Filtrage optimal. par Mohamed NAJIM Professeur à l École nationale supérieure d électronique et de radioélectricité de Bordeaux (ENSERB)

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1 Filrage opimal par Mohamed NAJIM Professeur à l École naionale supérieure d élecronique e de radioélecricié de Bordeaux (ENSERB) Filre adapé Définiions Filre adapé dans le cas de brui blanc 3 3 Cas d un brui coloré 4 Filre de Wiener 6 Posiion du problème 6 Équaion de Wiener-Hopf 7 3 Calcul de l erreur dans le cas du filre non physiquemen réalisable 8 4 Équaion de Wiener dans le cas de specres raionnels 8 5 Filre de Wiener discre 9 6 Applicaion du filre de Wiener non causal discre pour le débruiage de la parole 3 Filre de Kalman 3 Propriéés du filre de Kalman 3 Algorihme du filre de Kalman 33 Iniialisaion e mise en œuvre du filre de Kalman 4 34 Filrage de Kalman d un signal de parole noyé dans un brui blanc gaussien 6 4 Inroducion au filrage adapaif 8 4 Différens algorihmes 8 4 Algorihme du ype gradien sochasique ou (LMS) 8 43 Applicaion à l annulaion du brui 5 Annexe Quelques propriéés de la marice R L ingénieur doi souven considérer le cas couran où l on souhaie, à parir d un message bru ou signal observé m (), conenan un signal uile signal désiré e un brui, à déerminer le meilleur récepeur opimal permean de discriminer le signal du brui Par récepeur ou filre opimal, nous enendons un filre qui saisfai à un cerain crière d opimalié sous des hypohèses que nous préciserons Par filre, nous enendons une descripion mahémaique des opéraions de raiemen que subi le signal mélangé au brui Auparavan, nous devons préciser : ) que les enrées de ces filres seron soi des processus aléaoires, soi une combinaison de signaux déerminises e aléaoires Nous disposerons en général d un nombre minimal d informaions caracérisan ces enrées ; ) que nous ne considérons uniquemen les sysèmes saionnaires linéaires Dans les cas où une réalisaion maérielle es recherchée, il y aura lieu de considérer la réalisabilié du filre Il sera souven uile de connaîre le sysème opimal, même s il n es pas physiquemen réalisable Sa connaissance permera de mesurer e d apprécier les performances des sysèmes réalisables mais non opimaux Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle R 7 8

2 FILTRAGE OPTIMAL Nous raierons rois ypes de filres : - le filre adapé ; - le filre de Wiener ; 3 - le filre de Kalman Ces différens filres corresponden respecivemen à une soluion dans les cas où : ) le signal désiré es de forme connue Il es mélangé soi à un brui blanc, soi à un brui coloré ; ) le signal es, à l insar du brui, un processus aléaoire Le filre développé par Norber Wiener consiue une soluion non récursive, difficile à implaner sur ordinaeur ; 3 ) le signal e le brui son aléaoires Le filre de Kalman es une soluion récursive du problème du filrage qui généralise le filrage de Wiener Le développemen de ces filres suppose que l on dispose d informaions a priori à la fois sur les signaux e sur les bruis Il s agi, en pariculier, de la connaissance des foncions ou des marices d auocorrélaion Dans le cas où leur connaissance nous fai défau, on aura comme alernaive l uilisaion des filres adapaifs Ces derniers «apprennen» les caracérisiques des signaux au fur e à mesure que ceux-ci se déroulen On a néanmoins monré récemmen qu une famille de filres adapaifs courammen uilisés dans les applicaions peu, elle aussi, êre considérée comme opimale Filre adapé Définiions Le filre éan linéaire, nous aurons : s ( ) = s ( τ) h ( Ð τ) dτ () Soi le message observé m () = s () + b () Le signal s (), mélangé à un brui b (), es supposé êre de forme connue On se propose de réaliser un filre de réponse impulsionnelle h () qui permee de déecer la présence du signal s () Le filre délivre un signal s () mélangé à un brui b () (figure Le filre cherché doi maximaliser le rappor R o () : R o () à un insan = c es-à-dire : puissance de s () = puissance de b () R o ( ) s ( ) = E { b ( ) où E { désigne l espérance mahémaique En d aures ermes, on se propose de déerminer quel es le filre de réponse impulsionnelle h () qui maximalise le rappor signal à brui R o ( ) m() = s () + b () h () Figure Signal délivré par le filre h () s () + b () ( La borne supérieure de l inégrale es prise égale à au lieu de l infini pour que le filre h () soi physiquemen réalisable En effe, le filre es réalisable si : h () = pour b ( ) = b ( τ) h ( Ð τ) dτ < En prenan comme borne supérieure de l inégrale de convoluion au lieu de l infini, on es sûr que τ Ð τ > e, de ce fai, le filre obenu sera réalisable On supposera dans la suie de l exposé que s () e b () son des processus saionnaires La saionnarié signifie que les paramères saisiques (moyenne, variance e l ensemble des momens) ne dépenden pas du emps On se suffi souven, dans la praique, de l hypohèse des processus saionnaires du deuxième ordre pour lesquels seuls les deux premiers momens son indépendans du emps En oure, pour les processus saionnaires, si l on noe K b ( τ, σ ) = E { b ( τ)b ( σ), la foncion d auocorrélaion des bruis, celle-ci ne dépend que de l écar enre les insans τ e σ Elle s écrira : k b ( τ, σ) = k b ( τð σ) (3) (4) R 7 8 Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle

3 FILTRAGE OPTIMAL La relaion ( devien, compe enu de () e (3) : R o ( ) s ( τ) h ( Ð τ) dτ = k b ( τ, σ) h ( Ð τ) h ( Ð σ ) dσ dτ Il es éviden que l équaion (5) n es soluble que si la foncion d auocorrélaion k b es connue Filre adapé dans le cas de brui blanc Calcul de R o ( ) dans le cas de brui blanc Si b () es un brui blanc de densié specrale de puissance N ϕ ( ω) o N o = e de foncion d auocorrélaion k b ( τ) = δ ( τ), il vien : k ( b τ, σ ) h ( Ð τ) h ( Ð σ) dτ dσ = ( N o ) δ ( τð σ) h ( Ð τ ) h ( Ð σ) dτ dσ N o Supposons que h () rempli effecivemen la condiion de réalisabilié, dès lors : devien e R devien : o ( ) Ð Cee écriure nous perme de passer du domaine emporel au domaine fréqueniel où la résoluion es plus aisée Écriure dans le domaine fréqueniel Ainsi, si h ( ω) e s ( ω) son respecivemen les ransformées de Fourier de h () e s (), la relaion (7) devien : or h ( ω) = h ( ω) h ( Ð ω) = h ( ω) h ( ω) (9) Nous aurons besoin d uiliser l inégalié de Schwarz que nous énoncerons comme sui : L égalié aura lieu si f λg = h ( Ð τ) dτ ω ω R o ( ) R o ( ) s ( τ) h ( Ð τ) dτ Ð = h ( Ð τ) dτ f ( ω)g ( ω) dω N o Ð h ( ω) s ( ω) exp ( jω ) dω Ð = N o h ( ω) dω ω Ð f ( ω) dω g ( ω) dω ω λ réel ω ω (5) (6) (7) (8) () Si nous l appliquons au numéraeur de la relaion (8) en prenan f ( ω) = h ( ω) e g ( ω) = s ( ω) exp jω il vien : Ð h( ω) s ( ω) exp{ jω dω Ainsi R o es majoré comme sui : ( Ce majoran de R o ( ) ne dépend pas de h () Il ne dépend que de l énergie du signal e du brui, par conséquen R o ( ) sera maximum quand l égalié aurla lieu Le filre obenu dans ce cas sera le filre opimal h op que nous cherchions () Il apparaî ainsi que le filre es adapé à la forme du signal Ceci jusifie le nom de filre adapé Réalisabilié du filre Revenons à la réalisabilié de h op () : (3) Si le signal s () es enièremen disponible à la sorie du filre à l insan, cela signifie que, pour >, s () = à la sorie du filre Cee dernière relaion signifie qu à l insan ou le signal a raversé le filre Nous avons le signal à la sorie : ou d après la relaion () : Cee dernière relaion présene une grande similiude avec la foncion d auocorrélaion de s () : Rappelons que pour les signaux à énergie finie, c es-à-dire els que : On a : h ( ω) dω s ( ω) dω Ð R o ( ) ( N o ) s ( ω) dω h op ( ω) s ( ω) exp { jω Ð = h op ( ω) h op Ð ω k s () = Ð ( ) = s ( ω) s ( Ð ω) d où h op ( ω) = s ( Ð ω) exp { Ð jω = s* ( ω) exp { Ð jω car s* ( ω) = s ( Ð ω) où h op () = s ( Ð ω) exp { Ð jω ( Ð ) dω Ð soi h op () = s ( Ð ) h op () pour < = s ( Ð ) pour s () = s ( τ) h op ( Ð τ) dτ s () = s ( τ) s ( τ Ð + ) dτ k s ( τ) T = lim s () s τ T T ( + ) d ÐT s () d < Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle R 7 8 3

