Non-résonance entre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Non-résonance entre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire"

Transcription

1 Non-résonance enre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire AREl Amrouss MMoussaoui Absrac We consider he quasilinear Dirichle boundary value problem (φ p (u )) = f(u)+h(x),u(a)=u(b)=0, where (φ p (u )) is he one dimenional p-laplacien, and prove is solvabiliy for any given h, under new assumpions on he asympoic behaviour of he poenial of he nonlineariy f, wih respec o wo firs eigenvalues of he associaed quasilinear problem Inroducion Dans ce aricle on s inéresse à l exisence des soluions du problème suivan : { (φp (u (P) )) = f(u)+h(x) dans ]a,b[ u(a) =u(b) = 0 où f : R R es une foncion coninue, h :[a, b] R es Lebesgue inégrable e φ p : R R définie par φ p (s) = s p 2 s, p> Noons par λ k (p), la k ième valeur propre du problème : { (φp (u )) = λφ p (u) dans ]a,b[ u(a) =u(b) = 0 Received by he ediors January 996 Communicaed by J Mawhin 99 Mahemaics Subjec Classificaion : 34B5-34C25 Key words and phrases : Non-résonance - Quasi-linéaire - héorie du degré Bull Belg Mah Soc 4 (997), 37 33

2 38 AREl Amrouss MMoussaoui Il es bien connu que λ k (p) = e Posons s l ± (p) = inf s ± L ± (p) = inf s ± ( ) p kπp (p ) /p avec Π p =2 b a 0 φ p (s), k ±(p) = sup s ± ds ( sp )/p p φ p (s) pf (s) s, K pf (s) ±(p) = sup p s ± s p où F (s) = f() d 0 On suppose λ (2) l ± (2) k ± (2) λ 2 (2) () Il es bien connu que, voir par exemple [D] e [M-W], dans ces condiions e si λ (2) <l ± (2) e k + (2) ou k (2) <λ 2 (2) alors pour ou h, (P) es solvable pour p =2 Récemmen, cerains aueurs on éabli divers résulas d exisence sous les condiions () e si, λ (2) <K ± (2) e L + (2) ou L (2) <λ 2 (2) Cions par exemple : Mawhin, Ward e Willem [M-W-W], Cosa-Olivera [C-O], Omari-Zanolin [O-Z] e Del Sano-Omari [D-O] Dans [N-Z], Njoku e Zanolin on prouvé unrésula d exisence en supposan : i) λ (2) <l + (2) L + (2) <λ 2 (2) (2) ii) λ (2) <K (2) k (2) <λ 2 (2) iii) sign(s) +, quand s + Le bu de ce papier es de présener un ensemble de résulas d exisence, permean de se passer de l inégalié gauche dans () e (2) c es à dire nous pouvons avoir la siuaion suivane (cf exemple 5) : inf s ± φ p (s) λ (p) sup s ± φ p (s) Théoreme Supposons que sign(s) +, quand s + λ (p) < sup s ± pf (s) s p, sup s + φ p (s) λ 2(p) e sup s φ p (s) <λ 2(p) Alors (P) adme au moins une soluion pour ou h L (a, b) Ensuie, nous nous ions à des condiions poran uniquemen sur le rappor pf (s) Noons par : s p A = u(p ) /p Π p (u) =2 0 ds ( sp p )/p, pour u [, ], p { ((s, ), (x, y)) ([λ (p),λ 2 (p)] 2 ) 2 s, x y e s /pπ p( s )/p +

3 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 39 x /pπ p( x } y )/p = b a B = {((u, v), (w, z)) R 2 R 2 ((s, ), (x, y)) A avec (u, v) ]s, [ 2 e (w, z) ]x, y[ 2 } Théoreme 2 Supposons que ((L + (p),k + (p)), (L (p),k (p))) B e que sign(s) +, quand s + Alors(P) adme au moins une soluion pour ou h L (a, b) Dans{ le cas p = 2, l ensemble A es : A = ((s, ), (x, y)) ([λ,λ 2 ] 2 ) 2 2 x Arcsin(x /2 y )/2 = b a 2 e 2 x Arcsin(x /2 y )/2 = b a } 2 on a la représenaion suivane : λ 2 2λ λ y = x sin b a x B y = x λ λ 2 Donc si sign(s) + e (L + (2),K + (2)), (L (2),K (2)) B, alors pour ou h L,(P) es solvable La preuve de ces résulas uilise la méhode de Leray- Schauder e ceraines propriéés des oscillaions de la soluion d une équaion différenielle ordinaire 2 Lemmes echniques Considérons la famille de problèmes suivans : (P,λ) { (φp (u )) = f(λ, u)+λh(x) dans ]a, b[ (2) u(a) =u(b) = 0 où f(λ, ) es une foncion coninue quelconque pour λ [0] Posons y() =φ p (u )+λh() (22) avec H() = a h(s) ds e par suie y () = f(λ, u()) (23)

4 320 AREl Amrouss MMoussaoui Nous observons que oue soluion u()duproblème (P,λ) es de classe C avec φ p (u ) absolumen coninue Noons par u = u(x )=maxu() eu =minu() =u(x ), avec x (respx ) es le premier poin de [a, b] (resp le dernier poin ) où lemaximum (resp le minimum) de u() es aein Le lemme suivan généralise un lemme donné par Njoku e Zanolin dans [N-Z] Lemme 2 Supposons qu il exise c>0 el que f(λ, s) > 0 pour ou s c e λ [0] (24) Alors pour ou d 0 il exise R d >cel que pour chaque soluion u() de (P,λ) avec u >R d on a les propriéés suivanes : (a) il exise des paramères α +, β +, γ +, γ 2 + avec : α + <γ + x γ + 2 <β + els que u(α + )=u(β + )=c e u() >csur ]α +,β + [, y(γ + )=2M e y(γ 2 + )= 2M avec M = H (b) il exise une consane L>0, dépendan uniquemen de γ + e γ 2 +,elle que : u L<u(γ + ), u(γ 2 + ) <u, u() es croissane sur [α +,γ + ] e décroissane sur [γ 2 +,β + ] 2 Si u R d alors : u + β+ α + = b a uniformémen en λ (25) Preuve : Prenons α + =max{x [a, x ]:u(x) =c} e β + =min{x [x,b]:u(x) =c} alors u() >csur ]α +,β + [ De (22), y es sricemen décroissane sur ]α +,β + [, alors pour ou [α +,γ + ]: φ p (u )=y() λh() y(γ + ) M = M (26) donc u () > 0sur[α +,γ + ], par suie u() es sricemen croissane sur [α +,γ + ]e de même on monre que u() es sricemen décroissane sur [γ 2 +,β + ] Pour un 0 ]γ +,x [elquey( 0 )= 3 M, on monre de même que dans (25) u() es sricemen 2 croissane sur [α +, 0 ] D où u(γ + ) <u( 0 ) u e de la même manière nous prouvons que u(γ 2 + ) <u e d après (26) on monre l exisence d un L>0elque: u L<u(γ + ),u(γ 2 + ) 2 En inégran (22) sur [, α + ] pour ou [a, α + ]alors: y(α + )+ De (24) il vien : α + f(λ, u(s))χ [u(s) c] ds + y(α + )+ α + α + f(λ, u(s))χ [u(s) c] ds y() donc il exise une consane K(c) dépendane de c elle que : f(λ, u(s))χ [u(s)>c] ds = y()

