LE PARADOXE DES DEUX TRAINS

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1 LE PARADOXE DES DEUX TRAINS Énoné du paradoxe Déaillons ou d abord le problème dans les ermes où il es souen présené On dispose de deux oies de hemins de fer parallèles e infinimen longues Enre les deux exise un quai sur lequel saionne un obseraeur I au repos par rappor à la oie Sur les deux lignes roulen dans des sens onraires deux rains A e B don la iesse, en module, a la même aleur par rappor aux oies, don par rappor à I Pour un l obseraeur I le emps séoulan dans A e B es dilaé dun faeur γ qui es le même pour les deux puisque / a la même aleur Le emps séoule don de la même façon, par rappor à I, dans A e B mais plus lenemen que pour lui même Les rains A e B éan en mouemen lun par rappor à laure, pour un obseraeur du rain A [ou B] le emps séoulan dans le rain B [ou A] le fai en éan dilaé Le paradoxe serai don le suian : dun ôé on onsae que le emps séoule «de la même façon» dans les deux rains A e B e de laure le emps séoule «plus lenemen» dans lun que dans laure La soluion du paradoxe serai alors de remere en ause le seond posula deinsein Soluion du paradoxe Il fau ou dabord en reenir au sens profond de la relaiié resreine RR Pour ela appuyons nous sur le lire de Jean-Marie Vigoureux «luniers en perspeie : relaiié resreine» hez Ellipse La présenaion suiane emprune lesseniel de son propos à e ourage Une propriéé fondamenale de la RR es que la dilaaion des durées e la onraion des longueurs enre deux obseraeurs son des effes réiproques Si nous aons deux obseraeurs en mouemen relaif, haun de eux-i oi lhorloge de laure ourner plus lenemen En RR les phénomènes surprenans obserés ne son pas des propriéés de lobseraeur lui même ii de I sur le quai e elui dans le rain A ou B ou des obseraeurs dans le rain A e dans le rain B mais une propriéé de la relaion exisane enre es deux lobseraeurs munis haun d une horloge Cee réiproié fondamenale doi se omprendre omme un effe de «perspeie dynamique» généralisan la perspeie saique Pour ellei, lorsquon obsere une personne éloignée, elle paraî plus peie mais, pour ee dernière, le premier obseraeur lui paraî aussi plus pei Don, lorsque deux personnes son éloignées lune de laure, haune paraî plus peie à laure Pour la «perspeie dynamique» nous aons un phénomène du même ype : si jobsere une personne en mouemen par rappor à moi jobsere que son horloge ourne plus lenemen que la mienne mais, pour lui, dune manière On s inspire ii d exrais que lon rerouera esseniellemen enre les pages 9 e 98 de l ourage de M Vigoureux

2 ou à fai réiproque, es ma propre horloge qui ourne moins ie Dans ee «perspeie dynamique», lorsque deux obseraeurs son en mouemen lun par rappor à laure, le premier se déplae ou auan par rappor au seond que le seond se déplae par rappor au premier En perspeie saique un dessinaeur doi représener les objes e les personnages dauan plus peis quils son plus éloignés de lui pour aoir une desripion ohérene de la réalié Cependan ei ne eu pas dire que le personnage du premier plan es réellemen plus grand que elui de larrière plan Le résula relaiise es ou à fai similaire : pour dérire les phénomènes de la naure dune manière ohérene il es néessaire de leur aribuer des durées propres es dire mesurées sur des horloges au repos par rappor aux lieux où se déroulen les phénomènes - dauan plus oures quils son aahés à des référeniels se déplaçan plus rapidemen par rappor à elui de lobseraeur Dans le as qui nous inéresse ii il faudrai don, en perspeie saique, faire lanalogie suiane Considérons rois obseraeurs I, A e B Les deux derniers son éloignés de I e plaés symériquemen par rappor à e dernier Pour I, A e B son de même aille mais neemen plus peis que lui même Mais pour A, sil regarde B, il a lui rouer une aille beauoup plus faible que la sienne Il en ira de même pour B qui regarde A On onsae ii lairemen que si les relaions qui exisen enre [I e A] d un ôé e [I e B] de l aure son les mêmes pour I, A e B on la même peie aille mais ei ne perme absolumen pas de dire que dans la relaion enre A e B les deux on la même aille On peu illusrer ela ae les shémas suians : Il ny a là auun paradoxe en perspeie saique e on doi en onenir Remarquons ependan que, en perspeie saique, plus un obje es loin plus il paraî pei alors quen perspeie dynamique plus un obje a ie plus la durée dun phénomène paraî grande

