Finance 1 Université d Evry Val d Essonne. Séance 2. Philippe PRIAULET

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1 Finance 1 Universié d Evry Val d Essonne éance 2 Philippe PRIAULET

2 Plan du cours Les opions Définiion e Caracérisiques Terminologie, convenion e coaion Les différens payoffs Le levier implicie Exemple de sraégie de rading: le sraddle Evaluaion des opions Valeur inrinsèque e valeur emps Les déerminans de la valeur des opions Evaluaion par arbirage Parié call-pu La formule de Black-choles e Meron

3 Inroducion Qu appelle -on produis dérivés? Typiquemen les swaps, les conras forwards e fuures e les opions Une première définiion: Un produi dérivé es un insrumen consrui à parir d acifs e variables plus sandards a valeur dépend naurellemen des acifs e variables à parir desquelles il a éé consrui

4 Inroducion Les produis dérivés son échangés de deux façons: ur les marchés organisés ou réglemenés. Ce son alors des produis sandards qui son raiés sur le «rading floor» ou par «compuer rading» sur lesquels il n y a pas de risque de conreparie De gré à gré. Ce son alors des produis non sandards ou sur-mesure qui son raiés par éléphone sur lesquels il peu y avoir un risque de conreparie

5 Inroducion Pourquoi uilise -on les produis dérivés? Pour se couvrir conre cerains risques (de aux, de change...) Pour spéculer (fore volailié e parfois possibilié d uiliser les effes de leviers) Pour dégager des profis d arbirage

6 Les opions - Définiion Définiion C es un produi qui donne le droi à son déeneur d acheer ou vendre un aure produi l acif sous-jacen (ou sous-jacen) à un prix déerminé le prix d exercice à ou avan une dae fixée la dae de maurié (ou d échéance)

7 Les opions - Caracérisiques elon le droi d acheer ou vendre le sous-jacen on a Call: opion d acha Pu: opion de vene elon la possibilié d exercer on a Opion européenne: exercice de l opion seulemen à maurié Opion bermudéenne: exercice de l opion à plusieurs daes jusqu à la maurié fixées iniialemen Opion américaine: exercice de l opion n impore quand jusqu àlamaurié

8 Les opions - Caracérisiques (2) elon la naure du sous-jacen, on a Opion sur acion Opion sur indice Opion sur fuure Opion de aux de change Opion de aux d inérê

9 Les opions - Caracérisiques (3) elon d aures caracérisiques (opions exoiques ou le surmesure ), on a opion asiaique: le payoff dépend de la moyenne des prix du sous-jacen pendan la durée de vie de l opion) opion lookback: le payoff dépend du max e du min du prix du sous-jacen pendan la durée de vie de l opion opion barrière: le payoff dépend du franchissemen d une barrière (down-and-ou, down-and-in, up-and-in, up-and-ou) opion binaire, opion d échange d un acif pour un aure, opions sur opion, opion sur plusieurs acifs...

10 Les opions - Terminologie Quelques ermes classiques vendre une opion: vendre le droi incorporé à l opion prime : prix de l opion Opion dans/à/hors la monnaie - A la monnaie : le prix d exercice es égal au prix du sousjacen - Dans la monnaie: l exercice de l opion es profiable - Hors la monnaie: l exercice de l opion n es pas profiable

11 Les opions - Terminologie (2) Illusraions oi aujourd hui un call de prix d exercice 60$ sur un sous-jacen de prix 70$ i on exerce l opion aujourd hui, on achèe 60$ ce qui vau 70$ => l opion es en dedans oi aujourd hui un pu de prix d exercice 60$ sur un sous-jacen de prix 70$ i on exerce l opion aujourd hui, on vend 60$ ce qui vau 70$ => l opion es en dehors

12 Les opions - Terminologie (3) Quelques produis opionnels classiques les warrans : des opions généralemen émis par des insiuions financières les sock opions : émis par les sociéés pour fidéliser leurs effecifs les obligaions converibles : des obligaions classiques qui peuven êre converis en acions à ceraines daes dans le fuur à des raios de conversion prédéerminés