5 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 32 y(α + ) K(c) y() [a, α + ] (27) D aure par, pour ou [α +,x ]nousavons: u () p y() + M (28) e comme y es décroissane alors y(x ) y() y(α + ), d où y() y(α + ) + y(x ) y(α + ) + M [α +,x ] (29) Or y(γ + ) y(α + )eparsuiey(α + ) M En combinan (28) e (29) il vien : Puis, en inégran sur [α +,x ]ilrésule : u () (y(α + )+M) /p ( u ) c p M y(α + ) b a e en veru de (27) il sui que pour ou [a, α + ]: Pour u saisfaisan On a u () > 0, donc ( u ) c p 2M K(c) u () p u () b a ( u ) c p > 2M + K(c) b a [( u c b a )p (2M + K(c))] /p u () D où, en inégran cee dernière sur [a, α + ]nousavons: α + c a [( u c b a )p (2M + K(c))] /p e par suie, u + α+ a = 0 uniformémen en λ [0, ] De même on monre que u + b β+ = 0 uniformémen en λ [0, ] d où u + β+ α + = b a uniformémen en λ [0, ] Remarque : i) Une version duale du lemme 2 peu êre obenue en remplaçan (24) par f(λ, s) < 0 pour ou s c e λ [0] Dans cee siuaion on change le symbole + desparamères α +, β +, γ +, γ + 2 par le symbole ii) Considérons

6 322 AREl Amrouss MMoussaoui A = {u C[a, b] u() soluionde(p,λ)avecλ [0]} Si A es uniformémen borné alors il exise S, T deux consanes elles que max u() S e min u() T pour oue soluion u() de(p,λ)avecλ [0, ] Dans ou ce qui sui on va supposer que A es non uniformémen borné Lemme 22 Supposons qu il exise k,k 2 > 0 els que : k u + β+ α + <b a uniformémen en λ e k 2 u β α <b a uniformémen en λ avec b a<k + k 2,alors(P) adme au moins une soluion pour ou h L Preuve La preuve de ce lemme se fai en deux éapes : ére éape Nous monrons l exisence de deux consanes S, T > 0 elles que : max u() S e min u() T pour oue soluion u() de(pλ) avecλ [0, ] Affirmaion : il exise une consane K>0 indépendane de u() e λ elle que max u() K ou K min u() pour oue u() soluion de (Pλ) En effe, Supposons par l absurde qu il exise une suie u n () :soluionde(p,λ) pour λ = λ n elle que max u n () + e min u n (), quand n + Puisque b a<k + k 2 inf u + β+ α + + inf u β α, alors on peu passer à une sous-suie noée aussi u n () elle que : e comme il résule : b a< n + β+ n α+ n + β n α n n + β+ n α + n + βn α n b a, b a<b a Ce qui es absurde Pour achever la première éape, nous allons raier deux cas : er cas : Supposons min u() K Il exise S>0elquemaxu() S pour oue soluion u()de(p,λ)avecλ [0] ; car sinon, nous aurions pour ou S>0 l exisence d une soluion u S () de(p,λ) elle que max u S () =S, e comme inf u + β + α + <b a, alors il exisera une suie u n () soluionde(p,λ) elle que n + β + n α+ n <b a e max u n() + D aure par, min u n () K,alorsd après le lemme 2 il vien n + β+ n α + n = b a Ce qui es absurde En prenan T = K +, alors la conclusion de la première éape es saisfaie

7 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire ème cas : Supposons max u() K De la même manière que dans le er cas, on monre l exisence de deux consanes S, T > 0 elles que max u() S e min u() T pour oue soluion u()de(p,λ) 2ème éape : Nous prouvons que (P) adme au moins une soluion pour ou h L, pour ceci on va uiliser la héorie du degré deleray-schauder Considérons le problème { (φp (u (20) )) = e(x) dans ]a,b[ u(a) =u(b) = 0 où e L Dans [D-E-M], il es prouvé que (20) adme une soluion unique Soi H l opéraeur qui envoie e L en l unique soluion u() duproblème (20) Noons que H es un opéaeur borné econsidérons l opéraeur K défini comme sui : K : C([a, b]) C([a, b]) u() H(f(u()) + h()) Nous vérifions facilemen que K es un opéraeur compac Soi u() C([a, b]) elle que : u() =λk(u()) pour λ ]0, ] (E,λ) alors (E,λ) correspond au problème (Pλ) pour ou λ ]0, ] Considérons l ouver : O = {u() C([a, b]) T<u() <S [a, b]} D après la première éape, 0 / (I λk)( O)eainsi(E,λ) adme une soluion pour λ = 0 De l invariance par l homoopie de la héorie du degré de Leray-Schauder, on ire que (P) adme au moins une soluion 3 Preuve des héorèmes Dans ou ce qui sui nous allons supposer que f(λ, s) =( λ)νs + λ avec pf (s) λ [0, ] e ν es fixé elqueλ <ν< sup s ± Puisque sign(s) s p +, quand s, alors il exise une consane c > 0 elle que : sign(s)f(λ, s) > 0 pour ou s c 3 Preuve du héorème Pour la preuve du héorème nous avons besoin du lemme suivan : Lemme 3 i) b a 2 inf u + β + α + <b a uniformémen en λ [0, ]

8 324 AREl Amrouss MMoussaoui ii) b a inf u β + α <b a uniformémen en λ [0, ] 2 Preuve : Monrons i), puis ii) découle d une manière similaire ère pf (s) éape : nous allons monrer que si ν< sup s + alors s p inf u + β+ α + < Π p (ν) /p En effe, de l inégalié ν< sup s + pf (s) s p nous avons : sup(f (s) ν s + p sp )=+ (3) D où l exisence d une suie (s n ) n croissane qui end vers + elle que : (F (s) ν p sp ) (F (s n ) ν p sp n ) pour ou s [0,s n[ ou encore ν p (sp n s p ) F (s n ) F (s) pour ou s [0,s n [ (32) Muliplions l équaion (2) par u () einégrons sur [, x ]avec [α +,x ], il résule : x x x φ p (u (s)) u (s) ds = ( λ)ν φ p (u(s))u (s) ds + λ f(u(s))u (s) ds x + h(s)u (s) ds ou encore p p ( u () p ) = ( λ)ν(u p u() p )+λ(f (u ) F (u()) +λ x h(s)u (s)ds (33) En uilisan le fai que y() esdécroissane sur [, x ], φ p es un homéomorphisme croissan e u() es croissane sur [, γ + ], alors il exise deux consanes c, c 2 > 0 elles que : γ + h(s)u (s)ds c u ()+c 2 D aure par, on a y(x ) y() y(γ + )pourou [γ +,x ] e de (22) nous avons l exisence d une consane c 2 elle que : x γ + h(s)u (s) ds c 2

9 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 325 D où ilvien: x h(s)u (s)ds c u ()+r (34) En enan compe de (32), (34) e en posan u = s n dans (33) alors après un calcul simple il vien : ν p p (sp n u() p ) (u ()+m) p où m es une consane qui dépend seulemen de h, ouencore (ν p p ((sp n u() p )) /p u ()+m pour ou [α+,γ + ] (35) D où, en inégran (35) sur [α +,γ + ]: (ν p p )/p (γ + α + ) On peu vérifier aisémen que : c/sn 0 u(γ + )/sn c/s n ds ( s p ) /p + γ + α + ds 0, quand n + ( s p ) /p D aure par, comme u(γ + ) <s n nous avons : γ + α + md (s p n u() p ) /p (36) md (s p n u() p ) /p (γ+ α+) m (s p n u(γ + quand n ) p ) /p Faisons endre n vers + dans (36), nous obenons : n + γ+ α + (p ) /p ds (ν) /p 0 ( sp ) = Π p (ν) p /p 2 De même on monre que : Mainenan nous allons monrer que : n + β+ γ 2 + Π p (ν) /p 2 n + γ+ 2 γ + =0 En effe, pour ou [γ +,γ + 2 ]nousavons: Inégrons (25) sur [γ +,γ + 2 ]ilvien: u L u() inf {f(λ, s)/s [s n L, s n ]} (γ + 2 γ + ) y(γ + ) y(γ + 2 )=4M e puisque s + f(λ, s) =+ uniformémen en λ, ilsui: n + γ+ 2 γ + =0

