule fermée pour le pricing de zéro-coupon mais uniquemen une approximaion. Longsaff e Schwarz, 1992,[LoSc92]. Longsaff e Schwarz proposen d expliquer la courbe des aux par le aux cour (r ) R+ e la variaion du aux cour (v ) R+. Le prix de l obligaion Alexis Fauh 48

49 prend la forme db(, T ) = B(, T )((µx + θy )d + σ Y dw ) avec (X ) R+ e (Y ) R+ deux faceurs économiques correspondans respecivemen à la valeur du rendemen espéré e, à la corrélaion par rappor aux variaions de prix. La dynamique choisie es dx = (a bx )d + c dy = (d ey )d + f X dw X Y dw Y, où (W X ) R+ e (W Y ) R+ son deux mouvemens Brownien non corrélés e l ensemble des consanes son prises posiives sricemen. Les aueurs monren qu il es possible d exprimer les deux quaniés X e Y en foncion de r e v r = αx + βy v = α 2 X + β 2 Y avec α = µc 2 e β = (θ σ 2 )f 2, ainsi, r e v son posiifs. Les variables économiques son alors données par X = βr v α(β α) Y = v αr β(β α). Au prix de quelques calculs, il es cee fois possible de rouver une soluion explicie pour la valorisaion d un zéro-coupon ainsi qu une opion sur zérocoupon. Néanmoins, la soluion finale compore énormémen de paramères, donc, compliqué à esimer de manière efficace. Chen, 1996, [Ch96]. Chen propose un modèle à rois faceurs, le aux cour (r ) R+, sa moyenne sochasique (θ ) R+ e sa volailié sochasique (v ) R+. dr = κ(θ r )d + σ() r dw r dθ = ν( θ θ )d + ξ θdw θ dσ = µ( σ σ )d + η σdw σ, Alexis Fauh 49

50 chacun des rois processus es donc un processus de reour à la moyenne. Il es exrêmemen difficile d obenir une soluion pour le prix des obligaions ainsi que pour les produis dérivés. Il es néanmoins possible de simuler le modèle en le discréisan. 2.4 Pricing de dérivés de aux Mesure forward Rappelons qu en absence d arbirage, le processus e rsds B(, T ), T es une F -maringale sous Q e donc, la suie de variables (B(, T i )) [,Ti ] peu êre prise comme le numéraire dans la définiion dq i dq = 1 B(, T i ) e i r sds de la mesure forward Q i. Nous avons alors, pour oue foncion φ suffisammen régulière φ e pour oue variable aléaoire réelle X, ( E φ(x)e T i ) r sds F = B(, T i )E Qi (φ(x) F ), T. (2.49) Pour pouvoir uiliser l équaion (2.49), il pourrai êre uile d écrire les dynamiques de r, f(, T, S) e B(, T ) sous la mesure forward Q i. Supposons simplemen que la dynamique du prix de l obligaion soi du ype, db(, T i ) B(, T i ) = r d + σ i ()dw i, T i, i = 1,, n avec (W i ) R+ un mouvemen Brownien sandard sous Q pour ou i = 1,, n, e (r ) R+ e (σ()) R+ deux processus adapés à la filraion (F ) R+ générée par (W ) R+. Noons que cee diffusion es en accord avec les résulas précédens de diffusion sous la probabilié risque-neure (2.27), (2.28). D après le héorème de Girsanov, nous savons que W i := W σ i ()d, T i, Alexis Fauh 5

51 es un mouvemen Brownien sandard sous la mesure forward Q i pour ou le enor i = 1,, n. La dynamique du prix de l obligaion sous Q i es db(, T i ) B(, T i ) = (r + σ 2 i ())d + σ i ()d W i, T i, i = 1,, n. Dans sa forme générale, le aux cour r es supposé Markovien e soluion de l EDS dr = µ(, r )d + σ(, r )dw. Sous Q i, nous avons direcemen dr = µ(, r )d + σ(, r )σ i ()d + σ(, r )d W i. Nous prenons (une fois de plus) l exemple du modèle de Vasicek dr = κ(θ r )d + σdw i, T i. D après (2.57), (2.6) e (2.63), nous avons db(, T i ) B(, T i ) = r Ti d + σ e κ(ti u) dudw i = r d σ κ (1 e κ(t i ) )dw i, T i. Ainsi σ i () = σ κ (1 e κ(t i ) ), T i. La diffusion de (r ) R + sous Q i es dr = κ(θ r )d σ2 κ (1 e κ(t i ) )d + σd W i e la diffusion du prix de l obligaion sous Q i es db(, T i ) B(, T i ) = r d + σ2 κ 2 (1 e κ(t i ) ) 2 d σ κ (1 e κ(t i ) )d W i Prix d une opion sur une obligaion Nous donnons ici une forme générale pour valoriser des opions sur obligaions. Alexis Fauh 51

52 Proposiion 2.2. Le prix d un call sur B(T i, T j ) en T i, de payoff (B(T i, T j ) κ) + es donné par, ( ) E e T i r sds (B(T i, T j ) κ) + F ( v = B(, T j )φ v log B(, T ) ( j) B(, T i )κφ v κb(, T i ) v log B(, T ) j) κb(, T i ) avec v 2 (, T i, T j ) = i e φ la densié d une loi normale cenrée réduie. σ j () σ i () 2 ds Preuve 2.6. D après (2.49) ( ) E e T i r sds (B(T i, T j ) κ) + F = B(, T i )E i ((B(T i, T j ) κ) + F ). (2.5) Ensuie, en uilisan le lemme d Iô sur la foncion f(x) = x 1 nous avons Ainsi, ( ) B(, Tj ) d = B(, T i ) 1 d B(, T i ) = 1 B(, T i ) db(, T 1 i) + 2 B(, T i ) db(, T i) 3 = 1 B(, T i ) (r d + σ i ()dw ) + σ2 i () B(, T i ) d = 1 B(, T i ) (r d + σ i ()(dw i + σ i ())) + σ2 i () B(, T i ) d = 1 B(, T i ) (r d + σ i ()dw i ) 1 B(, T i ) db(, T 1 j) + B(, T j )d B(, T i ) + db(, T 1 j), d B(, T i ) = B(, T j) B(, T i ) (σ jdw σ i dw i ) B(, T j) B(, T i ) σ jσ i d = B(, T j) B(, T i ) (σ j σ i )dw i. En appliquan une nouvelle fois le lemme d Iô nous avons B(, T j ) B(, T i ) = B(, T ( j) B(, T i ) exp Ti (σ j (s) σ i (s))dw i 1 ) Ti (σ j (s) σ i (s)) 2 ds. 2 Alexis Fauh 52

53 E donc B(u, T j ) B(u, T i ) = B(, T ( j) B(, T i ) exp Ti (σ j (s) σ i (s))dws i 1 2 i pour ou u, e en pariculier pour u = T i nous obenons (σ j (s) σ i (s)) 2 ds B(T i, T j ) = B(, T ( j) B(, T i ) exp Ti (σ j (s) σ i (s))dws i 1 ) Ti (σ j (s) σ i (s)) 2 ds. 2 (2.51) Injecons mainenan (2.51) dans (2.5) ( E e T i r sds (B(T i, T j ) κ) + F ) (( B(, Tj ) = B(, T i )E i B(, T i ) e Ti (σ j(s) σ i (s))dws i 1 Ti 2 (σ j(s) σ i (s)) 2ds κ (( ) B(, Tj ) 1 = B(, T i )E i B(, T i ) ex() 2 v2 (,T i,t j ) κ ) F + ( ) B(, Tj ) 1 = B(, T i )E i B(, T i ) ex() 2 v2 (,T i,t j ) 1 D F B(, T i )κp i (D F ) = I 1 I 2. ) ) F + avec X() une variable aléaoire gaussienne cenrée e de variance v 2 (, T i, T j ) e D es donnée par { } B(, Tj ) 1 D = B(, T i ) ex() 2 v2 (,T i,t j ) > κ Commençons par calculer I 2. I 2 = B(, T i )κp i (D F ) ( ) B(, Tj ) 1 = B(, T i )κp i B(, T i ) ex() 2 v2 (,T i,t j ) > κ F ( = B(, T i )κp i X() < v v log B(, T ) j) κb(, T i ) F ( = B(, T i )κφ v v log B(, T ) j) κb(, T i ) ) Alexis Fauh 53

54 Pour calculer I 1 nous avons besoin d inroduire la densié de probabilié L Ti par : ( i L Ti = exp (σ j (s) σ i (s))dws i 1 ) Ti (σ j (s) σ i (s)) 2 ds 2 ( = exp X 1 ) 2 v2 (, T i, T j ) définie Alors si P i désigne la probabilié de densié L Ti par rappor à P i, nous avons X() = X() (σ j(s) σ i (s))ds e donc, ( ) B(, Tj ) 1 I 1 = B(, T i )E i B(, T i ) ex() 2 v2 (,T i,t j ) 1 D F ( ) = B(, T j ) P i D F = B(, T j )φ Pricing de cap e floor ( v v log B(, T ) j). κb(, T i ) Rappelons qu un caple es une opion d acha sur le forward f(t, T, T + δ) de srike κ, Cpl = δ(f(t, T, T +δ) κ) +. Si nous prenons le cas du Libor L(T, T, T +δ) Cpl = δ(l(t, T, T + δ) κ) +. Le modèle BGM [BrGaMu97], propose de diffuser le Libor de enor T 1 < < T n par un Brownien géomérique sous la mesure T i+1 -forward, i.e. dl(, T i, T i+1 ) L(, T i, T i+1 ) = γ i()dw i+1, T i, où γ i () es une foncion déerminise pour ou i. La soluion es donc ( u L(u, T i, T i+1 ) = L(, T i, T i+1 ) exp γ i (s)dws i+1 1 u ) γ i (s) 2 ds 2 pour ou u, e en pariculier pour u = T i, nous avons ( i L(T i, T i, T i+1 ) = L(, T i, T i+1 ) exp γ i (s)dws i+1 1 ) Ti γ i (s) 2 ds. 2 Ainsi, le aux Libor L(T i, T i, T i+1 ) éan un mouvemen Brownien géomérique sous Q i+1, les caples peuven pricer pour ou [, T i ] par la formule de Black & Scholes. Alexis Fauh 54

55 Proposiion 2.3. Le caple sur L(T i, T i, T i+1 ) es valorisé à l insan [, T i ] par [ ] E (T i+1 T i )e T i+1 (L(T i, T i, T i+1 ) κ) + F = (T i+1 T i )B(, T i+1 ) {L(, T i, T i+1 )φ(d + ) κφ(d )} (2.52) où e d ± = log(l(, T i, T i+1 )/κ) ± σi 2 ()(T i )/2 σ i (), T i σi 2 () = 1 i γ i (s)ds. T i Preuve 2.7. Comme précédemmen, sous la mesure T i+1 -forward, nous avons, [ ] E (T i+1 T i )e T i+1 (L(T i, T i, T i+1 ) κ) + F = (T i+1 T i )B(, T i+1 )E i+1 [(L(T i, T i, T i+1 ) κ) + F ] = (T i+1 T i )B(, T i+1 )Bl(κ, L(, T i, T i+1 ), σ i (),, T i ) pour ou T i e Bl la foncion de Black & Scholes Bl(κ, x, σ, r, τ) = xφ(d + ) κe rτ φ(d ) e σi 2 () = 1 i γi 2 (s)ds. T i De la même manière que pour le cas d un call ou d un pu, nous pouvons valoriser un floorle en calculan à l aide la formule de Black & Scholes pour ou [, T i ] [ ] E (T i+1 T i )e T i+1 (κ f(t i, T i, T i+1 )) + F = (T i+1 T i )B(, T i+1 )E i+1 [(f(t i, T i, T i+1 ) κ) + F ]. Considérons mainenan un cap de enor T 1 < < T n de payoff acualisé n 1 k=1 (T k+1 T k )e T k+1 r sds (f(t k, T k, T k+1 )) +. Alexis Fauh 55

56 Le pricing d un cap se dédui simplemen du résula obenu pour les caples (2.52) Cp = E = = [ n 1 i=1 n 1 i=1 n 1 i=1 (T i+1 T i )e i+1 (κ f(t i, T i, T i+1 )) + F ] (T i+1 T i )E [ e i+1 (κ f(t i, T i, T i+1 )) + F ] (T i+1 T i )B(, T i+1 )E i+1 [(κ f(t i, T i, T i+1 )) + F ]. Dans le cadre du modèle BGM, nous obenons donc pour ou [, T 1 ] n 1 Cp = (T i+1 T i )B(, T i+1 )Bl(κ, L(, T i, T i+1 ), σ i (),, T i ). i= Pricing de swapion Pour pouvoir pricer une swapion, nous avons besoin d inroduire la mesure forward-swap. Nous considérons le numéraire annualisé j 1 B(, T i, T j ) = (T k+1 T k )B(, T k+1 ), T i. k=i Proposiion 2.4. Le numéraire annualisé acualisé e rsds B(, T i, T j ) = e es une maringale sous Q. j 1 rsds k=i La mesure forward-swap Q i,j es définie par (T k+1 T k )B(, T k+1 ), T i dq i,j dq = e i r sds B(T i, T i, T j ) B(, T i, T j ) pour ou 1 i < j n. Nous avons d après (2.4) pour ou T i ( ) dqi,j ( E dq F 1 = B(, T i, T j ) E e T i r sds B(T i, T i, T j ) ) F = B(, T i, T j ) B(, T i, T j ) e rsds. Alexis Fauh 56

57 Egalemen, dq i,j F = e Ti r sds B(T i, T i, T j ) dq F B(, T i, T j ), T i+1 Nous pouvons aussi monrer que le processus v i,j k () := B(, T k) B(, T i, T j ) es une F -maringale sous Q i,j. Ainsi, le aux swap S(, T i, T j ) = B(, T i) B(, T j ) B(, T i, T j ) es une maringale sous Q i,j. = v i,j i () v i,j j (), T i En uilisan la mesure forward-swap, nous avons la formule de valorisaion pour ou payoff de la forme B(T i, T i, T j )g(t i ) ( E e T i r sds B(T i, T i, T j )g(t i ) ) ( F = B(, T i, T j )E g(t i ) dq ) i,j F F dq F (2.53) = B(, T i, T j )E i,j (g F ). Rappelons qu une swapion sur le aux forward f(t i, T k, T k+1 ) es un conra de payoff j 1 (T k+1 T k )e T k+1 r T sds i (f(ti, T k, T k+1 ) κ), k=i + à l insan T i. La valorisaion pour ou [, T i ] sous la mesure risque-neure es donc E e j 1 T i r sds (T k+1 T k )e T k+1 r T sds i (f(ti, T k, T k+1 ) κ) F, k=i + soi, en d aure erme, E e j 1 T i r sds (T k+1 T k )B(T i, T k+1 )(f(t i, T k, T k+1 ) κ) k=i F +. (2.54) Comme pour les cap e floor, nous allons considérer une swapion sur le aux Libor L(, T, S). Cela va nous permere de réécrire le payoff (2.54) en foncion du aux forward swap R swap (T i, T i, T j ). Alexis Fauh 57

58 Lemme 2.2. Le payoff d une swapion sur le aux Libor L(, T, S) peu s écrire sous la forme j 1 (T k+1 T k )B(T i, T k+1 )(L(T i, T k, T k+1 ) κ) k=1 = B(T i, T i, T j )(R swap (T i, T i, T j ) κ) +. Preuve 2.8. Le aux forward swap R swap es donné par la relaion d équilibre j 1 k=1 (T k+1 T k )B(, T k+1 )(L(, T k, T k+1 ) R swap (, T i, T j )) =. Nous avons ainsi j 1 (T k+1 T k )B(, T k+1 )L(, T k, T k+1 ) = R swap (, T i, T j ) k=1 j 1 k=1 = R swap (, T i, T j )B(, T i, T j ). + (T k+1 T k )B(, T k+1 ) Donc j 1 (T k+1 T k )B(, T k+1 )(L(, T k, T k+1 ) κ) = B(, T i, T j )(R swap (, T i, T j ) κ), k=1 en pariculier pour = T i j 1 (T k+1 T k )B(T i, T k+1 )(L(T i, T k, T k+1 ) κ) k=1 = B(T i, T i, T j )(R swap (T i, T i, T j ) κ) +. Proposiion 2.5. Le prix de la swapion (2.54) peu se réécrire comme un call européen sur le aux swap forward R swap sous la mesure forward-swap Q i,j B(, T i, T j )E i,j ((R swap (T i, T i, T j ) κ) + ), T i. Preuve 2.9. En appliquan l équaion (2.53) e le lemme (2.2) nous obenons E e j 1 T i r sds (T k+1 T k )B(T i, T k+1 )(L(T i, T k, T k+1 ) κ) F [ = E e T i = k=i 1 B(, T i, T j ) E r sds B(T i, T i, T j )(R swap (T i, T i, T j ) κ) + F ] [ dqi,j F ] (R swap (T i, T i, T j ) κ) + F dq F = B(, T i, T j )E i,j [(R swap (T i, T i, T j ) κ) + F ]. + + Alexis Fauh 58

59 For des différens résulas que nous avons obenus, nous pouvons donner une formule de pricing de swapion dans le cas où le aux swap forward sui un mouvemen Brownien géomérique sous la mesure swap-forward. Proposiion 2.6. Supposons que le aux swap forward es modélisé par un mouvemen Brownien géomérique sous la mesure Q i,j dr swap (, T i, T j ) = R swap (, T i, T j )σ()dw i,j avec (σ()) R+ une foncion déerminise. Nous pouvons alors valoriser une swapion de payoff B(, T i, T j )(R swap (T i, T i, T j ) κ) + par la formule de Black & Scholes [ E e T i r sds B(T i, T i, T j )(R swap (T i, T i, T j ) κ) ] F avec e j 2 = (B(, T i ) B(, T j ))φ(d + ) κφ(d ) (T k+1 T k )B(, T k+1 ), k=1 d + = log ( ) R swap(,t i,t j) σ κ + i 2()(T i ) 2 σi 2 () T i d = log ( R swap(,t i,t j) κ σi 2 () T i ) σ 2 i ()(T i ) σi 2 = 1 i σ 2 (s)ds T i Preuve 2.1. Nous avions supposé que le aux R swap éai diffusé par un Brownien géomérique de variance (σ()) R+ sous Q i,j, nous avons [ E e T i ] r sds F B(T i, T i, T j )(R swap (T i, T i, T j ) κ) + = B(, T i, T j )E i,j [(R swap (T i, T i, T j ) κ) + F ] = B(, T i, T j )Bl(κ, R swap (T i, T i, T j ), σ i (),, T i 1) = B(, T i, T j )[R swap (T i, T i, T j )φ(d + ) κφ(d )] = (B(, T i ) B(, T j ))φ(d + ) κb(t i, T i, T j )φ(d ) j 2 = (B(, T i ) B(, T j ))φ(d + ) κφ(d ) (T k+1 T k )B(, T k+1 ) Alexis Fauh 59 k=1 2

60 2.4.5 Pricing dans le cas à deux faceurs Nous reprenons le modèle (2.47), i.e. avec r = x + y dx = κ x d + σ x dw x dy = κ y d + σ y dw y, avec κ x, κ y, σ x e σ y des consanes posiives e (W x, W y ) un mouvemen Brownien bi-dimensionnelle de corrélaion ρ. Sous la mesure T -forward, les processus (x ) R+ e (y ) R+ évoluen selon ( dx = κ x x σ2 x (1 e κx(t ) ) ρ σ ) xσ y (1 e κy(t ) ) d + σ x d κ x κ W x y ( ) dy = κ y y σ2 y κ y (1 e κy(t ) ) ρ σ xσ y κ x (1 e κx(t ) ) d + σ y d W y, (2.55) avec ( W x ) e ( W y ) deux mouvemens browniens sous la mesure T -forward els que d W x d W y = ρd. Les soluions de (2.55) son pour ou s T avec x = x s e κx( s) M x (s, ) + σ x e κx( u) d W u x y = y s e κy( s) M y (s, ) + σ y e κy( u) d W u y, ( σ 2 M x (s, ) = x + ρ σ ) xσ y (1 e κx( s) ) σ2 x (e κx(t ) e κx(t + 2s) ) κ 2 x κ x κ y 2κ 2 x σ x σ ( y ρ e κ y(t ) κyt e κx+(κx+κy)s) κ y (κ x + κ y ) ( σ 2 = y + ρ σ ) xσ y (1 e κy( s) ) σ2 y (e κy(t ) e κy(t + 2s) ) κ 2 y κ x κ y 2κ 2 y σ x σ ( y ρ e κ x(t ) κxt e κy+(κx+κy)s) κ x (κ x + κ y ) s s Alexis Fauh 6

61 La disribuion es donc une nouvelle fois condiionnellemen gaussienne par rappor à F, en pariculier, sous la mesure T -forward E(r F s ) =x s e κx( s) M x (s, ) + y s e κy( s) M y (s, ) Var(r F s ) = σ2 x 2κ x ( 1 e 2κ x( s) ) + σ2 y 2κ y ( 1 e 2κ y( s) ) + 2ρ σ xσ y κ x + κ y ( 1 e (κ x+κ y)( s) ). Preuve Similaire à la valorisaion d un zéro-coupon avec le modèle de Vasicek à deux faceurs. Théorème 2.2. Le prix d un call de maurié T e de srike κ sur zérocoupon de maurié S dans le cadre du modèle à deux faceurs gaussien es donné à l insan S par avec [ ] ( r 1 E e sds ((B(T i, T i+1 ) κ) + ) =B(, T i+1 )φ v log B(, T i+1) κb(, T i ) + 1 ) 2 v ( 1 B(, T i )κφ v log B(, T i+1) κb(, T i ) 1 ) 2 v v 2 = σ2 ( ) x 1 e κ x(t i+1 T i ) 2 ( 1 e ) 2κx(T i ) 2κ 3 x + σ2 ( y ) 1 e κ y(t i+1 T i ) 2 ( 1 e ) 2κy(T i ) 2κ 3 y σ x σ ( y + 2ρ ) ( 1 e κ x(t i+1 T i ) 1 e ) κy(t i+1 T i ) κ x κ y (κ x + κ y ) ( 1 e (κx+κy)(t i+1 T i ) ). Preuve Par analogie avec les calculs fais dans le cas à un faceur e en remarquan que B(, T i ) sui une loi log normale, héorème 2.1, de paramères E(log B(, T i+1 ) F ) = 1 e κx(t i+1 T i ) κ x V (, T i+1) E(x F ) 1 e κy(ti+1 Ti) κ y E(y F ) Alexis Fauh 61

62 e V(log B(, S) F ) = (1 e κx(t i+1 T i ) ) 2 V(x F ) 2κ 2 x + (1 e κy(t i+1 T i ) ) 2 V(y 2κ 2 F ) y + 1 e κx(t i+1 T i ) κ x 1 e κy(ti+1 Ti) κ y C(x, y F ) = σ2 x (1 e κx(t i+1 T i ) ) 2 (1 e 2κx(T i+1 T i ) ) κ 3 x + σ2 y (1 e κy(t i+1 T i ) ) 2 (1 e 2κy(Ti ) ) κ 3 y σ x σ y + 2ρ κ x κ y (κ x + κ y ) (1 e κx(t i+1 T i ) )(1 e κy(t i+1 T i ) ) (1 e (κx+κy)(t i+1 T i ) ). 2.5 Heah-Jarrow-Moron Framework Le prix de l obligaion B(, T ), le rendemen R(, T ) e le aux forward F (, T ), nous donnen ous la même informaion sur la courbe des aux. Le framework de Heah-Jarrow-Moron (HJM), [HeJaMo9], [HeJaMo91] e [HeJaMo92] ene de consruire une famille de processus sochasiques à emps coninu pour la srucure par ermes, cohérene avec les observaions iniiales. La variable d éa du modèle choisi es le aux insanané F (, T ). La diffusion générale choisie par les aueurs es, F (, T ) = F (, T ) + e sous forme différenielle, α F (u, T )du + σ F (u, T )dw u, df (, T ) = α F (, T )d + σ F (, T )dw, T. (2.56) F (, T ) es le aux forward iniial, α F (, T ) la endance du aux forward insanané e σ F (, T ) sa volailié. Nous supposerons les deux processus α F e σ F adapés à leur filraion naurelle. La diffusion (2.56) ne donne pas nécessairemen un non-arbirage, e, qu il exise donc une probabilié risque neure. Nous allons donner une condiion dans la prochaine secion. Alexis Fauh 62