13 Les opions - Coaion

14 Les opions - Coaion

15 Les opions - Coaion

16 Les opions - Payoffs Les payoffs (ou valeur à maurié en T) des opions en foncion du prix du sous-jacen T La valeur d un call à maurié es: C T = Max, [ 0 K ] La valeur d un pu à maurié es: P = Max, Nous raçons sur un graphique les pay-offs du call e du pu en nous plaçan successivemen du côé du vendeur e de l acheeur T [ 0 K ] T T

17 Les opions - Payoffs (2) Les payoffs (ou valeur à maurié en T) des opions en foncion du prix du sous-jacen T Payoff Payoff K T K T Payoff Payoff K T K T

18 Les opions - P&L Exemples d opions P&L résulan de l acha d un call européen sur Alcael : prix de l opion = 5$, prix d exercice = 100$, maurié = 3 mois 30 P&L ($) Prix d Alcael à maurié ($)

19 Les opions - P&L (2) Exemples d opions (2) P&L résulan de la vene d un call européen sur Alcael : prix de l opion = 5$, prix d exercice = 100$, maurié = 3 mois P&L ($) Prix d Alcael à maurié ($)

20 Les opions - P&L (3) Exemples d opions (3) P&L résulan de l acha d un pu européen sur Norel : prix de l opion = 7$, prix d exercice = 70$, maurié = 6 mois 30 P&L ($) Prix de Norel à maurié ($)

21 Les opions - P&L (4) Exemples d opions (4) P&L résulan de la vene d un pu européen sur Norel : prix de l opion = 7$, prix d exercice = 70$, maurié = 6 mois 7 0 P&L ($) Prix de Norel à maurié ($)

22 Les opions - Payoffs e P&L Exercices Exercice 1 K = 50. Buy pu for $6. P/L if final sock price is a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60? Exercice 2 A dae = 0, = 0 = 61, Buy Call wih K = 60 and price = 4, Wrie Call wih K = 65 and price = 2 Deermine porfolio value a mauriy dae = T if =T = 57 and =T = 63

23 Résula Exercice 1 K = 50. Buy pu for $6. P/L if final sock price is a)40 b)45 c)50 d)55 e)60? a) Exercise, P/L = (50-40) - 6 = $4 b) Exercise, P/L = (50-45) - 6 = -$1 c) Regardless, P/L = -$6 d) Don exercise, P/L = -$6 e) Don Exercise, P/L = -$6

24 Résula Exercice 2 =T = 57 K=60: Max[0, 57-60] = 0, (- 4 cos) P\L = - 4 K=65: Max[0, 57-65] = 0, (-2 cos) P\L = -2 Toal P\L = (-2) = - 2 =T = 63 K=60: Max[0, 63-60] = 3, (- 4 cos) P\L = - 1 K=65: Max[0, 63-65] = 0, (-2 cos) P\L = -2 P\L = (-2) = 1

25 Les opions - Le levier implicie Exemple oien une acion e un call sur cee acion de maurié un mois L acion a pour prix 0 = $100 Le call a pour prix C = $2.5 (K = $100) Dans un mois, supposons rois possibiliés de prix pour l acion cénario de hausse: T = $105 cénario inermédiaire: T = $101 cénario de baisse: T = $98

26 Les opions - Le levier implicie (2) Exemple (suie) upposons que nous invesissons $100. A maurié nous obenons les aux de rendemen suivans dans les rois différens scénarios Inves in: ocks Opions Number 1 40 Reurn in: Good ae 5% 100% Mid ae 1% -60% Bad ae -2% -100%

27 Les opions - Le sraddle Noaions () = prix de l acif sous-jacen à la dae K = prix d exercice ou srike de l opion T = maurié de l opion C(,K,T) = prix en du call de maurié e srike K P(,K,T) = prix en du pu de maurié e srike K Nous analysons le sraddle à maurié