10 326 AREl Amrouss MMoussaoui Finalemen il résule : inf u + β+ α + <b a 2ème éape : Nous allons monrer que si sup s + Π p inf (ν ) /p u + β+ α + φ p (s) = ν alors Prenons η = ν + ε avec ε>0, on vérifie facilemen que la foncion s p ηsp F (s) escroissaneenonbornée pour s posiif assez grand, plus précisémen pour s c (où c donné plus hau) Uilisons ceci dans (33) e en veru de (3,4) nous avons pour ou [α +,γ + ]: (u ()) p p p max(ν, η)(u p u() p )+c u ()+c 2 Puis, en uilisan l inégalié de Young, nous obenons : (u () ε) p p p max(ν, η)(u p u() p )+b où b es une consane qui dépend de ε e de h, ouencore u () ( p p max(ν, η)(u p u() p )) /p + m e par le même argumen que précédemmen nous obenons que : Alors il sui : Π p inf (ν ) /p u + β+ α + pour ou ε>0 Π p inf (η) /p u + β+ α + uniformémen en λ [0, ] Comme ν λ 2 (p), il résule : b a 2 inf u + β+ α + Ce qui achève la preuve Finalemen, des lemmes 22 e 3 nous avons l exisence d une soluion du problème (P) 32 Preuve du héorème 2 Pour la preuve de ce héorème nous avons besoin du lemme suivan :

11 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 327 Lemme 32 Pour ou (L +,K + ) [λ,ν[ ]K + (p),λ 2 ] e (L,K pf (s) ) [λ,ν[ ]K (p),λ 2 ] avec inf >νnous avons : s ± s p i) ii) (L + ) /pπ p( L+ K + (L ) /pπ p( L K ) < inf u + β+ α + <b a uniformémen en λ ) < inf u β α <b a uniformémen en λ Preuve Nous allons monrer le premier poin e le deuxième poin s obien de la même manière En noan g(λ, s) =λf (s)+ p ( λ)νsp,avecλ [0, ] e ν es fixé, (33)devien : p x p [u () p ]=p(f (λ, u ) F (λ, u())) + λp h(s)u (s)ds (37) pour ou [α +,γ + ], e nous avons L + pg(λ, s) < inf s + s p sup s + pg(λ, s) s p <K + D où pourunδ>0epours c on peu supposer L + + δ pg(λ, s) s p K + Ensuie il vien : p x p [u () p ] (K + u p (L + + δ)u() p )+λp h(s)u (s)ds (38) Par le même argumen uilisé danslapreuvedulemme3ilvien: u () p p (K+ u p (L + + δ)u()p ) /p + m En suivan les mêmes lignes que dans la preuve du lemme 3 il sui : (L + + δ) /pπ p( (L+ + δ) ) < inf u + β+ α + K + Puisque x Π x /p p (x) es croissane alors nous avons l inégalié gauche de i) pf (s) D aure par, puisque ν< sup s e en uilisan le résula du lemme 3 s nous avons p inf β + α + <b a Ce qui achève la preuve

12 328 AREl Amrouss MMoussaoui Puisque ((L + (p),k + (p)), (L (p),k (p))) B, ilexise((s, ), (x, y)) A el que (L + (p),k + (p)) ]s, [ 2 e (L (p),k (p)) ]x, y[ 2 Nous choisissons ((L +,K + ) e (L,K ) de elle sore que L + = s, L = x, K + [s, ] ek [x, y] D où nous obenons : (L + ) /pπ p( L+ K + )+ (L ) /pπ p( L K ) b a (39) Or d après les lemmes 22 e 32 on conclu que le problème (P) es solvable pour ou h L (a, b) 4 Remarques Remarque 2: Nous pouvons éablir d une manière duale à Celle du héorème le résula suivan : Théoreme 4 Supposons que sign(s) +, quand s + e λ (p) < sup s ± pf (s), sup s p s φ p (s) λ 2(p) sup s + φ p (s) <λ 2(p) Alors (P) adme au moins une soluion pour ou h L (a, b) Remarque 3: Considérons le problème suivan : (4) { (φp (u )) = f(x, u)+h(x) dans ]a, b[ u(a) = u(b) =0 où f :[a, b] R R saisfai à la condiion de Carahéodory (c es àdiref(x, ) es coninue pour pp dans [a,b], f(, s) es mesurable pour ou s R) epourchaque k>0ilexiseψ k dans L (a, b) elle que : f(x, s) ψ k (x) pour pp dans [a,b] e pour ou s <k En suivan les mêmes lignes que dans la preuve du héorème nous pouvons éablir le résula suivan : Théoreme 42 Supposons qu il exise deux foncions coninues f ± : R R elles que s ± = f ± (s) =+, f(x, s) f (s) pour ou s c 0 e pp dans [a,b], pf (s) f(x, s) f + (s) pour ou s c 0 e pp dans [a, b] e λ (p) < sup s ± s, p ou l une des deux condiions : f(x, s) sup s + φ p (s) λ f(x, s) 2(p) e sup s φ p (s) <λ 2(p) uniformémen en x [a, b]

13 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 329 f(x, s) 2 sup s φ p (s) λ f(x, s) 2(p) e sup s + φ p (s) <λ 2(p) uniformémen en x [a, b] Alors le problème (4) es solvable pour ou h L (a, b) 5 Exemples Nous allons donner deux exemples d applicaion des héorèmes précédens dans le cas p =2 Exemple : soi f : R R une foncion définie par 2s( + sin(s)) + ln s si s = as + a si s s sin(ln( s)) s2 cos(ln( s)) +2s si s 2 s avec a = (( + sin ) sin(ln 2) cos(ln 2) 2 4 Par un calcul simple nous avons : s 2 2s cos s +sins + s 0 ln d si s F (s) = a s2 + as si s 2 s 2 sin(ln( s)) + s 2 si s Nous vérifions facilemen que 2F (s) inf s + = 0, s + = 2, sup s s 2 s + =4 s inf s = 2 s, inf 2F (s) 2F (s) s =, sup s 2 s = 3, s 2 sup s = 7 e sign(s) +, quand s + Doncd après s 2 le héorème, pour ou h L (0,π), le problème { u = f(u)+h(x) u(0) = u(π) =0 adme au moins une soluion Noons que ce exemple ne peu êre raié niparle résula de [D-O], ni par celui de [N-Z] Exemple 2: Soien a o =0,a n =2 n,b n =2 n,b 2 3n+ n =2n +,n,γ 2 3n+ ]λ,λ 2 [ soi f : R R une foncion impaire définie par s si s [0, 3/6] [b 2n+,b 2n+2 ] [b 2n+2,b 2n+3 ] e n 0 = ln a 2n+ si s = a 2n+ e n 0 (a 2n+2 ) 2 si s = a 2n+2 e n 0

