Non-résonance entre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire

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1 Non-résonance enre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire AREl Amrouss MMoussaoui Absrac We consider he quasilinear Dirichle boundary value problem (φ p (u )) = f(u)+h(x),u(a)=u(b)=0, where (φ p (u )) is he one dimenional p-laplacien, and prove is solvabiliy for any given h, under new assumpions on he asympoic behaviour of he poenial of he nonlineariy f, wih respec o wo firs eigenvalues of he associaed quasilinear problem Inroducion Dans ce aricle on s inéresse à l exisence des soluions du problème suivan : { (φp (u (P) )) = f(u)+h(x) dans ]a,b[ u(a) =u(b) = 0 où f : R R es une foncion coninue, h :[a, b] R es Lebesgue inégrable e φ p : R R définie par φ p (s) = s p 2 s, p> Noons par λ k (p), la k ième valeur propre du problème : { (φp (u )) = λφ p (u) dans ]a,b[ u(a) =u(b) = 0 Received by he ediors January 996 Communicaed by J Mawhin 99 Mahemaics Subjec Classificaion : 34B5-34C25 Key words and phrases : Non-résonance - Quasi-linéaire - héorie du degré Bull Belg Mah Soc 4 (997), 37 33

2 38 AREl Amrouss MMoussaoui Il es bien connu que λ k (p) = e Posons s l ± (p) = inf s ± L ± (p) = inf s ± ( ) p kπp (p ) /p avec Π p =2 b a 0 φ p (s), k ±(p) = sup s ± ds ( sp )/p p φ p (s) pf (s) s, K pf (s) ±(p) = sup p s ± s p où F (s) = f() d 0 On suppose λ (2) l ± (2) k ± (2) λ 2 (2) () Il es bien connu que, voir par exemple [D] e [M-W], dans ces condiions e si λ (2) <l ± (2) e k + (2) ou k (2) <λ 2 (2) alors pour ou h, (P) es solvable pour p =2 Récemmen, cerains aueurs on éabli divers résulas d exisence sous les condiions () e si, λ (2) <K ± (2) e L + (2) ou L (2) <λ 2 (2) Cions par exemple : Mawhin, Ward e Willem [M-W-W], Cosa-Olivera [C-O], Omari-Zanolin [O-Z] e Del Sano-Omari [D-O] Dans [N-Z], Njoku e Zanolin on prouvé unrésula d exisence en supposan : i) λ (2) <l + (2) L + (2) <λ 2 (2) (2) ii) λ (2) <K (2) k (2) <λ 2 (2) iii) sign(s) +, quand s + Le bu de ce papier es de présener un ensemble de résulas d exisence, permean de se passer de l inégalié gauche dans () e (2) c es à dire nous pouvons avoir la siuaion suivane (cf exemple 5) : inf s ± φ p (s) λ (p) sup s ± φ p (s) Théoreme Supposons que sign(s) +, quand s + λ (p) < sup s ± pf (s) s p, sup s + φ p (s) λ 2(p) e sup s φ p (s) <λ 2(p) Alors (P) adme au moins une soluion pour ou h L (a, b) Ensuie, nous nous ions à des condiions poran uniquemen sur le rappor pf (s) Noons par : s p A = u(p ) /p Π p (u) =2 0 ds ( sp p )/p, pour u [, ], p { ((s, ), (x, y)) ([λ (p),λ 2 (p)] 2 ) 2 s, x y e s /pπ p( s )/p +