28 Les opions - Le sraddle (2) Un exemple de sraégie de rading Ean donné un acif sous-jacen, l idée consise consise à prendre la même posiion (à l acha ou à la vene) sur un call e un pu de même maurié e prix d exercice. Types de sraddles: Boom sraddle: Acha d un call e d un pu Top sraddle: Vene d un call e d un pu

29 Boom raddles Les opions - Le boom sraddle A Maurié ( T) K (T) > K Payoff K (T) Profi K ( T) ( P( K) + C( K) ) (T) K ( P( K) C( )) ( T) K + K En noaion compace Payoff: max [K -(T), 0] + max [(T) - K, 0] Profi: max [K-(T),0]+max [(T)-K,0]-(P(K)+ C(K))

30 Les opions - Le boom sraddle (2) Boom raddle upposons K = $50, P(K) = $8, C(K) = $6 Payoff Profi K=50 Break-even 2: (T)=64 K=50 (T) 14 Break-even 1: (T)=36 (T)

31 Evaluaion des opions Valeur inrinsèque e Valeur emps valeur inrinsèque: payoff qui pourrai êre obenu par exercice immédia de l opion Call : Pu : VI ( ) = max( K 0) = ( K ) + ; ( ) max( K 0) = ( K ) + VI ; = valeur emps: différence enre le prix de l opion e la valeur inrinsèque La valeur emps à maurié es égale à 0 valeur emps = prix de l opion pour les opions à la monnaie

32 Evaluaion des opions Valeur inrinsèque e Valeur emps (2) Prix du Call Valeur Inrinsèque Valeur Temps

33 Evaluaion des opions Les déerminans de la valeur des opions Prix du sous-jacen: C P Prix d exercice : K C K P Volailié du sous-jacen : σ C and P Maurié : T C and P

34 Evaluaion des opions Aures déerminans des prix Taux d inérê Taux de dividendes Impôs Faceurs macroéconomiques...

35 Evaluaion des opions Evaluaion par arbirage Arbirage: opporunié d invesissemen qui garani un profi sans prendre de risque L exemple de deux différens aux de change sur la même monnaie La relaion enre les différens prix d opions (la parié call-pu) es basée sur de purs argumens d arbirages. Elle es indépendane d aures considéraions de prix.

36 Evaluaion des opions - La parié call-pu Evaluaion par arbirage (2) Considérons le porefeuille suivan: Acha de l acif sous-jacen Acha d un pu européen de srike K Vene du call européen de srike K Emprun de la somme nécessaire à l acha de l acif sousjacen Quesions: Quels son les cash-flows liés à cee opéraion aujourd hui (=0) Quels son les cash-flows à maurié (=T)

37 Evaluaion des opions - La parié call-pu Evaluaion par arbirage (3) =0 < K = T > K ock - 0 T T Pu -P 0 (K- T ) 0 Call +C 0 0 -( T -K) Cash K/[1 + r f ] T -K -K Toal? 0 0

38 Evaluaion des opions - La parié call-pu Evaluaion par arbirage (4) Quelle que soi la valeur T, le porefeuille fourni un aux de rendemen égal à 0%. Pour évier l opporunié d arbirage, la valeur du porefeuille en =0 doi êre égal à la valeur acualisé de 0, auremen di 0. Nous obenons alors la relaion de parié call-pu C 0-0 -P 0 = -K / [1 + r f ]T

39 Evaluaion des opions - La parié call-pu Exemple d opporunié d arbirage Considérons les opions européennes call e pu sur une acion de caracérisiques suivanes: Opions de maurié 3 mois Prix d exercice: K = 100 Prix de l acion: = 100 Faceur d acualisaion à 3 mois: 0,98 VA(K) = 98 Prix du pu e du call: P = 3 e C = 5.5

40 Evaluaion des opions - La parié call-pu Exemple d opporunié d arbirage (2) Nous obenons alors P + = 103 < C + PV(K) = Le porefeuille d arbirage consise à acheer le pu e l acion empruner VA(K) e vendre le call Ce porefeuille procure un cash-flow posiif aujourd hui (= 0.5) avec aucun coû à maurié.