3 égalemen en «perspeie dynamique» Monrons mainenan par le alul que le paradoxe nes bien quapparen Pour ela il es ou dabord indispensable de définir lairemen les référeniels e les obseraeurs qui leur son aahés Soi R le référeniel lié aux oies e au quai, R elui qui es lié au rain A e R" elui lié au rain B Soi la iesse de A dans le référeniel R, - elle de B dans le même référeniel e V la iesse de B dans R don la iesse de A dans R" es V Soi deux éénemens E e E se produisan aux insans e en un même lieu de A où se roue nore obseraeur qui es don au repos dans R Lineralle de emps mesuré sur l horloge H A es don un emps propre Pour I, au repos dans R, E e E se déroulen en des lieux différens au emps e Lineralle de emps es alors une durée impropre Enre e nous aons don la relaion de dilaaion du emps elle que : On peu faire le même raisonnemen enre I e B On obien alors la même relaion enre e puisque la iesse de B dans R es la même, au signe près, que elle de A dans R Le shéma i dessous représene un des hoix possibles ii on se plae du poin de ue de I - ae le mouemen de B e de A ue de I Pour déerminer la relaion enre léoulemen du emps pour A au repos dans R e elui du emps pour B au repos dans R" il fau déjà onnaîre la iesse V B/A de B dans R [ou la iesse V A/B de A dans R"] Pour obenir ee iesse on uilise la loi relaiise de omposiion des iesses en sahan que B/I - A/I Le shéma i dessous représene un des deux hoix possibles ae le mouemen de B u de A 3

4 Don : V B / I I / B / I I A B / A < / A On peu illusrer ou ei ae une appliaion numérique en prenan par exemple 3/5 En reprenan les expliaions préédenes e les expressions aenanes nous aons, en noan V la iesse V B/A de B dans R : Pour les relaions {R,R } 3 ou {R,R"}, le faeur γ es donné par : R γ R γ R ae γ 5 / 4 / Pour la relaion {R,R"} le faeur γ es donné par : V R γ R ae γ 7 / Les faeurs γ des différenes siuaions éudiées son don bien différens e onfirmen la néessié, en relaiié resreine, de s appuyer sur ee idée de «perspeie dynamique» qui oblige à onsidérer, dans un alul d effe relaiise, que les résulas obenus onernen la relaion exisan enre deux obseraeurs apparenan à deux référeniels en mouemen relaif Ces résulas n on don pas de sens si on les onsidère qu en eux mêmes en oublian qu ils ne s appliquen qu à un ensemble indissoiable de deux référeniels en relaion de mouemen relaif Les onlusions déduies d une de es relaions ne peuen pas êre éendues à un aure ouple d obseraeurs Ii on a pu monrer que la relaion enre A e I éai la même que elle enre B e I uniquemen pare que la iesse de 3 Cee noaion indique la relaion enre une horloge au repos dans R e une aure horloge au repos dans R 4

5 A e la iesse de B par rappor à I aaien le même module Mais la iesse de A par rappor à B éan différene de la préédene, auune exension des onlusions préédenes n es possible Le seul lien possible enre les deux siuaions es elui fourni par la loi relaiise de omposiion des iesses uilisée ii Aure poin imporan Une aure araérisique de la RR en lien ae la manière don on onsidère le emps es souen oubliée e il es néessaire de la rappeler ii En RR on ne ien pas ompe du emps de propagaion des informaions dû à la iesse finie des ondes éleromagnéiques Considérons un obseraeur A au repos à l origine O de son référeniel propre R On réalise la mesure de l ineralle de emps enre deux éénemens E e E se produisan à proximié d un obseraeur B au repos dans R e en mouemen dans R Dans e référeniel, B es siué à une disane x, puis x, de O Dans e même référeniel les mesures des insans où se produisen es deux éénemens ne son pas faies sur la seule horloge H à ôé de A mais sur H E e H E qui son au repos dans R ET roisen exaemen haun des éénemens se produisan à ôé de B Il fau en effe onsidérer que dans haque référeniel il exise un réseau d horloges réparies ae un pas aussi pei que néessaire e que haque éénemen y es daé par l horloge oïnidene Si es l obseraeur siué à l origine qui ondui les mesures on esime qu il peu réupérer par la suie l ensemble des informaions emporelles réolées e reonsiuer a poseriori le déroulemen des éénemens On peu illusrer ça par les shémas suians : Shéma a : Manière orree de onsidérer les mesures dans R Shéma b : Manière inorree de onsidérer les mesures dans R Pour e dernier appelons e les insans enregisrés par H sahan qu ils 5

6 6 doien ompe du emps de propagaion de la lumière depuis les lieux où se produisen les éénemens De même nous appellerons e les insans fournis par les horloges H e H du shéma a Nous pouons exprimer e en fonion de e Pour ela nous érions : x x On onsae bien que la mesure de l ineralle de emps par une seule horloge ne donne pas une aleur ompaible ae e que l on aend En réalié nous aons ii une relaion qui es en rappor dire ae l effe Doppler En effe nous onnaissons la relaion enre la mesure de l ineralle de emps propre donné par l horloge aahé à B e don au repos dans R e l ineralle de emps impropre orrespondan donné par les deux horloges H e H On a : La dernière expression es bien elle de l effe Doppler en RR expriman la relaion enre la période propre d un signal enoyé par un obseraeur B e la période de e même signal reçu par un obseraeur A en mouemen par rappor au prééden Pierre MAGNIEN /4/3

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