3 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 39 x /pπ p( x } y )/p = b a B = {((u, v), (w, z)) R 2 R 2 ((s, ), (x, y)) A avec (u, v) ]s, [ 2 e (w, z) ]x, y[ 2 } Théoreme 2 Supposons que ((L + (p),k + (p)), (L (p),k (p))) B e que sign(s) +, quand s + Alors(P) adme au moins une soluion pour ou h L (a, b) Dans{ le cas p = 2, l ensemble A es : A = ((s, ), (x, y)) ([λ,λ 2 ] 2 ) 2 2 x Arcsin(x /2 y )/2 = b a 2 e 2 x Arcsin(x /2 y )/2 = b a } 2 on a la représenaion suivane : λ 2 2λ λ y = x sin b a x B y = x λ λ 2 Donc si sign(s) + e (L + (2),K + (2)), (L (2),K (2)) B, alors pour ou h L,(P) es solvable La preuve de ces résulas uilise la méhode de Leray- Schauder e ceraines propriéés des oscillaions de la soluion d une équaion différenielle ordinaire 2 Lemmes echniques Considérons la famille de problèmes suivans : (P,λ) { (φp (u )) = f(λ, u)+λh(x) dans ]a, b[ (2) u(a) =u(b) = 0 où f(λ, ) es une foncion coninue quelconque pour λ [0] Posons y() =φ p (u )+λh() (22) avec H() = a h(s) ds e par suie y () = f(λ, u()) (23)

4 320 AREl Amrouss MMoussaoui Nous observons que oue soluion u()duproblème (P,λ) es de classe C avec φ p (u ) absolumen coninue Noons par u = u(x )=maxu() eu =minu() =u(x ), avec x (respx ) es le premier poin de [a, b] (resp le dernier poin ) où lemaximum (resp le minimum) de u() es aein Le lemme suivan généralise un lemme donné par Njoku e Zanolin dans [N-Z] Lemme 2 Supposons qu il exise c>0 el que f(λ, s) > 0 pour ou s c e λ [0] (24) Alors pour ou d 0 il exise R d >cel que pour chaque soluion u() de (P,λ) avec u >R d on a les propriéés suivanes : (a) il exise des paramères α +, β +, γ +, γ 2 + avec : α + <γ + x γ + 2 <β + els que u(α + )=u(β + )=c e u() >csur ]α +,β + [, y(γ + )=2M e y(γ 2 + )= 2M avec M = H (b) il exise une consane L>0, dépendan uniquemen de γ + e γ 2 +,elle que : u L<u(γ + ), u(γ 2 + ) <u, u() es croissane sur [α +,γ + ] e décroissane sur [γ 2 +,β + ] 2 Si u R d alors : u + β+ α + = b a uniformémen en λ (25) Preuve : Prenons α + =max{x [a, x ]:u(x) =c} e β + =min{x [x,b]:u(x) =c} alors u() >csur ]α +,β + [ De (22), y es sricemen décroissane sur ]α +,β + [, alors pour ou [α +,γ + ]: φ p (u )=y() λh() y(γ + ) M = M (26) donc u () > 0sur[α +,γ + ], par suie u() es sricemen croissane sur [α +,γ + ]e de même on monre que u() es sricemen décroissane sur [γ 2 +,β + ] Pour un 0 ]γ +,x [elquey( 0 )= 3 M, on monre de même que dans (25) u() es sricemen 2 croissane sur [α +, 0 ] D où u(γ + ) <u( 0 ) u e de la même manière nous prouvons que u(γ 2 + ) <u e d après (26) on monre l exisence d un L>0elque: u L<u(γ + ),u(γ 2 + ) 2 En inégran (22) sur [, α + ] pour ou [a, α + ]alors: y(α + )+ De (24) il vien : α + f(λ, u(s))χ [u(s) c] ds + y(α + )+ α + α + f(λ, u(s))χ [u(s) c] ds y() donc il exise une consane K(c) dépendane de c elle que : f(λ, u(s))χ [u(s)>c] ds = y()

5 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 32 y(α + ) K(c) y() [a, α + ] (27) D aure par, pour ou [α +,x ]nousavons: u () p y() + M (28) e comme y es décroissane alors y(x ) y() y(α + ), d où y() y(α + ) + y(x ) y(α + ) + M [α +,x ] (29) Or y(γ + ) y(α + )eparsuiey(α + ) M En combinan (28) e (29) il vien : Puis, en inégran sur [α +,x ]ilrésule : u () (y(α + )+M) /p ( u ) c p M y(α + ) b a e en veru de (27) il sui que pour ou [a, α + ]: Pour u saisfaisan On a u () > 0, donc ( u ) c p 2M K(c) u () p u () b a ( u ) c p > 2M + K(c) b a [( u c b a )p (2M + K(c))] /p u () D où, en inégran cee dernière sur [a, α + ]nousavons: α + c a [( u c b a )p (2M + K(c))] /p e par suie, u + α+ a = 0 uniformémen en λ [0, ] De même on monre que u + b β+ = 0 uniformémen en λ [0, ] d où u + β+ α + = b a uniformémen en λ [0, ] Remarque : i) Une version duale du lemme 2 peu êre obenue en remplaçan (24) par f(λ, s) < 0 pour ou s c e λ [0] Dans cee siuaion on change le symbole + desparamères α +, β +, γ +, γ + 2 par le symbole ii) Considérons