63 2.5.1 Condiion de non-arbirage Sous la mesure risque-neure, la endance du prix de l obligaion es r, (2.27), (2.28). La dynamique du prix prend alors la forme, db(, T ) B(, T ) = r d + σ B (, T )dw, T, (2.57) avec σ B un processus adapé. Nous pouvons égalemen rajouer comme condiion erminale σ B (T, T ) =. Il s agi de l effe Pull-o-Par, plus l obligaion va arriver à maurié, plus le prix va se sabiliser vers le par (sa valeur faciale), e donc, la volailié va disparaîre. Rappelons que le prix forward es donné par df(, T 1, 2 ) = d ln B(, T 1) d ln B(, T 2 ) T 2 T 1, (2.58) par le lemme d Iô, nous obenons, d ln B(, T i ) = ( r σ B(, T i ) 2 2 Ainsi, nous pouvons réécrire l équaion (2.58), ) d + σ B (, T i )dw, i = 1, 2. df(, T 1, 2 ) = σ B(, T 2 ) 2 σ B (, T 1 ) 2 d + σ B(, T 1 ) σ B (, T 2 ) dw. 2(T 2 T 1 ) T 2 T 1 Posons mainenan T 1 = T e T 2 = T +, en passan à la limie, e σ B (, T ) σ B (, T + ) lim σ B (, T + ) 2 σ B (, T ) 2 lim 2 = σ B T (, T ) = σ B (, T ) σ B T (, T ) (W ) R+ éan un processus de Wiener, nous pouvons changer le brui sans pere de généralié. On peu alors écrire la diffusion du aux forward insanané, df (, T ) = σ B (, T ) σ B T (, T )d + σ B T (, T )dw, (2.59) En égalisan les équaions (2.56) e (2.59), nous devons avoir, σ F (, T ) = σ B (, T ), T α F (, T ) = σ B (, T ) σ B (, T ). (2.6) T Alexis Fauh 63

64 La condiion de non-arbirage dans le framework HJM es alors, α F (, T ) = σ F (, T ) σ F (, u)du. (2.61) Les modèles de aux d inérê HJM son donc enièremen spécifiés par le sous jacen e, la volailié. Le sous-jacen es la srucure par erme, la volailié décrivan quan à elle commen cee srucure par erme évolue au cours du emps Formulaion des aux cour avec HJM Les aux cours à l insan son égaux aux forward de maurié, En uilisan (2.59), r = F (, ) = F (, ) + df (u, )du. En différenian, r = F (, ) + σ B (u, ) σ B (u, )du + σ B (u, )dw u. dr = F (, )d + σ B (u, ) 2 σ B (u, ) + { 2 } σ B + (u, )dw 2 u d + σ B (u, ) u=dw u. ( ) 2 σb (u, ) du d (2.62) Considérons la forme suivane pour la volailié, σ B (, T ) = σ(t ), σ une consane. Avec la méhodologie HJM, la diffusion du aux insanané (2.62) es, dr = ( ) F (, ) + σ2 d + σdw. On rerouve le modèle en emps coninu de Ho-Lee. Alexis Fauh 64

65 2.5.3 Taux forward de Vasicek La valeur d un zéro coupon dans le modèle de Vasicek es donnée par (2.36). Le aux forward es alors (après quelques calculs), f(, T, S) = Le aux insanané es, = R log B(, S) log B(, T ) S T 1 S T log B(, T ) F (, T ) = T [ ( r κ + R ) (e κ σ2 κ(s ) 2κ 3 e κ(t )) σ2 ( e 2κ(S ) 2κ(T e )) 4κ 3 = r e κ(t ) + θ ( 1 e κ(t )) σ2 2κ 2 ( 1 e κ(t ) ) 2. En supposan θ =, nous avons la forme différenielle, df (, T ) = σ 2 e κ(t ) e κ( s) dsd + σe b(t ) dw. Nous pouvons alors rerouver la condiion de HJM, ]. où α(, T ) = σ 2 e κ(t ) e κ(s ) ds = σ(, T ) σ(, s)ds, σ(, T ) = σe κ(t ). (2.63) 2.6 Courbe des aux Il exise plusieurs moyens de reconsruire la courbe des aux. Commençons déjà par expliquer pourquoi, dans le Fixed Income, il es imporan de pouvoir reconsruire la courbe des aux. Remarquons déjà que nous ne disposons pas de zéro-coupon à oues les mauriés, par exemple 1 ans, 2 mois e 3 jours. Nous n avons qu un échanillon de poins, que nous souhaions donc relier pour avoir une courbe coninue. Cela perme de consruire des porefeuilles robuses en ermes de Alexis Fauh 65

66 Risk managemen. Les méhodes les plus connues son les méhodes d inerpolaions linéaires e cubiques, de boosrapping e, les méhodes paramériques de ype Svensson. Nous présenons rapidemen ces différenes méhodes Inerpolaion Les méhodes d inerpolaions consisen simplemen à rerouver le aux R(, τ) connaissan R(, i 1 ) e R(, i ) pour ou i 1 < τ < i. Le plus simple éan naurellemen l inerpolaion linéaire R(, τ) = τ i 1 R(, i 1 ) + i R(, i ) i i 1 i i 1 Le problème majeur résulan de cee méhode es que le aux forward dédui n es plus différeniable en ou poin. L inerpolaion par splines cubiques prend la forme R(, τ) = a i + b i (τ i ) + c i (τ i ) 2 + d i (τ i ) 3, i τ i+1. Pour que l inerpolaion soi cohérene, nous devons insaurer quelques conraines. La foncion doi renconrer ous les poins connus, i.e. a i = R(, i ) pour ou i < n 1 e a n 1 +b n 1 ( i+1 i )+c n 1 ( i+1 i ) 2 +d n 1 ( i+1 i ) 4 = R(, n ) = a n, égalemen, la foncion doi êre coninue e différeniable en ou poin. Après quelques calculs, il es possible de rouver une forme explicie pour les paramères (a i, b i, c i, d i ). Malheureusemen, bien que les méhodes par splines soien supposées moins sujees au sur-apprenissage e aux fores oscillaions enre deux poins, les condiions que nous devons imposer en 1 e n peuven compromere la qualié du résula. Il es égalemen possible de calibrer les paramères (a i, b i, c i, d i ) par moindres carrés pénalisés pour s assurer d une bonne sabilié du résula. Pour plus de déails sur ces méhodes, nous renvoyons à [HaWe8] Boosraping Le principe du boosrap pour reconsruire la courbe des aux consise à parir des aux à peies mauriés, obenir les aux de mauriés supérieures. L idée Alexis Fauh 66

67 repose simplemen qu une obligaion versan différens coupons fixes es donnée par n B n (, T n ) = B(, T i )c i + B(, T n ) Ainsi, = i=1 n i=1 c i e (T i )R(,T i ) + e (Tn )R(,Tn), T 1. R(, T n ) = 1 T n log B n(, T n ) n 1 i=1 c i e (T i )R(,T i ). 1 + c n Pour les aux cours, sur le marché européen, nous prenons en général les aux Euribor (1w à 3m) e l Eonia (Euro OverNigh Index Average) pour le aux au jour le jour. Pour les aux moyens nous pouvons prendre indifféremmen des fuures ou forward. Il semble que les fuures éan plus liquides e coées sur le marché e non de gré à gré, ils conviennen mieux car plus proches des valeurs efficienes. Néanmoins, déduire les aux forward en foncion des aux fuures n es pas facilemen réalisable car il a ce que l on appelle un biais de convexié enre ces deux insrumens, les forwards on une convexié supérieure. Pour des raisons de liquidié, nous uilisons les aux swap pour des mauriés supérieures à 2 ans, bien que les mauriés à 6 e 9 ans son généralemen peu liquides e peuven considérablemen diminuer la qualié du résula Familles de polynôme exponeniel La marice de variance covariance Σ a pour enrées x(1),, x(n), les incrémens de la courbe forward. En diagonalisan la marice Σ (non singulière), nous rerouvons les valeurs propres e les veceurs propres. On consae généralemen que les rois premières valeurs propres expliquen à elles seules plus de 95% de la variaion oale. Empiriquemen, nous pouvons inerpréer ces rois faceurs comme sui : Le premier faceur a une forme relaivemen plae, il donne le niveau moyen de la courbe. Le second donne les inversions de la courbe auour d un poin, il s agi d un faceur de pene. Le roisième faceur es un faceur de courbure. Cela nous perme d avoir une idée pour proposer une forme paramérique de la courbe des aux. Alexis Fauh 67

68 Les polynômes exponeniels son des foncions du ype p 1 (x)e α 1x + + p n (x)e α 1x, où les p i, i = 1,, n son des polynômes de degré n i. L un des premiers modèles es celui de Neslon-Siegel [NeSi87], la courbe des aux forward es f(, + m) = β + β 1 exp ( m ) m + β 2 exp ( m ) τ1 τ 1 τ1 Les paramères β e τ 1 son supposés posiifs. Le aux forward a donc rois composans. Le premier correspond au niveau moyen, le second es un erme exponeniel décroissan si β 1 < (croissan si β 1 > ) jusque zéro comme une foncion du emps de livraison. Le roisième erme nous donne la courbure, voûée dans le cas où β 2 >, en U si négaif. Svensson [Sv94], propose de rajouer un 4ème erme pour laisser plus de flexibilié lors de la calibraion f(, T ) = β + β 1 exp ( T ) τ1 + β 2 T τ 1 exp ( T τ1 ) T + β 3 exp ( T ) τ 2 τ2 Le modèle comprend donc non plus 4 paramères à esimer mais 6 e la courbure m es donnée par β 2 τ 1 exp ( ) m τ 1 + m β3 τ 2 exp ( ) m τ 2. La courbe des aux es alors 1 e T τ 1 R(, T ) = β + β 1 T + β 2 1 T e τ 1 T τ 1 τ 1 e T τ 1 + β 3 1 T e τ 2 T τ 2 e T τ 2. La différence à reenir enre les deux modèles es donc que le premier, celui de Neslon-Neigel a une courbure (one-hump) andis que celui de Sevensson a deux courbures (wo-hump). Nous présenons sur la figure (3) l influence du premier e second/roisième erme, i.e. respecivemen β 1 exp ( ) T τ 1 e T β2 τ 1 exp ( ) T τ 1. Sur la figure (4), nous présenons la calibraion des deux modèles sur les données réelles des aux gouvernemenaux américains le 9/3/13. En fai, cee famille n es pas simplemen présene dans la héorie des modèles de aux pour reconsruire la courbe de aux, elle es beaucoup plus large que cela. Les modèles que nous avons vus précédemmen, nous avons supposé que la soluion du zéro-coupon éai du ype B(, T ) = A(T )e C(T )r, Alexis Fauh 68

69 1er erme alpha=1 alpha= nd erme.2..2 alpha=1 alpha= Figure 3 A gauche, influence du paramère τ 1 sur le premier erme, à droie, influence de τ 1 sur le second erme de l équaion de Svensson. cela ne sor pas d un chapeau. Il es possible de monrer que le ype de diffusion que nous avons éudié (pour les modèles à un faceur) on oues une soluion de cee forme. Cee forme e donc, cee classe de modèle, es dîes de srucure par erme affine. En effe, le YTM es alors du ype R(, T ) = 1 T (ln(a(t )) C(T )r ), soi, une foncion affine. La famille de modèle polynôme exponeniel propose donc des modèles à srucure par erme polynomiale exponeniel. Cela éan relaivemen long à expliquer correcemen, mais néanmoins rès inéressan, nous renvoyons au leceur à [Fi] où [Pr12]. Cee héorie es égalemen relaivemen récene, comme nous l avons noifiée ou au long de ce cours, il es loin d exiser un consensus sur quel modèle uiliser, à la différence des produis sur equiy avec les modèles de Black & Scholes e Heson qui se aillen une bonne par du lion pour les modèles de pricing à emps coninu, ou GARCH pour les modèles discres Méhodes uilisées par pays Toues les banques cenrales n esimen pas leur courbe de aux ni par la même méhode, ni avec le même specre, c es-à-dire l évenail de mauriés prisen en Alexis Fauh 69

70 y x Figure 4 En bleue, équaion de Svensson, en rouge celle de Neslon-Siegel, les poins noirs corresponden aux aux gouvernemenaux américains de enor 1m, 3m, 6m, 1Y, 2Y, 3Y, 5Y, 7Y, 1Y, 2Y, 3Y en dae du 9/3/13. compe. Nous présenons les différens modèles uilisés selon les pays sur le ableau (2). Cela a au moins le mérie de nous monrer qu il n exise pas encore de consensus sur ce ype de problème (e sur les modèles de aux ou cour d ailleurs). Même si cerains choix son discuables, il n y a pas vériablemen un pays qui a plus raison qu un aure. 3 Valorisaion sur acion Commençons par un rapide rappel sur le modèle de Black and Scholes (B&S). 3.1 Modèle à volailié consane Modèle de Black and Scholes Noons r le aux sans risque consan sur le marché, µ la endance de l acif S e σ sa volailié, P la probabilié hisorique e Q la probabilié risque-neure. La Alexis Fauh 7

71 Banque Cenrale Méhode Maurié min Maurié max Belgique Svensson ou quelques jours 16 ans Nelson-Siegel Canada Merrill Lynch 1 mois 3 ans Exponenial Spline Finlande Nelson-Siegel 1 jour 12 ans France Svensson ou 1 mois 1 ans Nelson-Siegel Allemagne Svensson 3 mois 1 ans Ialie Nelson-Siegel 1 mois 3 ans Japon Splines 1 jour 1 ans Norvège Svensson 1 mois 1 ans Espagne Svensson 1 jour 1 ans Suède Spline ou 1 jour 1 ans Svensson Suisse Svensson 1 jour 3 ans Royaume-Uni VRP 1 semaine 3 ans Eas-Unis Spline muliples 1 ans 1 ans Table 2 Méhodologie uilisée par pays. Source : BIS, 25. * Variable Roughness penaly (VRP), il s agi d une méhode de splines proposée par Waggoner [Wa97]. diffusion de B&S es ds = µs d + σs dw où W es un P - mouvemen brownien sandard. Pour passer en univers risque neure, nous inroduisons la quanié λ el que W = W λ soi un Q - mouvemen brownien sandard (Formule Cameron-Marin 6.1). Ainsi ds = (µ λσ)s d + σs d W. Comme nous sommes en univers risque-neure, les rendemens doiven avoir une espérance égale au aux sans risque, la prime de risque λ es donc choisie comme λ = µ r σ, soi, le raio de Sharpe. Après avoir appliqué le lemme d Iô à la foncion ln(s ) nous rouvons la soluion de la diffusion ( S T = S e r σ2 2 ) (T )+σ W T. Alexis Fauh 71

72 Le prix d un call de maurié T e de srike K sur S es donné par C(, S ) = E Q [e r(t ) (S T K) + F ] = E Q [e r(t ) S T 1 ST >K F ] Ke r(t ) E Q [1 ST >K F ] = S E Q [e σ W T σ2 2 (T ) 1 ST >K] Ke r(t ) E Q [1 ST >K] Pour calculer le premier erme, nous inroduisons la densié L = e σd W s 1 T σ 2 2 ds Alors si Q es la probabilié de densié L par rappor à Q, W mouvemen brownien sous Q. Ainsi, = W σ es On obien donc C(, S ) =S E Q [L1 ST >K] Ke r(t ) Q(S T > K) ( ) ) =S Q (S r+ e σ2 (T )+σ W 2 T > K Ke r(t ) Q ( S e ( r σ2 2 )(T )+σ W T > K ) C(, S ) = S N(d + ) Ke r(t ) N(d ) (3.1) avec N la foncion de répariion de la loi normale cenrée réduie e d ± = log ( ) ( ) S K + r ± σ 2 2 (T ) σ. T En plus de la formule fermée du prix d un call obenue par maringale, nous avons égalemen la possibilié de valoriser ce produi avec l EDP de B&S. Noons V un porefeuille consiué d un call de maurié T, de srike K sur S e une quanié de l acif S qui servira à couvrir (hedger) le porefeuille. En appliquan le lemme d Iô a ce porefeuille V = C(, S ) S dv = C C d + S ds = C d + rs C S 2 C S d S, S ds d + σ C S dw σ2 S 2 2 C S d ds. (3.2) Alexis Fauh 72

73 Le problème ici es que nous avons un erme d aléa dw, pour pouvoir le supprimer nous choisissons = C (on es alors dela-hedgé). Le porefeuille devien S dv = C d σ2 S 2 2 C d. (3.3) S Comme nous sommes en univers risque-neure, le porefeuille ne devrai pas pouvoir faire plus qu un invesissemen dans le aux sans risque, c es-à-dire le porefeuille dv = rv d. (3.4) En égalisan (3.3) e (3.4), nous obenons l EDP de Black and Scholes C C + rs S σ2 S 2 2 C = rc. (3.5) S Grecques e hedging Comme nous l avons vu sur les équaions (3.2) e (3.3), la sraégie de base consise à ce dela-hedger. Il es possible d aller plus loin. Noons ou de même que héoriquemen nous devrions nous dela-hedger de manière consane. Rebalancer le porefeuille consammen es impossible, ne serai-ce que les coûs de ransacions nous absorberaien ou profi évenuel e engendreraien des peres colossal rès rapidemen. Il exise des ravaux sur ce poin, on parle de rebalancemen opimal voir e.g. [MaPa99], [Fu11] e [GoLa14] pour le leceur inéressé. Nous commençons par présener les grecques (pour le cas d un call oujours), c es à dire différenes sensibiliés du call par rappor aux variaions de ses paramères. Pour pouvoir calculer ces quaniés nous uilisons la formule de B&S (3.1), supposons pour simplifier les calculs que = e remarquons que où n = N. n(d ) = SerT K n(d +), d + = d σ T Le dela es la sensibilié du call par rappor à une peie variaion du sous- Alexis Fauh 73

74 jacen : = C S = N(d + ) + S N(d + ) d + d + = N(d + ) + S N(d + ) d + = N(d + ) + S N(d + ) d + = N(d + ). S + Ke r(t ) N(d ) d ( d+ S d ) S ( ) ( σ T ) Sur la figure (5) nous présenons la forme du dela en foncion de T es de log(s/k) pour r =.2 e σ =.3. S d S log(s/k) au.8 1. Figure 5 Graphe du dela d un call européen en foncion de T e log(s/k) Nous déduisons direcemen que la valeur du gamma (figure (6)), c es-à-dire Alexis Fauh 74

75 log(s/k) au Figure 6 Graphe du gamma d un call européen en foncion de T e log(s/k) la dérivée de l opion par rappor à son sous-jacen es Γ = 2 C S 2 = n(d +) Sσ T. Nous pouvons inerpréer la valeur du gamma comme sui. Si sa valeur es faible, cela implique que le dela varie peu e donc que nous n avons pas besoin de rebalancer nore porefeuille pour êre dela-neure. En revanche, s il es élevé, le dela es rès sensible aux variaions du sous-jacen, il conviendra de réajuser sa posiion régulièremen. Pour faire le lien avec la physique, la dérivée seconde correspond à l accéléraion. Pour pouvoir uiliser le gamma dans nore porefeuille, nous pouvons consaer qu en effecuan un développemen de Taylor sur nore porefeuille, en supposan qu il n es assujei qu aux variaions en emps e en sous-jacen dv = V V S + S V 2 S 2 S V V S. (3.6) S Alexis Fauh 75

76 Si nous négligeons les ermes ( ) x pour x > 1. Si le porefeuille es gamma neure, nous avons alors dv = Θ Γ S2. (3.7) où Θ = V es le hea de l opion, la variaion par rappor au emps, figure (7) log(s/k) au Figure 7 Graphe du hea d un call européen en foncion de T e log(s/k) Par les mêmes asuces que précédemmen nous avons Θ = C T = Sσn(d +) 2 + rke rt N(d ). T Pour avoir une posiion gamma neure, il fau avoir en porefeuille une quanié d opions π annulan le gamma du porefeuille. Si le porefeuille iniial a un gamma de Γ V e l opion Γ, le gamma oal du porefeuille sera de πγ + Γ V. Pour êre gamma neure il faudra alors avoir une quanié π = Γ V /Γ d opion en porefeuille. Bien sûr, cela va modifier la quanié de sous-jacen sous gesion pour Alexis Fauh 76

77 reser dela-neure car l ajou d une aure quanié va modifier le dela. D après l équaion (3.7) nous pouvons égalemen remarquer que le hea peu se subsiuer au gamma dans la gesion du porefeuille. Si nous supposons mainenan que la volailié es non consane, nous pouvons inroduire la sensibilié de l opion par rappor à la volailié, le vega, figure (8) log(s/k) au Figure 8 Graphe du vega d un call européen en foncion de T e log(s/k) V = C σ = Sn(d +) T. (3.8) Bien enendu, plus le niveau de la volailié es imporan, plus la variaion de l opion e donc du porefeuille sera imporane. Nous devons donc nous couvrir égalemen conre ce risque. Cela peu ce faire de la même manière que pour le gamma, π = V V /V. Néanmoins, il es rès compliqué du fai de la liquidié e des fonds nécessaires de mainenir une posiion à la fois dela, vega e gamma hedgé. Il fau avoir plusieurs ypes d opions en porefeuille pour avoir ce résula. Alexis Fauh 77

78 Noons que si nous négligeons oujours les ermes x pour x > 1, l équaion (3.6) devien dv V V V S + + S σ σ V 2 S 2 S V 2 σ 2 σ2. La dernière sensibilié courane es le ρ, la sensibilié de l opion par rappor au aux d inérê. ρ = C r = T Ke rt N(d + ). Dans un monde pas rop chaoique, les aux d inérês varien peu, la priorié n es donc pas sur cee couverure. Nous allons mainenan présener ce que l on appelle la robusesse de Black & Scholes [KaJeSh98]. La vraie diffusion du sous-jacen sous Q es ds S = rd + σ dw où σ peu êre sochasique. En supposan que l invesisseur uilise la formule de Black & Scholes pour valoriser un call, nous avons en appliquan la formule d Iô dc BS (, S ) = ( CBS + rs C BS S + σ S C BS S dw σ2 S 2 2 ) C BS d S 2 D un aure coé rappelons que l EDP de Black & Scholes (3.5), es C BS + rs C BS S En combinan les deux équaions nous avons σ2 BSS 2 2 C BS S 2 = rc BS. C BS dc CB (, S ) = rc BS d + σ S S + 1 ( σ 2 2 BS σ ) 2 2 C BS S 2 = rc BS d + σ S + 1 ( ) σ 2 2 BS σ 2 S 2 Γ. La dynamique du porefeuille V de couverure de l agen es dv = rv + (ds rs d), V = C BS (, S ). Alexis Fauh 78

79 L erreur de couverure de l agen es donc ε T = V T C BS (T, S T ) = 1 2 e r(t ) ( σ 2 BS σ 2 ) S 2 Γd. Le gamma de l opion mesure donc l exposiion de l agen à une mauvaise esimaion de la volailié. Si la volailié choisie es supérieure à la vraie, σ BS σ alors le porefeuille de couverure Black & Scholes domine le vrai prix. Inversemen si σ BS σ. Le modèle de Black & Scholes perme donc d obenir des bornes du vrai prix de l opion. 3.2 Surface de volailié Définiion e problème de calibraion Dans le modèle de B&S, la volailié σ es supposée consane or, si nous cherchons la valeur de σ elle que le prix de B&S soi le même que le prix du marché pour différenes mauriés e différens srike, nous consaons que la valeur reournée n es pas consane. Noons C Mk (, S, T, K) le prix du call observé sur le marché, alors la volailié implicie, I(, S, T, K) es donnée par : C BS (, S, T, K, I(, S, T, K)) = C Mk (, S, T, K). De plus, elle es unique. Elle es donc obenue en inversan la valeur du call. Il n es pas possible d obenir une formule explicie pour la déerminer, on va donc uiliser un algorihme d opimisaion. Posons par exemple le problème comme un problème de recherche de zéro d une foncion : f(i) = C BS C Mk =. L un des algorihmes de recherche le plus simple es la méhode de Newon, l idée es de faire le développemen limie d une foncion g de x en x k : en égalisan en zéro, on rouve alors g(x) = g(x k ) + (x x k )g (x k ) x = x k+1 = x k g(x k) g (x k ). Alexis Fauh 79