14 330 AREl Amrouss MMoussaoui e en connecan les valeurs aux poins b n,a n,b n d une manière linéaire comme le décri la figure suivane : λ 2 s γs λs ln s b 2n+ b 2n+ b 2n+2 a 2n+2 b 2n+2 a 2n+ s 2 Nous avons : 2F (s) inf s ± = 0, s ± = γ, sup s s 2 s ± = s e sign(s) +, quand s + Donc d après le héorème2, leproblème (P) adme au moins une soluion Nous remercions Mr JPGOSSEZ pour diverses remarques liées à nore éude Références [C-O] DGCosa,AOliveira, Exisence of soluion for a class of semi linear ellipic problems a double resonance Boll Soc Bras Ma, 9() (988), 2-37

15 Non-résonance enre valeurs propres d un problème quasi-linéaire 33 [D-O] DDelSano e POmari, Nonresonance condiions on he poeniel for a semilinear ellepic problem, J Differenial Equaions, 08 (994) [D-E-M] MDelPino, MElguea e RManasevich, A homoopic deformaion along p of a Leray-Schauder degree resul and exisence for ( u p 2 u ) +f(, u) = 0, u(0) = u(t ) = 0, p > Preprin 989 [D] CLDolph, Nonlinear inegral equaions of he Hammerein ype, TransAmerMahSOC, 66(949), [M-W-W] JMawhin, JRWard, MWillem, Necessary and sufficien condiions for he solvabiliy of a non linear ow-poin boundary value problem, Proc Amer Mah Soc, 93, (985) [M-W] JMawhin, MWillem, Criical poins of convex perurbaions of some indefinie quadraic forms and semilinear boundary value problems a resonance, Ann Ins Herni Poincaré 6(986), [N-Z] FI Njoku e FZanolin, On he solvabiliy of a non linear Two-Poin BVP beween he firs wo eigenvalues, Differenial and Inegral Equaions, 3(990), [O-Z] P Omari, FZanolin, Nonresonance condiions on he poeniel for a second order periodic boundary value problems, (992) AR El Amrouss e MMoussaoui Universié Mohammed I Faculé des sciences Déparemen de mahémaiques e informaique Oujda, Maroc

Présentation groupe de travail

Présentation groupe de travail Présenaion groupe de ravail Sofiane Saadane jeudi 23 mai 2013 Résumé L aricle sur lequel on ravaille [LP09] présene un problème de bandi à deux bras comporan une pénalié. Nous commencerons par présener

Plus en détail

Exemples de résolutions d équations différentielles

Exemples de résolutions d équations différentielles Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple.................................................. 1 3 Avec second membre 3.1 Exemple..................................................

Plus en détail

Solutions auto-similaires et espaces de données initiales. 2 ), l équation de Schrödinger. Introduction. Fabrice Planchon

Solutions auto-similaires et espaces de données initiales. 2 ), l équation de Schrödinger. Introduction. Fabrice Planchon Soluions auo-similaires e espaces de données iniiales pour l équaion de Schrödinger Fabrice Planchon Résumé. On démonre que pour des peies données iniiales dans Ḃ 1, (R3 ), l équaion de Schrödinger non

Plus en détail

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien Universié Paris VI Maser : Modèles sochasiques, applicaions à la finance (MM065) TD 20-2 : Modèles de marchés - Mouvemen brownien. Taux de change. Soi (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini non redondan

Plus en détail

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton) TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel

Plus en détail

Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin 2015. Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 +

Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin 2015. Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 + Universié Pierre e Marie Curie Licence de Mahéaiques Séries e inégrales généralisées - Approfondisseen (2M26) Janvier-Juin 25. Devoir Maison n o Exercice : Convergence e calcul d inégrales. Éudier la naure

Plus en détail

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre. 1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%

Plus en détail

Texte Ruine d une compagnie d assurance

Texte Ruine d une compagnie d assurance Page n 1. Texe Ruine d une compagnie d assurance Une nouvelle compagnie d assurance veu enrer sur le marché. Elle souhaie évaluer sa probabilié de faillie en foncion du capial iniial invesi. On suppose

Plus en détail

Mesures de risque dynamiques, pricing d options vanilles et EDSR quadratiques.

Mesures de risque dynamiques, pricing d options vanilles et EDSR quadratiques. Mesures de risque dynamiques, pricing d opions vanilles e EDSR quadraiques. Cyrille Guillaumie 1 Thibau Masrolia 2 Rappor echnique rendu en juin 213 1. European Securiies and Markes Auhoriy, cyrille.guillaumie@esma.europa.eu

Plus en détail

Corrigé CNC MP 2003, Math 1

Corrigé CNC MP 2003, Math 1 Corrigé CNC MP 3, Mah Parie I. a La foncion e es coninue sur ], α] prolongeable par coninuié en, elle es donc inégrable sur ],α] b La foncion e e es coninue sur [,+ [ e. + donc elle es inégrable sur [,

Plus en détail

Fonction dont la variable est borne d intégration

Fonction dont la variable est borne d intégration [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Enoncés 1 Foncion don la variable es borne d inégraion Eercice 1 [ 1987 ] [correcion] Soi f : R R ne foncion conine. Jsifier qe les foncions g : R R sivanes

Plus en détail

Réponse indicielle et impulsionnelle d un système linéaire

Réponse indicielle et impulsionnelle d un système linéaire PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire 18 CHAPITRE E2 Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire Nous connaissons ou l inérê de l éude de la réponse

Plus en détail

arxiv:1003.6004v1 [math.sg] 31 Mar 2010

arxiv:1003.6004v1 [math.sg] 31 Mar 2010 OPTIMALITÉ SYSTOLIQUE INFINITÉSIMALE DE L OSCILLATEUR HARMONIQUE arxiv:1003.6004v1 [mah.sg] 31 Mar 2010 J.C. ÁLVAREZ PAIVA AND F. BALACHEFF Résumé. Nous éudions les aspecs infiniésimaux du problème suivan.

Plus en détail

Solutions auto-semblables pour des modèles avec conductivité thermique

Solutions auto-semblables pour des modèles avec conductivité thermique Soluions auo-semblables pour des modèles avec conducivié hermique Séphane DELLACHERIE e Olivier LAFITTE CRM-327 5 décembre 25 Cenre de Recherches Mahémaiques, Universié de Monréal, Case posale 628, Succursale

Plus en détail

Sur la résolution numérique de problèmes de contrôle optimal à solution bang-bang via les méthodes homotopiques. Joseph Gergaud

Sur la résolution numérique de problèmes de contrôle optimal à solution bang-bang via les méthodes homotopiques. Joseph Gergaud Sur la résoluion numérique de problèmes de conrôle opimal à soluion bang-bang via les méhodes homoopiques Joseph Gergaud Universié de Toulouse INP-ENSEEIHT-IRIT (UMR CNRS 555) Mémoire d Habiliaion à Diriger

Plus en détail

Calcul Stochastique 2 Annie Millet

Calcul Stochastique 2 Annie Millet M - Mahémaiques Appliquées à l Économie e à la Finance Universié Paris 1 Spécialié : Modélisaion e Méhodes Mahémaiques en Économie e Finance Calcul Sochasique Annie Mille 15 14 13 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3

Plus en détail

Potentiels ponctuels en dimension 1

Potentiels ponctuels en dimension 1 0 mon exe Poenies poncues en dimension 1 Séminaire du Maser 2 Recherche de Mahémaiques Universié de Rennes 1 mon exe Suje proposé par Dimiri Yafaev Lauren Paer janvier 2009 Cadre physique du probème On

Plus en détail

6. Étude de courbes paramétrées (C) : Ces équations sont appelées équations paramétriques de (C). { x = x t. On note parfois également.