4 FILTRAGE OPTIMAL Exemple : nous allons considérer un cas simple pour mere en évidence la difficulé du choix de l insan Soi un signal représené en figure consiué par une exponenielle de consane de emps -- α el que : h op () < s () = a exp { Ð α s ( Ð ), = = a exp { Ð α ( Ð ) < > < < < Ainsi, plus es pei c es-à-dire pei par rappor à la durée du signal plus l approximaion de la réponse impulsionnelle, par un filre réalisable, es grossière s () a h () a la recherche du maximum de R o ( ) es aussi équivalene à la minimisaion de Q, sous la conraine que s ( ) es connu On peu aussi considérer la quanié Q avec l expression suivane : Q = E { b ( ) Ð µs ( ) Ceci es un problème d opimisaion où µ es un muliplicaeur de Lagrange La résoluion, c es-à-dire la recherche de la réponse impulsionnelle du filre opimal, pourra êre effecuée par l uilisaion de echniques classiques du calcul variaionnel Pour ce faire, nous allons remplacer h () par : dans l expression (5) h op () + γδh () où γ es une variable réelle, e δh un accroissemen arbiraire (6) Nous obiendrons alors une expression de Q qui sera foncion de γ e que nous noerons Q ( γ) La soluion sera obenue par la résoluion de l équaion : Q ( γ ) γ γ = = a s () b Ainsi, si nous remplaçons h () exprimée en (6) dans l expression de Q ( γ ), il vien, en explician b e s e en considéran que les processus son saionnaires, à savoir k b ( τ, σ) = k b ( τð σ) : Q = Q ( γ ) = [ h op ( Ð τ) + γδh ( Ð τ) [ h op ( Ð σ) + γδh ( Ð σ) k b ( τð σ) dσ dτ Figure Signal s, filre adapé e signal de sorie s 3 Cas d un brui coloré 3 Posiion du problème Nous allons considérer ici le cas d un signal noyé dans un brui coloré de foncion d auocorrélaion k b Reprenons l expression (5) : R o ( ) (4) Quand R o ( ) aura aein sa valeur maximale, cela signifiera que la puissance du brui E { b ( ) sera minimale Ainsi, si l on considère la relaion : c s ( τ ) h ( Ð τ) dτ = k b ( τ, σ) h ( Ð τ) h ( Ð σ ) dσ dτ s ( ) = E { b ( ) Q = E { b ( ) Ð µs ( ) (5) soi, en condensan les écriures : la condiion nécessaire donnan le minimum de Q es : or Ð µ [ h op ( Ð τ) + γδh ( Ð τ) s ( τ) dτ Q ( γ ) = Q ( ) + γa + γ B Q ( γ ) γ γ = = (7) Quel que soi l incrémen δh, cee relaion condui à A =, soi : Q = [ h γ op ( Ð τ) δh ( Ð σ) + h op ( Ð σ) δh ( Ð τ) + γδh ( Ð τ) δh ( Ð σ) k b ( τð σ) dσ dτ Ð µ δh ( Ð τ ) s ( τ) dτ h ( op Ð σ ) δh ( Ð τ) k b ( σð τ) dτ dσ = h ( op Ð τ ) δh ( Ð σ) k b ( τð σ) dτ dσ (8) R Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle

5 FILTRAGE OPTIMAL Il vien, en enan compe de (7) e de la parié de k b : k b ( τð σ) = k b ( σð τ) : δh ( Ð τ) h op ( Ð σ) k b ( τð σ) dτ dσ ou encore : δh ( Ð τ)dτ h op ( Ð τ) k b ( τ Ð σ) dσ Ð µ s ( τ ) = (9) Cee relaion doi êre saisfaie quel que soi δh, donc (9) se rédui à : µ Le faceur -- modifie uniquemen le gain du filre, il aura donc la même incidence sur le brui e sur le signal Si nous le prenons égal à, h op sera alors connue à un faceur consan près, e l équaion générale du filre adapé pour un brui coloré devien : Pour nous assurer que Ð µ δh ( Ð τ) s ( τ) dτ = h ( op Ð σ ) µ k b ( τð σ) dσ = -- s ( τ) Ð < τ < h ( op Ð σ ) k b ( τð σ) dσ = s ( τ) Q ( γ ) γ γ = = es aussi une condiion suffisane, il fau calculer la quanié : Q = δh γ ( Ð τ ) δh op ( Ð σ) k b ( τð σ) dτ dσ () e s assurer qu elle es posiive Ceci es en effe le cas, car k b es définie posiive Q sera posiive ou nulle pour δh = γ 3 Filre adapé non physiquemen réalisable Si l on ne s impose pas de conraine de réalisabilié, l équaion du filre adapé devien : k b ( τð σ) h op ( Ð σ) dσ = s ( τ) Ð < τ < ( C es là une équaion de convoluion qui se simplifie si on l exprime dans le domaine fréqueniel L applicaion de la ransformée de Fourier aux deux membres de l équaion ( donne : k b ( τð σ) h op ( Ð σ) exp { Ð jωτ = s ( τ ) exp { Ð jωτ dτ dσ dτ () Si ϕ b ( ω) es la densié specrale du brui b (), l équaion () devien : (3) En opéran le changemen de variable défini par x = Ð σ, l équaion (3) devien : ou encore : h op ( Ð σ) exp { Ð jωσ ϕ b ( ω) dσ = Ceci peu êre une soluion approchée dans cerains cas où l on ne se pose pas le problème de la réalisabilié du filre, ou bien dans le cas où l on dispose d enregisremens En effe, si l on opère sur des enregisremens, il es éviden qu à chaque insan on connaî le passé e le fuur du signal e il n y a plus de difficulé à écrire l inégrale de { Ð à 33 Soluion du filre adapé par les echniques du blanchissemen ou «blanchiemen» En réalié, le problème délica rese la résoluion de l équaion () e naurellemen la difficulé majeure provien du fai que la borne supérieure de l inégrale soi au lieu de Nous exposerons la echnique du blanchissemen courammen uilisée dans la résoluion des équaions de Fredholm qui jouen un rôle imporan dans divers domaines de la héorie de la déecion e de l esimaion Nous inroduirons successivemen la facorisaion specrale e la mise en forme specrale avan d aborder la résoluion de l équaion (3) propremen die 33 Facorisaion specrale Si l on considère un processus aléaoire de densié specrale de puissance (dsp) ϕ ( ω) e de foncion d auocorrélaion k (), le héorème de Wiener-Kinchin donne : Rappelons que : ) ϕ ( ω) es une foncion réelle ; en effe : k () éan paire, cee relaion se rédui à : s ( ω) exp { Ð jω ϕ b ( ω) h op ( x) exp { jωx dx = s ( ω) H op ( ω) s ( Ð ω) = exp { Ð jω ϕ b ( ω) ϕ ( ω) = k ( τ) exp { Ð jωτ dτ ϕ ( ω) = k ( τ) [ cos ωτ Ð j sin ωτ dτ ϕ ( ω) = k ( τ) cos ωτ dτ k () éan réelle pour un processus réel, ϕ ( ω) sera donc une foncion réelle ; ) ϕ ( ω) es une foncion paire : par simple changemen de variable de τ en τ, on obien ϕ ( ω) = ϕ ( Ð ω) ; Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle R 7 8 5

6 FILTRAGE OPTIMAL 3 ) ϕ ( ω) es non négaive ; cee propriéé découle de la définiion de ϕ ( ω) : x T ( ω) ϕ ( ω) = lim E T T T où x T ( ω) = x () exp { Ð jω d x () es le processus aléaoire de densié specrale ϕ ( ω) Supposons que ϕ ( ω) résule du passage d un brui blanc, don nous prendrons la dsp égale à, à ravers un filre passif de foncion de ransfer H ( jω) Nous aurons : Pour un filre saionnaire, linéaire e à consanes localisées, H ( jω) a la forme générale : ou encore : ϕ ( ω) ÐT devien : la dsp peu êre alors mise sous la forme : N n ( ω ) e D d ( ω ) son respecivemen des polynômes en ω de degrés n e d ϕ ( ω) éan réelle, N n e D d seron à coefficiens réels On peu facilemen monrer que ϕ ( ω) peu se mere en faceurs sous la forme pariculière suivane : ϕ ( ω) = ϕ + ( ω) ϕ Ð ( ω) e que [ ϕ + ( ω) ϕ Ð = [ ( ω) où ϕ + ( ω) a ses zéros dans le demi-plan supérieur e ϕ Ð ( ω) a ses zéros dans le demi-plan inférieur On peu aussi monrer que la ransformée de Fourier inverse q + () de ϕ + ( ω) es elle que q + () = < e que la ransformée inverse q Ð () de ϕ Ð ( ω) es elle que q Ð () = pour > Ceci enraîne que le filre de foncion de ransfer H + ( ω) = es physiquemen réalisable ϕ + ( ω) Le processus de blanchissemen (on di aussi blanchiemen) consise à filrer un processus aléaoire coloré pour le ransformer en un brui blanc : D après la relaion qui peu s écrire : ϕ ( ω) = H ( jω) H ( ω) k ωn + a n Ð ω n Ð + a = ω d + b d Ð ω d Ð + b H ( ω) = A ( ω ) + jωb ( ω ) ϕ ( ω) = H ( ω) = H ( ω) H ( Ð ω) = A ( ω ) + ω B ( ω ) dsp ϕ ( ω) k N n = ( ω) D d ( ω ) = ϕ ( ω) H ( ω) dsp = = ϕ ( ω) H ( ω) = [ ϕ + ( ω) H ( ω) [ ϕ Ð ( ω) H ( Ð ω) On voi que cee équaion es saisfaie si : = ϕ + ( ω) H ( ω) s () + b () + s H ( ω) = / ϕ ( ω) (), b () s H s ( ), ( ω) (), b () ω ϕ ( ω) ϕ b s ( ω), s ( ω), ( ω ) Figure 3 Uilisaion de deux filres : filre H de blanchiemen e filre H adapé au signal s On aura ainsi : ϕ Ð ( ω) H ( Ð ω) = ϕ + ( ω) H ( ω) Le filre blanchissan, physiquemen réalisable, aura pour foncion de ransfer : H ( ω) = ϕ + ( ω) 33 Soluion de l équaion du filre adapé Dans le cas général, c es-à-dire en présence d un brui saionnaire coloré, on peu penser inuiivemen à la soluion suivane qui opère en deux éapes : d abord blanchir le brui e considérer ensuie que l on es dans le cas de la déecion d un signal mélangé à un brui blanc On peu monrer que la soluion dans le cas général es effecivemen celle-ci, à savoir : uiliser un premier filre H ( ω) qui blanchi le brui, suivi d un filre H ( ω) adapé à un signal noyé dans un brui blanc Ce scénario es schémaisé dans la figure 3 Soi un signal s () mélangé au brui coloré b () Le premier filre de foncion de ransfer H ( ω) blanchi le brui b () Ainsi, le brui b (), délivré par ce filre, aura une densié specrale consane que nous prendrons égale à l unié Les quaniés s ( ω) e s ( ω) son respecivemen les ransformées de Fourier des signaux s () e s () De ce fai, au nouveau message consiué par le signal s () mélangé au brui b (), nous pourrons appliquer un filre adapé, H ( ω), el qu il a éé éabli précédemmen dans le cas d un brui blanc H ( ω) es le filre blanchissan H ( ω) es le filre adapé à s () mélangé à un brui blanc On a : s ( ω) = H ( ω) s ( ω) = s ( ω) ϕ+ ( ω) [ où : ϕ = ϕ+ b ϕð b Considérons le filre H 3 ( ω) = s ( Ð ω) exp { Ð jω c es-à-dire le filre adapé à s () On peu monrer que l on obien une soluion explicie qui donne l expression de la foncion de ransfer du filre opimal soi : H ( ω) s ( Ð ν) = exp( Ð jω) exp jν π ( Ð ϕ + ( ω) ϕð ) dν d ( ν) On peu monrer que cee soluion peu êre obenue direcemen par la résoluion de l équaion inégrale suivane : h + Ð σ ( ) k b ( τð σ) dσ = s ( τ) Filre de Wiener Posiion du problème On dispose d un message m () = s () + b () où le signal e le brui son deux processus aléaoires saionnaires Il s agi de rouver le filre linéaire saionnaire qui donne la meilleure approxima- R Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle

7 FILTRAGE OPTIMAL ion de s () noée ö s () Le signal e le brui son deux processus aléaoires saionnaires m () = s () + b () En d aures ermes, il faudra que : ö s () = s () + b () soi aussi proche que possible de s () On noera : e () = ö s () Ð s () (4) qui consiue l erreur enre la sorie effecive du filre e la sorie désirée s () Le filre de Wiener es basé sur la minimisaion de l erreur quadraique moyenne (EQM) e () : e () T = lim e () d = E{ e (5) T T () = E{ [ s () Ð ö s() ÐT avec E { opéraeur espérance mahémaique Équaion de Wiener-Hopf Le filre de Wiener es celui qui a une réponse impulsionnelle obenue en minimisan le crière d opimalié : (6) On peu se poser, ici, la quesion suivane : commen peu-on calculer J, où inervien s () qui nous es par définiion inconnu? Nous verrons, en effe, que s () n apparaî pas de manière explicie dans la procédure de calcul que nous allons présener Il apparaî à ravers la foncion d auocorrélaion qui consiue une informaion a priori nécessaire, comme nous le verrons plus loin, pour obenir le filre de Wiener Il vien, si nous reprenons la relaion (5) : e que nous la développons : où k ss ( τ) = E { s () s ( + τ) h () ö s () = h ( τ) m ( Ð τ) dτ J = E { s () Ð ö s() s () = s () + b () E { e () E s () Ð = h ( τ) m ( Ð τ) dτ J = E { e () = k ss ( ) Ð k ms ( τ) h ( τ) dτ h op (7) k mm = k ss + k bb + k bs + k sb (8) son respecivemen les foncions d auocorrélaion du signal, d inercorrélaion du message e du signal, e enfin d auocorrélaion du message La relaion (8), dans le cas où s () e b () son saionnaires e non corrélés, se rédui à : + h ( σ) k ( mm σð τ ) h ( τ) d τ dσ k ms ( τ) = E { m () s ( + τ) k mm ( τ) = k ss ( τ) + k bb ( τ) Pour rechercher le minimum du crière de { e (), nous adoperons une procédure analogue à celle uilisée pour obenir le filre adapé, en remplaçan dans la relaion (7) : h () par h op () + γδh () (9) où h op () es la réponse impulsionnelle du filre opimal, E { e () devien une foncion de γ, que nous noerons J ( γ ) Une condiion nécessaire pour que J ( γ ) ai un minimum es : Remplaçons h () par son expression (9) dans (7) il vien : (3) [ h ( σ) + γδh ( σ) k (3 ( mm σð τ ) [ h ( τ) + γδh ( τ) dτ dσ En enan compe de la relaion : la relaion (3 devien : J ( γ ) = J ( ) + γc + γ D où C = δh ( τ) Ð k ms ( τ) + k mm ( τð σ) h ( τ) dσ dτ e J ( γ ) γ D après (3), on a : C =, soi : γ = = J ( γ ) = k ss ( ) Ð k ms ( τ) ( h ( τ) + γδh ( τ) ) d τ + k ( Ð s) = k ( sð ) D = δh ( τ) k mm ( σð τ) δh ( σ) dσ dτ δh ( τ) Ð k ms ( τ) + k ( mm τ Ð σ ) h ( σ) dσ dτ = (3) Cee relaion doi êre saisfaie quel que soi l incrémen δh ( τ), il s ensui que : k ms ( τ) = k mm ( τð σ) h op ( σ) dσ (33) Cee équaion inégrale die de Fredholm de première espèce es appelée équaion de Wiener-Hopf La recherche de h op soluion de cee équaion inégrale nécessie la connaissance des foncions d inercorrélaion k ms e k mm Nous supposerons que le signal e le brui ne son pas corrélés L équaion (3) radui la condiion nécessaire pour que J ( γ ) soi minimum Il suffi de calculer : J = D γ e de consaer que D > pour s assurer égalemen que c es une condiion suffisane Noa : nous n avons fai aucune hypohèse sur la réalisabilié du filre Dans le cas d un raiemen en emps réel, où il y a nécessié d uiliser un filre réalisable, il fau modifier les limies de l équaion inégrale, la borne Ð devan êre remplacée par Cela ne simplifie naurellemen pas la résoluion de l équaion de Wiener-Hopf, car on exclu l uilisaion de la ransformée de Fourier Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle R 7 8 7

8 FILTRAGE OPTIMAL Dans le cas où l on ne se pose pas le problème de la réalisabilié, l équaion de Wiener- Hopf devien, après applicaion de la ransformée de Fourier : ϕ H + ( ω) ϕ ms ( ω) = ϕ mm ( ω) (34) ϕss ϕ bb e dans le cas de signaux non corrélés, ϕ bs ( ω) = : H op ( ω) ϕ ss ( ω) = ϕ ss ( ω) + ϕ bb ( ω) (35) f 3 Calcul de l erreur dans le cas du filre non physiquemen réalisable Si l on reprend l équaion (7) donnan l erreur : E { e () = k ss ( ) Ð k ms ( τ) h ( τ) dτ + k mm ( σð τ) h ( σ) h ( τ) dσ dτ on peu faire apparaîre sous l inégrale double k ms en uilisan l équaion de Wiener-Hopf (33), on obien : E { e () = k ss ( ) Ð k ms ( τ) h ( τ) dτ ou, en remplaçan k ms par sa ransformée de Fourier noée ϕ ( ω) : E { e () = ϕ ss () f df Ð ϕ ms () f H ( Ð f ) df = ϕ ö s s () f Ð ϕ ms () f H ( Ð f) df Si l on ien compe de l expression de la foncion de ransfer opimale don l expression es donnée par la relaion (35) il vien : min E { e () ou, si s () e b () ne son pas corrélés : = min E { e () ϕ ss () f ϕ mm () f Ð ϕ ms () f df ϕ mm () f = ϕ ss () f ϕ bb () f df ϕ ss () f + ϕ bb () f Cee relaion es inéressane pour commener les résulas obenus sur le filre de Wiener En effe, supposons que les signaux s () e b () soien els que leurs densiés specrales n aien pas de suppor commun comme cela es représené dans la figure 4 Le produi ϕ ss ϕ bb sera quasi nul e conduira à une erreur d esimaion égale à zéro Dans ce cas, on n aura pas besoin d uiliser le filre de Wiener pour séparer le signal du brui Il suffira d uiliser un simple filre passe-bas pour éliminer le brui Par conre, dans le cas de signaux réels, nous aurons un recouvremen des specres du signal e du brui, el que cela es schémaisé dans la figure 5 Dans ce cas, seul le filre de Wiener permera une esimaion du signal On consae que le produi ϕ ss ϕ bb dans la bande de fréquence qui nous inéresse ne sera pas nul e, de ce fai, l erreur d esimaion ne sera jamais nulle Figure 4 Signaux s () e b () don les densiés specrales n on pas de suppor commun Figure 5 Signaux s () e b () réels, avec recouvremen des specres 4 Équaion de Wiener dans le cas de specres raionnels Dans le cas de specres raionnels, la quanié : ξ ( ν) es une fracion raionnelle, qui peu êre décomposée en élémens simples Elle peu alors se mere sous la forme : où ξ + ( ν) e ξ ( ν) on respecivemen leurs singulariés, c es-àdire les pôles e les zéros, dans le demi-plan supérieur e le demiplan inférieur du plan complexe L expression (34) de la foncion de ransfer du filre opimal devien : où les bornes d inégraion e l infini corresponden à la parie réalisable On peu faire absracion de la première inégrale, si l on ne considère, dans ξ ( ν), que la parie qui donne bien un filre physiquemen réalisable, c es-à-dire ξ + ( ν) On adope, radiionnellemen, les noaions suivanes : [ ξ + = parie réalisable de ξ ( ν) = ξ + ( ν) L équaion (36) devien : Noa : nous avons poré nore aenion esseniellemen sur les specres raionnels Les specres non raionnels peuven êre approchés par des specres raionnels On peu monrer qu une condiion nécessaire e suffisane de «facorabilié» es que l inégrale : soi convergene ϕ ϕ ms ( ν) = ϕ mm ( ν) ϕss ϕ bb ξ ( ν) = ξ + ( ν) + ξ ( ν) H ( ω) = exp Ð πjf (36) ϕ mm ( ω) { d ξ ( ν) exp ( πjν) dν H ( ω) = ϕ mm ( ω) ϕ ms ( ω) ϕ mm ( ω) log ϕ mm ( ω) df + f + f R Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle

9 FILTRAGE OPTIMAL 5 Filre de Wiener discre 5 Filre de Wiener à réponse finie Nous allons ici rechercher un filre numérique de réponse impulsionnelle HT n (figure 6) : où les h (i) représenen les composanes de la réponse impulsionnelle du filre Ces composanes seron ajusées par le filre de Wiener Soi par ailleurs N échanillons du signal d enrée noés : x (n), x (n, x (n (N ) qui son concaénés dans le veceur XT N : ö Le filre de Wiener nous donnera une esimaion du signal noée y qui a pour expression : Exemple : soi à déerminer le filre opimal, sachan que ϕ b ( ω) = k (brui blanc) e : On a : ϕ mm = ϕ ss + ϕ bb = k b Ð p Ð p avec b + k = k e : ϕ ss ( ω) = avec ( p = jω) Ð p ϕ mm = k b + jω k b Ð jω + jω Ð jω = ϕ ++ ϕ Ð Ð ϕ ms = Ð p = ω ϕ ms Ð p d où : Ð = ϕ mm Ð ω = k ( bð p) k ( + b) ϕ ms e : = Ð ϕ mm + k ( + b) ( + p) d où : H ( jω) = k ( + b) ( b+ p) HT N = [ h (,, h ( N) p + b Ð p XT N = [ x x ( n Ð x ( nð N+ ö y = HT N X N x (n) y (n) Figure 6 Filre numérique de réponse impulsionnelle HT n H T n La figure 7 monre la sorie ö y du filre comparée à une sorie désirée d (n) ; cee dernière joue le rôle de la sorie réelle y que l on cherche à approximer Ainsi, on peu noer indifféremmen l erreur : ou encore : e = [ d Ð ö y (37) La sorie du filre éan : l erreur sera : (38) L erreur quadraique moyenne, EQM, noée ε ou J es : qui donne après développemen : (39) J = ε = E [ d Ð HT N r dx + HT N RH N (4) où r dx = E [ d X N R = E { X N XT N veceur x N d inercorrélaion veceur N x N d auocorrélaion J es une forme quadraique définie de H N Le minimum de J sera obenu en calculan : où h,, h N son les composanes du filre H, e : H es le filre opimal : e = [ y Ð ö y HT N X N e = d Ð HT N X N = d Ð XT N H N J = ε = E { e = E {( d Ð HT N X N ) ε = E { d Ð HT N E { d X N + HT N E [ X N HT N H N J J = ,, J T = H h h N RH Ð r dx = H = R Ð r dx (soluion opimale au sens de Wiener) (4 Cee équaion, qui donne les coefficiens du filre qui minimisen l EQM, es l équaion de Wiener-Hopf ou équaion normale Elle es l équivalen, dans le cas discre, de l équaion (33) de Wiener-Hopf que nous avons déjà éablie dans le cas coninu On peu calculer l erreur minimale en remplaçan H par son expression (4 dans l équaion (4) soi : J min- = E { d ( + ( R Ð r dx ) T RR Ð r Ð RÐ rt dx dx r dx J min = E { d ( + rt dx R Ð r dx Ð rt dx R Ð r dx d où : ε min = J min = E { d K Ð r T xd H x (n) Filre de Wiener y (n) + d (n) ou y (n) e (n) donnée par l équaion (39) peu êre mise sous la forme sui- Noa : ) L erreur vane : ε On peu écrire cee relaion : ε EQM ε min + ( Ð ) T R ( H Ð H ) = H H Figure 7 Sorie désirée y (n) ö y du filre de Wiener, comparée à la sorie ε = + V T RV ε min V apparaî comme l écar par rappor au filre opimal de Wiener Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle R 7 8 9

10 FILTRAGE OPTIMAL ) Reprenons la relaion (38) : e = d Ð X T N H e muliplions les deux membres par X N : On consae que si H prend sa valeur opimale R Ð r dx la relaion (4) devien : Elle signifie que l erreur es non corrélée avec le signal X N, on di aussi qu elle es orhogonale au signal La résoluion de l équaion de Wiener-Hopf nécessie l inversion de la marice R Les algorihmes classiques de ype Gauss-Jordan on une complexié arihméique de l ordre de N 3 De plus, pour des applicaions emps réel, le calcul de R Ð doi êre effecué chaque fois que de nouveaux échanillons du signal deviennen disponibles Il fau remarquer que la srucure pariculière de la marice d auocorrélaion R (à savoir le fai qu elle soi symérique e de Tœpliz) perme de réduire le nombre d opéraions à N par l uilisaion de l algorihme de Levinson En oure, l esimaion de R e r nécessie la prise en compe d un grand nombre de réalisaions, ce qui n es pas rès réalise dans la praique Nous développerons, dans le paragraphe 4, une méhode de résoluion récursive de l équaion de Wiener qui ne nécessie pas la connaissance a priori de la marice d auocorrélaion R 5 Filre de Wiener à réponse impulsionnelle infinie Nous recherchons un filre numérique de réponse impulsionnelle h op de longueur infinie Soi x le signal d enrée, alors la sorie y du filre devien : (4) (43) On cherche le filre h op à réponse impulsionnelle infinie (il a des valeurs non nulles pour oues les valeurs enières de n) qui minimise l erreur quadraique moyenne J (n) en comparan la sorie du filre y avec la sorie désirée d : On noera : alors la relaion (44) devien : e X N = d X N Ð X N X T N H E { e X N = r dx Ð RH E { e X N = O y = h op ( x ( nð k = La minimisaion de J (n) condui à l équaion : J = E { e = E {[ d Ð y = E d Ð h op ( x ( nð k = r xx ( = E { x x ( nð r xd ( = E { x d ( nð r dd ( = E { d d ( nð J = r dd ( ) Ð h op ( r dx ( k = (44) (45) (46) qui consiue l équaion de Wiener-Hopf dans le cas de filres non causaux + h op ( h op ( ) r xx ( Ð k = = h op k ( Ð = r xx dx () l k = Si l on applique la ransformée de Fourier discrèe à l équaion (46), le filre opimal devien : où : (47) son respecivemen les densiés inerspecrale e specrale de puissance 6 Applicaion du filre de Wiener non causal discre pour le débruiage de la parole 6 Nouvelle expression du filre Soi le signal bruié : x = s + b (48) où s représene le signal de parole e b le brui addiif Le filre de Wiener non causal (47) es donné par la relaion : Si l on suppose que le signal e le brui ne son pas corrélés, on obien successivemen : e : h op ( ω) ϕ dx ( ω) = ϕ xx ( ω) ϕ dx ( ω) = r dx e Ðjωn k = Le filre opimal de Wiener devien : (49) Cee dernière relaion es analogue à la relaion (35) que nous avons éablie précédemmen pour le filre de Wiener dans le cas coninu On peu encore écrire : 6 Mise en œuvre du filre ϕ xx ( ω) = r xx e Ðjωn k = h op ( ω) ϕ sx ( ω) = ϕ xx ( ω) ϕ xx ( ω) = ϕ ss ( ω) + ϕ bb ( ω) h op ( ω) ϕ sx ( ω) = ϕ ss ( ω) ϕ ss ( ω) = ϕ ss ( ω) + ϕ bb ( ω) ϕ h op ( ω) xx ( ω) Ð ϕ ( bb ω ) ϕ bb = = Ð ( ω) ϕ xx ( ω) ϕ xx ( ω) (5) La mise en œuvre du filre nécessie : que l on segmene le signal x (n) en blocs à raier successivemen ; que l on connaisse ou que l on esime les densiés specrales du brui e du signal Dans la mesure où l on ne peu pas raier ous les échanillons simulanémen, on segmenera le signal en blocs de N échanillons R 7 8 Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle

11 FILTRAGE OPTIMAL (N = 56) Ces blocs peuven êre disjoins ou se recouvrir pariellemen On adopera dans nore exemple un recouvremen de 5 %, c es-à-dire que le débu de chaque bloc va coïncider avec l échanillon 7 du bloc précéden Ainsi, pour un nombre oal d échanillons égal à MN, on aura à raier M blocs En oure, en enan compe de la spécificié du signal de parole, il es possible d esimer la densié specrale du brui En effe, le signal de parole es une succession de segmens qui corresponden à la présence ou à l absence de signal Par ailleurs, dans la mesure où l enregisremen commence par un silence, on peu, en faisan l hypohèse que seul le brui es présen dans ce cas, avoir une esimaion de sa densié specrale de puissance Il exise plusieurs esimaeurs de densié specrale ; nous adoperons ici celui basé sur la méhode du périodogramme qui condui à l esimaeur suivan : où X i ( ω) ϕ xx, i ( ω) es la ransformée de Fourier du bloc i Nous adoperons pour la densié specrale de puissance du brui la moyenne des densiés specrales de puissance calculées pour les premiers blocs où il y a seulemen du brui, que nous noerons ϕ bb ( ω) Cee procédure es appelée procédure de Barle : ϕ bb ( ω) Ainsi, dans les blocs où le signal de parole es présen, l esimaion de la densié specrale nous donne ϕ xx Dans le cas du bloc i, on aura alors l expression suivane du filre de Wiener : Ensuie, on filre le signal bruié : = --- X i ( ω) N M Ð = X i ( ω) N ( M Ð i = ϕ h op, i ( ω) bb ( ω) = Ð ϕ xx, i ( ω) ö Si ( ω) = H op, i ( ω) X i ( ω) où X i ( ω) es la ransformée de Fourier du signal bruié pour le bloc couran i La séquence emporelle es la parie réelle de la ransformée de Fourier inverse du specre ö Si ( ω) Elle nous donnera le signal de parole non bruié Dans la figure 8, on présene la densié specrale de puissance du brui capé dans une voiure R5 roulan sur auoroue à 3 km/h (signaux aimablemen fournis par la sociéé Mara) Ampliude [db 3 4 Ampliude Signal bruié Échanillons Figure 9 Signal de parole bruié Ampliude Signal débruié Échanillons Figure Signal débruié par le filre de Wiener Ampliude Signal original Figure 8 Specre du brui Fréquence [Hz Échanillons On remarque bien que le signal de parole es une succession de segmens pseudo-périodiques e aléaoires correspondan respecivemen aux sons voisés e non voisés Figure Signal de parole original Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle R 7 8

12 FILTRAGE OPTIMAL m () = b () + s () h s () coefficiens son déerminés par les propriéés saisiques des processus Figure Filre de Wiener fournissan une esimaion du signal recherché ö s ( ) 3 Algorihme du filre de Kalman 63 Résulas expérimenaux Dans les figures 9, e, on donne successivemen des enregisremens du signal bruié, du signal obenu par filrage de Wiener e, enfin, le signal original dans une applicaion sur un signal de parole capé dans une voiure R5 roulan sur auoroue à 3 km/h En comparan les signaux des figures e, on consae que le niveau du brui a éé rédui dans la figure 3 Filre de Kalman 3 Propriéés du filre de Kalman La forme la plus générale de l équaion de Wiener-Hopf peu s écrire : h (, τ ) k mm ( τ, σ) dτ = k ms (, σ) avec σ, que nous écrivons plus simplemen : h (, τ ) k m ( τ, σ) dτ = k ms (, σ) (5 Le filre de Wiener perme de consruire, à parir d un message observé m(), une esimaion ö s () du signal recherché (figure ) L esimaion de la sorie es : ö s () = h (, τ) m (, τ) dτ (5) L équaion (5 es, d une manière générale, difficile à résoudre dès que l on aborde des cas non riviaux Elle es, en oure, peu adapée au raiemen par calculaeur à cause de son caracère non récursif On se propose de développer ici un filre qui permee d esimer de manière récursive le signal noyé dans le brui Il s agi du filre de Kalman, plus approprié au raiemen par calculaeur Kalman a inrodui ce filre, dès 96, à parir de la représenaion des sysèmes dans l espace d éa par des équaions différenielles maricielles du premier ordre Ce filre es basé sur le fai qu un processus aléaoire peu êre modélisé comme éan la sorie d un sysème linéaire gouverné par un brui blanc, alors que, dans le cas du filre de Wiener, les sysèmes son représenés par des équaions de covariance Au lieu de décrire les sysèmes linéaires qui génèren les messages en ermes de réponse impulsionnelle, l approche de Kalman amène une descripion par des équaions différenielles don la soluion es le signal recherché Par ailleurs, au lieu de spécifier la soluion opimale comme sorie d un sysème linéaire gouverné par une équaion inégrale, comme dans le cas de l approche de Wiener, l esimaion opimale donnée par Kalman es ici soluion d une équaion différenielle don les L approche de Kalman a consisé à ransformer l équaion inégrale (3, décrivan le filre de Wiener dans le cas coninu, en équaion différenielle Nous nous limierons ici à un exposé élémenaire basé sur une méhode algébrique On adopera les noaions suivanes : les grandeurs scalaires, vecorielles ou maricielles seron respecivemen représenées par des leres minuscules, des leres soulignées ou des leres en majuscule 3 Formulaion du problème représené dans l espace d éa par les équa- Soi un signal ions suivanes : x ( x ( k + = Φ ( k +, x ( + G ( u ( y ( = H ( x ( + v ( (53) u (, processus généraeur, e v ( brui de mesure son supposés indépendans, blancs e de moyenne nulle : E { u ( = E { v ( = E { u ( v T () l = k, l E { u ( u T () l = Q ( δ ( k, l) k e E { x ( ) u T ( = k (54) E { v ( v T () l = R ( δ ( k, l) e E { x ( ) v T ( = k Q ( e R ( son respecivemen les marices de covariance du processus généraeur e du brui de mesure, δ ( h, l) es le symbole de Kronecker Esimaion du veceur d éa Il s agi d esimer le veceur d éa x ( compe enu des informaions disponibles à l insan n, posérieur, anérieur ou idenique à l insan k On considérera les rois cas suivans : k = n : il s agi, dans ce cas, de déerminer une esimaion de l éa, compe enu de oues les mesures disponibles à l insan considéré n C es le cas du filrage ; ) k< n : on ne prendra en compe ici qu une parie des mesures disponibles On fai alors un lissage ou une inerpolaion ; 3) k> n : il s agi, dans ce cas, de prédire une esimaion du veceur d éa C es ce qu on appelle prédicion ou exrapolaion ö Nous noerons pour ces différens cas une elle esimaion par : x ( k n), c es-à-dire l esimaion à l insan k compe enu des informaions disponibles à l insan n On défini aussi une elle esimaion par la valeur moyenne du veceur d éa compe enu des mesures y (, y Cee moyenne es exprimée par l espérance mahémaique condiionnelle, noée comme sui : n) = E { x ( y (,, y (55) R 7 8 Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle

13 FILTRAGE OPTIMAL Noa : on peu aussi, de manière plus commode, noer ö x ( k n) = E [ x ( y, cee noaion condensée es équivalene à celle expliciée par la relaion (55) La marice de ransiion Φ ( k, k Ð caracérise l évoluion du veceur d éa Inuiivemen, on peu admere que l évoluion de l esimaion du veceur d éa x ö ( k n) sera, elle aussi, caracérisée par cee même marice de ransiion En d aures ermes, nous aurons : (56) Cee relaion peu êre obenue de manière rigoureuse en appliquan la définiion donnée par la relaion (55) à l équaion (53) soi : soi encore : sachan que : = Φ ( k, k Ð ö x ( k Ð k Ð E { x ( y (,, y ( k Ð = Nore objecif es d avoir une esimaion récursive du veceur d éa qui, à parir d une esimaion à l insan k nous fournisse, si une mesure es disponible à l insan k +, une nouvelle esimaion, compe enu de cee dernière mesure Nous adoperons un esimaeur linéaire de la forme : (57) La quanié H ( que nous noerons ö y ( apparaî ainsi comme une prédicion de la mesure Elle serai parfaie s il n y avai pas de brui Noa : on noe, dans cerains exposés sur le filre de Kalman, les quaniés ö ö x ( k e x ( k k Ð comme sui : ö x ( k = ö x ( e ö x ( k k Ð = ö x ( k Ð On devra s aendre à ce que K ( ne dépende pas de la mesure pour que cee linéarié soi assurée La relaion (57) exprime le fai que la nouvelle esimaion du veceur d éa, à l insan k, es égale à l esimaion à l insan k Ð, mise à jour avec un cerain poids Cee mise à jour ien compe de l écar enre la mesure effecive e la mesure prédie L opimalié du filre recherché vien du fai que le poids K ( à accorder à cee mise à jour résule de la minimisaion de l erreur au sens des moindres carrés, enre l éa e son esimaion Le gain K ( ainsi obenu es appelé gain du filre de Kalman Soi x ( = x ( Ð l erreur d esimaion (58) Il s agira donc de minimiser la quanié : Si nous inroduisons la marice Φ ( k E [ x ( k Ð y (,, y ( k Ð +G ( k Ð E { u ( k Ð y (,, y ( k Ð = Φ ( k, k Ð ö x ( k Ð k Ð E [ u ( y (,, y ( k Ð = = + K ( [ y ( Ð H ( J ( = E { x T ( k = E {[ x ( Ð [ x ( Ð T = E { x ( x T ( (59) appelée marice de covariance de l erreur, on peu vérifier que l on a : race = J ( Le filre de Kalman es donc un filre à minimum de variance Nous devrions exprimer le crière J ( en foncion du gain Il es plus aisé d opérer sur l expression de la marice de covariance de l erreur pluô que sur l expression du crière J ( Calcul de la marice de covariance en foncion du gain K ( Nous allons, à parir des équaions d éa e de l expression de l esimaion, explicier la marice de covariance en foncion du gain K ( Reprenons les relaions (53) e (56) En les sousrayan, il vien : D après la relaion (59) définissan, nous aurons : (6) D où, en prenan les espérances mahémaiques des deux membres de l équaion (6) : Cee relaion peu se simplifier en enan compe de la relaion (54) e du fai que : Il vien alors : Nous devons, à ce sade du calcul, exprimer en foncion de À ce effe, reprenons l expression (58) de l erreur e remplaçons l esimée ö x ( x ( k par son expression donnée par la relaion (57) : soi : Or : x ( = Φ ( k, k Ð x ( k Ð + G ( k Ð u ( k Ð = Φ ( k, k Ð ö x ( k Ð k Ð x ( Ð = Φ ( k, k Ð [ x ( k Ð Ð ö x ( k Ð k Ð + G ( k Ð u ( k Ð = E [( x ( Ð ) ( x ( Ð ) T = Φ ( k, k Ð E {( x ( k Ð Ð ö x ( k Ð k Ð ( x ( k Ð Ð ö x ( k Ð k Ð ) T Φ T ( k, k Ð + G ( k Ð E { u ( k Ð u T ( k Ð G T ( k Ð E {( x ( k Ð Ð ö x ( k Ð k Ð ) ( x ( k Ð Ð ö x ( k Ð k Ð ) T = P ( k Ð k Ð = Φ ( k, k Ð P ( k Ð k Ð Φ T ( k, k Ð + G ( k Ð Q ( k Ð G T ( k Ð x ( = x ( Ð x ( k = x ( k + K ( [ y ( Ð H ( x ( k = x ( Ð Ð K ( [ H ( x ( + v ( Ð Hk ( ) = [ IÐ K( H( [ x ( Ð Ð Kk ( )vk ( ) = E { x ( k x T ( k (6 (6) Si on subsiue l expression (6 dans la relaion (6), il vien, en enan compe de la relaion maricielle ( AB) T = B T A T : Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle R 7 8 3