80 Pour nore problème : Le dénominaeur es le vega de l opion (3.8). I k+1 = I k CMk C BS (I k ) C BS (I k ). (3.9) I k Il es imporan de noifier quelques poins sur la volailié implicie. Noons déjà qu elle es oujours supérieure à la volailié du sous-jacen e qu elle diffère selon les mauriés e srikes sur un même sous-jacen. Les mos clés à savoir lorsque l on parle de volailié implicie son le skew e le smile. Le phénomène de skew correspond à la décroissance de la volailié implicie par rappor au srike. Le phénomène de smile correspond quan à lui à la remonée de la volailié implicie pour des srikes rès loinains. Pourquoi la volailié hisorique, définie comme les accroissemens au carrée du sous-jacen, es-elle différene de la volailié implicie? Sur le marché, la couverure d une opion es plus chère que dans le modèle de Black & Scholes, frais de ransacion, bid-ask spread, marke impac e, bien sûr la volailié supposée consane ainsi qu une loi gaussienne sous-jacene donc, peu de gros mouvemens. Le phénomène de skew, i.e. la première parie de la volailié par rappor au srike, s explique par le fai que les agens suresimen le prix par rappor au modèle de Black & Scholes pour se prémunir d un mouvemen conraire lorsque l on es dans la monnaie (ITM). Le smile s explique quan à lui pour compenser la faible liquidié des opions loin de la monnaie à srike rès loinain (OTM). Nous présenons sur la figure (9) la volailié implicie du call sur l indice SPY le 9 sepembre Volailié implicie forward Nous avons vu commen à parir des prix des call e pu européens nous déduisions la volailié implicie, mais cela ne nous indiquen pas commen es-ce qu elle évolue. La valorisaion d opion européenne ne requier pas de connaîre la volailié implicie fuure, en revanche, pour des opions pah-dependan, i.e. que le payoff dépend de oue la rajecoire du sous-jacen e non uniquemen de sa valeur erminale, comme les opions barrière ou forward-sar. On cherche donc à savoir à quoi correspondra la volailié implicie en foncion du niveau du prix Alexis Fauh 8

81 .6 Volailié Implicie T K Figure 9 Surface de volailié du SPY, le 9 sepembre 213, 166$, inerpolaion par spline. fuur. Tous les paramères du modèle n influen pas le niveau de la volailié à cour-erme, cela pourrai êre plus simple de considérer ce problème comme un problème invarian. En finance on parle pluô de problème sicky (épineux) e comme di précédemmen, ils poren sur le modèle e non sur le sous-jacen lui même. Les deux sicky rules les plus connues son : Sicky srike rule. Pour un cerain niveau de skew sur la volailié implicie, il es possible que même si le sous-jacen bouge, les opions coés sur celui ci avec des niveaux de srike inchangés garden leur volailié iniiale. C es ce que l on appelle la règle sicky srike. Bien enendu, en cas de grosse variaion de S, par exemple duran des périodes de crise, la volailié implicie sera modifiée. On a I( + δ, K) = I(, K) Alexis Fauh 81

82 Sicky dela/moneyness rule. La règle de moneyness correspond à la dépendance enre la volailié e la moneyness de l opion m = K/S, I( + δ, m) = I(, m) Pour pouvoir déerminer concrèemen la volailié implicie fuure, nous avons besoin de ravailler sur des opions à paiemen différé, l exemple le plus couran es celui d une opion forward-sar. Un opion forward-sar es une opion conracée à l insan, recevan une proporion du sous-jacen à l insan T 1 à la maurié T 2 > T 1. Le payoff d une elle opion es Le pricing es donc φ(s T2 ) = (S T2 KS T1 ) +. C(, T 2 ) = e r(t 1 ) E[(S T2 KS T1 ) F ]. Supposons que le sous-jacen soi diffusé par un mouvemen brownien géomérique de volailié consane sous la probabilié risque-neure, alors avec C(, T 2 ) = e r(t 1 ) E[E[(S T2 KS T1 ) F T1 ] F ] = e r(t 1 ) E[S T1 N(d + ) Ke r(t 2 T 1 ) N(d ) F ] = e r(t 1 ) N(d + ) Ke r(t 2 ) N(d ), d ± = ln(ke r(t 2 T 1 ) ) σ BS T2 T 1 ± σ BS T2 T 1, 2 où nous avons uilisé le fai que E[E[X F G] = E[X G] pour oue v.a.r. X e les filraions elles que G F e que le résula de Black & Scholes es déerminise. La dynamique de la volailié implicie es déduie de el produi. En fai, on va pluô uiliser les opions cliques. Il s agi d une somme d opion forward-sar, le payoff es alors simplemen n φ(s n ) = (S Ti+1 KS Ti ) + i=1 où le enor T 1,, T n es fixé à l avance. La valorisaion se dédui de la formule donnée pour les opions forward-sar. Alexis Fauh 82

83 3.3 Modèle à volailié locale Pour l aspec hisorique, nous pouvons cier Breeden and Lizenberger, [BrLi78], faisan apparaîre la relaion enre la densié du sock e le prix des opions. Ensuie, Dupire [Du94] e Derman e Kani [DeKa94] on monré que sous la probabilié risque neure, il exise une unique diffusion consisane avec cee disribuion. Dans [DeKa94], la volailié locale es consruie de manière discrèe avec des méhodes d arbres. Ici, nous nous inéresserons seulemen au emps coninu avec la formule de Dupire. Avan de donner la formulaion pour les caples, nous donnons les équaions pour le prix de call sur sock. L unique coefficien correspondan σ(t, K) consisan avec le prix des opions européennes es la foncion de volailié implicie. Les modèles à volailié locale proposen une méhodologie simplifiée pour valoriser des produis exoiques à parir de produis vanilles Diffusion de Dupire La diffusion de drifless du sock S es donnée pour ou par ds = σ(, S )S dw, avec σ une foncion déerminise posiive. Le prix d un call de maurié T e de srike K en = es C(T, K) = K (s K)ϕ T (s)ds (3.1) avec ϕ T la densié risque neure de l acif. Avan de coninuer, rappelons l équaion de Fokker Planck (ou Kolmogorov forward). Proposiion 3.1. (Equaion de Fokker Planck) Soi (X ) R+ de diffusion dx = µ(, X )d + σ(, X )dw avec (W ) R+ un mouvemen Brownien sandard. Alors un processus d g(, x) = d x (µ(, x)g(, x)) x 2 (σ2 (, x)g(, x)) où g es la densié de probabilié de X, g(, x) = P(X dx) e pour condiion au bord, g(, x)dx = = δ(x X ). Alexis Fauh 83

84 La densié ϕ de (3.1) doi vérifier cee équaion, ainsi 1 2 (σ 2 s 2 ϕ T ) 2 s 2 = ϕ T. (3.11) En dérivan deux fois l équaion (3.1) par rappor au srike K nous obenons En injecan cela dans l équaion (3.11), ϕ T (K) = 2 C(T, K) K (σ 2 K 2 ϕ T ) 2 K 2 En inégran deux fois par rappor à K = T 1 2 σ2 K 2 ϕ T = C T. ( 2 ) C. K 2 En remplaçan à nouveau ϕ T par la dérivée seconde du call par rappor à K 1 2 σ2 K 2 2 C K = C 2 T. Nous obenons la volailié locale définie par σ(t, K) = 2 C T K 2 2 C K 2. (3.12) Quel es l inérê de l EDP de Dupire par rappor à celle de Black & Scholes? Rappelons que cee dernière es donnée pour un call C sur S de même diffusion que précédemmen, de srike K e de maurié T par C + rs C S σ(, S)2 S 2 2 C S 2 = rc. La volailié de Black & Scholes es donc rc σ(, S) = 2 C S 2 2 C S 2 rs C S. (3.13) Alexis Fauh 84

85 Les dérivées son par rappor à e S, or, ces deux quaniés son fixées, nous ne pouvons pas calculer ou approximer ces dérivées. L EDP de Dupire 3.12 ien seulemen compe des dérivées par rappor à la maurié e au srike. Sur le marché, chaque call/pu suffisammen liquide es vendu à des srikes e mauriés différenes, il es donc possible en collecan ces données de calculer les dérivées e donc, d obenir la volailié implicie. Nous allons mainenan regarder le lien enre volailié locale e volailié insananée Volailié implicie dans le modèle de Dupire Le prix d un call (non acualisé) es donnée par C = E[(S T K) + ], en dérivan par rappor au srike K nous obenons C K = E[1 S T >K]. En dérivan une nouvelle fois par rappor à K avec δ la foncion de Dirac. 2 C K 2 = E[δ(S T K)]. (3.14) Appliquons mainenan le lemme d Iô à la foncion (S T K) + avec ds = v S dw d(s T K) + = 1 ST >KdS T v T S 2 T δ(s T K)dT. En passan l opéraeur espérance, nous avons avec en uilisan (3.14) de[(s T K) + ] = de[ 1 2 v T S 2 T δ(s T K)]dT E[ 1 2 v T S 2 T δ(s T K)] = E[v S T = K] 1 2 K2 E[δ(S T K)] = E[v S T = K] 1 2 K2 2 C K 2. (3.15) Alexis Fauh 85

86 En mixan la formulaion de la volailié locale (3.13) avec le résula précéden (3.15) nous obenons la représenaion suivane : σ 2 (T, K) = E[v S T = K]. (3.16) Dans ce cas, la volailié locale es donc l espérance de la volailié insananée condiionnellemen au fai que le prix final es égal au srike. Considérons mainenan le cas où la diffusion de l acif S dans l univers risque neure es S S = rd + σ(, S )dw, où r es le aux sans risque. En appliquan à nouveau l équaion de Fokker-Planck pour cee diffusion nous avons ϕ T T = rsϕ S + 2 σ 2 S 2 ϕ T S 2. Avec le même raisonnemen que précédemmen (3.11), nous obenons en évaluan en S T = K C C σ 2 + rk T K (T, K) = 2. K 2 2 C K 2 Il es possible de lier le volailié locale avec la volailié implicie. Les prix C son les vrais prix du marché de volailié locale σ, ils doiven donc correspondre au prix des calls marché calculés avec la volailié implicie, soi : C(T, K) = C BS (T, K, I(T, K)) où I es la volailié implicie. En appliquan la formule de dérivaion en chaîne, nous obenons σ 2 (T, K) = 2 K 2 C BS T 2 C BS K 2 + CBS σ C BS K σ ( I C BS T + rk K I K + 2 C BS σ 2 ) I σ K ) 2. + CBS 2 I σ K 2 + CBS ( I K (3.17) Il es possible d aller un peu plus loin en supposan que la valeur du srike K n influe pas la volailié implicie, en d aure erme nous supposons que I K =. Alexis Fauh 86

87 En injecan les dérivées du call de Black and Scholes calculées dans la secion précédene avec en plus C K = e rt N(d ), l expression de la volailié locale précédene se rédui alors à σ 2 (T ) = 2 SIn(d + ) 2 T = I(I) 2 + 2T I(T ) I T. 2 C K 2 = e rt n(d ) Kσ T, (3.18) + rke rt N(d ) + Sn(d + ) T I T + rke rt N(d ) K 2 e rt n(d ) KI T (3.19) La volailié implicie dans le cas où elle n es pas influencée par le srike es alors égale à la moyenne quadraique de la volailié locale sur oue la vie de l opion I 2 (T ) = 1 T σ 2 (s)ds. (3.2) Nous avons mainenan quelques formules, mais ou cela rese assez héorique e pas forcémen rivial de les mere en oeuvre. En ce qui concerne le calcul de la volailié implicie, nous pouvons appliquer la formule (3.9), ce n es pas forcémen opimal, mais c es un bon débu. Pour pouvoir esimer la volailié locale, c es une aure hisoire Problème de calibraion N ayan qu un ensemble fini d observaions (T i, K j ) i<n, j<m il es éviden que même si une soluion au problème exise, elle ne sera pas unique puisqu un ensemble de courbes von pouvoir passer par les prix du marché. De plus, empiriquemen, la moindre peie variaion des prix va complèemen modifier la volailié implicie rouvée, la soluion n es absolumen pas sable. Nous avons deux approches pour pouvoir esimer nore volailié locale, soi par régularisaion, soi en supposan une forme paramérique de la volailié implicie. Nous commençons par la première. On parle de calibraion lorsque l on cherche numériquemen les valeurs des paramères d un modèle en foncion des prix acuels e non passés. Le erme d esimaion es réservé à la recherche des paramères en foncion de l hisorique des Alexis Fauh 87

88 données, par exemple par maximum de vraisemblance. On parlera donc de processus forward-looking pour la calibraion e de processus backward-looking pour l esimaion. Le problème de calibraion es donc un problème inverse. En effe, dans le cadre le plus simple du modèle de Black & Scholes nous uilisons la formule de pricing pour déerminer le paramère de volailié en foncion des prix observés pluô que de déerminer le prix des opions en foncion de la volailié. Dans l univers risque neure, le drif disparaî au profi du aux sans risque, disponible sur le marché, le seul paramère resan à rouver es bien la volailié. Néanmoins, pour un modèle plus sophisiqué comme pour nore volailié locale au sens de Dupire, cela es bien plus compliqué. Les problèmes inverses son souven plus difficiles à résoudre car ils son bien souven mal posés (ill-posed). Rappelons qu au sens de Hadamard, un problème es bien posé (well-posed) si ces condiions son remplies : Le problème adme une soluion Le problème adme une soluion e, elle es unique La soluion dépend coninûmen des données. Pour obenir un problème bien posé, nous avons besoin de le régulariser. L une des méhodes les plus connues es la régularisaion de Tikhonov. Noons C Mk (K, T ) les prix des opions observés sur le marché, C(θ, T, K) les prix du modèle à volailié locale e θ Θ H le veceur de paramères à esimer dans le sous-espace convexe Θ, H éan un espace de Hilber. Le problème de calibraion s écri comme un problème de moindre carré non-linéaire θ = arg min θ Θ C Mk (K, T ) C(θ, T, K) 2, cela nous perme de s assurer de l exisence d une soluion, éan une norme sur H. Supposons mainenan que nous ayons un à priori sur θ disons θ, nous inroduisons une pénalisaion (de Tikhonov) sur la foncionnelle pour régulariser le problème J α (θ) = C Mk (K, T ) C(θ, T, K) 2 + α σ 2 H1, (3.21) α > va influencer le niveau de régularié pour assurer la sabilié. Il s agi donc de faire un compromis enre précision e sabilié. Plus α sera choisi grand, plus la soluion sera sable mais loin de la réalié. A l inverse, plus nous choisirons un Alexis Fauh 88

89 α proche de zéro, plus les paramères rouvés (don la volailié locale) reproduiron rigoureusemen le marché mais ils seron rès insables rendan le modèle inuilisable. Pour le erme de pénalisaion, on peu monrer que σ 2 H 1 = (σ 2 (, S) + ( ) 2 ( ) 2 σ σ (, S) + (, S) )dds. S Le problème (3.21) peu êre résolu numériquemen par un algorihme de descene (voir appendix). Remarquons un poin faible de cee procédure, la régularisaion, α σ 2 H, es la même quelque soi la région dans laquelle on se rouve, que la volailié influe sur les prix ou non. Il es préférable de ne pas chercher à minimiser l erreur quadraique mais pluô l erreur quadraique pondérée par l inverse du bid-ask spread. Cee pondéraion s inerprèe comme un conrôle du résula pour des produis peu liquides avec un spread élevé. Pour plus de déails sur ces problèmes de calibraions nous renvoyons à [Cr3] e [LaOs97]. L aure approche que nous présenons consise à calculer la volailié locale à parir de la volailié implicie avec l équaion relian ces deux quaniés (3.17). Pluô que de prendre la vraie volailié implicie, J. Gaheral [Ga4] propose une forme paramérique de la volailié implicie, comme cela nous n avons pas de problème de grille de discréisaion e de brui. Il s agi du modèle SVI (Sochasic Volailiy Inspired). Inspiré des modèles à volailié sochasique car il vérifie ceraines des propriéés de volailié implicie asympoique vérifiées par les modèles à volailié sochasiques comme celui de Heson [Lee4]. La forme paramérique de la volailié implicie es I 2 (T, k) = 1 T ( ( )) a + b ρ(k m) + (k m) 2 + σ 2 (3.22) avec k le log-srike, k = log K rt, a, b, σ, ρ [ 1, 1] e m R. Les S différens paramères on les influences suivanes : a déermine le niveau de la volailié implicie b déermine les penes à droie e gauche de la volailié implicie ρ déermine l asymérie de la volailié implicie Alexis Fauh 89

90 m déermine le momen auquel on observe la volailié implicie remone (smile après skew) σ déermine la convexié à la monnaie. Après avoir esimé les paramères par rappor aux prix marchés C Mk (T i, K j ) i,j nous obenons une surface de volailié implicie lisse, non bruiée. C es celle ci que nous allons injecer dans l équaion de la volailié locale (3.17) qui d ailleurs devien plus précisémen que (3.19), après quelques calculs fasidieux, dans le cas où la volailié implicie es influencée par le srike σ 2 (T, K) = ( Kp2 I + 2 I T T 1 K 2 IT + 2 d + KI T + 2rK I K I + d +d K I ( I K ) I K 2 ). Connaissan une version plus propre de la volailié implicie avec le modèle SVI (3.22), à ous les poins (T j, K j ) avec j nore indice de grille de discréisaion, nous pouvons alors esimer la valeur de la volailié locale. Pour plus de déails sur la calibraion nous renvoyons par exemple à [Ga4] e [GaJa12] pour un modèle plus élaboré. Des méhodes pour esimer la volailié locale par splines on égalemen éé proposées. Nous ne renrerons pas dans ces déails pour ce cours e nous renvoyons e.g. à [JaSuHo99] pour le leceur inéressé Modèle shifed-lognormal Un exemple de modèle que nous allons éudier es le modèle shifed-lognormal. La diffusion du aux forward F j associée à la mesure T j -forward es df j = β()(f j α)dw, < T j, où α es une consane réelle, (β()) R+ une foncion déerminise par rappor au emps e (W ) R+ un mouvemen Brownien sandard. Pour ou < T T j nous avons F j T = α + (F j α)e 1 T β 2 2 T (u)du+ β(u)dw u. Alexis Fauh 9

91 Condiionnellemen à F j, la densié de F j T es pour ou < T T j f F j T F j (x) = pour x > α e 1 (x α)u(, T ) 2π exp 1 2 ln x α U(, T ) = β 2 (u)du. Remarquons que nous pouvons réécrire le modèle e donc F j = X j + α dx j = β()x j dw, F j α U 2 (, T ) U(, T ) B(, T j )E j ((F j T j 1 κ) + F ) = B(, T j )E j ((X j T j 1 + α κ) + F ) 2, = B(, T j )E j ((X j T j 1 (κ α)) + F ). X éan un mouvemen Brownien géomérique, nous avons simplemen pour la valeur d un caple Cpl(, T j 1, T j, δ, κ) = δ j B(, T j )Bl(κ α, F j α, U(, T j 1 )). La volailié implicie, ˆσ(K, α), es alors obenue en résolvan numériquemen δ j B(, T j )Bl(κ, F j, ˆσ(K, α) T j 1 ) = δ j B(, T j )Bl(κ α, F j α, U(, T j 1 )) Modèle CEV Le modèle CEV pour Consan Elasiciy of Variance a éé inrodui par [Co75] e appliqué au marché des aux d inérês par [AnAn]. La dynamique du aux forward es sous la mesure T j -forward df j = σ j ()(F j ) γ dw, < γ 1. (3.23) Le cas γ = 1 correspond bien enendu au modèle de Black & Scholes, i.e. lognormal, e α au cas gaussien (Bachelier). es la barrière absorbane, si F = alors F s = pour ou s. Il es possible de monrer que pour ou < γ 1 le Alexis Fauh 91

92 processus es une vraie maringale (locale si >1). La valorisaion d un caple de maurié T j à l insan de srike κ es ( )] Cpl(, T j, δ) = δb(, T j ) F j [1 χ 2 2κ 1 γ 1 ; + 2; 2u 1 γ ) κχ (2u; γ ; 2kκ1 γ, où χ 2 (, r, ρ) es la foncion de répariion d un chi-deux décenré de r degrés de liberé e de paramère de décenrage ρ e k = 1 2v(, T )(1 γ) 2, u = k(f j ) 2(1 γ). Preuve 3.1. On peu monrer qu il s agi d un processus de Bessel, voir [AnAn]. Les aueurs de ([HaWe8]) on monré par perurbaion singulière que la volailié implicie d un caple de maurié T j es donnée par avec ˆσ(K, α) σ { j ( ) u 1 γ 24 (1 γ)(2 γ) F κ } u 24 (1 σ2 γ)2 j T j, u 2 2γ u = 1 2 (F + κ). Nous présenons sur la figure (1) un exemple de surface de volailié avec le modèle CEV. 3.4 Volailié sochasique Avan de discuer des modèles à volailié sochasique pour les produis de aux d inérês nous posons la forme générale des équaions régissan le prix du sous-jacen e de sa volailié ds = µ()s d + v S dz 1 dv = α(s, v, )d + ηβ(s, v, )dz 2 avec dz 1 dz 2 = ρd. µ() es une foncion déerminise. Nous allons essayer de rerouver l EDP de valorisaion pour les modèles à volailié sochasique. Dans le Alexis Fauh 92

93 .4 Volailié Implicie T F 8 Figure 1 Surface de volailié simulée à l aide du modèle CEV avec F = 1. cadre du modèle de Black & Scholes, il n y a qu une seule source d aléa, de risque, le prix du sous-jacen e, cela peu êre couver en achean sous-jacen (pour un call). Ici, nous avons deux sources d aléa, le prix du sous-jacen e sa volailié, il n es plus possible de se couvrir à l aide d un seul acif. La seconde source de risque a elle aussi besoin d êre couvere. Ainsi, nous consruisons un porefeuille V consiué d un produi C 1 de sous-jacen S, une quanié du sock (comme avec le modèle de Black and Scholes) e une quanié Θ d un aure produi C 2 écri oujours sur S qui dépend donc de la volailié v. Nous avons alors V = C 1 S ΘC 2. Alexis Fauh 93

94 En considéran un porefeuille auo-finançan e à l aide de la formule d Iô mulidimensionnelle pour V, dépendan de, v e S, nous obenons dv =dc 1 ds ΘdC 2 { C1 = d + C 1 S ds + C 1 v dv + 2 C 1 S v d S, v ds { C2 Θ d + C 2 S ds + C 2 v dv + 2 C 2 S v d S, v { C1 = 2 C 2 S 2 d S, S } C 2 d v, v v2 d + C 1 S ds + C 1 v dv + ηβρvs 2 C vs2 2 C 1 S 2 d vηβ 2 C 1 v 2 d } 2 C 1 S 2 d S, S S v d 2 } C 1 d v, v v2 ds { C2 Θ d + C 2 S ds + C 2 v dv + ηβρvs 2 C 2 S v d C 2 2 vs2 S d + 1 } 2 2 vηβ 2 C 2 v d 2 { C1 = + ηβρvs 2 C 1 S v C 1 2 vs2 S + 1 } 2 2 vηβ 2 C 1 v d d 2 { C2 Θ + ηβρvs 2 C 2 S v C 2 2 vs2 S + 1 } 2 2 vηβ 2 C 2 d v 2 { } C1 + S Θ C 2 S ds { } C1 + v Θ C 2 dv. v Pour éliminer les sources d aléas nous meons à les ermes en ds e dv, soi, e C 1 S Θ C 2 S = (3.24) C 1 v Θ C 2 v = (3.25) Alexis Fauh 94

95 Ainsi, { C1 dv = + ηβρvs 2 C 1 S v C 1 2 vs2 S + 1 } 2 2 vηβ 2 C 1 d v 2 { C2 Θ + ηβρvs 2 C 2 S v C 2 2 vs2 S + 1 } 2 2 vηβ 2 C 2 d v 2 (3.26) Le porefeuille éan mainenan sans risque, son rendemen devrai êre égal à celui du aux sans risque r, dv = rv d = r(c 1 S ΘC 2 )d. (3.27) En égalisan les équaions (3.26) e (3.27), e en uilisan les équaions (3.24) e (3.25), nous avons 1 C 1 v = 1 C 2 v ( C1 + ηβρvs 2 C 1 S v C 1 2 vs2 S vηβ 2 C 1 v + rs C ) 1 2 S rc 1 ( C2 + ηβρvs 2 C 2 S v + 1 C2 2 vs2 2 S vηβ C2 2 v + rs C ) 2 2 S rc 2. Le erme de gauche dépend uniquemen de C 1, le erme de droie de C 2, sans pere de généralié, nous pouvons alors supposer qu ils son égaux à une ceraine foncion f des variables S, v e. Ainsi C + ηβρvs 2 C S v C 2 vs2 S vη2 β 2 C C + rs v2 S rc = f C v. (3.28) Pour des considéraions économiques que nous ne déaillons pas ici, la foncion f es choisie el que f(s, v, ) = ( α(s, v, ) φ(s, v, ) v ) où φ(s, v, ) es appelé le prix du risque de volailié Lien avec la volailié implicie Considérons un modèle à volailié sochasique où les processus de prix e de volailié son non corrélés. Le pricing d une opion de payoff φ(s T, σ T ) à la forme générique V SV (, T ) = e r(t ) φ(x, y)dp(s T = x, σ T = y), Alexis Fauh 95