6 322 AREl Amrouss MMoussaoui A = {u C[a, b] u() soluionde(p,λ)avecλ [0]} Si A es uniformémen borné alors il exise S, T deux consanes elles que max u() S e min u() T pour oue soluion u() de(p,λ)avecλ [0, ] Dans ou ce qui sui on va supposer que A es non uniformémen borné Lemme 22 Supposons qu il exise k,k 2 > 0 els que : k u + β+ α + <b a uniformémen en λ e k 2 u β α <b a uniformémen en λ avec b a<k + k 2,alors(P) adme au moins une soluion pour ou h L Preuve La preuve de ce lemme se fai en deux éapes : ére éape Nous monrons l exisence de deux consanes S, T > 0 elles que : max u() S e min u() T pour oue soluion u() de(pλ) avecλ [0, ] Affirmaion : il exise une consane K>0 indépendane de u() e λ elle que max u() K ou K min u() pour oue u() soluion de (Pλ) En effe, Supposons par l absurde qu il exise une suie u n () :soluionde(p,λ) pour λ = λ n elle que max u n () + e min u n (), quand n + Puisque b a<k + k 2 inf u + β+ α + + inf u β α, alors on peu passer à une sous-suie noée aussi u n () elle que : e comme il résule : b a< n + β+ n α+ n + β n α n n + β+ n α + n + βn α n b a, b a<b a Ce qui es absurde Pour achever la première éape, nous allons raier deux cas : er cas : Supposons min u() K Il exise S>0elquemaxu() S pour oue soluion u()de(p,λ)avecλ [0] ; car sinon, nous aurions pour ou S>0 l exisence d une soluion u S () de(p,λ) elle que max u S () =S, e comme inf u + β + α + <b a, alors il exisera une suie u n () soluionde(p,λ) elle que n + β + n α+ n <b a e max u n() + D aure par, min u n () K,alorsd après le lemme 2 il vien n + β+ n α + n = b a Ce qui es absurde En prenan T = K +, alors la conclusion de la première éape es saisfaie

7 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire ème cas : Supposons max u() K De la même manière que dans le er cas, on monre l exisence de deux consanes S, T > 0 elles que max u() S e min u() T pour oue soluion u()de(p,λ) 2ème éape : Nous prouvons que (P) adme au moins une soluion pour ou h L, pour ceci on va uiliser la héorie du degré deleray-schauder Considérons le problème { (φp (u (20) )) = e(x) dans ]a,b[ u(a) =u(b) = 0 où e L Dans [D-E-M], il es prouvé que (20) adme une soluion unique Soi H l opéraeur qui envoie e L en l unique soluion u() duproblème (20) Noons que H es un opéaeur borné econsidérons l opéraeur K défini comme sui : K : C([a, b]) C([a, b]) u() H(f(u()) + h()) Nous vérifions facilemen que K es un opéraeur compac Soi u() C([a, b]) elle que : u() =λk(u()) pour λ ]0, ] (E,λ) alors (E,λ) correspond au problème (Pλ) pour ou λ ]0, ] Considérons l ouver : O = {u() C([a, b]) T<u() <S [a, b]} D après la première éape, 0 / (I λk)( O)eainsi(E,λ) adme une soluion pour λ = 0 De l invariance par l homoopie de la héorie du degré de Leray-Schauder, on ire que (P) adme au moins une soluion 3 Preuve des héorèmes Dans ou ce qui sui nous allons supposer que f(λ, s) =( λ)νs + λ avec pf (s) λ [0, ] e ν es fixé elqueλ <ν< sup s ± Puisque sign(s) s p +, quand s, alors il exise une consane c > 0 elle que : sign(s)f(λ, s) > 0 pour ou s c 3 Preuve du héorème Pour la preuve du héorème nous avons besoin du lemme suivan : Lemme 3 i) b a 2 inf u + β + α + <b a uniformémen en λ [0, ]