14 FILTRAGE OPTIMAL = [ IÐ K ( H ( E [( x ( Ð )( x ( Ð ) T soi : [ IÐ K ( H ( T + K ( E { v ( v T ( K T ( = [ IÐ K ( H ( [ IÐ K ( H ( T + K ( R ( K T ( (63) Expression du gain du filre de Kalman K ( Rappelons que nous devons chercher l expression du gain K ( qui minimise le crière : J = E { x T ( k x ( k Noons au passage que nous avons : race = E { x T ( k x ( k = J (64) La relaion (63) es une forme quadraique en K ( Nous obiendrons la valeur du gain opimal en résolvan l équaion suivane : J ( = K ( e en enan compe de la relaion ( race KAK T ) = KA K soi : Ð [ IÐ K ( H ( H T ( + K ( R ( = d où : K ( = H T ( [ H ( H T ( + R ( Ð (65) Dans le cas coninu, cee dernière équaion prend la forme d une équaion différenielle de Riccai C es pour cee raison, e par analogie, que la relaion (65) es appelée ici équaion de Riccai discrèe Elle peu êre réécrie sous la forme suivane : = Ð K ( H ( = [ IÐ K ( H ( (66) La marice K ( H ( es définie posiive (cf noa ci-dessous) ou, à la rigueur, semi-définie posiive Il s ensui que ous ses élémens diagonaux seron soi posiifs, soi nuls Par conséquen, on pourra affirmer que : race < race e donc le crière J ( ira en décroissan, ce qui garani la convergence du filre Noa : soi x un veceur e A une marice, on di que la marice A es définie posiive si la forme quadraique x T A x es sricemen posiive Dans le cas conraire, on di qu elle es définie négaive Une marice elle que x T A x es die semi-définie posiive Aure expression du gain K ( Reprenons l expression du gain donnée par la relaion (65) : K ( = H T ( [ H ( H T ( R ( Ð Si P e R son inversibles, on aura en appliquan le lemme d inversion maricielle à la relaion (66) : P Ð ( k P Ð = ( k + H T ( R Ð H ( (67) Les quaniés PP Ð e RR Ð éan égales à la marice unié, on peu les insérer dans l expression du gain, soi : K ( = P Ð ( k H T ( R ( R Ð ( [( H ( H T ( + R ( ) Ð = P Ð ( k k ) H T ( R Ð [( H ( H T ( + R Ð ( + I) Ð Nous allons remplacer dans cee dernière relaion P Ð ( k k ) par sa valeur donnée par la relaion (67), il vien : K ( = [ P Ð ( k k Ð ) + H T ( R Ð ( k ) H ( Pk ( H T ( R Ð ( [( Hk ( ) P( k H T ( R Ð ( k ) + I) Ð = [ I+ H T ( R Ð ( k ) H ( H T ( R Ð ( k ) [[( H ( H T ( R Ð ( k ) + I) Ð = H T ( R Ð ( [ I+ H ( H T ( R Ð ( k ) [( H ( H T ( R Ð ( k ) + I) Ð soi, en définiive : K ( = H T ( R Ð ( La quanié P (k/ radui la confiance que nous pouvons avoir dans le modèle adopé R radui le niveau de brui sur la mesure Nous pouvons, en oure, écrire, dans le cas scalaire par exemple, l équaion récursive de mise à jour de l esimaion comme sui : ö x ( = ö x ( k Ð + K ( [Terme de correcion Il apparaî ainsi que : à R ( consan, si P ( es faible, le gain sera faible Ainsi, on fera davanage confiance à l esimaion obenue à parir du modèle Si P ( es élevé, ce qui radui nore faible confiance dans le modèle, K sera élevé e la conribuion du erme de correcion pondéré par le gain sera plus fore ; ) à P ( consan, si R ( es faible, nous aurons donc des mesures faiblemen bruiées La valeur élevée du gain donnera plus de poids à la mesure Si R ( es élevé, le gain sera faible e le poids du deuxième erme sera plus faible 33 Iniialisaion e mise en œuvre du filre de Kalman Condiions iniiales x () e P () Pour pouvoir uiliser l ensemble des équaions récurrenes consiuan le filre de Kalman, on doi choisir les condiions iniiales, x ( ) e P ( ) : ö x ( ) = E { x ( ) car, au démarrage du filre, la seule informaion que l on pourrai espérer avoir au mieux es la valeur moyenne du veceur d éa, e E {[ x ( ) Ð ö x ( ) [ x ( ) Ð ö x ( ) T = P ( ) = P ( ) Nous résumons ci-après l ensemble des équaions du filre Équaion du modèle x ( k + = Φ ( k +, x ( + G ( u ( Équaion d observaion y ( = H ( x ( + v ( R Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle

15 FILTRAGE OPTIMAL Informaion a priori E { u ( = E { v () j = Équaion du filre E { u ( u T () j = δ ( k, j) Q ( E { v ( v T () j = δ ( k, j) R ( E { u ( v T () j = k, j = + K ( [ y ( Ð H ( ou encore ö x( k = Φ( k ö x( k Ð k Ð + Kk ( ) [ yk ( ) Ð Hk ( ) ö x( k Expression du gain (68) K ( = H T ( [ H ( H T ( + R ( Ð e K ( = H T ( R Ð ( (69) Variance a poseriori = [ IÐ K ( H ( Variance a priori = Φ ( k, k Ð P ( k Ð k Ð Φ T ( k, k Ð + G ( k Ð Q ( k Ð G T ( k Ð (7) Remarques générales : Si nous prenons les expressions des marices de covariance d erreur, appelées aussi erreur a priori e erreur a poseriori d une par, e du gain K ( d aure par : = Φ ( k, k Ð P ( k Ð k Ð Φ T ( k, k Ð + G ( k Ð Q ( k Ð G T ( k Ð K ( = H T ( [ H ( H T ( + R ( Ð = [ IÐ K ( H ( (7 (7) il apparaî que l on peu déerminer ces rois quaniés indépendammen de oue mesure e avan même que celle-ci ne soi raiée par le filre En effe, les paramères qui inerviennen dans ces rois expressions dépenden soi des paramères du modèle, soi de la connaissance a priori des saisiques du processus généraeur e du brui de mesure (ces informaions fon aussi parie du modèle) Ces quaniés peuven êre déerminées dans l ordre où elles son écries On a besoin pour ce faire de la connaissance de P (/) que nous noerons P () Calcul a priori Injecion de P () Prise en compe des mesures Calcul a poseriori P (k /k K( x( P (k / Figure 3 Organigramme du filre de Kalman k = k + Mise à jour u ( + G + x( + y( + + Z H K x(k / + Z Figure 4 Schéma bloc du filre de Kalman Le choix des valeurs iniiales es délica En effe, un mauvais choix de x (), c es-à-dire à la limie une valeur arbiraire, n es pas caasrophique en ce sens que l algorihme excié par les mesures apporera les correcions nécessaires Par conre, le raiemen des mesures n améliore pas la covariance de l erreur au fur e à mesure de son raiemen Nous pouvons raduire nore ignorance de P () en adopan P () = a I, a ayan une valeur élevée ( à ) Le déroulemen des différenes opéraions peu êre décomposé comme sui : pour k =, on calcule successivemen : P (/) à parir de la relaion (7, en enan compe de P () K ( à parir de la relaion (69) X ( par la relaion (68) P (/ e on coninue en faisan k =,, comme sui : k = : P (/) ; K ( ; x ( ; P (/ k = : P (/ ; K () ; x () ; P (/) k = 3 : ec Ceci perme de représener ces opéraions par l organigramme de la figure 3 Le schéma bloc du filre, quan à lui, es représené par la figure 4 Exemple : nous allons, sur un exemple scalaire, illusrer le déroulemen des différenes opéraions de mise en œuvre du filre de Kalman Au préalable, reprenons les équaions (69), (7), (7) qui se réduisen dans ce cas à : Considérons le modèle scalaire avec les valeurs numériques suivanes : Φ = ; G = ; P ( ) = ; Q = ; R = e H = Les rois équaions précédenes deviennen : e Φ (k, k v( = P ( k Ð k Ð + Q H ( Φ (k,k x(k /k x(k /k K ( = [ Φ P ( k Ð k Ð + Q [ Φ P ( k Ð k Ð + Q+ R Ð e = R [ Φ P ( k Ð k Ð + Q [ Φ P ( k Ð k Ð + Q+ R Ð = RK ( = P ( k Ð k Ð + K ( = [ P ( k Ð k Ð + [ P ( k Ð k Ð + 3 Ð = K ( Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle R 7 8 5