96 où SV ou pour valorisaion sous un modèle à volailié sochasique. En appliquan simplemen la formule de Bayes nous avons V SV (, T ) = e r(t ) φ(x, y)dp(s T = x σ T = y)p(σ T = y) } = {e r(t ) f ST σ T =y(x)φ(x, y)dx dp(σ T = y) = f σt (y)v BS (, T, σ T )dy. La dernière équaion se dédui de fai que si la volailié es fixée alors on se rerouve dans le cadre de Black and Scholes. Le modèle de Black and Scholes es une variable déerminise, la seule variable aléaoire es σ T, la dernière équaion es en fai l espérance du modèle de Black and Scholes sous σ T V SV (, T ) = E [V BS (σ T )]. (3.29) Valoriser une opion avec un modèle à volailié sochasique correspond donc à faire une moyenne des prix de Black and Scholes pour oues les valeurs possibles de σ T. Ce résula es connu sous le erme de formule de mélange. Nous allons mainenan en déduire une approximaion de la volailié implicie dans le cadre d un modèle à volailié sochasique ainsi qu une correspondance enre la sensibilié de la volailié implicie par rappor au sous-jacen e par rappor au srike. Noons V SV = V SV (σ T ). En faisan un développemen limié de V SV (σ T ) au voisinage de σ T = E[σ T ] nous avons [ V SV = V BS ( σ T ) + V BS( σ T ) (σ T σ T ) ] V BS ( σ T ) (σ σ T 2 σt 2 T σ T ) 2 + f(σ T )dσ T V BS ( σ T ) + V BS( σ T ) (E[σ T ] σ T ) V BS ( σ T ) E [ (σ σ T 2 σt 2 T σ T ) 2] 2 V BS ( σ T ) V ar(σ σt 2 T ). = V BS ( σ T ) (3.3) Si nous supposons mainenan que valoriser une opion avec un modèle à volailié sochasique correspond à la même chose que valoriser une opion avec le modèle de Black and Scholes mais en prenan en compe la volailié implicie pluô qu une volailié consane, nous avons V SV = V BS (Σ) V BS ( σ T ) + V BS( σ T ) σ T (Σ σ T ). (3.31) Alexis Fauh 96

97 où nous avons supposé que V BS( σ T ) = V BS( σ T ) Σ σ T. Il ne rese plus qu à égaliser les équaions (3.3) e (3.31) pour obenir une approximaion de la volailié implicie Σ σ T V BS ( σ T ) V ar(σ σt 2 T ) V BS ( σ T. ) σ T Noons qu il es possible de raffiner l approximaion en faisan un développemen plus loinain de (3.3), incorporan skewness e kurosis par exemple. Dans le cas simple où le produi es une opion européenne, ou ceraines exoiques, nous pouvons calculer expliciemen les dérivées du produi. Pour monrer la correspondance enre la sensibilié de la volailié implicie par rappor au sous-jacen e par rappor au srike, rappelons que la formule de Black and Scholes d un call européen es homogène en S e K, C BS (, T, S, K, σ) = SC BS (, T, 1, K/S, σ). Si nous revenons à nore formule de mélange (3.29), un call sous volailié sochasique correspond à la moyenne des call de Black and Sholes pour différenes volailiés. Si nous n avons que deux volailiés à disposiion, la plus faible σ L e la plus haue, σ H, (3.29) devien C SV = 1 2 [C BS(S, K, σ L ) + σ BS (S, K, σ H )] = 1 [C 2 S BS (1, K S, σ L) + C BS (1, K ] S, σ H) ( ) K = Sf S pour f une foncion ne dépendan que de K/S. Nous avons ainsi ( ) K C SV = Sf = SC BS (1, K ) S S, Σ e donc ( ) K Σ = g S pour une foncion g de K/S. Ainsi Σ S = K S 2 g Σ K = 1 S g S Σ S + K Σ K =. Alexis Fauh 97

98 Si nous sommes proche de la monnaie (K S), nous avons alors Modèle de Heson Σ S Σ K. Dans le modèle de Heson, les équaions de diffusions sous la probabilié risque neure son donc ds = µ S d + v S dz 1 dv = κ(θ v )d + σ v dz 2, avec dz 1, dz 2 = ρd. En reprenan (3.28), C + σρvs 2 C S v C 2 vs2 S C C 2 2 vσ2 + rs v2 S rc = (κ(v θ) φ) C v. (3.32) Il paraî jusifié de choisir le prix marché du risque de volailié comme foncion de la volailié. Plus précisémen, nous choisissons un risque proporionnel à la variance v, φ = λ v avec λ une consane. Définissons les paramères ajusés au risque κ e θ el que κ = κ λ e κ θ = κθ. L équaion (3.32) devien alors Posons C + σρvs 2 C S v vs2 2 C x = ln S C C 2 2 vσ2 + rs v2 ( ) F (, T ) K S rc =κ (v θ ) C v. (3.33) r avec F (, T ) le prix forward de S, F (, T ) = S e sds. La valeur d un call européen C es alors C τ vc vc σ2 vc 22 + ρσv()c 12 κ(v() θ)c 2 =, (3.34) Alexis Fauh 98

99 où τ = T e les paramères κ e θ son risque-ajusés (nous avons reiré les primes pour simplifier). Nous allons mainenan chercher une soluion à la Black & Scholes. Plus pariculièremen, nous posons C(x, v, τ) = e x P 1 (x, v, τ) P (x, v, τ). (3.35) Subsiuan (3.35) dans (3.34), nous obenons, P j τ v P j x 2 + ( 1 2 j ) v P j v σ2 v 2 P j v 2 +ρσv 2 P j x v +(a b j) P j v = (3.36) pour j =, 1, a = κθ, b = κ jρσ e, comme condiion erminale P j (x, v, ) = 1 x> (3.37) Pour pouvoir résoudre l équaion (3.36) avec la condiion erminale (3.37), nous uilisons la ransformée de Fourrier. La ransformée de Fourrier (ou foncion caracérisique) de P es définie par son inverse éan P (k, v, τ) = P (x, v, τ) = En subsiuan à nouveau dans (3.36) P j τ 1 2 k2 v P ( ) 1 j 2 j ikv P j σ2 v 2 Pj v 2 e ikx dxp (x, v, τ) Pour simplifier l expression, nous inroduisons les noaions α = k2 2 ik 2 + ijk β = κ ρσj ρσik e ikx P (k, v, τ) dk 2π. (3.38) + ρσikv P j v + (a b j) P j v =. Nous obenons ainsi v ( γ = σ2 2. α P j β P j v ) + a P j v P j τ =. (3.39) Alexis Fauh 99

100 Posons, une nouvelle fois, l ansaz suivane P j (k, v, τ) = exp{c j (k, τ)θ + D j (k, τ)v} P (k, v, ) = 1 ik exp{c j(k, τ)θ + D j (k, τ)v}, où les foncions C j e D j son ce que l on recherche. Les dérivées son P ( j τ = θ C j τ + v D ) j τ P j v = D j P j 2 Pj v 2 = D2 j P j. P j L équaion (3.39) devien ainsi v ( αp j βd j Pj + γd 2 j P j + D j τ P j ) + ad j Pj θ C j τ On annule mainenan les ermes en v e les ermes ne dépendan pas de v, on obien le sysème C j τ = a θ D j = κd j (3.4) D j τ = α βd j + γd 2 = γ(d j r + )(D j r ) avec r ± = β ± d, d = β σ 2 4αγ 2 Il ne rese plus qu à inégrer le sysème (3.4) avec les condiions erminales C j (k, ) = e D j (k, ) = (correspondan à (3.37). Après calculs C(k, τ) = κ [ D(k, τ) = r 1 e dτ 1 ge dτ r τ 2 σ 2 ln ( 1 ge dτ 1 g )] Alexis Fauh 1

101 où g = r /r +. Il ne rese plus qu à inverser la ransformée de Fourrier pour rouver le résula voulu. En uilisan (3.38), les pseudo-probabiliés P j, j = 1, 2 son données par P j (x, v, τ) = π { } exp {Cj (k, τ)θ + D j (k, τ)v + ikx} R dk, ik Equaion que l on peu esimer par des méhodes numériques classiques comme la quadraure de Gauss - Laguerre pour résoudre le problème de l inégrale infinie. Nous allons mainenan essayer d exraire la volailié implicie du modèle de Heson. Noons x le log-srike à l insan, x = log(s /K) e supposons que le drif du sous-jacen es nul µ =, le modèle de Heson devien alors dx = v 2 d + v dz dv = κ(v θ)d + ρη v dz + 1 ρ 2 η v dw où nous avons posé Z 1 = Z e Z 2 = ρz + 1 ρ 2 W avec W un mouvemen brownien indépendan de Z. En appliquan l opéraeur espérance condiionnelle à v, nous avons en noan σ = E(v x T ) ( dσ = κ(θ σ )d + ρη de(x x T ) + 1 ) 2 σ + 1 ρ 2 ηe( v dw x T ). (3.41) Nous assumons que la dernière espérance es égale à zéro e que E(x x T ) = x E(v s)ds T E(v s)ds = x s T s T (la dernière égalié es juse une noaion). En injecan cela dans (3.41) dσ = κ(θ σ )d + ρη x T s T ds 1 2 ρησ. Dans le cas pariculier où nous condiionnons par x T =, soi K = S T, σ es la volailié locale comme il a éé monré (3.16). La volailié locale de Heson vérifie donc dσ = κ(θ σ )d ρησ. = κ (θ σ )d Alexis Fauh 11

102 avec κ = κ ρη/2 e θ = κθ/κ. La soluion de ce processus es σ = e κ (σ θ ) + θ Ainsi, dans le cas pariculier où la volailié implicie ne dépend pas du srike (3.2) nous en déduisons la formule suivane I 2 Heson() = 1 T Modèle de Wu e Zhang (e κ (σ θ ) + θ )d = θ + σ θ κ ( 1 e κ ). Le papier de Wu e Zang, [WuZh2], prolonge le modèle de Heson pour le marché Libor. Les équaions de diffusions d un forward sous la probabilié risque neure son df j = f j V γ j (dz V σ j+1 d) (3.42) dv = κ(θ V ) + ɛ V dw, où f j = f(, T j, T j+1 ). La volailié (sochasique) sui donc un processus d Ornsein Ulhenbeck, ɛ es habiuellemen appelé le paramère volvol, il conrôle la courbure du smile. es le produi scalaire, Z es un veceur de Q-mouvemens Brownien sandard indépendans e (W ) R+ un mouvemen Brownien sandard el que (γ j Z )dw γ j = ρ j d. Les foncions (γ j ) R+ donnen le niveau de courbure du smile. Elles son données par γ j = 1 + (T j+1 T j )f j (T j+1 T j )f j (σ(, T j+1 ) σ(, T j )). Comme précédemmen pour les mesures forward nous inroduisons les mouvemens browniens Z j+1 e W j+1 sous la mesure T j+1 -forward el que dz j+1 dw j+1 = dz V σ j+1 ()d = dw + ξ j V d, Alexis Fauh 12

103 où ξ j = j k=1 (T j+1 T j )f k ρ k γ k 1 + (T k+1 T k )f k Les équaions de diffusions (3.42) sous la mesure T j+1 -forward son alors df j = f j V γ j dz j+1 dv = (κθ (κ + ɛξ j )V )d + ɛ V dw j+1. (3.43) Malheureusemen, ξ j dépend de la dynamique des aux forward (f j ), il n es pas possible d obenir des formules à la Heson. Uilisan la propriéé de maringale de (f j ) sous la mesure T j+1 -forward, nous avons E j+1 (f j F ) = f j e nous approximons (3.43) par ξ j j k=1 (T j+1 T j )f k ρ k γ k, 1 + (T k+1 T k )f k nous avons donc freezé les coefficiens. Posons mainenan ξ j = 1 + ɛ κ ξj, alors, dv = κ(θ ξ j V )d + ɛ V dw j+1. Mainenan que les équaions régissan la dynamique des aux forward e de sa volailié son posées sous la mesure forward neure, nous pouvons nous inéresser à la valorisaion d un caple en = de maurié T j+1 e commençan en T j de srike K Cpl(, T j, T j+1 ) =B(, T j+1 )(T j+1 T j )E j+1 [(f j T j K) + F ()] =B(, T j+1 )(T j+1 T j )f j E j+1 [( f j T j f j K f j ) + F ] =B(, T j+1 )(T j+1 T j )f j E j+1 [e ln(f j T j /f j ) 1 f j >K F ] + B(, T j+1 )(T j+1 T j )KE j+1 [1 f j >K F ]. Les deux espérances peuven êre évaluées en uilisan la foncion générarice des momens du aux forward φ(x, V,, z) = E[e zx T j F ], z C, Alexis Fauh 13

104 avec X = ln(f j T j /f). j Par définiion de la foncion caracérisique (voir e.g. [DuPaSi]), nous obenons E j+1 [e ln(f j T j /f j ) 1 f j >K F ] = π E j+1 [e ln(f j(t j )/f j ()) 1 f j >K F ] = π I(e iu ln(k/f j ) φ T (iu)) du u I(e iu ln(k/f j ) φ T (1 + iu)) du, u où φ T (z) = φ(, V,, z) e I(x) dénoe la parie imaginaire de x. Les deux espérances peuven ainsi êre approximées par des méhodes numériques usuelles. Il es ou de même possible d obenir une formule fermée. Par simple applicaion du héorème de Feyman-Kac muli - dimenionnel, φ + κ(θ ξ j V ) φ V 1 2 γ j() 2 V φ x ɛ2 V 2 φ V 2 + ɛρ j V γ j 2 φ V x γj 2 V 2 φ x = 2 avec comme condiion erminale De la même manière que Heson, nous posons l ansaz, (3.44) φ(x, V, T, z) = e zx. (3.45) φ(x, V,, z) = ˆφ(x, A(τ,z)+B(τ,z)V +zx V, τ, z) = e avec τ = T j+1. En subsiuan dans les équaions (3.44) e (3.45) da dτ = κθb db dτ = 1 2 ɛ2 B 2 + (ρɛ γ j κ ξ j )B γj 2 (z 2 z) avec comme condiions iniiales A(, z) =, B(, z) =. On reconnaî alors la forme des équaions différenielles de Ricai. Dans le cas où les foncions ρ j e γ j son consanes par morceaux, après résoluion (voir [WuZh2]), nous obenons pour ou τ j τ < τ j+1 les équaions de récurrences A(τ, z) = A(τ j, z) + κθ ɛ 2 [ (a + d)(τ τ j ) 2 ln B(τ, z) = B(τ j, z) + (a + d ɛ2 B(τ j, z))(1 e d(τ τ j) ) ɛ 2 (1 g j e d(τ τ j ), ) ( 1 gj e d(τ τ )] j ) 1 g j Alexis Fauh 14

105 où a = κ ξ j ρ ɛ γ j z, d = Modèle SABR a 2 γ j 2 ɛ 2 (z 2 z), g j = a + d ɛ2 B(τ j, z) a d ɛ 2 B(τ j, z). Nous passons au modèle de Hagan e al., [HaKuLeWo2], SABR, pour "Sochasique, Alpha, Bea, Rho. Il s agi d un modèle à volailié sochasique caracérisan la dynamique d un forward sous la probabilié risque neure par avec (Z j,j) R+ e (W j ) R+ df,j = V F β j ()dz j,j dv = ɛv dw j V = α deux mouvemens Brownien sandard vérifian dz j,jdw j = ρd, e β (, 1], ɛ e α deux consanes réelles posiives e ρ [ 1, 1] Le aux forward F,j es donc ype CEV avec une volailié sochasique suivan un mouvemen Brownien géomérique sans drif. Il s agi d un des modèles les plus populaires acuellemen pour sa simplicié à mere en oeuvre e ses approximaions pour les volailiés implicies. Depuis, des résulas plus généraux on éé monrés, nous renvoyons par exemple à [La5] ou [La8] pour quelque chose de plus comple. Noons que les prémisses de cee héorie on éé insiguées par [BeBuFl4], abordable par un éudian un peu moivé. Les aueurs de [HaKuLeWo2] démonren par perurbaion singulière que le prix en = d un caple es où Cpl(, T j 1, T j, κ) = (T j T j 1 )B(, T j ) (F,j φ(d + ) Kφ(d )) d ± = ln(f,j/k) ± 1 2 σimp (κ, F,j ) 2 T j 1 σ imp (κ, F,j ) 2 Tj 1 e σ imp (κ, F ) es la volailié implicie vérifian l approximaion σ imp α (κ, F ) = [ (F κ) 1 β (1 β) 2 ln ( ) ( z ) ] 2 F 24 κ + (1 β) ln4 F κ + x(z) 1 + (1 β)2 α 2 ρβɛα + + ɛ 2 2 (3.46) 3ρ2 T 24(F κ) 1 β 4(F κ) 1 β j , Alexis Fauh 15

106 avec z = ɛ ( ) 1 β F (F κ) 2 ln α κ e ( ) 1 2ρz + z2 + z ρ x(z) = ln. 1 ρ Dans le cas pariculier où nous sommes à la monnaie (ATM), i.e. κ = F = F,j, nous avons σ ATM = σ imp (F,j, F,j ) = α 1 F 1 β + (1 β)2 α 2,j 24F 2 2β,j + ρβɛα 4F 1 β,j + ɛ 2 2 3ρ2 T j (3.47) Le erme principal de l équaion (3.47) es α F 1 β,j, les paramères α e β von influer sur la courbure comme sur le niveau de la volailié implicie ATM. Pour comprendre le rôle de chacun des paramères, les aueurs de [HaKuLeWo2] proposen une nouvelle approximaion de (3.46), σ imp (K, F,j ) = α F 1 β,j { 1 1 κ (1 β ρλ) ln 2 F,j (3.48) [(1 β)2 + (2 3ρ 2 )λ 2 ln 2 κ + ] F,j avec 1 β ɛf,j λ = α Le premier erme de (3.48) correspond à celui de la volailié implicie ATM, en d aures ermes, celui approximan au plus la volailié implicie ATM. Le erme ln κ/f,j nous donne le niveau de la volailié implicie par rappor au srike. Il es lui même amplifié par deux ermes, (1 β)/2, que l on appelle habiuellemen le bea skew, e ρλ/2, le vanna skew. La parie associée à ln 2 κ F,j nous donne la convexié de la volailié implicie. Le premier erme amplifian son imporance es appele naurellemen le bea skew au carré, le second es volga (volailiygamma). Nous présenons la figure (11) une surface de volailié simulée à l aide du modèle, ainsi que sur (3.4.4) l influence des paramères β e α sur le smile de volailié en foncion du srike. Alexis Fauh 16

107 1.5 Volailié Implicie T Log(F/K) Figure 11 Surface de volailié simulée à l aide du modèle SABR. Volailié Implicie Volailié Implicie Log(F/K) Log(F/K) Figure 12 A gauche, influence du paramère β sur le smile, à droie, influence du paramère α. Alexis Fauh 17

108 3.5 Dérivées sur volailié Il exise des produis dérivés sur des prix d equiy, aux, forex, commodiies, inflaion, ec., e égalemen, sur la volailié de ces produis. En effe, il es possible d acheer de la volailié sur les marchés Swap de variance Il es possible de faire un pari sur le niveau de la volailié dans X jours, ou de se hedger, selon le poin de vue. L exemple basique es le swap de variance. Le payoff d un el produi es SV = NA n ( n i=1 log S i S i 1 ) 2 Nσ 2 K, où N es le nominal, n le nombre de jours avan la maurié T, A = 251 le nombre de jours dans une année, σ 2 K le srike de variance. Dans le cas où nous ravaillons en emps coninu, le swap de variance devien ( 1 ) T SV = N σ 2 T sds σk 2 Comme pour les swap de aux vu précédemmen où nous échangions un aux fixe conre un aux variable, nous échangeons cee fois une volailié fixe σ T conre une volailié floane log 2 (S i /S i 1 ). Nous avons deux possibiliés pour valoriser ce produi, soi nous calculons simplemen la valeur de la volailié inégrée, soi nous la répliquons par un porefeuille d opion. Avec le modèle de Heson, la volailié es donnée par La variance inégrée es donc [ 1 ] T T E σ d = dσ = κ(σ θ)d + η σ dw. ) 1 e κ(t (σ θ) + θ κ(t ) pour une preuve de ce résula on peu regarder les résulas sur le processus CIR vu précédemmen. Alexis Fauh 18

109 Pluô que de ravailler sur la volailié en elle-même, nous pouvons essayer de la répliquer par un porefeuille d opion cela peu par exemple nous permere de hedger le porefeuille par des echniques classiques. On suppose le modèle général sous Q ds S = rd + σ dw. En appliquan le lemme d Iô à ln(s ) nous avons e donc d ln(s ) = (r 1 2 σ2 )d + σ dw 1 2 σ2 d = rd + σ dw d ln(s ) 1 2 σ2 d = ds d ln(s ) S 1 σ 2 ds s 2 sds = S s 1 T σ 2 ds s 2 sds = S s La valeur d un invesissemen en σ es ainsi e r(t ) 1 ( T E(σ s F )ds = e r(t ) E 2 ln S T S. ds s S s d ln(s s ) ) ( ) F e r(t ) ST E S F. W éan un processus de Wiener, pour le premier erme nous avons ( ) T e r(t ) ds s E S s F = e r(t ) r(t ). (3.49) Pour répliquer le second erme, nous avons besoin d inroduire le résula suivan. Tou payoff φ(s T ) avec S T > peu êre décomposé en une somme infinie de call e de pu à différen srikes φ(s T ) =φ(f ) + φ (F )(S T F ) + + F F φ (K)(S T K) + dk φ (K)(K S T ) + dk où F = S e r(t ) le forward. Pour prouver ce résula rappelons que (3.5) max(x K, ) = 1 x K, 1 x K = δ(x K). Alexis Fauh 19

110 Pour oue foncion f : R + R + f(x) = = x f(k)δ(k x)dk f(k) 2 K (K x) +dk + f(k) 2 2 x K (K x) +dk, 2 où nous avons simplemen appliquer le héorème de Chasles pour les inégrales, les deux dérivées secondes son égales. En faisan deux inégraions par paries avec x r(t ) = F e x = S T on rouve le résula voulu. En muliplian (3.5) par e e en passan sous l espérance risque neure on obien pour oue valorisaion d opion de payoff φ(s T ) e r(t ) E(φ(S T ) F ) =e r(t ) φ(f ) + + F F φ (K)Call(T, K)dK. φ (K)Pu(T, K)dK (3.51) En appliquan (3.51) au payoff φ(x) = log ( x S ) nous avons ( ) e r(t ) ST E(ln S F ) =e r(t ) r(t ) F F Call(T, K) dk. K 2 Pu(T, K) dk K 2 (3.52) La variance inégrée peu donc s écrire comme la somme de (3.49) e (3.52), soi r(t ) e T E(σ T s F 2 )ds = 2 F T + 2 T Pu(T, K) dk F K 2 Call(T, K) dk. K 2 (3.53) Opion sur volailié Pour proposer un framework généralise d opion ayan pour sous-jacen la volailié d un acif nous avons besoin de faire un calcul auparavan. Supposons pour simplifier que le aux sans risque es égal à zéro e que les processus de prix e de volailié son indépendans, (3.5) devien alors E(φ(S T ) F ) = φ(f ) + F φ (K)Pu BS (K, T )dk + F φ (K)Call BS (K, T )dk. Alexis Fauh 11