6. Étude de courbes paramétrées (C) : Ces équations sont appelées équations paramétriques de (C). { x = x t. On note parfois également. ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 39 6. Éude de courbes paramérées 6.. Définiions Remarques La courbe (C) n es pas nécessairemen le graphe d une foncion ; c es pourquoi on parle de courbe paramérée e non pas

Plus en détail

Les circuits électriques en régime transitoire

Les circuits électriques en régime transitoire Les circuis élecriques en régime ransioire 1 Inroducion 1.1 Définiions 1.1.1 égime saionnaire Un régime saionnaire es caracérisé par des grandeurs indépendanes du emps. Un circui en couran coninu es donc

Plus en détail

Chapitre 15 c Circuits RL et RC

Chapitre 15 c Circuits RL et RC Chapire 15 c Circuis L e C en régime impulsionnel Sommaire Circuis en régime impulsionnel Signal impulsionnel Mesure d'un circui C en régime impulsionnel Applicaion praique Eude du circui C en régime impulsionnel

Plus en détail

IRM fonctionnelle : QUELQUES IDEES SUR LE TRAITEMENT STATISTIQUE DES DONNEES

IRM fonctionnelle : QUELQUES IDEES SUR LE TRAITEMENT STATISTIQUE DES DONNEES IRM foncionnelle : QUELQUES IDEES SUR LE TRAITEMENT STATISTIQUE DES DONNEES Le principe général d'une éude IRMf consise à analyser le signal BOLD (Blood Oxygen Level Dependen) qui radui l'augmenaion d'afflux

Plus en détail

MAITRISE ECONOMIE APPLIQUEE ECONOMETRIE II : EXAMEN TERMINAL (durée 2 h) Filières : Economie Internationale, Monnaie, Finance

MAITRISE ECONOMIE APPLIQUEE ECONOMETRIE II : EXAMEN TERMINAL (durée 2 h) Filières : Economie Internationale, Monnaie, Finance UNIVERSITE DE PARIS-DAUPHINE Février 2004 MAITRISE ECONOMIE APPLIQUEE ECONOMETRIE II : EXAMEN TERMINAL (durée 2 h) Filières : Economie Inernaionale, Monnaie, Finance Noes de Cours Auorisées, seules les

Plus en détail

Le modèle de Black Scholes

Le modèle de Black Scholes Le modèle de Black Scholes Philippe Briand, Mars 3 1. Présenaion du modèle Les mahémaiciens on depuis longemps essayé de résoudre les quesions soulevées par le monde de la finance. Une des caracérisiques

Plus en détail

Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle

Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle Eercices de baccalauréa série S sur la loi eponenielle (page de l énoncé/page du corrigé) La compagnie d'auocars (Bac série S, cenres érangers, 23) (2/) Durée de vie d'un composan élecronique (Bac série

Plus en détail

La rentabilité des investissements

La rentabilité des investissements La renabilié des invesissemens Inroducion Difficulé d évaluer des invesissemens TI : problème de l idenificaion des bénéfices, des coûs (absence de saisiques empiriques) problème des bénéfices Inangibles

Plus en détail

Finance 1 Université d Evry Val d Essonne. Séance 2. Philippe PRIAULET

Finance 1 Université d Evry Val d Essonne. Séance 2. Philippe PRIAULET Finance 1 Universié d Evry Val d Essonne éance 2 Philippe PRIAULET Plan du cours Les opions Définiion e Caracérisiques Terminologie, convenion e coaion Les différens payoffs Le levier implicie Exemple

Plus en détail

VA(1+r) = C 1. VA = C 1 v 1

VA(1+r) = C 1. VA = C 1 v 1 Universié Libre de Bruxelles Solvay Business School La valeur acuelle André Farber Novembre 2005. Inroducion Supposons d abord que le emps soi limié à une période e que les cash flows fuurs (les flux monéaires)

Plus en détail

F 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0

F 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0 Correcion de l exercice 2 de l assisana pré-quiz final du cours Gesion financière : «chéancier e aux de renabilié inerne d empruns à long erme» Quesion : rappeler la formule donnan les flux à chaque échéance

Plus en détail

Caractéristiques des signaux électriques

Caractéristiques des signaux électriques Sie Inerne : www.gecif.ne Discipline : Génie Elecrique Caracérisiques des signaux élecriques Sommaire I Définiion d un signal analogique page 1 II Caracérisiques d un signal analogique page 2 II 1 Forme

Plus en détail

SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG)

SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG) SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG) STÉPHANE ATTAL PAUL-ANDRÉ MEYER Inerpréaion probabilise e exension des inégrales sochasiques non commuaives Séminaire de probabiliés (Srasbourg), ome 27 (1993), p

Plus en détail

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce documen a éé mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Naionale des Sujes d Examens de l enseignemen professionnel. Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel

Plus en détail

TABLEAU DES REPONSES AU TEST DE MATH/PHYSIQUE :

TABLEAU DES REPONSES AU TEST DE MATH/PHYSIQUE : TABLEAU DES REPONSES AU TEST DE MATH/PHYSIQUE : Afin de vous noer : - si vous avez oues les bonnes réponses à un QCM, vous avez poin, - si vous avez une erreur par eeple, une réponse que vous n avez pas

Plus en détail

Sous-évaluation des prix d options par le modèle de Black & Scholes.

Sous-évaluation des prix d options par le modèle de Black & Scholes. Sous-évaluaion des prix d opions par le modèle de Black & Scholes. Mise en évidence par une dynamique combinan mouvemen brownien e processus à saus. Marc Debersé ocobre 6 Résumé S il es bien connu que

Plus en détail

Etude de risque pour un portefeuille d assurance récolte

Etude de risque pour un portefeuille d assurance récolte Eude de risque pour un porefeuille d assurance récole Hervé ODJO GROUPAMA Direcion ACTUARIAT Groupe 2, Bd Malesherbes 75008 Paris Tél : 33 (0 44 56 72 46 herve.odjo@groupama.com Viviane RITZ GROUPAMA Direcion

Plus en détail

STOCHASTIC CONTROL METHODS FOR OPTIMAL PORTFOLIO INVESTMENT

STOCHASTIC CONTROL METHODS FOR OPTIMAL PORTFOLIO INVESTMENT THÈSE DE DOCTORAT DE L ÉCOLE POLYTECHNIQUE Spécialié : MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES Présenée par Gilles-Edouard ESPINOSA pour obenir le grade de DOCTEUR DE l ÉCOLE POLYTECHNIQUE Suje : MÉTHODES DE CONTRÔLE

Plus en détail

EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration, problèmes d asymétrie d information et de couverture sur les marchés financiers

EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration, problèmes d asymétrie d information et de couverture sur les marchés financiers UNIVERSITE PAUL SABATIER TOULOUSE III U.F.R Mahémaique Informaique Gesion THÈSE présenée e souenue publiquemen le 7 décembre 25 pour l obenion du Docora de l Universié Paul Sabaier TOULOUSE III mahémaiques

Plus en détail

- PROBABILITE : c est le rapport (Nbr de cas favorable/nbr de cas possible). C est un nombre compris entre 0 et 1.