16 FILTRAGE OPTIMAL Le ableau suivan résume l évoluion des différens paramères : k K ( Ð Ð 3,75 7,5 7,5,74 7,4 3 7,4,74 7,4 On consae que praiquemen, au bou de la roisième iéraion, k = 3, P (k/ e le gain n évoluen plus e l on peu écrire : = P ( k Ð k Ð = P ( en combinan alors les deux équaions donnan P (k/ e K (, on voi que P ( obéira alors à l équaion du deuxième degré : P k + P k Ð = qui adme pour soluion P k = 7,4 On peu donc considérer R = 3 comme permean d aeindre le régime permanen L équaion de l esimaeur devien : ö x ( k + k + = +,74 [ y ( k + Ð Noion d innovaion Reprenons l équaion de l esimaeur récursif dans le cas scalaire : = + K ( [ y ( Ð H ( y ( représene la mesure effecive e H ( la prédicion de la mesure Si cee prédicion es parfaie, la correcion apporée par la quanié : ν ( = y ( Ð H ( es nulle On appelle ν ( l innovaion On peu monrer que si le filre es opimal, le processus ν ( es un brui blanc de valeur moyenne nulle, c es-à-dire qu il ne conien plus d informaion pouvan enrichir la mise à jour de l esimaion de l éa Ainsi, en esan la «blancheur» de l innovaion, on peu apprécier le degré d opimalié e donc les performances du filre Noa : les performances du filre de Kalman peuven se dégrader e le filre risque de diverger si la dynamique du brui processus généraeur n es pas gaussienne 34 Filrage de Kalman d un signal de parole noyé dans un brui blanc gaussien Nous allons, dans ce qui sui, formaliser l uilisaion du filre de Kalman en an que filre qui perme d augmener le rappor signal à brui Nous présenerons ensuie son applicaion au débruiage du signal de parole dans le cas du radioéléphone 34 Mise en œuvre du filre On considère le signal de parole s ( modélisé par un processus auorégressif (AR) d ordre p : où u ( représene le signal d exciaion qui perme de générer s ( Soi le veceur d éa consiué par les p dernières valeurs du signal s ( : (74) e l observaion y ( On peu représener ce sysème dans l espace d éa : où : x ( = [ s ( p+,, s ( T x ( k + = Φx ( + Gu ( Φ = y ( = Hx ( + b ( a p a p a (75) (76) es la marice de ransiion Les marices G de commande e H d observaion son elles que : G = H T = [,,,, T u ( es le processus généraeur e b ( le brui addiif conaminan le signal On suppose que u ( e b ( son indépendans, blancs, gaussiens, de moyennes nulles e de variances respecives σ u e σ b : E { u ( = E { b ( = E { u ( b () l = E { u ( u () l = σ u δ ( k, l) e E { x ( ) u () l = E { b ( b () l = σ b δ ( k, l) e E { x ( ) b () l = Il s agi d esimer le veceur d éa x ( compe enu des informaions disponibles à l insan k La composane p du veceur d éa es l échanillon s ( du signal de parole Pour cela, on peu uiliser le filre de Kalman [équaions (68)-(7) : = Φx ö ( k Ð k Ð = + K ( [ y ( Ð H ( K ( = H T ( [ H ( H T ( + σ b Ð = [ IÐ K ( H ( = Φ P ( k Ð k Ð Φ T + GG T σ u p s ( = Ð a i s ( i) + u ( i = (73) Dans le paragraphe suivan, on va esimer les paramères du modèle auorégressif du signal uilisé pour la mise en œuvre du filre de Kalman R Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle

17 FILTRAGE OPTIMAL 34 Esimaion de paramères On va écrire la foncion d auocorrélaion de y (, que nous noerons r yy, sachan que le signal e le brui ne son pas corrélés e que le brui es un brui blanc : Ampliude 6 4 Signal original r yy () l = E { y ( y ( l) = E { s ( s ( l) + E { b ( b ( l) = r ss () l + r bb () l = r ss () l + δ () l σ b (77) La foncion d auocorrélaion de l observaion y es égale à la foncion d auocorrélaion du signal s pour les valeurs de l non nulles Reprenons l équaion (73) : p s ( = Ð a i s ( i) + u ( i = Muliplions-la par s (k l ) e prenons l espérance mahémaique ; il vien : Échanillons Figure 5 Signal de parole original où : E { s ( s ( l) = p E Ð a i s (( i) s ( l) ) + u ( s ( l) i = (78) Ampliude 6 4 Signal bruié E { u ( s ( l) = δ () l σ u E { s ( s ( l) = r ss () l E { s ( i) s ( l) = r ss ( lð i) (79) on peu donc réécrire l expression (78) : 4 p r ss () l = Ð a r i ss ( lð i) + δ () l σ u i = On peu voir que le deuxième erme dans la parie droie es non nul uniquemen pour l = On peu donc écrire l équaion (79) pour p + l p en uilisan l équaion (77), soi : Échanillons Figure 6 Signal de parole bruié p r yy () l = Ð a r i yy ( lð i) i = Pour calculer les paramères a i, on écrira : Ampliude 6 Signal débruié a p a = r yy ( r yy (p) r yy (p) r yy (p r yy (p + r yy (p) 4 Si l on dispose de N échanillons du signal y (n), on peu esimer sa foncion d auocorrélaion par : r yy () l N = --- y () i y ( ið l) N i = l + Rappelons, pour les leceurs qui ne son pas familiers avec les signaux de parole, que l on considère que le signal de parole es une succession de segmens de signaux quasi périodiques (voyelles) e aléaoires (consonnes) Échanillons Figure 7 Signal de parole débruié par filrage de Kalman Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle R 7 8 7

18 FILTRAGE OPTIMAL L esimaion de la variance du brui de mesure sera effecuée pendan les périodes de silence à parir de la relaion : N σ b = --- b () i N i = e celle de la variance du brui généraeur par la relaion : σ u = r yy ( ) Ð σ b 343 Résulas expérimenaux On considère l expérimenaion suivane où le signal de parole es le signal uile Ce signal es perurbé par un brui blanc Cee expérimenaion peu couvrir le cas de la réducion du brui dans l habiacle d une voiure pour le radioéléphone Il s agi, à défau d annuler l effe du brui, ou au moins de le réduire Ainsi, on présene successivemen une rame de signal original (figure 5), de signal bruié (figure 6) e, enfin, le signal débruié (figure 7) Noa : on peu considérer le problème de l esimaion d un signal noyé dans un brui comme la résoluion d un problème d esimaion conjoine des paramères du modèle e de l éa Dans ce cas, on es condui à la résoluion d un problème de filrage non linéaire en uilisan le filre de Kalman éendu (EKF) On peu aussi aborder la résoluion du problème en esiman les variances Q e R L approche de Mehra sur l esimaion de Q e R a éé éendue à l exracion de signaux noyés dans du brui blanc ou coloré 4 Inroducion au filrage adapaif 4 Différens algorihmes Figure 8 Filrage adapaif 4 Algorihme du ype gradien sochasique ou (LMS) 4 Posiion du problème Nous allons reprendre les noaions que nous avons uilisées au 5 Soi H N le veceur des paramères du filre à esimer : e soi X (n) XT N le veceur des échanillons du signal d enrée qui donnen le signal de sorie : + y (n) H N Filre adapaif e (n) HT N = [ h (,, h ( N) d (n) e (n) = d (n) y (n) XT N = [ x, x ( n Ð,, x ( nð N+ HT N H N On représene aussi le filrage adapaif par le schéma de la figure 8, que nous avons présené dans le paragraphe 5, où la sorie du filre adapaif ö y es comparée à une sorie désirée d (n) qui joue le rôle de la sorie réelle que l on cherche à approximer On appellera filre adapaif un filre numérique don les coefficiens évoluen en foncion des signaux reçus Ces coefficiens seron esimés par des algorihmes récursifs, au sens d un cerain crière Les crières qui son généralemen reenus pour l obenion de ces algorihmes son du ype moindres carrés car ils conduisen aux résulas les plus simples à inerpréer Les filres peuven êre à réponse impulsionnelle finie (RIF) ou infinie (RII), quan à la srucure, elle es soi ransverse, soi en reillis Les familles d algorihmes qui en découlen on des complexiés arihméiques différenes e leur comporemen dépend du ype d exciaion e de l absence ou de la présence de brui On considèrera deux grandes familles d algorihmes basés sur le gradien sochasique ou LMS (Leas Mean Squares) e sur les moindres carrés récursifs ype MCR (ou RLS) Dans cee dernière famille, la recherche d algorihmes à rès faible complexié a condui à développer des algorihmes dis rapides, appelés FTF (Fas Transversal Filers) Le développemen d algorihmes rapides de ype FTF qui peuven opérer en emps réel résule de la réducion des redondances Cee réducion de la redondance «fragilise» en quelque sore ces algorihmes sous l effe conjugué des arrondis e des roncaures quand ces algorihmes doiven opérer sur des processeurs à virgule fixe Il en résule ainsi une insabilié que l on a essayé de circonscrire duran les dernières années en développan des versions dies sabilisées 4 Algorihme LMS Nous allons présener ici une méhode iéraive, celle die du gradien par la méhode de la plus grande pene (seepes descen) qui effecue la recherche du minimum de la surface représenan l erreur quadraique moyenne (EQM) en suivan la direcion e le sens opposé du gradien Cee approche perme l obenion d une soluion récursive de l équaion de Wiener dans le cas discre [relaion (4 : La méhode du gradien perme de consruire cee soluion récursive par la relaion suivane : où : H = R Ð r dx α H = H ( n Ð Ð -- grad ε EQM ε EQM E { d ( n Ð Ð HT N ( n Ð X N ( n Ð = e α es un paramère di gain ou pas, qui perme de conrôler la convergence de l algorihme du gradien Soi : H = H ( n Ð + α E { X ( n Ð e ( n Ð (8) R Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle

19 FILTRAGE OPTIMAL Ce algorihme es d un usage limié car il es difficile de connaîre E { X ( n Ð e ( n Ð que l on va donc remplacer : E { X ( n Ð e ( n Ð = X ( n Ð e ( n Ð (8 La valeur moyenne es ainsi remplacée par sa valeur insananée L algorihme (8) devien : H = H ( n Ð + α X ( n Ð e ( n Ð (8) Ce son les différenes iéraions successives pour effecuer la mise à jour de H qui assuren la réalisaion de la moyenne e la convergence en moyenne de l algorihme On va monrer que la condiion qui assure la convergence es : < α < λ max où λ max es la plus grande valeur propre de la marice d auocorrélaion du signal d enrée Dans le cas d une séquence blanche de puissance σ x, cee condiion devien : α < Nσ x On monrera aussi que la viesse de convergence, proporionnelle au pas, es inversemen proporionnelle à la dispersion des valeurs propres e qu elle es indépendane des condiions iniiales On peu démonrer qu il exise une valeur de α qui maximalise la viesse moyenne de convergence du LMS, cee valeur es : α = λ min Dans le cas d une séquence blanche gaussienne, le pas maximalisan la viesse de convergence es : Erreur quadraique résiduelle À l inverse du gradien déerminise, le LMS à pas consan ne perme pas d aeindre le minimum de la surface d EQM, à cause du brui inrodui par les flucuaions du gradien esimé Le veceur H des paramères sui des flucuaions aléaoires vis-à-vis de la rajecoire obenue pour l uilisaion du gradien déerminise Ces flucuaions son à moyenne nulle e leur variance, proporionnelle au pas, rese bornée Convergence en moyenne du LMS Reprenons la relaion (8 : λ max α op = Nσ x H = H ( n Ð + α e ( n Ð X ( n Ð La démonsraion de la convergence es basée sur l hypohèse d indépendance de H e de X En fai, compe enu de la naure récursive de l équaion de mise à jour des coefficiens du filre, H dépend en fai, non seulemen de X ( n Ð, mais aussi de X ( n Ð ), X ( n Ð 3), D où le caracère conraignan de cee hypohèse qui nécessie que les veceurs d enrée { X soien non corrélés, c es-à-dire : E [ X X T ( m) = n m C es une condiion encore plus fore que celle qui nécessie que l enrée soi une séquence blanche Car, même dans ce dernier cas, c es-à-dire dans le cas où : E { X X T ( m) = σ b n = m = n m La marice d auocorrélaion définie par la relaion (8 donne par exemple pour m = nð : E { X X T ( n Ð = On voi ainsi que, même avec une séquence blanche, on ne peu pas saisfaire «l hypohèse d indépendance» Ceci monre l aspec un peu «irréalise» de cee hypohèse Reprenons l équaion de mise à jour des coefficiens du filre sous la forme : qui peu êre réécrie, en noan que HT N X = ( HT N X ) T = X T H N : σ b σ b σ b H ( n + = H + α [ d Ð HT N X X H ( n + = ( I Ð αx X T ) H + αd X e, en prenan les valeurs moyennes des deux membres : E [ H ( n + = ( I Ð α R) E ( H ) + αrh (83) en noan R = E [ X X T la marice d auocorrélaion de X Définissons le veceur erreur U, différence enre la valeur moyenne de H e la valeur opimale H soi : U = E ( H ) Ð H Si nous reranchons H de chacun des deux membres de l équaion (83), il vien : E ( H ( n + ) Ð H = ( I Ð αr) E ( H ) Ð ( I Ð αr)h ainsi U ( n + = E ( H ( n + ) Ð H d où U ( n + = ( I Ð αr) E ( H Ð H ) soi U ( n + = ( I Ð αr) U (84) Cee dernière équaion es inéressane dans le sens où elle nous fourni une expression récursive d évoluion de l erreur d esimaion des paramères du filre Ainsi, démonrer que le LMS converge en moyenne vers la soluion opimale H se ramène à démonrer que l erreur converge vers zéro U Pour ce faire, nous allons effecuer un découplage des équaions de mise à jour en uilisan la décomposiion suivane que nous éablirons en annexe (en fin d aricle) : R = QΛQ T (85) où les colonnes de la marice Q son les veceurs propres de R : Q = [ Q Q N Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle R 7 8 9

20 FILTRAGE OPTIMAL e Λ la marice des valeurs propres noée comme sui : or λ i d où race (R) λ max soi : Λ = λ λ avec QT Q = I où I es la marice idenié λ N λ N max λ i i = On peu donc remplacer la condiion (88) par la condiion plus resricive : Reprenons l équaion (84) e subsiuons-y l équaion (85) : U ( n + = ( I Ð α Q Λ Q T ) U (86) < α < N λ i i = L analyse de la convergence va êre effecuée en iran avanage de la relaion (85) Pour ce faire, on va considérer un veceur U obenu par la ransformaion linéaire suivane : U = Q T U Ainsi, si nous prémuliplions les deux membres de l équaion (86) par la marice Q T e si nous uilisons la relaion Q T Q = I, il vien : Q T U ( n + = [ Q T Ð αq T QΛ U e, en uilisan la propriéé Q T Q = I, il vien : Q T U ( n + = [ I Ð αλ Q T U, soi : U ( n + = [ I Ð αλ U (87) e, compe enu du fai que Λ es une marice diagonale, on pourra écrire pour chaque composane i du veceur U ( n +, les relaions suivanes : U i ( n + = ( Ð αλ i ) U i Par ailleurs, R éan une marice de Tœpliz, on pourra écrire : d où N λ i = race ( R) = N r ( ) = N E [ x i = < α < = NE ( x ) N σ x < α < N ( puissance du signal d enrée) Il s agi d une condiion ceres plus resricive sur la sabilié du filre, mais plus facile à mere en œuvre Dispersion des valeurs propres Pour les processus saionnaires, pourvu qu il y ai indépendance, l algorihme LMS converge en moyenne vers la valeur opimale Mais cee convergence ne se fai pas de manière uniforme Ceci es un problème majeur pour le LMS Reprenons l équaion (87), soi : Le caracère récursif de cee relaion perme d écrire : U i ( n + = ( Ð αλ i ) U i (89) Ainsi, l algorihme va converger si la limie de l erreur vers zéro quand n devien infini, soi : end ceci a lieu si Ð αλ i < Ainsi, le veceur U converge vers zéro e le filre converge vers H Les valeurs propres λ i son, comme nous le verrons dans l annexe, réelles e posiives, car la marice R es symérique définie posiive donc : α > ; α < --- ; < α < --- j = L Ð λ j λ j Cee condiion doi êre saisfaie pour oues les valeurs de λ, ainsi la borne supérieure sera : où λ max U i = ( Ð αλ i ) n U i ( ) lim n ( U i ) Ð < Ð αλ i < soi : < α < λ max Noa : considérons la race de la marice R : U i (88) es la plus grande valeur propre de la marice R N race ( R) = λ i i = Si la condiion < α < λ max es saisfaie, ous les coefficiens du veceur erreur von décroîre en ampliude Néanmoins, le aux de décroissance de chaque élémen ou mode dépend de la quanié Ð αλ i Ceci explique que cerains modes von converger plus rapidemen que d aures Ainsi, le LMS converge de manière non uniforme vers la valeur opimale Ce phénomène de convergence non uniforme es dû à la disparié des valeurs propres Consane de emps de convergence Reprenons la relaion : U i = ( Ð αλ i ) n U i ( ) Noons l insan considéré n = i La consane de emps se défini par le emps nécessaire pour que l ampliude soi réduie à U i ( ) , c es-à-dire : e U U i ( i ) = ( Ð αλ i ) i U i ( ) i ( ) = (9) e Soi, en prenan les logarihmes des deux derniers ermes de la relaion (9) : i ln ( Ð αλ i ) = Ð où ln désigne le logarihme népérien R 7 8 Techniques de l Ingénieur, raié Mesures e Conrôle

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