111 Considérons mainenan le cas pariculier du payoff φ(s T ) = S p T, il s agi d une opion power. Une elle opion peu donc êre répliquée par E(S p T F ) = F p +p(p 1) F K p 2 Pu(K, T )dk +p(p 1) F K p 2 Call(K, T )dk. Pour simplifier cee expression nous allons faire le changemen de variable k = log(k/f ), la parié call/pu devien Ainsi, E(S p T F ) = F p (1 + p(p 1) = F p (1 + 2p(p 1) Pu(k) = e k Call( k). e pk Pu(k, T )dk + p(p 1) ( ke k 2 cosh p 1 ) Call(k, T )dk 2 ) e pk Call(k, T )dk (3.54) Considérons mainenan la diffusion du log-prix générale avec oujours les aux d inérês égaux à zéro ( ST x T = log = S ) σ dw 1 2 x T. Le processus x T es une loi normale de moyenne 1/2 x T e de variance x T, sa ransformée de Laplace es donc Ainsi E (e px T ) = e 1 2 p x T p2 x T. E (e px T ) = E ( ) e (p2 /2 p/2) x T = E ( ) e λ x T où λ = p 2 /2 p/2. En d aures ermes E ( ) ( ) e λ x T = E e p(λ)x T avec p(λ) = 1 ± 1 + 2λ. En uilisan la formule (3.54) 2 4 E ( ) ( ) e λ x T = E e p(λ)x T = E (S p T (λ)) = F p (1 + 2p(λ)(p(λ) 1) ). ( ke k 2 cosh p(λ) 1 ) ) Call(k, T )dk 2 Alexis Fauh 111

112 ce que l on peu simplifier en remarquan que p(λ)(p(λ) 1) = 2λ. Pour conclure e avoir une formule de valorisaion générale nous n avons plus qu à remarquer que Ainsi, E ( x T ) = λ = 4 ( 1 + 4λ E ( x T ) = λ E ( e λ x T ) ke k/2 cosh = 2 (1 + e k )Call(k, T )dk ( = 2 Pu(k, T )dk + λ= ( ke k/2 cosh p(λ) 1 ) Call(k, T )dk) 2 ( p() 1 ) Call(k, T )dk 2 ) Call(k, T )dk.. λ= (3.55) On rerouve ainsi le même résula que (3.53) VIX L indice VIX es la volailié de l indice S&P5. Aujourd hui (les méhodes de calculs on changé au fil des ans), il es déerminé par VIX 2 T = 2erT T n i=1 δk i Q Ki 2 i (K i ) 1 T ( F K 1) 2 (3.56) où Q i es le prix de l opion, call ou pu, hors de la monnaie de srike K i, F es le forward, K = min{sup F } e δk i la différence enre deux srikes consécuifs. A l origine, le VIX éai calculé pour reproduire la volailié implicie à la monnaie de maurié 1 mois. Il s agissai d une moyenne sur 8 opions, des calls e des pus proches de l ATM. Le nouveau calcul prend en compe plus de maurié pour pouvoir représener la skew, égalemen une moyenne de bandelee d opion pondérée, enfin, iniialemen, le VIX eai calculé sur le S&P 1 e non sur le 5, la vision du marché es donc plus large e consisane. Il es possible de rerouver l équaion (3.56) à l aide de la formule (3.53) e donc Alexis Fauh 112

113 (3.55), on suppose oujours le aux sans risque égal à zéro VIX 2 T 2 = = = = F F Pu(K, T ) Call(K, T ) dk + dk K 2 F K 2 Pu(K, T ) Call(K, T ) dk + dk + K 2 F K 2 Q(K, T ) F (K F ) dk + dk K 2 F k2 Q(K, T ) dk 1 (K F ) 2. K K Il ne rese alors plus qu à discréiser pour reomber sur (3.56). F Pu(K, T ) Call(K, T ) K 2 Il n y a pas que le VIX comme indice de volailié, on peu par exemple penser au Russell 2 Daily Volailiy, Corn Volailiy Index, DJIA Volailiy e au NVX pour le Nasdaq. 3.6 Calcul de Malliavin Nous faisons ici une inroducion au calcul de Malliavin, cela nous permera enre aure de calculer des grecques pour des opions à payoff compliquées. Le calcul de Malliavin es une héorie de calcul infinimen différeniel sur l espace de Wiener. Il ne s agi cerainemen pas de la chose la plus simple, nous ne ferons donc pas oues les preuves. Pour aider à la compréhension, nous rajouons des exemples de calculs corrigés. Pour plus de déails sur la parie héorique, nous renvoyons à [Nu6], [Ok97] ou [Wa84] Elémens de héorie Définiion 3.1. (Processus gaussien isonormal). Soi H un espace de Hilber. Un processus sochasique W = {W (h), h H} sur l espace de probabilié (Ω, F, P ) es un processus gaussien isonormal si W es gaussien e vérifie pour ou h, g H E(W (h)w (g)) = h, g H. dk Remarquons que la foncion h W (h) es linéaire, en effe, pour ou λ, µ R Alexis Fauh 113

114 e h, g H E[(W (λh + µg) λw (h) µw (g)) 2 ] = λh + µg H + λ 2 h 2 H + µ 2 g 2 H 2λ λh + µg, h H 2µ λh + µg, g H + 2λµ h, g H = p.s.. Ainsi, la foncion donne une isomérie enre H es un sous-espace H 1 L 2 (Ω, F, P ) conenan les variables aléaoires isonormales. Un exemple bien connu de processus gaussien isonormal es l inégrale de Wiener. Avec B = (B 1,, B d ) un mouvemen brownien d-dimensionnel sur (Ω, F, P ) e pour ou h H = L 2 (R +, R d ), l inégrale de Wiener W (h) = d i=1 R + h i (s)db i s es un processus gaussien isonormal. Il es clair que W (h) es gaussien par définiion de l inégrale sochasique e en simplifian avec d = 1, E(W (h)w (g)) = g(s)h(s)ds = g, h H Chaos de Wiener Nous allons mainenan monrer l un des résula fondamenal de cee héorie, la décomposiion en chaos de Wiener de oue foncion de L 2. Pour ce faire nous avons besoin d inroduire les polynômes d Hermie. Il s agi de polynômes orhogonaux pour la mesure µ de densié dµ 2 /2 π. Pour ou x R e λ > H (x, λ) = 1 H n (x, λ) = ( λ)n e 1 2λ x2 n! dx = e x dn 1 dx n (e 2λ x2 ), n 1. Remarquons que nous avons le développemen en série enière ( ) exp x 2 λ = n H n (x, λ). 2 n= Alexis Fauh 114

115 Pour ou n 1 nous définissons le chaos de Wiener d ordre n, H n, comme la fermeure du sous-espace linéaire de L 2 (Ω, F, P ) générée par {H n (W (h)), h H, h H = 1} avec H un ensemble de consane. Le lemme suivan nous perme de monrer que les ensembles H n son orhogonaux enre eux pour ou n m Lemme 3.1. Soi X e Y deux variables gaussiennes cenrées réduies, alors pour ou n, m {, n m E(H n (X)H m (Y )) = 1 (E(XY n! ))n, n = m Preuve 3.2. Pour ou s, R, ( ( ) ( )) E exp sx s2 exp Y 2 = exp (se(xy )). 2 2 En prenan les dérivées n+m nous avons s n m E(n!H n (X)m!H m (Y )) = en s = = de chaque coé de l équaion précédene {, n m n! (E(XY )) n, n = m Nous pouvons mainenan monrer la décomposiion de L 2 (G) en chaos de Wiener où G es la σ algèbre générée par W. Théorème 3.1. L espace L 2 (G) peu êre décomposé en une somme infinie de sous-espaces orhogonaux L 2 (Ω, G, P ) = H n. n= Preuve 3.3. Nous avons déjà monré l orhogonalié des sous-espaces H n, il ne nous rese plus qu à monrer que si X L 2 (Ω, G, P ) el que E(XH n (W (h))) = alors X =. Noons déjà qu il es possible d exprimer x n par une combinaison linéaire de polynômes d Hermie d ordres inférieures ou égaux à n, ainsi, E(XW n (h)) =. Le développemen en série enière de la foncion exponenielle nous perme d écrire E(W exp(w (h))) = e la linéarié de W ( ( m )) E X exp i W (h i ) = i=1 Alexis Fauh 115

116 avec pour m 1, 1,, m R e h 1, h m H el que h i H équaion peu se voir comme la ransformée de Laplace de la mesure = 1. Cee ν(b) = E(X1 B (W (h 1 ),, W (h m ))), B B(R m ). Si la ransformée de ν es zéro, alors la mesure doi êre elle même-égale à zéro pour ou G G, soi, E(X1 G ) = e donc X =. Nous avons un moyen de décomposer l espace L 2 (G). Le prochain bu es de déerminer un moyen de décomposer une variable aléaoire en une somme de variables aléaoires orhogonales Inégrale muliple sochasique Nous allons définir l inégrale muliple sochasique d une foncion f L 2 (T n ), T n f( 1, 2,, n )db( 1 )db( 2 ) db( n ). Nous définissons l espace E n conenan les foncions élémenaires sur T n f( 1,, n ) = k i 1,,i n=1 a i1,,i n 1 [τi1 1,τ i1 [ 1 [τin 1,τ in [( 1,, n ) avec a = τ < τ 1 < < τ k = b el que a i1 i n nous définissons = si i p = i q. Pour ou f E n k I n (f) = a i1,,i n ξ i1 ξ in i 1,,i n=1 où E ip = B(τ ip ) B(τ ip 1) pour p = 1,, n. Rappelons que la symérisaion f de f es f( 1,, n ) = 1 f( σ(1),, σ(n) ) n! σ S n où S n es l ensemble des permuaions possibles sur {1,, n}. Par exemple f(x 1, x 2 ) = cos x 1 x 3 2 f(x 1, x 2 ) = 1 2 (cos x 1 + cos x 2 x 3 1 x 3 2). Alexis Fauh 116

117 Lemme 3.2. Si f E n, alors I n (f) = I n ( f) Preuve 3.4. Par linéarié de f, nous pouvons monrer le résula simplemen pour la foncion f( 1,, m ) = 1 (1) [ 1,(2) 1 [ [(1) n, (2) n [ où les inervalles [ (1) i, (2) i [ T son disjoins. Nous avons n ( ( ) ( )) (2) (1) I n (f) = B i B i I n ( f) = 1 n! i=1 n σ S n i=1 ( ( ) ( (2) (1) B σ(i) B σ(i))). En observan que pour oues les permuaions σ S n, ( ( ) ( )) n (2) (1) i=1 B i B i = ( ( ) ( ni=1 (2) (1) B σ(i) B σ(i))), nous obenons le résula voulu. Lemme 3.3. Pour ou f E n e g E m, n, n 1, alors E(I n (f)) = e { si n m E(I n (f)i m (g)) = n! f, g L 2 (T n ) si n = m. Preuve 3.5. La preuve pour l espérance es riviale. Considérons donc f E n e g E m paragean la même pariion [ (1) 1, (2) 1 [ [ (1) n, (2) n [ avec pour coefficiens respecifs a i1,,i m e b i1,,i m. Nous avons I n (f) = n! a i1 i n ξ i1 ξ in i 1 i n le même résula s obien pour g. Ainsi E(I n (f)i m (g)) = n!m! a i1 i n b i1 i n E(ξ i1 ξ in ξ j1 ξ jm ) j 1 j n où E(ξ i1 ξ in ξ j1 ξ jm ) = i 1 i n { np=1 (τ ip τ ip 1) si n = m, i 1 = j 1,, i n = j n. sinon Ainsi, si n m, E(I n (f)i m (g)) = e si n = m E(I n (f)i m (g)) = (n!) 2 n a i1 i n b i1 i n (τ ip τ ip 1) i 1 i n p=1 = n! f( 1,..., n )g( 1,, n )d 1 d n. T n Alexis Fauh 117

118 Noons qu il es possible d éendre ces deux derniers résulas pour le cas où f L 2 (T n ) e g L 2 (T m ). Nous avons égalemen le résula suivan. Théorème 3.2. Soi f L 2 (T n ), n 1, alors b n 2 ( n 1 I n (f) = n! a a a ) f( 1,, n )db( n ) db( n 1 ) db( 1 ). Preuve 3.6. Considérons le cas simple e suffisan où f es donné par f( 1,..., n ) = 1 ( (1) [ 1,(2) 1 [ [(1) n, (2) n [ 1,, n ) où 1 n < 2 n 1 n 1 (2) 2 (1) 1 < (2) 1. Alors n I n (f) = (B ( (2) ) ( ) (1) i B i ). i=1 D un aure coé f = 1 n! f si n < n 1 < < 1, ainsi n 1 a f( 1,, n )db( n ) = 1 n! 1 [ (1) 1,(2) 1 [ [(1) n 1,(2) [( 1,, n 1 )(B ( ) ( ) (2) n B (1) n ). n 1 Noons qu il s agi clairemen d une variable F (1) n 1 par iéraions b a n 2 ( n 1 a a ) f( 1,, n )db( n ) db( n 1 ) db( n ) = 1 n! mesurable. Nous obenons alors n i=1 ( B ( (2) i Il es possible de relier les polynômes d Hermie avec l inégrale muliple sochasique. Proposiion 3.2. Soi H m (x) le m-ième polynôme d Hermie, f H = L 2 (T ), alors I n (f n ) = n!h n (W (f), f 2 L 2 (T )) Preuve 3.7. Nous allons monrer la proposiion par récurrence. Le cas m = 1 se dédui du fai que E 1 es dense dans L 2 (T ). Supposons à l ordre m e monrons à l ordre m + 1. Noons f m+1 = f( 1 ) f( m ), par (3.2) ) ( )) (1) B i. avec X = ( I ) b m+1 h m+1 = (m + 1)!I m f( 1 )X 1 db( 1 ) a ( n ) f( 2 ) f( n+1 )db( n 1 ) db( 2 ). a a Alexis Fauh 118

119 Théorème 3.3. Toue variable aléaoire F L 2 (G) symérique peu êre décomposée en une série unique d inégrale muliple sochasique F = I n (f n ). n= Passons à quelques exemples pour clarifier les choses sur la décomposiion en chaos de Wiener. Dans ous les cas, (W ) [,T ] es un mouvemen brownien. F = W (). W es un processus gaussien isonormal, il s agi en fai d une inégrale sochasique par rappor au mouvemen brownien, W () = 1 [,] (s)dw s. On en dédui direcemen que f =, f 1 = 1 [,] e f n =, n 2. F = g(s)dw s où g es une foncion déerminise. On a de manière évidene f =, f 1 = g e f n =, n 2. F = W 2 (). Il y a une peie asuce cee fois, il fau remarquer que On a donc W 2 () = + 2 = + W s dw s = 1 2 W 2 () 1 2. s s = + I 2 (f 2 ). dw u dw s 1 [,] (u)1 [,] (s)dw u dw s Ainsi, f =, f 1 =, f 2 = 1 [,] (u)1 [,] (s), f n =, n Dérivée de Malliavin Alexis Fauh 119

120 Nous passons mainenan à l un des objes qui va nous êre uile pour déerminer les sensibiliés d opions. Inroduisons l espace Cp (R n ) des foncions f : R n R, C e avec des dérivées parielles à croissances polynomiales e l ensemble S des foncions régulières S = { F = f(w (h 1 ),, W (h n )), f C p (R n ), n 1 }. Nous noerons S b pour l espace des foncions f Cb (R n ) à dérivées bornées. Nous avons donc S b S. Définiion 3.2. Pour ou F S, nous définissons la dérivée de F, DF par la variable aléaoire n D F = i f(w (h 1 ),, W (h n ))h i. (3.57) i=1 La dérivée de Malliavin peu égalemen s écrire comme une dérivée direcionnelle 1 D F, h = lim ε ε ((f(w (h 1)) + ε h 1, h H,, f(w (h n )) + ε h n, h H ) F ). Pour bien comprendre les choses prenons comme exemple un mouvemen brownien défini sur [, T ], (B ) [,T ], e l espace de Hilber H = L 2 ([, T ], B([, T ]), λ) où λ es la mesure de Lebesgue. Pour ou h H posons F = W (h()), alors D F = D W (h()) = h(). Il es sous enendu que nous avons posé f(w (h())) = W (h()), soi f(x) = x qui a pour dérivée f (x) = 1. En uilisan (3.57), on obien le résula. L un des élémens imporans lorsque l on souhaie inroduire une héorie de dérivaion es la formule d inégraion par parie. Lemme 3.4. Soi F S e h H, alors E[ D F, h H ] = E[F W (h)] Preuve 3.8. Considérons le cas h H = 1 e une base orhonormale de H, {e 1,, e n } el que h = e 1 e F = f(w (e 1 ),, W (e n )) où f Cp (R n ). En noan n(x) la densié d une gaussienne mulivariée sur R n, ( n(x) = (2π) n/2 exp 1 ) n x 2 i. 2 Alexis Fauh 12 i=1

121 Alors, f(x) E[ D F, h H ] = n(x)dx R n x 1 = f(x)n(x)x 1 dx R n = E[F W (e 1 )] = E[F W (h)]. En uilisan la propriéé (la règle du produi) D (F G) = D F G + F D G, on en dédui une seconde version de la formule d inégraion par parie, E[G D F, h H ] = E[F D G, h H ] + E[F GW (h)]. En plus de la formule d inégraion par parie, nous avons la formule de dérivaion en chaîne. Inroduisons d abord l espace comple de S, D 1,p muni de la semi-norme F 1,p = {E( F p ) + E( D F p H)} 1/p pour ou p 1 e noons D 1,p sa fermeure. Lemme 3.5. Soi g une foncion C 1 de R d dans R à dérivées parielles bornées F = (F 1,, F d ) un veceur aléaoire el que F i D 1,p pour ou i. Alors g(f ) D 1,p e d D (g(f )) = i g(f )D F i. (3.58) i=1 De la même manière que pour la variable aléaoire F, nous avons une décomposiion en chaos de Wiener de la dérivée de Malliavin. Proposiion 3.3. Soi F une variable aléaoire de carré inégrale admean la décomposiion de Wiener F = n= I n (f n ) avec f n L 2 (T n ). Alors F D 1,2 ssi nn! f n 2 L 2 (T n ) <, e dans ce cas nous avons n=1 D F = ni n 1 (f n (, )). (3.59) n=1 Alexis Fauh 121

122 Passons mainenan à quelques exemples de calcul de dérivées. Dans ous les cas, (W ) [,T ] es un mouvemen brownien. F = W () Remarquons que On a donc F = s2 dw s W () = dw s = 1 [,] (s)dw s = W (1 [,] ). D W () = 1 [,] (s) On remarque direcemen que h() = 2, donc D F = 2. F = 2 ln( )dw 1 dw 2. Il s agi d une inégrale double, on es donc amené à appliquer la formule (3.59). On a 2 ln( )dw 1 dw 2 = I 2 (ln( )), ainsi, D F = I 1(ln( + )) F = exp(w () + W (s) 2 ). = ln( 1 + )dw 1. D F = exp(w () + W (s) 2 )1 [,] + 2W (s) exp(w () + W (s) 2 )1 [,s] Inégrale de Skorohod Nous allons inroduire l opéraeur dual de la dérivée de Malliavin, appelé l opéraeur de divergence e dans le cas gaussien, l inégrale de Skorohod. L opéraeur de divergence δ e donc l adjoin de D, vérifian la relaion de dualié pour ou F D 1,2 E[F δ(u)] = E[ DF, u H] (3.6) Alexis Fauh 122

123 où u apparien au domaine de δ, Dom(δ) el que Dom(δ) = {u L 2 (Ω, H); E[ DF, u H ] c u F L 2 (Ω)}. Nous avons égalemen une représenaion différene de l opéraeur de divergence. En prenan oujours F D 1,2 e u Dom(δ) el que F u L 2 (Ω, H) e F δ(u) DF, u H L 2 (Ω) alors F u Dom(δ) e δ(f u) = F δ(u) DF, u H. (3.61) La preuve de ce résula se dédui direcemen de (3.6). En effe, en considéran une variable G S, E[ F u, DG H ] = E[ u, D(F G) GDF H ] Nous avons les propriéés suivanes : = E[(F δ(u) u, DF H )G]. Si u Dom(δ), alors E[δ(u)] =. δ es opéraeur linéaire e fermé de Dom(δ). Si u Dom(δ), n n δ(u) = F j W (h j ) DF j, h j H. j=1 j=1 Comme di précédemmen, dans le cas gaussien, nous parlons d inégrale de Skorohod pour l opéraeur de divergence δ(u). Nous allons nous resreindre mainenan à W (h) = [a,b] h(s)db s pour ou h H = L 2 (T ) avec donc T = [a, b]. Remarquons que dans le cas pariculier où u L 2 (T Ω) es un processus adapé alors u Dom(δ) e δ coïncide avec l inégrale d Iô par rappor au mouvemen brownien δ(u) = b a u s db s. En effe, u es un processus élémenaire adapé pouvan s écrire sous la forme n u = F j 1 ]j, j+1 ](), j=1 Alexis Fauh 123

124 avec F j L 2 (Ω, F j ) pour a 1 < < n+1 b. Alors en appliquan la formule de l opéraeur de divergence (3.61), nous obenons, δ(f j 1 ]j, j+1 ]) = F j δ(1 ]j, j+1 ]) D F j 1 ]j, j+1 ]()d = F j (B j+1 B( j )). On conclu par la linéarié de δ en passan à la limie. Il es bien enendu possible de lier l inégrale de Skorohod avec l inégrale muliple. En supposan que le processus sochasique u adme la décomposiion son inégrale de Skorohod vérifie u() = I n (f n (, )), n= δ(u) = I n+1 ( f n ) (3.62) n= où f es la symérisaion de f comme précédemmen. Pour conclure cee secion, donnons la dérivée de l inégrale de Skorohod. Pour ou u D 1,2 (H) el que D u s Dom(δ) e δ(d u s ) L 2 (T Ω) alors Encore une fois, faisons quelques exemples. F = W () D (δ(u)) = u + δ(d u) (3.63) Il es clair que W () es F - adapé, l inégrale de Skorohod coïncide donc avec l inégrale d Iô e F = W 2 ( )δw (). δ(w ()) = = W ()δw () W ()dw () = 1 2 W 2 (T ) 1 2 T. Alexis Fauh 124

125 Nous avons W 2 ( )δw () = ( + I 2 (f 2 ))δw () où f 2 ( 1, 2, ) = 1 [, ]( 1 )1 [, ]( 2 ). Il fau mainenan déerminer f pour pouvoir uiliser (3.62). f 2 ( 1, 2, ) = 1 3 [f 2( 1, 2, ) + f 2 (, 2, 1 ) + f 2 ( 1,, 2 )] Ainsi, W 2 ( )δw () = W () + = 1 3 [1 [, ] 1 1 [, ] [, ]1 [, ] [, ] 1 1 [, ]] = 1 3 [1 1, 2 < + 1,2 < + 1 1,< ] = 1,1, 2 < , 2 < < , 2 < < , 1 < < 2. = W (T ) + I 3 ( f 2 ) = W (T ) I 2 (f 2 )δw () = W (T ) + 2/3 h Applicaion à la finance (1 [, ]( 1, 2, 3 )) 3 dw ( 1 )dw ( 2 )dw ( 3 ) ( 1, 2 < < 3 )dw ( 1 )dw ( 2 )dw ( 3 ) ( ) W ( ) T dw ( 1 )dw ( 2 )dw ( 3 ) = W (T ) + W 3 ( ) 3W ( ) + (W 2 ( ) )(W (T ) W ( )) =W 2 ( )W (T ) 2 W ( ). Considérons la diffusion générale d un acif financier (S ), ds = µ(x )d + σ(x )dw (3.64) où (W ) es un mouvemen brownien e µ e σ son des foncions adapées vérifian de bonnes propriéés. Par bonnes, nous sous-enendons qu il n y a pas que les condiions usuelles à vérifier sur les deux processus mais un peu plus afin de pouvoir déerminer la dérivée de Malliavin de S. Pour ou r, nous avons D S = σ(x(r)) + r σ(x(s))d r (X(s))dW s + r µ(x(s))ds. (3.65) Alexis Fauh 125