8 324 AREl Amrouss MMoussaoui ii) b a inf u β + α <b a uniformémen en λ [0, ] 2 Preuve : Monrons i), puis ii) découle d une manière similaire ère pf (s) éape : nous allons monrer que si ν< sup s + alors s p inf u + β+ α + < Π p (ν) /p En effe, de l inégalié ν< sup s + pf (s) s p nous avons : sup(f (s) ν s + p sp )=+ (3) D où l exisence d une suie (s n ) n croissane qui end vers + elle que : (F (s) ν p sp ) (F (s n ) ν p sp n ) pour ou s [0,s n[ ou encore ν p (sp n s p ) F (s n ) F (s) pour ou s [0,s n [ (32) Muliplions l équaion (2) par u () einégrons sur [, x ]avec [α +,x ], il résule : x x x φ p (u (s)) u (s) ds = ( λ)ν φ p (u(s))u (s) ds + λ f(u(s))u (s) ds x + h(s)u (s) ds ou encore p p ( u () p ) = ( λ)ν(u p u() p )+λ(f (u ) F (u()) +λ x h(s)u (s)ds (33) En uilisan le fai que y() esdécroissane sur [, x ], φ p es un homéomorphisme croissan e u() es croissane sur [, γ + ], alors il exise deux consanes c, c 2 > 0 elles que : γ + h(s)u (s)ds c u ()+c 2 D aure par, on a y(x ) y() y(γ + )pourou [γ +,x ] e de (22) nous avons l exisence d une consane c 2 elle que : x γ + h(s)u (s) ds c 2

9 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 325 D où ilvien: x h(s)u (s)ds c u ()+r (34) En enan compe de (32), (34) e en posan u = s n dans (33) alors après un calcul simple il vien : ν p p (sp n u() p ) (u ()+m) p où m es une consane qui dépend seulemen de h, ouencore (ν p p ((sp n u() p )) /p u ()+m pour ou [α+,γ + ] (35) D où, en inégran (35) sur [α +,γ + ]: (ν p p )/p (γ + α + ) On peu vérifier aisémen que : c/sn 0 u(γ + )/sn c/s n ds ( s p ) /p + γ + α + ds 0, quand n + ( s p ) /p D aure par, comme u(γ + ) <s n nous avons : γ + α + md (s p n u() p ) /p (36) md (s p n u() p ) /p (γ+ α+) m (s p n u(γ + quand n ) p ) /p Faisons endre n vers + dans (36), nous obenons : n + γ+ α + (p ) /p ds (ν) /p 0 ( sp ) = Π p (ν) p /p 2 De même on monre que : Mainenan nous allons monrer que : n + β+ γ 2 + Π p (ν) /p 2 n + γ+ 2 γ + =0 En effe, pour ou [γ +,γ + 2 ]nousavons: Inégrons (25) sur [γ +,γ + 2 ]ilvien: u L u() inf {f(λ, s)/s [s n L, s n ]} (γ + 2 γ + ) y(γ + ) y(γ + 2 )=4M e puisque s + f(λ, s) =+ uniformémen en λ, ilsui: n + γ+ 2 γ + =0

10 326 AREl Amrouss MMoussaoui Finalemen il résule : inf u + β+ α + <b a 2ème éape : Nous allons monrer que si sup s + Π p inf (ν ) /p u + β+ α + φ p (s) = ν alors Prenons η = ν + ε avec ε>0, on vérifie facilemen que la foncion s p ηsp F (s) escroissaneenonbornée pour s posiif assez grand, plus précisémen pour s c (où c donné plus hau) Uilisons ceci dans (33) e en veru de (3,4) nous avons pour ou [α +,γ + ]: (u ()) p p p max(ν, η)(u p u() p )+c u ()+c 2 Puis, en uilisan l inégalié de Young, nous obenons : (u () ε) p p p max(ν, η)(u p u() p )+b où b es une consane qui dépend de ε e de h, ouencore u () ( p p max(ν, η)(u p u() p )) /p + m e par le même argumen que précédemmen nous obenons que : Alors il sui : Π p inf (ν ) /p u + β+ α + pour ou ε>0 Π p inf (η) /p u + β+ α + uniformémen en λ [0, ] Comme ν λ 2 (p), il résule : b a 2 inf u + β+ α + Ce qui achève la preuve Finalemen, des lemmes 22 e 3 nous avons l exisence d une soluion du problème (P) 32 Preuve du héorème 2 Pour la preuve de ce héorème nous avons besoin du lemme suivan :