- PROBABILITE : c est le rapport (Nbr de cas favorable/nbr de cas possible). C est un nombre compris entre 0 et 1. Les premières consaaions sur l inapiude des produis indusriels à assurer les foncions qu ils éaien censés remplir pendan un emps suffisan remonen à la seconde guerre mondiale. En France cee prise de conscience

Plus en détail

Modélisation et quantification de systèmes vieillissants pour l optimisation de la maintenance

Modélisation et quantification de systèmes vieillissants pour l optimisation de la maintenance ème édiion du congrès inernaional pluridisciplinaire Du au 20 mars 2009 Modélisaion e quanificaion de sysèmes vieillissans pour l opimisaion de la mainenance LAIR William,2, MERCIER Sophie, ROUSSIGNOL

Plus en détail

ECONOMETRIE II - SERIES TEMPORELLES PARTIEL FEVRIER 2002

ECONOMETRIE II - SERIES TEMPORELLES PARTIEL FEVRIER 2002 Universié Paris IX Dauphine UFR Economie Appliquée Maîrise Economie Appliquée ECONOMETRIE II - SERIES TEMPORELLES PARTIEL FEVRIER 00 Noes de Cours Auorisées, Calcularices sans Mémoire Auorisées Durée :

Plus en détail

ÉTUDE CINÉMATIQUE D UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT.

ÉTUDE CINÉMATIQUE D UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT. Objecifs CINÉMATIQUE DES FLUIDES ÉTUDE CINÉMATIQUE D UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT Coprendre les différences enre l approche lagrangienne e l approche eulérienne Saoir eprier une accéléraion lagrangienne en

Plus en détail

Année 2010. Thèse. pour obtenir le titre de. présentée par Thomas-Samnang LIM. Directrice de thèse Pr. Marie-Claire QUENEZ

Année 2010. Thèse. pour obtenir le titre de. présentée par Thomas-Samnang LIM. Directrice de thèse Pr. Marie-Claire QUENEZ Universié Paris Didero - Paris VII UFR de Mahémaiques Année 21 Thèse pour obenir le ire de Doceur de l Universié Paris 7 Spécialié : Mahémaiques Appliquées présenée par Thomas-Samnang LIM Quelques applicaions

Plus en détail

COMMANDE D UNE PORTE DE GARAGE COLLECTIF

COMMANDE D UNE PORTE DE GARAGE COLLECTIF COMMANDE D UNE PORTE DE GARAGE COLLECTIF Les quesions raiées devron êre soigneusemen numéroées e le documen-réponse fourni devra êre compléé selon les indicaions de l énoncé. Il es vivemen conseillé de

Plus en détail

Gestion Actif Passif et Solvabilité

Gestion Actif Passif et Solvabilité Gesion Acif Passif e Solvabilié Charles Descure & Crisiano Borean Generali France 7/9 Boulevard Haussmann 759 Paris Tel. : +33 58 38 86 84 +33 58 38 86 64 Fax. : +33 58 38 8 cdescure@generali.fr cborean@generali.fr

Plus en détail

Université d Evry Val d Essonne Laboratoire d Analyse et Probabilités EA 2172 THESE. présentée pour obtenir le titre de

Université d Evry Val d Essonne Laboratoire d Analyse et Probabilités EA 2172 THESE. présentée pour obtenir le titre de Universié d Evry Val d Essonne Laboraoire d Analyse e Probabiliés EA 2172 THESE présenée pour obenir le ire de DOCTEUR EN SCIENCES MATHÉMATIQUES de l Universié d Evry Val d Essonne par Armand Brice NGOUPEYOU

Plus en détail

Les nouveautés de Word 2013

Les nouveautés de Word 2013 WORD 2013 Office 2013 - Word, Excel, PowerPoin e Oulook Les nouveaués de Word 2013 Aciver/désaciver les repères d'alignemen Les repères d'alignemen permeen, lors du déplacemen ou du redimensionnemen d'un

Plus en détail

UNITÉ 1: LA CINÉMATIQUE

UNITÉ 1: LA CINÉMATIQUE UNITÉ 1: L CINÉMTIQUE Cinémaique: es la branche e la physique qui raie e la escripion u mouemen objes sans référence aux forces ni aux causes régissan ce mouemen. 1.1 L VITESSE ET L VITESSE VECTORIELLE

Plus en détail

Analyse par intervalles pour la localisation et la cartographie simultanées; Application à la robotique sous-marine.

Analyse par intervalles pour la localisation et la cartographie simultanées; Application à la robotique sous-marine. Analyse par inervalles pour la localisaion e la carographie simulanées; Applicaion à la roboique sous-marine Fabrice LE BARS Analyse par inervalles pour la localisaion e la carographie simulanées; Thèse

Plus en détail

Chromatographie en Phase Gazeuse CPG.

Chromatographie en Phase Gazeuse CPG. TEISSIER Thomas MADET Nicolas Licence IUP SIAL Universié de Créeil-Paris XII COMPTE-RENDU DE TP DE CHROMATOGRAPHIE: Chromaographie en Phase Gazeuse CPG. Année universiaire 23/24 Sommaire. I OBJECTIF...3

Plus en détail

Cours d électrocinétique :

Cours d électrocinétique : Universié de Franche-Comé UFR des Sciences e Techniques STARTER 005-006 Cours d élecrocinéique : Régimes coninu e ransioire Elecrocinéique en régimes coninu e ransioire 1. INTRODUCTION 5 1.1. DÉFINITIONS

Plus en détail

Page # $ %& +',- VAN = 30; F 2 = 50; F 3 = 140. = -200 ; F 1. Avec r = 3% => VAN = 4,38 > 0. Avec r = 5% => VAN = -5,14 < 0.

Page # $ %& +',- VAN = 30; F 2 = 50; F 3 = 140. = -200 ; F 1. Avec r = 3% => VAN = 4,38 > 0. Avec r = 5% => VAN = -5,14 < 0. # $ %& 1. La VAN. Les aures crières 3. Exemple. Choix d invesissemen à long erme 5. Exercices!" '* '( Un proje ne sera mis en œuvre que si sa valeur acuelle nee ou VAN, définie comme la somme acualisée

Plus en détail

Romain Burgot & Tchim Silué. Synthèse de l article : Note sur l évaluation de l option de remboursement anticipé

Romain Burgot & Tchim Silué. Synthèse de l article : Note sur l évaluation de l option de remboursement anticipé ENSAE 3 eme année Romain Burgo & Tchim Silué Synhèse de l aricle : Noe sur l évaluaion de l opion de remboursemen anicipé Mémoire de gesion ALM Juin 2006 Résumé Depuis 1979, la loi offre à l empruneur

Plus en détail

Planche 2. z ), où γ = 1 µ/σ2 ; ou encore :

Planche 2. z ), où γ = 1 µ/σ2 ; ou encore : Plnche Exercice 1 On considère un mrché nncier de ux d'inérê r e une cion de dynmique risque neure ds = S µd + σdw, S = x Soi une brrière hue ; on considère une opion brrière Up In qui délivre l'cion S

Plus en détail

Intégration de Net2 avec un système d alarme intrusion

Intégration de Net2 avec un système d alarme intrusion Ne2 AN35-F Inégraion de Ne2 avec un sysème d alarme inrusion Vue d'ensemble En uilisan l'inégraion d'alarme Ne2, Ne2 surveillera si l'alarme inrusion es armée ou désarmée. Si l'alarme es armée, Ne2 permera

Plus en détail

CHAPITRE I : Cinématique du point matériel

CHAPITRE I : Cinématique du point matériel I. 1 CHAPITRE I : Cinémaique du poin maériel I.1 : Inroducion La plupar des objes éudiés par les physiciens son en mouvemen : depuis les paricules élémenaires elles que les élecrons, les proons e les neurons

Plus en détail

Claudio Araujo, CERDI 1

Claudio Araujo, CERDI 1 0/09/03 Macroéconomérie I. Naissance de la modélisaion macroéconomérique : Cowles Commission and London chool Economics Claudio Arauo CERDI, Universié d Auvergne Clermon-Ferrand, France www.cerdi.org hp://www.cerdi.org/claudio-arauo/perso/

Plus en détail

PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. On global discontinuous solutions of Hamilton-Jacobi equations.

PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. On global discontinuous solutions of Hamilton-Jacobi equations. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. Sur des soluions globales disconinues des équaions d Hamilon-Jacobi, par Gui-Qiang Chen e Bo Su Résumé. On éabli l unicié des soluions de viscosié semiconinues classiques

Plus en détail

TB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2

TB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2 enrées série TB logiciel d applicaion 2 enrées à émission périodique famille : Inpu ype : Binary inpu, 2-fold TB 352 Environnemen Bouon-poussoir TB 352 Enrée 1 sories 230 V Inerrupeur Enrée 2 Câblage sur

Plus en détail

Mathématiques financières. Peter Tankov

Mathématiques financières. Peter Tankov Mahémaiques financières Peer ankov Maser ISIFAR Ediion 13-14 Preface Objecifs du cours L obje de ce cours es la modélisaion financière en emps coninu. L objecif es d un coé de comprendre les bases de

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Documentation Technique de Référence Chapitre 8 Trames types Article 8.14-1

Documentation Technique de Référence Chapitre 8 Trames types Article 8.14-1 Documenaion Technique de Référence Chapire 8 Trames ypes Aricle 8.14-1 Trame de Rappor de conrôle de conformié des performances d une insallaion de producion Documen valide pour la période du 18 novembre

Plus en détail

( ) et est alors représenté par le graphe ci-

( ) et est alors représenté par le graphe ci- LE SIGNAL SINUSOIDAL : PRODUCTION ET OBSERVATION Le bu de ce premier TP es d une par la prise en main du maériel nécessaire pour l observaion des ondes lors de la prochaine séance (uilisaion de l oscilloscope),

Plus en détail

AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE

AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE Dans e hapire l'amplifiaeur différeniel inégré sera oujours onsidéré omme parfai, mais la ension de sorie ne pourra prendre que deux valeurs : V sa e V

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 1. Durée : 4 heures

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 1. Durée : 4 heures SESSION PSIP3 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE Durée : 4 heures NB : Le candida aachera la plus grande imporance à la claré, à la précision e à la concision de la rédacion Si un candida es amené

Plus en détail

Solvency II, IFRS : l impact des modèles d actifs retenus

Solvency II, IFRS : l impact des modèles d actifs retenus Les normes IFRS en assurance Solvency II, IFRS : l impac des modèles d acifs reenus 31 e journée de séminaires acuariels ISA-HEC Lausanne e ISFA Lyon Pierre THÉROND pherond@winer-associes.fr 18 novembre

Plus en détail

CI-2 : MODÉLISER ET SIMULER LES SYS-

CI-2 : MODÉLISER ET SIMULER LES SYS- CI-2 : MODÉLISER ET SIMULER LES SYS- TÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS. Objecifs ANALYSER MODELISER A l issue de la séquence, avec l aide du cours sur les ransformées de Laplace, l élève doi êre capable

Plus en détail

Le mode de fonctionnement des régimes en annuités. Secrétariat général du Conseil d orientation des retraites

Le mode de fonctionnement des régimes en annuités. Secrétariat général du Conseil d orientation des retraites CONSEIL D ORIENTATION DES RETRAITES Séance plénière du 28 janvier 2009 9 h 30 «Les différens modes d acquisiion des drois à la reraie en répariion : descripion e analyse comparaive des echniques uilisées»

Plus en détail

Pourcentages MATHEMATIQUES 1ES. à débourser 1 700. CORRIGES EXERCICES. Prix de l article : 1 700 = 85% du prix donc 1 700 100 Exercice 1.

Pourcentages MATHEMATIQUES 1ES. à débourser 1 700. CORRIGES EXERCICES. Prix de l article : 1 700 = 85% du prix donc 1 700 100 Exercice 1. Pourcenages MATHEMATQUES 1ES 5. Lors de l acha d un aure aricle, je dois verser un acompe de 15%, e il me resera alors POURCENTAGES à débourser 1 700. CORRGES EXERCCES Prix de l aricle : 1 700 = 85% du

Plus en détail

budgétaire et extérieure

budgétaire et extérieure Insiu pour le Développemen des Capaciés / AFRITAC de l Oues / COFEB Cours régional sur la Gesion macroéconomique e les quesions de dee Dakar, Sénégal du 4 au 5 novembre 203 Séance S-4 : Souenabilié budgéaire

Plus en détail

Analyse d'intervention et Prévisions. Problématique et Application à des Données de la RATP

Analyse d'intervention et Prévisions. Problématique et Application à des Données de la RATP Analyse d'inervenion e Prévisions. Problémaique e Applicaion à des Données de la RATP Lauren FERRARA 1, Dominique GUEGAN 2 Juin 1999 RESUME. - Les séries chronologiques de rafic ou de venes de ires de

Plus en détail

Les Univers Virtuels de la Finance

Les Univers Virtuels de la Finance Les Univers Viruels de la Finance Viruel Worlds of Finance ierre Devolder 1 Résumé. La mesure neure au risque es devenue une noion cenrale en finance moderne: elle s obien par changemen de mesure de probabilié

Plus en détail

S5 Info-MIAGE 2012-2013 Mathématiques Financières Emprunts indivis. Université de Picardie Jules Verne Année 2012-2013 UFR des Sciences

S5 Info-MIAGE 2012-2013 Mathématiques Financières Emprunts indivis. Université de Picardie Jules Verne Année 2012-2013 UFR des Sciences S5 Info-MIAGE 2012-2013 Mahémaiques Financières Empruns indivis Universié de Picardie Jules Verne Année 2012-2013 UFR des Sciences Licence menion Informaique parcours MIAGE - Semesre 5 Mahémaiques Financières

Plus en détail

De l inscription à la publication des résultats en ligne à l Université de Lomé : quels impacts sur l adoption des TIC chez les étudiants?

De l inscription à la publication des résultats en ligne à l Université de Lomé : quels impacts sur l adoption des TIC chez les étudiants? Ouagadougou, Burkina Faso, du 26 au 28 février 2015 De l inscripion à la publicaion des résulas en ligne à l Universié de Lomé : quels impacs sur l adopion des TIC chez les éudians? Halourou MAMAN, Universié

Plus en détail

Exercices M1: Cinématique du point. A) Questions de compréhension. LCD Physique 2eBC 1 Ex2eMeca1_13.docx 04/11/2013

Exercices M1: Cinématique du point. A) Questions de compréhension. LCD Physique 2eBC 1 Ex2eMeca1_13.docx 04/11/2013 LCD Physique ebc 1 Exercices M1: Cinémaique du poin A) Quesions de compréhension 1) Un voyageur dans un rain en mouvemen à viesse consane laisse omber un obje. Esquisser l allure de la rajecoire : pour

Plus en détail

Exercice du Gestion Financière à Court Terme «Cas FINEX Gestion du risque de taux d intérêt»

Exercice du Gestion Financière à Court Terme «Cas FINEX Gestion du risque de taux d intérêt» Exercice du Gesion Financière à Cour Terme «Cas FINEX Gesion du risque de aux d inérê» Ce cas raie des différens aspecs de la gesion du risque de aux d inérê liée à la dee d une enreprise : analyse d emprun,

Plus en détail

Oscillations forcées en régime sinusoïdal.