126 Procédons éape par éape pour monrer ce résula. Réécrivons déjà (3.64) S = µ(x s )ds + σ(x s )dw s Pour calculer les dérivées des processus µ e σ, nous appliquons la formule de dérivaion en chaîne (3.58), D r (µ(x s )) = µ(x(s))d r (X(s))1 r s D r (σ(x s )) = σ(x(s))d r (X(s))1 r s. Pour l inégrale de µ, il n y a pas de problème, par linéarié on a direcemen D r ( ) µ(x(s))ds = D r (µ(x s ))ds. r Pour l inégrale de σ, nous avons une inégrale d Iô e donc, de Skorohod, nous appliquons la formule de dérivaion de l inégrale de Skorohod (3.63) ( ) D r σ(x(s))dw s = σ(x s ) + D r (σ(x s ))dw s. r En réunissan ous les résulas, on obien le résula voulu Calcul des sensibiliés Il s agi de l un des principaux poins d applicaion du calcul de Malliavin à la finance quaniaive. Son uilisaion va nous permere de calculer simplemen les grecques (ou sensibiliés) de n impore quelle opion. En fai, nous n obenons pas forcémen une formule fermée quelque soi la forme du payoff, mais cela perme de minimiser les erreurs d approximaion du Mone Carlo du fai que nous n avons plus à esimer la dérivée de différenes espérances, l erreur d approximaion de l espérance se répercue donc dans l approximaion de la dérivée. Avec le calcul de Malliavin, nous pouvons ôer l éape de l approximaion de la dérivée, le problème se rédui donc à un problème d approximaion d espérance. Nous renvoyan à [FoLaLeLiTo99] e [FoLaLeLi1] pour plus de déails que ce que nous allons présener. La proposiion suivane joue un rôle clé dans ce calcul. Alexis Fauh 126

127 Proposiion 3.4. Soi F e G deux variables aléaoires el que F D 1,2 e DF, u e Gu DF, u 1 Dom(δ). Alors pour oue foncion f différeniable à dérivées bornées, E[f (F )G] = E[f(F )H(F, G)], (3.66) où H(F, G) = δ ( ) Gu. DF, u Preuve 3.9. Avec la formule de dérivaion en chaîne (3.58), on a alors en uilisan (3.6) Df(F ), f = f (F ) DF, u, E[f (F )G] = E[ Df(F ), u DF, u 1 G ] = E[ Df(F ), u( DF, u ) 1 G] = E[f(F )δ(gu DF, u ) 1 ]. On peu mainenan passer au calcul des grecques. Pour les sensibiliés du premier ordre sur une opion V de payoff φ, nous avons en supposan que nous sommes sous la probabilié risque neure e que le modèle dépend d un paramère α V α = α E[φ(Sα T )] [ ] φ(s α = E ) α [ ] = E φ (S α T ) Sα α En appliquan le résula (3.66) on peu alors écrire pour ou payoff φ dérivable [ ] [ ( V α = E φ (ST α ) Sα = E φ(st α )δ α. S α T D S T d Comme nous ravaillons sous la probabilié risque neure, nous avons dans le cadre du modèle de Black and Scholes )] ds = rs d + σs dw (3.67). Alexis Fauh 127

128 où r es le aux sans risque e sigma la volailié consane. Pour calculer la dérivée de Malliavin de ce processus, nous reprenons le résula obenu précédemmen (3.65) e en déduisons que e que En effe, D r S T = σe (r 1 r 2 σ2 T )ds+ r σdws D S T = σs T. (( ) ) ) D S T = D (S exp r σ2 T + σw T 2 ( ) = S exp r σ2 T D (exp(σw T )) 2 ( ) = S exp r σ2 T exp(σw T )D σdw u 2 = σs T 1 <T. Choisissons mainenan le cas pariculier du dela, c es-à-dire la dérivée du produi par rappor au sous-jacen à l insan. Pour simplifier on va supposer que =, la soluion de (3.67) es S T = S e (r 1 2 σ2 T )ds+ σdws. Ainsi, = E [ φ(s S T ) ] [ ] φ(s S = e rt T ) E S S [ = e rt E φ (S S T ) S ] T = e rt E [ ] φ (S S T )S T S S [ ( = e rt E φ(s S T )H S T, S )] T S S = e rt S = e rt S E φ(s S T )δ [ E φ(s S T )δ r ( ST σs T = e rt σt S E [ φ(s S T )W T ] S T S D rs T d )] Alexis Fauh 128

129 où sur la dernière égalié nous avons uilisé le fai que l inégrale de Skorohod pore sur un processus adapé, il s agi donc d une inégrale d Iô. Mainenan on se pose la quesion du commen faire pour les dérivées secondes, ou roisièmes si on veu plus de raffinemen. Le gamma, la dérivée seconde d une opion, es l une des sensibiliés les plus connues e uilisés. En dehors de se couvrir par rappor au gamma comme nous l avons expliqué dans la secion sur les grecques, elle perme aussi d adaper sa sraégie de dela-hedging, la plus fondamenale en praique. En effe, on ne peu pas se dela hedger correcemen en emps coninu, le dela bouge sans cesse, avoir un dela nul ou le emps es illusoire, c es possible d un poin de vue praique mais les coûs de ransacions pour mainenir cee posiion impliqueraien une sraégie perdan de l argen. Le gamma peu êre compris comme la réponse à de grande variaion du sous-jacen, on peu donc en déduire grâce au gamma les momens auxquels il es plus imporan de rebalancer son porefeuille pour êre dela-neure. Pour le calcul de gamma, rt 2 Γ = e E [ φ(s S 2 T ) ] = e rt S 2 E[φ (S S T )S 2 T ]. On applique une nouvelle fois le résula (3.66) avec G = ST 2, F = S T e u = 1, l asuce es simplemen de poser φ = (φ ), l inégrale de Skorohod es ( S 2 ) ( ) T ST δ D = δ S T d σt ( ) WT = S T σt ainsi, ( ) E[φ (S S T )ST 2 ] = E[φ (S S WT T )S T σt 1 ]. ( On reprend encore une fois le résula (3.66), avec G = S WT T σt 1), F = S T e u = 1, l inégrale de Skorohod es δ S T ( WT σt 1) D S T d = δ ( WT σ 2 T 2 1 σt ) = W 2 T σ 2 T 2 1 σ 2 T W T σt, Alexis Fauh 129

130 e donc, Pour le vega, nous avons [ ( Γ = e rt W 2 SσT E φ(s 2 T ) T σt 1 )] σ W T. ϑ = σ e rt E[φ(ST σ )] [ ( W = e rt 2 E φ(s T ) T σt 1 )] σ W T. Le rho, ρ = r e rt E[φ(ST r )] [ ( )] = e rt WT E φ(s T ) σ T Sensibilié pour opion asiaique Dans la secion précédene nous avons considéré uniquemen des payoff opéran sur la valeur erminale de l acif, cela ne couvre pas ous les cas de figure. Prenons par exemple les opions asiaiques, il s agi d opion ne prenan en compe la moyenne du sous-jacen au cour de la durée de vie de l opion. Le payoff es du ype pour oue foncion φ V = e rt E Dans ce cas, le dela d une opion es [ φ ( 1 T S d [ ( = 2e rt 1 ) ( )] T ST S E φ S σ 2 d S T T S d (r σ2 /2). La preuve es puremen calculaoire. Nous assumons comme oujours que φ es une foncion coninue différeniable à dérivées bornées. Nous avons, = [ ( 1 e rt E φ S T [ = e rt E φ ( 1 T S d ) 1 S d T )] ] S d S = e rt S )] E [. φ ( 1 T ) 1 ] T S d S d. T Alexis Fauh 13

131 En posan F = 1 T Alors, e = e rt S σ T S sds, G = 1 S T sds, nous avons, ( 1 ) T 1 E φ S d δ S T T S sds T T S ( 1 ud u T S sdsdu ). D u ( 1 T ( T S u u S s ds ) S s ds ) = σ T u S s ds ( s S s ( s ) S u du ds du = σ T = σ 1 2 S u du) ds T 2 = σ ( 1 2 S u du). T 2 On peu mainenan calculer l inégrale de Skorohod, 1 δ S T T S sds S ( 1 ud u T S sdsdu ) = δ S ud S ( σ 2 S udu ) 2 = 2 ( ) σ δ S S udu ( S ) dw = 2 σ T S d ( ST S + σ 2 ) = 2 σ σ S d r σ + σ 2 = 2(S T S ) σ 2 S d 2r σ Ainsi, [ ( = e rt 1 ) ( )] T ST S E φ S σ 2 d S T T S d r + σ2. 2 Il es égalemen possible de rouver des résulas pour les opions dépendan du maximum ou du minimum, comme les opions barrières où lookback, voir e.g. [GoKo3] e [BeDoKo3]. Egalemen, pour des modèles à diffusion plus complexe comme à volailié sochasique, [AlEw7] ou [DeGaRi5] enre aure. Alexis Fauh 131

132 Raffinemen du hedging 4 Inroducion au risque de crédi Le risque de défau es de plus en plus pris en compe dans les modèles de pricing. Quand un dérivé sur un produi OTC (over-he-couner) es pricé, nous devrions naurellemen prendre en compe le risque de défau de conreparie. A l insan où l enié en face du déeneur du produi fai défau, le déeneur de l acif financier ne recevra pas la oalié de ses paiemens comme iniialemen prévu, mais une fracion. La problémaique de cee parie va donc consiser à inroduire ce risque de défau dans nos modèles de valorisaion. Nous allons considérer des obligaions pour lesquelles il es possible d avoir un défau de l émeeur au emps aléaoire τ. 4.1 Processus poncuel Soi τ la durée de vie aléaoire e P(τ ), > la probabilié de survivre au moins jusqu à l insan. Le premier poin à inroduire es la noion de processus poncuel. Définiion 4.1 (Processus Poncuel). Soi le emps physique e { i } i {1,2, } une suie croissane aléaoire de emps d arrivée, i i+1, i. Alors la séquence es un processus poncuel sur le segmen [, ). Définiion 4.2 (Processus de Compage). Soi (N ) un processus sochasique à valeurs réelles el que N = i 1 1 {i }. On di que N es un processus de compage si p.s., N() =, N es coninu à droie e N es croissan. L exemple cerainemen le plus connu es le processus de Poisson, qui en plus des propriéés énoncées vérifie, pour ou, s, N +s N sui une loi de Poisson de paramère λs (saionnarié) pour ou, s, les variables aléaoires N +s N s indépendan de la sigmaalgèbre σ(n u, u s), (accroissemen indépendan) Alexis Fauh 132

133 La probabilié condiionnelle que l émeeur ne fasse pas défau jusqu à l insan T sachan qu il n es pas encore en défau en es P(τ > T e τ > ) P(τ > T τ > ) = P(τ > ) = P(τ > T ) P(τ > ), T. Nous définissons mainenan l inensié condiionnelle par P(τ < + d τ > ) λ( F ) = d La F -inensié caracérise l évoluion du processus N condiionnellemen à sa filraion naurelle. On peu l inerpréer comme la probabilié condiionnelle de faire défau au prochain insan. Nous avons égalemen λ( F ) = = 1 P(τ > T e τ > ) P(τ > ) d 1 P(τ > ) P(τ > + d) P(τ > ) d = d ln P(τ > ). d Ainsi, nous obenons une équaion différenielle de condiion iniiale P(τ > ) = 1. La soluion es P(τ > ) = e λudu, R +, où par abus de noaion nous avons noé λ s pour λ(s F s ) avec F s la filraion naurelle engendrée par λ. Nous en déduisons direcemen P(τ > T ) P(τ > ) = T e λ udu, T. (4.1) Posons mainenan T = + δ, il vien, pour d endan vers, P(τ > + d τ > ) = e λd La probabilié de défau sur [, + δ] es donc 1 λ d. P(τ < + d τ > ) = 1 e λd λ d. Alexis Fauh 133

134 4.2 Obligaion en cas de défau Nous supposerons mainenan que (λ ) R+ es un processus aléaoire réel adapé à une ceraine filraion. Le prix d une obligaion de maurié T e d insan de défau τ es donné à l insan par [ ( ] T B(, T ) =E 1 {τ>t } exp r s ds) G [ ( ] T + E Rec1 {τ T } exp r s ds) G, T, avec Rec [, 1] le aux de recouvremen e G = F σ{{τ < u}, u } la plus peie sigma-algèbre conenan l hisorique des aux ainsi que la connaissance de la probabilié de défau ou non de la conreparie. Nous allons calculer le premier erme. Soi F une variable aléaoire adapée à F T, nous avons Le choix F = exp ( [ ( E ainsi, 1 {τ>t } exp E[F 1 {τ>t } G ] = E[F 1 {τ>t } 1 {τ>} G ] = 1 {τ>} E[F 1 {τ>t } F {τ > }] = 1 {τ>} E[F 1 {τ>t } F ] P(τ > F ) E[E[F 1 {τ>t } F T ] F ] = 1 {τ>}, F F T P(τ > F ) E[F E[1 {τ>t } F T ] F ] = 1 {τ>} P(τ > F ) E[F P(τ > T F T ) F ] = 1 {τ>} P(τ > F ) [ = 1 {τ>} E F P(τ > T F ] T ) P(τ > F ) F. r s ds ) avec (4.1) nous perme de conclure r s ds) G ] = 1 {τ>t } E [ exp ( (r s + λ s )ds) [ ( ] T B(, T ) =1 {τ>t } E exp (r s + λ s )ds) F [ ( ] T + E Rec1 {τ T } exp r s ds) G, T. Alexis Fauh 134 F ],

135 Dans le cas où Rec =, c es-à-dire qu il n y a pas de recouvremen possible, nous avons, [ ( ] T B(, T ) = 1 {τ>t } E exp (r s + λ s )ds) F, T. (4.2) L équaion (4.2) es inuiivemen correce. En effe, plus l inensié λ, c es-à-dire la probabilié d avoir un défau, es imporane, plus le prix de l obligaion va baisser. Nous allons présener le cas où le aux comme l inensié son diffusés par un processus d Ornsein Ulhenbeck, il s agi du modèle de Vasicek. Proposiion 4.1. Soi B(, T ) une obligaion de maurié T avec (r ) R+ (λ ) R+ modélisés par des processus d Ornsein Ulhenbeck e avec (W 1 ) R+ e (W 2 ) R+ alors, { dr = ar d + σdw 1 dλ = bλ d + ηdw 2, deux mouvemens browniens sandards el que dw 1 dw 2 = ρd, B(, T ) = 1 {τ>} exp( C(a,, T )r C(b,, T )λ ) ( σ 2 exp C 2 (a, s, T )ds + η2 2 2 ( exp ρση C(a, s, T )C(b, s, T )ds avec C(κ,, T ) = E[ r s ds F ] = 1 κ (e κ(t ) 1). C 2 (b, s, T )e b(t s) ds Preuve 4.1. Nous allons procéder comme pour le pricing par maringale des zéros-coupons. Calculons les quaniés r s ds e λ s ds. r s ds = 1 ( ) σw 1 a r = σ ( ) W 1 e a( s) dws 1 a = σ a (1 e a( s) )dw 1 s. Alexis Fauh 135 ), )

136 Ainsi, r s ds = r s ds r s ds = σ a = σ a (1 e a(t s) )dw 1 s σ a ( = σ a (e a(t ) 1) (e a(t s) e a( s) )dw 1 s + = 1 a (e a(t ) 1)r σ a e a( s) dw 1 s σ a (1 e a( s) )dw 1 s (e a(t s) 1)dW 1 s (e a(t s) 1)dW 1 s ) (e a(t s) 1)dW 1 s Nous avons le même résula pour λ naurellemen. Il es clair que nous avons [ ] T E r s ds + λ s ds F = C(a,, T )r + C(b,, T )λ, pour C(κ,, T ) une foncion dépendan de, T e du drif κ. La variance es quan à elle donnée par Var ( ) r s ds + λ s ds F ( ) ( T ) ( T T =Var r s ds F + Var λ s ds F + 2Cov = σ2 (e a(t s) 1) 2 ds + 2ρ ση a 2 ab + η2 b 2 (e b(t s) 1) 2 ds =σ 2 C 2 (a, s, T )ds + 2ρση Il es clair que la quanié r s + r s ds, (e a(t s) 1 )(e b(t s) 1)ds ) λ s ds F C(a, s, T )C(b, s, T )ds + η 2 C 2 (b, s, T )ds. λ s ds es une gaussienne, for de nos résulas Alexis Fauh 136

137 précédens, nous avons donc [ ( B(, T ) = 1 {τ>} E exp exp [ 1 2 Var ( r s ds r s ds λ s ) F ] λ s ) F ] =1 {τ>} exp( C(a,, T )r C(b,, T )λ ) ( σ 2 exp C 2 (a, s, T )ds + η2 ) T C 2 (b, s, T )e b(t s) ds 2 2 ( ) exp ρση 4.3 Modèle de firme C(a, s, T )C(b, s, T )ds Il s agi mainenan de poser le problème légèremen différemmen, mais finalemen les hypohèses resen les mêmes. Nous considérons une firme avec une unique dee de payoff erminal promi L, en d aure erme, il s agi d un zérocoupon de maurié T e de valeur faciale L >. La capacié à rembourser la dee es déerminée pour la valeur oale des acifs de la firme en T, V T. Nous supposerons que le défau peu se produire en T uniquemen, i.e. {V T < L}. Le emps d arrê associé es donc La valeur de recouvremen es donc Le payoff d un el produi es donc τ = T 1 VT <L + 1 VT L Rec T = V T 1 {VT <L} + L1 {VT L} g(t ) = min(v T, L) = L max(l V T, ) = L (L V T ) +. Le dernier erme nous monre que dans ce framework, le problème es équivalen au pricing d un pu écri sur la valeur de l enreprise, de srike L e de maurié T. Noons mainenan D(, T ) le prix à l insan < T de l obligaion D(, T ) = LB(, T ) P (), (4.3) où P es le prix d un pu de srike L e de maurié T. (4.3) peu égalemen êre vu que la valeur de la dee de l enreprise. Alexis Fauh 137.

138 4.3.1 Modèle de Meron Dans le modèle de Meron [Me74], nous supposons que la valeur de la firme es diffusée sous la probabilié risque neure Q par dv = (r κ)v d + σdw. Le pricing de l obligaion se ramenan au pricing d un pu (4.3), nous avons direcemen, D(, T ) = V e (κ(t ) φ(d + ) + LB(, T )φ(d ), < T, où d ± = (κ r) ± 1 2 σ2 (T ) ln(v /L) σ. T Modèle de Black e Cox Par consrucion, le modèle de Meron suppose uniquemen que le défau peu inervenir à maurié, or, ce n es pas le cas. Le modèle de Black e Cox [BlCo76] es un prolongemen du modèle de Meron. Le modèle prend en compe plusieurs poins : l engagemen du vendeur, la subordinaion de la dee e les resricions sur la vene d acifs. La diffusion de la valeur de la firme rese inchangée dv = V ((r κ)d + σdw ). La clause d engagemen perme aux déeneurs de la dee de forcer l enreprise à déposer le bilan ou se réorganiser en foncion du sandard éabli. Ce sandard es défini dans le modèle de Black e Cox par une barrière v = Ke γ(t ) pour K une consane posiive. Tan que la valeur de la firme es au dessus de cee barrière, la firme coninue de plein de droi, le cas conraire, les acionnaires prennen le relais e le défau a lieu. Noons plus généralemen v = L insan de défau es donc donné par { v pour < T L pour = T. τ = inf{ [, T ], V v }. Nous avons rois cas, le premier correspondan à l émeeur ne fai pas défau e nous ouchons L, le second, l émeeur passe sous la barrière e nous ouchons Alexis Fauh 138

139 β 2 V τ, enfin, l émeeur ne peu pas recouvrir sa dee en T e nous ouchons β 1 V T, avec β 1, β 2 deux consanes dans [, 1]. L équaion de valorisaion prend alors la forme D(, T ) =E(Le r(t ) 1 {τ>t,vt L} F ) + E(β 1 V (T )e r(t ) 1 {τ T,VT <L} F ) + E(Kβ 2 e γ(t τ) e r(τ ) 1 {<τ<t } F ). Dans le cas pariculier où β 1 = β 2 = 1, les aueurs de [BlCo76] monren que D(, T ) = I 1 (, T ) + I 2 (, T ) avec où e I 1 (, T ) = LB(, T )[φ(d 1 ) V 2a τ φ(d 2 )] I 2 (, T ) = V [V θ+ζ φ(d 3 ) V θ ζ φ(d 4 )], I 1 (, T ) = ln(v /L) + ν(t ) σ T I 2 (, T ) = ln v2 ln(lv ) + ν(t ) σ T I 3 (, T ) = ln( v /V ) + ζσ 2 (T ) σ T I 4 (, T ) ln( v /V ) ζσ 2 (T ) σ, T ν = r κ 1 2 σ2 m = r κ γ 1 2 σ2 ζ = 1 σ 2 m 2 + 2σ 2 (r γ) θ = m σ Credi Defau Swap Un Crédi Défau Swap (CDS) es un produi visan à couvrir les risques de crédi. Il s agi d un insrumen fondamenal sur le marché des dérivés de crédi. Les CDS que nous considérerons son single name, i.e. qu ils son écris sur un seul sous-jacen e, permeen donc de se couvrir du risque de défau de celui Alexis Fauh 139

140 ci, de manière dynamique. A l insar des noes publiées par les agences de raing, les CDS jouen égalemen un rôle d indicaeur sur la probabilié de défau de la firme ou de l Ea émean de la dee. L acheeur du produi de couverure va payer régulièremen un monan fixé à l avance jusqu à l insan défau, celui ci n arrivan pas, il payera jusqu à maurié de produi. Le cas conraire, i.e. l insan défau arrivan avan T, c es l émeeur du conra de couverure que va payer selon des crières définis lors de la signaure du conra, selon l éa de défau de l enié, il s agi de la parie floane. Il se compose de deux jambes. La première (premium leg) correspond à l acheeur de la proecion à l insan conre un défau possible à l insan T i+1. L agen paye un monan fixe S aux insans T i+1,, T n = T. La valeur acualisée de la première jambe es donc où V (, T ) = E = [ n 1 k=i n 1 k=i ] e T k+1 r sds S (T k+1 T k )1 {τ>tk+1 } G [ ] S (T k+1 T k )E e T k+1 r sds 1 {τ>tk+1 } G n 1 = S (T k+1 T k )B(, T k+1 ) k=i = S B(, T i, T n ) B(, T k ) = 1 {τ>} E [ e T k ] (r s+λ s)ds F es le prix d une obligaion pouvan faire défau., T Le seconde jambe es appelée la jambe de proecion, il s agi donc de la parie incomban au vendeur du produi. Le vendeur du conra paye 1 Rec i+1 en cas de défau à l insan T i+1. La valeur de cee parie es E [ n 1 k=i e T k+1 ] r sds 1 (Tk,T k+1 ](τ)(1 Rec i+1 ) G où Rec k+1 es le aux de recouvremen en T k+1. Dans le cas où ce aux n es pas aléaoire mais déerminé à l avance e consan, la valeur de cee proecion devien [ n 1 ] (1 Rec)E e T k+1 r sds 1 (Tk,T k+1 ](τ) G. k=i Alexis Fauh 14

141 L inconnue principale de ce problème es quel monan S payé par l acheeur es juse. En égalisan les deux jambes, nous avons S = [ 1 n 1 B(, T i, T n ) E e T k+1 k=i ] r sds 1 (Tk,T k+1 ](τ)(1 Rec i+1 ) G. Si τ prend une valeur dans le enor {T 1,, T n } e que le aux de recouvremen es déerminise e consan, la valeur à l équilibre se rédui à S = 1 Rec [ n 1 B(, T i, T n ) E e T k+1 k=i 4.5 Credi Valuaion Adjusmen ] r sds 1 [,T ] (τ) G. Un CVA (Credi Valuaion Adjusmen) correspond à la différence enre la valorisaion d un produi pour lequel on suppose qu il n y a pas de risque de défau de la conreparie conre la valorisaion dans le cas d un défau possible, la vraie valeur. En noan V la valeur acuelle d un produi financier CVA() = V risk-free () V (). (4.4) Si V es une dérivée de maurié T e de payoff φ elle es donnée héoriquemen par T V (, T ) = E Q [ φ(u)d(, u) F ] u= où D es le faceur d acualisaion e Q la probabilié risque-neure. Il exise plusieurs ypes de CVA, si nous considérons que c es la conreparie qui fai défau, on parle bien de CVA. S il s agi de l invesisseur qui fai défau, qu il n es pas capable de rembourser la conreparie, on parle de DVA pour Debi Valuaion Adjusemen. Les CVA e DVA supposen donc qu un seul défau es possible avan la dae de livraison T, on parle de CVA unilaéral. Si le défau peu se produire des deux coés, on parle de CVA bilaéral. Nous nous plaçons dans le cas d un défau possible de la conreparie à l insan τ c T, nous allons déerminer la forme générale d un CVA unilaéral. Commençons par remarquer que la valeur du produi peu s écrire V D (, T ) =V (, T )1 τc>t + V (, τ c )1 <τc T + 1 <τc T [D(, τ c )(Rec(V (τ c, T )) + + (V (τ c, T )) )]. Alexis Fauh 141

142 Le premier erme correspond à ce que l on ouche si le défau n a pas lieu. Le second à la somme que l on ouche avan que le défau se produise. Le roisième à ce que l on ouche une fois que le défau es inervenu, Rec es le aux de recouvremen, soi la conreparie a encore des liquidiés pour rembourser une proporion Rec, soi rien du ou. Enfin, le dernier erme avec le min correspond à ce que va devoir payer l invesisseur si la valeur es négaive. Si cela peu aider le leceur remarquons que (x) = ( x) +. On passe mainenan sous l espérance risque neure où l on noe pour alléger E = E Q V D (, T ) =E =E =E { V (, T )1 τc>t + V (, τ c )1 <τc T } + 1 <τc T [D(, τ c )(Rec(V (τ c, T )) + + (V (τ c, T )) )] G { V (, T )1 τc>t + V (, τ c )1 <τc T } + 1 <τc T [D(, τ c )( (1 Rec)(V (τ c, T )) + + V (τ c, T ))] G { V (, T )(1 τc>t + 1 <τc T ) 1 <τc T D(, τ c )(1 Rec)(V (τ c, T )) + G } =E[V (, T ) F ] E [1 <τc T D(, τ c )(1 Rec)(V (τ c, T )) + G ]. (4.5) En comparan les équaions (4.4) e (4.5), on en dédui que le CVA unilaéral es ] [1 <τc T D(, τ c )(1 Rec)(V (τ c, T )) + G UCVA() = E Il s agi donc de l espérance du Loss Given Defaul (LGD = 1-Rec) de l exposiion acualisée en cas de défau. Pour le cas d un DVA unilaéral, nous noons τ I l insan de défau de l invesisseur e déduisons des résulas précédens sur le UCVA que V D (, T ) =V (, T )1 τi >T + V (, τ I )1 <τi T + 1 <τi T [D(, τ I )((V (τ c, T )) + + Rec(V (τ I, T )) )] Alexis Fauh 142.