11 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 327 Lemme 32 Pour ou (L +,K + ) [λ,ν[ ]K + (p),λ 2 ] e (L,K pf (s) ) [λ,ν[ ]K (p),λ 2 ] avec inf >νnous avons : s ± s p i) ii) (L + ) /pπ p( L+ K + (L ) /pπ p( L K ) < inf u + β+ α + <b a uniformémen en λ ) < inf u β α <b a uniformémen en λ Preuve Nous allons monrer le premier poin e le deuxième poin s obien de la même manière En noan g(λ, s) =λf (s)+ p ( λ)νsp,avecλ [0, ] e ν es fixé, (33)devien : p x p [u () p ]=p(f (λ, u ) F (λ, u())) + λp h(s)u (s)ds (37) pour ou [α +,γ + ], e nous avons L + pg(λ, s) < inf s + s p sup s + pg(λ, s) s p <K + D où pourunδ>0epours c on peu supposer L + + δ pg(λ, s) s p K + Ensuie il vien : p x p [u () p ] (K + u p (L + + δ)u() p )+λp h(s)u (s)ds (38) Par le même argumen uilisé danslapreuvedulemme3ilvien: u () p p (K+ u p (L + + δ)u()p ) /p + m En suivan les mêmes lignes que dans la preuve du lemme 3 il sui : (L + + δ) /pπ p( (L+ + δ) ) < inf u + β+ α + K + Puisque x Π x /p p (x) es croissane alors nous avons l inégalié gauche de i) pf (s) D aure par, puisque ν< sup s e en uilisan le résula du lemme 3 s nous avons p inf β + α + <b a Ce qui achève la preuve

12 328 AREl Amrouss MMoussaoui Puisque ((L + (p),k + (p)), (L (p),k (p))) B, ilexise((s, ), (x, y)) A el que (L + (p),k + (p)) ]s, [ 2 e (L (p),k (p)) ]x, y[ 2 Nous choisissons ((L +,K + ) e (L,K ) de elle sore que L + = s, L = x, K + [s, ] ek [x, y] D où nous obenons : (L + ) /pπ p( L+ K + )+ (L ) /pπ p( L K ) b a (39) Or d après les lemmes 22 e 32 on conclu que le problème (P) es solvable pour ou h L (a, b) 4 Remarques Remarque 2: Nous pouvons éablir d une manière duale à Celle du héorème le résula suivan : Théoreme 4 Supposons que sign(s) +, quand s + e λ (p) < sup s ± pf (s), sup s p s φ p (s) λ 2(p) sup s + φ p (s) <λ 2(p) Alors (P) adme au moins une soluion pour ou h L (a, b) Remarque 3: Considérons le problème suivan : (4) { (φp (u )) = f(x, u)+h(x) dans ]a, b[ u(a) = u(b) =0 où f :[a, b] R R saisfai à la condiion de Carahéodory (c es àdiref(x, ) es coninue pour pp dans [a,b], f(, s) es mesurable pour ou s R) epourchaque k>0ilexiseψ k dans L (a, b) elle que : f(x, s) ψ k (x) pour pp dans [a,b] e pour ou s <k En suivan les mêmes lignes que dans la preuve du héorème nous pouvons éablir le résula suivan : Théoreme 42 Supposons qu il exise deux foncions coninues f ± : R R elles que s ± = f ± (s) =+, f(x, s) f (s) pour ou s c 0 e pp dans [a,b], pf (s) f(x, s) f + (s) pour ou s c 0 e pp dans [a, b] e λ (p) < sup s ± s, p ou l une des deux condiions : f(x, s) sup s + φ p (s) λ f(x, s) 2(p) e sup s φ p (s) <λ 2(p) uniformémen en x [a, b]