41 Evaluaion des opions - Black-choles e Meron Le modèle de Black, choles e Meron (BM) Leurs ravaux daen de Ils on permis le vériable lancemen des opions. Ils on éé Prix Nobel d économie en Leur modèle es oujours le plus uilisé au monde pour l évaluaion e la couverure d opions. Inérê pariculier: la formule procure expliciemen le porefeuille de couverure à mere en place par le vendeur de l opion. Le modèle dérivé de Black (1976) perme l évaluaion e la couverure d opions de aux sandards (caps, floors e swapions).

42 BM - La dynamique de prix de l acion e du cash upposons que le prix de l acion saisfai l équaion suivane au cours du emps d = μ d + σdw μ es le aux de rendemen espéré de l acion σ es sa volailié Les deux quaniés son consanes L acif sans risque (le cash en monéaire) saisfai l équaion suivane au cours du emps db = B rd r es le aux d inérê payé coninuellemen

43 Considérons un call européen sur de prix d exercice K e de maurié T Le prix C es supposé êre une foncion du emps (ou du emps jusqu à maurié) e de : C(,) Par le lemme d Io d C d C d C dc ), ( 2 1 ), ( ), ( ), ( σ + + = BM - La dynamique de prix du call

44 BM - La dynamique de prix du call (2) Nous formons un porefeuille P=C+n composé de l opion C e de n acions. La quanié n es choisie de elle façon que le porefeuille soi sans risque. Ean sans risque, il doi rapporer le aux sans risque sous peine d opporuniés d arbirage La variaion de prix de ce porefeuille es la suivane dp = dc(, ) + nd dp = C(, ) d C (, ) 2 2 σ d 2 + C(, ) d + nd

45 + = = = d C 2 1 d C dp C C r dp C n σ ), ( ), ( ), ( ), ( La quanié n es choisie de elle façon que Var(dP)=0, auremen di elle que la volailié du porefeuille soi égale à zéro Finalemen, on obien sous la condiion BM - La dynamique de prix du call (3) rc C r C 2 1 C = + + σ ), ( ), ( 0 K Max T C T T =

46 La soluion de l équaion précédene à la dae es où N es la foncion de répariion de la loi normale cenrée réduie r es le aux d inérê correspondan à la maurié de l opion σ es la volailié du aux de rendemen T- es la maurié de l opion BM - La formule d évaluaion d un call sur acion ) ( ) ( ) ( T d N K e d Ν C T r = σ T T r K d + + = σ σ ) ).( 2 1 ( ) / log( 2

47 BM - La formule d évaluaion d un call sur acion (3) N(d) es appelé le dela de l opion Il es uilisé par le vendeur d opion pour répliquer l opion vendue: c es ce qu on appelle couvrir une opion Le prix du pu européen P 0 call-pu en =0 es obenu à parir de la parié C 0-0 -P 0 = -exp [- r(t-)]k

48 BM - La formule d évaluaion d un call sur acion (4) Les paramères de la formule La volailié σ es le seul paramère qui n es pas observable direcemen. Ce paramère es ypiquemen esimé de façon hisorique. Noons qu il s agi de la volailié du aux de rendemen de l acion e non pas du prix de l acion +1 d

49 BM - La formule d évaluaion d un call sur acion (5) La volailié implicie Le concep Considérons que le prix de l opion es connu La volailié implicie es la volailié qui dans la formule de BM perme de rerouver le prix de l opion ouven, les opions son coées en volailié implicie pluô qu en prix.

50 La formule Nous supposons que le aux de dividendes es connu. où La même formule s applique aussi à des indices e des aux de change. BM - La formule d évaluaion d un call sur acion avec dividendes δ ) ( ) ( ) ( ) ( T d N K e d Ν e C T r T = σ δ T T r K d + + = σ σ δ ) ).( 2 1 ( ) / log( 2

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