143 e donc UDVA() = E [1 <τi T D(, τ I )(1 Rec)(V (τ c, T )) G ]. Passons mainenan au cas le plus inéressan, le plus réalise finalemen, celui où ou le monde peu faire défau. Nos avons rois cas possibles : La conreparie e l invesisseur ne fon pas défau avan la maurié. La conreparie fai défau à l insan τ c, avan l invesisseur. L invesisseur fai défau à l insan τ I, avan la conreparie. En se servan des résulas sur les CVA e DVA, nous pouvons écrire pour chacun de ces rois cas les correspondances V τc>t τ I >T = V (, T ). V τc T τ c<τ I = V (, τ c ) + D(, τ c )(Rec c (V (τ c, T )) + + (V (τ c, T )) ). V τi T τ I <τ c = V (, τ I ) + D(, τ I )((V (τ I, T )) + + Rec I (V (τ I, T )) ). Alexis Fauh 143

144 En passan sous l espérance risque neure V D (, T ) =E =E =E { V (, T )1 τc>t τ I >T + 1 τc T τ c<τ I [V (, τ c ) + D(, τ c )(Rec c (V (τ c, T )) + + (V (τ c, T )) )] } + 1 τi T τ I <τ c [V (, τ I ) + D(, τ I )((V (τ I, T )) + + Rec I (V (τ I, T )) )] G { 1 τc>t τ I >T V (, T ) + 1 τc T τ c<τ I [V (, τ c ) + (V (τ c, T ) (1 Rec c )(V (τ c, T )) + D(, τ c ))] } + 1 τi T τ I <τ c [V (, τ I ) + (V (τ I, T ) (1 Rec I )(V (τ I, T )) D(, τ I ))] G { (1 τc>t τ I >T + 1 τc T τ c<τ I + 1 τi T τ I <τ c )V (, T ) 1 τc T τ c<τ I (1 Rec c )(V (τ c, T )) + D(, τ c ) } 1 τi T τ I <τ c (1 Rec I )(V (τ I, T )) D(, τ I )) G =E(V (, T ) F ) E [LGD c 1 τc T τ c<τ I (V (τ c, T )) + D(, τ c ) G ] E [LGD I 1 τi T τ I <τ c (V (τ I, T )) D(, τ I ) G ]. On en dédui qu un CVA bilaéral es BCVA() =E [LGD c 1 τc T τ c<τ I (V (τ c, T )) + D(, τ c ) G ] 5 Mesure de risque E [LGD I 1 τi T τ I <τ c (V (τ I, T )) D(, τ I ) G ]. Avan de renrer dans le vif du suje, nous présenons la noion de mesure de risque monéaire. Il s agi d une foncion ρ vérifian les deux propriéés suivanes pour ou X e Y deux v.a.r., la valeur de deux porefeuilles Monoone : Si X Y, alors ρ(x) ρ(y ). Invarian : Si m R, alors ρ(x + m) = ρ(x) m. Alexis Fauh 144

145 La monoonicié implique que le risque décroî à mesure que le payoff du porefeuille croî. Pour expliquer la propriéé d invariance supposons que m es le monan correspondan à un invesissemen sur un aux sans risque, alors le risque du porefeuille X + m es rédui de m. Ce n es pas ou à fai suffisan pour avoir une bonne mesure de risque, ce que l on appelle une mesure cohérene du risque, il nous fau rajouer deux propriéés Convexe : Pour ou λ 1 ρ(λx + (1 λ)y ) ρ(x) + (1 λ)ρ(y ). Homogène : Pour ou λ, ρ(λx) = λρ(x). La propriéé de convexié se comprend comme une minimisaion du risque par diversificaion. L homogénéié es simplemen qu en valeur, le porefeuille présene même les risques. 5.1 Value A Risk Quelle es la pere maximale de mon porefeuille? C es en résumé ce à quoi la VaR, pour Value a Risk, ene de répondre. Il s agi d une mesure de risque, la plus connue. Concrèemen on déermine le niveau de pere d un acif ou d un porefeuille pour un cerain niveau de probabilié pré-fixé sur une période bien définie. Par exemple, si la Var sur un porefeuille es de 1M$ sur une semaine à un niveau de confiance de 99%, alors, nous avons une chance sur cen d avoir une elle pere la semaine à venir. Formellemen, en noan α le risque, où 1 α le niveau de confiance, la Var d horizon T sur l acif/porefeuille de rendemens r T es (les deux équaions son équivalenes) P(r T V ar(α, T )) = α P(V ar(α, T ) r T ) = 1 α. Il a rois moyens de déerminer la VaR, hisoriquemen, par Mone-Carlo ou paramériquemen. VaR hisorique. Pour déerminer la Var par cee méhode, il suffi de prendre en compe l hisorique des rendemens r. Supposons par exemple que nous cherchons la VaR à 99% sur T = 1 jours, nous n avons qu a rouver le Alexis Fauh 145

146 quanile correspondan. En rian les données, r (1) r (2) r (1), nous avons V ar(.1, 1) = r (1). C es une méhode non paramérique, c es-à-dire que nous n avons fai aucune hypohèse de disribuion sur les rendemens e que nous prenons en compe oues les caracérisiques réelles de la série financière prise en compe. Néanmoins, pour calculer la VaR hisorique, nous ne prenons qu un échanillon, la saisique n es pas forcémen représenaive de ce qu il va se passer dans le fuur. Prendre un hisorique grand pour avoir plus d informaion e donc avoir l esimaeur convergean vers la valeur héorique n es pas forcémen une bonne idée, en effe, les variaions rès loinaines (par exemple d il y a plus de 3ans) ne son pas forcémen significaives. Pour améliorer ce moyen de calculer la VaR nous pouvons affecer des poids aux observaions, plus les données son récenes, plus on leur donne de l imporance dans le calcul. Egalemen, nous pouvons irer des échanillons boosrap. VaR paramérique. Avec la méhode précédene, nous n avions qu une saisique issue d un échanillon, qui ne converge pas forcémen vers la valeur héorique. Nous allons donc supposer que les données suiven une loi bien pariculière. Supposons que la variable r T soi de moyenne µt e de variance σ 2 T, alors P(r T V ar(α, T )) = P = α. ( rt µt Il n y a plus qu a inverser la probabilié σ T ) V ar(α, T ) µt σ T V ar(α, T ) = µt + z α σ T. (5.1) où z α = F 1 (α) avec F la foncion de répariion de r T. On pourra regarder dans des ables saisiques la valeur de F 1. Noons que la VaR es principalemen foncion de la volailié puisque les rendemens son en moyenne proches de zéro. De la on peu en déduire une sore de formule de récurrence en emps, en effe, d après (5.1) V ar(α, T 1 ) z α σ T 1 V ar(α, T 2 ) z α σ T 2. Alexis Fauh 146

147 De la on en dédui V ar(α, T 2 ) = T2 T1 V ar(α, T 1 ). La connaissance de la VaR à 1 jour nous perme donc de connaîre la Var sur 1 jours par exemple. Cela peu simplifier les calculs. Par le même principe que (5.1), on en dédui le résula pour un porefeuille de N acifs. En fai, on peu avoir un résula aussi simple seulemen pour le cas gaussien mulivarié de marice de covariance Σ, c es pour cela que par abus de langage, on parle de méhode variance/covariance, vrai uniquemen dans le cas gaussien, malheureusemen rop uilisé. Dans le cas de variables corrélés, il n exise pas forcémen de disribuion joine comme pour le cas gaussien e nous avons besoin de sorir l arillerie des copules, cela sera vu dans un aure cours. Cee méhode présene deux risques d erreur. La première es de considérer une disribuion non réalise, par exemple une disribuion gaussienne. La VaR dans ce cas sera sous-esimée car la loi normale ne présene pas de queue épaisse. Le second risque pore sur l esimaeur de la variance/covariance. Comme nous l avons vu, la VaR es principalemen décrie par la variance de la série financière, non-consane, une mauvaise esimaion de celle-ci induira une VaR non cohérene. VaR Mone-Carlo. Pour résumer, il s agi d un mix des deux méhodes précédenes. La VaR hisorique se confrone au problème des données disponibles e de leurs significaiviés. La VaR paramérique suppose quan à elle de connaîre la disribuion des données e surou de pouvoir inverser la disribuion pour faire le calcul. Si l on suppose que les données son gaussiennes, pas de problème, mais cela n es pas réalise avec les fais sylisés. Si l on suppose une disribuion plus complexe, nous ne connaissons pas forcémen la densié, par exemple avec le modèle de marche aléaoire mulifracal (MRW). Supposons que nore choix de disribuion pore sur la MRW, pour esimer la VaR dans ce cas, la seule possibilié es de générer n réalisaions, e de déerminer la VaR pour chacune d enre elles, le résula éan la moyenne V ar(α, T ) = 1 n V ar i (α, T ) n i=1 Alexis Fauh 147

148 où V ar i correspond à la Var de la i ème réalisaion d une rajecoire. Le poin noir de cee méhode es la complexié de mise en oeuvre, le choix de la disribuion, l esimaion des paramères correspondans e, le coû de calcul. Enfin, le choix de la disribuion es basé sur des données passées, il n es pas improbable que la disribuion ainsi que les paramères changen dans le fuur. Ce dernier poin es valable pour les deux aures méhodes. La VaR n es pas une mesure de cohérene, elle ne vérifie pas l hypohèse de convexié. La diversificaion des posiions ne va pas forcémen diminuer le risque. Comme nous l avons déjà di, la VaR ne donne aucune informaion sur le niveau de la pere, seulemen la probabilié d occurrence. Il exise d aure mesure de risque, plus ou moins inéressane, la plus connue es l expeced shorfall qui prend en compe ces deux derniers poins. 5.2 Expeced Shorfall L expeced shorfall, égalemen appelé condiional value a risk es une mesure de risque cohérene, elle vérifie les propriéés suffisanes. Noons ES(α,T) l expeced shorfall de niveau α sur T, alors ES(α, T ) = 1 α α V ar(x, T )dx. Il s agi donc d une moyenne de VaR pour différen niveau α. Dans le cas où la variable aléaoire considérée es coninue, nous pouvons monrer que ES(α, T ) = E(r T r T V ar(α, T )). Pour êre comple sur cee parie il faudrai inroduire des noions de décision dans l incerain, d inégrale de Choque par exemple. Dans ous les cas, cela rese rès héorique, il fau backeser les résulas e que le niveau α es bien souven imposé, enre aure, par vore fuur managemen. 5.3 Backesing Comme pour une sraégie de rading, nous avons besoin de backeser nore mesure de risque, es-ce qu elle es correce ou non. L idée es de déerminer nore mesure on line, pour un cerain niveau de risque α es-ce que nous avons bien les dépassemens prévus. Graphiquemen, si nous raçons les rendemens avec les Alexis Fauh 148

149 inervalles des VaR par exemple, il s agi de voir si les rendemens dépassen, comme prévu, ces inervalles. Si nous avons choisi de prendre une disribuion gaussienne, nous allons sous-esimer les dépassemens. Si nous avons choisi une loi rop exrême, nous allons sur-esimer les dépassemens, mais finalemen, cela n es pas forcémen plus mal. Remarquons ou de même un gros inconvénien de ce ype de mesure. Supposons que ou cela foncionne bien, nous avons la probabilié exace de passer sous une ceraine pere, mais, de combien va êre la pere, cela es une aure quesion. 5.4 Drawdown Le drawdown représene la pere de richesse par rappor au plus hau niveau de richesse aein par la sraégie. Si nous noons (V ) la valeur du porefeuille, le drawdown es défini par D = max s V s V. Nous représenons graphiquemen cee quanié sur (13). Il faudrai des drawdowns les plus faibles possible, cela reviendrai à dire que la sraégie ne cesse d empocher des gains. Un drawdown posiif es donc équivalen à une pere e le maximum drawdown peu êre vu comme une mesure de risque. Pour pouvoir modéliser cee quanié e donc de pouvoir déerminer des probabiliés de pere, il fau dans un premier emps rouver la disribuion. Pour ce faire, nous pouvons appliquer ce que l on appelle un es d adéquaion, il en exise énormémen. Nous pouvons différencier les ess paramériques des ess non paramériques. La différence es que dans le premier cas nous supposons une disribuion, par exemple si nous supposons que les rendemens son gaussiens, nous pouvons uiliser le es de Jarque Bera, Lilliefors ou Shapiro-Wilk enre aures. Nous présenons ici des ess non paramériques, c es-à-dire que nous ne supposons aucune disribuion en pariculier. L un des plus connu es le es de Kolmogorov-Smirnov. Il s appuie sur la disance D définie par, D n = n max F n (x) F (x) x où F n (x) = 1 n ni=1 1 xi x es la foncion de répariion empirique de la série (x 1,, x n ) e F es la foncion de répariion à laquelle on souhaie comparer nore échanillon. Sous l hypohèse H : F n = F, la saisique D n converge vers la loi de Kolmogorov-Smirnov, Alexis Fauh 149

150 PnL ime Figure 13 En noir la valeur du porefeuille, en rouge les drawdowns (négaif) correspondans. P(D n > c) = 2 ( 1) n 1 e 2n2 c 2 n=1 Par la consrucion de D n, on voi bien que le es es happé par les valeurs cenrales e que les queues de disribuions ne son pas bien prises en compe par ce es. Le es suivan es graphique, cela perme de prendre en compe les valeurs exrêmes, mais la conreparie es que cela rese subjecif. Soi (Y, < n) une série d observaions. On souhaie vérifier si elle sui une ceraine loi L de paramère θ = (θ 1,, θ d ) R d. On génère un échanillon (x 1, x 2,, x n ) de loi L e de même paramères θ que ceux rouvés sur l échanillon (y 1, y 2,, y n ). Le qq-plo es le graphique formé par les couples Q j = (q xj, q yj ) où q uj es le quanile à l ordre j de la variable u. Si les deux séries on la même loi sous jacene, alors les Q j décriven une droie. Pour faire simple, il s agi simplemen du graphe des quaniles de l échanillon observé sur un axe e des quaniles d une loi de probabilié bien choisie sur l aure axe. Naurellemen, si les deux lois sous Alexis Fauh 15

151 jacenes aux observaions son les mêmes, nous devrions avoir une droie comme graphe. On présene le qq-plo des log-rendemens du S&P 5 sur la figure (5.4) en prenan la loi normale comme loi de référence Quaniles Log Rendemens Quaniles Théoriques Quaniles Log Rendemens Quaniles Théoriques Figure 14 qq-plo des log-rendemens du S&P 5 du 13/7/1998 au 16/3/212, à gauche avec τ = 1 e à droie avec τ = 251, soi les rendemens sur des lags d une année. Le rai plein es la droie d Henry, si les observaions suivaien une loi gaussienne, les quaniles devraien êre par dessus cee droie. On consae donc que plus la fréquence choisie es basse, plus la disribuion des rendemens se rapproche de la loi normale, un bon modèle devra donc avoir cee propriéé. Un aure moyen de regarder la disribuion des rendemens financiers es simplemen de racer la disribuion empirique (5.4), F n (x) = 1 n n i=1 1 Xi <x. (5.2) Supposons mainenan pour simplifier que les drawdowns son gaussien e plus pariculièremen qu ils on comme diffusion un mouvemen brownien géomérique, soi le modèle de Black and Scholes. Par exemple nous pouvons supposer pour simplifier que le porefeuille es consiué d un seul acif de diffusion de Black and Alexis Fauh 151

152 Fn 5e 4 5e 3 5e 2 5e 1 Fn reurn reurn Figure 15 Disribuion cumulée empirique, P(δ τ X x), des log-rendemens du S&P 5, du du 13/7/1998 au 16/3/212, échelle log, à gauche τ = 1, à droie τ = 251. En noir les rendemens posiifs, en rouge les rendemens négaifs en valeurs absolues. Trai plein pour le fi gaussien. Scholes. Pour déerminer la probabilié maximum des drawdowns, nous avons besoin de faire des calculs. Cela repose principalemen sur le principe de réflexivié du mouvemen brownien. Noons M T = max T S avec ds = S (µd + σdw ), où (W ) R un mouvemen brownien sandard issu de zéro. Noons déjà que si alors X T = max T W X T comme W = par hypohèse. Inroduisons mainenan le emps d arrê p.s. τ a = inf{ R + : W = a}. Alexis Fauh 152

153 Il s agi donc du premier insan où le mouvemen brownien passe par a > W. W T éan cenré, W T à la même loi que W T. Par symérie de la loi nous avons donc P(W T W τa > τ a < T ) = P(W T W τa < τ a < T ) = 1 2. En muliplian de par e d aure par P(τ a < T ) (formule de Bayes) 2P(W T W τa > & τ a < T ) = 2P(W T W τa < & τ a < T ) = P(τ a < T ). Il es clair que si X T a alors l insan de passage τ a à eu lieu avan T soi {X T a} = {τ a < T } e donc, 2P(W T W τa > & X T a) = 2P(W T W τa < & X T a) = P(X T a) Si l insan de passage à lieu avan T comme c es le cas ici, nous avons W τa e nous pouvons conclure = a P(X T a) = 2P(W T > a & X T a) = 2P(W T > a) = P(W T > a) + P( W T > a) = P( W T > a). La disribuion du maximum du mouvemen brownien es la même que celle de la valeur absolue du mouvemen brownien P(X T a) = P( W T a) = 1 a 2πT = 2 a 2πT e 1 x 2 2 2T a e 1 x 2 2 2T, a R+. La densié es, f XT (a) = dp(x T a) da = 2 2πT 1 [, ) (a)e a2 2T, a R. Pour nore problémaique nous n avons pas besoin du maximum du mouvemen brownien mais du maximum de son exponeniel ds = S σdw Alexis Fauh 153

154 (nous faisons le cas sans drif pour commencer). Cela ne change pas grand chose en fai M T = max T S = S max T eσw = S e σ max T W = S e σx T La densié ne change donc pas, c es oujours celle du maximum du brownien. Rajouons mainenan le drif, nous pouvons par exemple par une asuce considérer le processus W = µ + W. Pour le maximum nous avons µ = σ/2 + r/σ. M T = max T S = S max T e(r 1 2 σ2 )+σw = S max T eσ W = S e max T W = S e σ X T Pour conclure, noons que la principale mesure de performance es le raio de Sharpe, avec ses défaus. Le raio de Sorino es égalemen rès connu, il s agi du raio de Sharpe mais ne considéran que les variaions négaives pour le dénominaeur, la volailié. Le raio de Calmar es quan à lui calculer avec le max drawdowns. Alexis Fauh 154

155 6 Appendix 6.1 Equaion différenielle Nous avons souven besoin de savoir résoudre des équaions différenielles, d ordre 1 comme 2, nous allons faire quelques rappels sans renrer dans la héorie Equaion du premier ordre Supposons que nous cherchons la soluion de l équaion y a(x)y = b(x). (6.1) La première éape consise à écrire l équaion homogène (EH) associée e la résoudre y a(x)y = y(x) = λe A(x) où A es la primiive de a en x. Si nous rouvons de êe la soluion de (6.1) en prenan en compe le second membre b, alors il n y a qu à faire la somme de la soluion de l équaion homogène avec celle-ci. Il s agi de la méhode de superposiion. Si nous n avons pas d idée, on peu faire la méhode de variaion de la consane, i.e. poser λ = λ(x) e faire la dérivée de la soluion précédene alors en réinjecan cela dans (6.1) y (x) = λ (x)e A(x) + λ(x)a(x)e A(x) λ (x)e A(x) + λ(x)a(x)e A(x) a(x)λ(x)e A(x) = b(x) Nous en déduisons le résula final Equaion d ordre n λ(x) = x λ (x)e A(x) = b(x) b()e A() d. Pour les équaions du second ordre, c es-à-dire du ype y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + a 1 y (x) + a y(x) = b(x) Alexis Fauh 155

156 cela es un peu plus compliqué. Nous ne considérons ici que les cas où les coefficiens son consans, a i (x) = a(x) pour ou i =,, n. La première éape consise à considérer l équaion homogène à écrire l équaion caracérisique correspondane z (n) + a n 1 z (n 1) + + a 1 z + a =, e à rouver les racines r m,, r 1 (m n) complexe de muliplicié respecive λ i. L espace vecoriel soluion es alors { m } H = P k (x)e λkx, Q k C rk 1[z] k=1 en d aure erme, y(x) =R 1 (x)e x 1x + + R p (x)e xpx + (C 1,1 cos (I(z 1 )x) + C 1,2 sin (I(z 1 )x)) e R(z 1)x + + (C q,1 cos (I(z q )x) + C q,2 sin (I(z q ))) e R(zq)x où x i, i = 1,, p son les racines réelles de muliplicié l j, z i, i = 1,, q les racines complexes de muliplicié m j e R i des polynômes réels de degré l i 1 e C i,1, C i,2 des polynômes réels de degré m i 1. Pour prendre en compe le second membre, deux possibiliés, soi il a une bonne forme, soi pas, auquel cas on fai la méhode de variaion des consanes. Si bonne forme, i.e. du ype b(x) = P (x) cos(βx)e α x ou b(x) = P (x) sin(βx)e αx avec P un polynôme de degré d alors on va chercher une soluion pariculière du ype y(x) = (Q(x) cos(βx) + R(x) sin(βx)) e αx où Q e R son des polynômes de degré d + m avec d la muliplicié de la racine complexe de l équaion caracérisique (donc égal à si α + iβ n es pas soluion) Equaion de Riccai Les équaions dies de Riccai son du ype y = a(x) + b(x)y + c(x)y 2. Avec les coefficiens a e c différens de zéro. Par les méhodes usuelles, nous ne pouvons pas la résoudre, il fau un peu ravailler dessus. La première éape es de faire le changemen v = c(x)y, on obien alors v = v 2 + (b(x) + c (x)/c(x)). Alexis Fauh 156