13 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 329 f(x, s) 2 sup s φ p (s) λ f(x, s) 2(p) e sup s + φ p (s) <λ 2(p) uniformémen en x [a, b] Alors le problème (4) es solvable pour ou h L (a, b) 5 Exemples Nous allons donner deux exemples d applicaion des héorèmes précédens dans le cas p =2 Exemple : soi f : R R une foncion définie par 2s( + sin(s)) + ln s si s = as + a si s s sin(ln( s)) s2 cos(ln( s)) +2s si s 2 s avec a = (( + sin ) sin(ln 2) cos(ln 2) 2 4 Par un calcul simple nous avons : s 2 2s cos s +sins + s 0 ln d si s F (s) = a s2 + as si s 2 s 2 sin(ln( s)) + s 2 si s Nous vérifions facilemen que 2F (s) inf s + = 0, s + = 2, sup s s 2 s + =4 s inf s = 2 s, inf 2F (s) 2F (s) s =, sup s 2 s = 3, s 2 sup s = 7 e sign(s) +, quand s + Doncd après s 2 le héorème, pour ou h L (0,π), le problème { u = f(u)+h(x) u(0) = u(π) =0 adme au moins une soluion Noons que ce exemple ne peu êre raié niparle résula de [D-O], ni par celui de [N-Z] Exemple 2: Soien a o =0,a n =2 n,b n =2 n,b 2 3n+ n =2n +,n,γ 2 3n+ ]λ,λ 2 [ soi f : R R une foncion impaire définie par s si s [0, 3/6] [b 2n+,b 2n+2 ] [b 2n+2,b 2n+3 ] e n 0 = ln a 2n+ si s = a 2n+ e n 0 (a 2n+2 ) 2 si s = a 2n+2 e n 0

14 330 AREl Amrouss MMoussaoui e en connecan les valeurs aux poins b n,a n,b n d une manière linéaire comme le décri la figure suivane : λ 2 s γs λs ln s b 2n+ b 2n+ b 2n+2 a 2n+2 b 2n+2 a 2n+ s 2 Nous avons : 2F (s) inf s ± = 0, s ± = γ, sup s s 2 s ± = s e sign(s) +, quand s + Donc d après le héorème2, leproblème (P) adme au moins une soluion Nous remercions Mr JPGOSSEZ pour diverses remarques liées à nore éude Références [C-O] DGCosa,AOliveira, Exisence of soluion for a class of semi linear ellipic problems a double resonance Boll Soc Bras Ma, 9() (988), 2-37

15 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 33 [D-O] DDelSano e POmari, Nonresonance condiions on he poeniel for a semilinear ellepic problem, J Differenial Equaions, 08 (994) [D-E-M] MDelPino, MElguea e RManasevich, A homoopic deformaion along p of a Leray-Schauder degree resul and exisence for ( u p 2 u ) +f(, u) = 0, u(0) = u(t ) = 0, p > Preprin 989 [D] CLDolph, Nonlinear inegral equaions of he Hammerein ype, TransAmerMahSOC, 66(949), [M-W-W] JMawhin, JRWard, MWillem, Necessary and sufficien condiions for he solvabiliy of a non linear ow-poin boundary value problem, Proc Amer Mah Soc, 93, (985) [M-W] JMawhin, MWillem, Criical poins of convex perurbaions of some indefinie quadraic forms and semilinear boundary value problems a resonance, Ann Ins Herni Poincaré 6(986), [N-Z] FI Njoku e FZanolin, On he solvabiliy of a non linear Two-Poin BVP beween he firs wo eigenvalues, Differenial and Inegral Equaions, 3(990), [O-Z] P Omari, FZanolin, Nonresonance condiions on he poeniel for a second order periodic boundary value problems, (992) AR El Amrouss e MMoussaoui Universié Mohammed I Faculé des sciences Déparemen de mahémaiques e informaique Oujda, Maroc

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