Oscillations forcées en régime sinusoïdal. Conrôle des prérequis : Oscillaions forcées en régime sinusoïdal. - a- Rappeler l expression de la période en foncion de la pulsaion b- Donner l expression de la période propre d un circui RLC série -

Plus en détail

MATHEMATIQUES FINANCIERES

MATHEMATIQUES FINANCIERES MATHEMATIQUES FINANCIERES LES ANNUITES INTRODUCTION : Exemple 1 : Une personne veu acquérir une maison pour 60000000 DH, pour cela, elle place annuellemen au CIH une de 5000000 DH. Bu : Consiuer un capial

Plus en détail

CHAPITRE 6 CONSOMMATION ET CALCUL INTERTEMPOREL : L HYPOTHESE DU REVENU PERMANENT

CHAPITRE 6 CONSOMMATION ET CALCUL INTERTEMPOREL : L HYPOTHESE DU REVENU PERMANENT icence Sciences Economiques 3ème année er semesre MICROECONOMIE APPROFONDIE ET CACU INTERTEMPORE CHAPITRE 6 CONSOMMATION ET CACU INTERTEMPORE : HYPOTHESE DU REVENU PERMANENT Vision simplifiée du schéma

Plus en détail

4. Principe de la modélisation des séries temporelles

4. Principe de la modélisation des séries temporelles 4. Principe de la modélisaion des séries emporelles Nous raierons ici, à ire d exemple, la modélisaion des liens enre la polluion amosphérique e les indicaeurs de sané. Mais les méhodes indiquées, comme

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

L oscilloscope numérique

L oscilloscope numérique L oscilloscope numérique Ce documen résume le principe de foncionnemen d un oscilloscope numérique e déaille les réglages possibles du modèle uilisé en séance de ravaux praiques. 1 Principe de foncionnemen

Plus en détail

Calculs stochastique et de Malliavin appliqués aux modèles de taux d intérêt engendrant des formules

Calculs stochastique et de Malliavin appliqués aux modèles de taux d intérêt engendrant des formules Calculs sochasique e de Malliavin appliqués aux modèles de aux d inérê engendran des formules fermées Caroline Pinoux To cie his version: Caroline Pinoux. Calculs sochasique e de Malliavin appliqués aux

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

1 Questions sur le DM (3pts)

1 Questions sur le DM (3pts) Algo 21 Mar 2011 Licence ST-A / S5 Info Françoi Lemaire DS Algo 1 Queion ur le DM (3p) Polycopié de cour auorié Suje à rendre Indiquez vore numéro ur le uje Voici une oluion du DM, où ceraine ligne on

Plus en détail

Fouille de données fonctionnelles

Fouille de données fonctionnelles Fouille de données foncionnelles Gilber Sapora Chaire de Saisique Appliquée Conservaoire Naional des Ars e Méiers 292 Rue Sain Marin 75141 Paris Cedex 3 gilber.sapora@cnam.fr 1 Premiers ravaux: J. J. C.

Plus en détail

Segmentation d images couleur par fusion de régions.

Segmentation d images couleur par fusion de régions. SETIT 2005 3 rd Inernaional Conference: Sciences of Elecronic, Technologies of Informaion and Telecommunicaions March 27-31, 2005 TUNISIA Segmenaion d images couleur par fusion de régions. Mme AMEUR Zohra,

Plus en détail

2.1 Envoi d'un message

2.1 Envoi d'un message MESSAGES Oulook 2013 2.1 Envoi d'un message La messagerie es desinée à l'envoi e à la récepion du courrier élecronique. Six dossiers peuven conenir les messages : les dossiers Boîe de récepion, Brouillons,

Plus en détail

Files d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little.

Files d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little. Cours de Tronc Commun Scienifique Recherche Opéraionnelle Les files d aene () Les files d aene () Frédéric Sur École des Mines de Nancy www.loria.fr/ sur/enseignemen/ro/ 5 /8 /8 Exemples de files d aene

Plus en détail

THÈSE. Pour l obtention du grade de Docteur de l Université de Paris I Panthéon-Sorbonne Discipline : Sciences Économiques

THÈSE. Pour l obtention du grade de Docteur de l Université de Paris I Panthéon-Sorbonne Discipline : Sciences Économiques Universié de Paris I Panhéon Sorbonne U.F.R. de Sciences Économiques Année 2011 Numéro aribué par la bibliohèque 2 0 1 1 P A 0 1 0 0 5 7 THÈSE Pour l obenion du grade de Doceur de l Universié de Paris

Plus en détail

CHAPITRE III LA PREVISION

CHAPITRE III LA PREVISION CHAPITRE III LA PREVISION Prévoir ce qui va se passer dans le fuur es d'une imporance capiale pour la plupar des enreprises. En effe, la producion es selon le ype d'acivié un processus plus ou moins long,

Plus en détail

Estimation des matrices de trafics

Estimation des matrices de trafics Cédric Foruny 1/5 Esimaion des marices de rafics Cedric FORTUNY Direceur(s) de hèse : Jean Marie GARCIA e Olivier BRUN Laboraoire d accueil : LAAS & QoSDesign 7, av du Colonel Roche 31077 TOULOUSE Cedex

Plus en détail

Production d un son par les instruments de musique

Production d un son par les instruments de musique Producion d un son par les insrumens de musique ACTIVITÉ 1 : Recherche documenaire : Les foncions d un insrumen de musique Objecif : découvrir commen les insrumens de musique acousique peuven remplir leurs

Plus en détail

Sommaire de la séquence 12

Sommaire de la séquence 12 Sommaire de la séquence 12 Séance 1........................................................................................................ Je prends un bon dépar.......................................................................................

Plus en détail

Aide pour le devoir maison n 1 de Terminale STG GSI (704)

Aide pour le devoir maison n 1 de Terminale STG GSI (704) Aide pour le devoir maison n 1 de Terminale STG GSI (704) Mahémaiques Nombre d'exercices : 4 exercices Noe : L'exercice 4 es une pure copie d'un exercice d'un devoir surveillé de l'an dernier. Cela ne

Plus en détail

1 Cours Sciences Physiques MP. Analyse de Fourier

1 Cours Sciences Physiques MP. Analyse de Fourier Cours Sciences Physiques MP Analyse de Fourier En 86, le physicien e mahémaicien français Joseph Fourier (768-83) éudiai les ransfers hermiques. En pariculier, il chauffai un endroi de la périphérie d

Plus en détail

E9904 Optimisation d un sondage à probabilité proportionnelle à la taille. Le cas des CA3. Christian HESSE, Benoît MERLAT

E9904 Optimisation d un sondage à probabilité proportionnelle à la taille. Le cas des CA3. Christian HESSE, Benoît MERLAT E9904 Opimisaion d un sondage à probabilié proporionnelle à la aille Le cas des CA3 Crisian HESSE, Benoî MERLAT 3 Opimisaion d un sondage à probabilié proporionnelle à la aille Le cas des CA3 Crisian

Plus en détail

Essai sur les Modèles du Taux de Change. Incorporant la Règle de Taylor

Essai sur les Modèles du Taux de Change. Incorporant la Règle de Taylor Universié de Monréal Essai sur les Modèles du Taux de Change Incorporan la Règle de Taylor Par Houria Aoufi Sous la direcion de Mme Marine Carrasco Déparemen des Sciences Économiques Faculé des ars e des

Plus en détail

LES CAPTEURS. Perturbations. Acquérir et coder une information. Capteur

LES CAPTEURS. Perturbations. Acquérir et coder une information. Capteur CPGE / Sciences Indusrielles pour l Ingénieur CI9 Capeurs LES CAPTEURS Le domaine indusriel a besoin de conrôler de rès nombreux paramères physiques (longueur, force, poids, pression, déplacemen, posiion,

Plus en détail