157 En posan ensuie v = u /u u (b(x) + c (x)/c(x))u + a(x)c(x)u =. Cee dernière équaion es soluble simplemen par les méhodes habiuelles. On peu alors rerouver la soluion de l équaion iniiale y = u /(c(x)u). Cee équaion es enre aure uile pour le modèle CIR dans la valorisaion de zéro-coupon ainsi que dans le modèle à volailié sochasique de Heson. 6.2 Calcul sochasique e applicaions Théorème de Girsanov Le héorème de Girsanov nous indique qu un mouvemen Brownien B par rappor à la probabilié P, de drif λ, i.e. B + λ, es un mouvemen brownien sans drif sous une aure probabilié. Soi L es une variable aléaoire posiive sur l espace de probabilié (Ω, F, P) el que E(L) = 1. Alors Q = E(1 A L) es une nouvelle probabilié. On dira que L es la densié de Q par rappor à P e dq dp = L. Si l on considère une variable aléaoire X défini sur (Ω, F, Q), nous avons E Q (X) = = Ω Ω XdQ XLdP = E(XL). En pariculier, si L es une F -maringale sous P, i.e. E P (L T F ) = L alors Q T (A) = E P (E P (L T F )1 A ) = E P (L 1 A ). Lemme 6.1. Soi (M ) R+, c es une F -maringale sous Q ssi (L M ) R+ es F -maringale sous P. Alexis Fauh 157

158 Preuve 6.1. Supposons que M soi une Q-maringale. Pour ou s T e pour ou A F s on E P (L M 1 A ) = E Q (M 1 A ) = E Q (M s 1 A ) = E P (Z s M s 1 A ), ainsi, ZM es une P-maringale, la preuve de la réciproque éan similaire. Considérons la suie (X 1,, X n ) de variables gaussiennes cenrées réduies indépendanes sur (Ω, F, P). Pour ou (µ 1,, µ n ) R n, ainsi, Posons ( ) ( n n n µ 2 E exp µ i X i = E(exp(µ i X i )) = exp i i=1 i=1 i=1 2 ( ( )) n E exp µ i X i µ2 i = 1. i=1 2 ( ) n Z(ω) = exp µ i X i (ω) µ2 i, i=1 2 ) = exp 1 ( n ) µ 2 i, 2 i=1 alors nous avons une nouvelle probabilié Q sur (Ω, F), Q(dω) = Z(ω)P(dω), soi, Q(A) = E P (Z1 A ) = A Z(ω)P(dω). La mesure Q es bien une probabilié sur (Ω, F ) puisque E P (Z) = 1. Pour oue la suie, nous posons ( ) Z m = exp mw m2. 2 Théorème 6.1. (Formule Cameron-Marin) Sous la mesure Q m T, le processus W : W m, T es un mouvemen Brownien. Preuve 6.2. Remarquons que les filraions F W e F W son ideniques pour ou T. Fixons λ R e posons L λ = exp(λ W λ 2 /2). Alexis Fauh 158

159 Pour ou s T e pour A F W s, Ainsi, E Q (L λ 1 A ) = E P (L λ Z 1 A ) = E P (exp ( λ W λ 2 /2 + mw m 2 /2 ) 1 A ) = E P (exp ( λw λm λ 2 /2 + mw m 2 /2 ) 1 A ) = E P (exp ( (λ + m)w (λ + m) 2 /2 ) 1 A ) = E P (exp ( (λ + m)w s (λ + m) 2 s/2 ) 1 A ) = E P (L λ s Z s 1 A ) = E Q (L λ s 1 A ). E Q (L λ F W s ) = L λ s, s T. L λ es donc une (F W )-maringale pour ou λ R. Le héorème de caracérisaion de Paul Lévy nous perme de conclure. D après le résula précéden, on sai que l EDS Z : = 1 + θ(s)z s dw s ( = exp θ(s)dw s 1 2 ) θ 2 (s)ds es une (F W )-maringale. Théorème 6.2. (Girsanov) Sous la probabilié Q, le processus W = W es un mouvemen brownien. θ(s)ds, T Preuve 6.3. D après (6.1), on monre que S W es une maringale sous P e par applicaion du lemme, W es une maringale sous Q. De plus, il es clair que nous avons W =. On en dédui que sous Q, W es une maringale coninue de croche W =, soi un mouvemen Brownien. Alexis Fauh 159

160 6.2.2 Changemen de numéraire Nous allons rappeler succincemen l un des principaux résulas en erme de valorisaion de produis dérivés, le changemen de numéraire. Un numéraire es un processus sochasique posiif (N ) R+ adapé à la filraion (F ) R+ qui peu êre vu comme une unié de référence. Le prix d un acif S de numéraire N es en général donné par S = S N,. L un des exemples les plus connus e les plus uilisés es l acualisaion ( ) N = exp r s ds où r es le aux d inérê sans risque, déerminise ou aléaoire. Dans ce cas, S = S ( ) = exp r s ds S N es le prix acualisé de l acif en =. Sur le marché des changes, nous pouvons par exemple prendre N = R, la monnaie érangère. Sur le marché des aux, nous prendrons le numéraire-forward. L un des objecifs quand on fai un changemen de numéraire es de rouver la probabilié risque neure Q elle que sous cee mesure, S = S /N soi une maringale. On associe à un numéraire N le changemen de probabilié suivan : Soi Q la probabilié risque-neure elle que le processus (N R ) R+ es une Q-maringale. Soi Q N définie par Q N F = (N R )Q F. Proposiion 6.1. Soi (S ) R+ le prix d un acif financier e N un numéraire. Le prix de S dans le numéraire N, (S /N, T ) es une Q N - maringale. Preuve 6.4. Si S es un processus de prix, le processus acualisé S := S R es une Q-maringale. Ainsi, S /M es une Q N -maringale si (S /N ) N R = R S es une Q-maringale. Un exemple d uilisaion du changemen de numéraire apparaî dans le calcul d une opion avec le modèle Black & Scholes. Le erme E Q (S T e rt 1 A ) se déermine Alexis Fauh 16

161 rès facilemen. Sous Q, le processus N = S e r /S es une maringale posiive d espérance 1, en posan dq = N d Q, nous avons E Q (S T e rt 1 A ) = E Q(S 1 A ) = S Q(ST A). Bien enendu, sous Q ou Q, la dynamique de S n es plus la même, nous devons donc la déerminer Théorème de Feynman-Kac Théorème 6.3. Soi Φ une foncion coninue e u une foncion de classe C 1,2 à dérivée en x bornée sur [, T ] R soluion du problème, Alors ( u + µ u x + 1 ) 2 u 2 σ2 (, ρ) ρ x 2 u(, ρ) = u(t, ρ) = Φ(ρ) es une maringale locale. De plus, si 1. Mσ(,ρ) ρ L 2 [, T ], ou 2. M uniformémen bornée, M = u(, ρ )e ρsds, [, T ] alors M es une (vraie) maringale e la soluion de ce problème es donnée par, [ ] u(, ρ ) = E Q e T ρ sds Φ(r T ) F, Preuve 6.5 (Preuve). Il es clair que M es de classe C 1,2, alors, dm = ( u (, ρ ) + µ u ρ (, ρ ) u 2 σ2 ρ (, ρ ) ρ 2 u(, ρ ) + u ρ (, ρ )e = u ρ (, ρ )e ρsds σ(, ρ )db ρsds σ(, ρ )db. ) e ρsds d Alexis Fauh 161

162 Ainsi, M es bien une maringale locale. En rajouan l une des deux condiions, nous avons une maringale. Ensuie, comme M T = Φ(ρ T )e ρudu nous avons, u(, ρ )e T ρudu = E Q [exp( ρ u du)φ(ρ T ) F ]. On ermine la preuve en muliplian par e ρudu. 6.3 Pricing d opion par ransformée de Fourier La ransformée de Fourier Ff d une foncion inégrable f de R dans R es définie pour ou k par Ff(k) = e ikx f(x)dx. La foncion caracérisique d une variable aléaoire X es la ransformée de Fourier de sa densié p φ(k) = E(exp(ikX)) = e ikx p(x)dx, k R. Dans l espace de Fourier, l opéraeur de différeniaion devien une muliplicaion par ik, pour une foncion f différeniable, nous avons, Ff (m) (k) = ( ik) m F(k), k R. Enfin, la ransformée de Fourier inverse es donnée par f(x) = 1 e ikx Ff(k)dk 2π Il es possible de monrer que oue variable aléaoire X inégrable au sens de Fourier e de foncion caracérisique φ, adme une densié de probabilié faible donnée pour ou ξ > par p(x) = 1 ξi+ e ikx φ(k)dk. 2π ξi Alexis Fauh 162

163 En erme de cee probabilié p, nous pouvons donc écrire pour ou φ suffisammen régulier E(φ(X)) = 1 ξi+ ( ) φ(k) e iky φ(y)dy dk. 2π ξi Si nous prenons le cas pariculier de φ(y) = 1 > pour x R nous avons alors P(X > x) = 1 ξi+ ( ) φ(k) e iky dy dk 2π ξi x = 1 ξi+ e ikx 2πi ξi k φ(k)dk. En faisan endre ξ vers +, par applicaion du héorème des résidus de Cauchy nous avons P(X > x) = π lim e ikx φ(k) dk. ε + k >ε ik En remarquan que nous avons lim ε + k >ε e ikx φ(k) dk = 2 lim R ik ε + ε P(X x) = π ( e ikx ) φ(k) dk, ik ( e ikx ) φ(k) R dk (6.2) ik Proposiion 6.2. Soi (S ) R+ le prix d un acif financier. Nous considérons un call européen de maurié T e de srike K de sous-jacen S. En noan x = ln(s ), la valeur du call à l insan = es donnée par C(, S, T, K) = S Π 1 Ke rt Π 2 où les pseudo-probabiliés Π 1 e Π 2 son données par Π 1 = π Π 2 = π où φ = E[exp(iux T )]. ( e iuk ) φ T (u i) R du iuφ T ( i) ( e iuk ) φ T (u) R du iu Alexis Fauh 163

164 Preuve 6.6. Revenons en arrière dans le calcul. Nous avons direcemen C(, S, T, K) = E ( e rt e x T 1 {xt >k}) Ke rt P(x T > k) où k = ln K. Alors, par (6.2), Π 2 = P (x T > k) = π ( e iux ) φ T (u) R du iu Pour déerminer le premier erme, nous inroduisons une nouvelle mesure Q el que dq/dp = S T /S. Ainsi E ( e rt e x T 1 {xt >k} ) = = R R e r e x(t ) 1 xt >kdp(x) e r e x(t ) 1 xt >kds Q S T (x) = S()Q(x T > k) Comme nous l avons expliqué lors des changemens de numéraire, nous avons besoin de déerminer les changemens de caracérisiques du processus sous la nouvelle mesure. Ce qui nous inéresse ici va donc êre de déerminer la forme de la foncion caracérisique de (x ) R+ sous Q en = T E Q (e iux T ) = x R e iux T dq(x) = E(ex T e iux T ) E(e x T ) = φ T (u i) φ T ( i). Toujours par (6.2), Π 1 = π ( e iuk ) φ T (u i) R du. iuφ T ( i) Pour plus de précisions sur cee méhode e d évaluaion des opions e des approches alernaives, nous renvoyons à [CaMa99]. 6.4 Approximaion d inégrale Pour pouvoir appliquer les résulas précédens, nous avons besoin d approximer des inégrales infinies, ce qui n es pas inuiivemen rivial. Pour des inégrales Alexis Fauh 164

165 définies enre a e b, deux réels différens de ± nous avons pour une inégrale de Riemann la discréisaion b n f(x)dx f(k i ) a où a = k 1,, k n = b. La méhode générale d esimaion d inégrale es la quadraure de Gauss. Pour ou a < b R, b n w(x)f(x)dx w if(x i ) a i=1 où w es une foncion de pondéraion, w i les coefficiens de quadraure e les x i son les noeuds, les racines de polynômes orhogonaux choisies judicieusemen. Ces deux coefficiens son choisis en foncion du domaine d inégraion. Bien enendu, la foncion que l on cherche à inégrer n a pas oujours la forme en w(x)f(x), il suffi de poser f(x) = w(x) f(x). On présene quelques configuraions connues. w(x) Sur [-1,1] nous pouvons appliquer la méhode de Gauss-Legendre. Les poids son simplemen w(x) = 1. Les coefficiens w i son données par w i = i=1 2 (1 x 2 i )P n(x i ) 2 où les P n son les polynômes de Legendre vérifian la relaion de récurrence (n + 1)P n+1 (x) = (2n + 1)xP n (x) np n 1 (x), n >, avec P (x) = 1 e P 1 (x) = x. Les premiers polynômes son donc P 1 (x) = x P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x). Ainsi, les racines son respecivemen {}, { 1, 1 } e 3 3 { 3,, 3 }. 5 5 Après calcul des w i, nous avons les approximaions suivanes en foncion du choix de n (n = 1) (n = 2) (n = 3) 1 1 f(x)dx 2f() 1 1 f(x)dx 1f( 1 ) + 3 1f( 1 ) f(x)dx 5f( 3) + 8f() f( 3 ). 5 Alexis Fauh 165

166 Sur R + nous appliquons la quadraure de Gauss-Laguerre. Les poids son w(x) = e x. L approximaion se fera donc sur g(x) = e x f(x) pour enir compe des poids. Les coefficiens w i son donnés par w i = 1 (n + 1)L n(x i )L n+1 (x i ) où les L n son les polynômes de Laguerre vérifian l équaion de récurrence (n + 1)L n+1 (x) = (2n + 1 x)l n (x) nl n 1 (x), n > avec L (x) = 1 e L 1 (x) = x + 1. Les premiers polynômes son donc L 1 (x) = x + 1 L 2 (x) = 1 2 (x2 4x + 2) L 3 (x) = 1 6 ( x3 + 9x 2 18x + 6). Le calcul des racines e des w i es laissé au leceur. Sur R nous appliquons la quadraure de Gauss-Hermie. Les poids son w(x) = e x2. L approximaion se fera donc sur e x2 f(x) pour enir compe des poids. Les coefficiens w i son donnés par w i = 2n+1 n! π H n(x i ) 2 où les H n son les polynômes d Hermie vérifian l équaion de récurrence H n+1 (x) = xh n (x) nh n 1 (x), n > avec H (x) = 1 e H 1 (x) = x. Les premiers polynômes son donc H 1 (x) = x L 2 (x) = x 2 1 P 3 (x) = x 2 3x. Le calcul des racines e des w i es laissé au leceur. Alexis Fauh 166

167 6.5 Opimisaion non linéaire Descene de gradien Définiion 6.1 (descene de gradien). Soi f : R d R une foncion C 1 à minimiser. La dérivée parielle de f s écri, f x = lim δx f(x + δx) f(x), x R d, (6.3) δx cela nous indique commen un changemen de x affece f. Si f x i < cela signifie qu une augmenaion infiniésimale du paramère x i ferai baisser la foncion f. On cherche donc à changer x dans la direcion du veceur de gradien f, { x R d x k+1 = x k α k f, (6.4) α > es le pas de déplacemen, s il es assez pei on sera assuré d avoir une réducion de f à chaque iéraion, mais si rop pei, la convergence sera rès lene vers un minimum local, si rop grand, divergence possible. On peu proposer une aure inerpréaion de ce algorihme, si on écri le développemen de Taylor de f à l ordre 1 par rappor à x k on obien, f(x) = f(x k ) + f(x k )(x x k ) + 1 2α x x k 2. (6.5) Comme on aboui à une forme quadraique, on peu chercher à minimiser simplemen (6.5), x (f(x k ) + f(x k )(x x k ) + 1 2α x x k 2 ) = f(x k ) + 1 α (x x k). (6.6) On cherche donc à résoudre, f(x k ) + 1 α (x x k) = x k+1 = x k α f(x k ). On rerouve bien l algorihme de descene du gradien. (6.7) Alexis Fauh 167

168 Il s agi d un exemple simple d un algorihme de descene. Les idées générales d un algorihme de descene son les suivanes : Recherche d une direcion de descene d k, direcion dans laquelle il es possible de faire décroîre f Recherche d un cerain α qui perme une décroissance significaive La forme usuelle es, x k+1 = x k + αd k. (6.8) Une fois la direcion d k déerminée, il fau s occuper de déerminer le pas de déplacemen opimal, α. Comme on cherche à minimiser f, on peu vouloir minimiser le crière le long de d k e donc de déerminer le α k comme soluion du problème, α k = arg min α f(x k + αd k ). (6.9) Il s agi de la règle de Cauchy. La règle suivane s appelle la règle de Curry, α k = inf{α : f (x k + αd k ) =, f(x k + αd k ) < f(x k )}. (6.1) Dans ce cas, α k es donc choisi parmi les poins saionnaires. Ces deux manières de déerminer le pas opimal α k son dies de recherche exace. Prenons le cas d une foncion quadraique, i.e. f(x) = Ax + b, nous avons simplemen, d k (Ax k + b + α k Ad k ) = d k f(x k ) + α k d k A(d k ) =, (6.11) si A es définie posiive, e donc que la foncion es convexe, la valeur du pas de déplacemen es simplemen donnée par, α k = d k f(x k ). (6.12) d k 2 A Si la foncion à minimiser n a pas oues les bonnes propriéés requises, alors il se peu que les règles (e donc les pas fournis) de Cauchy ou Curry n exisen pas. De plus, la déerminaion exace de α k (au sens de Cauchy ou Curry) peu s avérer rès coûeuse en emps de calcul, ce qui n es pas forcémen compensé par le gain de emps dans la minimisaion de f. On va naurellemen essayer de consruire des algorihmes peu gourmands approchan au moins l une des deux Alexis Fauh 168

169 équaions (6.9), (6.1). Pour essayer d approcher la condiion de Cauchy on peu rechercher α k el que, f(x k + α k d k ) f(x k ) + w 1 α k f ( x k )d k, (6.13) où w 1 ], 1[. Il s agi de la condiion d Armijo. Pour arriver à rouver un pas de déplacemen qui vérifie l équaion précédene on applique l algorihme suivan, Algorihme : Recherche Linéaire approchée - Armijo Iniialisaion : α 1 k >, τ ], 1[ Tan que (6.13) n es pas vérifiée i.e., (1) On prend (2) i=i+1 f(x k + α i kd k ) > f(x k ) + w 1 α i k f(x x )d k. α i+1 k [τα i k, (1 τ)α i k]. Le pas déerminé par ce algorihme a la fâcheuse endance à êre rop pei e donné une convergence rop lene. La règle de Goldsein es, f(x k + α k d k ) f(x k ) + w 1α k f(x k )d k. (6.14) où w 1 [w 1, 1]. Cee règle perme de ne pas choisir de α k rop pei. Les condiions de Wolfe permeen égalemen d avoir un pas de déplacemen pas rop pei e vérifien la condiion de décroissance linéaire (6.13), f(x k + α k d k ) f(x k ) + w 1 α k f(x k )d k. (6.15) f(x k + α k d k ) w 2 g k d k Pour déerminer α vérifian les condiions de Wolfe, on peu appliquer l algorihme de Flecher-Lemaréchal Précédemmen nous avions monré que d k pouvai êre égal à f(x k ), si nous faisons mainenan le développemen de Taylor de f au second ordre (on doi donc avoir une foncion f de classe C 2 ) nous obenons, f(x) = f(x k ) + f(x k )(x x k ) (x x k) Hf(x k )(x x k ), (6.16) Alexis Fauh 169

170 Algorihme : Recherche Linéaire approchée - Flecher-Lemaréchal Iniialisaion : α 1 k =, Soien α 1 =, α 1 =, τ ], 1 2 [ e τ e > 1 (1) Si f(x k + α i kd k ) f(x k ) + w 1 α i k f(x k )d k. n es pas vérifiée, alors α i = α i e, (2) Sinon, (2.1) Si α i [(1 τ)α i + τα i, τα i + (1 τ)α i ]. f(x k + α i kd k ) w 2 g k d k. es vérifiée, alors sop. (2.2) Sinon, α i = α i. (2.3) Si α i = +, alors prendre α i [τ e α i, ], sinon, α i [(1 τ)α i + τα i, τα i + (1 τ)α i ]. où Hf(x) es le hessien de f au poin x. Les condiions d opimalié son, E donc, la mise à jour es donnée par, f(x k ) + Hf(x k )(x k+1 x k ) =. (6.17) x k+1 = x k Hf(x k ) 1 f(x k ). (6.18) Il s agi de la méhode de Newon. Le problème ici es le emps de calcul de la marice hessienne Hf, on essaye d approximer Hf, ou direcemen H 1 f, x k+1 = x k αb k f(x k ), (6.19) où B k es l approximaion de H 1 f (on parle alors de quasi Newon). Pour oue la suie on pose y k = f(x k+1 ) f(x k ) e s k = x k+1 x k. L approximaion de Broyden es donnée par, B k+1 = B k + (s k B k y k )(s k B k y k ) (s k B k y k ) y k. (6.2) Alexis Fauh 17

171 Algorihme : Quasi Newon - Broyden Iniialisaion : α = 1, H = I pour k = 1, 2, (1) Calcul de la direcion de descene, d k = B k f(x k ) (2) On déermine α k en appliquan une recherche linéaire de Wolfe. (3) On calcule B k+1 = B k + (s k B k y k )(s k B k y k ) (s k B k y k ) y k. (4) Sop si f(x k ) ɛ, alors x = x k, sinon, reour à l éape 1. Le problème ici es que les B k ne son pas forcémen définis posiifs. La mise à jour de Davidson, Flecher e Powell perme de pallier à ce problème, elle es donnée par, B k+1 = B k + s ks k s k y k B ky k y k B k y k B ky k. (6.21) Nous présenons enfin la méhode de Broyden, Flecher, Goldfard e Shanno (BFGS), Algorihme : Quasi Newon - BFGS Iniialisaion : α = 1, H = I pour k = 1, 2, (1) Calcule de la direcion de descene, d k = Hk 1 f(x k) (2) On déermine α k en appliquan une recherche linéaire de Wolfe. (3) On calcul B k+1 = B k s kyk B k + B k y k s ( ) k y k B k y k sk s k y k s k yk yk s. k (4) Sop si f(x k ) ɛ, alors x = x k, sinon, reour à l éape 1. On peu monrer dans ce cas que la convergence es superlinéaire, i.e. que, w k+1 w lim τ w k w =. (6.22) Alexis Fauh 171

172 Noons qu il exise une version modifiée de l algorihme BFGS ne nécessian pas de calculer expliciemen Hf e donc d avoir à socker un rop grand nombre de données, il s agi de l algorihme Low Memory BFGS Algorihme généique L algorihme généique apparien à la classe des recherches heurisiques. Un algorihme généique es une foncion d opimisaion pour les cas exrêmes où le maximum (minimum) ne peu pas êre déerminé analyiquemen. L idée es de reprendre la héorie de l évoluion : sélecion naurelle, croisemen e muaion. L avanage de ce ype d algorihme es qu il va converger rès rapidemen dans le voisinage du maximum global, si les paramères à opimiser son correcemen iniialisé, il y a peu de chance que l on soi bloquer vers un locale. Il exise beaucoup de versions différenes des algorihmes généiques (il s agi en fai d une classe d algorihme), on présene ici un algorihme apparenan à cee classe pour minimiser une foncion f(x) avec x = (x 1,, x d ) Alexis Fauh 172

173 Algorihme Généique Paramères : q, p, p. Iniialisaion : On génère une populaion de possibiliés x i = (x i 1,, x i m), i = 1,, P avec m le nombre de paramères à opimiser e P la aille de la populaion. Chacun des x i es appelé un chromosome. (1) Opéraeur de sélecion. On sélecionne les [P/2] chromosomes donnan les meilleurs résulas par rappor à la foncion d évaluaion, pour nous, la foncion d uilié. Les aures chromosomes son enlevés de la populaion. (2) Opéraeur de croisemen. Soi x 1 = (x 1 1,, x 1 m) e x 2 = (x 2 1,, x 2 m) deux chromosomes (en ou q% de chromosomes son croisés), on choisi un enier aléaoiremen el que r m e, x 1 = {x j si j r, alors x j x 1, sinon x j x 2 } x 2 = {x j si j r, alors x j x 2, sinon x j x 1 }. (3) Opéraeur de muaion. Soi x 1 = (x 1 1,, x 1 m) un chromosome (en ou p% de chromosomes son mués), on choisi de muer p % du chromosome, on ire alors mp /1 = r eniers aléaoiremen compris enre e N e, x i = {w j si j r, alors x j = x i j, sinon x j = random}. (4) on régénère [P/2] nouveaux chromosomes e on répèe les éapes 2 à 3 jusqu à convergence. 7 Références Références [AlEw7] E. Alos e C.O Ewald, 27, Malliavin Differeniabiliy of he Heson Volailiy and Applicaions o Opion Pricing, preprin, 28pp. [AnAn] L. Andersen, e J. Andreasen, 2, Volailiy Skews and Exensions of he LIBOR Marke Model, Applied Mahemaical Finance 7, Alexis Fauh 173

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